A. KONSEP DASAR TURUNAN

Transkripsi

1 Materi Derivatif MODUL DERIVATIF A. KONSEP DASAR TURUNAN Turunan (derivatif) membahas tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Turunan diperoleh dengan menentukan limit dari hasil bagi diferensi, dimana : x 0. y Jika y = f ( x ), maka y = f ( xo + x ) - f ( xo ) x x y / x merupakan hasil bagi perbedaan atau koefisien diferensi dan menggambarkan tingkat perubahan variabel terikat dari fungsi y = f ( x ), dirumuskan : y = f (x) = lim y/x = lim f (x + x) f (x) x 0 x 0 x Berikut ini kaidah diferensiasi dalam berbagai bentuk fungsi : 1. Diferensiasi fungsi konstanta Jika y = k, dimana k adalah konstanta, maka y = 0 Contoh : y = 3 maka y = 0. Diferensiasi fungsi linier Jika y = a + bx, dimana a adalah konstanta, maka y = b Contoh : y = x maka y = Diferensiasi fungsi pangkat Jika y = ax n, dimana a adalah konstanta, maka y = n.a x n 1 Contoh : y = 4x 4 maka y = 4.4x 4-1 =16x 3 MATEK Hal. 1

2 4. Diferensiasi penjumlahan ( pengurangan ) fungsi Jika y = u v, dimana u = g (x) dan v = n (x), maka y = u v Contoh : y = 8x 3 8x maka y = 4x 16x 5. Diferensiasi perkalian a. Perkalian fungsi dan konstanta Jika y = k.u, dimana u = g (x), maka y = k.u Contoh : y = 4.4x maka y = 4.8x = 3x b. Perkalian fungsi Jika y = u.v, Modul Praktikum Materi Derivatif dimana u = g (x) dan v = h (x), maka y = u.v + u.v Contoh : y = ( x 6 1 )( x 3 5 ) maka y = (1x 5 )(x 3 5) + (x 6 1)(6x ) = 36x 8 60x 5 6x 6. Diferensiasi hasil bagi fungsi Jika y = u, dimana u = g (x) dan v = h (x), maka y = u.v u.v Contoh : y = (x 6 1) maka y = (1x 5 )(x 3 5) (x 6 1)(6x ) (x 3 5) (x 3 5) y = 36x 8 60x 5 6x (x 3 5) 7. Diferensiasi fungsi komposisi ( dalil rantai ) Jika y = f (u) sedangkan u = g (x), dengan kata lain y = f [ g (x) ], maka dy dx = dy. du du. dx contoh : y = ( 3x + ) misalkan : u = 3x +, sehingga y = u du / dx = 6x V dy / du = u maka dy = dy. du = u. 6x = (3x + )(6x) = 36x 3 + 1x dx du. dx 8. Derivatif tingkat tinggi Derivatif ke-n dari fungsi y = f (k) diperoleh dengan kali. mendiferensiasikan sebanyak n MATEK Hal.

3 Derivatif ke-n dilambangkan : d n y atau f n (x) atau d n (y) dx n Contoh : y = 5x 5 + 4x 4 + 3x 3 + x +x maka y atau dy / dx = 5x x 3 + 9x + 4x + 1 y atau d y/d y = 100x x + 18x + 4..dst 9. Diferensiasi implisif dx Modul Praktikum Materi Derivatif Adalah suatu metode diferensiasi dengan mendiferensiasikan f (x,y) = 0 suku demi suku dengan memandang y sebagai fungsi x, kemudian dari persamaan tersebut ditentukan nilai dy/dx. Contoh : xy - x + y = 0 didiferensiasikan terhadap x, maka : 1.y + x.y dy/dx x + dy / dx = 0 ( xy + 1 ) dy/dx = - y + x dy/dx 10. Derivatif fungsi logaritmik y = ln x dy/dx = 1/x y = ln u, dimana u = g (x) dy = du. 1 = u dx dx u u y = a log x dy/dx = 1/ a ln a = - y + x xy + 1 Contoh : jika y = ln ( 3 3x ) maka tentukan dy / dx u = 3 3x du / dx = u = -6x dy = u = -6x dx u 3 3x 11. Derivatif fungsi eksponensial y = e x dy/dx = e x y = a x dy/dx = a x ln a MATEK Hal. 3

4 Materi Derivatif 1. Derivatif fungsi trigonometrik Beberapa turunan fungsi trigonometrik yang penting adalah : y = sin x dy/dx = cos x y = cos x dy/dx = - sin x y = tg x dy/dx = sec x y = ctg x dy/dx = - cosec x y = sec x dy/dx = sec x. tg x y = cosec x dy/dx = - cosec x. ctg x Catatan : sec x = 1 / cos x cos x = 1 / sin x B. HUBUNGAN ANTARA FUNGSI DAN DERIVATIFNYA 1. Menentukan persamaan Garis singgung dan Garis Normal Langkah langkah untuk mencari Garis singgung dan Garis normal adalah : 1. Tentukanlah titik singgung ( Xo, Yo ). Cari koefisien arah m = f (x) 3. Cari Garis singgung dengan rumus : y - yo = m (x xo) 4. Cari Garis Normal dengan rumus : y - yo = -1 ( x xo ) m Catatan : Garis Normal adalah garis yang tegak lurus pada Garis Singgung kurva. Menentukan Keadaan Fungsi Menaik dan Fungsi Menurun 1. Fungsi y = f (x) monoton naik jika f (x) > 0. Fungsi y = f (x) monoton turun jika f (x) < 0 3. Nilai stasioner Jika diketahui y = f (x), maka pada f (x) = 0, titik (x, y) merupakan Nilai Stasioner MATEK Hal. 4

5 Materi Derivatif Jenis jenis Titik Stasioner adalah : Jika f (x) > 0, maka (x, y) merupakan titik balik minimum Jika f (x) < 0, maka (x, y) merupakan titik balik maksimum Jika f (x) = 0, maka (x, y) merupakan titik balik belok Contoh : Diketahui TR = 30Q - Q, tentukanlah nilai maksimum atau minimum dari fungsi tsb! Jawab : TR = 0 TR = 30 Q = 0 Q = 30 maka Q = 15 TR = - (TR < 0, merupakan titik balik maksimum) Nilai Minimum TR = 30Q - Q = 30(15) - (15) = 5 C. APLIKASI DERIVATIF DALAM BISNIS DAN EKONOMI 1. ELASTISITAS a. Elastisitas Harga Adalah perbandingan antara perubahan relatif dari jumlah dengan perubahan relatif dari harga. Untuk menentukan elastisitas harga, ada dua macam cara yang digunakan, yaitu : 1. Elastisitas Titik ( Point Elasticity ) = Q/Q = Q. P P/P P Q. Elastisitas Busur ( Arc Elasticity ) Merupakan elastisitas pada dua titik atau elastisitas pada busur kurva. Kelemahannya : timbulnya tafsiran ganda. = P1. Q Q1 P = P. Q Q P MATEK Hal. 5

6 Materi Derivatif = P1 + P. Q Q1 + Q P Elastisitas Titik dan Busur dipakai untuk menghitung : a. Elastisitas harga Permintaan, d < 0 (negatif) b. Elastisitas harga Penawaran, s > 0 (positif) Dari hasil perhitungan, nilai elastisitas akan menunjukkan : > 1 Elastis < 1 atau 0<n<1 Inelastis (elastis sebagian) = 1 Unitary Elastis (elastis sempurna) b. Elastisitas Permintaan Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya jumlah barang yang diminta akibat adanya perubahan harga. Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan Qd = f ( P ), maka elastisitas permintaannya d = Qd. P Qd Contoh : Fs. permintaan Qd = 5 3P. tentukan elastisitas pada P = 5 Qd = -6P Maka d = Qd. P = (-6P ). P = -6P Qd ( 5 3P ) ( 5 3P ) c. Elastisitas Penawaran Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan berkenaan adanya perubahan harga. Jika fungsi penawaran dinyatakan dengan Qs = f ( P ), maka elastisitas penawarannya : s = Qs. P Qs MATEK Hal. 6

7 Contoh : Fs Penawaran Qs = 7P 00. Hitunglah elastisitas pada P = 10 Qs = 14P s = Qs. P = 14P. P = 14P Qs 7P 00 7P 00 P = 10 maka s = 14(10) =,8 7(10) 00 Modul Praktikum Materi Derivatif d. Elastisitas Produksi Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah keluaran ( output ) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan ( input ) yang digunakan. Jika fungsi produksi dinyatakan dengan P = f ( x ), maka elastisitas produksinya : p = P. X P Contoh : Fs Produksi P = 6x x 3. Hitunglah elastisitas pada x = 5 P = 1x 3x p = P. X = ( 1x 3x ). X = 1x 3x 3 P 6x x 3 6x x 3 X = 5 maka p = 1(5) 3(5) 3 = -3 6(5) (5) 3. BIAYA o Biaya Total ( TC ) Adalah seluruh biaya yang dibutuhkan untuk memproduksi atau memasarkan sejumlah barang atau jasa, baik yang merupakan biaya tetap atau biaya variabel. TC = f (Q) atau TC = FC + VC Dimana : TC = Total cost VC = Variabel cost FC = Fixed cost Q = Kuantitas MATEK Hal. 7

8 o Biaya Rata rata ( AC ) Modul Praktikum Materi Derivatif Adalah biaya per unit yang dibutuhkan untuk memproduksi suatu barang atau jasa pada tingkat produksi total. o Biaya Marginal ( MC ) AC = TC / Q Adalah besarnya pertambahan biaya total yang dibutuhkan akibat pertambahan hasil produksi satu unit pada suatu tungkat produksi tertentu. MC = TC = dtc / dq Contoh : Diketahui TC = Q, Tentukan AC dan MC pada Q = 0? AC = TC / Q = 150 / Q + 15Q = 150 / (0) = 307,5 MC = TC = 30Q = 30 (0) = PENERIMAAN o Penerimaan Total ( TR ) Adalah total hasil penerimaan penjualan dari produk yang diproduksi. TR = f (Q) = P. Q o Penerimaan Rata - rata ( AR ) Adalah hasil dari penerimaan per unit yang diperoleh dari penjualan suatu barang / jasa pada kuantitas tertentu. Fungsi Average Revenue sama dengan fungsi permintaan dari harga barang tersebut. AR = TR / Q = (P.Q) / Q = P o Penerimaan Marginal ( MR ) Adalah pertambahan hasil penerimaan yang diperoleh akibat pertambahan penjualan satu unit barang / jasa pada suatu kuantitas tertentu. MR = TR = dtr / dq MATEK Hal. 8

9 Materi Derivatif Contoh : Diketahui TR = Q + 14Q , tentukan AR dan MR pada Q = 50! Jawaban : AR = TR / Q = Q / Q = / 50 = 84 MR = TR = Q + 14 = (50) + 14 = 114 Contoh Soal : 1. Fungsi Permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qd = 50 - P. Tentukan elastisitas permintaan pada saat harga Rp 6 / unit. Bagaimana sifat elastis permintaan tersebut, analisislah! Dik : Qd = 50 - P Qd = -4P P = Rp 6 / unit Jawab : d = Qd. P Qd = -4P. P 50 - P = -4 (6) (6) = -144 = 6,5 Elastis - Analisis : Jadi Elastisitas Permintaan sebesar 6,5 pada saat harga produk sebesar Rp 6 dan jika harga tersebut naik sebesar 1 % maka barang yang diminta akan turun sebanyak 6,5 %. MATEK Hal. 9

10 Materi Derivatif. Fungsi Penawaran suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = 80 + Qs. Tentukan elastisitas penawaran pada saat harga Rp 4 / unit. Bagaimana sifat elastisitas penawaran tersebut, analisislah! Dik : P = 80 + Qs Qs = P - 80 Qs = P Jawab : s P = Rp 4 / unit = Qs. P Qs = P. P P - 80 = (4). 4 (4) - 80 = 3 = - 0,5 Inelastis - 64 Analisis : Jadi Elastisitas Penawaran sebesar 0,5 pada saat harga produk sebesar Rp 4 dan jika harga tersebut naik sebesar 1 % maka barang yang ditawarkan akan bertambah sebanyak 0,5 %. 3. Fungsi Permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = 60 - Q. Tentukanlah tingkat penjualan yang menghasilkan penerimaan total, carilah harga jualnya, hitunglah penerimaan jika terjual 10 unit, analisislah! Dik : Jawab : TR P = 60 - Qd P = 30-0,5 Qd = P. Q = (30 0,5Q). Q = 30Q - 0,5Q TR max, TR = 0 TR jika Q 30 Q = 0 Q = 30 unit = 30 unit TR max = 30Q - 0,5Q = 30(30) - 0,5(30) = = Rp. 450,- MATEK Hal. 10

11 * P max = TRmax Qmax = 450 = Rp. 15,- 30 * TR jika Q = 10 unit TR = 30Q - 0,5Q = 30(10) - 0,5(10) = = Rp. 50,- Modul Praktikum Materi Derivatif Analisis : Berawal dari tingkat penjualan sebesar 30 unit dan diperoleh penerimaan maksimal sebesar Rp.450,- dengan harga maksimal Rp.15,-, jika barang yang dijual sebanyak 10 unit, maka penerimaan total yang diperoleh sebesar Rp.50,-. Daftar Pustaka : Dumairy, Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi, edisi kedua, BPFE, Yogyakarta, MATEK Hal. 11

12 Materi Integral Tak Tentu INTEGRAL TAK TENTU I. KONSEP DASAR INTEGRAL Dalam kalkulus integral dikenal dua macam integral, yaitu integral tak tentu dan integral tertentu. Diferensial / anti derivative / integral, yaitu suatu konsep yang berhubungan dengan proses penemuan suatu fungsi asal apabila fungsi turunan dari fungsinya diketahui ( kebalikan dari derivatif atau disebut juga proses integrasi / integrand ). A. INTEGRAL TAK TENTU Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(x) berarti adalah mencari integral atau turunan antinya, yaitu F(x).Dinamakan integral tak tentu karena ada ketidaktentuan pada nilai konstantanya. Bentuk umum : f(x) dx = F(x) + c Dimana : c adalah sembarang konstanta yang nilainya tak tentu. Contoh : un. du = U n+1 + c, n -1 n +1 f(x) dx = F(x) + c f(x) dx = F(x) + c 1x 3 + 9x x + dx = 1x x +1 - x 1+1 x +c = 3x 4 + 3x 3 x x + c Bila c = 4, maka F(x) = 3x 4 + 3x 3 x x + 4 II. PENERAPAN INTEGRAL TAK TENTU DALAM EKONOMI Penerapan integral tak tentu yaitu untuk mencari persamaan fungsi total dari suatu variabel ekonomi apabila persamaan fungsi marginalnya diketahui. Karena fungsi marginal pada dasarnya merupakan turunan dari fungsi total, maka dengan proses sebaliknya yaitu integrasi dapat dicari fungsi asal dari fungsi turunan (fungsi total). Macam-macam penerapan integral tak tentu dalam ekonomi : A. Fungsi Biaya Biaya total (TC) adalah integral biaya marginal (MC) : MATEK Hal. 1

13 Materi Integral Tak Tentu F(Q) = f (Q) dq TC = MC dq Dan Biaya rata-rata (AC) : AC = TC / Q Contoh: Diketahui suatu perusahaan fungsi biaya marginalnya MC = 1Q-9Q, maka carilah fungsi biaya total dan biaya rata-rata dimana c ( konstanta ) sebesar 4? TC = MC dq = 1Q - 9Q dq = 6Q 3Q 3 + c Jika c = 4 TC = 6Q 3Q AC = TC / Q = 6Q 3Q + 4/Q Analisa : dari perhitungan di atas maka dapat diketahui bahwa fungsi biaya total adalah TC = 6Q 3Q dan fungsi biya rata-rata adalah AC = TC / Q = 6Q 3Q + 4/Q. B. Fungsi Penerimaan Penerimaan total (TR) adalah integral dari penerimaan marginal (MR). F(Q) = f(q) dq TR = MR dq Contoh : Diketahui MR suatu perusahaan adalah 15Q + 10Q 5. Tentukan penerimaan totalnya (TR), jika c = 0? TR = MR dq = 15Q + 10Q 5 dq = 5Q 3 + 5Q 5Q + c jika c = 0 TR = 5Q 3 + 5Q 5Q C. Fungsi Produksi a. Produk Total : P = f(q), dimana P = keluaran dan Q = masukan b. Produk Marginal : MP = P = dp / dq = f (Q) c. Produk Total adalah integral dari produk marginal. MATEK Hal. 13

14 Materi Integral Tak Tentu P = MP dq = f (Q) dq Contoh : Diketahui produk marginalnya Q + 4, maka produk totalnya jika c = 0? P = MP dq = Q + 4 = /3 Q 3 + 4Q + c jika c = 0, P = /3 Q 3 + 4Q Analisa : Dari perhitungan tersebut dapat diketahui bahwa fungsi total produksi adalah P = /3 Q 3 + 4Q D. Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan Dalam ekonomi makro, konsumsi (C) dan tabungan (S) dinyatakan dalam fungsional terhadap pendapatan nasional (Y). C = f(y) = a + by MPC = C = dc/dy = f (Y) = b = turunan dari C S = g(y) = -a + (1-b)Y MPS = S = ds/dy = g (Y) = (1-b) = turunan dari S Y = C + S Y = [ a + by ] + [ -a + (1-b)Y ] MPC + MPS = 1 Berdasarkan kaidah integrasi, konsumsi (C) adalah integral dari MPC dan tabungan (S) adalah integral dari MPS. C = MPC dy = F(Y) + c S = MPS dy = G(Y) + c a. k = a = Autonomous Consumption : konsumsi otonom menunjukkan besarnya konsumsi nasional pada saat Pendapatan Nasional sebesar nol b. k = a = Autonomous Saving : Tabungan otonom menunjukkan besarnya tabungan nasional pada saat Pendapatan Nasional sebesar nol (0). c. MPC (Marginal Propensity to Consume) : Perbandingan antara besarnya perubahan konsumsi ( C) dengan perubahan Pendapatan Nasional ( Y) yang mengakibatkan adanya perubahan konsumsi tersebut. MATEK Hal. 14

15 Materi Integral Tak Tentu d. MPS (Marginal Propensity to Saving) : Perbandingan antara besarnya perubahan saving ( S) dengan perubahan Pendapatan Nasional ( Y) yang mengakibatkan adanya perubahan konsumsi tersebut. 1 > MPC > ½ Keterangan : MPC < 1, menunjukkan sebagian besar penggunaan tambahan pendapatan digunakan untuk menambah besarnya konsumsi, sedangkan sisanya yaitu sejumlah kecil merupakan tambahan tabungan. MPC > ½, menunjukkan lebih dari 50 % pendapatan yang diperoleh digunakan untuk konsumsi. MPC selalu positif, karena jika pendapatan naik, konsumsi akan naik. Contoh : Dimana C = MPC dy = ½ dy + c, bila pendapatan = 0 dan konsumsi autonomsnya adalah 50, maka fungsi konsumsi, tabungan dan Pendapatan Nasionalnya adalah Jawab : C = MPC dy = ½ dy = ½Y + 50 S = Y ( ½ Y + 50 ) = Y 50 - ½Y S = ½ Y 50 Atau S = Y C S = MPS dy = ½ dy = ½Y 50 Y = C + S Y = ( ½ Y + 50 ) + ( ½ Y 50 ) Analisa :Dari perhitungan di atas dapat kita ketahui bahwa fungsi konsumsi adalah C = ½Y + 50, fungsi tabungan adalah S = ½ Y 50, dan fungsi pendapatan nasionalnya adalah Y = ( ½ Y + 50 ) + ( ½ Y 50 ). Daftar Pustaka : Dumairy, Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi, edisi kedua, BPFE, Yogyakarta, MATEK Hal. 15

16 Materi Integral Tertentu MODUL INTEGRAL TERTENTU Integral tertentu merupakan suatu konsep yang berhubungan dengan proses pencarian luas suatu area yang batasan-batasan (limit) nya sudah ditentukan. Rumus Integral tertentu : b a f x dx b F x F b F a a Keterangan : a = x = batas minimum b = x = batas maksimum dimana a < b contoh : Hitunglah luas daerah persamaan x + 5 dibatasi oleh a= dan b=5! Jawab x 5 dx [ x [5 5x] 5()] 36 Penerapan Integral Tertentu Dalam Ekonomi A. Surplus Konsumen 5 5(5)] [ Yaitu cerminan suatu keuntungan lebih/surplus yang dinikmati oleh konsumen tertentu berkenaan dengan tingkat harga pasar suatu barang. Besarnya surplus konsumen (Cs) ditunjukkan oleh luas area dibawah kurva permintaan (P=f(Q)) tetapi diatas tingkat harga pasar (Pe). Cs Qe 0 f ( Q) dq Qe Pe P Pe f ( P) dp Dimana : Qe = Tingkat kuantitas keseimbangan dipasar Pe = Tingkat Harga keseimbangan di pasar P = Tingkat harga pada saat Q=0 MATEK Hal. 16

17 contoh : Modul Praktikum Materi Integral Tertentu 1. Jika fungsi permintaan P = 8 - Q dan tingkat kuantitas keseimbangan pasarnya adalah, hitunglah surplus konsumennya dan analisislah! Qe Pe 8 () 6 Cs Qe 0 0 8Q f ( Q) dq Qe Pe 8 Q 0,5Q dq Analisis : Konsumen memperoleh surplus sebesar karena konsumen dapat membeli barang tersebut dengan harga 6 padahal mereka sanggup membayar lebih tinggi.. Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Q = 6 - P. Hitunglah surplus konsumen jika tingkat harga keseimbangan pasarnya 4! Pe 4 Qe 6 (4) P 0 Q 0 Cs P Pe 6 4 f Q 6 P 6 P P 6 P dp dp 6 6 P 0.5P Analisis : Konsumen memperoleh surplus sebesar karena konsumen dapat membeli barang tersebut dengan harga 6 padahal mereka sanggup membayar lebih tinggi. MATEK Hal. 17

18 Materi Integral Tertentu B. Surplus Produsen Yaitu mencerminkan suatu keuntungan lebih/surplus yang dinikmati oleh produsen tertentu berkenaan dengan pasar dari barang yang ditawarkan. Besarnya surplus produsen (Ps) ditunjukkan oleh luas area diatas kurva penawaran (P = f(q)) tetapi dibawah tingkat harga pasar (Pe) rentang wilayahnya dibatasi oleh Q = 0 sebagai batas bawah dan Q = Qe sebagai batas atas. Ps Qe Pe Qe 0 f ( Q) dq Pe P f ( P) dp Dimana : Qe = Tingkat kuantitas keseimbangan di pasar Contoh Pe = Tingkat Harga keseimbangan di pasar P = Tingkat harga pada saat Q=0 1. Bila diketahui fungsi penawaran P = Q + dan fungsi permintaan P = 8 - Q. Carilah surplus produsen dengan dua cara dan analisislah! Cara 1 : Pd Ps Q 8 Q 3Q 8 Qe P Pe 6 Ps Qe Pe Qe 0 f Q Q dq dq Q Q MATEK Hal. 18

19 Materi Integral Tertentu Cara : P Q Q P Q 0.5P 1 P 0 Q 0 Q 1 P P Ps Pe P 6 f P 6 0.5P P P 1 dp 1 dp Analisa : Produsen memperoleh keuntungan sebesar 4 dikarenakan perusahaan dapat menjual barang dengan harga 6 padahal sebenarnya ia bersedia menjual dengan harga yang lebih rendah. MATEK Hal. 19

20 Materi Fungsi Transendental MODUL FUNGSI TRANSENDENTAL Merupakan suatu hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan. Berguna untuk menentukan tingkat pertumbuhan pada periode yang akan datang. Termasuk dalam fungsi transendental adalah fungsi eksponensial, fungsi logaritmik, fungsi trigonometrik, fungsi siklometrik, dan fungsi berpangkat irrasional. Tetapi pokok pembahasan di sini hanya pada fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik. A. Fungsi Eksponensial Adalah fungsi dari suatu konstanta berpangkat variabel bebas. Bentuk Fungsi Eksponensial yang paling sederhana adalah : di mana n > 0 y = n x Bentuk Fungsi Eksponensial yang lebih umum adalah : y = ne kx + c di mana n 0 e =,7188 k, c merupakan konstanta Contoh Soal : Tentukan titik potong kurva eksponensial y = e 0.5x - 1, pada masing-masing sumbu dan hitunglah f ()! Jawab : Pada sumbu x ; y = 0 e 0.5x = 1 Ln e 0.5x = Ln 1 0.5x Ln e = Ln 1 Ln e = 1 0,5x = 0 Ln 1 = 0 x = 0 Titik potongnya ( 0 ; 0 ) MATEK Hal. 0

21 Materi Fungsi Transendental Pada sumbu y ; x = 0 y = e 0.5x - 1 y = e 0.5 (0) - 1 y = e 0-1 y = 1-1 y = 0 Titik potongnya ( 0 ; 0 ) Untuk x = y = e 0.5x - 1 y = e 0.5 () - 1 y = e 1 1 y =,7 1 y = 1,7 Titik potongnya ( ; 1,7 ) Grafik 1 Kurva Eksponensial pada y = e 0.5x - 1 B. Fungsi Logaritmik Adalah fungsi yang variabel bebasnya merupakan bilangan logaritma. Bentuk Fungsi logaritmik yang paling sederhana adalah : y = n log x di mana n > 0 n 1 MATEK Hal. 1

22 Materi Fungsi Transendental Bentuk fungsi logaritmik yang lebih umum adalah : y = a ln (1 + x) + b di mana x > -1 Contoh soal : Tentukan titik potong kurva logaritmik y = - 0,5 Ln (1 + x) 1, pada masing-masing sumbu dan hitunglah f (3)! Jawab : Pada sumbu x ; y = 0-0,5 Ln (1 + x) = 1 Ln (1 + x) = x = e 1 + x = 0,14 x = Titik potongnya (-0,86 ; 0 ) Pada sumbu y ; x = 0 y = -0,5 Ln (1 + x) 1 y = -0,5 Ln (1 + 0) 1 y = -0,5 Ln 1 1 y = -0,5.0 1 y = 1 Titik potongnya ( 0 ; -1 ) Untuk x = 3 y = -0,5 Ln (1 + x) 1 y = -0,5 Ln (1 + 3) 1 y = -0,5 Ln 4 1 y = -0,69 1 y = -1,69 Titik potongnya ( 3 ; -1,69 ) MATEK Hal.

23 Materi Fungsi Transendental Grafik Kurva Logaritmik pada y = Ln (1 + x) = 1 C. Penerapan Ekonomi Banyak model-model bisnis dan ekonomi sangat relevan ditelaah dengan fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik, khususnya model-model yang berkenaan dengan aspek pertumbuhan. Model-model yang menerapkan fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik tersebut antara lain : 1. Model Bunga Majemuk Model ini digunakan untuk menghitung jumlah di masa datang dari jumlah sekarang suatu pinjaman atau tabungan. Model bunga majemuk ini tidak lain merupakan bentuk fungsi eksponensial. Fn = P(1 + i) n atau Fn = P(1 + di mana : Fn = Jumlah pinjaman atau tabungan setelah n tahun. P = Jumlah sekarang (tahun ke-0). i = Tingkat bunga pertahun. m = Frekuensi pembayaran bunga dalam setahun. n = Jumlah tahun i m ) m.n Di sini Fn sebagai variabel terikat (dependent variable) dan n sebagai variabel bebas (independent variable). Dengan demikian prinsip-prinsip penyelesaian persamaan eksponensial relevan diterapkan atas model ini. MATEK Hal. 3

24 Materi Fungsi Transendental Jika m sangat besar, bunga diperhitungkan sangat sering (terus-menerus) dalam setahun sehingga jumlah di masa datang tersebut dapat diperoleh dengan cara : Fn Pe m di mana e =,7188 Contoh Soal : Seorang pengusaha muda sedang melakukan pengembangan usaha, modal yang dibutuhkan sekitar Rp ,-. Untuk itu, ia meminjam modal ke Bank Konvensional dengan bunga pinjaman 10 % pertahun dan diperhitungkan secara bulanan (1 tahun = 1 bulan) untuk jangka waktu 5 tahun. Hitunglah jumlah yang harus dibayarkan oleh pengusaha muda tersebut pada saat pinjamannya jatuh tempo! Jawab: A. Dengan Rumus Bunga Majemuk Biasa 1). Tanpa Menggunakan Logaritma Fn = P(1 + i m ) m.n F 5 = ( ) 1.5 F 5 = (1.008) 60 1 F 5 = (1.613) F 5 = ,- ). Dengan Menggunakan Logaritma F 5 = (1.008) 60 Log F 5 = log log Log F 5 = Log F 5 = 7.08 F 5 = ,- MATEK Hal. 4

25 Materi Fungsi Transendental B. Dengan Rumus Bunga Majemuk Sinambung 1). Tanpa Menggunakan Logaritma Fn Pe i.m F e F e (1.65) ,- ). Dengan Menggunakan Logaritma F e 050 Ln F 5 Ln Ln e Ln e = 1 Ln F Ln F ,- Analisis : Jumlah uang yang harus dibayar oleh pengusaha muda tersebut saat jatuh tempo adalah sebesar Rp ,-. Hal ini berarti bunga pinjaman dalam jangka waktu 5 tahun yang harus dibayar adalah sebesar Rp ,-.. Model Pertumbuhan Model pertumbuhan juga merupakan salah satu bentuk eksponensial. Model semacam ini tidak saja relevan bagi penaksiran variabel kependudukan, tetapi dapat juga diterapkan untuk menaksir variabel variabel lain, berkenaan dengan pertumbuhannya dan dapat dirumuskan sebagai berikut : P t = P 1. R t-1 R = 1 + r di mana : P t = Jumlah penduduk pada tahun ke-t. t = Jumlah tahun. MATEK Hal. 5

26 Materi Fungsi Transendental P 1 = Jumlah penduduk sekarang. r = Tingkat pertumbuhan Agar model di atas dapat diterapkan secara umum terhadap segala macam variable dan tidak semata-mata hanya terpaku pada masalah kependudukan, maka persamaan di atas dapat ubah bentuknya menjadi : N t = N 1.R t-1 R = 1 + r di mana : N = Variabel yang diamati. r = Persentase pertumbuhannya persatuan waktu. t = Indeks waktu. Contoh Soal : Mulia Sejahtera Networking (MS Net) merupakan salah satu perusahaan yang bergerak dalam bidang MLM (Multilevel Marketing) di Indonesia, mulai beroperasi tahun 003. Pada awal usahanya, perusahaan ini menggunakan Personal Marketing / sales sebanyak 100 orang untuk seluruh Indonesia. Dan diperkirakan pertumbuhan Personal Marketingnya sebesar 15 % pertahun. Hitunglah berapa jumlah Personal Marketing dalam jaringan MS Net pada tahun 010? dan analisislah! Jawab : Diketahui : N = 100 orang t = 8 tahun R = r = 0.15 Ditanya : N 8 =..? Jawab : N t = N 1.R t-1 N 8 = 100. (1.15) 8-1 N 8 = 100. (.66) N 8 = 66 orang MATEK Hal. 6

27 Analisis : Modul Praktikum Materi Fungsi Transendental Dalam kurun waktu 8 tahun ke depan diperkirakan jumlah Personil Marketing (sales) akan meningkat menjadi 66 orang, dengan peningkatan sebesar 166 orang. Peningkatan ini tergolong kecil atau belum optimal peningkatannya. 3. Kurva Gompertz Metode ini digunakan untuk menganalisis variabel yang meningkat secara eksponensial selama jangka waktu tertentu, tetapi sesudah itu peningkatannya sangat kecil atau bahkan tidak berarti meskipun waktu terus berjalan. N = c a r t di mana : N = Jumlah variabel yang diamati. c = Batas jenuh pertumbuhan. a = Proporsi pertumbuhan awal. r = Tingkat pertumbuhan rata-rata (0 < r <1). t = Indeks waktu. Contoh Soal : Perusahaan MQ Enterprise merupakan produsen produk VCD penyejuk Qolbu yang sudah beroperasi selama 3 tahun. Produksi awal perusahaan sebanyak buah, terjual laris di pasar. jika tingkat rata-rata pertumbuhannya pertahun sekitar 0 %, dengan batas maksimum produksi sebanyak buah, hitunglah berapa jumlah produksi VCD pada tahun ketiga dan analisislah! Jawab : Diketahui : C = buah r = 0.0 A = X = = 0.5 t = 3 C Ditanya : N untuk tahun ke 3 atau N 3 =.? MATEK Hal. 7

28 Jawab : Untuk t = 3 Analisis : N = ( 0.5 ) 0.0 ^ 3 Log N = log log log 0.5 Log N = ( ) Log N = Log N = 4.47 N = buah Modul Praktikum Materi Fungsi Transendental Dengan produksi awal sebesar buah. Ditambah rata - rata pertumbuhan sekitar 0 % pertahun didapatkan jumlah produksi tahun ke 3 sebesar buah. Jumlah produksi tahun ke- 3 masih dibawah produksi maksimum perusahaan yaitu buah. 4. Kurva Belajar ( Learning Curve) Metode ini lebih banyak digunakan ke dalam penerapan ekonomi untuk menggambarkan prilaku produksi dan biaya dalam hubungannya dengan variabel waktu. Bentuk dasar : y = m - se -kx k, m, s > 0 Konstanta m melambangkan batas jenuh y, atau y tertinggi yang dapat tercapai. Prilaku Produksi : P = P m - P s. e - r. t di mana : P = Produksi persatuan waktu setelah t satuan waktu. P m = Kapasitas produksi maksimum persatuan waktu. P s = Sisa kapasitas produksi pada permulaan kegiatan produksi (pada t = 0). t = Indeks waktu. r = Tingkat pertumbuhan produksi. MATEK Hal. 8

29 Materi Fungsi Transendental Prilaku Biaya : C = C m - C s. e - r. t di mana : C = Biaya total persatuan waktu. C m =Biaya maksimum yang diperkenankan (anggaran yang disediakan) persatuan waktu. C s = Sisa anggaran pada permulaan periode (pada t = 0). t = Indeks waktu. r = Persentase kenaikan biaya persatuan waktu. Contoh Soal : Percetakan Adil Sejahtera mempunyai mesin cetak yang dapat memproduksi hingga cetakan (produksi maksimum). Pada awal produksi, optimalisasi (pemanfaatan) produksi diperkirakan baru sekitar 60 % dari kapasitas yang tersedia. Namun, manajer operasional yakin bahwa produksi dapat ditingkatkan sekitar 5 % setiap bulannya. Maka : a. Bentuklah persamaan prilaku produksi bulanan percetakan tersebut! b. Berapa jumlah cetakan / produksi perdananya! c. Berapa cetakan yang dapat dioptimalkan / dimanfaatkan perbulannya setelah pabrik beroperasi selama 1 tahun (1 bulan)! d. Analisislah! Jawab : Diketahui : P m = r = 0.05 P s = 40 % (10.000) = t = 1 tahun (1 bulan) a. Persamaan Prilaku Produksi Cetakan. P = P m - P s. e - r. t P = e t MATEK Hal. 9

30 b. Jumlah perdana cetakan / produksi. 60 % x = cetakan c. Jumlah cetakan yang dapat dioptimalkan setelah 1 tahun (1 bulan). Analisis : P = e t = e = ( ) = P = cetakan. Modul Praktikum Materi Fungsi Transendental Hasil cetakan yang dapat dioptimalkan setelah 1 tahun (1 bulan) adalah sebanyak 7804 cetakan, di mana dari 6000 cetakan pada awal produksi. Hal ini berarti ada peningkatan dalam optimalisasi cetakan selama 1 tahun (1 bulan) sebesar 1804 cetakan. MATEK Hal. 30

31 Materi Break Even Point MODUL BREAK EVEN POINT A. FUNGSI BIAYA Biaya dalam pengertian ekonomi adalah semua barang yang harus dibayarkan produsen untuk menghasilkan barang atau jasa tersebut siap dikonsumsi konsumen. Oleh karena itu, besar kecilnya biaya yang dikeluarkan tergantung kepada besar kecilnya barang atau jasa yang dihasilkan. Dalam matematika dapat dikatakan bahwa biaya merupakan fungsi dari jumlah produksi. Secara rumus dapat ditulis : TC = a + f (Q) Dimana TC = Total Cost ( jumlah biaya ), sedangkan Q = jumlah produksi. Jadi fungsi biaya adalah suatu fungsi yang menunjukkan hubungan antara biaya dan jumlah barang yang diproduksi. Fungsi biaya dapat digambarkan dalam bentuk kurva. Maka yang dimaksud dengan kurva biaya adalah suatu kurva yang menggambarkan titik titik kemungkinan besarnya biaya di berbagai tingkat produksi. Elemen elemen fungsi biaya Menurut analisa jangka pendek, pengertian biaya ini dapat dibedakan menjadi beberapa macam, yaitu : TC = Total Cost ( JUmlah biaya keseluruhan ) TFC= Total Fixed Cost ( Jumlah Biaya tetap ) TVC= Total Variabel Cost ( Jumlah biaya variable cost ) VC = Variabel Cost ( Biaya variable yang digunakan perusahaan ) AC = Average Cost ( Biaya Rata rata ) MC = Marginal Cost (perubahan biaya karena adanya perubahan produksi perunit) MATEK Hal. 31

32 Materi Break Even Point Bentuk umum rumus fungsi biaya : TC = TFC + TVC = TFC + VC ( Q ) TVC = VC / unit X Q MC = TC / Q AC = TC / Q P TC VC FC Q Contoh : Jika diketahui suatu perusahaan RAIHAN yang bergerak dalam bidang penjualan pakaian muslim mempunyai biaya tetap , biaya variabel dengan Quantitas 0 unit. Berapa TC dan AC? Diketahui : FC = VC = Q = 0 Unit Ditanya : TC serta AC ? Jawab : TC = TFC + VC ( Q ) = ( 0 ) = AC = TC / Q = / 0 = MATEK Hal. 3

33 Materi Break Even Point P TC VC FC Q B. FUNGSI PENERIMAAN Apabila barang hasil produksi dijual dipasar, maka uang hasil penjualan barang tersebut dinamakan jumlah pendapatan dan dapat pula disebut Total Revenue. Oleh karena itu, besarnya Total Revenue sama dengan harga perunit dikalikan jumlah unit yang terjual. Secara matematika dapat dirumuskan : TR = P X Q Elemen elemen fungsi penerimaan : TR = Total Revenue (jumlah pendapatan yang diterima secara keseluruhan) AR = Average Revenue (Rata rata penerimaan) P = Price ( Harga per unit barang ) MR = Marginal Cost ( Perubahan penerimaan karena adanya perubahan produksi perunit ) P TR Q MATEK Hal. 33

34 Contoh Soal : Modul Praktikum Materi Break Even Point Perusahaan BENAYU menjual produknya dengan harga sebesar Berapa besarnya TR dan AR? Diketahui : Q = 0 unit P = Ditanya : TR serta AR ? Jawab : TR = P X Q = X 0 = AR = TR / Q = / 0 = P TR Q MATEK Hal. 34

35 Materi Break Even Point C. BREAK EVEN POINT Berdasarkan TR dan TC diatas, dapatlah ditemukan bahwa pada suatu saat perusahaan berada disalah satu kemungkinan dari ketiga kemungkinan dibawah ini : TR < TC Rugi TR = TC BEP TR > TC Laba Bentuk umum BEP TR = TC P X Q = TFC + TVC BEP Dalam unit : Q = FC P VC BEP Dalam rupiah : P = FC 1 VC / P P TR TC VC FC Q MATEK Hal. 35

36 Materi Break Even Point Contoh : Qiqi Butik memproduksi jaket trendy dengan harga jual Rp ,- per jaket. Diketahui biay tetap dan biaya varibelnya masing-masing adalah Rp ,- dan Rp ,- per jaket. Hitunglah : a) Berapa unit dan rupiahnya agar perusahaan tidak mengalami untung maupun rugi! b) Kenaikan BBM mengakibatkan kenaikan untuk biaya variabel per jaket sebesar Rp ,-. Berapa BEP unit dan BEP rupiah setelah kenaikan BBM! c) Gambar grafik dan analisa! Jawab : Dik : P = Rp ,- per jaket FC = Rp ,- VC = Rp ,- per jaket Dit : a) BEP dalam Unit b) BEP dalam Unit setelah adanya keaikan VC sebesar Rp Jawaban ; a) BEP dalam Unit Q = = b) BEP setelah ada kenaikan VC sebesar Rp Q = = MATEK Hal. 36

37 Materi Break Even Point D. PENJUALAN MINIMAL ( MINIMAL SALES ) Dalam penjualan minimal ini perusahaan ingin mengetahui berapa unit yang harus dijual jika perusahaa mentargetkan laba yang harus dicapai. Bentuk umum untuk penjualan minimal : Q = FC + laba P VC Contoh : Jika perusahaan RABBANI mentargetkan laba sebesar maka berapakah penjualan minimal perusahaan tersebut? Diketahui : FC = P = VC = Laba = Ditanya : Berapa penjualan minimal ? Jawab : FC + Laba Q = P VC Q = = 5 unit Jika perusahaan RABBANI ingin mencapai target maka penjualan minimal adalah 5 unit. MATEK Hal. 37