LABORATORIUM MANAJEMEN DASAR MATEMATIKA EKONOMI 2 NAMA : KELAS : NPM : PJ : KP : TUTOR : ASBAR :

Transkripsi

1

2 LABORATORIUM MANAJEMEN DASAR MATEMATIKA EKONOMI 2 NAMA : KELAS : NPM : PJ : KP : TUTOR : ASBAR : ATA 2017/2018

3 SUSUNAN TIM LITBANG SUSUNAN TIM LITBANG MATEMATIKA EKONOMI 2 ATA 2017/2018 STAF PENANGGUNG JAWAB LISTA KUSPRIATNI, SE., MM DESTI DIRNAENI, SE., MM PENANGGUNG JAWAB ASISTEN YUNUS PATTY PENANGGUNG JAWAB PROGRAMMER BAGAS ARDIAN DERIVATIF INTEGRAL TAK TENTU INTEGRAL TERTENTU TRANSENDENTAL Laras Manjari Afra Mikyal Z Dionesia Sesilia Mutiara Cindy W Rizma Cania W Rana Atiqah M Khansa Shabirah Z M Geri Setiawan Rosdiana Rolan Pradana Mickael Clinton S Mustika Rahmi Nurul Fauziah Rita Darniati Lusi Setiani Ersa Bita D Gita Fitri K Jodie Immanuel N Anggita Azizah A Ika Nurfitriana M Rizky Anindisa Sarah Amanda LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 ii

4 KATA PENGANTAR KATA PENGANTAR Puji syukur penyusun panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas berkat, dan karunia yang diberikan-nya, sehingga penyusun dapat menyelesaikan modul ini tepat pada waktunya. Dalam rangka meningkatkan mutu pembelajaran dalam perkuliahan, modul dapat menjadi salah satu penunjang yang efektif. Modul ini disusun sebagai panduan kegiatan praktikum Laboratorium Manajemen Dasar Universitas Gunadarma. Modul praktikum ini merupakan penyempurnaan dari modul praktikum sebelumnya dan diharapkan dengan adanya modul praktikum ini dapat meningkatkan pemahaman dasar materi praktikum khususya Matematika Ekonomi 2, serta sebagai pedoman bagi mahasiswa dalam melakukan penelitian-penelitian ekonomi. Selain itu modul ini juga dapat digunakan sebagai dasar suatu pandangan mahasiswa melihat keadaan perekonomian dan disesuaikan dengan teori-teori ekonomi yang ada. Penyusun sangat menyadari bahwa modul praktikum ini masih perlu disempurnakan lagi, maka saran dan kritik untuk penyajian modul ini kedepan sangat diperlukan. Akhir kata, penyusun mengucapkan terimakasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam peyusunan modul ini. Jakarta, 20 Januari 2018 Tim Litbang Matek 2 (ATA 2017/2018) LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 iii

5 DAFTAR ISI DAFTAR ISI SUSUNAN TIM LITBANG... ii KATA PENGANTAR... iii DAFTAR GAMBAR... vi DERIVATIF KONSEP DASAR TURUNAN KAIDAH DIFERENSIASI HUBUNGAN ANTARA FUNGSI DAN DERIVATIFNYA Menentukan Keadaan Fungsi Menaik dan Fungsi Menurun Titik Ekstrim Fungsi Parabolik PENERAPAN EKONOMI Elastisitas BIAYA PENERIMAAN LABA MAKSIMUM INTEGRAL TAK TENTU KONSEP DASAR INTEGRAL TAK TENTU KAIDAH-KAIDAH DALAM INTEGRASI TAK TENTU PENERAPAN EKONOMI FUNGSI BIAYA FUNGSI PENERIMAAN LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 iv

6 DAFTAR ISI 3.3 FUNGSI PRODUKSI FUNGSI UTILITAS FUNGSI KONSUMSI DAN FUNGSI TABUNGAN INTEGRAL TERTENTU KONSEP DASAR INTEGRAL TERTENTU PENERAPAN EKONOMI SURPLUS KONSUMEN SURPLUS PRODUSEN TRANSENDENTAL KONSEP DASAR TRANSENDENTAL Fungsi Eksponensial Fungsi Logaritmik PENERAPAN EKONOMI MODEL BUNGA MAJEMUK MODEL PERTUMBUHAN KURVA GOMPERTZ KURVA BELAJAR DAFTAR PUSTAKA LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 v

7 DAFTAR GAMBAR DAFTAR GAMBAR Gambar 1.1 Tampilan Menu Derivatif Gambar 1.2 Tampilan Pangkat Terbesar Gambar 1.3 Tampilan Menu Input Data Gambar 1.4 Output Data Elastisitas Permintaan Gambar 1.5 Tampilan Menu Derivatif Gambar 1.6 Tampilan Pangkat Terbesar Gambar 1.7 Tampilan Menu Input Data Gambar 1.8 Output Data Elastisitas Penawaran Gambar 1.9 Tampilan Menu Derivatif Gambar 1.10 Tampilan Pangkat Terbesar Gambar 1.11 Tampilan Menu Input Data Gambar 1.12 Output Data Elastisitas Produksi Gambar 1.13 Tampilan Menu Derivatif Gambar 1.14 Tampilan Pangkat Terbesar Gambar 1.15 Tampilan Menu Input Data Gambar 1.16 Output Data Fungsi Biaya Gambar 1.17 Tampilan Menu Derivatif Gambar 1.18 Tampilan Pangkat Terbesar Gambar 1.19 Tampilan Menu Input Data Gambar 1.20 Output Data Fungsi Penerimaan LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 vi

8 DAFTAR GAMBAR Gambar 1.21 Tampilan Menu Derivatif Gambar 1.22 Output Data Fungsi Laba Gambar 2.1 Tampilan Menu Awal Software EC-Math Gambar 2.2 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu Gambar 2.3 Tampilan Menu Operasi Fungsi Biaya Gambar 2.4 Tampilan Menu Input Data Fungsi Biaya Gambar 2.5 Tampilan Menu Output Data Fungsi Biaya Gambar 2.6 Tampilan Menu Awal Software EC-Math Gambar 2.7 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu Gambar 2.8 Tampilan Menu Operasi Fungsi Penerimaan Gambar 2.9 Tampilan Menu Input Data Fungsi Penerimaan Gambar 2.10 Tampilan Menu Output Data Fungsi Penerimaan Gambar 2.11 Tampilan Menu Awal Software EC-Math Gambar 2.12 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu Gambar 2.13 Tampilan Menu Operasi Fungsi Produksi Gambar 2.14 Tampilan Menu Input Data Fungsi Produksi Gambar 2.15 Tampilan Menu Output Data Fungsi Produksi Gambar 2.16 Tampilan Menu Awal Software EC-Math Gambar 2.17 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu Gambar 2.18 Tampilan Menu Operasi Fungsi Konsumsi Gambar 2.19 Tampilan Menu Input Data Fungsi Konsumsi Gambar 2.20 Tampilan Menu Output Data Fungsi konsumsi Gambar 2.21 Tampilan Menu Output Data Fungsi Tabungan LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 vii

9 DAFTAR GAMBAR Gambar 3.1 Kurva Surplus Konsumen Gambar 3.2 Kurva Surplus Konsumen Contoh Kasus Gambar 3.3 Tampilan Awal Integral Tertentu Gambar 3.4 Tampilan Surplus Konsumen Gambar 3.5 Hasil Perhitungan Surplus Konsumen Gambar 3.6 Tampilan Awal Integral Tertentu Gambar 3.7 Tampilan Surplus Konsumen Gambar 3.8 Hasil Perhitungan Surplus Konsumen Gambar 3.9 Kurva Surplus Konsumen Contoh Kasus Gambar 3.10 Tampilan Awal Integral Tertentu Gambar 3.11 Tampilan Surplus Konsumen Gambar 3.12 Hasil Perhitungan Surplus Konsumen Gambar 3.13 Tampilan Awal Integral Tertentu Gambar 3.14 Tampilan Surplus Konsumen Gambar 3.15 Hasil Perhitungan Surplus Konsumen Gambar 3.16 Kurva Surplus Produsen Gambar 3.17 Kurva Surplus Produsen Contoh Kasus Gambar 3.18 Tampilan Awal Integral Tertentu Gambar 3.19 Tampilan Surplus Produsen Gambar 3.20 Hasil Perhitungan Surplus Produsen Gambar 3.21 Tampilan Awal Integral Tertentu Gambar 3.22 Tampilan Surplus Produsen Gambar 3.23 Hasil Perhitungan Surplus Produsen LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 viii

10 DAFTAR GAMBAR Gambar 4.1 Hasil Perhitungan Model Bunga Majemuk Gambar 4.2 Hasil Perhitungan Model Pertumbuhan Gambar 4.3 Hasil Perhitungan Kurva Gompertz Gambar 4.4 Hasil Perhitungan Kurva Belajar LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 ix

11 DERIVATIF DERIVATIF 1. KONSEP DASAR TURUNAN Diferensial membahas tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan (Dumairy, 2012). Jika y = f (x), maka y f(x + x) f( x ) = x x Bentuk y/ x disebut sebagai hasil bagi perbedaan atau kuosien diferensi (difference quotient), mencerminkan tingkat perubahan rata-rata variabel terikat y terhadap variabel bebas x. Proses penurunan sebuah fungsi, disebut juga proses pendiferensian atau diferensiasi. Hasil yang diperoleh dari proses diferensiasi tersebut dinamakan turunan atau derivatif. Turunan diperoleh dengan menentukan limit dari hasil bagi diferensi, dimana: x 0. Dengan demikian, Jika y = f(x), maka fungsi turunannya adalah y lim x 0 = f(x+ x) f(x) lim x 0 x x LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 1

12 DERIVATIF 2. KAIDAH DIFERENSIASI Berikut ini kaidah diferensiasi dalam berbagai bentuk fungsi : 1. Diferensiasi fungsi konstanta Jika y = k, dimana k adalah konstanta, maka y I = 0 Contoh : y = 7 maka y I = 0 2. Diferensiasi fungsi linier Jika y = a + bx, dimana a adalah konstanta, maka y I = b Contoh : y = x maka y I = 8 3. Diferensiasi fungsi pangkat Jika y = ax n, dimana a adalah konstanta, maka y I = n.ax n-1 Contoh : 8x 2 maka y = 2.8x 2-1 = 16x 4. Diferensiasi penjumlahan (pengurangan) fungsi Jika y = u ± v, dimana u = g(x) dan v = n(x), maka y I = u I ± v I Contoh : y = 7x 4 ± 7x 3 u = 7x 4 maka u I = 4.7x 4-1 = 28x 3 v = 7x 3 maka v I = 3.7x 3-1 = 21x 2 karena y I = u I ± v I, maka y I = 28x 3 ± 21x 2 5. Diferensiasi perkalian a. Perkalian fungsi dan konstanta LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 2

13 DERIVATIF Jika y = k. u, dimana u = g(x), maka y I = k. u I Contoh : y = 5. x 2 u = x 2 maka u I = 2.1x 2-1 = 2x karena y I = k. u I, maka y I = 5. 2x = 10x b. Perkalian fungsi Jika y = u. v dimana u = g(x) dan v = h(x), maka y I = u I.v + u.v I Contoh : y = (x 5 2)(5x 2 7) u = (x 5 2) u = 5.1x 5-1 = 5x 4 v = (5x 2 7) v = 2.5x 2-1 = 10x karena y I = u I.v + u.v I y I = (5x 4 )(5x 2 7) + (x 5 2)(10x) = 25x 6 35x x 6 20x = 35x 6 35x 4 20x 6. Diferensiasi hasil bagi fungsi Jika y = u v dimana u = g(x) dan v = h(x), maka yi = u.v u.v Contoh : (7x2 5) ( 5x 3 6) v 2 u = (7x 2 5) u I = 2.7x 2-1 = 14x v = (5x 3 6) v I = 3.5x 3-1 = 15x 2 LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 3

14 DERIVATIF karena y I = u.v u.v v 2 y I = (14x)(5x3 6) (7x 2 5)(15x 2 ) (5x 3 6) 2 = 70x4 84x 105x 4 +75x 2 (5x 3 6) 2 = 35x4 +75x 2 84x 25x 6 60x Diferensiasi fungsi komposisi (dalil rantai) Jika y = f (u) sedangkan u = g (x), dengan kata lain y = f [ g(x) ], maka dy = dy du x dx du dx Contoh 1: y = (6x 2 + 4) 2 Misalkan : u = 6x sehingga y = u 2 du dx = 12x dy du = 2u Maka dy = 2u. 12x = dy du x dx du dx = 2(6x 2 + 4)(12x) = 144x x Contoh 2: y = 3x 2 + 4x 5 y = (3x 2 + 4x 5) 1/2 LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 4

15 DERIVATIF misalkan : u = 3x 2 + 4x 5, sehingga y = u 1/2 du dx = 6x + 4 dy du = ½ u-1/2 Maka dy = dy du x dx du dx = ½ u -1/2. (6x + 4) = ½ (3x 2 + 4x 5) -1/2. (6x + 4) = 1 x 1 x (6x + 4) 2 3x 2 +4x 5 = 6x+4 2 3x 2 +4x 5 8. Diferensiasi tingkat tinggi (derivatif dari derivatif) Derivatif ke-n dari fungsi y = f(x) diperoleh dengan mendiferensiasikan sebanyak n kali Derivatif ke n dilambangkan dengan dn y dx n atau f n (x) atau y n Contoh : y = 6x 5 + 5x 4 + 4x 3 + 3x 2 + x maka y I atau dy dx = 30x4 + 20x 3 + 6x + 1 y II atau d2 y dx 2 = 120x3 + 60x Diferensiasi implisit Adalah suatu kaidah diferensiasi dengan mendiferensiasikan f (x,y) = 0 suku demi suku dengan memandang y sebagai fungsi x, kemudian dari persamaan tersebut ditentukan nilai dy/dx. LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 5

16 DERIVATIF Contoh : xy 2 x 2 + y = 0 didiferensiasikan terhadap x, maka : y 2 2x dx + 2xy + 1 dy = 0 (2xy + 1) dy = (-y 2 + 2x) dx dy = y2 +2x dx 2xy Diferensiasi fungsi logaritmik y = a log x dy dx = 1 x ln a Contoh : jika y = 5 log 2 maka tentukan dy/dx dy = 1 dx 2 ln Diferensiasi fungsi eksponensial y = e x y = a x dy dx = ex dy dx = ax ln a 12. Diferensiasi fungsi trigonometric Beberapa turunan fungsi trigonometric yang penting adalah : y = sin x y = cos x y = tan x y = cot x dy dx = cos x dy dx = - sin x dy dx = sec2 x dy dx = -cosec2 x LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 6

17 DERIVATIF y = sec x y = cosec x Catatan : dy dx dy dx = sec x. tan x = cosec x. cot x sec x = cosec x = cot x = 1 cos x 1 sin x 1 tan x 3. HUBUNGAN ANTARA FUNGSI DAN DERIVATIFNYA 3.1 MENENTUKAN KEADAAN FUNGSI MENAIK DAN FUNGSI MENURUN Derivatif pertama dari sebuah fungsi non-linier dapat digunakan untuk menentukan apakah kurva dari fungsi yang bersangkutan menaik ataukah menurun pada kedudukan tertentu. 1. Fungsi y = f (x) menaik jika f I (x) > 0 2. Fungsi y = f (x) menurun jika f I (x) < 0 3. Jika derivatif pertama f I (x) = 0, berarti fungsi berada pada titik ekstrim 3.2 TITIK EKSTRIM FUNGSI PARABOLIK Dalam sebuah fungsi parabolik, derivatif pertama berguna untuk menentukan letak titik ekstrimnya, sedangkan derivatif kedua digunakan untuk mengetahui jenis titik ekstrim yang bersangkutan. Jenis-jenis Titik Ekstrim Fungsi Parabolik adalah: LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 7

18 DERIVATIF Jika f II (x) > 0, maka (x, y) merupakan titik ekstrim minimum Jika f II (x) < 0, maka (x, y) merupakan titik ekstrim maksimum Contoh Soal: Diketahui y = 50x 5x², tentukanlah titik ekstrim maksimum atau minimum dari fungsi tersebut! Jawab: y I = 50 10x y II = -10 < 0 (Titik ekstrim maksimum) Letak titik ekstrim y I = x = 0 50 = 10x LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 8

19 DERIVATIF 5 = x y = 50(5) 5(5) 2 y = 125 Jadi letak titik ekstrim maksimum adalah pada koordinat (5,125). 4. PENERAPAN EKONOMI 4.1 ELASTISITAS Elastisitas adalah perubahan persentase suatu variabel terikat (dependent variable) sebagai akibat adanya perubahan persentase suatu variabel bebas (independent variable) (Kalangi, 2015) ELASTISITAS HARGA Adalah perubahan persentase jumlah yang diminta oleh konsumen atau ditawarkan oleh produsen akibat adanya perubahan persentase dari harga barang itu sendiri. Untuk fungsi permintaan dan penawaran yang berbentuk Q = f(p) maka rumus elastisitas harga titik permintaan adalah Ƞ h = dq/q dp/p = dq Q. P dp = dq dp. P Q Jika fungsi permintaan dan penawaran yang berbentuk P = f(q) maka rumus elastisitas harga titik permintaan adalah Ƞ h = 1 dp/dq. P Q LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 9

20 DERIVATIF CONTOH KASUS 1 Jika fungsi permintaan suatu barang di tunjukkan oleh Q = 150 5P, berapakah elastisitas harga pada tingkat harga P = 10? Penyelesaian: Diketahui : Q = 150 5P P = 10 Ditanya : Ƞ h? Jawab : Jika P = 10, maka Q = 100 dan dq dp = -5 Ƞ h = dq. P 10 = 5 ( ) = -0,5 = 0,5 < 1 inelastis dp Q 100 Analisis : Jadi elastisitas harga permintaan pada tingkat harga sebesar 10 adalah sebesar - 0,5 yang mempunyai arti apabila harga barang naik 1%, maka jumlah permintaan terhadap barang itu turun 0,5%. Umumnya elastisitas harga dari permintaan di setiap titik pada kurva permintaan yang menurun akan bernilai negatif, tetapi dalam mengukur koefisien elastis harga biasanya diambil dari nilai mutlaknya (absolut) sehingga nilai koefisien elastis harga paling kecil adalah 0 dan paling besar adalah (0 Ƞh ). Dari nilai absolut ini dapat dikategorikan menjadi lima macam elastisitas yaitu : LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

21 DERIVATIF a. Ƞ > 1 elastis Contoh : Barang mewah b. Ƞ < 1 inelastis Contoh : Kebutuhan pokok c. Ƞ = 1 unitary elastis Contoh : Barang barang elektronik d. Ƞ = 0 inelastis sempurna Contoh : Bahan bakar minyak e. Ƞ = elastis tak hingga Contoh : Bumbu dapur ELASTISITAS PERMINTAAN Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya persentase perubahan jumlah barang yang diminta akibat adanya persentase perubahan harga. Istilah yang lengkap adalah elastisitas harga-per-permintaan. Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan Qd = f(p), maka elastisitas permintaannya adalah Ƞ d = Qd I. P Qd LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

22 DERIVATIF CONTOH KASUS 2 Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukan oleh persamaan Qd = 70 8P 2. Tentukan elastisitas permintaannya pada tingkat harga P = 10! Analisislah! Penyelesaian: Diketahui : Qd = 70 8P 2 Qd I = -16P P = 10 Ditanya : Ƞ d? Jawab : Ƞ d = Qd I. P Qd Ƞ d = -16P. Ƞ d = -16(10). P 70 8P (10) 2 Ƞ d = 2,19 > 1 Elastis Analisis : Jadi besarnya elastisitas permintaan adalah 2,19 pada saat tingkat harga sebesar Rp.10. Jika harga tersebut mengalami perubahan sebesar 1% maka barang yang diminta akan mengalami perubahan sebanyak 2,19%. LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

23 DERIVATIF Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math 1. Buka aplikasi EC-Math, Pilih Derivatif, kemudian pilih Mencari Elastisitas Permintaan. Gambar 1.1 Tampilan Menu Derivatif 2. Masukkan Pangkat Terbesar sama dengan 2 kemudian tekan Enter Gambar 1.2 Tampilan Pangkat Terbesar LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

24 DERIVATIF 3. Maka akan muncul tampilan di bawah ini. Masukkan angka yang diketahui di soal. Gambar 1.3 Tampilan Menu Input Data 4. Kemudian tekan Enter,maka hasilnya adalah sebagai berikut. Gambar 1.4 Output Data Elastisitas Permintaan LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

25 DERIVATIF ELASTISITAS PENAWARAN Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya persentase perubahan jumlah barang yang ditawarkan berkenaan adanya persentase perubahan harga. Istilahnya yang lengkap adalah elastisitas harga-perpenawaran. Jika fungsi penawaran dinyatakan dengan Qs = f(p), maka elastisitas penawarannya adalah Ƞs = Qs. P Qs CONTOH KASUS 3 Fungsi penawaran suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qs = P². Tentukanlah elastisitas penawaran pada saat P = Rp5 per unit. Bagaimana sifat elastisitasnya? Analisislah! Penyelesaian: Diketahui : Qs = P² Qs I = 10P P = 5 Ditanya : Ƞs? Jawab : Ƞs = Qs. = 10P. P Qs P 60+5P 2 LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

26 DERIVATIF = 10(5) (5) 2 Ƞs = 1,35 > 1 Elastis Analisis : Jadi, besarnya elastisitas penawaran adalah 1,35 pada saat harga produk sebesar Rp5. Jika harga tersebut mengalami perubahan 1% maka barang yang diminta akan mengalami perubahan sebesar 1,35%. Langkah Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math 1. Buka aplikasi EC-Math. Pilih Derivatif, kemudian pilih mencari Elastisitas Penawaran Gambar 1.5 Tampilan Menu Derivatif LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

27 DERIVATIF 2. Masukkan Pangkat Terbesar sama dengan 2 kemudian tekan Enter Gambar 1.6 Tampilan Pangkat Terbesar 3. Maka akan muncul tampilan dibawah ini. Masukkan angka yang diketahui di soal Gambar 1.7 Tampilan Menu Input Data LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

28 DERIVATIF 4. Kemudian tekan Enter, maka hasilnya adalah berikut Gambar 1.8 Output Data Elastisitas Penawaran ELASTISITAS PRODUKSI Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah keluaran (output) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan (input) yang digunakan. Jika P melambangkan jumlah produk yang dihasilkan sedangkan X melambangkan jumlah input yang digunakan, dan fungsi produksi dinyatakan dengan P = f(x), maka elastisitas produksinya adalah Ƞp = P. X P CONTOH KASUS 4 Diketahui fungsi produksi suatu barang ditunjukkan oleh P = 5x³ - 8x². Hitunglah elastisitas pada X = 7 unit dan analisislah! LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

29 DERIVATIF Penyelesaian: Diketahui : P = 5x³ 8x² P I = 15x² - 16x X = 7 Ditanya : Ƞp? Jawab : Ƞp = P. X P = (15x 2 16x). X 5x 3 8x 2 = 15x3 16x 2 5x 3 8x 2 = 15(7)3 16(7) 2 5(7) 3 8(7) 2 = Ƞp = 3,30 > 1 Elastis Analisis : Jadi besarnya elastisitas produksi adalah 3,30 pada saat jumlah masukkan (input) produk sebanyak 7 unit. Jika terjadi perubahan masukkan sebesar 1% maka barang yang diproduksi akan mengalami perubahan sebesar 3,30%. LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

30 DERIVATIF Langkah Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math 1. Buka aplikasi EC-Math. Pilih Derivatif, kemudian pilih mencari Elastisitas Produksi Gambar 1.9 Tampilan Menu Derivatif 2. Masukkan Pangkat Terbesar sama dengan 3 kemudian tekan Enter Gambar 1.10 Tampilan Pangkat Terbesar LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

31 DERIVATIF 3. Maka akan muncul tampilan dibawah ini. Masukkan angka yang diketahui di soal Gambar 1.11 Tampilan Menu Input Data 4. Kemudian tekan Enter, maka hasilnya adalah berikut Gambar 1.12 Output Data Elastisitas Produksi LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

32 DERIVATIF 4.2 BIAYA BIAYA TOTAL (TC) Adalah seluruh biaya yang dibutuhkan untuk memproduksi atau memasarkan sejumlah barang atau jasa, baik yang merupakan biaya tetap atau biaya variabel. TC = F(Q) atau TC = FC + VC Dimana: TC = Biaya Total (Total Cost) FC = Biaya Tetap (Fixed Cost) VC = Biaya Variabel (Variabel Cost) Q = Jumlah Barang (Quantity) BIAYA RATA-RATA (AC) Biaya untuk memproduksi satu unit barang disebut sebagai biaya ratarata (average cost). Biaya rata-rata diperoleh dari biaya total dibagi dengan jumlah unit barang yang diproduksi. Dimana : AC = Biaya rata-rata (Average Cost) AC = TC Q = F(Q) Q LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

33 DERIVATIF TC = Biaya Total (Total Cost) Q = Jumlah Barang (Quantity) BIAYA MARGINAL (MC) Adalah tingkat perubahan biaya total sebagai akibat adanya perubahan satu unit produk yang diproduksi. MC = TC = TC Q Dimana : MC = Biaya Marginal (Marginal Cost) TC = Perubahan Biaya Total Q = Perubahan Satu Unit Produk CONTOH KASUS 5 Biaya total yang dikeluarkan oleh perusahaan sabun mandi PT UNILOVER di tunjukkan oleh persamaan TC = 50Q Q 2 10Q Tentukan besarnya biaya total, biaya rata-rata, dan biaya marginal pada saat kuantitas 5 unit? Berikan Analisisnya! Penyelesaian: Diketahui : TC = 50Q Q 2 10Q + 15 Q = 5 LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

34 DERIVATIF Ditanya : TC, AC, MC pada saat Q = 5? Jawab : TC = F(Q) = 50Q Q 2 10Q + 15 = 50(5) (5) 2 10(5) + 15 = = 7965 AC = TC Q = = 1593 MC = TC I = 150Q Q 10 = 150(5) (5) 10 = = 4440 Analisis : Jadi pada saat perusahaan memproduksi sebesar 5 unit maka biaya total yang dikeluarkan sebesar Rp dengan biaya rata-rata sebesar Rp dan biaya marginal Rp LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

35 DERIVATIF Langkah Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math 1. Buka aplikasi EC-Math. Pilih Derivatif, kemudian pilih mencari Fungsi Biaya Gambar 1.13 Tampilan Menu Derivatif 2. Masukkan Pangkat Terbesar sama dengan 3 kemudian tekan Enter Gambar 1.14 Tampilan Pangkat Terbesar LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

36 DERIVATIF 3. Maka akan muncul tampilan dibawah ini. Masukkan angka yang diketahui di soal Gambar 1.15 Tampilan Menu Input Data 4. Kemudian tekan Enter, maka hasilnya adalah berikut Gambar 1.16 Output Data Fungsi Biaya LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

37 DERIVATIF 4.3 PENERIMAAN PENERIMAAN TOTAL (TR) Adalah hasil kali antara jumlah produk yang diminta atau yang terjual dengan harga produk per unit. TR = F(Q) = P. Q PENERIMAAN RATA-RATA (AR) Adalah hasil dari penerimaan per unit yang diperoleh dari penjualan suatu barang/jasa pada kuantitas tertentu. Fungsi Average revenue sama dengan fungsi permintaan dari harga barang tersebut. AR = TR Q = PxQ Q = P PENERIMAAN MARGINAL (MR) Adalah tambahan penerimaan total yang diakibatkan oleh adanya tambahan satu unit produk yang terjual. MR = TR = TR Q LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

38 DERIVATIF CONTOH KASUS 6 Fungsi permintaan perusahaan batik ditunjukkan oleh P = -7Q Bagaimanakah persamaan penerimaan totalnya? Lalu berapakah besarnya penerimaan total, penerimaan rata-rata, dan penerimaan marginal jika penjualannya sebesar 10 unit? Analisislah! Penyelesaian: Diketahui : P = -7Q + 85 Q = 10 Ditanya : Persamaan TR? Besarnya TR, AR, MR pada saat Q = 10? Jawab : TR = P x Q = (-7Q + 85) x Q = -7Q Q Jika Q = 10, maka : TR = F(Q) = -7Q Q = -7(10) (10) = = 150 LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

39 DERIVATIF AR = TR/Q = 150 / 10 = 15 MR = TR I = -14Q + 85 = -14(10) + 85 = -55 Analisis : Jadi penerimaan total yang diterima perusahaan batik saat penjualan 10 unit sebesar Rp 150 dengan penerimaan rata-rata sebesar Rp 15 dan penerimaan marginal sebesar Rp 55. Langkah Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math 1. Buka aplikasi EC-Math. Pilih Derivatif, kemudian pilih mencari Fungsi Penerimaan LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

40 DERIVATIF Gambar 1.17 Tampilan Menu Derivatif 2. Masukkan Pangkat Terbesar sama dengan 2 kemudian tekan Enter Gambar 1.18 Tampilan Pangkat Terbesar LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

41 DERIVATIF 3. Maka akan muncul tampilan dibawah ini. Masukkan angka yang diketahui di soal Gambar 1.19 Tampilan Menu Input data 4. Kemudian tekan Enter, maka hasilnya adalah berikut Gambar 1.20 Output Data Fungsi Penerimaan LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

42 DERIVATIF 4.4 LABA MAKSIMUM Laba adalah selisih antara penerimaan total dengan biaya total, atau dapat dinyatakan dengan rumus : π = TR TC atau π = (P. Q) (FC + VC) Dimana : π = Laba TR = Penerimaan Total TC = Biaya Total Terdapat tiga pendekatan perhitungan laba maksimum yaitu : 1. Pendekatan Totalitas (Totality Approach) 2. Pendekatan Rata-Rata (Average Approach) 3. Pendekatan Marginal (Marginal Approach) Pada bab ini kita hanya akan membahas perhitungan laba maksimum dengan pendekatan marginal (Marginal Approach). Perhitungan laba dilakukan dengan membandingkan Biaya Marginal (MC) dan Pendapatan Marginal (MR). laba maksimum akan tercapai pada saat MR = MC. Laba (π dibaca: phi) = TR TC. Laba maksimum tercapai bila turunan pertama fungsi (dπ/dq) sama dengan nol dan nilainya sama dengan nilai turunan pertama TC (dtc/dq atau MC ) sehingga MR MC = 0. Dengan demikian, perusahaan akan memperoleh laba maksimum (atau kerugian minimum), bila ia berproduksi pada tingkat output di mana MR = MC. LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

43 DERIVATIF CONTOH KASUS 7 Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = -18Q dengan biaya variabel VC = 10Q 2 100Q. Biaya tetap yang dikeluarkan perusahaan sebesar Tentukanlah pada tingkat penjualan berapa perusahaan bisa mendapatkan laba maksimum dan berapakah besarnya laba tersebut? Berikan Analisisnya! Penyelesaian: Diketahui : TC = VC + FC = 10Q 2 100Q TR = P x Q = (-18Q )Q = -18Q Q Ditanya : Q pada saat laba maksimum, dan besar laba (π)? Jawab : MR = TR I MR = -36Q MC = TC I MC = 20Q 100 Perhitungan Laba Maksimum (π max ) MR = MC -36Q = 20Q = 20Q + 36Q LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

44 DERIVATIF = 56Q Q = 91,07 91 TR = -18(91) (91) = TC = 10(91) 2 100(91) = πmax = = Analisis : Jadi untuk mendapatkan laba maksimum, perusahaan harus menjual produknya sebanyak 91 unit sehingga keuntungan maksimum yang didapat sebesar Rp Langkah Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math 1. Buka aplikasi EC-Math. Pilih Derivatif, kemudian pilih mencari Fungsi Laba Gambar 1.21 Tampilan Menu Derivatif LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

45 DERIVATIF 2. Kemudian masukkan data-data yang ada di soal, maka akan muncul output seperti ini Gambar 1.22 Output Data Fungsi Laba LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

46 INTEGRAL TAK TENTU INTEGRAL TAK TENTU 1. KONSEP DASAR INTEGRAL TAK TENTU Dalam kalkulus integral dikenal dua macam pengertian integral, yaitu Integral Tak Tentu (Indefinite Integral) dan Integral Tertentu (Definite Integral). Integral tak tentu adalah kebalikan dari diferensial, yakni suatu konsep yang berhubungan dengan proses penemuan suatu fungsi asal apabila turunan atau derevatif dari fungsinya diketahui, sedangkan Integral tertentu adalah suatu konsep yang berhubungan dengan proses pencarian luas suatu area yang batasbatas limit dari area tersebut sudah tertentu (Dumairy, 2012). Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(x) berarti adalah mencari integral atau turunan-antinya, yaitu F(x). Bentuk umum integral dari f(x) adalah: f(x)dx = F(x) + k Keterangan : f(x)dx F(x) k = Tanda integral = Diferensial dari F(x) = Integral particular = Konstanta pengintegralan LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

47 INTEGRAL TAK TENTU Dalam diferensial kita menemukan bahwa jika suatu fungsi asal dilambangkan dengan F(x) dan fungsi turunannya dilambangkan dengan f(x) maka: Untuk fungsi asal : F(x) = x Fungsi turunannya : f(x)dx = d F(x) dx = 2x Jika prosesnya dibalik, yakni fungsi turunan f(x) diintegralkan, maka : f(x)dx = F(x) + k = x 2 + k Karena derivatif dari setiap konstanta adalah nol. Jadi setiap kita mengintegralkan fungsi turunan konstanta k tetap dalam bentuk k. Nilai k tidak dapat diisi dengan sembarang bilangan tertentu kecuali nilai k tersebut sudah ditentukan. Karena ketidaktentuan nilai konstanta itulah maka bentuk integral yang merupakan kebalikan dari diferensial dinamakan integral tak tentu. 2. KAIDAH-KAIDAH DALAM INTEGRASI TAK TENTU Karena integrasi tak tentu pada dasarnya merupakan kebalikan dari diferensial, maka kaidah-kaidah integrasi tak tentu akan dapat dipahami berdasarkan pengetahuan tentang kaidah-kaidah diferensiasi. Kaidah 1. Formula Pangkat x n dx = xn+1 n+1 + k Contoh : LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

48 INTEGRAL TAK TENTU x 4 dx = xn+1 n+1 + k = x5 5 + k = 0,2 x5 + k Kaidah 2. Formula Logaritmis 1 x dx = ln x + k Contoh : 3 x dx = 3 ln x + k Kaidah 3. Formula Eksponensial e x dx = e x + k e u du = e u + k u = f(x) Contoh : e x + 2 dx = e x + 2 d(x + 2 ) = e x k Kaidah 4. Formula Penjumlahan {f(x) + g(x)} = f(x) dx + g(x) dx = F(x) + G(x) + k Contoh : (x 4 + 3x 2 ) dx = x 4 dx + 3x 2 dx = 0,2x 5 + x 3 + k Kaidah 5. Formula Perkalian nf(x)dx = n f(x)dx Contoh : 3x 2 dx = 3 x 2 dx = 3 ( x k) = x3 + k LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

49 INTEGRAL TAK TENTU Kaidah 6. Formula Substitusi f(u) du xn+1 dx = f(u) du = F(u) + k dx n+1 Contoh : Selesaikanlah x+3 x 2 +6x dx Misalkan u = x 2 + 6x, maka du = 2x + 6 dx Karena pembilang (x + 3) = 1 (du/dx). Sehingga : 2 x+3 x 2 +6x dx = 1/2(du/dx) u dx = 1/2du u = 1 2 du u = u du = 1 2 ln u + k 3. PENERAPAN EKONOMI Pendekatan integral tak tentu dapat diterapkan untuk mencari persamaan fungsi total dari suatu variable ekonomi apabila persamaan fungsi marginalnya diketahui. Karena fungsi marginal pada dasarnya merupakan turunan dari fungsi total, maka dengan proses sebaliknya, yaitu integrasi, dapat dicari fungsi asal dari fungsi turunan tersebut atau fungsi totalnya. 3.1 FUNGSI BIAYA BIAYA TOTAL (TC) = MC dq = f (Q) dq BIAYA RATA-RATA (AC) = TC Q LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

50 INTEGRAL TAK TENTU CONTOH KASUS 1 Diketahui fungsi biaya marginal pada suatu perusahaan sebesar MC = 15Q Q + 5. Bentuklah persamaan biaya total dan biaya rata-rata apabila diketahui konstanta sebesar 5. Berapakah besarnya biaya total dan biaya rata-rata jika kuantitasnya sebesar 11? Analisislah! Penyelesaian: Diketahui : MC = 15Q Q + 5 Ditanya Jawab : TC TC TC = MC dq k = 5 Q = 11 : Persamaan TC dan AC? Besarnya TC dan AC jika Q = 11? = 15Q Q + 5 dq = 15Q Q Q + k TC = 5Q 3 + 9Q 2 + 5Q + 5 AC = TC Q AC = 5Q3 + 9Q 2 + 5Q + 5 Q AC = 5Q 2 + 9Q Q Jika Q = 11, maka : TC = 5Q 3 + 9Q 2 + 5Q + 5 TC = 5(11) 3 + 9(11) 2 + 5(11) + 5 TC = 5(1.331) + 9(121) LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

51 INTEGRAL TAK TENTU TC = TC = AC = TC Q AC = AC = 709,45 Analisis: Apabila MC = 15Q Q + 5 dan konstanta sebesar 5, maka fungsi biaya total dan fungsi biaya rata-ratanya adalah TC = 5Q 3 + 9Q 2 + 5Q + 5 dan AC = 5Q 2 + 9Q Pada saat kuantitasnya sebesar 11 unit, maka biaya total sebesar Rp. Q dan biaya rata-ratanya sebesar Rp. 709,45. Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software EC-Math 1. Buka aplikasi EC-Math Gambar 2.1 Tampilan Menu Awal Software Ec-Math LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

52 INTEGRAL TAK TENTU 2. Pilih Integral Tak Tentu 3. Pilih Fungsi Biaya Gambar 2.2 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu Gambar 2.3 Tampilan Menu Operasi Fungsi Biaya LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

53 INTEGRAL TAK TENTU 4. Masukkan data-data yang diketahui dari soal. Untuk menentukan Banyaknya Variabel hitung berapa banyak variabel pada data soal, yaitu 2. Masukkan FC sebesar k, yaitu: 5. Kemudian masukkan persamaan MC seperti yang diketahui di soal. Klik Calculate. Gambar 2.4 Tampilan Menu Input Data Fungsi Biaya 5. Untuk mencari besarnya TC dan AC, masukkan nilai Q seperti yang ada di soal,yaitu 11. Kemudian klik Calculate. LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

54 INTEGRAL TAK TENTU Gambar 2.5 Tampilan Menu Output Data Fungsi Biaya 3.2 FUNGSI PENERIMAAN PENERIMAAN TOTAL (TR) = MR dq = f (Q) dq PENERIMAAN RATA-RATA (AR) = TR Q CONTOH KASUS 2 Jika fungsi penerimaan marginal suatu perusahaan ditunjukkan oleh persamaan MR = 15Q Q + 5, maka bentuklah persamaan TR dan AR jika k = 0? Berapakah besarnya penerimaan total dan penerimaan rata-rata jika kuantitas yang terjual sebesar 15 unit? Analisislah! Penyelesaian: Diketahui : MR = 15Q Q + 5 LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

55 INTEGRAL TAK TENTU k = 0 Q = 15 Ditanya : Persamaan TR dan AR? Besarnya TR dan AR jika Q = 15? Jawab : TR = MR dq TR = 15Q Q + 5 dq TR TR = 15Q Q2 2 = 5Q 3 + 5Q 2 + 5Q + 5Q + k AR = TR Q AR = 5Q3 + 5Q 2 +5Q Q AR = 5Q 2 + 5Q + 5 Jika Q = 15, maka : TR = 5Q 3 + 5Q 2 + 5Q TR = 5(15) 3 + 5(15) 2 + 5(15) TR = 5(3.375) + 5(225) + 75 TR = TR = AR = TR Q AR = AR = LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

56 INTEGRAL TAK TENTU Analisis: Apabila MR = 15Q Q + 5 dan konstanta sebesar 0, maka fungsi penerimaan total dan fungsi penerimaan rata-ratanya adalah TR = 5Q 3 + 5Q 2 + 5Q dan AR = 5Q 2 + 5Q + 5. Pada saat kuantitasnya sebesar 15 unit, maka penerimaan total sebesar Rp dan penerimaan rata-ratanya sebesar Rp Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software EC-Math 1. Buka aplikasi EC-Math Gambar 2.6 Tampilan Menu Awal Software Ec-Math 2. Pilih Integral Tak Tentu LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

57 INTEGRAL TAK TENTU Gambar 2.7 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu 3. Pilih Fungsi Penerimaan Gambar 2.8 Tampilan Menu Operasi Fungsi Penerimaan LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

58 INTEGRAL TAK TENTU 4. Masukkan data-data yang diketahui dari soal. Untuk menentukan Banyaknya Variabel hitung berapa banyak variabel pada data soal, yaitu 2. Kemudian masukkan persamaan MR seperti yang diketahui di soal. Klik Calculate. Gambar 2.9 Tampilan Menu Input Data Fungsi Penerimaan 5. Untuk mencari besarnya TR dan AR, masukkan nilai Q seperti yang ada di soal,yaitu 15. Kemudian klik Calculate. LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

59 INTEGRAL TAK TENTU Gambar 2.10 Tampilan Menu Output Data Fungsi Penerimaan 3.3 FUNGSI PRODUKSI TOTAL PRODUKSI (TP) PRODUKSI RATA-RATA (AP) = MP dx = f (X) dx = TP X Keterangan : X = Masukan atau Input LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

60 INTEGRAL TAK TENTU CONTOH KASUS 3 Produksi marginal PT. PakaBopa ditunjukkan oleh persamaan MP = 75X X Bentuklah persamaan produksi total dan produksi rata-ratanya jika k = 0? Berapakah besarnya produksi total dan produksi rata-rata jika masukan yang digunakan sebesar 10 unit? Analisislah! Penyelesaian: Diketahui : MP = 75X X + 10 k = 0 X = 10 Ditanya : Persamaan TP dan AP? Besarnya TP dan AP jika X = 10? Jawab : TP = MP dx TP = 75X X + 10 dx TP TP = 75X X X + k = 25X X X AP AP = TP x = 25X3 + 25X 2 +10X x AP = 25X X + 10 Jika X = 10, maka : TP = 25X X X TP = 25(10) (10) (10) TP = 25(1000) + 25(100) TP = TP = LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

61 INTEGRAL TAK TENTU AP = TP X AP = AP = Analisis : Apabila MP = 75X X + 10 dan konstanta sebesar 0, maka fungsi produksi total dan fungsi produksi rata-ratanya adalah TP = 25X X X dan AP = 25X X Pada saat kuantitasnya sebesar 10 unit, maka produksi total sebesar unit dan produksi rata-ratanya sebesar unit. Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software EC-Math 1. Buka aplikasi EC-Math Gambar 2.11 Tampilan Menu Awal Software Ec-Math 2. Pilih Integral Tak Tentu LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

62 INTEGRAL TAK TENTU 3. Pilih Fungsi Produksi Gambar 2.12 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu Gambar 2.13 Tampilan Menu Operasi Fungsi Produksi LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

63 INTEGRAL TAK TENTU 4. Masukkan data-data yang diketahui dari soal. Untuk menentukan Banyaknya Variabel hitung berapa banyak variabel pada data soal, yaitu 2. Kemudian masukkan persamaan MP seperti yang diketahui di soal. Klik Calculate. Gambar 2.14 Tampilan Menu Input Data Fungsi Produksi 5. Untuk mencari besarnya TP dan AP, masukkan nilai X seperti yang ada di soal,yaitu 10. Kemudian klik Calculate. LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

64 INTEGRAL TAK TENTU Gambar 2.15 Tampilan Menu Output Data Fungsi Produksi 3.4 FUNGSI UTILITAS UTILITAS TOTAL (TU) = MU dq = f (Q) dq CONTOH KASUS 4 Bentuklah persamaan utilitas total dari seorang konsumen jika utilitas marginalnya ditunjukkan oleh persamaan MU = 18Q Q + 18 dan konstantanya sebesar 0? Berapakah besarnya utilitas total jika Q = 18? Analisislah! Penyelesaian: Diketahui : MU = 18Q Q + 18 k = 0 LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

65 INTEGRAL TAK TENTU Q = 18 Ditanya : Persamaan TU? Besarnya TU jika Q = 18? Jawab : TU = MU dq TU = 18Q Q + 18 dq TU TU = 18Q Q k = 6Q 3 + 9Q Q Jika Q = 18, maka : TU = 6Q 3 + 9Q Q TU = 6(18) 3 + 9(18) (18) TU = 6(5.832) + 9(324) TU = TU = Analisis: Apabila MU = 18Q Q + 18 dan konstanta sebesar 0, maka fungsi utilitas total TU = 6Q 3 + 9Q Q. Pada saat kuantitasnya sebesar 18 unit, maka utilitas total sebesar FUNGSI KONSUMSI DAN FUNGSI TABUNGAN Dalam ekonomi makro, konsumsi (C) dan tabungan (S) dinyatakan fungsional terhadap pendapatan nasional (Y). C = f(y) = a + by LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

66 INTEGRAL TAK TENTU Karena, Y = C + S Maka, S = -a + ( 1 b )Y Berdasarkan kaidah integrasi, konsumsi (C) adalah integral dari MPC dan tabungan (S) adalah integral dari MPS. C = MPC dy = F(Y) + k k = +a S = MPS dy = F(Y) + k k = -a Keterangan : MPC (Marginal Propensity to Consume) = Perbandingan antara besarnya perubahan konsumsi ( C) dengan perubahan Pendapatan Nasional ( Y) yang mengakibatkan adanya perubahan konsumsi tersebut. k = a = Autonomous Consumption = Konsumsi otonom menunjukkan besarnya konsumsi nasional pada saat Pendapatan Nasional sebesar nol. k = -a = Autonomous Saving = Tabungan otonom menunjukkan besarnya tabungan nasional pada saat Pendapatan Nasional sebesar nol. Dimana : 0,5 < MPC < 1 LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

67 INTEGRAL TAK TENTU MPC + MPS = 1 MPC < 1 = Menunjukkan sebagian besar penggunaan tambahan pendapatan digunakan untuk menambah besarnya konsumsi, sedangkan sisanya yaitu sejumlah kecil merupakan tambahan tabungan. MPC > 0,5 = Menunjukkan lebih dari 50% pendapatan yang diperoleh digunakan untuk konsumsi. CONTOH KASUS 5 Carilah persamaan konsumsi dan persamaan tabungan masyarakat sebuah Negara jika diketahui konsumsi otonomnya sebesar 50 milyar dan MPC = 0,70. Berapa besar konsumsi dan tabungan masyarakat jika pendapatan nasional Negara sebesar 555 milyar? Analisislah! Penyelesaian: Diketahui : MPC = 0,70 k = a = 50 milyar Y = 555 milyar Ditanya : fungsi (C) dan fungsi (S)? Besar C dan S? Jawab : MPC + MPS = 1 MPS = 1 0,70 LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

68 INTEGRAL TAK TENTU MPS = 0,30 Fungsi (C) f(y) = MPC dy f(y) = 0,70 dy f(y) = 0,70Y + k f(y) = 0,70Y + 50 Fungsi (S) f(y) = MPS dy f(y) = 0,30 dy f(y) = 0,30Y k f(y) = 0,30Y 50 Jika Y = 555, maka : C = 0,70Y + k = 0,70 (555) + 50 = 388, = 438,5 milyar S = 0,30Y k = 0,30 (555) 50 = 166,5 50 = 116,5 milyar Analisis : Apabila MPC = 0,70 dan konsumsi otonomnya sebesar 50 milyar, maka persamaan konsumsi yang terbentuk adalah C = 0,70Y + 50 dan persamaan tabungannya adalah S = 0,30Y 50. Jika pada saat Pendapatan Nasional sebesar LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

69 INTEGRAL TAK TENTU 555 maka konsumsi dan tabungan masyarakat Negara sebesar Rp. 438,5 dan Rp. 116,5 milyar. Langkah-langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math 1. Buka aplikasi EC-Math Gambar 2.16 Tampilan Menu Awal Software Ec-Math 2. Pilih Integral Tak Tentu LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

70 INTEGRAL TAK TENTU Gambar 2.17 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu 3. Pilih Fungsi Konsumsi Gambar 2.18 Tampilan Menu Operasi Fungsi Konsumsi LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

71 INTEGRAL TAK TENTU 4. Masukkan nilai k atau a sesuai dengan data yang diketahui di soal sebesar 50, kemudian masukkan nilai MPC yaitu 0,70. Kemudian klik Calculate. Gambar 2.19 Tampilan Menu Input Data Fungsi Konsumsi 5. Masuk nilai Y sesuai data soal sebesar 555 pada kolom Y untuk menghitung nilai konsumsinya, klik Calculate. LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

72 INTEGRAL TAK TENTU Gambar 2.20 Tampilan Menu Output Data Fungsi Konsumsi 6. Masukkan nilai k atau a sebesar -50 dan MPS sebesar 0,30. Kemudian masukan nilai Y sesuai data soal sebesar 555 pada kolom Y untuk menghitung nilai tabungannya, klik Calculate. Gambar 2.21 Tampilan Menu Output Data Fungsi Tabungan LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

73 INTEGRAL TERTENTU INTEGRAL TERTENTU 1. KONSEP DASAR INTEGRAL TERTENTU Integral tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang nilai-nilai variabel bebasnya (memiliki batas-batas) tertentu (Dumairy, 2012). Integral tertentu juga memiliki penafsiran sebagai suatu metode untuk menentukan luas daerah di bawah suatu kurva dengan batasan-batasan yang sudah ditentukan. Rumus integral tertentu : Keterangan : a = batas bawah b = batas atas dimana a < b Contoh : 5 8x 2 + 8x + 8 dx = 1 Penyelesaian 8x 2 + 8x + 8 dx = [ 8 3 x x2 + 8x] 1 5 b f(x)dx = [F(x)] b a = F(b) F(a) a 5 1 LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

74 INTEGRAL TERTENTU 5 8x 2 + 8x x 2 + 8x x 2 + 8x x 2 + 8x x 2 + 8x = [ 8 3 (5)3 + 4(5) 2 + 8(5)] - [ 8 3 (1)3 + 4(1) 2 + 8(1)] = [ 8 3 (125) + 4(25) + 8(5)] - [8 (1) + 4(1) + 8(1)] 3 = [ = 473,33-14,67 = 458, ] - [ ] 2. PENERAPAN EKONOMI Integral tertentu dapat digunakan untuk mencari besarnya keuntungan konsumen (surplus konsumen) dan besarnya keuntungan produsen (surplus produsen). 2.1 SURPLUS KONSUMEN Surplus konsumen (Consumers Surplus) mencerminkan suatu keuntungan lebih atas surplus yang dinikmati oleh konsumen tertentu berkenaan dengan tingkat harga pasar suatu barang (Dumairy, 2012). Besarnya surplus konsumen (CS) ditunjukkan oleh luas area di bawah kurva permintaan (P = f(q)) tetapi di atas tingkat harga pasar (P e ). P P Surplus Konsumen (CS) P e (Q e, P e ) P = f(q) 0 Q e Q Q Gambar 3.1 Kurva Surplus Konsumen LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

75 INTEGRAL TERTENTU Rumus surplus konsumen : Q e CS = f(q) dq Q e P e 0 atau P CS = f(p) dp P e Catatan: Untuk mencari surplus konsumen maka menggunakan fungsi permintaan. Keterangan : Q e = Tingkat kuantitas keseimbangan pasar P e = Tingkat harga keseimbangan pasar P = Tingkat harga pasar pada saat Q = 0 CONTOH KASUS 1 Jika fungsi permintaan suatu barang P d = 80 5Q dan fungsi penawaran P s = 8 + Q, hitunglah surplus konsumen dengan dua cara! Analisislah dan buat kurvanya! Penyelesaian: Diketahui : P d = 80 5Q P s = 8 + Q Ditanya : CS =? Jawab : LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

76 INTEGRAL TERTENTU P d = P s 80 5Q = 8 + Q -5Q - Q = 8 80 P = 80 5Q P = 80 5(12) P e = 20-6Q = -72 Q e = 12 CARA 1 Q e CS = f(q) dq - Q e P e 0 12 CS = (80-5Q) dq - (12)(20) 0 CS = [80Q - 2,5Q 2 ] CS = [80(12) - 2,5(12) 2 ] - [80(0) - 2,5(0) 2 ] CS = CS = 360 CARA 2 P d = 80 5Q 5Q = 80 P Q d = 16 0,2P Jika Q = 0 ; P = 80 LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

77 INTEGRAL TERTENTU P CS = f(p) dp P e 80 CS= (16-0,2P) dp CS = [16P - 0,1P 2 ] 20 CS = [16(80) - 0,1(80) 2 ] - [16(20) - 0,1(20) 2 ] CS = CS = 360 Analisis: Jadi surplus yang diterima konsumen tersebut sebesar Rp 360 karena konsumen dapat membeli dengan harga Rp 20 padahal konsumen sanggup membayar lebih tinggi dari harga keseimbangan sebesar Rp 20. Langkah membuat kurva 1. P d = 80 5Q Misalkan P = 0 Q = 16 Misalkan Q = 0 P = Letakkan nilai kuantitas keseimbangan pasar (Q e = 12) dan harga keseimbangan pasar (P e = 20) 3. Untuk area surplus konsumen dapat dihitung dengan rumus luas segitiga (L = 1 a.t). 2 LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

78 INTEGRAL TERTENTU P 80 Area Surplus Konsumen (CS) : L = 1 2 a.t L = L = Q Gambar 3.2 Kurva Surplus Konsumen Contoh Kasus 1 Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software EC-Math CARA 1 1. Buka software EC-Math, pilih materi Integral Tertentu, lalu pilih Surplus Konsumen 1. Gambar 3.3 Tampilan Awal Integral Tertentu LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

79 INTEGRAL TERTENTU 2. Pilih jumlah variabel Q yang tertera pada soal (lihat fungsi permintaan), pilih 1 variabel. Gambar 3.4 Tampilan Surplus Konsumen 1 3. Masukkan data-data sesuai pada soal, jika sudah klik Hitung maka akan muncul tampilan jawaban. Gambar 3.5 Hasil Perhitungan Surplus Konsumen 1 LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

80 INTEGRAL TERTENTU CARA 2 1. Buka software EC-Math, pilih materi Integral Tertentu, lalu pilih Surplus Konsumen 2. Gambar 3.6 Tampilan Awal Integral Tertentu 2. Pilih jumlah variabel Q yang tertera pada soal (lihat fungsi permintaan), pilih 1 variabel. Gambar 3.7 Tampilan Surplus Konsumen 2 LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

81 INTEGRAL TERTENTU 3. Masukkan data-data sesuai pada soal, jika sudah klik Hitung maka akan muncul tampilan jawaban. Gambar 3.8 Hasil Perhitungan Surplus Konsumen 2 CONTOH KASUS 2 Jika fungsi permintaan P = 58 8Q dan tingkat kuantitas keseimbangan pasarnya sebesar 5, hitunglah surplus konsumen dengan dua cara! Analisislah dan buat kurvanya! Penyelesaian: Diketahui : P = 58 8Q Q e = 5 Ditanya : CS =? Jawab : P = 58 8Q LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

82 INTEGRAL TERTENTU P = 58 8(5) P e = 18 CARA 1 Q e CS = f(q) dq - Q e P e 0 5 CS = (58-8Q) dq - (5)(18) 0 CS = [58Q - 4Q 2 ] CS = [58(5) - 4(5) 2 ] - [58(0) - 4(0) 2 ] - 90 CS = CS = 100 CARA 2 P = 58 8Q 8Q = 58 P Q = 7,25 0,125P Jika Q = 0 ; P = 58 P CS = f(p) dp P e 58 CS= (7,25-0,125P) dp CS = [7,25P - 0,0625P 2 ] 18 LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

83 INTEGRAL TERTENTU CS = [7,25(58) - 0,0625(58) 2 ] - [7,25(18) - 0,0625(18) 2 ] CS = 210,25-110,25 CS = 100 Analisis: Jadi surplus yang diterima konsumen tersebut sebesar Rp 100 karena konsumen dapat membeli dengan harga Rp 18 padahal konsumen sanggup membayar lebih tinggi dari harga keseimbangan sebesar Rp 18. Langkah membuat kurva 1. P = 58 8Q Misalkan P = 0 Q = 7,25 Misalkan Q = 0 P = Letakkan nilai kuantitas keseimbangan pasar (Q e = 5) dan harga keseimbangan pasar (P e = 18) 3. Untuk area surplus konsumen dapat dihitung dengan rumus luas segitiga (L = 1 a.t). 2 P 58 Area Surplus Konsumen (CS) : L = 1 2 a.t 18 L = L = ,25 Q Gambar 3.9 Kurva Surplus Konsumen Contoh Kasus 2 LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

84 INTEGRAL TERTENTU Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software EC-Math CARA 1 1. Buka software EC-Math, pilih materi Integral Tertentu, lalu pilih Surplus Konsumen 1. Gambar 3.10 Tampilan Awal Integral Tertentu 2. Pilih jumlah variabel Q yang tertera pada soal (lihat fungsi permintaan), pilih 1 variabel. Gambar 3.11 Tampilan Surplus Konsumen 1 LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

85 INTEGRAL TERTENTU 3. Masukkan data-data sesuai pada soal, jika sudah klik Hitung maka akan muncul tampilan jawaban. Gambar 3.12 Hasil Perhitungan Surplus Konsumen 1 CARA 2 1. Buka software EC-Math, pilih materi Integral Tertentu, lalu pilih Surplus Produsen 1. Gambar 3.13 Tampilan Awal Integral Tertentu LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

86 INTEGRAL TERTENTU 2. Pilih jumlah variabel Q yang tertera pada soal (lihat fungsi permintaan), pilih 1 variabel. Gambar 3.14 Tampilan Surplus Konsumen 2 3. Masukkan data-data sesuai pada soal, jika sudah klik Hitung maka akan muncul tampilan jawaban. Gambar 3.15 Hasil Perhitungan Surplus Konsumen 2 LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

87 INTEGRAL TERTENTU 2.2 SURPLUS PRODUSEN ` Surplus produsen (Produsers Surplus) mencerminkan suatu keuntungan lebih atau surplus yang dinikmati oleh produsen tertentu berkenaan dengan tingkat harga pasar dari barang yang ditawarkannya (Dumairy, 2012). Besarnya surplus produsen ditunjukkan oleh luas area di atas kurva penawaran (P = f(q)) tetapi dibawah tingkat harga pasar (P e ). P P e (Q e, P e ) P = f(q) Surplus Produsen (PS) P Q 0 Q e Gambar 3.16 Kurva Surplus Produsen Rumus surplus produsen : Q e PS = Q e P e f(q) dq atau 0 P e PS = f(p) dp P Catatan: Untuk mencari surplus produsen maka menggunakan fungsi penawaran. Keterangan : Q e = Tingkat kuantitas keseimbangan pasar P e = Tingkat harga keseimbangan pasar LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

88 INTEGRAL TERTENTU P = Tingkat harga pasar pada saat Q = 0 CONTOH KASUS 3 Diketahui fungsi penawaran suatu barang yang dijual PT Pledis adalah P s = 51 + Q dan fungsi permintaannya P d = 87 Q. Hitunglah surplus PT Pledis sebagai produsen dengan menggunakan dua cara! Analisis dan buatlah kurvanya! Penyelesaian: Diketahui : P d = 87 Q P s = 51 + Q Ditanya : PS =? Jawab : P d = P s P = 51 + Q 87 Q = 51 + Q -Q - Q = P = P e = 69 CARA 1-2Q = -36 Q e = 18 Q e PS = Q e P e - f(q) dq 0 18 PS = (69)(18) - (51 + Q) dq 0 LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

89 INTEGRAL TERTENTU PS = [51Q + 0,5Q 2 ] 0 18 PS = [51(18) + 0,5(18) 2 ] - [51(0) - 0,5(0) 2 ] PS = PS = 162 CARA 2 P s = 51 + Q -Q = 51 P Q s = P Jika Q = 0 ; P = 51 P e PS = f(p) dp P 69 PS= (-51 + P) dp PS = [-51P + 0,5P 2 ] 51 PS = [-51(69) + 0,5(69) 2 ] - [-51(51) + 0,5(51) 2 ] PS = ,5 - (-1.300,5) PS = 162 Analisis: Jadi surplus yang diperoleh PT Pledis adalah sebesar Rp 162 karena PT Pledis dapat menjual barang dengan harga Rp 69 padahal sebenarnya perusahaan LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

90 INTEGRAL TERTENTU tersebut bersedia menjual dengan harga yang lebih rendah dari harga keseimbangan sebesar Rp 69. Langkah membuat kurva 1. P s = 51 + Q Misalkan P = 0 Q = -51 Misalkan Q = 0 P = Letakkan nilai kuantitas keseimbangan pasar (Q e = 18) dan harga keseimbangan pasar (P e = 69) 3. Untuk area surplus konsumen dapat dihitung dengan rumus luas segitiga (L = 1 a.t). 2 P P s = 51 + Q Area Surplus Produsen (PS) : L = 1 2 a.t L = Q L = 162 Gambar 3.17 Kurva Surplus Produsen Contoh Kasus 3 Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software EC-Math CARA 1 1. Buka software EC-Math, pilih materi Integral Tertentu, lalu pilih Surplus Produsen 1. LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

91 INTEGRAL TERTENTU Gambar 3.18 Tampilan Awal Integral Tertentu 4. Pilih jumlah variabel Q yang tertera pada soal (lihat fungsi penawaran), pilih 1 variabel. Gambar 3.19 Tampilan Surplus Produsen 1 LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

92 INTEGRAL TERTENTU 5. Masukkan data-data sesuai pada soal, jika sudah klik Hitung maka akan muncul tampilan jawaban. Gambar 3.20 Hasil Perhitungan Surplus Produsen 1 CARA 2 1. Buka software EC-Math, pilih materi Integral Tertentu, lalu pilih Surplus Produsen 2. Gambar 3.21 Tampilan Awal Integral Tertentu LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

93 INTEGRAL TERTENTU 2. Pilih jumlah variabel Q yang tertera pada soal (lihat fungsi penawaran), pilih 1 variabel. Gambar 3.22 Tampilan Surplus Produsen 2 3. Masukkan data-data sesuai pada soal, jika sudah klik Hitung maka akan muncul tampilan jawaban. Gambar 3.23 Hasil Perhitungan Surplus Produsen 2 LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

94 TRANSENDENTAL TRANSENDENTAL 1. KONSEP DASAR TRANSENDENTAL Pada dasarnya fungsi diklasifikasikan menjadi dua, yaitu fungsi aljabar dan non aljabar. Fungsi non aljabar biasa disebut juga sebagai fungsi transendental (transcendent function). Disebut fungsi transendental karena fungsi ini adalah fungsi yang melampaui fungsi aljabar, dengan kata lain tidak dapat dinyatakan dalam istilah aljabar. Yang termasuk dalam fungsi transendental adalah fungsi eksponensial, fungsi logaritmik, fungsi trigonometrik, dan fungsi hiperbolik. Penemu dari fungsi transendental dan fungsi yang terdapat dalam transendental adalah Leonhard Euler. Fungsi eksponensial berbeda dengan fungsi pangkat. Fungsi pangkat adalah suatu fungsi dimana variabel bebasnya dipangkatkan dengan suatu konstanta. Sedangkan fungsi eksponensial adalah suatu fungsi dimana konstantanya dipangkatkan dengan variabel bebasnya Logaritma dapat diartikan sebagai pangkat dari suatu bilangan pokok untuk menghasilkan suatu bilangan tertentu. Misalnya, 7 2 = 49, ini berarti eksponen 2 sebagai logaritma dari 49 dengan bilangan pokok 7. Dan pernyataan ini dapat ditulis 7 Log 49 = 2. Sedangkan fungsi logaritma adalah fungsi yang variabel bebasnya merupakan logaritma, seperti y = a log x atau y = a + b log x. Fungsi trigonometrik, trigonometri diambil dari bahasa yunani, trigonos dan metron. Trigonos berarti segitiga dan metron berarti ukuran sehingga trigonometri dikenal sebagai ilmu ukur segitiga. Contoh dari fungsi trigonometrik y = sin x, y = cos 2x LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

95 TRANSENDENTAL Namun pokok pembahasan di sini hanya pada fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik. Baik fungsi eksponensial maupun logaritmik keduanya memiliki hubungan yang erat, dikarenakan fungsi logaritma adalah fungsi balilk (inverse) dari fungsi eksponen tertentu, atau sebaliknya. 1.1 FUNGSI EKSPONENSIAL Fungsi eksponensial berbeda dengan fungsi pangkat. Fungsi pangkat adalah suatu fungsi dimana variabel bebasnya dipangkatkan dengan suatu konstanta. Sedangkan fungsi eksponensial adalah suatu fungsi dimana konstantanya dipangkatkan dengan variabel bebas. Bentuk Fungsi Eksponensial yang paling sederhana adalah : y = n x Dimana : n > 0 Bentuk Fungsi Eksponensial yang lebih umum adalah : y = ne kx + c Dimana : n 0 e = 2,71828 Hukum hukum Eksponensial, antara lain : 1. a 0 = 1 2. a k = 1 a k 3. a 1/q q = a 4. a m a n = a m+n 5. a m / a n = a m n 6. (a m ) k = a mk LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

96 TRANSENDENTAL Berikut salah satu contoh soal dari hukum hukum eksponensial : 1. Z = 5 0 jawab : Z = 5 0 Z = 1 2. Z = 5 5 jawab : Z = Z = 0, Z = 7 1/5 jawab : 5 Z = 7 Z = 1, Z = jawab : Z = Z = 8 6 Z = Z = 7 5 / 7 1 jawab : Z = Z = 7 4 Z = Z = (5 5 ) 1 jawab : Z = 5 5x1 Z = LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

97 TRANSENDENTAL Contoh soal fungsi eksponensial dengan fungsi yang umum : Tentukan titik potong kurva eksponensial, y = e 0,15x 5, pada masing masing sumbu dan hitunglah f(7)! jawab : Pada sumbu x ; y = 0 e 0,15x 5 = 0 e 0,15x = 5 Ln e 0,15x = Ln 5 0,15x Ln e = Ln 5 0,15x = 1,609 x = 10,726 Titik potong nya ( 10,726 ; 0 ) Ket : Ln e = 1 Ln 1 = 0 Pada sumbu y ; x = 0 y = e 0,15x 5 y = e 0,15(0) 5 y = e 0 5 y = 1-5 LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

98 TRANSENDENTAL y = - 4 Titik Potongnya (0 ; -4) Pada x = 7 y = e 0,15x 5 y = e 0,15(7) 5 y = e 1,05 5 y = 2, ,05 5 y = 2, y = -2,1423 Titik potongnya ( 4 ; -2,1423 ) 1.2 FUNGSI LOGARITMIK Logaritma dapat diartikan sebagai pangkat dari suatu bilangan pokok untuk menghasilkan suatu bilangan tertentu. Misalnya, 7 2 = 49, ini berarti eksponen 2 sebagai logaritma dari 49 dengan bilangan pokok 7. Dan pernyataan ini dapat ditulis Log7 49 = 2. Sedangkan fungsi logaritma adalah fungsi yang variabel bebasnya merupakan logaritma, seperti y = a log x atau y = a + b log x. Bentuk Fungsi Logaritmik yang paling sederhana : y = n logx Dimana : n > 0 n ± 1 Bentuk Fungsi Logaritmik yang paling umum adalah : LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

99 TRANSENDENTAL y = a Ln ( 1 + x ) + b Dimana : x > -1 Hukum hukum logaritma, antara lain: 1. log a.b = log a + log b 2. log a/b = log a log b 3. a log b = c, maka a c = b 4. a log a = 1 5. a log x n = n a log x 6. a log 1 = 0 7. a log b. b log c = a log c Contoh soal hukum logaritma : 1. 5 log 5 jawab : 5 log 5= log 1 jawab : 8 log 1= 0 3. log (100)(1.000) jawab : log (100)(1.000) = log log LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

100 TRANSENDENTAL = = 5 Contoh soal logaritmik dalam bentuk fungsi yang umum : Tentukan titik potong kurva logaritmik, y = -1,5 Ln ( 1 + x ) 1, pada masingmasing sumbu dan hitunglah f(5)? jawab : Pada sumbu x ; y = 0-1,5 Ln (1 + x) 1 = 0-1,5 Ln ( 1 + x) = 1 Ln (1 + x) = -0, x = e 0, x = 0,5117 x = -0,4883 Titik potongnya (-0,4883 ; 0) Pada sumbu y ; x = 0 y = -1,5 Ln (1 + x) 1 y = -1,5 Ln (1 + 0) 1 y = -1,5 Ln 1 1 y = -1, y = -1 Titik potongnya ( 0 ; -1) Untuk x = 5 LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

101 TRANSENDENTAL y = -1,5 Ln (1 + x) 1 y = -1,5 Ln (1 + 5) 1 y = -1,5 Ln 6 1 y = -2, y = -3,6876 Titik potongnya ( 5 ; -3,6876 ) 2. PENERAPAN EKONOMI Banyak model-model bisnis dan ekonomi sangat relavan ditelaah dan diimplementasikan dengan fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik, khususnya model-model yang berkenaan dengan aspek pertumbuhan. Model-model yang menerapkan fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik antara lain: 2.1 MODEL BUNGA MAJEMUK Bunga majemuk merupakan bentuk dari fungsi eksponensial. Model bunga majemuk digunakan untuk menghitung jumlah nilai dimasa yang akan datang ditambah dengan akumulasi penambahan bunga, misalnya besarnya pembelian kredit dimasa yang akan datang berdasarkan tingkat suku bunga nya, dan jumlah investasi yang akan diterima dimasa yang akan datang dengan diketahui jumlah nilai sekarang dan tingkat suku bunga nya. Jika modal awal atau (Present) dibunga majemukkan secara tahunan pada suku bunga (interest) selama n tahun, maka rumus yang digunakan: Fn = P (1 + i) n LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

102 TRANSENDENTAL Jika bunga dimajemukan lebih dari satu kali (misal setiap triwulan, caturwulan, atau semester) dalam setahun, maka menggunakan rumus: Fn = P (1 + i m )m.n Keterangan rumus: Fn : Jumlah saldo pinjaman atau tabungan setelah n tahun P : Jumlah saldo sekarang atau awalnya i : Tingkat suku bunga pertahun m : Frekuensi pembayaran bunga dalam setahun n : Jumlah tahun Dalam hal ini Fn merupakan variabel terikat ( dependent variable) dan n sebagai variabel bebas ( independent variable). Dengan demikian, prinsip-prinsip penyelesaian persamaan eksponensial relevan diterapkan pada model ini. Model Bunga Majemuk Sinambung Apabila bunga dimajemukkan secara kontinu selama satu tahun (m sangat besar atau bunga diperhitungkan secara terus menerus) maka untuk mencari jumlah nilai dimasa yang akan datang Fn adalah : Fn P.e i.n Dimana e = 2,71828 LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

103 TRANSENDENTAL Bentuk ini dinamakan model bunga majemuk sinambung (continous compound interest). Bunga majemuk sinambung dalam kasus pinjam meminjam seringkali dipraktekan oleh para pelepas uang atau rentenir atau lintah darat yang kadang-kadang menetapkan atau memperhitungkan bunga atas uang yang dipinjamkannya secara harian (m = 360). CONTOH KASUS 1 Bu Nisa akan menyekolahkan anak nya di jenjang perkuliahan, untuk membayar setoran pertama bu Nisa memutuskan untuk meminjam uang pada Bank. Diketahui bu Nisa meminjam uang sebesar Rp , untuk jangka waktu 5 tahun dengan tingkat suku bunga 5% pertahun. Berdasarkan data tersebut maka a. Hitunglah jumlah uang yang harus dikembalikan bu Nisa pada saat jatuh tempo, jika suku bunga diperhitungkan per caturwulan! b. Hitunglah jumlah uang yang harus dikembalikan bu Nisa pada saat jatuh tempo, jika suku bunga diperhitungkan per jam! Penyelesaian : Diketahui : P = Rp i = 0,05 n = 5 m = 3 Ditanya : F5 per caturwulan? Jawab : F5 per jam? a. Per caturwulan (menggunakan rumus bunga majemuk biasa) 1) Tanpa menggunakan logaritma Fn = P (1 + i m )n.m F5 = (1 + 0,05 3 )15 F5 = (1,017) 15 LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

104 TRANSENDENTAL F5 = (1,2876) F5 = ) Dengan menggunakan logaritma F5 = (1,017) 15 Log F5 = Log log 1,017 Log F5 = 7, ,1098 Log F5 = 7,1332 F5 = b. Per jam (menggunakan rumus bunga majemuk sinambung) 1) Tanpa menggunakan logaritma natural Fn = P. e i.n F5 = x e 0,25 F5 = x 1,2840 F5 = ) Dengan menggunakan logaritma natural F5 = x e 0,25 Ln F5 = Ln ,25 Ln e Ln F5 = 16, ,25 Ln F5 = 16,4221 F5 = Analisis: Maka jumlah uang yang harus dikembalikan oleh bu Nisa saat jatuh tempo apabila pembayaran bunga dihitung per caturwulan adalah sebesar Rp ,-. Sedangkan jika pembayaran bunga dihitung per jam, maka jumlah uang yang harus dikembalikan bu Nisa saat jatuh tempo adalah sebesar Rp LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

105 TRANSENDENTAL Langkah Langkah Pengerjaan Menggunakan Software EC-Math: 1. Buka software Ec-Math. 2. Pilih menu Transedental, kemudian klik Transedental. 3. Pilih Model Bunga Majemuk, kemudian masukan data yang ada pada soal ke software. Setelah itu klik hasil. Gambar 4.1 Hasil Perhitungan Model Bunga Majemuk Catatan: Hasil perhitungan secara manual dengan menggunakan software Ec-Math tidak persis sama karena pada perhitungan secara manual menggunakan pembulatan 4 angka dibelakang koma, sedangkan pada software Ec-Math tidak menggunakan pembulatan. 2.2 MODEL PERTUMBUHAN Model pertumbuhan merupakan bentuk dari fungsi eksponensial. Model ini dapat digunakan untuk menghitung pertumbuhan beberapa variabel, seperti LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

106 TRANSENDENTAL penduduk dan makhluk hidup lainnya. Namun, kali ini hanya variabel pertumbuhan penduduk yang akan dibahas. Rumus yang digunakan adalah : Pt = P1. R t 1 Dimana R didapatkan dengan cara R = 1 + r Keterangan rumus: Pt : Jumlah penduduk pada tahun ke-t t : Jumlah tahun P1 : Jumlah penduduk pada tahun pertama (tahun basis) r : Tingkat pertumbuhan R : Tingkat pertumbuhan setelah ditambah 100% pertumbuhan pada tahun basis Agar model di atas dapat diterapkan secara umum terhadap segala macam variabel dan tidak semata-mata hanya terpaku pada masalah kependudukan, maka persamaan di atas dapat diubah bentuknya menjadi : Nt = N1. R t 1 Dimana R didapatkan dengan cara R = 1 + r Keterangan rumus : N : Variabel yang sedang diamati r : Persentase pertumbuhan per satuan watu t : Indeks tahun LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

107 TRANSENDENTAL CONTOH KASUS 2 Diketahui jumlah Anggota yang menjadi pengurus Bank Alpha di kota Depok pada tahun 2011 berjumlah 578 anggota, diketahui dengan tingkat pertumbuhan 5% per tahun. Berdasarkan data tersebut hitunglah jumlah anggota Bank Alpha di kota Depok pada tahun 2017! Penyelesaian : Diketahui : N1 = 578 r = 0,05 R = 1 + 0,05 = 1,05 t = 7 Ditanya : N7? Jawab : 1) Tanpa menggunakan logaritma Nt = N1 x R t 1 N7 = 578 x 1,05 6 N7 = 578 x 1,3401 N7 = 774 orang 2) Dengan menggunakan logaritma Nt = N1 x R t 1 N7 = 578 x 1,05 6 Log N7 = log log 1,05 Log N7 = 2, ,1271 Log N7 = 2,889 N7 = 774 orang LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

108 TRANSENDENTAL Analisis: Maka dalam jangka waktu 7 tahun ke depan diperkirakan jumlah anggota Bank Alpha akan meningkat menjadi 774 orang, dengan jumlah peningkatan sebanyak 196 orang. Langkah Langkah Pengerjaan Menggunakan Software EC-Math: 1. Buka software Ec-Math, kemudian pilih materi Transedental 2. Pilih menu Transedental, kemudian klik Transedental 3. Pilih menu Model Pertumbuhan, kemudian masukan angka yang terdapat pada soal ke dalam software, klik hasil untuk melihat jawaban nya. Gambar 4.2 Hasil Perhitungan Model Pertumbuhan Catatan: Dalam mencari jumlah pertumbuhan makhluk hidup, hasil yang ditulis sebagai jawaban adalah angka awal saja tanpa pembulatan, angka dibelakang koma LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

109 TRANSENDENTAL diabaikan karena hal yang berhubungan dengan jiwa seseorang tidak dapat dibulatkan ke atas. 2.3 KURVA GOMPERTZ Metode ini digunakan untuk menganalisis variabel yang meningkat secara eksponensial selama jangka waktu tertentu, tetapi sesudah itu peningkatannya sangat kecil atau tidak berarti meskipun waktu terus berjalan. Rumus yang digunakan dalam kurva gompertz adalah sebagai berikut : N = c. a rt Keterangan : N = Jumlah variabel tertentu yang sedang diamati c = Batas jenuh Pertumbuhan a = Proporsi pertumbuhan awal ( X ) C x = Pertumbuhan awal r = Tingkat pertumbuhan rata rata t = Indeks waktu CONTOH KASUS 3 PT. Sinar Kencana adalah perusahaan yang memproduksi sepatu, yang setiap tahunnya mengalami peningkatan penjualan sebesar 55%, dengan penjualan awal sebesar 758 unit. Jika batas jenuh penjualan sebesar unit, berapakah jumlah produk yang akan terjual setelah perusahaan beroperasi selama 8 tahun? Penyelesaian : LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

110 TRANSENDENTAL Diketahui : c = x = 758 r = 0,55 Ditanya : N8? Jawab : a = = 0,4265 t = 8 1) Tanpa menggunakan logaritma N = c x a rt N = x 0,4265 0,558 N = x 0,4265 0,008 N = x 0, N = ) Dengan menggunakan logaritma N = x 0,4265 0,558 N = x 0,4265 0,008 Log N = Log ,008 Log 0,4265 Log N = 3, ,008 ( -0, ) Log N = 3, ( -0, ) Log N = 3, N = Analisis : Jadi setelah beroperasi 8 tahun, PT. Sinar Kencana akan menjual unit sepatu jika penjualan awalnya sebesar 758 unit dengan tingkat pertumbuhan 55% setiap tahun, dan batas jenuh penjualan Langkah Langkah Pengerjaan Menggunakan Software EC-Math: 1. Buka software Ec-Math, kemudian pilih materi Transedental LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

111 TRANSENDENTAL 2. Pilih menu Transedental, kemudian klik Transedental 3. Pilih menu Kurva Gompertz, kemudian masukan angka yang terdapat pada soal ke dalam software, klik hasil untuk melihat jawaban nya. Gambar 4.3 Hasil Perhitungan Kurva Gompertz 2.4 KURVA BELAJAR Kurva belajar merupakan bagian penerapan ekonomi dalam transendental. Model ini lebih banyak digunakan ke dalam penerapan ekonomi untuk menggambarkan perilaku produksi dan biaya dalam hubungannya dengan variabel waktu. a. Bentuk Dasar y = m - se kx LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

112 TRANSENDENTAL Dimana : m = Batas jenuh y atau y tertinggi yang dapat tercapai k,m,s > 0 b. Perilaku Produksi P = Pm Ps. e r.t Keterangan rumus : P : Produksi per satuan waktu setelah t satuan waktu Pm : Kapasitas produksi maksimum per satuan waktu Ps : Sisa kapasitas produksi pada permulaan kegiatan produksi (pada t=0) t : Indeks waktu r : Tingkat pertumbuhan produksi c. Perilaku Biaya C = Cm Cs. e r.t Keterangan rumus : C : Biaya total per satuan waktu Cm : Biaya maksimum yang diperkenankan (anggaran yang disediakan) per satuan waktu Cs : Sisa anggaran pada permulaan periode ( pada t = 0) t : Indeks waktu r : Persentase kenaikan biaya per satuan waktu CONTOH KASUS 4 Koperasi karyawan PT. Indosap atau KOPINDOSAP mampu menghasilkan produksi sebesar 75% dari kapasitas maksimum saat pertama kali berproduksi. Kepala Bagian memberikan keyakinan bahwa kegiatan produksinya dapat LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

113 TRANSENDENTAL ditingkatkan 15% setiap bulan. Jika kapasitas produksi maksimum yang diperkenanan KOPINDOSAP sejumlah perbulan, hitunglah besarnya jumlah produksi perusahaan setelah beroperasi selama 5 bulan! Penyelesaian : Diketahui : Pm = Ps = 25% ( 1.555) = 388,25 r = 15% = 0,15 t = 5 Ditanya : P5? Jawab : 1) Tanpa menggunakan logaritma P5 = Pm Ps x e r.t P5 = x e 0,15.5 P5 = x e 0,75 P5 = ( 0,4723) P5 = ,2524 P5 = 1.371, ) Dengan menggunakan logaritma natural P5 = x e 0,15.5 P5 = x e 0,75 Ln P5 = (-0,75 ln e ) Ln P5 = ( -0,75 x 1 ) Ln P5 = ( anti ln -0,75 ) Ln P5 = (0,4723) P5 = ,2524 P5 = 1.371, LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/

114 TRANSENDENTAL Analisis: Dengan kapasitas produksi maksimum sebesar unit perbulan dan peningkatan produksi 15% setiap bulannya, maka jumlah produksi yang dihasilkan perusahaan setelah beroperasi selama 5 bulan adalah unit. Langkah Langkah Pengerjaan Menggunakan Software EC-Math: 1. Buka software Ec-Math 2. Pilih menu Transedental, klik Transedental kemudian pilih Model Kurva Belajar 3. Pilih mencari P, kemudian masukkan angka yang diketahui pada soal ke dalam software klik hasil untuk melihat jawaban. Catatan: Gambar 4.4 Hasil Perhitungan Kurva Belajar Untuk model kurva belajar dalam mencari unit produksi, maka hasil akhir nya tidak dilakukan pembulatan angka, karena unit produksi berkaitan dengan benda yang hanya dihitung barang yang sudah jadi saja. LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/