BAB II PENCARIAN AKAR PERSAMAAN NON LINIER

Transkripsi

1 BAB II PENCARIAN AKAR PERSAMAAN NON LINIER PENDAHULUAN Dalam bab ii, kita aka membahas tetag beberapa metode umerik yag dapat diguaka utuk meemuka akar-akar persamaa o-liier. Masalah yag aka kita bahas tersebut secara matematis dapat diteragka sebagai pecaria hargaharga x sedemikia higga memeuhi persamaa o-lier ( x ) = 0. Maakala kita megataka bahwa ( x ) adalah ugsi o-liier dalam x, ii berarti bahwa ( x ) tidak diyataka dalam betuk ax + b, dimaa a da b merupaka kostata da maakala kita megataka bahwa ( x ) adalah ugsi aljabar, ii berarti bahwa ugsi tersebut tidak melibatka betuk dieresial d y dx. Masalah meemuka akar dari suatu persamaa o liier ii merupaka masalah yag mucul dalam berbagai disipli ilmu. Cotoh sederhaa dari 2 persamaa oliier adalah persamaa kuadratik yag berbetuk ( x) = ax + bx + c Persamaa o liier yag lai misalya, a x x x x = 0 ( x) b. tah x ta x = 0 c. x si = 0 Dalam keyataaya, akar-akar persamaa o liier tersebut tidak mudah utuk ditemuka secara aalitik, kecuali pada kasus-kasus sederhaa. Oleh sebab itu, alasa utama megapa peyelesaia masalah pecaria akar persamaa oliier memerluka pedekata umerik disebabka karea peyelesaia megguaka cara Pecaria Akar Persamaa Noliier 11

2 aalitik biasaya aka meemui kesulita, meskipu persamaa tersebut kelihataya sederhaa. Hal iilah yag mejadi sebab megapa metode umerik mejadi sagat diperluka dalam memecahka persoala-persoala dalam bidag sais da tekologi bahka ekoomi sekalipu. Di dalam bab ii kita aka mempelajari berbagai tekik pedekata umerik utuk masalah medapatka akar persamaa oliier. Cara termudah sudah kita perlihatka secara sekilas pada bab 1 yaitu dega cara grais. Tekik tersebut sebearya tidak termasuk ke dalam metode umerik, megigat tekik ii tidak melewati seragkaia kaidah-kaidah aalisis umerik. Meskipu demikia kita aka membahasya karea pada saatya ati aka sagat bergua ketika kita memerluka terkaa awal dari sebuah akar persamaa yag dicari. Disampig itu, beberapa metode umerik aka dibahas secara detail atara lai metode bagi dua (bisectio), Newto-Raphso, posisi palsu (regula alsi/iterpolasi liier), Secat da metode iterasi lagsug. Cotoh soal juga aka diberika utuk memberika gambara jelas terhadap metode yag dipelajari. 2.1 METODEM GRAFIK Pecaria akar persamaa oliier dega megguaka metode graik merupaka cara palig sederhaa dibadigka dega metode umerik yag ada. Utuk medapatka akar-akar persamaa ii cukup dilakuka pegeplota ugsi yag aka dicari akar persamaaya dalam raah tertetu. Sebagai cotoh, misalya diigika akar-akar persamaa dari ugsi x =x si x exp x. Kita dapat megeplot secara sederhaa ugsi tersebut dega megguaka salah satu paket sotware matematika seperti terlihat pada gambar 2.1. Dalam buku ii pegeplota graik dilakuka dega megguaka Matlab. Dega mearik garis perpotoga atara graik ( x ) dega sumbu-x, maka kita dapat memperkiraka akar-akar persamaa yag dimilikiya. Satu akar persamaa terletak kira-kira di x = 0,59 da yag lai berkisar di x = 0,81. Hasil Pecaria Akar Persamaa Noliier 12

3 yag diperoleh tetuya relati kasar jika dibadigka dega megguaka metode umerik yag aka dipelajari selajutya. Gambar 2.1. Pecaria akar persamaa dega metode graik. 2.2 METODEM BAGI DUA UA (BISECTION ISECTION) Metode bagi dua merupaka metode aalisis umerik palig sederhaa diatara metode-metode aalisis laiya. Metode ii termasuk metode yag robust atau tagguh. Artiya, meskipu metode ii ideya sagat sederhaa amu selalu dapat meemuka akar persamaa yag dicari. Salah satu kekuraga yag dimiliki oleh metode ii adalah bahwa kita harus meetuka dua terkaa awal, yaitu x a da x b yag megurug sebuah akar persamaa yag idcari, sehigga apabila a = da ( x ) x a b =, maka aka dipeuhi 0. Cotoh dari masalah ii b digambarka pada gambar 2.2. Apabila dipeuhi a b = 0 maka salah satu dari x a da x b yag berada pada x 1 atau keduaya merupaka akar persamaa yag dicari. Algoritma dasar dari metode bagi dua dapat diyataka sebagai berikut: 1) Tetuka x = ( x + x ) 2 c a b a b Pecaria Akar Persamaa Noliier 13

4 2) Tetuka c = x c, a = x a da b = x b. 3) Apabila x c =0, maka x = xc merupaka peyelesaia eksakya. 4) Apabila < 0, maka akar persamaa berada di dalam iterval a [ x a, x c ]. c 5) Apabila > 0 atau < 0, maka akar persamaa berada di a c c b dalam iterval [ x c, x b ] 6) Ulagi prosedur omor 2) higga 5) sampai iterval yag megurug akar persamaa sudah sagat sempit. Gambar 2.2. Pecaria akar persamaa dega metode bagi dua. Pecaria Akar Persamaa Noliier 14

5 MULAI Meetuka (x) Masuka terkaa awal xa, xb Meetuka a=(xa) da b=(xb) Apakah a*b < 0? TIDAK YA Masuka harga Tol, =0, xc=0 Ulagi terkaa awal xa da xb while abs((xc)) > tol =+1; xc=(xa+xb)/2 TIDAK Apakah (xa)(xc) < 0? YA xa=xc, a=c xb=xc b=c CETAK vs xc STOP Gambar 2.3 Baga alir utuk program metode bagi dua Pecaria Akar Persamaa Noliier 15

6 (, ) c b Dega selalu megupdate iterval ( x, x ) baik dega (, ) a b x x maupu x x tergatug pada iterval maa yag megurug akar persamaa x 0, maka kesalaha (error) dalam peaksira terhadap akar persamaa ( x ) = 0 adalah ratarata dari kedua iterval tersebut dibagi dua. Kita aka megulagi prosedur membagi dua iterval secara terus meerus higga ditemuka akar persamaa yag sudah sagat dekat dega harga eksakya atau syukur-syukur diperoleh harga eksakya. a c KONVERGENSI METODE BAGI DUA Oleh karea iterval (, ) x x selalu megurug akar persamaa x 0, maka a b berarti bahwa kesalaha pegguaa x a atau x b sebagai taksira akar persamaa pada iterasi yag ke harus memeuhi N < xaxb. Nah, karea iterval [ x a, x b ] selalu dibagi dua pada setiap iterasi, maka + 1 = / 2 (2-1) Ugkapa yag lebih umum, jika x merupaka taksira harga terhadap akar x = x 0 pada iterasi ke, maka kesalaha peaksira ii diyataka oleh e = x x (2-2) 0 Dalam bayak kasus, kita dapat meyataka kesalaha pada lagkah ke tersebut sebagai p +1 C e (2-3) e = Tada pagkat p pada persamaa (2-3) meyataka orde kovergesi. Semaki besar harga p, maka laju kovergesi ke arah peyelesaia dari metode tersebut aka semaki cepat atau palig tidak e + 1 < e. Utuk skema dega orde pertama, yaitu dega harga p = 1, maka C < 1 pada proses kovergesiya. Pecaria Akar Persamaa Noliier 16

7 Utuk metode bagi dua kita dapat megestimasi e sebagai. Betuk dari persamaa (2-1) selajutya meyaraka p = 1 da C = 1/ 2, yag meyataka bahwa skema tersebut termasuk orde pertama da koverge secara liier. Kovergesi ke arah ilai akar persamaa aka selalu dijami asalka ( x) kotiu pada seluruh iterval peguruga awal. KRITERIA HENTI METODE BAGI DUA Biasaya, pecaria akar persamaa secara umerik tidak aka perah meemuka harga eksak dega kesalaha sama dega ol. Yag dapat dilakuka hayalah pedekata dega tigkat ketelitia tertetu. Utuk meghidari pecaria akar secara terus-meerus tapa heti, maka diperluka suatu syarat agar proses tersebut dapat dihetika. Nah hal ii perlu dega apa yag dimaaka harga tolerasi. Harga tolerasi utuk meghetika pecaria terus meerus ii dapat diatur sesuai kebutuha. Cotoh 2.1 Ditijau sebuah ugsi oliier x =cos x x seperti digambarka pada gambar 2.4. Dega megguaka metode bagi dua aka ditujukka cara memperoleh akar persamaa cos x x=0. Terkaa awal utuk megurug akar diberika x = 0 da x=1.0. Gambar 2.4 Graik ugsi x =cos x x Pecaria Akar Persamaa Noliier 17

8 Peyelesaia Lagkah pertama, kita lakuka perhituga utuk terkaa awal yag diberika, yaitu Utuk x 1 =0.0 x 1 =cos 0 0.0=1 Utuk x 2 =1.0 x 2 =cos = = Dari dua harga ugsi yag berhubuga dega terkaa awal yag diberika hasilya diuji da meurut hituga diperoleh bahwa hasil kaliya berharga egati. Ii berarti bahwa harga terkaa tersebut telah megurug akar persamaa yag sedag dicari. Selajutya diteruska dega meghitug x 3 dega cara meratarataka kedua terkaa awal da dihitug x 3 x 3 = x x 1 2 =0.5 2 x 3 =0.5 =cos = Oleh karea ( x 3 ) berharga positi, maka akar persamaa berada di atara absis x 3 =0.5 da x 2 =1, karea ( x2 ) ( x 3 ) < 0. Lagkah berikutya adalah membuat setegah iterval berikutya yag megurug akar persamaa yag dicari. Demikia prosedur tersebut diulag-ulag higga iterval yag megurug akar tersebut sagat dekat dega akar eksakya. Utuk mempermudah proses memperoleh akar persamaa, maka dibawah ii diberika program komputer utuk memperoleh akar persamaa tersebut. Hasil ruig program juga diberika utuk memperjelas pemahama kita terhadap metode ii termasuk proses kovergesi ke arah akar persamaa yag dicari.. %PROGRAM Bagi Dua clear; close all; =ilie('cos(x)-x','x'); Pecaria Akar Persamaa Noliier 18

9 xa = iput('berika terkaa awal 1 :'); xb = iput('berika terkaa awal 2 :'); a = (xa); b = (xb); i (a*b > 0) prit('terkaa awal tdk megurug, Ulagi!!') break; ed; a = (xa); b = (xb); tol=1e-6; =0; xc=0; id=ope('bgd.txt','w'); while abs((xc))>tol =+1; xc = (xa + xb)/2.0; % proses membagi dua c = (xc); % pedekata akar persamaa i (a*c < 0.0) xb = xc; b = c; else xa = xc; a = c; ed; prit('%i % \',,xc); prit(id,'%i % \',,xc); ed close(id); load bgd.txt; x=bgd(:,1); y=bgd(:,2); plot(x,y,'liewidth',3.5) xlabel('i '); ylabel ('y'); Tabel 2.1 Hasil Ruig program Bagi Dua iterasi ke I x c Pecaria Akar Persamaa Noliier 19

10 METODEM POSISI PALSU Gambar 2.5 Proses pecaria akar persamaa ALSU (REGULA FALSI/INTERPOLASI LINIER) Metode posisi palsu mirip dega metode bagi dua. Kemiripaya terletak dalam hal diperluka dua harga taksira awal pada awal peguruga akar persamaa. Sedagka, perbedaaya terletak pada proses pecaria pedekata akar persamaa selajutya setelah pedekata akar saat ii ditemuka. Pecaria Akar Persamaa Noliier 20

11 Prisip pecaria akar persamaa dari metode ii didasarka pada pegguaa iterpolasi liier seperti diperlihatka pada gambar 2.6. Iterpolasi liier 1 dilakuka melalui dua titik pertama. Garis iterpolasi memotog sumbu x da dititik perpotoga tersebut kita dapatka pedekata akar yag pertama. Kemudia pedekata tersbut dievaluasi pada ugsi oliier sehigga diperoleh titik pada ugsi oliier tersebut. Kemudia dilakuka lagi iterpolasi melalui ujug sebelumya da diperoleh pedekata akar berikutya. Demikia seterusya, higga diperoleh harga pedekata akar yag sudah sagat dekat dega akar persamaa eksakya. Perhatika pula bahwa titik tolak iterpolasi berasal dari satu titik tertetu. Gambar 2.5 Metode Posisi Palsu Jika sebuah akar persamaa berada pada iterval [ x a, x b ], maka ugsi liier yag melalui titik x a, x a da x b, x b dapat dituliska sebagai y= x a x b x a x b x a x x a (2-4) Selajutya, jika peryataa (2-4) diyataka dalam x, maka dapat ditulis sebagai Pecaria Akar Persamaa Noliier 21

12 x= x a x b x a x b x a y x a (2-5) Saat garis iterpolasi memotog sumbu x di titik x c, x c, dimaa harga x c =0 diyataka oleh x c =x a x b x a x b x a x = x x x x a b b a a x b x a (2-6) Setelah meemuka titik x b, maka sekarag iterval [ x a, x b ] dibagi mejadi [ x a, x c ] da [ x c, x b ]. Apabila dipeuhi x a x c 0, maka akar yag dicari berada di dalam iterval [ x a, x c ], sebalikya jika x a x c 0 atau x c x b 0, maka akar tersebut berada di dalam iterval [ x c, x b ]. Sekarag diupdate harga x b yag baru dega harga x c yag baru saja kita peroleh, sehigga pecaria akar persamaa tetap pada iterval [ x a, x b ]. Prosedur iterpolasi diulag lagi higga akar taksira mecapai koverge ke akar sebearya. Kelemaha dari metode posisi palsu ii adalah bahwa salah satu ujugya tidak megalami perpidaha atau staga seperti terlihat pada gambar 2.2. Dega demikia pedekata ke harga akar sebearya haya berasal dari salah satu ujug saja. Algoritma metode posisi palsu dapat diyataka sebagai berikut 1) Berika terkaa awal x a da x b yag megurug akar persamaa. 2) Utuk meguji bahwa terkaa awal megurug akar persamaa maka ujilah apakah x a x b 0, jika ya maka terkaakita sudah bear. 3) Tetuka salah satu titik yag aka diguaka sebagai titik tolak iterpolasi liier misalya x a, a. 4) Tetuka x c dega cara Pecaria Akar Persamaa Noliier 22

13 x c =x a x b x a x b x a x a atau x c = x a x b x b x a x b x a 5) Update harga x b dega x c da b dega c. 6) Ulagi proses dari poi 4) higga ditemuka harga x c yag sudah sagat dega akar sebearya. Oleh karea pada setiap lagkah akar persamaa selalu terkurug dalam suatu iterval, maka kovergesi dapat dijami seperti halya pada metode bagi dua. Metode tersebut dapat memberika harga eksak jika ugsi liier. MULAI Meetuka (x) Masuka terkaa awal xa, xb Meetuka a=(xa) da b=(xb) TIDAK Apakah a*b < 0? YA Memasukka Tol, =0, xc=0 Ulagi terkaa awal xa da xb while abs((xc)) > tol =+1; xc=xa-(xb-xa)/(b-a)*a xb=xc b=c CETAK vs xc STOP Gambar 2.7 Diagram alir program Regula Falsi Pecaria Akar Persamaa Noliier 23

14 Cotoh 2.2 Ditijau sebuah ugsi oliier x =cos x 0.5 seperti digambarka pada gambar 2.4. Dega megguaka metode regula alsi aka ditujukka cara memperoleh akar persamaa cos x 0.5=0. Terkaa awal utuk megurug akar diberika x = 0 da x= /2 Peyelesaia Gambar 2.7 plot garaik ugsi Pertama, kita lakuka perhituga pada harga ugsi utuk terkaa awal yag diberika, yaitu Utuk x ( x ) = 0, = 0 = cos = Utuk x π ( x π ) ( π ) = 2, = 2 = cos = x =cos x 0.5 Kedua, kita tetuka harga x 3 yag merupaka titik di sumbu-x sebagai hasil perpotoga graik ugsi di sumbu tersebut,yaitu Pecaria Akar Persamaa Noliier 24

15 x x x ( 0)( 0.5) ( π / 2)( 0.5) ( 0.5) ( 0.5) = = = ( ) = cos( ) 0.5 = Ketiga, setelah diketahui harga dari x 3, maka kita dapat tetuka bahwa akar persamaa terkurug dalam iterval [ x, x 2 3 ]. Selajutya dicari x 4 dega cara seperti pada butir kedua x x x ( π / 2)( ) ( )( 0.5) ( ) ( 0.5) = = = 3 2 ( ) = cos( ) 0.5 = Keempat, dari butir ketiga dapat diketahui bahwa sekarag akar persamaa terkurag dalam iterval [ x, x 2 4 ] hitug utuk x 5 ya x x x ( π / 2)( ) ( )( - 0.5) ( ) (- 0.5) = = = 4 2 ( ) = cos( ) 0.5 = Selajutya,marilah kita Keeam, ulagi lagkah-lagkah tersebut higga x sampai diperoleh harga ( x ) medekati ol. Cotoh program komputer utuk pecaria akar persamaa dega metode Regula Falsi ditujukka dibawah ii. Hasil ruig program komputer dapat dilihat pada tabel 2.2. %PROGRAM Regula Falsi clear; close all; =ilie('si(x)-0.5','x'); xa = iput('berika terkaa awal 1 :'); xb = iput('berika terkaa awal 2 :'); a = (xa); b = (xb); i (a*b > 0) Pecaria Akar Persamaa Noliier 25

16 prit('terkaa awal tdk megurug, Ulagi!!') break; ed; a = (xa); b = (xb) tol=1e-6; id=ope('regula.txt','w'); =0; % iisialisasi o iterasi xc=0; % iisialisasi utuk xc while abs((xc))>tol =+1; xc = xa - (xb-xa)/(b-a)*a; c = (xc); xb = xc; b = c; prit('%i % %\',,xc,c); prit(id,'%i % %\',,xc,c); ed close(id); load regula.txt; x=regula(:,1); y=regula(:,2); plot(x,y,'liewidth',3.5) xlabel('i '); ylabel ('y'); Tabel 2.2 Hasil Ruig program Posisi salah iterasi ke I x c Pecaria Akar Persamaa Noliier 26

17 Gambar 2.8 Proses pecaria akar persamaa oliier cos x 0.5=0 2.4 METODEM ETODE NEWTON-RAPHSON Metode Newto-Raphso merupaka metode yag palig serig diguaka diatara metode-metode pecaria akar persamaa yag lai. Metode ii sederhaa, amu cukup hadal dalam medapatka akar persamaa oliier, dega catata terkaa awal yag diberika cukup dekat. Metode Newto-Raphso tidak memerluka dua buah terkaa awal seperti halya metode bagi dua da Regula Falsi, melaika cukup satu saja tetapi diusahaka terkaa tersebut cukup dekat dega akar persamaa yag dicari. Ide dari metode ii dapat dijelaska sebagai berikut. Jika kita memberika satu terkaa awal x= x terhadap akar persamaa x 0, maka kita memiliki titik x, x pada ugsi. Dega mearik garis siggug pada titik tersebut da Pecaria Akar Persamaa Noliier 27

18 diperpajag higga memotog sumbu x, maka kita aka memperloleh pedekata akar lebih dekat dega terkaa sebelumya. Selegkapya dapat dijelaska dega pedekata geometris seperti terlihat pada gambar 2.5. Disampig megguaka pedekata geometris, metode ii juga dapat dituruka dari ekspasi deret Taylor disekitar titik x= x, yaitu x 1 = x h ' x 1 2 h2 ' ' x O h 3 (2-7) dega h= x 1 x Gambar 2.9 Gambara grais metode Newto-Raphso Dega megabaika suku kuadratik da suku-suku yag lebih tiggi laiya serta dega megambil x 1 =0 megigat pada titik x= x 1 graik memotog sumbu x, maka aka diperoleh harga pedekata akar persamaa x 1 = x x ' x Dari ugkapa (2-8), misalka terkaa awal adalah x= x 1, maka (2-8) Pecaria Akar Persamaa Noliier 28

19 Pedekata akar kedua adalah x 2 = x 1 x 1 ' x 1 Harga pedekata x yag ketiga adalah x 3 = x 2 x 2 ' x 2 (2-9) (2-10) Secara geometris, x + 1 dapat ditasirka sebagai harga pedekata akar persamaa pada sumbu x saat graik ugsi x memotog sumbu x. Metode Newto-Raphso terbukti memiliki laju kovergesi lebih cepat dibadigka dega metode bagi dua maupu metode Regula Falsi. Aka tetapi, syarat yag harus dipeuhi adalah bahwa taksira awal yag diberika harus sedekat mugki dega harga eksakya. Hal ii utuk megatisiasi seadaiya ugsi oliierya tidak seperti yag kita harapka. Seperti cotoh pada gambar 2.9 ditujukka bahwa akibat pegambila terkaa awal yag jauh dari harga eksak meyebabka pecaria tidak perah meemuka harga eksakya. Gambar 2.9 Metode Newto-Raphso tidak perah megalami kovergesi Algoritma metode Newto-Raphso 1. Berika terkaa awal utuk akar persamaa x a 2. Evaluasi x da ' x pada x= x a Pecaria Akar Persamaa Noliier 29

20 3. Hitug pedekata akar berikutya dega 4. Setelah medapatka pedekata akar persamaa yag baru yaitu x a ', maka jadika x a ' tersebut sebagai x a. 5. Ulagi lagkah ke 2 higga 4 sampai diperoleh x a KONVERGENSI METODE NEWTON RAPHSON Selajutya kita aka melihat proses kovergesi dari metode Newto- Raphso. Utuk tujua ii, kita perlu megigat kembali ekspasi deret Taylor utuk x di sekitar x = x0 dimaa x 0 merupaka harga eksak dari akar persamaa yag dicari. x = x 0 x x 0 ' x x x 0 2 ' ' x 0 O x x 0 3 (2-11) Kemudia ugkapa (2-11) kita substitusika ke dalam ugkapa iterasi utuk megetahui seberapa tigkat kesalaha metode ii pada iterasi yag ke + 1. Ugkapa (2-12) dibawah ii meggambarka tigkat kesalaha metode Newto- Raphso. e = x x = x x = e 0 ( x0 ) ( x ) ( x ) '( x ) 1 2 e '( x0 ) + e "( x0 ) ' x + e " x ( x0 ) " = e e '( x0 ) + e "( x0 ) e 2 '( x0 ) ' x0 2 " x0 1 2 " x0 3 = e e + e e + O ( e ) ' x 2 ' x 1 " = e + O e 2 ' dega megigat kembali bahwa x 0 =0. (2-12) Pecaria Akar Persamaa Noliier 30

21 Jika kita perhatika persamaa (2-12), maka kita dapat megetahui bahwa kesalaha yag dialami oleh metode Newto-Raphso adalah sebadig dega kuadrat dari kesalaha sebelumya. Apabila kesalaha perhituga sebelumya adalah e, maka pada iterasi selajutya kesalahaya mejadi 2 e + 1 = e. Oleh sebab itu, metode Newto-Raphso dikataka memiliki laju kovergesi orde dua. Dari persamaa (2-12) tersebut, kita juga memperoleh iormasi lai, yaitu dega melihat kehadira turua pertama yaitu ' pada bagia peyebut. Hal ii meujukka bahwa metode ii tidak aka megalami kovergesi jika turua pertama dari tersebut musah (berharga ol) di sekitar akar persamaa yag dicari. Cotoh 2.3 Peyelesaia Permasalaha sama dega cotoh 2.2, tetapi megguaka metode Newto- Raphso. Terkaa awal diberika x=2.5. Kita tidak dapat memberika terkaa awal x = 0 karea turua disii sama dega ol. Iterasi ke-1 x 0 =cos x 0 0.5= ' x 0 = si x 0 = x 1 = x 0 x 0 ' x 0 = Iterasi ke-2 x 1 =cos x 1 0.5= ' x 1 = si x 1 = x 2 =x 1 x 1 ' x 1 = Iterasi ke-3 x 2 =cos x 2 0.5= ' x 2 = si x 2 = x 3 =x 2 x 2 ' x 2 = Pecaria Akar Persamaa Noliier 31

22 Iterasi ke-4 x 3 =cos x 3 0.5= ' x 3 = si x 3 = x 4 =x 3 x 3 ' x 3 = Iterasi ke-5 x 4 =cos x 4 0.5= ' x 4 = si x 4 = x 5 =x 4 x 4 ' x 4 = Utuk harga x 6, x 7,... da seterusya dapat diperoleh dega memberika batas tolerasi tertetu sebagai syarat heti pecaria akar. Program Newto- Raphso dibawah ii meggambarka proses pecaria akar persamaa da hasiya terlihat pada tabel tabel 2.3. Pecaria Akar Persamaa Noliier 32

23 MULAI Meetuka (x) da '(x) Masuka terkaa awal Xa tolerasi, =0; Meetuka (xa) da '(xa) while abs((xa)) > tol =+1; xa=xa-(xa)/'(xa); CETAK vs xa STOP Gambar 2.10 Diagram alir progra Newto Raphso %PROGRAM Newto Raphso clear; close all; =ilie('cos(x)-0.5','x'); d=ilie('-si(x)','x'); % Mulai proses Newto Raphso xa = 2.5; % terkaa awal; tol=1e-8; % syarat heti pecaria akar pers. =1; % iisialisasi o iterasi id=ope('ewto.txt','w'); while (abs((xa))> tol) =+1; xa=xa-(xa)/d(xa); % proses mecari akar pers. prit('%i % \',,xa); % mecetak hasil prit(id,'%i % \',,xa); Pecaria Akar Persamaa Noliier 33

24 ed close(id); load ewto.txt; x=ewto(:,1); y=ewto(:,2); plot(x,y,'liewidth',3.5) xlabel('i '); ylabel ('y'); Tabel 2.3 Hasil Ruig program Bagi Dua Iterasi xa METODEM SECANT Gambar 2.11 Proses pecaria akar persamaa oliier cos x 0.5=0 Pada dasarya metode ii sama dega metode Newto-Raphso, perbedaaya haya terletak pada pedekata utuk turua pertama dari saja. Pedekata ' pada metode Secat didekati dega ugkapa beda higga yag didasarka pada taksira akar sebelumya (beda mudur), yaitu Pecaria Akar Persamaa Noliier 34

25 ( x ) ( x ) ( x ) 1 ' (2-13) x x 1 Selajutya, persamaa beda higga (2-13) tersebut disubstitusi ke skema Newto-Raphso (2-11) sehigga diperoleh x + 1 ( x x 1 ) ( x ) ( x ) 1 ( x ) = x (2-14) Jika kita perhatika, ugkapa (2-14) ii idetik dega metode Regula Falsi seperti yag telah dibahas di pasal yag lalu. Perbedaaya adalah metode Regula Falsi selalu meggatika salah satu dari dua taksira akar sehigga akar selalu dalam keadaa terkurug da titik-titik lama selalu diupdate mejadi titik yag baru. Sedagka metode Secat tidak memerluka dua taksira awal yag harus megurug akar persamaa. Gambara secara grais metode Secat yag sedag mecari akar persamaa terlihat pada gambar Sedagka graik 2.14 meyataka kegagala metode ii meemuka akar yag dicari. Dalam beberapa kasus swappig dua taksira awal x 1 da x 2 dapat megubah perilaku metode tersebut dari koverge mejadi diverge. Algoritma metode Secat 1. Berika dua terkaa awal x a da x b 2. Hitug x c dega cara x c =x b x b x a x b x a x b 3. Set x a =x b, a = b da x b = x c, b = c 4. Ulagi poi 2 da 3 sampai x c tidak berubah secara sigiika. Pecaria Akar Persamaa Noliier 35

26 MULAI Meetuka (x) Masuka terkaa awal xa, xb, Tol, =0, xc=0 TIDAK Apakah xa ~= xb? YA Meetuka a=(xa) da b=(xb) Ulagi terkaa awal xa da xb while abs((xc)) > tol =+1; xc=xb-(xb-xa)/(b-a)*b xa=xb, xb=xc a=b, b=c CETAK vs xc STOP Gambar 2.12 Diagram alir program Secat Pecaria Akar Persamaa Noliier 36

27 Gambar 2.13 Pecaria akar persamaa megguaka metode Secat. Gambar Metode Secat megalami divergesi KONVERGENSI METODE SECANT Tigkat kovergesi metode Secat dapat diperoleh dega cara yag sama seperti pada pembahasa metode sebelumya. Dega megguaka ekspasi Taylor, maka ugsi ( x) dapat dideretka di sekitar x 0 utuk x da x+ 1 yaitu Pecaria Akar Persamaa Noliier 37

28 1 2 3 ( ) = ( 0 ) + '( 0 ) + '' ( 0 ) + ( ) ( 1 ) = ( 0 ) + 1 '( 0 ) + 1 '' ( 0 ) + ( 1 ) x x e x e x O e x x e x e x O e 2 (2-15) dimaa x 0 merupaka akar persamaa eksak. Jika ugkapa (2-15) disubstitusika ke ugkapa iterasi, maka kesalaha pada iterasi yag ke + 1 diperoleh e = x x ( x ) = x x x x 0 1 x x e '( x0 ) + e "( x0 ) +... = e 2 e e e '( x0 ) + e "( x0 ) '( 0 ) "( 0 )... 2 e x + e x e '( x0 ) + e "( x0 ) +... = e 2 ( e e 1 ) 1 ( e e 1 ) '( x0 ) 1 + ( e + e 1 ) "( x0 ) " x 0 1 " x 0 = e e + e ( e ) + e '( x0 ) 2 '( x0 ) (2-15) 1 '' ( x0 ) 1 2 '' ( x0 ) 3 = e e + e ( e + e 1 ) e + O ( e ) 2 ' x 2 ' x 1 ( x ) ( x ) 1 '' = e e + O e 2 ' (2-16) Perhatika bahwa ugkapa utuk e + 1 megadug usur e da e 1. Padahal, biasaya kita haya meyataka e + 1 dalam betuk e saja. Oleh sebab itu, dega meuliska Pecaria Akar Persamaa Noliier 38

29 β '' (2-17) ( x ) 0 α e + 1 = e 2 '( x0 ) kemudia mesubstitusikaya ke dalam ugkapa perambata kesalaha (2-16), aka diperoleh e ( x0 ) ( x ) '' = e e ' 0 ( x0 ) ( x ) '' x '' x = e 2 ' x 2 ' x '' = 2 ' 0 β / α 0 0 1/ α β / α e α + 1 α e (2-18) Apabila peryataa (2-18) dibadigka dega peryataa (2-17), maka diperoleh = 1 = = 1 = (2-19) Jadi metode tersebut berorde buka bilaga bulat yaitu 1,61803 (golde ratio). Cotoh 2.4 Peyelesaia Permasalaha sama dega cotoh 2.2, tetapi megguaka metode Secat. Terkaa awal diberika pada titik x = 0 da x = π / 2. Iterasi = 1 Iterasi =2 x 0 =0, x 1 = x 0 =cos x 0 0.5=0.50 x 1 =cos x 1 0.5= 0.50 x 2 =x 1 x x 1 0 x 1 x 0 x = Pecaria Akar Persamaa Noliier 39

30 Iterasi =3 x 1 =1.5708, x 2 = x 1 =cos x 1 0.5= 0.50 x 2 =cos x 2 0.5= x 3 =x 2 x x 2 1 x 2 x 1 x = Iterasi =4 x 2 =0.7854, x 3 = x 2 =cos x 2 0.5= x 3 =cos x 3 0.5= x 4 =x 3 x x 3 2 x 3 x 2 x = x 3 =1.0154,x 4 = x 3 =cos x = x 4 =cos x 4 0.5= x 5 =x 4 x 4 x 3 x 4 x 3 x 4 = Utuk harga x 6, x 7,... da seterusya dapat dibuat melalui program komputer seperti ditujukka oleh program Secat da hasil ruig programya dapat dilihat pada tabel 2.4. %PROGRAM Secat clear; close all; =ilie('cos(x)-0.5','x'); xa = iput('berika terkaa awal 1 :'); xb = iput('berika terkaa awal 2 :'); a = (xa); b = (xb); i (a==b) prit('dua terkaa awal sama, Ulagi!!') break; ed; tol=1e-10; Pecaria Akar Persamaa Noliier 40

31 =0;xc=0; id=ope('secat.txt','w'); while abs((xc))>tol =+1; xc = xb - (xa-xb)/(a-b)*b; xa = xb; a = b; xb = xc; b = (xb); c=(xc); prit('%i % \',,xc); prit(id,'%i % \',,xc); ed close(id); load secat.txt; x=secat(:,1); y=secat(:,2); plot(x,y,'liewidth',3.5) xlabel('i '); ylabel ('y'); Tabel 2.4 Hasil Ruig program Secat Iterasi x c Pecaria Akar Persamaa Noliier 41

32 SOAL LATIHAN x = 97,8 19,55x + 16,3x 10,8x dega 6. Tetuka akar riil dari ugsi 2 3 a) metode grais b) megguaka metode bagi dua c) megguaka metode posisi palsu d) megguaka metode Newto Raphso e) megguaka metode Secat. 7. Guaka metode bagi dua utuk meetuka akar terbesar dari 2 x = 0,2x + 3,4x + 4 Guaka terkaa awal x 0 = 4 da x 1 = 4. Badigka kecepata kovergesiya dega metode posisi palsu dega terkaa awal sama. 3. Guka metode bagidua utuk memperoleh peyelesaia higga ketelitia 10 2 utuk persamaa x 4 2 x 2 4 x 2 4 x 4=0 pada setiap iterval berikut ii a) [ 2,1] b) [0,2] c) [2,3] d) [ 1,1] 4. Guaka metode bagidua utk memperoleh peyelesaia higga ketelitia 10 3 utuk persamaa x=ta x dalam iterval [4,4.5] 5. Guaka metode bagi dua utuk medapatka hasil peyelesaia dega ketelitia higga 10 5 utuk masalah berikut ii. a) x 2 x =0 utuk 0 x 1 b) e x x 2 3x 2=0 utuk 0 x 1 c) x cos x 2 x 2 3 x 1=0 utuk 0.2 x 0.3 da 1.2 x 1.3 d) 2 x cos 2 x x 1 2 =0 utuk 3 x 2 da 1 x 0 6. Tetuka akar riil dari ugsi 3 x = 5,3x 4,5x 10 Pecaria Akar Persamaa Noliier 42

33 a) megguaka metode grais b) megguaka metode bagi dua 7. Jika diberika persamaa o-liier x 3 N+10 x+1=0 a) Carilah ugsi iterasi Newto-Raphso x utuk memperoleh akar-akar dari persamaa o-liier tersebut. b) Dega megguaka metode Newto-Raphso, jika utuk memperoleh akar persamaa tersebut pertama kali diberika terkaa x 0 =1, maka dapatka empat hasil iterasi x 1, x 2, x 3 da x 4 utuk medekati akar persamaa o-liier tersebut. c) Berdasarka pada hasil poi b, perkiraka berapa jumlah iterasi yag diperluka utuk memperoleh ketelitia 16 digit. ( petujuk : metode Newto-Raphso memiliki ketelitia orde 2, sehigga setiap iterasi memilki ketelitia sebesar kuadrat dari hasil iterasi sebelumya). 8. Guaka metode Regula Falsi utuk meetuka akar persamaa higga ketelitia 10 2 utuk persamaa x 4 3 x 2 3=0 dalam iterval [1,2]. 9. Misalka x 2 6=0, carilah akar persamaaya dega metode Newto Raphso jika terkaa awal x 0 =1 10. Jika diketahui persamaa oliier x 3 cos x=0, maka carilah akar persamaaya jika terkaa awal diberika pada memberika terkaa awal pada x=0. Jelaska jawab Ada! x= 1. Dapatkah kita 11. Pertayaa sama dega omor 10, tetapi dega metode Secat da Regula Falsi dega terkaa awal x=0 da x= Dega megguaka metode Newto Raphso, carilah pedekata akar persamaa berikut ii higga ketelitia 10 5 a) e x 2 x 2cos x 6=0, utuk 1 x 2 b) l x 1 cos x 1 =0, utuk 1.3 x 2 c) 2 x cos 2 x x 2 2 =0, utuk 2 x 3 da 3 x 4 Pecaria Akar Persamaa Noliier 43

34 d) x 2 2 l x=0, utuk 1 x 2 da e x 4 e) e x 3 x 2 =0, utuk 0 x 1 da 3 x 5 ) si x e x =0, utuk 0 x 1, 3 x 4 da 6 x Dega megguaka metode graik, perkiraka akar akar persamaa o liier 5cos 2x x=0 Buatlah ugsi iterasi Newto-Raphso pedekata akar persamaa tersebut. x utuk memperoleh 14. Berapa jumlah deret suku deret taylor dari ugsi si x jika diguaka utuk medekati si 1 higga mecapai ketelitia 5 digit. 15. a. Dapatka dua akar persamaa dari ugsi o liier x =160 x x+ 2 higga ketelitia 9 digit di belakag koma dega megguaka metode umerik apa saja. b. Hituglah akar-akar persamaa tersebut dega megguaka cara stadard (misalya rumus abc) da kalkulator. c. Badigka hasil yag diperoleh atara poi a da poi b, apakah yag dapat Saudara simpulka dari membadigka hasil ii. 11. Guaka metode bagi dua utuk meghampiri ilai 3 dega tolerasi kebeara higga [Petujuk: guaka pemisala x =x 2 3.] 12. Dega megguaka metode bagi dua, hituglah hampira dari dega kebeara sampai tolerasi Dideiisika sebuah ugsi oliier berbetuk x =si x yag maa berharga ol pada setiap bilaga x iteger. Tujukka bahwa ketika 1 a 0 da 2 b 3 metode bagi dua coverge pada a) 0, jika a b 2 b) 2, jika a b 2 c) 1, jika a b=2 Pecaria Akar Persamaa Noliier 44

35 14. Guaka metode Newto Raphso utuk meyelesaika persamaa x2 x si x 1 cos 2 x=0 2 dega terkaa awal x= 2. Lakuka iterasi higga diperoleh ketelitia higga Jelaska megapa hasilya tidak lazim seperti peyelesaia dega metode Newto Raphso. Selesaika juga jika terkaa awal adalah x=5 da 15. Poliomial orde 4 x=10 x =230 x 4 18 x 3 9 x x 9 memiliki dua harga ol, satu berada pada iterval [ 1,0] da satuya lagi di [0,1]. Carilah dua harga yag meyebabka ugsi tersebut berharga ol higga ketelitia 10 6 a) metode Regula Falsi b) metode Secat c) metode Newto Raphso dega 16. Sebuah beda jatuh dari ketiggia h 0 dipegaruhi oleh gaya gesek udara. Jika massa beda adalah m da ketiggia beda setelah jatuh selama t detik adalah h(t), maka di ketiggia beda setiap saat dideiisika sebagai h t =h 0 mg k t m2 g 1 e kt/ m k 2 dega g =32.17 t / s 2, k adalah koeisie gesek udara dalam lb-s/t. Dimisalka h 0 =300 t, m=25lb da k=0.1 lb-s/t maka carilah waktu yag dibutuhka utuk sampai ditaah jika perhituga waktu dimulai dari 0.01 detik. Pecaria Akar Persamaa Noliier 45