BAB I BILANGAN. Bilangan Real Bilangan Cacah Bilangan Bulat Bilangan Kompleks Irasional Bilangan Nul ( Nol )

Transkripsi

1 BAB I BILANGAN I. SKEMA HIERARKIS BILANGAN Bilangan non prima Bilangan asli Bilangan prima Bilangan Bulat Rasional Bilangan Real Bilangan Cacah Bilangan Bulat Bilangan Kompleks Irasional Bilangan Nul ( Nol ) II. Bilangan Imajiner PENGERTIAN BILANGAN-BILANGAN Bilangan kompleks : Sub total dari seluruh bilangan yang terdiri dari bilanganreal dan imajiner Bilangan Real : Bilangan yang nyata.. (0.02, -V3) macam-macam bilangan Bilangan Imajiner : Adalah bilangan khayal yang mempunyai akar negative Contoh : V-2, V-0,05, V-3 Simbolnya (xi) Bilangan Rasional Bilangan Irasional : Bilangan yang terbentuk dalam p/q (Dimana P & Q adalah bilangan bulat), dan bilangan desimalnya selalu berulang misalnya 1 = 0,3333 (berulang) : Bilangan yang akar bilangan rasional yang hasilnya tidak rasional

2 Misalnya : V2 V3 Tak berulang V Atau disebut juga bilangan berbentuk akar Bilangan Bulat : terdiri dari B.B + & B.B Misal : -3, -2, -1, 0,1,2,3 Bilangan Cacah : disebut juga sebagai bilangan bulat positif Bilangan Asli : yang terdiri 1,2,3 dst Bilangan Prima : bilangan yang hanya dapat dibagi dengan 1 dan bilangan itu sendiri Bilangan Non Prima : bilangan yang bukan bilangan prima III. OPERASI HITUNG PADA REAL & TURUNANNYA 1) Penjumlahan = (+) 2+3 2) Penguranngan = (-) 2-3 3) Perkalian = (X 3. ) 2*2*2 = = 23 4) Pembagian = (: ;...) 24 = = Hukum-hukum operasi pada Bilangan Real Aturannya : 1. Hukum Komulatif 2.3 = 3.2 ; 2+3 = 3+2 Tapi 2-3 # Hukum Asosiatif (2+3) +4 = 2+ (3+4) (2.3). 4 = (2.3). 4

3 3. Hukum Distributif 2 (3+4) = (2.3) + (2.4) 2 (3-4) = (2.3) (2.4) A. PENJUMLAHAN, PENGURANGAN, & PERKALIAN BILANGAN IRASIONAL PENJUMLAHAN i) Va + Va = 2 Va Contoh : 1. V3 + V3 = 2 V3 2. V7 + V7 = 2 V7 ii) Va + Vb = Va + Vb ( Tetap karena bilangan pokoknya berbeda ) Contoh : V2 + V3 = V2 + V3 iii) a Vb + c Vb = (a+c) Vb Contoh : 3 V5 + 2 V5 = (3+2 V5 = 5 V5 Irasional Irasional PENGURANGAN i) Va Va = 0 Note : Va Va = (1-1) Va = 0 Va = 0 Contoh : 1. V2 V2 = 0 2. V5 V5 = 0 ii) Va Vb = Va Vb Contoh : 1. V3 V5 = V3 V5 2. V7 V3 = V7 V3

4 iii) avb cvb = (a-c) Vb contoh : 1. 5V7 2V7 = (5-2) V7 Kesimpulan : Penjumlahan dan Pengurangan irasional hasilnya selalu irasional PERKALIAN i) Va x Va = a Note : Va x Va Contoh : = Va.a = Va2 V2 x V2 = 2 = (a2) ½ V5 x V5 = 5 = a 2/2 = a 1 = a ii) Va x Vb = Vab Contoh : 1. V3. V5 = V15 2. V5. V7 = V35 iii) avb x cvb = (a.x) Vb b = (ac) (b 2 ) ½ = (ac) b 2/2 = acb atau abc Kesimpulannya : pengoperasian bilangan irasional dikali dengan irasional hasilnya bias rasional/irsaional. PEMBAGIAN I) a (Penyebutnya harus dijadikan bilangan irasional) Vb

5 Note : a = a x vb vb vb vb = a vb = a vb b b contoh : 1. 1 = 1 x V2 V2 V2 V2 = 1 V2 = 1 V V3 = V3 x V5 V5 V2 V2 = V15 = 1 V II) 1 = 1 x Va + Vb Va + Vb Va+Vb Va Vb = 1 ( Va Vb ) ( Va + Vb ) ( Va Vb ) = 1 ( Va Vb ) a ( Vab + V ab ) = Va = Vb ( Sudah Rasional ) a b contoh : 1 = 1 x V3 + V5 Va + Vb V3+V5 V4 V5 = V3 + V5 V3. V3 V5 V5

6 MENYEDERHANAKAN ANGKA 1. V20 = V4. V5 = 2 V5 2. V32 = V16. V2 = 4 V2 3. V200 = V100. V2 = 10 V2 Contoh soal : 1. 2 V2 + V8 + V V3 + V12 = 2 V2 + 2V2 + 4 V2 + 2 V4 + 2 V3 = (2+2+4) V2 + (2+2) V3 = 8 V2 + 4 V3 2. (1+3+V2) = (4-V50) + V243 = 1 + 3V2 (4-5 V2) + 9 V3 = V2 + 5 V2 + 9 V3 = V2 + 5 V2 + 9 V3 = V2 + 9 V3 3. V11 V13 = V11 V13 x V11 V13 = V11 V13 x V11 V13 = (V11 V13) (V11 V13) = (V11 + V13) (V11 V13) = 11 V143 + V V143 V = 11 V143 V = 11 2 V = 24 2 V143 = 24 2 V = V V2 2 V3 = 3 V2 2 V3 x 2 V3 + 3 V2 2 V3 3V2 2 V3 3 v2 2 V3 + 3 V2

7 = 6 V6 + 9 V4 4 V9 6 V6 4 V9 9 V4 = 9 V4 9 V9 = V9 9 V = = 6/-6 =.1 5. (V10 V8) 2 = (V10 V8) (V10 V8) = 10 V80 V = 18 2 V180 B. PENJUMLAHAN, PENGURANGAN DAN PERKALIAN PADA ALJABAR Ditulis : a x b ; a + b atau ab (maksudnya a kali b) biasanya berbentuk symbol huruf (a z) jika satu factor dalam sebuah perkalian adalah bilangan dan symbol bilangan lain disebut koefisien dari symbol. Contoh : 5 koef x dari 5x Tetapi sering juga koefisien terdiri dari symbol juga Contoh : 5q adalah koefisien x 3 dari 5 qx 3 Penjumlahan pada aljabar : Contoh = (a+b+c) + (a+b+c) = (a+b) + (b+b) + (c+) Atau A + b + c A + b + c 2a + 2b +2c

8 Pengurangan pada aljabar Contoh : (-a b + c) (a + b c) = samakan variable yang sama Perkalian pada bilangan aljabar Hitunglah : a.b 2 x a 2 b 3 = a 1+2 b 2+3 = a 3 b 5 (lihat sifat pada bilangan eksponen) latihan : 1. Hitunglah 2a 3b + 4c +2 (a-b) 2. Sederhanakanlah 3 (2-3 (2a + 4)) 4a 3. Hitunglah : 2 2. b 2 avb : untuk a = 2 : b 3 C. OPERASI HITUNG PADA PECAHAN Pecahan 1 & 3 dinamakan pembilang 4 dinamakan penyebut Berbentuk a semakin besar penyebut b semakin kecil nilai pecahan itu pecahan-pecahan yang senilai 1 = 5 didepan 1 x 5 = x 5 = 10 3 = 9 3 x 3 = x 3 = 12 Membandingkan 2 pecahan

9 7 dengan Caranya samakan penyebut dulu 7 x 7 6 x 8 8 x 7 7 x 8 49 > < Pecahan campuran Ubahlah pecahan barikut dalam bentu campuran 5 = = = = Hanya pecahan yang nilainya >1 Mencari bilangan antara dua pecahan Tentukan bilangan antara 2/5 dan 5/11 Jawab : 2 dan 5 2 x 4 5 x 5 = x x Penjumlahan : a = = 6 bukan b samakan penyebut = x

10 Pengurangan a. 5 1 = 5 1 = b. 3 x 3 1 samakan penyebut 9 4 = 5 4 x Perkalian 2 x 1 = 2 x 1 = x x 1 = 5 x 1 = x x -1 = 2 x -1 = x x 1 = 2 x -1 = 2 = x 2 2 Pembagian a. 1 : 1 = 1 x (kebalikan dari 1 = 2) = 1 x 2 1 = 1 x 2 = 2 b. 2 : 1 = 2 x c. 1 : 1 = 1 x 9 = 9 =

11 Pecahan Desimal Berasal dari kata decimus (bahasa latin) yang berarti persepuluh milsanya : = 1 = 0,1 : 1 = 0, Setiap pecahan dapat dirubah ke dalam pesilam Contoh : 2 / 5 ubahlah pecahan berikut dalam decimal 2 = 2 x 2 = 4 = 0, = 4 x 125 = = 0, x 125 = Kuncilnya : Penyebutnya harus dibuat kelipatan 10 Pecahan persen Cirinya : Pecahan yang penyebutnya berbentuk 100 Conoh : 25 / 100 : 25% Pecahan dapat diubat dalam bentuk persen begitu juga sebaliknya Contoh : 4 persen = 4 : 4 = 1 x 100 = 50% 8 8 : persen = 2 x 100 = 200% % pecahan biasa (sama juga dengan menyederhanakan bilangan) 35% : 5 = 7

12 100 : 5 10 Pecahan campuran pada bilangan persen contoh = 22 (1) % = 25 x = 25 /100 D. OPERASI HITUNG PADA BILANGAN BULAT 1. Penjumlahan a = 6 b = 5 c = 1 d = 1 2. Pengurangan a. 8 3 = 5 b. 7 3 = 10 c. 6 7 = -1 d. 7 + (-10) = 7 10 = 3 e = -9 f. -6 (-3) = = Perkalian a. 2 x 3 = 6 - x - = + b. -2 x -3 = 6 - x - = - c. 2 x -3 = -6 - x + = - d. -2 x 3 = Pembagian a. 10 : 5 : 10/2 = 2

13 b. -10 : 5 10/5 = -2 c /5 = -10/5 = -2 I. PERBANDINGAN (RATIO) Do tandai dengan bentuk pembagian atau pecahan Contoh : dari 25 orang crew kapal 10 orang adalah perwira. Berapa perbandingan banyaknya perwira dari seluru crew? Perbandingan ditulis : 10 : 25 atau 10/25 II. PROPORSI Adalah sebuah bentuk persamaan dari pasangan ratio. Dapat juga dikatakan bahwa pasangan ratio sama dengan pasangan yang lain. Proporti disebut dengan double titik dua (::) Contoh : ratio 5 : 10 = ratio 20 : 40 5 : 10 :: 20 : 40 Atau 5 : 10 = 20 : 40 5 = A. INVERSE PROPORSI (BERBALIK HARGA) Ditulis : a/b = c/d Artinya : jia nilai objek a bertambah maka nilai objek c berkurang begitu juga sebaliknya Contoh 1 : 25 orang bekerja dikapal selama 54 hari berapa harikah jika pekerjaan itu diselesaikan oleh 18 orang Jawab : Jika orangnya banyak waktu pekerjaan jadi lebih cepat ( kecil )

14 Banyaknya pekerja lama mengerjarkan (hari) x 25/18 = x/54 X = 125 hari (catatan : VARIABEL yang dinyatakan sebagai pembilang) B. DIRECT PROPORSI 10 : 20 = 25 : 50 = ½ a/b = c/d artinya : semakin besar nilai objek a semakin besar pula nilai c begitu sebaliknya contoh 2 : Seorang pekerja setiap 4 jam memperoleh upah Rp berapa upah yang diterima jika bekerja 7 jam. Jawab : Semakin banyak jam bekerja semakin besar upahnya (senilai) Banyaknya jam bekerja besarnya upah (Rp) x 4 = x 4.x = x 7 4 Catatan : VARIABEL yang dinyatakan diletakan sebagai penyebut Contoh 3 :

15 Jika ada 8 pekerja mampu merakit 2 mesin dalam 18 jam. Berapa lama waktu yang dapat diambil oleh 12 orang bekerja dengan jalur yang sama untuk merakit 5 mesin Jawab : Banyaknya pekerja banyaknya mesin yang dirakit banyaknya hari ? Pertama-tama kita buat proposi banyaknya pekerja dengan banyaknya mesin yang dapat dirakit (direct proporsi) kemudian dengan banyaknya hari (inverseproportion) 8. 5 = x = x x = X =.. hari III. VARIASI Adalah tahapan selanjutnya dari bentuk ratio lalu proporsi. Dapat dijelaskan sebagai berikut, saat suatu pertambahan quantitas tergantung pada pertambahan quantitas yang lain saling ketergantungan itu disebut direct variasi. Sebaliknya jika suatu pertambahan quantitas dapat menyebabkan berkurangnya quantitas yang lain maka variasi itu disebut : inverse viarisi : notasi untuk variasi adalah ( : = ) A = B A = Konstant B Direct Proporsi A 1 = A 2 B 1 B 2 A = 1 B

16 A 1 B 1 = A 2 B 2 Inverse proporsi Contoh : Resistance suatu tali sebanding dengan panjang tali tersebut dan berbanding terbalik dengan luasnya. Sebuah tali panjangnya 100m dengan luas 1 mm memiliki 2 ohm. Berapakah resistan suatu tali dengan bahan yang sama yang panjangnya 250 m dan luasnya 0,5 mm? Jawab : R adalah resistan tali R 1 = 2 ohm L adalah luas tali L 1 = 0,0001 m L 2 = 0,00005 m P adalah panjang tali P 1 = 100 m P 2 = 250 m Ditanya R 2 Penyelesaiannya : Karena : 1) R sebanding dengan panjang tali, maka R : = L R 1 = R 2 L 1 L 2 2) R berbanding terbalik dengan luasnya, maka : R = 1/P R 1 P 1 = R 2 P 2 L 1 L 2 Coba anda cari nila R 2 Bentuk baku Notasi Ilmiah Perhatikan bentuk decimal 0, 1 : 0,0 : 0, = x /a = _ a-n Banyaknya bilangan dibelakang koma 0,0075 = 75 x 10-4

17 : : : = 7,5 x Pertidak samaan bilangan ditandai dengan tanda pertidaksamaan Contoh : Symbol-symbol pertidaksamaan <, >, <, > A & b adalah dua bilangan bulat A = b a sama dengan b A > b dibaca a lebih dari b A < b dibaca a kurang dari b Sedangkan : A > b A < b dibaca a lebih dari satu sama dengan b dibaca a kurang dari atau sama dengan b Contoh 1 : 2 < 2-4 < 0-1 > Carilah nilai x yang memenuhi X + 2 < 3 x anggota bilangan real Jawab : X < = 3 2 X < 1 Hp = (1,2,3.) Contoh 2 : I. Pertidaksamaan linear ( pangkat terendah x 1 )

18 3x > 5 3x 5 > 5 3 x > 5 X > 5/3 Garis bilangan Hp ( X > 5/3 ) Apabila x > 5/3 Maka garis bilangannya HP { x > 5/3 } 1. -2x + 5 > 0-2x > -5 x (-) 2x < 5 X < 5/2 HP { x < 5/2 } II. Pertidaksamaan Irasional 1. V5x + 2 > 4 Syarat Va > 0 Solusi V5 x + 2 > 4 (dikali 2) = 5x + 2 > 4 2 = 5x + 2 > 16 = 5x > 14 = x > 14/5 = x > 2 4/5 Syarat Va > 0 = V5x + 2 > 0 5x + 2 > 0 5x > -2 X > -2/5

19 Garis bilangan Hp { x > 2 2/4 } 2. V7x + 3 < v3 + 7 Va Vb = (7x + 3) < (3x + 7) 7x 3x < 7 3 4x < 4 X < 1 Syarat Va > 0 V7x + 3 > 0 7x + 3 > 0 7x > -3/7 X > -3/7 Vb > 0 V3x + 7 > 0 3x + 7 > 0 3x > -7 3 > -3/7 Garis bilangan Hp {-3/7 < x < 1} Notes dalam penulisan Hp : 1 > x > -3/7 7/3 > x salah x

20 -2 < x 3. Pertidaksamaan nasional dan irasionak 15x + 3 < 0 dan V7x + 5 > 0 15x < -3 7x + 5 > 0 X < -3/15 7x > -5 X > -5/7 III. PERBANDINGAN FUNGSI KUADRAD 1. x 2 + 5x + 14 > 0 ( - ) Menjadi : X 2 5x -14 < 0 (x + 2) (x 7) < X1 = -2 X2 = 7 HP {-2 < x < 7} 2. X 2 3x < 4 dan x2 2x > 8 X 2 3x 4 <0 x 2 2x 8 > 0 (x + 2) (x 4) (x + 2) (x 4) X1 = 1 x3 = -2 X2 = 4 x4 = 4 Hp {x < -2 atau -1 < x atau x > 4} 3. (x 2) (x2 + 3x 18) > X2 25 (x 2) (x 3) (x + 6) > 0

21 (x + 5) (x 5) X1 = 2 x4 = -5 X2 = 3 x5 = 5 X3 = 06 HP {-6 < x < -5 atau x > 5} 4. X 2 < 81 X 2 81 < 0 (x +9) (x-9) X1 = -9 HP (-9 < x < 9) X2 = 9 X = -10 x = 10 ( ) = -1 = 19 = = -19 = 1-19 * * 1 =19 = 19 IV. NILAI MUTLAK X < a -a < x < a X > a x < -a atau x > a (x + 1) > 3 X + 1 < -3 x + 1 > 3 X < -3 x > 2 X < - 4 Absolut : membuat hal-hal menjadi + Contoh :

22 1. x < 5-2 < x 3 < 2 2. x 3 < 3-2 < x 3 < 2 = < x < = -1 < x < 5 3. x > 5/2 x < - 5/2 atau x > 5/2 Nilai absolut (x + 1) > 3 X + 1 < -3 / x + 1 > x 5 < 1 (dikuadratkan karena ada koefisiennnya 3) = (2x 5) 2 < 1 2 = (1x 5) < 0 = ( (2x -5) - 1) (2x -5) + 1)< 0 Font note : (2x -5) 2 +(2x -5) (2x) -5) -1 2 = (2x 6) (2x -4) < 0 X1 < -3 x = <-2 X1 = 3 x2 = 2 Hp {2 < x < 3} 5. (3x -2) > 4 (3x 2) 2 > 4 2 ((3x 2) 4) ((3x 2) + 4 ) > 0 (3x -6) (3x + 2) > 0 X1 = 2 x2 = -2/3 Hp {x < -2/3 atau x > 2} (x 2 4) (x 2 2 x -2) < 0 (x + 2) (x 2) (x + 1) (x 3) < 0 X1 = -2 x3 = -1 X2 = 2 x4 = 3

23 Hp {(-2 < x < -1) atau (2 < x < 3)} X = -3 x X = 5 =12 0 X = -1 1/2-1 ½ ½ ½ -3-1 ½ + 2 = -3 ½ = - ½ = -4 ½ 0 = ½ Aritmatika Dalam bentuk social Contoh : Pada suatu ruang muatan yang terdiri dari mobil-mobil yang akan dikirim ke daerah A jika mobil itu dibeli dengan harga Rp dan pemilik menghendaki untung Rp berapa harga jualnya? Jawab : Harga beli Rp Untung Rp Harga jual Rp.? U = J B = J = Harga spare part tipe A Rp dan dijual oleh si empunya Rp berapakah % keutungannya?

24 Jawab : Harga beli Rp Harga jual Rp Laba (untung) Rp Rp Rp Persen keuntungan = / x 100% = 10% Untuk jika Rugi jika Limpas jika Untung jika Rugi kita J > B J > B J = B J B B J Persen keuntungan = U/B x 100% Persen kerugian = R/B x 100% Persen keuntungan dari harga jual = U/J x 100%

25 Latihan BAB I Hitunglah 1. X 4. x 2. x 3 = 2. 2a. -5a 3. 3a 4 = xy. 2x 3 y 5 = 4. 3x5 y. 15 x 2 y = -9x 3 y 5. a. 3V2 + V12 V72 + V50 b. 1 / V23. 1/V2+3 c. V2 + V3 / V2 V3 d. (22 V5) (-15) 3 7. (18 8 ) (4 3) (8 4) 10. Pada musim dingin disebuah kota A suhu siang hari (pkl ) = 18 0 C 15 suhu pada malam hari (23.00) adalah -3 0 C, berapa derajat penurunan suhu : x (-5) Sederhanakanlah 13. 4/6 = /18 = 15. 7/35 = /56 = Gunakan tanda >, < atau = 17. 6/5 6/ /15 4/ /16,,, 1/5

26