Studi Komparatif Metode Newton dan Metode Tali Busur untuk Menghampiri Akar Persamaan f(x)=0

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Studi Komparatif Metode Newton dan Metode Tali Busur untuk Menghampiri Akar Persamaan f(x)=0"

Transkripsi

1 Lapora Peelitia Studi Komparatif Metode Newto da Metode Tali Busur utuk Meghampiri Akar Persamaa f()= Peeliti: Drs. Sahid, MSc. Jurusa Pedidika Matematika Fakultas Matematika da Ilmu Pebetahua Alam Uiversitas egeri Yogyakarta ============================================ Dilaksaaka dega Daa DIK UNY No. 89/3/, No. Kotrak: 633/J35.3/PL/

2

3 Abstrak Peelitia ii bertujua utuk membadigka metode Newto (atau legkapya metode Newto Raphso) da metode Tali Busur (Secat) utuk meyelesaika persamaa f ( ) =. Metode Newto megguaka sebuah hampira awal da ilai turua padaya utuk medapatka hampira berikutya. Metode Tali Busur megguaka dua buah hampira awal da perhituga ilai fugsi di kedua titik utuk medapatka hampira berikutya. Kedua metode mempuyai hubuga yag cukup dekat, dalam arti metode Tali Busur dapat diaggap sebagai hampira metode Newto, yaki dega memadag tali busur kurva sebagai hampira garis siggug. Sebagai gati meghitug ilai turua fugsi (yag tidak lai adalah gradie garis siggug) pada metode Newto, pada metode Tali Busur diperluka perhituga dua ilai fugsi utuk mearik sebuah tali busur kurva. Hasil aalisis da eksperime memperlihatka bahwa metode Newto koverge secara kuadratik (derajad kekovergeaya ) ke akar sederhaa, sedagka metode Tali Busur memiliki derajad kekovergea.6834 (superliier). Jadi secara umum kekovergea metode Newto lebih cepat daripada metode Tali Busur. Utuk akar gada, metode Newto mempuyai derajad kekovergea liier, da dapat ditigkatka mejadi kuadratik dega megguaka modifikasi rumus iterasiya. Aka tetapi modifikasi rumus iterasi Newto memerluka iformasi derajad akar atau perhituga turua yag lebih tiggi (utuk megetahui derajad akarya). Meskipu metode Newto memerluka perhituga turua fugsi, dega program MATLAB, utuk masuka cukup diguaka rumus fugsiya da MATLAB dapat meghitug turua fugsiya. Hal ii dilakuka dega perhituga simbolik. Pemiliha hampira awal da batas tolerasi sagat meetuka kekovergea kedua metode tersebut. Selai itu, kekovergea iterasi pada kedua metode tersebut juga dipegaruhi oleh perilaku fugsi di sekitar hampira awal da di sekitar akar. Utuk mejami kekovergea kedua metode, khususya karea adaya pegaruh hampira awal, pemakaia kedua metode dapat digabug dega metode lai yag bersifat stabil, misalya metode pegapita akar. Metode Newto atau metode Tali Busur dipakai setelah iterasiya hampir koverge utuk mempercepat da meigkatka tigkat akurasi hampira akar yag diperoleh. ii

4 Daftar Isi Abstrak... ii Kata Pegatar... iv Bab I Pedahulua... A. Latar Belakag Masalah... B. Rumusa Masalah... C. Tujua Peelitia... 3 D. Mafaat Hasil Peelitia... 3 E. Batasa Permasalaha... 3 Bab II Kajia Pusataka... 4 Bab III Metode Peelitia... 8 A. Materi / Baha Peelitia... 8 B. Cara Peelitia... 8 Bab IV Hasil Peelitia... A. Peurua Rumus Iterasi Newto Raphso... B. Aalisis Kekovergea Metode Newto Raphso... C. Aalisis Galat Metode Newto - Raphso... 6 D. Peurua Rumus Iterasi Tali Busur... E. Aalisis Kekovergea Iterasi Tali Busur... F. Implemetasi Metode Newto-Raphso da Tali Busur... 3 G. Hasil-hasil Eksperime... 5 Bab V Kesimpula da Sara... 3 A. Metode Newto Raphso (NR):... 3 B. Metode Tali Busur (TB)... 3 C. Sara-sara Daftar Pustaka Lampira A. Bukti lai (54) : B. Bukti (59) C. Program MATLAB Program Iterasi Newto Raphso Program Iterasi Tali Busur Program Iterasi Newto Termodifikasi utuk Akar Gada... 4 D. Fugsi-fugsi Utuk Eksperime iii

5 Kata Pegatar Puji syukur Alhamdulillah peulis pajatka ke Hadhirat Allah SwT. atas ikmat kesehata da kekuata yag diberika kepada peeliti, sehigga kegiata peelitia da peulisa lapora peelitia ii dapat diselesaika. Peelitia ii merupaka peelitia madiri yag dilaksaaka dega daa DIK UNY No. 89/3/, No. Kotrak: 633/J35.3/PL/, da dilaksaaka selama 6 (eam) bula. Peeliti megucapka bayak terima kasih kepada berbagai pihak yag terlibat dalam peelitia ii, baik lagsug maupu tak lagsug:. Deka FMIPA UNY, yag telah memberika kesempata kepada peeliti dega memberika Daa sesuai kotrak yag telah disepakati kedua belah pihak.. Ketua Jurusa Pedidika Matematika, yag telah memberika layaa da fasilitas yag diperluka peeliti gua melaksaaka semiar proposal da semiar hasil peelitia. 3. Para dose Jurusa Pedidika Matematika, atas partisipasiya dalam semiar proposal da semiar peelitia dega memberika sara da masuka yag terkait dega peelitia ii. Peeliti berharap agar hasil peelitia ii dapat dimafaatka sebagai baha rujuka, baik oleh peeliti lai, dose, maupu mahasiswa utuk kegiata pegajara mata kuliah yag terkait, misalya Metode Numerik, atau utuk peelitia lai dalam bidag serupa. Meskipu demikia, peeliti meyadari bahwa tiada gadig yag tak retak. Sara da masuka dari berbagai pihak, apabila di dalam lapora ii terdapat kekelirua atau kesalaha peulisa, peeliti dega seag hati bersedia meerimaya utuk keperlua publikasi selajutya. Yogyakarta, Maret 3 Peeliti iv

6 Bab I Pedahulua A. Latar Belakag Masalah Salah satu masalah yag serig ditemui di dalam matematika da sais serta tekik adalah mecari akar persamaa; yaki jika diketahui sebuah fugsi f, aka dicari ilai-ilai yag memeuhi f ( ) = (Borse, 997: 5). Permasalaha ii dapat mucul dari masalahmasalah lai dalam matematika, misalya mecari ilai eige suatu matriks, meghitug titik potog sebuah kurva dega sumbu-sumbu koordiat, mecari titik potog dua buah kurva, da lai-lai. Kebayaka fugsi yag harus dicari akarya tidak selalu berbetuk fugsi sederhaa atau suku bayak da tidak ada metode eksak yag dapat diguaka utuk meyelesaikaya (Jacques & Judd, 987: 43). Sebagai cotoh, misalya diigika utuk meyelesaika per- samaa ( + ) e - =. Tidak ada rumus eksak utuk meghitug ilai-ilai yag memeuhi persamaa tersebut. Sebagai alteratif peyelesaia persamaa-persamaa yag tidak memiliki rumus eksak adalah pemakaia metode umerik utuk medapatka hampira akarakar persamaa tersebut. Dega megguaka metode umerik, semua permasalaha umerik yag rumit dapat diselesaika dega haya megguaka operasi-operasi aritmetika sederhaa da logika serta megguaka prosedur yag dapat dikerjaka oleh komputer (Jacques & Judd, 987:-; Scheid, 989: ; Volkov, 99:9). Sesuai dega sifatya, metode umerik tidak bertujua utuk medapatka peyelesaia eksak, amu medapatka hampira yag cukup akurat utuk peyelesaia tersebut secara efisie. Tigkat keakurata hampira tersebut diukur dari galatya, yag merupaka selisih atara ilai hampira yag diperoleh da peyelesaia eksak. Aka tetapi, oleh karea peyelesaia eksak biasaya tidak diketahui, maka tigkat keakurata suatu hampira biasaya diukur dari batas terbesar galatya. Efisiesi suatu metode umerik diukur dari tigkat kekovergeaya da bayakya operasi hitug yag diperluka utuk medapatka suatu hampira yag memeuhi batas galat yag ditetuka. Setiap metode umerik berbetuk rumus iterasi, dalam arti bahwa hampira berikutya diperoleh dega megguaka hampira sebelumya. Proses berheti setelah hampira yag terakhir didapat cukup akurat berdasarka kriteria yag ditetuka. Iterasi dimulai dega megguaka hampira awal yag diberika.

7 Di atara berbagai metode utuk meyelesaika persamaa f ( ) = adalah metode Newto (atau legkapya metode Newto Raphso) da metode Tali Busur (Secat). Metode Newto memiliki ciri-ciri: () memerluka sebuah hampira awal, da () memerluka perhituga turua fugsi f () dalam setiap iterasi. Ciri kedua metode Newto tersebut berkaita dega fakta bahwa hampira berikutya diperoleh dega cara mearik garis siggug kurva y = f() pada titik yag mempuyai absis hampira sebelumya higga memotog sumbu-. Titik potog garis siggug tersebut dega sumbu- merupaka hampira berikutya. Berbeda dega metode Newto, metode Tali Busur memiliki ciri-ciri: () memerluka dua buah hampira awal, da () memerluka perhituga ilai fdi () kedua hampira awal (sebelumya). Hal ii megigat bahwa pada metode Tali Busur, hampira berikutya diperoleh dega mearik tali busur kurva yag melalui titik-titik dega absis kedua hampira terakhir. Titik potog tali busur tersebut dega sumbu- merupaka hampira berikutya. Proses berlajut sampai hampira yag diperoleh memeuhi syarat keakurata yag ditetuka atau batas maksimum iterasi sudah tercapai. Metode Tali Busur dapat diaggap sebagai hampira metode Newto, yaki dega memadag tali busur kurva sebagai hampira garis siggug. (Hal ii memag cukup beralasa, khususya jika kedua hampira terakhir salig berdekata.) Sebagai gati meghitug ilai turua fugsi (yag tidak lai adalah gradie garis siggug) pada metode Newto, pada metode Tali Busur diperluka perhituga dua ilai fugsi utuk mearik sebuah tali busur kurva. Oleh karea adaya kaita erat atara kedua metode tersebut, maka perlu dilakuka sebuah kajia utuk membadigka kedua metode tersebut. Utuk itulah peelitia ii dilakuka. B. Rumusa Masalah Permasalaha yag hedak dikaji dalam peelitia ii meliputi: ) Berapakah derajad kekovergea metode Newto? ) Berapakah derajad kekovegea metode Tali Busur? 3) Berapakah galat hampira yag diperoleh dega metode Newto? 4) Berapakah galat hampira yag diperoleh dega metode Tali Busur? 5) Apakah syarat hampira awal agar iterasi Newto koverge? 6) Apakah syarat hampira awal agar iterasi Tali Busur koverge? 7) Bagaimaakah peampila kedua metode tersebut apabila diguaka utuk meyelesaika beberapa tipe persamaa tertetu?

8 C. Tujua Peelitia Peelitia dilaksaaka dega tujua sebagai berikut: ) utuk megetahui derajad kekovergea metode Newto; ) utuk megetahui derajad kekovergea metode Tali Busur; 3) utuk megetahui galat hampira metode Newto; 4) utuk megetahui galat hampira metode Tali Busur; 5) utuk megetahui syarat hampira awal agar iterasi Newto koverge; 6) utuk megetahui syarat hampira awal agar iterasi Tali Busur koverge; 7) utuk melihat da membadigka peampila metode Newto da metode Tali Busur apabila diguaka utuk meyelesaika beberapa tipe persamaa tertetu; D. Mafaat Hasil Peelitia Hasil peelitia aka memberika pejelasa yag terperici tetag perbadiga metode Newto da metode Tali Busur, yag pada beberapa buku teks Metode Numerik biasaya tidak dijelaska secara terperici. Dega demikia hasil peelitia ii aka dapat meambah wawasa bagi pembaca tetag kedua metode tersebut, sehigga dapat memilih metode yag tepat utuk medapatka suatu akar persamaa f ( ) =. Peelitia ii juga dapat mejadi cotoh utuk peelitia-peelitia lai dalam metode umerik, khususya perbadiga beberapa metode umerik utuk meyelesaika masalah yag sejeis. Pada akhirya aka terbuka luas khasaah peelitia dalam metode umerik. E. Pembatasa Permasalaha Metode Newto da metode Tali Busur yag hedak dikaji dalam peelitia ii dibatasi utuk fugsi-fugsi satu variabel. Tijua kedua metode tersebut meliputi kekovergea pada akar sederhaa da akar gada. Cotoh-cotoh komputasi umerik dega megimplemetasika kedua metode aka diterapka pada beberapa tipe fugsi, yaki fugsi poliomial oliier, fugsi ekspoesial, fugsi trigoometri, da kombiasiya. Semua fugsi yag dibahas dalam peelitia ii adalah fugsi kotiyu, setidakya pada iterval yag sedag mejadi perhatia. 3

9 Bab II Kajia Pusataka Pembahasa metode umerik utuk mecari hampira akar persamaa memerluka beberapa pegertia dasar sebagai berikut. Defiisi (Akar Persamaa, Pembuat Nol Fugsi) (Mathews, 99: 55) Misalka f adalah suatu fugsi kotiyu. Setiap bilaga r pada domai f yag memeuhi fr ( ) = disebut akar persamaa f ( ) =, atau juga disebut pembuat ol fugsi f. Apabila tidak meimbulka keracua, r serig dikata sebagai akar f. Defiisi (Derajad Akar Persamaa) (Atkiso, 993: 94; Mathews, 99: 76) Misalka r adalah akar persamaa f ( ) =. Jika terdapat bilaga asli m da fugsi kotiyu h () dega hr ( ) ¹, sedemikia higga f () dapat diyataka sebagai f( ) = ( - m r) h( ), () maka r disebut akar berderajad m. Dari () terlihat bahwa jika r pembuat ol f () yag berderajad m, maka f r f r f r f r ( m- ) m ( ) = '( ) =... = ( ) =, da ( ) ¹. Jika m =, maka r disebut akar sederhaa. Jika m >, maka r disebut akar gada. Utuk m =, maka r disebut akar dobel, dst. Defiisi 3 (Selisih Terbagi Newto) (Atkis, 993: -; Mathews, 99: 9) Selisih terbagi Newto tigkat pertama da kedua fugsi f terhadap simpul-simpul a,, b c didefiisika berturut-turut sebagai da f[ a, b] = f( b) - f( a) b- a f[ b, c] - f[ a, b] f[ a, b, c] =. c- a Defiisi 4 (Poliomial Iterpolasi Newto) (Atkiso, 993: 4-5; Mathews, 99: 3) Poliomial Newto P() yag melalui titik-titik (, f( )) da (, f( )) adalah P ( ) = f( ) + ( - ) f[, ]. (4) Poliomial Newto P() yag melalui titik-titik (, f( )), (, f( )), da (, f( )) 3 3 adalah 4 () (3)

10 P ( ) = P ( ) + ( - )( - ) f[,, ]. (5) 3 Teorema (Teorema Nilai Rata-rata) (Mathews, 99: 5) Jika f adalah fugsi kotiyu pada iterval [ ab, ] da f '( ) ada utuk semua a < < b, maka terdapat sebuah bilaga c, dega a < c < b, sedemikia higga f( b) - f( a) f '( c) =. b- a Lemma. (Atkiso, 993: -) Misalka f da dua turua pertamaya kotiyu pada iterval yag memuat titik-titik,, da. Dari defiisi () da (3) dapat dituruka sifat-sifat 3 f[, ] = f '( ), (6) dega adalah bilaga atara da, da f "( z) f[,, ] =, (7) 3 mi(,, ) z ma(,, ). dega 3 3 Bukti: Sifat (6) dapat diperoleh dega megguaka Teorema Nilai Rata-rata, yaki oleh karea f da f ' kotiyu pada iterval yag memuat da, maka terdapat bilaga atara da sedemikia higga f f( )- f( ) '( ) = = f[, ], - da kesamaa terakhir diperoleh dari defiisi (). Selajutya, sifat (7) dapat dibuktika sebagai berikut. Defiisika fugsi-fugsi Et () da Gt () sebagai berikut: da E( t) = ( t - )( t - ) f[,, t], (8) ( t - )( t - ) G t E t E ( ) = ( )- ( ). 3 ( - )( - ) 3 3 Fugsi-fugsi Et () da Gt () tersebut memeuhi sifat-sifat sebagai berikut: (9). Karea f, f ' da f " kotiyu, maka G( t), G '( t) da G "( t ) juga kotiyu pada iterval yag sama. E( ) = E( ) = sehigga G( ) = G( ) = G( ) =.. 3 Dega megguaka Teorema Nilai Rata-rata dapat diperoleh ilai atara da da atara da sedemikia higga G'( ) = G'( ) =. Dega meg- 3 5

11 guaka Teorema Nilai Rata-rata lagi pada G'( t ), dapat diperoleh z atara da, atau mi(,, ) z ma(,, ), sedemikia higga G "( z ) =. 3 3 Selajutya, dega mudah dapat dilihat bahwa E "( t) = f "( t), sehigga E( ) E( ) G t E t f t ( - )( - ) ( - )( - ) 3 3 "( ) = "( )- = "( ) Dari (8) da () da dega megigat G "( z ) =, diperoleh () f "( z) ( - )( - ) f[,, ] = E( ) = ( - )( - ), () sehigga diperoleh (7). Defiisi 5 (Derajad Kekovergea) (Atkiso, 993: 87; Mathews, 99: 77) Misalka,,,... suatu barisa yag koverge ke r da misalka e = r -. Apabila terdapat sebuah bilaga m da sebuah kostata C ¹, sedemikia higga e + lim = C, m e maka m disebut derajad kekovergea barisa tersebut da C disebut kostata galat asimptotik. Khususya, utuk m =,, 3, kekovergeaya berturut-turut disebut liier, kuadratik, da kubik. Defiisi 6 (Titik Tetap Fugsi & Iterasi Titik Tetap) (Atkiso, 993: 84; Mathews, 99: 45) Misalka g adalah suatu fugsi. Bilaga pada domai g dikataka merupaka titik tetap g jika memeuhi = g(). Selajutya, iterasi disebut iterasi titik tetap. = g( ),,,,... = () + Defiisi 7 (Iterasi Newto -- Raphso) (Atkiso, 993: 69; Mathews, 99: 7) Misalka fugsi f mempuyai turua pertama f '. Barisa,,,... yag diperoleh dari iterasi f ( ), utuk,,,... = - + f '( ) = (3) disebut barisa iterasi Newto. Fugsi g yag didefiisika sebagai g() f () f '( ) (4) 6

12 disebut fugsi iterasi Newto Raphso. Terdapat hubuga atara akar persamaa f ( ) = da titik tetap fugsi g. Dari (4) terlihat bahwa, jika fr ( ) =, maka r = g() r. Metode Newto dapat dipadag sebagai cotoh khusus metode Titik-Tetap (Cote & de Boor, 98, 79). Defiisi 8 (Iterasi Tali Busur) (Atkiso, 993: 8; Mathews, 99: 8) Barisa,,,... yag dihasilka oleh iterasi disebut barisa iterasi Tali Busur. - = - f + f( )- f( ) - - ( ) Dega membadigka (3) da (5) dapat dipikirka bahwa (5) merupaka hampira (3), yag diperoleh dega meggati f '( ) pada (3) dega - (5) f( )- f( ) -. Me- - tode Tali Busur juga merupaka modifikasi metode Posisi Palsu (regular falsi) (Cote & de Boor, 98: 79). Metode Tali Busur da metode Posisi Palsu megguaka rumus iterasi (5) amu memiliki dua perbedaa: a. Pada metode Posisi Palsu, iterval [, - ] selalu memuat akar yag hedak dicari, yaki f ( ) f ( ) - <, sedagka pada metode Tali Busur tidak disyaratka demikia. b. Pada metode Posisi Palsu, ilai + diguaka utuk meggati ilai - atau, tergatug tada ilai f ( ) +, yaki = jika f( ) f( ) >, atau = jika f( ) f ( ) >, + + sedagka pada metode Tali Busur peggatia ilai dilakuka dega rumus - = da = +. 7

13 Bab III Metode Peelitia A. Materi / Baha Peelitia Peelitia ii merupaka peelitia matematis da komputasi, yag dilakuka dega cara melakuka aalisis matematis megguaka pearika kesimpula secara deduktif. Kesimpula dari hasil pealara deduktif bersifat determiitif, buka probabilistik, sehigga tidak diperluka pegujia hipotesis secara statistika. Hasil-hasil komputasi diguaka utuk megkofirmasika hasil-hasil aalisis matematis. Oleh karea itu, materi peelitia ii berupa defiisi, aksioma, da fakta-fakta matematika lai dalam metode umerik, khususya kosep-kosep yag terkait dega metode Newto da metode Tali Busur. Iformasi-iformasi tersebut biasaya terdapat di dalam bukubuku teks matematika secara umum, atau Metode Numerik khususya, da jural-jural matematika da / atau metode umerik. Selai iformasi tercetak, juga terdapat iformasi olie, yaki Iteret, yag merupaka sumber iformasi melimpah utuk medukug kegiata peelitia. Aalisis matematis (pealara deduktif) dilakuka di atas kertas, sehigga diperluka kertas da pea utuk melakuka peelitia ii. Komputasi dilakuka dega megguaka batua komputer da program komputer. Program komputer utuk megimplemetasika kedua metode yag dibadigka ditulis dega megguaka software MATLAB, yag merupaka paket spesifik matematika yag cocok utuk keperlua komputasi umerik. B. Cara Peelitia Peelitia ii merupaka peelitia matematika yag bersifat deduktif. Kesimpulakesimpula yag diperoleh merupaka hasil proses pealara secara deduktif berdasarka fakta-fakta matematika yag berupa defiisi, aksioma, otasi matematika, da teoremateorema yag sudah dibuktika. Dalam peelitia ii tidak dilakuka aalisis statistiks utuk pegambila kesimpula, sehigga tidak diperluka populasi da pegambila sampel. Secara terperici, lagkah-lagkah peelitia ii meliputi:. Pegumpula defiisi da aksioma yag diperluka, khususya tetag pegertia akar persamaa da metode Newto da metode Tali Busur; 8

14 . Aalisis deduktif utuk medapatka derajad kekovergea metode Newto da metode Tali Busur; 3. Aalisis deduktif utuk medapatka galat metode Newto da metode Tali Busur; 4. Aalisis deduktif utuk medapatka syarat kekovergea metode Newto da metode Tali Busur; 5. Peyusua program MATLAB yag megimplemetasika metode Newto da metode Tali Busur berdasarka hasil aalisis galat da syarat kekovergea kedua metode tersebut; 6. Pegguaa program-program MATLAB tersebut utuk meyelesaika beberapa tipe persamaa, utuk meghampiri akar sederhaa da akar gada, baik yag akar eksakya diketahui mapu tidak da mecatat hasil-hasil eksperime, serta meyajikaya dalam betuk tabel-tabel. 9

15 Bab IV Hasil Peelitia A. Peurua Rumus Iterasi Newto Raphso Gambar. Iterasi Newto - Raphso Iterasi Newto Raphso dimulai dari sebuah hampira awal utuk akar r, kemudia meghitug hampira selajutya dega cara sebagai berikut.. Misalka adalah hampira awal pada lagkah ke-, =,,,.. Hitug gradie garis siggug terhadap kurva y = f() di titik (, f( )), yaki f '( ) da tetuka persamaa garis siggugya, yaki y = f '( )( - ) + f( ). 3. Hampira berikutya adalah absis titik potog garis siggug tersebut dega sumbu-, yaki f ( ). Lagkah-lagkah tersebut diperlihatka pada Gambar. = - + f '( ) (6) Rumus iterasi (6) juga dapat dituruka dari deret Taylor f () di sekitar f( ) = f( ) + ( - ) f '( ) + ( - ) f "( ) +... (7) dega megasumsika da hampira berikutya, cukup dekat ke akar r, da megabaika suku ke-3 da seterusya pada ruas kaa (7), aka diperoleh (6). Dalam hal ii, fugsi f telah dihampiri oleh garis siggug di titik (, f( )). Jadi pada prisipya sama dega pedekata geometris sebelumya.

16 B. Aalisis Kekovergea Metode Newto Raphso Sebelum membahas kekovergea iterasi Newto Raphso, berikut aka ditijau sebuah teorema megeai iterasi titik tetap, yag dapat dimafaatka dalam pembuktia selajutya. Teorema (Pemetaa Kostraksi) (Atkiso, 993: 84-85) Misalka g da Selajutya, misalka maka: g ' kotiyu pada iterval [ ab, ] da memeuhi Î [ a, b] Þ a g( ) b. (8) l = Ma g '( ) <, (9) a b Terdapat sebuah akar tuggal r Î [ a, b] yag memeuhi r = g() r. Utuk setiap hampira awal Î [ a b], iterasi titik tetap () koverge ke r., Utuk setiap ³ berlaku r - l - - l r - + Lim = g '( r), sehigga utuk yag cukup dekat dega r berlaku r - Bukti: r -» g '( r)( r - ). + () Defiisika fugsi f dega f( ) = - g( ). Karea g kotiyu pada [ ab,, ] maka f juga kotiyu pada iterval tersebut. Selajutya, dari (8) berlaku fa ( ) da fb ( ) ³, sehigga meurut Teorema Nilai Atara terdapat r Î [ a, b] yag memeuhi fr ( ) = atau r = g() r. Selajutya, adaika terdapat dua buah ilai r da r yag memeuhi r = g( r ) da r = g( r ), maka meurut Teorema Nilai Rata-rata terdapat c atara a da b yag memeuhi g c Hal ii bertetaga dega hipotesis (9). g( r )- g( r ) r - r '( ) = = =. r - r r - r Dari (8), utuk setiap hampira awal Î [ a b], ilai-ilai yag dihasilka oleh i-, terasi titik tetap () juga terletak pada iterval [ ab., ] Selajutya, dega megguaka Teorema Nilai Rata-rata, diperoleh

17 r - = g( r) - g( ) '( )( ), = g c r - + () utuk suatu ilai c atara r da. Aka tetapi, karea r da pada [ ab,, ] maka demikia pula c, sehigga dari (9) diketahui bahwa, utuk ³ berlaku r r r + - l -... r l - l - () + - Karea < l <, maka ruas kaa () koverge ke, yag berakibat koverge ke r. Dega megguaka ketidaksamaa segitiga da (), diperoleh sehigga r - l - - l maka r - r l r ( - l ) r - -, r l c juga koverge ke r sehigga, dari () diperoleh,,,. Oleh karea koverge ke r da c atara r da r - Lim r - + = g '( r). (3) Dari hipotesis (9) dapat diketahui bahwa g'( r ) <. Kodisi ii sagat erat kaitaya dega kekovegea iterasi Titik Tetap (). Akibat berikut memberika syarat yag lebih mudah daripada syarat pada Teorema utuk mejami kekovergea iterasi (). Akibat (Syarat Kekovergea Iterasi Titik Tetap) Misalka g da g ' kotiyu pada iterval [ cd, ] yag memuat titik tetap r. Jika g'( r ) <, maka terdapat bilaga d > sedemikia higga utuk setiap hampira awal Î I = [ r - d, r + d] Í [ c, d], iterasi () koverge ke r. d Bukti: Karea g'( r ) <, maka - g '( r ) >. Karea g ' kotiyu pada [ cd, ], yag memuat r, maka lim g '( ) = g '( r ). Ii berarti terdapat suatu bilaga d > sedemikia higga jika r r - d, maka karea g'( r ) <. Jadi, - g'( r) g '( r) - g '( ) atau 3 g '( r) - + g '( r) - < g'( ) < g '( ) <, " Î I = [ r - d, r + d] Í [ c, d]. (4) d

18 Selajutya, dega megguaka teorema Nilai Rata-rata, diperoleh utuk suatu atara r da (jadi, Î I ). Karea r - d da r = g() r, maka dipero- d leh yag berarti g () d g( ) - g( r) - r = g '( ) <, (5) g() - r < d, (6) Î I. Dega demikia kedua hipotesis Teorema dipeuhi pada iterval I, sehigga keempat kesimpulaya pu dipeuhi, termasuk bahwa iterasi () koverge ke d r utuk setiap hampira awal Î I. d Hasil (3) meujukka bahwa iterasi Titik Tetap memiliki kekovergea liier. Bagaimaakah jika g'( r ) =? Dalam hal ii iterasi Titik Tetap aka mempuyai tigkat kekovegea yag lebih tiggi, sebagaimaa diyataka dalam Akibat berikut ii. Akibat (Kekovergea Tigkat Tiggi Iterasi Titik Tetap) Misalka iterasi Titik Tetap () koverge ke titik tetap fugsi g, yaki r. Jika fugsi g memeuhi g r g r g r g r m ( m- ) ( m) '( ) = "( ) =... = ( ) =, da ( ) ¹, ³, maka iterasi Titik Tetap tersebut memiliki derajad kekovergea m. Bukti: Perhatika ekspasi g ( ) di sekitar r, yaki m- m ( - r) ( - r) ( m- ) ( - r) ( m) = g( ) g( r) ( r) g '( r) g "( r)... g ( r) g ( c ) ( m - )! m! dega c adalah suatu ilai atara da r. Dari hipotesis megeai fugsi g (), dapat diketahui bahwa m suku pertama pada ruas kaa persamaa (7) berilai r, sehigga diperoleh (7) sehigga ( m) ( - r) + g ( c ) = m. ( - r) m! m ( - r) ( m) = g( ) ( ), = r + g c + (8) m! Jadi, r - g r lim, ( r - ) m! ( m) + () = m yag berarti bahwa iterasi Titik Tetap memiliki derajad kekovergea m. (9) 3

19 Berikut ditijau kekovergea iterasi Newto Raphso (6). Pertama aka ditijau kasus r merupaka akar sederhaa, yaki f'(r) ¹. Dega kata lai, titik (, fr ( )) buka merupaka titik siggug kurva y = f() pada sumbu-. Telah diasumsika bahwa f kotiyu. Misalka f memiliki setidakya dua turua pertama yag kotiyu pada suatu iterval I yag memuat akar r. Dari defiisi fugsi iterasi Newto Raphso (4) diperoleh f '( ) f '( ) - f( ) f "( ) f( ) f "( ) g'( ) = - =, (3) [ f '( )] [ f '( )] f( r) f "( r) sehigga g '( r) =, megigat f( r). [ f '( r)] = = Selajutya, karea f, f ', da f " kotiyu, maka g ' juga kotiyu. Oleh karea g'( r ) =, maka meurut Teorema Nilai Atara, dapat dicari suatu iterval I = [ r - d, r + d] d dega d>, sedemikia higga g'() < utuk semua Î I. Sekarag aka dipadag iterasi Newto (6) sebagai iterasi titik tetap terhadap fugsi g : f ( ) g( ) dega = = - Î I. (3) + d f '( ) Oleh karea g'() < utuk semua Î I, maka berdasarka Akibat, barisa { } yag dihasilka oleh iterasi (3) koverge ke r apabila Î I. Hasil di atas dapat disim- d pulka ke dalam teorema sebagai berikut. d d Teorema 3 (Syarat Kekovergea Iterasi Newto Raphso) Misalka f memiliki setidakya dua turua pertama yag kotiyu pada suatu iterval I yag memuat akar sederhaa r, di maa f(r)=. Jika f'(r) ¹, maka terdapat suatu iterval I = [ r - d, r + d] dega d>, sedemikia higga barisa { } d yag dihasilka oleh iterasi (3) koverge ke r apabila Î I. d Bilaga d dapat dipilih sedemikia higga f( ) f "( ) g '( ) = <, " Î I = [ r - d, r + d]. (3) d [ f '( )] Aka tetapi, ilai r mugki tidak diketahui (sebab jika sudah diketahui, tidak perlu lagi diguaka metode umerik!). Oleh karea itu, dalam praktek utuk mejami kekovergea iterasi (3) dapat dicari hampira awal pada sebuah iterval terkecil I yag memuat r (dapat diperkiraka dega meggambar kurva y = f() ) yag memeuhi Ma g '( ) <. Secara visual hal ii dapat diperlihatka pada Gambar. 4 Î I

20 Gambar : Kekovergea Iterasi Titik Tetap Teorema berikut memberika alteratif lai utuk meetuka hampira awal yag mejami kovergesi iterasi Newto (Cote & de Boor, 98: 4-5). Teorema 4 (Syarat Kekovergea Iterasi Newto Raphso) Jika kedua turua pertama f kotiyu pada iterval berhigga [a, b] da f memeuhi syarat-syarat: (i) f( a) f( b ) < (ii) f '( ) ¹, Î [ a, b] (iii) f "( ) atau f "( ) ³ utuk semua Î [ a, b] (iv) f ( a ) f da ( b < b - a ) < b - a, f '( a) f '( b) maka iterasi Newto aka koverge secara tuggal ke akar r Î [ a, b], di maa f(r)=, utuk setiap hampira awal Î [ a, b]. Syarat (i) mejami adaya akar pada [a, b] (Teorema Nilai Atara). Bersama syarat (ii) dijami adaya akar tuggal pada [a, b] (Teorema Nilai Rata-rata). Syarat (iii) meyataka bahwa pada [a, b] kurva y = f() bersifat cekug ke atas atau ke bawah da juga, syarat (ii) berarti f '( ) mooto positif atau mooto egatif (jadi f () mooto aik atau mooto turu) pada [a, b]. Akibatya, titik potog garis siggug kurva di (a,f(a)) dega sumbu- 5

21 berada di kaa a da titik potog garis siggug kurva di (b,f(b)) dega sumbu- berada di kiri b. Karea syarat (iv), kedua titik potog berada pada iterval [a, b]. Dega demikia, i- terasi Newto aka meghasilka barisa hampira pada [a, b]. f () f( a) <, f '( ) >, f "( ) ³ a r b Gambar 3 Iterasi Newto utuk fugsi cekug dega turua mooto Tapa kehilaga sifat umum, misalka fa ( ) < da f "( ) ³ pada [a, b] (kurva y = f() bersifat cekug meghadap ke atas, seperti pada Gambar 3). Dari iterasi Newto = - f '( ), 6 f ( ) (i) jika r < b, maka keempat syarat di atas dipeuhi pada iterval [ a, ], sehigga r < da iterasiya aka koverge secara meuru ke r ; (ii) jika a < r, maka r < b, sehigga iterasi berikutya persis seperti kasus (i). Utuk kasus-kasus fa ( ) da f"() yag lai dapat dituruka secara serupa. C. Aalisis Galat Metode Newto - Raphso misalka Dega megguaka hipotesis tetag fugsi f da akar sederhaa r pada bagia B, E meyataka galat hampira Newto pada iterasi ke-, yaki E = r -. Oleh karea f'(r) ¹ da f ' kotiyu, maka Demikia pula, misalka f'( ) ¹ utuk ilai-ilai yag dekat dega r. f( ) ¹, sehigga dega megguaka Teorema Taylor diperoleh

22 dega c terletak atara f r f E f E f c ( ) = ( ) + '( ) + "( ) da r. Oleh karea f(r)= da f'( ) ¹, maka diperoleh f( ) é f "( c ) ù é f( ) ù é- f "( c ) ù ê ú ê ú ê ú ë û ë û ë û = + E + E, atau r - - = E, f '( ) ê f '( ) ú ê f '( ) ú ê f '( ) ú da dari rumus iterasi (3) akhirya diperoleh é- f "( c ) ù E = r - = E. + + ê f '( ) ú ë û Apabila iterasi (3) koverge, maka r da c r jika. Dega demikia didapatka lim + (33) E f "( r) = = C. (34) E f '( r) Persamaa (34) meyataka bahwa kekovergea iterasi Newto ke akar sederhaa bersifat kuadratik. Selajutya ditijau kasus akar gada. Jika r adalah akar gada berderajad m >, maka f () dapat diyataka sebagai m f( ) = ( - r) h( ) dega h adalah fugsi kotiyu yag bersifat hr ( ) ¹. Selajutya, Oleh karea itu, dari defiisi (4) diperoleh sehigga m- f '( ) = ( - r) [ mh( ) + ( - r) h '( ) ]. ( - r) h( ) g( ) = -, mh( ) + ( - r) h '( ) m( m - ) h ( ) - m( - r) h( ) - ( - r) h '( ) - ( - r) h( ) h "( ) g'( ) =, [ mh( ) + ( - r) h '( ) ] m - sehigga g'( r) = <, karea m >. Berdasarka Akibat dapat dicari suatu iterval m yag memuat r da hampira awal yag mejami iterasi: = g( ) = - + ( - r) h( ) mh( ) + ( - r) h '( ) koverge ke r. Selajutya, dari (37) dapat dituruka galat iterasi atau - Eh( ) í ( m - ) h( )- Eh '( ) ü E = E + = E ï + ì ï ý, mh( )- Eh '( ) ïî mh( )- Eh '( ) ïþ (35) (36) (37) (38) 7

23 E í + ( m - ) h( ) - Eh '( ) ü = ï ì ï ý. E ïî mh( ) - Eh '( ) ïþ Jika koverge ke r, maka lim E =, sehigga lim E + m - E (39) = (4) m megigat hr ( ) ¹. Persamaa pada (4) sesuai dega hasil (3). Dari (4) diketahui bahwa kekovergea iterasi Newto Raphso ke akar gada bersifat liier. Hasil-hasil di atas dapat diragkum dalam teorema sebagai berikut. Teorema 5 (Laju Kekovergea Iterasi Newto Raphso) Misalka barisa barisa { } yag dihasilka oleh iterasi (6) koverge ke r, di maa f(r)=. Misalka E meyataka galat hampira Newto pada iterasi ke-, yaki E = r -. Jika r akar sederhaa, maka kekovergea tersebut bersifat kuadratik, yaki E+ f "( r) lim =. E f '( r) Jika r akar gada berderajad m >, maka kekovergea tersebut bersifat liier, yaki E lim + m - =. E m Selajutya aka ditijau alteratif lai pemiliha hampira awal yag sesuai utuk mejami kekovergea iterasi Newto Raphso. Utuk kasus akar sederhaa, dari (33) dapat diperoleh hubuga r -» l ( r - ) + utuk ilai-ilai yag dekat dega r, dega asumsi semua dekat dega r, secara iduksi matematis diperoleh l - f "( r) =, megigat f'(r) ¹. Dega f '( r) l ( r - )» lé ( r ) ù ë -, ³. û (4) Agar r atau ( r - ), syaratya adalah l ( r - ) <, atau f '( r) r - <. l = f "( r) (4) Jadi, agar iterasi (6) koverge ke akar sederhaa r, maka hampira awal harus di- pilih yag memeuhi (4). Terlihat, jika ilai mutlak l cukup besar, maka harus dipilih cu- 8

24 kup dekat dega r. Aka tetapi, oleh karea r mugki tidak diketahui, maka jika demikia ilai l juga tidak diketahui. Dalam hal ii, hampira awal dapat dipilih berdasarka Teorema 3. Pemakaia hampira awal sebarag tidak mejami kekovergea iterasi Newto. Estimasi Galat Dalam praktek, iterasi dilakuka sebayak berhigga kali, sehigga harus dihetika setelah galat hampira ke-, yaki itu diperluka hampira ilai E tidak melebihi batas terkecil yag ditetuka. Oleh karea E agar dapat diguaka sebagai kriteria peghetia iterasi. Berikut dibahas bagaimaa utuk medapatka hampira ilai Oleh karea fr ( ) =, maka f( ) = f( )- f( r) = f '( c )( - r), dega c adalah bilaga atara r da. Kesamaa terakhir diperoleh dega megguaka teorema Nilai Rata-rata. Apabila ilai cukup dekat dega r, maka ilai f '( c ) dapat dihampiri oleh f '( ), sehigga diperoleh hubuga E. + f '( c) f '( ) (43) f( ) f( ) E = r - = -» - = -. (44) Hasil terakhir diperoleh dari rumus iterasi Newto (6). Jadi telah diperoleh galat hampira ke-, yaki E, dega megguaka selisih hampira ke-(+) da hampira ke-. Ii berarti, utuk megetahui hampira ilai E, iterasi harus dijalaka satu lagkah lagi, baru aka diperoleh ilai hampira galat tersebut. Hal ii tetu kurag membuat yama, karea seharusya sampai iterasi ke-, kita sudah harus dapat meaksir galatya dega megguaka ilai-ilai yag sudah diperoleh, buka dega megguaka ilai-ilai yag belum dihitug. Dega memadag iterasi Newto Raphso (6) sebagai iterasi Titik Tetap (3), sebagaimaa sudah dikerjaka dalam aalisis sebelumya, kita tahu bahwa fr ( ) = ekivale dega r = g() r. Selajutya, didefiisika l - = ³ Dari (3) da dega megguaka teorema Nilai Rata-rata diperoleh l g( )- g( ) - - = = - - -,. (45) g '( ), 9

25 utuk suatu ilai atara da. Dega asumsi semua - - cukup dekat dega r, dari (43) da hasil terakhir didapatka r - = g '( c )( r - )» g '( )( r - ) = l ( r - ) Setelah dilakuka sedikit maipulasi aljabar diperoleh hampira galat Aitke (Atkiso, 993: 9): ( - ) E r l - = -» ( - ) =, ³ - - l (46) Dari rumus terakhir kita dapat meghitug hampira galat pada iterasi ke- dega megguaka ilai-ilai hampira akar yag diperoleh pada tiga iterasi terakhir. Dega demikia berdasarka besarya hampira galat tersebut dapat diambil keputusa apakah iterasi dilajutka atau dihetika (dalam arti diaggap sudah koverge, dalam batas galat yag ditetuka). D. Peurua Rumus Iterasi Tali Busur Berbeda dega iterasi Newto Raphso, yag haya memerluka sebuah hampira awal, iterasi Tali Busur memerluka dua buah hampira awal. Aka tetapi dalam rumus iterasi Tali Busur tidak diperluka perhituga ilai turua, melaika perhituga ilai sebuah fugsi di dua titik yag berbeda. Berikut adalah lagkah-lagkah peurua iterasi Tali Busur, sebagaimaa diilustrasika pada Gambar 4. Gambar 4. Metode Tali Busur utuk Meghampiri Nilai r.. Pada lagkah ke-, sudah diketahui hampira awal da -, =,, 3, Tetuka persamaa tali busur (garis) yag yag melalui titik (, f( )) da (, f( )) yaki - -,

26 f y = - + f ( )- f( ) - ( ) ( ) - -. Hampira berikutya adalah absis titik potog tali busur tersebut dega sumbu-, yaki - - = ( ) - f + (48) f( )- f( ) Rumus (48) sagat mirip dega rumus (6). Jika f '( ) pada (6) digati dega f( )- f ( ) -, maka diperoleh (48). Jadi (48) dapat dipadag sebagai hampira (6) (47) E. Aalisis Kekovergea Iterasi Tali Busur Dega megguaka pegertia selisih terbagi Newto () da (3) da rumus iterasi (48) serta dega megigat bahwa fr ( ) =, galat hampira + dapat diyataka sebagai æ - ö - = - - ( ) ç ø - r r f + çè f ( ) - f ( ) - í f ( r) f ( ) í f ( ) f ( ) ü ï - ü - - ì ï ý - ï ì ï ý ï r - ï ï - - ï = - ( r - ) î þ î þ f ( ) - f ( ) = - ( r - )( r - ) { f[ r, ]- f[, ]} - - f[, ] f[,, r] - = - ( r - ) ( r - ). - f[, ] Dari (6) da (7) kesamaa terakhir dapat diubah mejadi é- f "( ) ù r - = - ( r - )( ), r - (49) + - ê f '( z) ú ë û dega mi(, ) ma(, ) z - - da mi(,, r ) ma(,, ). r f "( ) Jika dimisalka K =, maka galat (49) dapat dituliska sebagai f "( z) atau galat (49) dapat dituliska sebagai dega memisalka E = r r - - r - = - ( r - )( r - ) K, ³, (5) + - E = K E E, ³, (5)

27 - f "( r) Jika koverge ke r, maka K kovege ke º K, asalka f'(r) ¹ (r f '( r) merupaka akar sederhaa). Sekarag aka dicari ilai m yag memeuhi Dari (5) dapat dituruka kesamaa dega syarat + 5 m =»,6834. lim E = C ¹. E + m E = E E K - E + - m m æ E ö = K ç, m çè E ø - a m am m m = -, da = -, atau - - =, atau a (5) ± 5 m =. Pilih ilai Sekarag perhatika, barisa { Z } yag didefiisika dega E + Z =. Berdasarka syarat di atas barisa tersebut aka koverge ke suatu kostata Z bersamaa dega K E m koverge ke K. Jadi iterasi "titik tetap" Z = K Z = K Z + a - / m aka koverge ke titik tetap Z, sedemikia higga + /m= m, diperoleh peyelesaia Z K K Dega demikia kita telah membuktika teorema sebagai berikut. Teorema 6 (Laju Kekovergea Iterasi Tali Busur) Misalka barisa barisa { } Z - / m = K Z. Dega megigat / m m- = =. (53) yag dihasilka oleh iterasi (48) koverge ke r, di maa f(r)=. Misalka E meyataka galat hampira metode Tali Busur pada iterasi ke-, yaki E. = r - Jika r akar sederhaa, maka derajad kekovergea iterasi tersebut adalah + 5 m =»,6834, yaki +,6834,6934,6834 E - f "( r) lim = K =. (54) E f '( r) Jadi, metode Tali Busur memiliki derajad kekovergea "super-liier", melebihi liier, amu belum sampai tigkat kuadratik. Terdapat pedekata lai dalam pembuktia terorema di atas, yag disajika pada Lampira A.

28 Utuk hampira-hampira da - yag sagat dekat dega da medekati koverge ke r, galat E = r - medekati ilai, sehigga = ( r - ) - ( r - )» E = r Jadi, selisih - + dapat diguaka sebagai estimasi galat hampira ke-, E = r -. Syarat-syarat pada Teorema 4 juga merupaka syarat cukup utuk mejami kovergesi iterasi Tali Busur (Cote & de Boor, 98: 6). Dalam hal ii kedua hampira awal, Î [ a, b]. Dega memperhatika kembali pejelasa setelah Teorema 4, misalka f( a) < da f "( ) ³ pada [a, b] (lihat Gambar 5). Dari iterasi Tali Busur - = - f( ), f( )- f( ) (i) jika r, b, maka r < mi(, ), sehigga iterasiya aka koverge secara mooto turu ke r ; (ii) jika a r da r b, maka < r, da r <, sehigga iterasiya aka koverge secara megitari r di satu sisi sekali da di sisi lai dua 3 4 kali. f () f( a) <, f '( ) >, f "( ) ³ a r b 3 4 Gambar 5 Iterasi Tali Busur pada fugsi cekug dega turua mooto F. Implemetasi Metode Newto-Raphso da Tali Busur Permasalaha utama di dalam megimlemetasika algoritma iterasi adalah peetua kriteria peghetia iterasi. Terdapat beberapa kriteria yag dapat diguaka, yaki:. Megguaka galat mutlak: E = r - < e ;. Megguaka estimasi galat mutlak, yaki selisih dua hampira: - < e ; + 3

29 3. Megguaka estimasi galat relatif: - - < + - e (Mathews, 99: 69); 4. Megguaka estimasi galat Atkiso (46): ( - ) < e ; 5. Megguaka ilai fugsi: f ( ) < d; dega e da d adalah batas-batas tolerasi yag diberika. Pemakaia kriteria memerluka pegetahua ilai akar r, yag belum tetu diketahui karea ilai iilah yag hedak dicari. Pemakaia kriteria belum tetu mejami iterasiya koverge ke akar r, karea boleh jadi + sagat dekat dega amu keduaya belum cukup dekat dega r (Kasus ii terjadi jika kemiriga kurva cukup terjal pada iterval yag sagat sempit). Selai kemugki tersebut, kriteria ii memerluka dilakukaya iterasi sekali lagi, sebelum dihetika. Kriteria 3 da 4 cukup mudah dipakai da cukup mejami kovergesi. Sekalipu permasalaha pokokya adalah mecari ilai yag memeuhi f ( ) =, sehigga kriteria 5 harus dipeuhi, amu pemakaia kriteria ii secara madiri dapat memberika hasil yag berbeda-beda. Hal ii terjadi jika kurva y = f() berdekata dega sumbu- pada iterval yag cukup lebar di sekitar akar. Oleh karea itu dapat dipakai beberapa kriteria sekaligus utuk meghetika iterasi. Cote da de Boor (98: 86) meyaraka pemakaia selisih dua hampira berturuta da kriteria 5 utuk meghetika iterasi. Kedua kriteria ii serig dipakai pada metode Newto da metode Tali Busur. Kriteria 5 diperluka pada metode Tali Busur utuk meghidari terjadiya pembagia dega ol. Kriteria selisih dua hampira terakhir diperluka pada kedua metode, karea selisih ii dapat dipakai sebagai batas koservatif utuk galat hasil iterasi terakhir, apabila sudah cukup dekat ke akar yag hedak dicari [lihat (44)]. Program MATLAB yag megimplemetasika algoritma Newto (rsym.m) da Tali Busur (talibusur) disajika pada Lampira C. Utuk perbadiga juga disusu program yag megimplemetasika metode Newto termodifikasi (mrsym.m) utuk akar gada. Pada program-program MATLAB tersebut diguaka kriteria selisih kedua hampira terakhir, hampira galat relatif iterasi terakhir, da ilai fugsi. Utuk meghidari pembagia dega ol pada perhituga galat relatif tersebut diguaka ilai eps ( =.4-6 ), yag pada MAT- LAB merupaka ilai keakurata relatif titik megambag (floatig poit relative accuaracy). Utuk megetahui perilaku fugsi di sekitar hampira awal, program rsym.m da mrsym.m, selai melakuka iterasi juga meghasilka gambar kurva fugsi da turuaya. 4

30 Pegguaa program-program MATLAB tersebut memerluka masuka berupa fugsi (harus), derajad akar (khusus da wajib utuk program Newto termodifikasi), hampira awal (harus program talibusur, opsioal utuk program rsym da mrsym), batas tolerasi galat opsioal), da maksimum iterasi dilakuka (opsioal), serta parameter utuk meetuka format tampila hasil. Pada program Newto tidak diperluka masuka turua fugsi, karea program aka meghitug sediri turua fugsi yag diberika. Fugsi dapat dituliska dalam betuk ekspresi (rumus) atau variabel yag meyimpa ekspresi tersebut. Apabila masuka opsioal tidak diberika, program aka megguaka ilai-ilai default, yaki hampira awal =, batas tolerasi d - 5 = da maksimum iterasi N = 5. Petujuk selegkapya sudah dituliska di dalam program, yag dapat ditampilka dega meuliska peritah help ama_program. Pemiliha hampira awal da ilai batas tolerasi dapat mempegaruhi kovergesi iterasi. Pada metode Tali Busur, uruta ilai da juga mempegaruhi kekovergea ite- rasiya. Di depa sudah diuraika beberapa syarat cukup utuk meetuka hampira awal agar iterasi Newto maupu iterasi Tali Busur koverge. Aka tetapi, syarat-syarat tersebut hayalah merupaka syarat cukup, tidak merupaka syarat perlu, sehigga pemakaia hampira awal yag tidak memeuhi syarat-syarat pada Teorema 3 maupu Teorema 4 boleh jadi aka meghasilka iterasi yag koverge. Di siilah perluya dilakuka eksperime (perhituga secara umerik) dega megguaka program-program yag telah disusu. Eksperime juga dapat diguaka utuk memverifikasi hasil-hasil aalisis di atas. G. Hasil-hasil Eksperime Eksperime komputasi dega megguaka program-program yag telah disusu dilakuka pada fugsi-fugsi di bawah ii.. 6 f( ) = - - (Atkiso, 993: 63, 8). f( ) = e - 3 (Cote & de Boor, 98: 6) B f( ) = + e cos( ), B =,,5,,5,5. (Atkiso, 993: 77) f( ) ( ) 3 = - (Atkiso, 993: 67, 78) akar tripel f( ) = ( - 3.) ( -.). (Atkiso, 993: 95) f( ) = ( - )( e - - ). akar dobel - 7. f( ) = e - si( ). (Cote & de Boor, 98: 5; Atkiso, 993: 67) 8. f() = e -. (Mathews, 99: 79, 88) NR diverge pada iterval tertetu 5

31 Berikut disajika beberapa tabel hasil eksperime dega metode Newto da Tali Busur pada fugsi-fugsi di atas. Utuk kasus akar gada juga disajika hasil komputasi dega metode Newto termodifikasi. Tabel da meyajika cotoh proses iterasi yag koverge. Tabel 3 meyajika rigkasa iterasi metode-metode tersebut dega hampira awal yag berbeda-beda. Jika tidak dicatumka, semua eksperime megguaka batas tolerasi 5 -. Pada hasil-hasil perhituga tersebut otasi dalam betuk e-m berari - m. Tabel. Iterasi Newto-Raphso utuk ( ) = Iterasi f - - r e e e e e e e e e e-7 Iterasi 6 Tabel. Iterasi Tali Busur utuk - - = f ( ) - - r e e e e e e e e e e e-7 Tabel 3 Perbadiga iterasi NR da TB utuk = Metode Newto Metode Tali Busur Pada Koverge ke Pada iterasi ke Koverge ke iterasi ke gagal gagal Kurva 6 y = - - hampir datar (gradieya medekati ol) di sekitar =.7 da hampir tegak pada iterval > da <-. Persamaa akar yata, yaki = mempuyai dua buah 6

32 r = » -.778, da r = ».35. f( ) f "( ) Jika g'( ) = [ f '( )], f( ) f "( ) g () = [ f '( )], maka g '( ) < utuk < d atau > d dega d d = ».384 = ».4. Dalam kasus ii, jika - r < r - d atau - r < r - d, yaki -.94 < <.384 atau.4 < <.56, maka iterasi Newto maupu Tali Busur aka koverge. Naum hal ii tidak berarti bahwa utuk hampira awal di luar iterval-iterval tersebut iterasiya pasti tidak koverge. Tabel 4 Perbadiga iterasi NR da TB utuk e - 3= Metode Newto Metode Tali Busur Koverge ke Pada iterasi ke Koverge ke gagal 4-3 gagal Pada iterasi ke Persamaa e - 3= mempuyai peyelesaia (akar) r = l(3)».986. Di sii, g'( ) < utuk > l(3/). Jadi, jika - r < r - l(3/) atau.46 < <.79, maka iterasiya aka koverge. Tabel 5 Perbadiga iterasi NR da TB utuk - B + e cos( ) = B Metode Newto Koverge ke Pada iterasi ke Metode Tali Busur Koverge ke Pada iterasi ke Gagal (berputar-putar) Gagal (berputar-putar) Gagal (berputar-putar) Gagal (berputar-putar) 5 Gagal (tali busur datar) Gagal (berputar-putar)

33 Utuk kasus B=, kurvaya berupa garis lurus dega gradie di luar iterval [-.8366,.8366]. Semaki besar ilai B, semaki kecil iterval tersebut. Utuk semua ilai B, kurva melegkug ke atas secara tidak simetris (meceg ke kaa) di dalam iterval yag sesuai dega titik balik semaki medekati ke (,) semaki besar ilai B. Gradie di titik (,) sama dega. Semaki besar ilai B, akarya semaki medekati ol dari kiri. Utuk kasus B= akarya adalah r = » Dari hasil perhituga diperoleh, g'( ) < jika < -.633, -.5 < < ,.94 < <.5, atau >.696. Jadi jika pada iterval-iterval tersebut, iterasiya aka koverge. Tabel 6 Perbadiga iterasi NR da TB utuk 3 ( - ) = Batas tolerasi ( d) Metode Newto Koverge ke Pada iterasi ke Metode Tali Busur Koverge ke Pada iterasi ke e-5 Gagal (sagat lambat) e Gagal (titik belok kurva) Persamaa 3 ( - ) = mempuyai akar r =, yag berderajad 3. Iterasi Newto cukup lambat. Dega megguaka rumus Newto termodifikasi, iterasiya aka koverge ke akar tersebut pada iterasi ke-, berapapu hampira awal yag dipakai (asalka berhigga). Hal ii dikareaka rumus iterasi Newto termodifikasi adalah =. Tabel 7 Perbadiga iterasi NR da TB utuk 3 ( -.) ( -.) = Metode Newto Modifikasi Newto Metode Tali Busur Koverge ke Pada Pada iterasi Koverge ke iterasi ke ke Koverge ke Pada iterasi ke Gagal (berputar-putar) Gagal (berputar-putar) Gagal (berputar-putar)

34 Persamaa 3 (.) (.) - - = mempuyai akar berderajad tiga r=. da akar sederhaa r=.. Dari hasil perhituga diperoleh bahwa g'( ) < jika < atau > Jadi, iterasi Newto da Tali Busur koverge apabila pada iterval-iterval tersebut, mes- kipu iterasi Newto termodifikasi belum tetu koverge (khususya jika hampira awal lebih dekat ke akar sederhaa). Tabel 8 Perbadiga iterasi NR da TB utuk ( - )( e - - ) = Metode Newto Modifikasi Newto Metode Tali Busur Pada Pada Pada Koverge ke iterasi Koverge ke iterasi Koverge ke iterasi ke ke ke Persamaa ( )( e - ) - - = mempuyai sebuah akar r=, yag merupaka akar dobel. Utuk kasus ii berlaku g'( ) < utuk semua riel, sehigga iterasiya aka koverge berapapu hampira awal, asalka berhigga. Sudah tetu semaki jauh hampira awal dari akar tersebut, semaki lambat iterasi aka koverge. - Tabel 9 Perbadiga iterasi NR da TB utuk e - si( ) = Metode Newto Metode Tali Busur Koverge ke Pada iterasi ke Koverge ke * Gagal ** *) gradie kurva di titik tsb. -, iterasiya dilaporka belum koverge **) dilaporka "Stop, tali busur datar pada [ , ]" Pada iterasi ke - Fugsi f( ) = e - si( ) semaki lama semaki periodik, medekati si(), akarya semaki ke kaa semaki medekati kelipata p. 9

35 Tabel Perbadiga iterasi NR da TB utuk e - = Metode Newto Metode Tali Busur Koverge ke Pada iterasi ke Koverge ke Gagal (titik balik kurva) - Gagal (mejauh ke kaa) 5 Gagal (mejauh ke kaa) e e Gagal (mejauh ke kaa) e e e-36 Pada iterasi ke Utuk fugsi ii, g'( ) < jika <.378, sehigga iterasiya aka koverge jika hampira awalya pada iterval tersebut. 3

36 Bab V Kesimpula da Sara A. Metode Newto Raphso (NR): Berikut adalah beberapa kesimpula yag diperoleh dari peyelidika metode Newto Raphso (NR).. Metode NR koverge secara kuadratik. Di dekat akar (sederhaa), cacah digit akurat mejadi dua kali lipat pada setiap lagkah. Sifat kekovergeaya yag sagat cepat ii mejadika metode NR sebagai metode piliha utuk fugsi-fugsi yag turuaya mudah dihitug, da fugsi turuaya kotiyu di dekat akar yag hedak dicari.. Metode NR memerluka perhituga ilai turua fugsi, yag tidak selalu mudah dihitug, misalya jika fugsiya haya diketahui dari data ilai-ilaiya, tidak diyataka dega rumus eksplisit. Meskipu demikia, dalam pemrograma dega MATLAB, perhituga turua fugsi dapat dilakuka secara simbolik oleh MATLAB, sehigga tidak perlu dihitug secara maual. 3. Syarat cukup amu tidak perlu agar metode NR koverge diyataka pada Teorema 3 da Teorema 4. (a) (b) Gambar 6 Situlasi peyebab kegagala iterasi Newto-Raphso 4. Metode NR tidak aka koverge jika: a. Hampira awal berupa titik ekstrim fugsi iterasiya mejauh dari akar (Gambar 6 (a) ). b. Garis siggug kurva di titik awal sejajar dega kurva pada arah perpotogaya dega sumbu-, iterasiya berputar-putar (Gambar 6 (b)). c. Kurvaya turu/mejauhi akar ke kaa/kiri da medekati sumbu- secara asimptotik (cotoh: f() = e -, >). 3

ANALISIS DAN IMPLEMENTASI METODE NEWTON - RAPHSON (ANALYSIS AND IMPLEMENTATION OF NEWTON RAPHSON METHOD)

ANALISIS DAN IMPLEMENTASI METODE NEWTON - RAPHSON (ANALYSIS AND IMPLEMENTATION OF NEWTON RAPHSON METHOD) Prosidig Semiar Nasioal hasil Peelitia MIPA da Pedidika MIPA UNY 3 ANALISIS DAN IMPLEMENTASI METODE NEWTON - RAPHSON (ANALYSIS AND IMPLEMENTATION OF NEWTON RAPHSON METHOD) Sahid Jurusa Pedidika Matematika

Lebih terperinci

METODE NUMERIK TKM4104. Kuliah ke-2 DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT

METODE NUMERIK TKM4104. Kuliah ke-2 DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT METODE NUMERIK TKM4104 Kuliah ke- DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT DERET TAYLOR o Deret Taylor adalah alat yag utama utuk meuruka suatu metode umerik. o Deret Taylor bergua utuk meghampiri ugsi ke dalam

Lebih terperinci

I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT

I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT. Pedahulua Pembahasa tetag deret takhigga sebagai betuk pejumlaha suku-suku takhigga memegag peraa petig dalam fisika. Pada bab ii aka dibahas megeai pegertia deret da

Lebih terperinci

Secara umum, suatu barisan dapat dinyatakan sebagai susunan terurut dari bilangan-bilangan real:

Secara umum, suatu barisan dapat dinyatakan sebagai susunan terurut dari bilangan-bilangan real: BARISAN TAK HINGGA Secara umum, suatu barisa dapat diyataka sebagai susua terurut dari bilaga-bilaga real: u 1, u 2, u 3, Barisa tak higga merupaka suatu fugsi dega domai berupa himpua bilaga bulat positif

Lebih terperinci

Penyelesaian Persamaan Non Linier

Penyelesaian Persamaan Non Linier Peyelesaia Persamaa No Liier Metode Iterasi Sederhaa Metode Newto Raphso Permasalaha Titik Kritis pada Newto Raphso Metode Secat Metode Numerik Iterasi/NewtoRaphso/Secat - Metode Iterasi Sederhaa- Metode

Lebih terperinci

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret Program Perkuliaha Dasar Umum Sekolah Tiggi Tekologi Telkom Barisa da Deret Barisa Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) a Fugsi tersebut

Lebih terperinci

2 BARISAN BILANGAN REAL

2 BARISAN BILANGAN REAL 2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah meegah barisa diperkealka sebagai kumpula bilaga yag disusu meurut "pola" tertetu, misalya barisa aritmatika da barisa geometri. Biasaya barisa da deret merupaka satu

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014 MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2013/2014 12 Februari 2014 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 82 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. matematika secara numerik dan menggunakan alat bantu komputer, yaitu:

BAB II LANDASAN TEORI. matematika secara numerik dan menggunakan alat bantu komputer, yaitu: 4 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Model matematis da tahapa matematis Secara umum tahapa yag harus ditempuh dalam meyelesaika masalah matematika secara umerik da megguaka alat batu komputer, yaitu: 2.1.1 Tahap

Lebih terperinci

METODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/2012 SUGENG2010. Copyright Dale Carnegie & Associates, Inc.

METODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/2012 SUGENG2010. Copyright Dale Carnegie & Associates, Inc. METODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/0 SUGENG00 Copyright 996-98 Dale Caregie & Associates, Ic. Kesalaha ERROR: Selisih atara ilai perkiraa dega ilai eksakilai

Lebih terperinci

Persamaan Non-Linear

Persamaan Non-Linear Persamaa No-Liear Peyelesaia persamaa o-liear adalah meghitug akar suatu persamaa o-liear dega satu variabel,, atau secara umum dituliska : = 0 Cotoh: 2 5. 5 4 9 2 0 2 5 5 4 9 2 2. 2 0 2 5. e 0 Metode

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Integral adalah salah satu konsep penting dalam Matematika yang

BAB I PENDAHULUAN. Integral adalah salah satu konsep penting dalam Matematika yang BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Masalah Itegral adalah salah satu kosep petig dalam Matematika yag dikemukaka pertama kali oleh Isac Newto da Gottfried Wilhelm Leibiz pada akhir abad ke-17. Selajutya

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT)

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT) BARISAN DAN DERET Nurdiitya Athari (NDT) BARISAN Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) = a Fugsi tersebut dikeal sebagai barisa bilaga

Lebih terperinci

STUDI TENTANG BEBERAPA MODIFIKASI METODE ITERASI BEBAS TURUNAN

STUDI TENTANG BEBERAPA MODIFIKASI METODE ITERASI BEBAS TURUNAN STUDI TENTANG BEBERAPA MODIFIKASI METODE ITERASI BEBAS TURUNAN Supriadi Putra, M,Si Laboratorium Komputasi Numerik Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Riau e-mail : spoetra@yahoo.co.id ABSTRAK Makalah ii

Lebih terperinci

6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi

6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi 6. Pecacaha Lajut Relasi Rekuresi Relasi rekuresi utuk dereta {a } adalah persamaa yag meyataka a kedalam satu atau lebih suku sebelumya, yaitu a 0, a,, a -, utuk seluruh bilaga bulat, dega 0, dimaa 0

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Matematika merupaka suatu ilmu yag mempuyai obyek kajia abstrak, uiversal, medasari perkembaga tekologi moder, da mempuyai pera petig dalam berbagai disipli,

Lebih terperinci

Bab 3 Metode Interpolasi

Bab 3 Metode Interpolasi Baha Kuliah 03 Bab 3 Metode Iterpolasi Pedahulua Iterpolasi serig diartika sebagai mecari ilai variabel tergatug tertetu, misalya y, pada ilai variabel bebas, misalya, diatara dua atau lebih ilai yag diketahui

Lebih terperinci

Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah-langkahnya 1. Andaikan X1, X

Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah-langkahnya 1. Andaikan X1, X Pedugaa Selag: Metode Pivotal Lagkah-lagkahya 1. Adaika X1, X,..., X adalah cotoh acak dari populasi dega fugsi kepekata f( x; ), da parameter yag tidak diketahui ilaiya. Adaika T adalah peduga titik bagi..

Lebih terperinci

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4 Program Studi : Tekik Iformatika Miggu ke : 4 INDUKSI MATEMATIKA Hampir semua rumus da hukum yag berlaku tidak tercipta dega begitu saja sehigga diraguka kebearaya. Biasaya, rumus-rumus dapat dibuktika

Lebih terperinci

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2016/2017 3 Februari 2017 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg Batas

Lebih terperinci

Himpunan/Selang Kekonvergenan

Himpunan/Selang Kekonvergenan oki eswa (fmipa-itb) Deret Pagkat Kita aka mempelajari beberapa tehik utuk meyajika suatu fugsi f (x) dalam betuk deret pagkat (power series), yaitu meetuka derat pagkat c (x a) sehigga f (x) = c (x a)

Lebih terperinci

Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1

Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1 Barisa Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 9/0/06 Matematika Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka susua dari bilaga bilaga yag urutaya berdasarka bilaga

Lebih terperinci

Definisi Integral Tentu

Definisi Integral Tentu Defiisi Itegral Tetu Bila kita megedarai kedaraa bermotor (sepeda motor atau mobil) selama 4 jam dega kecepata 50 km / jam, berapa jarak yag ditempuh? Tetu saja jawabya sagat mudah yaitu 50 x 4 = 200 km.

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1

BARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1 BARISAN DAN DERET 05//06 Matematika Tekik BARISAN Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 05//06 Matematika Tekik Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka

Lebih terperinci

Pendekatan Nilai Logaritma dan Inversnya Secara Manual

Pendekatan Nilai Logaritma dan Inversnya Secara Manual Pedekata Nilai Logaritma da Iversya Secara Maual Moh. Affaf Program Studi Pedidika Matematika, STKIP PGRI BANGKALAN affafs.theorem@yahoo.com Abstrak Pada pegaplikasiaya, bayak peggua yag meggatugka masalah

Lebih terperinci

BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL

BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL Defiisi Persamaa diferesial adalah persamaa yag melibatka variabelvariabel tak bebas da derivatif-derivatifya terhadap variabel-variabel bebas. Berikut ii adalah

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB LANDASAN TEORI.1 Distribusi Ekspoesial Fugsi ekspoesial adalah salah satu fugsi yag palig petig dalam matematika. Biasaya, fugsi ii ditulis dega otasi exp(x) atau e x, di maa e adalah basis logaritma

Lebih terperinci

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n LIMIT 4.. FUNGSI LIMIT Defiisi 4.. A R Titik c R adalah titik limit dari A, jika utuk setiap δ > 0 ada palig sedikit satu titik di A, c sedemikia sehigga c < δ. Defiisi diatas dapat disimpulka dega cara

Lebih terperinci

Solusi Numerik PDP. ( Metode Beda Hingga ) December 9, 2013. Solusi Numerik PDP

Solusi Numerik PDP. ( Metode Beda Hingga ) December 9, 2013. Solusi Numerik PDP ( Metode Beda Higga ) December 9, 2013 Sebuah persamaa differesial apabila didiskritisasi dega metode beda higga aka mejadi sebuah persamaa beda. Jika persamaa differesial parsial mempuyai solusi eksak

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. Analisis regresi menjadi salah satu bagian statistika yang paling banyak aplikasinya.

BAB 1 PENDAHULUAN. Analisis regresi menjadi salah satu bagian statistika yang paling banyak aplikasinya. BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Aalisis regresi mejadi salah satu bagia statistika yag palig bayak aplikasiya. Aalisis regresi memberika keleluasaa kepada peeliti utuk meyusu model hubuga atau pegaruh

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN Latar Belakang

BAB 1 PENDAHULUAN Latar Belakang BAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakag Dalam keadaa dimaa meghadapi persoala program liier yag besar, maka aka berusaha utuk mecari peyelesaia optimal dega megguaka algoritma komputasi, seperti algoritma

Lebih terperinci

B a b 1 I s y a r a t

B a b 1 I s y a r a t 34 TKE 315 ISYARAT DAN SISTEM B a b 1 I s y a r a t (bagia 3) Idah Susilawati, S.T., M.Eg. Program Studi Tekik Elektro Fakultas Tekik da Ilmu Komputer Uiversitas Mercu Buaa Yogyakarta 29 35 1.5.2. Isyarat

Lebih terperinci

1 Persamaan rekursif linier non homogen koefisien konstan tingkat satu

1 Persamaan rekursif linier non homogen koefisien konstan tingkat satu Secara umum persamaa rekursif liier tigkat-k bisa dituliska dalam betuk: dega C 0 0. C 0 x + C 1 x 1 + C 2 x 2 + + C k x k = b, Jika b = 0 maka persamaa rekursif tersebut diamaka persamaa rekursif liier

Lebih terperinci

,n N. Jelas barisan ini terbatas pada dengan batas M =: 1, dan. barisan ini kovergen ke 0.

,n N. Jelas barisan ini terbatas pada dengan batas M =: 1, dan. barisan ini kovergen ke 0. PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNMUH PONOROGO SOAL UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP TA 03/04 Mata Ujia : Aalisis Real Tipe Soal : REGULER Dose : Dr. Jula HERNADI Waktu : 90 meit Hari, Taggal : Selasa,

Lebih terperinci

REGRESI LINIER DAN KORELASI. Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yang mudah didapat atau tersedia. Dapat dinyatakan

REGRESI LINIER DAN KORELASI. Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yang mudah didapat atau tersedia. Dapat dinyatakan REGRESI LINIER DAN KORELASI Variabel dibedaka dalam dua jeis dalam aalisis regresi: Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yag mudah didapat atau tersedia. Dapat diyataka dega X 1, X,, X k

Lebih terperinci

Kekeliruan dalam Perhitungan Numerik dan Selisih Terhingga Biasa

Kekeliruan dalam Perhitungan Numerik dan Selisih Terhingga Biasa Modul 1 Kekelirua dalam Perhituga Numerik da Selisih Terhigga Biasa D PENDAHULUAN Dr. Wahyudi, M.Pd. i dalam pemakaia praktis, peyelesaia akhir yag diigika dari solusi suatu permasalaha (soal) dalam matematika

Lebih terperinci

Oleh : Bambang Supraptono, M.Si. Referensi : Kalkulus Edisi 9 Jilid 1 (Varberg, Purcell, Rigdom) Hal

Oleh : Bambang Supraptono, M.Si. Referensi : Kalkulus Edisi 9 Jilid 1 (Varberg, Purcell, Rigdom) Hal BAB. Limit Fugsi Ole : Bambag Supraptoo, M.Si. Referesi : Kalkulus Edisi 9 Jilid (Varberg, Purcell, Rigdom) Hal 56 - Defiisi: Pegertia presisi tetag it Megataka bawa f ( ) L berarti bawa utuk tiap yag

Lebih terperinci

Bab IV. Penderetan Fungsi Kompleks

Bab IV. Penderetan Fungsi Kompleks Bab IV Pedereta Fugsi Kompleks Sebagaimaa pada fugsi real, fugsi kompleks juga dapat dideretka pada daerah kovergesiya. Semua watak kajia kovergesi pada fugsi real berlaku pula pada fugsi kompleks. Secara

Lebih terperinci

HALAMAN Dengan definisi limit barisan buktikan limit berikut ini : = 0. a. lim PENYELESAIAN : jadi terbukti bahwa lim = 0 = 5. b.

HALAMAN Dengan definisi limit barisan buktikan limit berikut ini : = 0. a. lim PENYELESAIAN : jadi terbukti bahwa lim = 0 = 5. b. Didowload dari ririez.blog.us.ac.id HALAMAN 36 37 5. Dega defiisi limit barisa buktika limit berikut ii : a. lim = 0 lim 1 2 + 3 = 0 > 0 h 1 = 2 + 3 0 = 1 2 + 3 1 2 1 2 1 2 < jadi terbukti bahwa lim =

Lebih terperinci

ARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN

ARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN ARTIKEL Meetuka rumus Jumlah Suatu Deret dega Operator Beda Markaba 191115198801005 Maret 015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN

Lebih terperinci

PENGGGUNAAN ALGORITMA GAUSS-NEWTON UNTUK MENENTUKAN SIFAT-SIFAT PENAKSIR PARAMETER DAN

PENGGGUNAAN ALGORITMA GAUSS-NEWTON UNTUK MENENTUKAN SIFAT-SIFAT PENAKSIR PARAMETER DAN PENGGGUNAAN ALGORITMA GAUSS-NEWTON UNTUK MENENTUKAN SIFAT-SIFAT PENAKSIR PARAMETER DAN DALAM SUATU MODEL NON-LINIER Abstrak Nur ei 1 1, Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Tadulako Jl. Sukaro-Hatta Palu,

Lebih terperinci

BAB III TAKSIRAN KOEFISIEN KORELASI POLYCHORIC DUA TAHAP. Permasalahan dalam tugas akhir ini dibatasi hanya pada penaksiran

BAB III TAKSIRAN KOEFISIEN KORELASI POLYCHORIC DUA TAHAP. Permasalahan dalam tugas akhir ini dibatasi hanya pada penaksiran BAB III TAKSIRAN KOEFISIEN KORELASI POLYCHORIC DUA TAHAP Permasalaha dalam tugas akhir ii dibatasi haya pada peaksira besarya koefisie korelasi polychoric da tidak dilakuka peguia terhadap koefisie korelasi

Lebih terperinci

III PEMBAHASAN. λ = 0. Ly = 0, maka solusi umum dari persamaan diferensial (3.3) adalah

III PEMBAHASAN. λ = 0. Ly = 0, maka solusi umum dari persamaan diferensial (3.3) adalah III PEMBAHASAN Pada bagia ii aka diformulasika masalah yag aka dibahas. Solusi masalah aka diselesaika dega Metode Dekomposisi Adomia. Selajutya metode ii aka diguaka utuk meyelesaika model yag diyataka

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang BAB PENDAHULUAN. Latar Belakag Statistika iferesi merupaka salah satu cabag statistika yag bergua utuk meaksir parameter. Peaksira dapat diartika sebagai dugaa atau perkiraa atas sesuatu yag aka terjadi

Lebih terperinci

BAB III METODOLOGI PENELITIAN. Variabel-variabel yang digunakan pada penelitian ini adalah:

BAB III METODOLOGI PENELITIAN. Variabel-variabel yang digunakan pada penelitian ini adalah: BAB III METODOLOGI PENELITIAN 3. Variabel da Defiisi Operasioal Variabel-variabel yag diguaka pada peelitia ii adalah: a. Teaga kerja, yaitu kotribusi terhadap aktivitas produksi yag diberika oleh para

Lebih terperinci

DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES)

DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES) MATEMATIKA II DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES) sugegpb.lecture.ub.ac.id aada.lecture.ub.ac.id BARISAN Barisa merupaka kumpula suatu bilaga (atau betuk aljabar) yag disusu sehigga membetuk suku-suku yag

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. Dalam tugas akhir ini akan dibahas mengenai penaksiran besarnya

BAB II LANDASAN TEORI. Dalam tugas akhir ini akan dibahas mengenai penaksiran besarnya 5 BAB II LANDASAN TEORI Dalam tugas akhir ii aka dibahas megeai peaksira besarya koefisie korelasi atara dua variabel radom kotiu jika data yag teramati berupa data kategorik yag terbetuk dari kedua variabel

Lebih terperinci

Barisan Aritmetika dan deret aritmetika

Barisan Aritmetika dan deret aritmetika BARISAN DAN DERET BILANGAN Peyusu: Atmii Dhoruri, MS Kode: Jejag: SMP T/P: / A. Kompetesi yag diharapka. Meetuka suku ke- barisa aritmatika da barisa geometri. Meetuka jumlah suku pertama deret aritmatika

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 <

II. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 < II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Keterbagia Secara umum apabila a bilaga bulat da b bilaga bulat positif, maka ada tepat satu bilaga bulat q da r sedemikia sehigga : = +, 0 < dalam hal ii b disebut hasil bagi

Lebih terperinci

Kalkulus Rekayasa Hayati DERET

Kalkulus Rekayasa Hayati DERET Kalkulus Rekayasa Hayati DERET 1 Isi Bab Pedahulua Barisa tak-higga Deret tak-higga Deret Positif : Uji kekovergea Deret Gati Tada Deret Pagkat Deret Taylor da Maclauri 2 Kompetesi Dasar Setelah megikuti

Lebih terperinci

Galat dan Perambatannya

Galat dan Perambatannya Modul 1 Galat da Perambataya Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDHULUN ada Modul 1 ii dibahas masalah galat atau derajat kesalaha da perambataya, dega demikia para peggua modul ii diharapka telah memahami

Lebih terperinci

III. METODOLOGI PENELITIAN. Penelitian ini dilakukan di SMA Negeri 1 Way Jepara Kabupaten Lampung Timur

III. METODOLOGI PENELITIAN. Penelitian ini dilakukan di SMA Negeri 1 Way Jepara Kabupaten Lampung Timur 0 III. METODOLOGI PENELITIAN A. Lokasi da Waktu Peelitia Peelitia ii dilakuka di SMA Negeri Way Jepara Kabupate Lampug Timur pada bula Desember 0 sampai Mei 03. B. Populasi da Sampel Populasi dalam peelitia

Lebih terperinci

Pendiferensialan. Modul 1 PENDAHULUAN

Pendiferensialan. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Pediferesiala Prof R Soematri D PENDAHULUAN alam modul ii dibahas fugsi berilai real yag didefiisika pada suatu iterval Defiisi derivatif suatu fugsi dimulai dega derivatif di suatu titik, kemudia

Lebih terperinci

STATISTICS. Hanung N. Prasetyo Week 11 TELKOM POLTECH/HANUNG NP

STATISTICS. Hanung N. Prasetyo Week 11 TELKOM POLTECH/HANUNG NP STATISTICS Haug N. Prasetyo Week 11 PENDAHULUAN Regresi da korelasi diguaka utuk megetahui hubuga dua atau lebih kejadia (variabel) yag dapat diukur secara matematis. Ada dua hal yag diukur atau diaalisis,

Lebih terperinci

Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions)

Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions) Distribusi Pedekata (Limitig Distributios) Ada 3 tekik utuk meetuka distribusi pedekata: 1. Tekik Fugsi Distribusi Cotoh 2. Tekik Fugsi Pembagkit Mome Cotoh 3. Tekik Teorema Limit Pusat Cotoh Fitriai Agustia,

Lebih terperinci

POSITRON, Vol. II, No. 2 (2012), Hal. 1-5 ISSN : Penentuan Energi Osilator Kuantum Anharmonik Menggunakan Teori Gangguan

POSITRON, Vol. II, No. 2 (2012), Hal. 1-5 ISSN : Penentuan Energi Osilator Kuantum Anharmonik Menggunakan Teori Gangguan POSITRON, Vol. II, No. (0), Hal. -5 ISSN : 30-4970 Peetua Eergi Osilator Kuatum Aharmoik Megguaka Teori Gaggua Iklas Saubary ), Yudha Arma ), Azrul Azwar ) )Program Studi Fisika Fakultas Matematika da

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang BAB PENDAHULUAN. Latar Belakag Didalam melakuka kegiata suatu alat atau mesi yag bekerja, kita megeal adaya waktu hidup atau life time. Waktu hidup adalah lamaya waktu hidup suatu kompoe atau uit pada

Lebih terperinci

BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA

BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA BARIAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA Bajar/Barisa Tak Higga Barisa tak higga { } adalah suatu fugsi dari dimaa daerah domaiya adalah himpua bilaga bulat positif (bilaga asli). Cotoh: Bila.. maka fugsi

Lebih terperinci

BAB 6. DERET TAYLOR DAN DERET LAURENT Deret Taylor

BAB 6. DERET TAYLOR DAN DERET LAURENT Deret Taylor Bab 6 Deret Taylor da Deret Lauret BAB 6 DERET TAYLOR DAN DERET LAURENT 6 Deret Taylor Misal fugsi f aalitik pada - < R ligkara dega pusat di da jari-jari R Maka utuk setiap titik pada ligkara itu f dapat

Lebih terperinci

III BAB BARISAN DAN DERET. Tujuan Pembelajaran. Pengantar

III BAB BARISAN DAN DERET. Tujuan Pembelajaran. Pengantar BAB III BARISAN DAN DERET Tujua Pembelajara Setelah mempelajari materi bab ii, Ada diharapka dapat:. meetuka suku ke- barisa da jumlah suku deret aritmetika da geometri,. meracag model matematika dari

Lebih terperinci

Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN

Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Deret Fourier Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDAHULUAN ada modul ii dibahas masalah ekspasi deret Fourier Sius osius utuk suatu fugsi periodik ataupu yag diaggap periodik, da dibahas pula trasformasi

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1. Optimasi 2.1.1. Pegertia Optimasi Optimasi (Optimizatio) adalah aktivitas utuk medapatka hasil terbaik di bawah keadaa yag diberika. Tujua akhir dari semua aktivitas tersebut

Lebih terperinci

Projek. Contoh Menemukan Konsep Barisan dan Deret Geometri a. Barisan Geometri. Perhatikan barisan bilangan 2, 4, 8, 16,

Projek. Contoh Menemukan Konsep Barisan dan Deret Geometri a. Barisan Geometri. Perhatikan barisan bilangan 2, 4, 8, 16, Projek Himpulah miimal tiga masalah peerapa barisa da deret aritmatika dalam bidag fisika, tekologi iformasi, da masalah yata di sekitarmu. Ujilah berbagai kosep da atura barisa da deret aritmatika di

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang. Universitas Sumatera Utara

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang. Universitas Sumatera Utara BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Salah satu pera da fugsi statistik dalam ilmu pegetahua adalah sebagai. alat aalisis da iterpretasi data kuatitatif ilmu pegetahua, sehigga didapatka suatu kesimpula

Lebih terperinci

Bab 7 Penyelesaian Persamaan Differensial

Bab 7 Penyelesaian Persamaan Differensial Bab 7 Peelesaia Persamaa Differesial Persamaa differesial merupaka persamaa ag meghubugka suatu besara dega perubahaa. Persamaa differesial diataka sebagai persamaa ag megadug suatu besara da differesiala

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 14 Februari 2014

Hendra Gunawan. 14 Februari 2014 MA20 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 203/204 4 Februari 204 Sasara Kuliah Hari Ii 9. Barisa Tak Terhigga Memeriksa kekovergea suatu barisa da, bila mugki, meghitug limitya 9.2 Deret Tak Terhigga

Lebih terperinci

BAB V ANALISA PEMECAHAN MASALAH

BAB V ANALISA PEMECAHAN MASALAH 89 BAB V ANALISA PEMECAHAN MASALAH Dalam upaya mearik kesimpula da megambil keputusa, diperluka asumsi-asumsi da perkiraa-perkiraa. Secara umum hipotesis statistik merupaka peryataa megeai distribusi probabilitas

Lebih terperinci

Range atau jangkauan suatu kelompok data didefinisikan sebagai selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil, yaitu

Range atau jangkauan suatu kelompok data didefinisikan sebagai selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil, yaitu BAB 4 UKURAN PENYEBARAN DATA Pada Bab sebelumya kita telah mempelajari beberapa ukura pemusata data, yaitu ukura yag memberika iformasi tetag bagaimaa data-data ii megumpul atau memusat Pada bagia Bab

Lebih terperinci

BAB VI BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA

BAB VI BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA BAB VI BARIAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA Bajar/Barisa Tak Higga Barisa tak higga { },,,,, adalah suatu fugsi dari dimaa daerah domaiya adalah himpua bilaga bulat positif (bilaga asli). Cotoh: Bila,,,..,

Lebih terperinci

IV. METODE PENELITIAN

IV. METODE PENELITIAN IV. METODE PENELITIAN 4.1 Lokasi da Waktu peelitia Peelitia dilakuka pada budidaya jamur tiram putih yag dimiliki oleh usaha Yayasa Paguyuba Ikhlas yag berada di Jl. Thamri No 1 Desa Cibeig, Kecamata Pamijaha,

Lebih terperinci

BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum

BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum BAB II TEORI DASAR 2.1 Aljabar Liier Defiisi 2. 1. 1 Grup Himpua tak kosog G disebut grup (G, ) jika pada G terdefiisi operasi, sedemikia rupa sehigga berlaku : a. Jika a, b eleme dari G, maka a b eleme

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB LANDASAN TEORI.1 Aalisis Regresi Istilah regresi pertama kali diperkealka oleh seorag ahli yag berama Facis Galto pada tahu 1886. Meurut Galto, aalisis regresi berkeaa dega studi ketergatuga dari suatu

Lebih terperinci

BAB 3 METODE PENELITIAN

BAB 3 METODE PENELITIAN Sedagka itegrasi ruas kaa utuk ersamaa (3b) diperoleh ds / = S... (36) Dega demikia pesamaa yag harus dipecahka adalah l 1 1 u u = S (37) Dari ersamaa (37) diperoleh persamaa utuk u u S = exp S 1exp S...

Lebih terperinci

BAB III PEMBAHASAN. Pada BAB III ini akan dibahas mengenai bentuk program linear fuzzy

BAB III PEMBAHASAN. Pada BAB III ini akan dibahas mengenai bentuk program linear fuzzy BAB III PEMBAHASAN Pada BAB III ii aka dibahas megeai betuk program liear fuzzy dega koefisie tekis kedala berbetuk bilaga fuzzy da pembahasa peyelesaia masalah optimasi studi kasus pada UD FIRDAUS Magelag

Lebih terperinci

METODE TRAPESIUM NONLINEAR UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU ABSTRACT

METODE TRAPESIUM NONLINEAR UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU ABSTRACT METODE TRAPESIUM NONLINEAR UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU Rahma Dodi 1, Musraii M 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Dose Jurusa Matematika Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua

Lebih terperinci

terurut dari bilangan bulat, misalnya (7,2) (notasi lain 2

terurut dari bilangan bulat, misalnya (7,2) (notasi lain 2 Bab Bilaga kompleks BAB BILANGAN KOMPLEKS Defiisi Bilaga Kompleks Sebelum medefiisika bilaga kompleks, pembaca diigatka kembali pada permasalah dalam sistem bilaga yag telah dikeal sebelumya Yag pertama

Lebih terperinci

BAB VIII MASALAH ESTIMASI SATU DAN DUA SAMPEL

BAB VIII MASALAH ESTIMASI SATU DAN DUA SAMPEL BAB VIII MASAAH ESTIMASI SAT DAN DA SAMPE 8.1 Statistik iferesial Statistik iferesial suatu metode megambil kesimpula dari suatu populasi. Ada dua pedekata yag diguaka dalam statistik iferesial. Pertama,

Lebih terperinci

A. Pengertian Hipotesis

A. Pengertian Hipotesis PENGUJIAN HIPOTESIS A. Pegertia Hipotesis Hipotesis statistik adalah suatu peryataa atau dugaa megeai satu atau lebih populasi Ada macam hipotesis:. Hipotesis ol (H 0 ), adalah suatu hipotesis dega harapa

Lebih terperinci

ISIAN SINGKAT! 1. Diberikan hasil kali digit digit dari n harus sama dengan 25

ISIAN SINGKAT! 1. Diberikan hasil kali digit digit dari n harus sama dengan 25 head office : Kompleks Sawaga Permai Blok A5 No.1A, Sawaga, Depok 16511 Telp.01-951 1160. cotact perso : 0-878787-1-8585 / 081-8691-10 Bidag Studi Kode Berkas Waktu : Matematika : MA-L01 (solusi) : 90

Lebih terperinci

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 77-85, Agustus 2003, ISSN : DISTRIBUSI WAKTU BERHENTI PADA PROSES PEMBAHARUAN

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 77-85, Agustus 2003, ISSN : DISTRIBUSI WAKTU BERHENTI PADA PROSES PEMBAHARUAN JURAL MATEMATKA DA KOMPUTER Vol. 6. o., 77-85, Agustus 003, SS : 40-858 DSTRBUS WAKTU BERHET PADA PROSES PEMBAHARUA Sudaro Jurusa Matematika FMPA UDP Abstrak Dalam proses stokhastik yag maa kejadia dapat

Lebih terperinci

BAB 4 LIMIT FUNGSI Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah

BAB 4 LIMIT FUNGSI Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah BAB LIMIT FUNGSI Stadar Kompetesi Megguaka kosep it ugsi da turua ugsi dalam pemecaha masalah Kompetesi Dasar. Meghitug it ugsi aljabar sederhaa di suatu titik. Megguaka siat it ugsi utuk meghitug betuk

Lebih terperinci

i adalah indeks penjumlahan, 1 adalah batas bawah, dan n adalah batas atas.

i adalah indeks penjumlahan, 1 adalah batas bawah, dan n adalah batas atas. 4 D E R E T Kosep deret merupaka kosep matematika yag cukup populer da aplikatif khusuya dalam kasus-kasus yag meyagkut perkembaga da pertumbuha suatu gejala tertetu. Apabila perkembaga atau pertumbuha

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA Pengertian

TINJAUAN PUSTAKA Pengertian TINJAUAN PUSTAKA Pegertia Racaga peelitia kasus-kotrol di bidag epidemiologi didefiisika sebagai racaga epidemiologi yag mempelajari hubuga atara faktor peelitia dega peyakit, dega cara membadigka kelompok

Lebih terperinci

DERET POSITIF : UJI INTEGRAL DAN UJI LAIN-LAINNYA KELOMPOK 2:

DERET POSITIF : UJI INTEGRAL DAN UJI LAIN-LAINNYA KELOMPOK 2: MAKALAH KALKULUS LANJUT DERET POSITIF : UJI INTEGRAL DAN UJI LAIN-LAINNYA OLEH : KELOMPOK 2:. NI LUH PUTU SUARDIYANTI (0830005) 2. I WAYAN WIDNYANA (0830008) 3. LUH PUTU PRAJAYANTHI W. (0830027) JURUSAN

Lebih terperinci

BUKTI ALTERNATIF KONVERGENSI DERET PELL DAN PELL-LUCAS (ALTERNATIVE PROOF THE CONVERGENCE OF PELL AND PELL-LUCAS SERIES)

BUKTI ALTERNATIF KONVERGENSI DERET PELL DAN PELL-LUCAS (ALTERNATIVE PROOF THE CONVERGENCE OF PELL AND PELL-LUCAS SERIES) rosidig Semirata2015 bidag MIA BKS-TN Barat Uiversitas Tajugpura otiaak BUKTI ALTERNATIF KONVERGENSI DERET ELL DAN ELL-LUCAS (ALTERNATIVE ROOF THE CONVERGENCE OF ELL AND ELL-LUCAS SERIES) Baki Swita 1

Lebih terperinci

Solusi Soal OSN 2012 Matematika SMA/MA Hari Pertama

Solusi Soal OSN 2012 Matematika SMA/MA Hari Pertama Solusi Soal OSN Matematika SMA/MA Hari Pertama Soal 1. Buktika bahwa utuk sebarag bilaga asli a da b, bilaga adalah bilaga bulat geap tak egatif. = F P B (a, b) + KP K (a, b) a b Solusi. Pertama aka dibuktika

Lebih terperinci

mempunyai sebaran yang mendekati sebaran normal. Dalam hal ini adalah PKM (penduga kemungkinan maksimum) bagi, ˆ ˆ adalah simpangan baku dari.

mempunyai sebaran yang mendekati sebaran normal. Dalam hal ini adalah PKM (penduga kemungkinan maksimum) bagi, ˆ ˆ adalah simpangan baku dari. Selag Kepercayaa Cotoh Besar Jika ukura cotoh (sample size) besar, maka meurut Teorema Limit Pusat, bayak statistik megikuti/mempuyai sebara yag medekati ormal (dapat diaggap ormal). Artiya jika adalah

Lebih terperinci

BAB III METODE PENELITIAN. penelitian yaitu PT. Sinar Gorontalo Berlian Motor, Jl. H. B Yassin no 28

BAB III METODE PENELITIAN. penelitian yaitu PT. Sinar Gorontalo Berlian Motor, Jl. H. B Yassin no 28 5 BAB III METODE PENELITIAN 3.1 Lokasi Peelitia da Waktu Peelitia Sehubuga dega peelitia ii, lokasi yag dijadika tempat peelitia yaitu PT. Siar Gorotalo Berlia Motor, Jl. H. B Yassi o 8 Kota Gorotalo.

Lebih terperinci

Pedahulua Hipotesis: asumsi atau dugaa semetara megeai sesuatu hal. Ditutut utuk dilakuka pegeceka kebearaya. Jika asumsi atau dugaa dikhususka megeai

Pedahulua Hipotesis: asumsi atau dugaa semetara megeai sesuatu hal. Ditutut utuk dilakuka pegeceka kebearaya. Jika asumsi atau dugaa dikhususka megeai PENGUJIAN HIPOTESIS Pedahulua Hipotesis: asumsi atau dugaa semetara megeai sesuatu hal. Ditutut utuk dilakuka pegeceka kebearaya. Jika asumsi atau dugaa dikhususka megeai ilai-ilai parameter populasi,

Lebih terperinci

Barisan dan Deret. Modul 1 PENDAHULUAN

Barisan dan Deret. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Barisa da Deret Reto Wika Tyasig Ada P PENDAHULUAN okok bahasa dalam modul ii terdiri atas dua kegiata belajar. Yag pertama tetag barisa, yag kedua tetag deret da cotoh-cotoh pemakaia deret. Pembahasa

Lebih terperinci

BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI

BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI Fiboacci Matematikawa terbesar pada abad pertegaha adalah Leoardo dari Pisa, Italia (80 0). Ia lebih dikeal dega ama Fibo-acci. Artiya, aak Boaccio. Meara Pisa yag terkeal

Lebih terperinci

III. METODE PENELITIAN. kelas VIII semester ganjil SMP Sejahtera I Bandar Lampung tahun pelajaran 2010/2011

III. METODE PENELITIAN. kelas VIII semester ganjil SMP Sejahtera I Bandar Lampung tahun pelajaran 2010/2011 III. METODE PENELITIAN A. Latar Peelitia Peelitia ii merupaka peelitia yag megguaka total sampel yaitu seluruh siswa kelas VIII semester gajil SMP Sejahtera I Badar Lampug tahu pelajara 2010/2011 dega

Lebih terperinci

Fungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Fungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya TKS 4007 Matematika III Fugsi Kompleks (Pertemua XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusa Tekik Sipil Fakultas Tekik Uiversitas Brawijaya Pedahulua Persamaa x + 1 = 0 tidak memiliki akar dalam himpua bilaga real. Pertayaaya,

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang Masalah

BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang Masalah BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Struktur alabar adalah suatu himpua yag di dalamya didefiisika suatu operasi bier yag memeuhi aksioma-aksioma tertetu. Gelaggag ( Rig ) merupaka suatu struktur

Lebih terperinci

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 7. No. 1, 31-41, April 2004, ISSN :

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 7. No. 1, 31-41, April 2004, ISSN : Vol. 7. No. 1, 31-41, April 24, ISSN : 141-8518 Peetua Kestabila Sistem Kotrol Lup Tertutup Waktu Kotiu dega Metode Trasformasi ke Betuk Kaoik Terkotrol Robertus Heri Jurusa Matematika FMIPA UNDIP Abstrak

Lebih terperinci

SIFAT-SIFAT FUNGSI EKSPONENSIAL BERBASIS BILANGAN NATURAL YANG DIDEFINISIKAN SEBAGAI LIMIT

SIFAT-SIFAT FUNGSI EKSPONENSIAL BERBASIS BILANGAN NATURAL YANG DIDEFINISIKAN SEBAGAI LIMIT Jural Matematika UNAND Vol. 4 No. 1 Hal. 12 22 ISSN : 2303 2910 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND SIFAT-SIFAT FUNGSI EKSPONENSIAL BERBASIS BILANGAN NATURAL YANG DIDEFINISIKAN SEBAGAI LIMIT ENIVA RAMADANI

Lebih terperinci

C (z m) = C + C (z m) + C (z m) +...

C (z m) = C + C (z m) + C (z m) +... 4.. DERET PANGKAT Deret pagkat dari (x-m) merupaka deret tak higga yag betuk umumya adalah : i= i i C (z m) = C + C (z m) + C (z m) +... ( 4- ) C, C,... = kostata disebut koefisie deret m = kostata disebut

Lebih terperinci

BAB III METODE PENELITIAN Penelitian ini dilakukan di kelas X SMA Muhammadiyah 1 Pekanbaru. semester ganjil tahun ajaran 2013/2014.

BAB III METODE PENELITIAN Penelitian ini dilakukan di kelas X SMA Muhammadiyah 1 Pekanbaru. semester ganjil tahun ajaran 2013/2014. BAB III METODE PENELITIAN A. Waktu da Tempat Peelitia Peelitia dilaksaaka dari bula Agustus-September 03.Peelitia ii dilakuka di kelas X SMA Muhammadiyah Pekabaru semester gajil tahu ajara 03/04. B. Subjek

Lebih terperinci

Pertemuan Ke-11. Teknik Analisis Komparasi (t-test)_m. Jainuri, M.Pd

Pertemuan Ke-11. Teknik Analisis Komparasi (t-test)_m. Jainuri, M.Pd Pertemua Ke- Komparasi berasal dari kata compariso (Eg) yag mempuyai arti perbadiga atau pembadiga. Tekik aalisis komparasi yaitu salah satu tekik aalisis kuatitatif yag diguaka utuk meguji hipotesis tetag

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. dimana f(x) adalah fungsi tujuan dan h(x) adalah fungsi pembatas.

BAB 1 PENDAHULUAN. dimana f(x) adalah fungsi tujuan dan h(x) adalah fungsi pembatas. BAB 1 PENDAHUUAN 1.1 atar Belakag Pada dasarya masalah optimisasi adalah suatu masalah utuk membuat ilai fugsi tujua mejadi maksimum atau miimum dega memperhatika pembatas pembatas yag ada. Dalam aplikasi

Lebih terperinci