Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL

Transkripsi

1 SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA 008 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 009 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL Bidang Matematika Disusun oleh :

2 Olimpiade Matematika Tk Kabupaten/Kota 008 BAGIAN PERTAMA. (Jawaban : E) Akar dari suatu bilangan positif adalah juga bilangan positif, maka a = a a = a jika a bilangan real positif jika a bilangan real negative Karena a bilangan real maka a = a. (Jawaban : C) 5! = 0 = Banyaknya faktor positif = (3 + )( + )( + ) = 6 Banyaknya faktor positif dari 5! adalah (Jawaban : C) Agar huruf hidup tidak berdekatan maka ketiga huruf hidup tersebut harus berada pada urutan ke-, ke-3 dan ke-5. Sisanya harus diisi oleh huruf konsonan. Maka banyaknya susunan = 3!! = Banyaknya susunan =. 4. (Jawaban : C) Misalkan jari-jari lingkaran tersebut adalah R, sisi ABC = x dan sisi PQR = y. x = R sehingga 3x = 3R 3 sin 60 Luas PQR = ½ R (3y) ½ y sin 60 o = ½ R 3y sehingga 3y = 6R 3 Keliling ABC : Keliling PQR = 3x : 3y = : Rasio keliling ABC terhadap keliling PQR adalah.

3 Olimpiade Matematika Tk Kabupaten/Kota (Jawaban : B) (n) + (n + ) + (n + ) + (n + 3) = (n + 3) n + 3 adalah bilangan ganjil. Maka nilai p terbesar adalah. 6. (Jawaban : C) {, } X {,, 3, 4, 5} X terdiri dari sedikitnya unsur dan maksimal 5 unsur dengan unsur di antaranya haruslah dan. Sedangkan sisanya dipilih dari unsur-unsur 3, 4 atau 5. Jika X terdiri dari unsur maka banyaknya himpunan X = 3 C 0 = Jika X terdiri dari 3 unsur maka banyaknya himpunan X = 3 C = 3 Jika X terdiri dari 4 unsur maka banyaknya himpunan X = 3 C = 3 Jika X terdiri dari 5 unsur maka banyaknya himpunan X = 3 C 3 = Banyaknya himpunan X = = 8. Banyaknya himpunan X yang memenuhi adalah (Jawaban : B) Misalkan panjang AB = AC = x maka panjang BC = x 64 maka x + x 64 = 6 x 64 = (6 x) = x 3x x = 30 x = 0 Panjang AC = 0 Panjang AC adalah (Jawaban : E) x + f(x) = x x + f( x) = = x f( x) = f ( x) x x + = f ( x) 9. (Jawaban : D)

4 Olimpiade Matematika Tk Kabupaten/Kota 008 ABC dan ACD memiliki tinggi yang sama maka perbandingan luas keduanya dapat dinyatakan sebagai perbandingan alas. AB : DC = : 3 Misalkan panjang sisi AB = x maka panjang sisi DC = 3x. E adalah pertengahan BC dan F pertengahan DA sehingga FE sejajar AB dan DC. Maka FE = ½ (x + 3x) = x Misalkan tinggi trapesium = t. ( AB + FE) t 3tx Luas ABEF = = 4 ( FE + DC) t 5tx Luas EFDC = = 4 Rasio luas ABEF terhadap luas EFDC = 3 : 5. Rasio luas ABEF terhadap luas EFDC adalah (Jawaban : A) a c b d Karena < maka >. b d a c b a d c a b a > sehingga < a c c d c a b a < c d c BAGIAN KEDUA. Misal penonton dewasa = x dan penonton anak-anak = y maka x y = x + 3y = 000 () x = 40% (x + y) 3x = y () Subtitusikan persamaan () ke () 6y + 9y = 3000 y = 0 Banyaknya penonton anak-anak adalah = 8 5 dan a = 5 k dengan k dan 8 relatif prima serta k bilangan asli. Karena k > 8 dan dua bilangan asli berurutan akan relatif prima maka k min = 9. a minimum = k min 5 a minimum = 9 5 = 59. Nilai a terkecil yang mungkin adalah 59.

5 Olimpiade Matematika Tk Kabupaten/Kota Kalau persoalan tersebut digambarkan dalam diagram venn maka Maka banyaknya dung adalah Pasangan bilangan yang muncul adalah dan 6 atau dan 5 atau 3 dan 4. Banyaknya pasangan yang mungkin ada 6. Peluang = Banyaknya bilangan yang mungkin ada 4! = 4. Masing-masing angka, 4, 7 dan 8 akan muncul 6 kali sebagai angka satuan. Angka satuan bilangan tersebut = angka satuan Angka satuan bilangan tersebut adalah Misalkan koordinat A adalah (p, q) maka karena pertengahan AB adalah titik (0, 0) maka koordinat B adalah ( p, q). Titik A dan B terletak pada parabola maka q = 4 + p p () q = 4 p p () Jumlahkan persamaan () dan () didapat 0 = 8 p sehingga p = ± Jika p = maka q = 4 + = Jika p = maka q = 4 = Koordinat A dan B adalah (, ) dan (, ) Panjang AB = Panjang AB = 4. ( ( )) + ( ( )) 7. Karena koefisien x 3 adalah a dan konstantanya adalah maka haruslah (ax 3 + bx + ) = (x x )(ax ) (ax 3 + bx + ) = ax 3 (a + )x + ( a)x + Maka a = 0 sehingga a = b = (a + ) sehingga b = ( + ) = Nilai b yang memenuhi adalah b =.

6 8. Perhatikan gambar. Olimpiade Matematika Tk Kabupaten/Kota 008 Perpotongan bidang yang melalui HF tersebut dengan kubus adalah segitiga PFH. Misalkan panjang AP = x maka PE = x. E.PFH adalah bangunan prisma dengan alas berbentuk segitiga sama kaki. Karena PF = PH dan FE = HE maka proyeksi E pada bidang PFH akan berada pada garis tinggi PK. Sudut antara garis EG dengan bidang PFH adalah EKP. EK = Pada KEP siku-siku di E. EP tan EKP = = EK 3 x = AP = 6 Panjang ruas AP adalah Misalkan bilangan tersebut adalah N. Misalkan N adalah bilangan n angka dengan angka-angka N adalah x, x, x 3,, x n. N 0 n dan N = 6(x + x + + x n ) 54n Lemma : Akan dibuktikan bahwa jika terbukti 54k < 0 k maka 54(k + ) < 0 k untuk k bilangan asli 3. Andaikan bahwa 54k < 0 k. Karena k 3 maka 54 < 9 0 k sehingga 54k + 54 < 0 k k 54(k + ) < 0 k Terbukti bahwa untuk k asli 3 maka jika 54k < 0 k maka 54(k + ) < 0 k. Pembuktian di atas sama saja dengan membuktikan bahwa untuk k 3 maka jika tidak ada N yang terdiri dari k angka yang memenuhi nilainya sama dengan 6 kali jumlah angka-angkanya maka tidak akan ada juga N terdiri dari k + angka yang memenuhi nilainya sama dengan 6 kali jumlah angka-angkanya.

7 Olimpiade Matematika Tk Kabupaten/Kota 008 Jika N terdiri dari angka N = x = 6(x ) sehingga tidak ada N asli yang memenuhi. Jika bilangan tersebut adalah bilangan dua angka N = 0x + x = 6(x + x ) 4x = 5x Karena x dan x asli maka pasangan (x, x ) yang memenuhi hanya (5,4). Bilangan yang memenuhi hanya 54. Jika N terdiri dari 3 angka Misalkan N = 00x + 0x + x 3 = 6(x + x + x 3 ) 94x + 4x = 5x 3 Karena x maka tidak ada tripel (x, x, x 3 ) yang memenuhi. Sesuai dengan lemma maka untuk n 3 maka tidak ada N yang memenuhi nilainya sama dengan 6 angka jumlah angka-angkanya. Himpunan semua bilangan yang memenuhi hanya {54}. Himpunan semua bilangan yang memenuhi adalah {54}. 0. (sin a + sin b) = = sin a + sin b + sin a sin b = (cos a + cos b) 3 = 6 = 3 cos a + cos b + cos a cos b = () () Jumlahkan () dan () dan dengan mengingat sin α + cos α = maka + (sin a sin b + cos a cos b) = sin a sin b + cos a cos b = 0 cos (a b) = 0 (3) (sin a + sin b )(cos a + cos b) = 6 = 3 sin a cos a + sin b cos b + sin a cos b + cos a sin b = 3 ½ (sin a + sin b) + sin (a + b) = 3 sin (a + b) cos (a b) + sin (a + b) = 3 Mengingat cos (a b) = 0 maka sin (a + b) = 3. sin (a + b) = 3. Catatan : Jika yang dicari adalah nilai a dan b. Tanpa mengurangi keumuman misalkan a b.

8 Olimpiade Matematika Tk Kabupaten/Kota 008 Berdasarkan cos (a b) = 0 maka a b = 90 o (4) Karena sin (a + b) = 3 maka : a + b = 60 o (5) Berdasarkan (4) dan (5) maka didapat a = 75 o dan b = 5 o yang tidak memenuhi bahwa a dan b adalah besar dua sudut pada sebuah segitiga. a + b = 0 o Berdasarkan (4) dan (6) maka didapat a = 5 o dan b = 5 o. Tetapi bila a = 5 o dan b = 5 o disubtitusikan ke persamaan sin a + sin b = dan cos a + cos b = 6 ternyata tidak memenuhi keduanya. Dapat disimpulkan bahwa tidak ada pasangan (a, b) yang memenuhi.