Differentiation. By : Zhafir Aglna Tijani

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Differentiation. By : Zhafir Aglna Tijani"

Hendra Chandra
7 tahun lalu
Tontonan:

1 Differentiation By : Zhafir Aglna Tijani

2 Definisi Differentiation f ( x) h lim 0 ( x ( x) F (x) menggambarkan rate of change ari f(x) ( Rasio perubahan fungsi f(x) paa tiap x ) Sangat berguna untuk memahami karakteristik grafik, seperti kapan ia akan naik, kapan ia akan turun, nilai maksimal/minimal grafik, kelengkungan, an semacamnya f h) h f

3 Differentiation Limit tai maksunya apa? F(x+h) F(x) F(x+h) f(x) h f ( x h) f ( x) h Aalah graien ari garis, yg merupakan perkiraan (approximation) ari grafik f(x) Jika h semakin kecil an semakin kecil, maka garis approksimasi tai akan semakin menekati garis fungsi sesungguhnya Inilah yang isebut ifferentiation Paa grafik i bagian kanan, graien garis tersebut aalah positif, jai bisa itarik kesimpulan bahwa jika f (x) > 0, maka f(x) seang Increasing Sebaliknya jika i kiri, f (x) < 0, maka f(x) seang Decreasing Jika f (x)=0, maka F(x) aalah critical point

4 Differentiation F (x) paa sebuah grafik menentukan karakteristik bahwa ia increasing/ecreasing i titik x F (x) paa sebuah grafik menentukan fungsi itu concave atau convex Jika f (x) = 0 atau F (x) oesn t exist, x aalah inflection point ( titik imana concavity berubah / atar ) f ''( x) 0 f ''( x) 0 Concave ownwars Concave upwars Convex upwars Convex ownwars

5 Differentiation Summary 1 If f (x) < 0 an f (x) < 0, then the graph is concave ownwars If f (x) < 0 an f (x) > 0, then the graph is convex ownwars If f (x) > 0 an f (x) < 0, then the graph is concave upwars If f (x) > 0 an f (x) > 0, then the graph is convex upwars If f (x) = 0 an f (x) < 0, then x is a local maximum point If f (x) = 0 an f (x) > 0, then x is a local minimum point If f (x) = 0, the concavity is inconclusive

6 Trivial matters Differentiation Dalam beberapa buku/soal, convex terkaang isebut sebagai concave up, an concave sebagai concave own

7 Fungsi f(x) ari fungsi f (x) Bentuk fungsi f(x) bisa itebak ( can be expecte ) jika grafik f (x) iketahui How? Yaitu engan Sifat f (x) an f (x) Dari grafik f (x), kita bisa mengetahui nilai ari f (x) an juga f (x) Grafik f(x) tiak perlu igambar secara akurat, hanya sketsa ( yang penting bentuk an titik pentingnya sesuai ). Kecuali jika iminta secara etil, banyak bantuan etil akan iberikan

8 Example The graph of f (x) is showe in figure below, sketch the graph of f(x)! 1 Ans : Step 1 : Definisikan f (x) an f (x) setiap kejaian yang aa i grafik When - <x<-, f (x) = negative, f (x) = positive constant -<x<-1, f (x) = positive, f (x) = positive contant -1<x<1, f (x) = positive constant, f (x) = 0 1 <x<, f (x) = positive, f (x) = negative contant <x<, f (x) = negative, f (x) = negative contant An f (x) = 0 while x = - an x = Step : Dari yang iketahui, simpulkan bentuk grafik sesuai karakteristik When - <x<-, f (x) = negative, f (x) = positive constant Convex ownwars -<x<-1, f (x) = positive, f (x) = positive contant Convex upwars -1<x<1, f (x) = positive constant, f (x) = 0 Increasing slope 1 <x<, f (x) = positive, f (x) = negative contant Concave upwars <x<, f (x) = negative, f (x) = negative contant Concave ownwars

9 Step 3 : Sum it up Example When - <x<-, f (x) = negative, f (x) = positive constant Convex ownwars -<x<-1, f (x) = positive, f (x) = positive contant Convex upwars -1<x<1, f (x) = positive constant, f (x) = 0 Increasing slope 1 <x<, f (x) = positive, f (x) = negative contant Concave upwars <x<, f (x) = negative, f (x) = negative contant Concave ownwars So, f(x) is approximately shown in figure below X= X=1 X=-1 X=-

10 Differentitation Review : menurunkan fungsi y terhaap x ( ifferentiate y with respect to x ), aalah seperti ini y y ax a n n1 y ax nax u v' u u' v y uv u' v v' u v v y aln x a x y e ax ae ax

11 More about e e aalah bilangan natural = e menarik karena beberapa sifatnya alam calculus Definisi / Taylor Series Differensial e !! 3! y e ax ae ax e Logaritma log x ln x 1 ln x x Integral ax e 1 e a ax

12 Implicit ifferentiation Sekarang, bagaimana cara mencari ifferensial terhaap x. jika y aa alam bentuk yg tiak biasa? misalkan x 3 x y Kita bisa menggunakan implicit ifferentiation engan cara x x 3 3 x x y 3x x 4y 0 y Cannot be solve irectly 3x x 4y

13 e x 3x ln More examples Fin the implicit ifferentiation of this form with respect to x Ans : e e x x 3x 3x y 0 ln ln y y 1 e x 3 y Try solve this! Fin the implicit ifferentiation of this form with respect to x (y ) cosx 5y y(e x 3)

Parametric Differentiation Selain secara implisit, terkaang persamaan inyatakan alam bentuk parametric, contoh bentuk parametric aalah sebagai berikut x cost y t Terkaang, kita iharuskan mencari /

14 Parametric Differentiation Selain secara implisit, terkaang persamaan inyatakan alam bentuk parametric, contoh bentuk parametric aalah sebagai berikut x cost y t Terkaang, kita iharuskan mencari / ari fungsi tersebut. Cara termuah aalah engan mencari keua turynan ari masing variabel terhaap t. Lalu / apat iefinisikan sebagai t t Dalam kasus ini sin t t t t sin t t Saat nilai / ini aalah 0, maka nilai t paa saat itu isebut engan stationary point

15 Example Fin the stationary point in the range of 0 <= t <= π/ of the parametric function that given below x sin t y 3cost Step 1 : cari /t Step : cari /t t sin t t cost t 3cost 6t sin t Step 3 : cari / Step 4 : cari t yg membuat /=0 6t sin t tan t t t cost t 0 t 0 t Therefore, the stationary point is t = 0

16 Tangent an Normal Line Tangent line (garis singgung) aalah garis yang menyinggung hanya i satu titik ari sebuah kurva Normal line (garis normal) aalah garis yang tegak lurus terhaap garis singgung, an melewati titik yg issinggung oleh tangent line hal yang penting alam mencari keua garis ini aalah Graien an Titik yang isinggung Cara untuk mencari persamaan garis akan sama, yang berbea hanyalah graien m, titik yg ilewati akan sama yaitu (X,Y). Tangent Line f ( X m ) Straight Line Equation y Y m( x X ) m Normal Line 1 f ( X )

17 Ilustrasi Tangent an Normal Line Tangent line Sebuah kurva Normal line

18 Tangent an Normal Line Example Fin the tangent an normal line for curve f(x) = x + x 7 at the point where x = 3 Step Ans : 1 : cari titik yang isinggung When x = 3, then f(x) = (3) + (3) 7 = 8 The intersection point is (3, 8) Step : Cari graient ari tangent line an normal line TANGENT LINE f ( X ) m ( x x 7) m m x (3) 8 NORMAL LINE Since m for tangent line is 8, then m 1 ' m 1 m 8

19 Tangent an Normal Line Step 3 : cari garis yang imaksu TANGENT LINE Straight Line Equation y Y y 8 8( x 3) y 8x 4 8 m( x X ) NORMAL LINE 1 y 8 ( x 3) y x y 8x 16 y 1 x 8 7 8

20 Application of ifferentiation Aplikasi yang paling umum aalah optimisasi Optimisasi aalah cara untuk mencari nilai maksimal atau minimal ari sebuah masalah When f ( a) 0 f ( a) Max/ Min

21 Application of Differentiation 6 steps of Optimization i. Ask yourself : Apa yg iminta, apa variabel yang igunakan, apa yang ikasih, an apa saja konisi-konisinya ii. iii. iv. Draw a iagram : Gambar agar lebih jelas visualisasinya Introuce Notation for main objective : Tulis fungsi yang ingin kita cari alam bentuk matematika (ex : F = 0a + b, imana F aalah y ingin kita cari ) Express F in terms of 1 Variable : Ubah semua hal alam satu variabel, cari relasi antara variabel 1 engan yang lain v. Fin the maximum or minimum value by ifferentiation vi. Substitute the value, fin the objective function

22 Application of ifferentiation Example : A cylinrical can is to be mae to hol 1 L of oil. Fin the imensions that will minimize the cost of the metal to create the can! Step 1 : Ask Yourself Yang iminta : Minimize the cost Minimize the area of metal! Konisi : Cyliner Volume = 1 L 1000 cm 3 Variabel yang igunakan : V = Volume, A = Area, r = jari-jari, h = tinggi siliner Step : Draw a Diagram h r

23 Application of Differentiation Step 3 : Introuce a notation/function Kita ingin mencari nilai minimum Area of the metal. Seperti yang kita ketahui, total luas permukaan sebuah tabung aalah X (Luas Alas) + Luas Selimut. Jai bisa irumuskan luas metal aalah A r Step 4 : Express A in terms of 1 variable rh Seperti yang terlihat, fungsi A memiliki ua variabel yaitu r an h. Oleh karena itu, kita harus mencari tahu hubungan antara r an h. Periksa kembali apa yang kita miliki, kita tahu bahwa Volume siliner aalah 1000 cm 3. Maka bisa itulis 1000 V r h 1000 r h A r 000 r

24 Application of Differentiation Step 5 : Fin the minimum value by ifferentiation A r A r r (r 4r 000 ) r 000 r 4( r 500) r 3 To fin minimum, f (r) = 0 3 4( r 500) r r r / 0 Step 6 : Substitute the value, fin the objective function A (500 / ) /

25 A Level Syllabus 5.1 Differentiation Inclue: Graphical interpretation (i) f (x) > 0, f (x) = 0, an f (x) < 0) (ii) f (x) > 0 an f (x) < 0) Relating the graph of y = f (x) to the graph of y = f(x) Differentiation of simple functions efine implicitly or parametrically Fining the numerical value of a erivative at a given point using graphic calculator Fining equations of tangents an normals to curves Solving practical problems involving ifferentiation

26 References Optimization : Chap4_Sec7StewartMAT151.pf

dokumen-dokumen yang mirip

UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS/KALKULUS1

Jurusan Matematika FMIPA IPB UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS/KALKULUS1 Sabtu, 4 Maret 003 Waktu : jam SETIAP NOMOR MEMPUNYAI BOBOT 10 1. Tentukan: (a) (b) x sin x x + 1 ; x (cos (x 1)) :. Diberikan fungsi