Contoh : 1) 4x + 5 = 0 4x = -5 X = -5/4. 2) 3 / 5x + 2 = 4 / 2x 2 = 3 (2x 2) = 4 (5x + 2) = 6x 6 = 6x 20x = = -14x = 14 X = 14/-144 = -1

Transkripsi

1 BAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR a) Bentuk umum persamaa linear : Determinan persamaan kalimat matematika yang ditandai dengan tanda (*=*) dengan 1 variabel / symbol 1. Ax + b = 0. Dengan ketentuan a tidak boleh o. a dan b adalah konstanta Contoh : 1) 4x + 5 = 0 4x = -5 X = -5/4 2) 3 / 5x + 2 = 4 / 2x 2 = 3 (2x 2) = 4 (5x + 2) = 6x 6 = 6x 20x = = -14x = 14 X = 14/-144 = -1 3) 2x 8 = 15 2x = = 23 X = 23/2 = 11 ½ 4) 5x + 6 = -2x 8 5x + 2x = x = -14 X = -14/7 = -2 5) 3x + 7 = 0 3x = -7 X = -7/3

2 6) A memiliki $20 lebih dari B, tetapi nilainya ½ dari C, jika jumlah ketiganya adalah = $80, berapa masing-masing uang mereka Jawab : Mis : uang B = $ x mata uang A = $20 + x dan A = ½ C atau C = 2A Jumlah A + B + C = 20 + x + x + 2 (20 + x) = x + 4x = x = 20 X= 5 Jadi B = 15$ A = 25$ C = 36$ b) System persamaan linear dengan 2 peubah (variable) bentuk umum dari (P,S,L dengan 2 peubah adalah : 1. A1x + b1y + c1 = 0 a1x + b1y = -c1 2. A2x + b27 + c2 = 0 a2x + b2y = -c2 - C1 a1, b1, c1, a2, b2, c2 = R - C2 Persamaan 1 a 1 / b1 boleh ( 0 ) tetapi tidak boleh kedua-duanya 0, demikian juga pada persamaan ke 2. Persamaan tersebut diatas adalah persamaan garis lurus. Sehingga penyelesaian dari system penyelesaian diatas dapat ditentukan sebagai koordinat titik potong antara 2 buah garis lurus (x, y) dan himpunan penyesuaiannya (x,y) untuk menentukan penyelesaian tersebut dapat dilakukan beberapa cara : a) Metode grafik b) Metode subtitusi c) Metode eliminasi d) Metode determinan

3 A. METODE GRAFIK Dengan metode ini, setiap garis pada persamaan linear tersebut diatas kita gambar grafiknya pada system koordinat cartesius. Yaitu koordinat titik potong antara ke 2 garis yang hasilnya akan sama dengan cara hitung metode subtitusi dan metode eliminasi. Contoh : Tentukan : Hp dari s. persamaan I = x + y = 4 II = x y = 16 Dengan metode grafik Solusi jawaban X + y = 4 Untuk x = 0 x + y = y = 4 Y = 4 x,y = (0,4) Untuk y = 0 x + y = 4 X + 0 = 4 X = 4 x.y = (4,0) X 2y = 16 Untuk x = 0 x 2y = y = 16-2y = 16 Y = y =16/-2 = -8 x,y = (0, -8) Untuk y = 0 x 2y = 16 X 0 = 16 X = 16 x,y = (16,0)

4 Model grafiknya : B. MODEL SUBTISUSI Subtitusi artinya : menggantikan / memasukan nilainya. Metode ini lebih tepat dipergunakan apabila pada system persamaan linear dengan 2 perubah / variable. Terdapat persamaan dengan salah satukoefisiend dari salah satu perubahan variablernya adalah satu. Contoh : 1. 3x + y =1 (I) 2x 3y = 8 (Z) Persamaan I 3x + y = 1 Y = 1 3x (3) Subs (masukkan) y = 1 3 x ke pers (z) 2x 3x = 8 untuk x = 1 subs ke pers (3) 2x 3 (1 3x) = 8 y = 1 3 x 2x 3 + 9x = 8 y = 1 3 (1) 11x = 11 = 1 3 X = 11/11 y = - 2 Hp ( 1, -2 )

5 2. 2x + 3x = 20 3x y = -3 Jawab : Pres (2) = 3x y = 3 -y = -3-3x (x) Y = 3 + 3x.. (x) Y = 3+ 3x subs ke pers (1) 2x + 3y = 20 11x = 11 2x + 3 (3 + 3x) = 20 x = 1 X = 1 sub ke pers (3) y = (I) Y = 6 hp (1,6) C. METODE ELIMINASI Eliminasi artinya menghilangkan salah satu unsure / variable, sehinggga dari 2 variabel semua menjadi hanya 1 variabel. System p.s tersebut dapat diselesaikan, cara menghilangkan salah satu variable tersebut adalah, dengen menyamakan koefisiens dari variable tersebut. Kemudian dikurangkan apabila tanda-tandanya berlawanan / berbeda. Contoh : Tentukan Hp. Dengan eliminasi 1. 3x + y = 1 (1) 2x 3y = 8 (2) Jawab : 3x + y = 1 x2 6x + 2y = 2 2x 3y = 8 x3 6x 9y = 24 11y = -22 Y = -22/11 Mencari y y = -2 3x + y =1 x 3 9x + 3y = 3 2x 3y = 8 x1 2x 3y = 8

6 11x = -22 X = 11/11 Mencari x 1 = 1 Jadi Hp = (1, -2) C. PENGGABUNGAN ELIMINASI DAN SUBTITUSI 1. 3x + y = 1 (1) 2x 3y = 8 (2) Cara eliminasi : 3x + y = 1.2 6x + 2y = 2 2x 3y = 8.3 6x 9y = 24 11y = -22 Y = -2 Cara subtitusi Y = -2 sub ke persamaan (1) 3x + y = 1 3x + y 2 = 1 3x X = 1 a. Yang lebih umum untuk dipergunakan adalah metode eliminasi yang digabungkan dengan subtitsi. b. Metode subtitusi lebih tepat digunakan apabila salah satu koefisien darisalah satu variabbel itu adalah 1 c. Metode grafik lebih tepat dipergunakan untuk memperkirakan/mengecek hasil penyelesaian dengan metode sustitusi / eliminasi dengan cara menggambarkan grafik garis-garis pada system persamaan tersebut dan menentukan titik potongnya.

7 D. METODE DETERMINAN (S) Persamaan dengan 2 variabel 1. Ax + by = k (I) Cx + dy = I (II) Untuk met x dan y X = Sy/S y = Sy/y S = a b = ad bc c d Sx = K b = kd bl L d Sy = ak = al kc Cl X = kd bl y = al kc Ad bc ad bc Contoh : 1. X + y = 7 D.M Det X y = 19 Solusi S = 1 1 = 1. ( 1) 1 (1) Sx = 7 1 = 7 (-1) -1 (19) = -26 Sy = 1 7 = 19 7 = 12

8 Jadi x = 26 / -2 = 13 Y = 12 / -2 Hp ( 13, 6) 2. 2x + y = 5 2x + 3y = -1 S = 2 1 = 6 2 = Sx = 5 1 = 15 (-1) = Sy = 2 5 = = X = 16 / 4 = 4 Y = -12 / 4 = 3 METODE DETERMINAN DENGAN 3 VARIABEL 1. Persamaan dengan 3 variabel / peubah adalah A1x + b1y = ciz = k ( I ) A2x + b2y = c2z = I ( II ) A3x + b3y = c3z = m ( III ) Karena memiliki 3 variabel maka harus memiliki 3 persamaan X = sx / s y = sy / s z = sz / s Sy = c1 a1 k c1 a1 C2 a2 I c2 a2 C3 a3 m c3 a3 Sz = A1 b1 k a1 b1 A2 b2 I a2 b2 A3 b3 m a3 b3

9 X = sx / s = ** / * Y = sz / s = **** / * HP ( X, Y, Z ) Z = sz / s = **** / * A1x + b1y = ciz = 0 ( I ) A2x + b2y = c2z = 0 ( II ) A3x + b3y = c3z = 0 ( III ) Eliminasi pers. ( I ) & ( II ) A1x + b1y + c1z = 0 x pers (2) A2x + b2y + c2z = 0 x pers (1) Menjadi (a1 a2) x + (b1 b2) y = 0. (IV) Eliminasi pers II dan III A2x + b2y + c2z = 0 x pers (2) A3x + b3y + c3z = 0 x pers (1) Menjadi (a2 a3) x + (b2 b3) y = 0. (IV) Pada * dan ** yang dicoret harus z agar mendapatkan nilai x dan y lebih mudah. Persamaan (IV) dan (V) dapat dengan cara subtitsi / eliminasi (a1 a2) x + (b1 b2) y = 0 dapat ditentukan variabelnya (a2 a3) x + (b2 b3) y = 0 x dan y dengan cara subtitusi/eliminasi Subtitusi ke salah satu persamaan awal (1) (2) dan (3) maka didapatkan hp (X,Y,Z)

10 Contoh soal 1. 2x y 2z = 15 (I) 3x + 2y + z = 17 (II) X + 4y 3z = 29 (III) Eliminasi pers I dan II 2x y 2z = 5 x 1 = 2x y 2z = 5 3x + 2y + z = 17 x 2 = 6x + 2z = 34 8x + 3y = 39.. (IV) Eliminasi pers II dan III 3x + 2y + z = 17 x 3 9x + 6y + 3z = 51 3x + 2y + z = 17 x 2 x + 4z - 3/z = 29 10x + 10y = 80 X + y = 80 (IV) Pers (4 dan 5) dapat dikerjakan dengan cara eliminasi / subtitusi. Sustitusi apabila pada persamaan 4 dan 5 terdapat 1 koefisien (apabila tidak ada maka harus dengan eliminasi) 8x + 3y = 39 (IV) X + y = 8 (V) M AB = m BP satu garis Y2 y1 = y y2 y2 y1 = x2 x1 (4) X2 x1 x x1 y y2 x x2 Y y1 = x x1 Y2 y1 x2 x1

11 LATIHAN : 1. Carilah hambatan parallel untuk R1 = 2V3 ohm dan R3 = V12 ohm 2. Diketahui suatu rangkain listrik parael terdiri dari 3 hambatan yang dipasang secara prarel : jika R total = 0,5 ohm : R1 = 2 ohm : R2 = 1 ½ ohm dan R3 = x 2 ohm, carilah nilai x itu 3. Jumlah dari dua bilangan A dan B adalah 16, sedangkan selisih dua bilangan tersebut adalah 4, berapakah bilangan-bilangan itu? 4. Carilah nilai x dan y dari system persamaan dibawah ini : 2x / 3 3y / 5 = ¾ dan x / 2 y / 4 = 13 / Hitunglah nilai a, b, dan c dari system persamaan linear dibawah ini : 3a + 2b c = 4 2a + b + c = 7 A b + c = 2 6. Dua buah kapal adalah 99 nautical mil jaraknya steaming pada kecepatan yang berbeda, jika dua kapal tersebut mengadakan perjalanan langsung kedepan bersama-sama mereka akan bertemu dalam waktu 3 jam. Jika mereka steaming dalam arah yang sama pada tempat yang sama mereka akan bertemu dalam waktu 49 ½ jam. Berapakah kecepatan kedua kapal tersebut masing-masing 7. Hokum wiliam mengenai hubungan antara konsumsi uap dan tenanga yang dikembangkan oleh sebuah steam engine dalam kondisi tertentu dapat dijelaskan M = a + bp Dimana m adalah mass uap yang digunakan perjam P adalah tenaga yang dikembangkan A dan b adalah konstanta Jika pada suatu ketika pada mesin itu m = 2025 kg/jam saat P = 250 kw dan m = 1515 kg/jam saat P = 175kw a. Carilah besarnya konstanta a dan b b. Berapa kg/jam nilai m saat p = 200kw