LABORATORIUM MANAJEMEN DASAR MODUL MATEMATIKA EKONOMI 2 ATA 2014/2015

Transkripsi

1 LABORATORIUM MANAJEMEN DASAR MODUL MATEMATIKA EKONOMI 2 ATA 2014/2015 NAMA : NPM : KELAS : FAKULTAS EKONOMI UNIVERSITAS GUNADARMA DEPOK

2 KATA PENGANTAR Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas rahmat, hidayah, dan karunia yang diberikan-nya, sehingga penyusun dapat menyelesaikan modul ini tepat pada waktunya. Dalam usaha meningkatkan kegunaan modul ini kepada mahasiswa dan meningkatkan mutu pengajaran dalam perkuliahan, maka modul ini dapat digunakan untuk memenuhi kebutuhan mahasiswa dalam pembelajaran. Modul praktikum ini merupakan penyempurnaan dari modul praktikum sebelumnya dan diharapkan dengan adanya modul praktikum ini dapat meningkatkan pemahaman dasar materi praktikum serta sebagai pedoman bagi mahasiswa dalam melakukan penelitian-penelitian ekonomi. Selain itu modul ini juga dapat digunakan sebagai dasar suatu pandangan mahasiswa melihat keadaan perekonomian dan disesuaikan dengan teori-teori ekonomi yang ada. Dengan penuh kesadaran, bahwa modul praktikum ini masih perlu disempurnakan lagi, sehingga saran dan kritik untuk penyajian serta isinya sangat diperlukan. Akhir kata, kami ucapkan terima kasih kepada tim litbang Matematika Ekonomi 2 Laboratorium Manajemen Dasar yang turut berpartisipasi dalam penulisan modul praktikum ini. Akhir kata, penyusun mngucapkan terimakasih kepada semua pihak yang telah membantu baik secara langsung maupun tidak langsung. Depok, Maret 2015 Tim Litbang Matematika Ekonomi 2 i ATA 14/15

3 DAFTAR ISI KATA PENGANTAR... DAFTAR ISI... DAFTAR GAMBAR... i ii iv MATERI 1. DERIVATIF 1. Konsep Dasar Turunan Kaidah Diferensiasi Hubungan Antara Fungsi dan Derivatifnya Menentukan persamaan Garis Singgung dan Garis Normal Menentukan Keadaan Fungsi Menaik dan Fungsi Menurun 6 4. Penerapan Ekonomi Elastisitas Elastisitas Harga Elastisitas Permintaan Elastisitas Penawaran Elastisitas Produksi Biaya Penerimaan Laba Maksimum 21 MATERI 2. INTEGRAL TAK TENTU 1. Konsep Dasar Integral Tak Tentu Kaidah-Kaidah dalam Integral Tak Tentu Penerapan Ekonomi Fungsi Biaya Fungsi Penerimaan Matematika Ekonomi 2 ii ATA 14/15

4 3.3 Fungsi Produksi Fungsi Utilitas Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan MATERI 3. INTEGRAL TERTENTU 1. Konsep Dasar Integral Tertentu Penerapan Ekonomi Surplus Konsumen Surplus Produsen MATERI 4. TRANSEDENTAL 1. Konsep Dasar Transedental Fungsi Eksponensial Fungsi Logaritmik Penerapan Ekonomi Model Bunga Majemuk Model Pertumbuhan Kurva Gompertz Kurva Belajar (Learning Curve) DAFTAR PUSTAKA Matematika Ekonomi 2 iii ATA 14/15

5 DAFTAR GAMBAR Gambar 1.1 Tampilan Menu Derivatif... 9 Gambar 1.2 Tampilan hasil output contoh kasus Gambar 1.3 Tampilan awal software EC-Math Gambar 1.4 Tampilan Awal Menu Derivatif Gambar 1.5 Tampilan Output Contoh Kasus Gambar 1.6 Tampilan Awal Software EC-MATH Gambar 1.7 Tampilan Awal Menu Derivatif Gambar 1.8 Tampilan Output Contoh Kasus Gambar 1.9 Tampilan Awal Software EC-Math Gambar 1.10 Tampilan Awal Menu Derivatif Gambar 1.11 Tampilan Output Contoh Kasus Gambar 1.12 Tampilan Awal Software EC-Math Gambar 1.13 Tampilan Awal Menu Derivatif Gambar 1.14 Tampilan Output Contoh Kasus Gambar 1.15 Tampilan Awal Software EC-Math Gambar 1.16 Tampilan Awal Menu Derivatif Gambar 1.17 Tampilan Output Contoh Kasus Gambar 2.1 Tampilan Menu Awal Software EC-Math Gambar 2.2 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu Gambar 2.3 Tampilan Menu Operasi Fungsi Biaya Gambar 2.4 Tampilan Menu Input Data Fungsi Biaya Gambar 2.5 Tampilan Menu Output Data Fungsi Biaya Gambar 2.6 Tampilan Menu Awal Software EC-Math Gambar 2.7 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu Gambar 2.8 Tampilan Menu Operasi Fungsi Penerimaan Matematika Ekonomi 2 iv ATA 14/15

6 Gambar 2.9 Tampilan Menu Input Data Fungsi Penerimaan Gambar 2.10 Tampilan Menu Output Data Fungsi Penerimaan Gambar 2.11 Tampilan Menu Awal Software EC-Math Gambar 2.12 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu Gambar 2.13 Tampilan Menu Operasi Fungsi Produksi Gambar 2.14 Tampilan Menu Input Data Fungsi Produksi Gambar 2.15 Tampilan Menu Output Data Fungsi Produksi Gambar 2.16 Tampilan Menu Awal Software EC-Math Gambar 2.17 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu Gambar 2.18 Tampilan Menu Operasi Fungsi Konsumsi Gambar 2.19 Tampilan Menu Input Data Fungsi Konsumsi Gambar 2.20 Tampilan Menu Output Data Fungsi Konsumsi Gambar 2.21 Tampilan Menu Input Data Fungsi Saving Gambar 2.22 Tampilan Menu Output Data Fungsi Saving Gambar 3.1. Grafik Surplus Konsumen Gambar 3.2. Tampilan Ec-Math Gambar 3.3. Tampilan Integral Tertentu Surplus Konsumen Gambar 3.4. Tampilan Rumus Ec-Math Gambar 3.5. Hasil Perhitungan Suplus Konsumen Gambar 3.6. Tampilan Integral Tertentu Surplus Konsumen Gambar 3.7. Tampilan Rumus Ec-Math Surplus Konsumen Gambar 3.8. Tampilan Hasil Pengerjaan Surplus Konsumen Gambar 3.9. Grafik Contoh Soal Surplus Konsumen Gambar Grafik Surplus Produsen Matematika Ekonomi 2 v ATA 14/15

7 Gambar Tampilan Integral Tertentu Surplus Produsen Gambar Tampilan Rumus Ec-Math Gambar Hasil Output Gambar Tampilan Integral Tertentu Surplus Produsen Gambar Tampilan Rumus Ec-Math Surplus Produsen Gambar Tampilan Hasil Pengerjaan Ec-Math Surplus Produsen Gambar 4.1. Tampilan Menu Awal Transedental Gambar 4.2. Tampilan Menu Model Bunga Majemuk Gambar 4.3. Tampilan Hasil Output Kasus Gambar 4.4. Tampilan Menu Awal Transedental Gambar 4.5. Tampilan Menu Model Pertumbuhan Majemuk Gambar 4.6. Tampilan Hasil Output Kasus Gambar 4.7. Tampilan Awal Software Ec-Math Gambar 4.8. Tampilan awal menu Kurva Gompertz Gambar 4.9. Tampilan output kasus kurva gompertz Gambar tampilan awal software ec-math Gambar Tampilan menu kurva belajar Gambar Tampilan Output Kasus Kurva Belajar Matematika Ekonomi 2 vi ATA 14/15

8 Derivatif DERIVATIF 1. KONSEP DASAR TURUNAN Turunan (derivatif) membahas tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Turunan diperoleh dengan menentukan limit dari hasil bagi diferensiasi, dimana : x 0. Kurva 1.1 Kurva Derivatif Bentuk merupakan hasil bagi perbedaan atau koefisien diferensi (difference quotient) yang menggambarkan tingkat perubahan variabel terikat y terhadap variabel bebas x. 2. KAIDAH DIFERENSIASI Berikut ini adalah kaidah diferensiasi dalam berbagai bentuk fungsi: 1. Diferensiasi fungsi konstanta Jika y = k, dimana k adalah konstanta, maka y = 0 Contoh : y = 4 maka y = 0 2. Diferensiasi fungsi linear Jika y = a + bx, dimana a adalah konstanta, maka y = b Contoh : y = x maka y = Diferensiasi fungsi pangkat Jika y = ax n, dimana a adalah konstanta, maka y = n.a x n-1 Contoh : y = 4X 5 maka y = 5.4X 5-1 = 20X 4 Matematika Ekonomi 2 1 ATA 14/15

9 Derivatif 4. Diferensiasi penjumlahan atau pengurangan fungsi Jika y = u + v dimana u = g(x) dan v = n(x), maka y = u + v Contoh : y = 5X 4 4X 5 u = 5X 4, u = 4.5X 4-1 = 20X 3 v = -4X 5, v = 5.-4X 5-1 = -20X 4 karena y = u + v maka y = 20X 3 20X 4 5. Diferensiasi perkalian a. Perkalian fungsi dan konstanta Jika y = k. u, dimana u = g(x), maka y = k. u Contoh : y = 4. 5X 5 u = 5X 5 maka u = 5. 5X 5-1 =25X 4 karena y = k. u maka y = 4. 25X 4 = 100X 4 b. Perkalian fungsi Jika y = u.v, dimana u = g(x) dan v = h(x), maka y = u.v + u.v Contoh: y = (X 4 5)(4X 4 4) u = (X 4 5) maka u = 4X 3 v = (4X 4 4) maka v = 16X 3 karena y = u.v + u.v maka y = (4X 3 ) (4X 4 4) + (X 4 5)(16X 3 ) y = 16X 7 16X X 7 80X 3 6. Difernsiasi hasil bagi fungsi Jika y =, dimana u = g (x) dan v = h (x), maka y = Contoh : y = u = (X 4 5) u = (4X 3 ) v = (X 5 4) v = (5X 4 ) Matematika Ekonomi 2 2 ATA 14/15

10 Derivatif karena y = y = ( ), maka: y = y = 7. Diferensiasi fungsi komposisi (dalil rantai) Jika y = f(u) sedangkan u = g(x), dengan kata lain y = f[ g(x) ], maka: Contoh : y = (6X 2 + 4) 2 misalkan : u = 6X 2 +4, sehingga y = u 2 maka 8. Derivatif tingkat tinggi Derivatif ke-n dari fungsi y = f(k) diperoleh dengan mendiferensiasikan sebanyak n kali. Derivatif ke-n dilambangkan dengan atau f n (x) atau Contoh : y = 5X 5 + 4X 4 + 3X 3 + X, maka y' atau y atau 9. Diferensiasi implisif Adalah suatu metode diferensiasi dengan mendiferensiasikan f (x,y) = 0 suku demi suku dengan memandang y sebagai fungsi x, kemudian dari persamaan tersebut ditentukan oleh dy/dx. Matematika Ekonomi 2 3 ATA 14/15

11 Derivatif Contoh : xy 4 x 4 + y = 0 didiferensiasikan terhadap x, maka : 1.y 4 + x.4y 4x 3 + = 0 (4xy + 1) = 4x 3 y 4 = 10. Derivatif fungsi logaritmik y = ln x y = ln u, dimana u = g (x) y = a log x contoh : jika y = ln (3 3x 2 ) maka tentuka dy / dx u = 3 3x Derivatif fungsi eksponensial Matematika Ekonomi 2 4 ATA 14/15

12 Derivatif 12. Derivatif fungsi trigonometrik Beberapa turunan fungsi trigonometrik yang penting adalah : 3. HUBUNGAN ANTARA FUNGSI DAN DERIVATIFNYA 3.1 Menentukan persamaan Garis Singgung dan Garis Normal Langkah langkah untuk mencari Garis Singgung dan Garis Normal adalah : 1. Tentukanlah titik singgung (xo, yo) 2. Cari koefisien arah m = f (x) 3. Cari Garis Singgung dengan rumus : y yo = m (x xo) 4. Cari Garis Normal dengan rumus : y yo = * Catatan : Garis Normal adalah garis yang tegak lurus pada Garis Singgung kurva Matematika Ekonomi 2 5 ATA 14/15

13 Derivatif 3.2 Menentukan Keadaan Fungsi Menaik dan Fungsi Menurun 1. Fungsi y = f (x) monton naik jika f (x) > 0 2. Fungsi y = f (x) monoton turun jika f (x) < 0 3. Nilai stasioner Jika diketahui y = f(x), maka pada f (x) = 0, titik (x, y) merupakan Nilai Stasioner. Jenis jenis Titik Stasioner adalah : Jika f(x) > 0, maka (x, y) merupakan titik balik minimum Jika f(x) < 0, maka (x, y) merupakan titik balik maksimum Jika f(x) = 0, maka (x, y) merupakan titik balik belok CONTOH : Diketahui TR = 15Q 4Q 2, tentukanlah nilai maksimum atau minimum dari fungsi tersebut! Jawab : TR = Q = 0-8Q = -15 Q = -15/-8 = TR = -8 ( TR < 0, merupakan titik balik maksimum) Nilai maksimum TR = 15Q 4Q 2 = 15(1.875) 4(1.875) 2 = = Matematika Ekonomi 2 6 ATA 14/15

14 Derivatif 4. PENERAPAN EKONOMI 4.1 ELASTISITAS ELASTISITAS HARGA Adalah perbandingan antara perubahan relative dari jumlah perubahan relative dari harga. Untuk menentukan elastisitas harga, ada dua macam yang digunakan yaitu: 1. ELASTISITAS TITIK (Point Elasticity) 2. ELASTISITAS BUSUR (Arc Elasticity) Merupakan elastisitas pada dua titik atau elastisitas pada busur kurva. Kelemahannya adalah timbulnya tafsiran ganda. Elastisitas titik dan busur dipakai untuk menghitung : a. Elastisitas harga permintaan, d < 0 (engatif) b. Elastisitas harga penawaran, s > 0 (positif) Dari hasil perhitungan, nilai elastisitas akan menunjukkan : a. > 1 ELASTIS b. < 1 INELASTIS c. = 1 UNITARY ELASTIS d. = 0 INELASTIS SEMPURNA e. = ELASTIS TAK HINGGA Matematika Ekonomi 2 7 ATA 14/15

15 Derivatif ELASTISITAS PERMINTAAN Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya jumlah barang yang diminta akibat adanya perubahan harga. Jika fungsi permintaan ditanyakan Qd = f(p), maka elastisitas permintaannya adalah : d = Qd CONTOH KASUS 1 : Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qd = 44 4P 2. Tentukanlah elastisitas permintaan pada saat P = 5/unit. Bagaimanakah sifat elastisitasnya? Analisislah! Diketahui : Qd = 44 4P 2 Qd = -8P P = 5 Ditanya : d? Jawab : d = Qd. d = -8P. d = -8(5). d = 3.57 > 1 ( elastis ) Analisis : Jadi besarnya elastisitas permintaan adalah 3.57 pada saat harga produk sebesar Rp 5. Jika harga tersebut naik sebesar 1% maka barang yang akan diminta akan turun sebanyak 3.57% Matematika Ekonomi 2 8 ATA 14/15

16 Derivatif LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN SOFTWARE EC-MATH: 1. Buka aplikasi EC Math pilih Derivatif kemudian pilih Mencari Elastisitas Permintaan Gambar 1.1 Tampilan Menu Derivatif 2. Masukkan Pangkat Terbesar sama dengan 2. Kemudian tekan enter. Kemudian masukkan angka-angka yang diketahui di soal. Lalu tekan enter untuk menampilkan hasilnya. Gambar 1.2 Tampilan hasil output contoh kasus 1 Matematika Ekonomi 2 9 ATA 14/15

17 Derivatif ELASTISITAS PENAWARAN Adalah suatu koefisen yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan berkenaan adanya perubahan harga. Jika fungsi penawaran dinyatakan dengan Qs = f (P), maka elastisitas penawarannya: s = Qs CONTOH KASUS 2 : Fungsi penawaran suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qs = P 2. Tentukan elastisitas penawaran pada saat harga Rp 4/unit. Bagaimana sifat elastis penawaran tersebut, analisislah! Diketahui : Qs = P 2 Qs = 10P P = Rp 4/unit Ditanya : s? Jawab : s = Qs. s= 10P. s = 10(4). s = 4.57 (elastis) Analisis: Jadi besarnya elastisitas penawaran adalah 4.57 pada saat harga produk sebesar Rp.4. Jika harga tersebut naik sebesar 1% maka barang yang ditawarkan akan bertambah sebanyak 4.57%. Matematika Ekonomi 2 10 ATA 14/15

18 Derivatif LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN SOFTWARE EC-MATH: 1. Buka aplikasi EC Math Gambar 1.3 Tampilan awal software EC-Math 2. Pilih Derivatif kemudian pilih Mencari Elastisitas Penawaran Gambar 1.4 Tampilan Awal Menu Derivatif Matematika Ekonomi 2 11 ATA 14/15

19 Derivatif 3. Masukkan Pangkat Terbesar sama dengan 2. Kemudian tekan enter. Kemudian masukkan angka-angka yang diketahui di soal. Lalu tekan enter untuk menampilkan hasilnya. Gambar 1.5 Tampilan Output Contoh Kasus ELASTISITAS PRODUKSI Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah keluaran (output) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan (input) yang digunakan. Jika fungsi produksi dinyatakan dengan P = f(x), maka elastisitas produksinya: p = P CONTOH KASUS 3 : Diketahui fungsi produksi perusahaan PT. Coba Colek ditunjukkan oleh persamaan P = 5X 3 4X 2. Hitunglah elastisitas pada saat X = 4 unit dan analisislah! Matematika Ekonomi 2 12 ATA 14/15

20 Derivatif Diketahui : P = 5X 3 4X 2 P = 15X 2 8X X = 4 Ditanya : p? Jawab : p = P. p = (15X 2 8X). p = p = p = 3.25 Analisis : Jadi elastisitas produksi sebesar 3.25 pada saat jumlah masukan produk sebesar 4 unit. LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN SOFTWARE EC-MATH: 1. Buka aplikasi EC Math Gambar 1.6 Tampilan Awal Software EC-MATH Matematika Ekonomi 2 13 ATA 14/15

21 Derivatif 2. Pilih Derivatif kemudian pilih Mencari Elastisitas Produksi Gambar 1.7 Tampilan Awal Menu Derivatif 3, Masukkan Pangkat Terbesar sama dengan 3. Kemudian tekan enter. Kemudian masukkan angka-angka yang diketahui di soal. Lalu tekan enter untuk menampilkan hasilnya. Gambar 1.8 Tampilan Output Contoh Kasus 3 Matematika Ekonomi 2 14 ATA 14/15

22 Derivatif 4.2 BIAYA a. BIAYA TOTAL (TC) Adalah seluruh biaya yang dibutuhkan untuk memproduksi atau memasarkan sejumlah barang atau jasa, baik yang merupakan biaya tetap atau biaya variabel. TC = F(Q) atau TC = FC + VC b. BIAYA RATA-RATA(AC) Adalah biaya per unit yang dibutuhkan untuk memproduksi suatu barang atau jasa pada tingkat produksi total AC = c. BIAYA MARGINAL (MC) Adalah besarnya pertambahan biaya total yang dibutuhkan akibat pertambahan hasil produksi satu unit pada suatu tingkat produksi tertentu. MC = TC = CONTOH KASUS 4: Biaya total yang dikeluarkan oleh perusahaan mobil PT Handok di tunjukkan oleh persamaan TC = 4Q 3 + 5Q 2 Q + 4. Tentukanlah besarnya biaya total, biaya ratarata, dan biaya marginal pada saat kuantitas 4 unit? Berikan analisisnya! Matematika Ekonomi 2 15 ATA 14/15

23 Derivatif Diketahui :TC = 4Q 3 + 5Q 2 Q + 4 Q = 4 Ditanya : TC, AC, dan MC pada Q = 4 Jawab : TC = 4(4) 3 + 5(4) = 336 AC = TC/Q = 336/4 = 84 MC = TC = 12Q Q 1 = 12(4) (4) 1 = 231 Analisis: Jadi pada saat perusahaan memproduksi sebanyak 4 unit maka biaya total yang dikeluarkan sebesar Rp 336 dengan biaya rata rata sebesar Rp 84 dan biaya marginal Rp 231 LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN SOFTWARE EC-MATH: 1. Buka aplikasi EC Math Gambar 1.9 Tampilan Awal Software EC-Math Matematika Ekonomi 2 16 ATA 14/15

24 Derivatif 2. Pilih Derivatif kemudian pilih Mencari Fungsi Biaya Gambar 1.10 Tampilan Awal Menu Derivatif 3. Masukkan pangkat terbesar sama dengan 3. Lalu tekan enter. Kemudian masukkan angka-angka yang diketahui di soal. Lalu tekan enter untuk menampilkan hasilnya. Gambar 1.11 Tampilan Output Contoh Kasus 4 Matematika Ekonomi 2 17 ATA 14/15

25 Derivatif 4.3 PENERIMAAN a. PENERIMAAN TOTAL (TR) Adalah total hasil penerimaan penjualan dari produk yang diproduksi. TR = F (Q) = P Q b. PENERIMAAN RATA-RATA (AR) Adalah hasil dari penerimaan per unit yang diperoleh dari penjualan suatu barang/jasa pada kuantitas tertentu. Fungsi Average Revenue sama dengan fungsi permintaan dari harga barang tersebut. AR = = = P c. PENERIMAAN MARGINAL (MR) Adalah pertambahan hasil penerimaan yang diperoleh akibat pertambahan penjualan atau unit barang/jasa pada suatu kuantitas tertentu. MR = TR = CONTOH KASUS 5 : Fungsi permintaan perusahaan makanan ringan ditunjukkan oleh P = 54Q + 4. Bagaimanakah persamaan penerimaan totalnya? Berapakah besarnya penerimaan total, penerimaan rata-rata, dan penerimaan marginal jika penjualan sebesar 5 unit? Berikan analisisnya! Diketahui : P = 54Q + 4 Q = 5 Ditanya : TR, AR, dan MR pada saat Q = 5 Jawab : TR = P x Q = (54Q + 4)Q = 54Q 2 + 4Q = 54(5) (5) = 1370 Matematika Ekonomi 2 18 ATA 14/15

26 Derivatif AR MR = TR / Q = 1370 / 5 = 274 = TR = 108Q + 4 = 108 (5) + 4 = 544 Analisis : Jadi penerimaan total yang diterima perusahaan makanan ringan saat penjualan 5 unit sebesar Rp 1370 dengan penerimaan nata-rata Rp 274 dan penerimaan marginal sebesar Rp 544. LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN SOFTWARE EC-MATH: 1. Buka aplikasi EC Math Gambar 1.12 Tampilan Awal Software EC-Math Matematika Ekonomi 2 19 ATA 14/15

27 Derivatif 2. Pilih Derivatif kemudian pilih Mencari Fungsi Penerimaan Gambar 1.13 Tampilan Awal Menu Derivatif 3. Masukkan pangkat terbesar sama dengan 2. Lalu tekan enter. Kemudian masukkan angka-angka yang diketahui di soal. Lalu tekan enter untuk menampilkan hasilnya. Gambar 1.14 Tampilan Output Contoh Kasus 5 Matematika Ekonomi 2 20 ATA 14/15

28 Derivatif 4.3 LABA MAKSIMUM Terdapat tiga pendekatan perhitungan laba maksimum : 1. Pendekatan Totalitas (Totality Approach) 2. Pendekatan Rata Rata (Average Approach) 3. Pendekatan Marginal (Marginal Approach) Pada bab ini kita hanya akan membahas perhitungan laba maksimum dengan pendekatan marginal (Marginal Approach). Perhitungan laba dilakukan dengan membandingkan Biaya Marginal (MC) dan Pendapatan Marginal (MR), laba maksimum akan tercapai pada saat MR = MC. Laba (π dibaca: phi) = TR TC. Laba maksimum tercapai bila turunan pertama fungsi TC (dtc/dq atau MC) sehingga MR MC = 0. Dengan demikian, perusahaan akan memperoleh laba maksimum (atau kerugian minimum), bila ia berproduksi pada tingkat output di mana MR = MC. CONTOH KASUS 6 : Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = -455Q dengan biaya variabel VC = 45Q Q. Biaya tetap yang dikeluarkan perusahaan sebesar Tentukanlah pada tingkat penjualan berapa perusahaan bisa mendapatkan laba maksimum dan berapakah besarnya laba tersebut? Analisislah! Diketahui : P = -455Q VC = 45Q Q FC = Ditanya : Q pada saat laba max? Jawab : TR = P x Q = (-455Q ).Q = -455Q Q Matematika Ekonomi 2 21 ATA 14/15

29 Derivatif TC = VC + FC = (45Q Q) = 45Q Q Laba / rugi = TR TC = (-455Q Q) (45Q Q ) = -500Q Q Laba maksimum laba = Q = Q = Q = 559, Saat Q = 560 Laba = -500Q Q = -500(560) (560) = Analisis: Jadi untuk mendapatkan laba maksimum, perusahaan harus menjual produknya sebanyak 560 unit sehingga keuntungan yang ia dapat sebesar LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN SOFTWARE EC-MATH: 1. Buka aplikasi EC Math Gambar 1.15 Tampilan Awal Software EC-Math Matematika Ekonomi 2 22 ATA 14/15

30 Derivatif 2. Pilih Derivatif kemudian pilih Mencari Fungsi Laba Gambar 1.16 Tampilan Awal Menu Derivatif 3. Masukkan pangkat terbesar sama dengan 2 pada fungsi penerimaan total dan fungsi biaya total kemudian masukkan angka angka yang diketahui di soal kemudian tekan enter. Gambar 1.17 Tampilan Output Contoh Kasus 6 Matematika Ekonomi 2 23 ATA 14/15

31 Integral Tak Tentu INTEGRAL TAK TENTU 1. KONSEP DASAR INTEGRAL TAK TENTU Dalam kalkulus integral dikenal dua macam pengertian integral, yaitu integral tak tentu (indefinite integral) dan integral tertentu (definite integral). Integral tak tentu adalah kebalikan dari diferensial, yakni suatu konsep yang berhubungan dengan proses penemuan suatu fungsi asal apabila turunan atau derivatif dari fungsinya diketahui. Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(x) berarti adalah mencari integral atau turunan-antinya, yaitu F(x). Bentuk umum integral dari f(x) adalah : Keterangan : f x dx F x k tanda integral = diferensial dari F(x) = integran F(x) = integral particular F(x)= intergal partikular k = konstanta pengintegralan Formula Integral X dx X n+ n + k Dalam diferensial kita menemukan bahwa jika suatu fungsi asal dilambangkan dengan F(x) dan fungsi turunannya dilambangkan dengan f(x) maka: Untuk fungsi asal : F(x)= + 5 Fungsi turunannya : = = 2x Jika prosesnya dibalik (fungsi turunan f(x) diintegralkan), maka: f x dx F x k = x + k Matematika Ekonomi 2 24 ATA 14/15

32 Integral Tak Tentu Karena derivatif dari setiap konstanta adalah nol. Jadi setiap kita mengintegralkan fungsi turunan konstanta c tetap dalam bentuk c. Nilai c tidak dapat diisi dengan sembarang bilangan tertentu kecuali nilai c tersebut sudah ditentukan. Karena ketidaktentuan nilai konstanta itulah maka bentuk integral yang merupakan kebalikan dari diferensial dinamakan integral tak tentu. 2. KAIDAH-KAIDAH DALAM INTEGRAL TAK TENTU Berikut ini adalah beberapa kaidah dalam integral tak tentu, diantaranya: 1. Formula pangkat + k 2. Formula logaritmis ln + k 3. Formula eksponensial + k + k u = ƒ(x) 4. Formula penjumlahan { } 5. Formula perkalian 6. Formula subtitusi = Matematika Ekonomi 2 25 ATA 14/15

33 Integral Tak Tentu 3. PENERAPAN EKONOMI Pendekatan integral tak tentu dapat diterapkan untuk mencari persamaan fungsi total dari suatu variabel ekonomi apabila persamaan fungsi marginalnya diketahui. Karena fungsi marginal pada dasarnya merupakan turunan dari fungsi total, maka dengan proses sebaliknya, yaitu integrasi, dapat dicari fungsi asal dari fungsi turunan tersebut atau fungsi totalnya. 3.1 FUNGSI BIAYA BIAYA TOTAL (TC) = MC dq = f (Q) BIAYA RATA-RATA(AC) = CONTOH KASUS 1 : Diketahui fungsi biaya marjinal pada suatu perusahaan Maju Cantik sebesar MC = 15Q²+ 4Q + 4. Bentuklah fungsi biaya total dan biaya rata-ratanya apabila diketahui konstanta sebesar 5. Berapakah besarnya biaya total dan biaya rata-rata jika kuantitasnya sebesar 55 unit? Analisislah! Diketahui : MC = 15Q² + 4Q + 4 k = 5 Q = 55 Ditanya :Persamaan TC dan AC? Besarnya TC & AC jika Q = 55? Jawab : TC = MC dq = 15Q² + 4Q + 4 dq = Q 3 + Q 2 + 4Q + k = 5Q³ + 2Q² + 4Q + 5 AC = = 5Q² + 2Q Matematika Ekonomi 2 26 ATA 14/15

34 Integral Tak Tentu Jika Q=55, maka: TC = 5Q³ + 2Q² + 4Q + 5 = 5(55)³ + 2(55)² + 4(55) + 5 = = AC = = = ,09 Analisis : Apabila MC = 15Q² + 4Q + 4 dan konstanta sebesar 5, maka fungsi biaya total dan fungsi biaya rata-rata adalah TC = 5Q³ + 2Q² + 4Q + 5 dan AC = 5Q² + 2Q Pada saat kuantitasnya sebesar 55 unit maka biaya total sebesar Rp ,00 dan biaya rata-rata sebesar Rp15.239,09. LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN SOFTWARE EC-MATH 1. Buka aplikasi EC Math Gambar 2.1 Tampilan Menu Awal Software EC-Math Matematika Ekonomi 2 27 ATA 14/15

35 Integral Tak Tentu 2. Pilih Integral Tak Tentu 3. Pilih Fungsi Biaya Gambar 2.2 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu Gambar 2.3 Tampilan Menu Operasi Fungsi Biaya Matematika Ekonomi 2 28 ATA 14/15

36 Integral Tak Tentu 4. Masukan data-data yang diketahui dari soal. Untuk menentukan Banyaknya Variabel hitung berapa banyak variabel pada data soal, yaitu 2. Masukkan FC sebesar c, yaitu 5, kemudian masukkan persamaan MC seperti yang diketahui di soal. Klik Calculate. Gambar 2.4 Tampilan Menu Input Data Fungsi Biaya 5. Untuk mencari besarnya TC dan AC, masukkan nilai Q seperti yang ada di soal, yaitu 55. Kemudian klik Calculate. Gambar 2.5 Tampilan Menu Output Data Fungsi Biaya contoh Kasus 1 Matematika Ekonomi 2 29 ATA 14/15

37 Integral Tak Tentu 3.2 FUNGSI PENERIMAAN PENERIMAAN TOTAL (TR) = MR dq = f (Q) PENERIMAAN RATA-RATA (AR) = CONTOH KASUS 2 : Jika fungsi penerimaan marginal suatu perusahaan ditunjukkan oleh persamaan MR = 45Q² + 4Q + 5 maka bentuklah fungsi TR dan AR jika k = 0? Berapakah besarnya penerimaan total dan penerimaan rata-rata jika kuantitas yang terjual sebesar 15 unit? Analisislah! Diketahui : MR = 45Q² + 4Q + 5 k = 0 Q = 15 Ditanya : Persamaan TR dan AR? Besarnya TR dan AR jika Q = 15? Jawab : TR = MR dq = 45Q² + 4Q + 5 dq = Q 3 + Q 2 + 5Q + k = 15Q³ + 2Q² + 5Q AR = = 15Q 3 + 2Q 2 + 5Q Q = 15Q² + 2Q + 5 Jika Q=15, maka: TR = 15Q³ + 2Q² + 5Q = 15(15)³ + 2(15)² + 5(15) = = Matematika Ekonomi 2 30 ATA 14/15

38 Integral Tak Tentu AR = = = Analisis : Apabila MR = 45Q² + 4Q + 5 dan konstanta sebesar 0, maka fungsi penerimaan total dan fungsi penerimaan rata-ratanya adalah TR = 15Q³ + 2Q² + 5Q dan AR = 15Q² + 2Q + 5. Jika pada saat kuantitasnya sebesar 15 unit, maka besarnya biaya penerimaan yang masuk ke perusahaan tersebut adalah Rp ,00. Sedangkan besarnya penerimaan rata-rata adalah Rp LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN SOFTWARE EC-MATH 1. Buka aplikasi EC Math Gambar 2.6 Tampilan Menu Awal Software EC-Math Matematika Ekonomi 2 31 ATA 14/15

39 Integral Tak Tentu 2. Pilih Integral Tak Tentu Gambar 2.7 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu 3. Pilih Fungsi Penerimaan Gambar 2.8 Tampilan Menu Operasi Fungsi Penerimaan Matematika Ekonomi 2 32 ATA 14/15

40 Integral Tak Tentu 4. Masukan data-data yang diketahui dari soal. Untuk menentukan Banyaknya Variabel hitung berapa banyak variabel pada data soal, yaitu 2. Masukkan persamaan MR seperti yang diketahui di soal. Klik Calculate. Gambar 2.9 Tampilan Menu Input Data Fungsi Penerimaan 5. Untuk mencari besarnya TR dan AR, masukkan nilai Q seperti yang ada di soal, yaitu 15. Kemudian klik Calculate. Gambar 2.10 Tampilan Menu Output Data Fungsi Penerimaan contoh kasus 2 Matematika Ekonomi 2 33 ATA 14/15

41 Integral Tak Tentu 3.3 FUNGSI PRODUKSI PRODUK TOTAL (TP) = MP dx = f (X) PRODUK RATA-RATA (AP) = X = Masukan atau Input CONTOH KASUS 3 : Produk marjinal PT.RED ditunjukkan oleh persamaan 54X² + 1. Bentuklah fungsi produk total dan fungsi produk rata-ratanya jika k = 0? Berapakah besarnya produk total dan produk rata-rata jika masukan yang digunakan sebesar 11 unit? Analisislah! Diketahui : MP = 54X² + 1 k = 0 X = 11 Ditanya : Persamaan TP dan AP? Besarnya TP dan AP jika X = 11? Jawab : TP = MP dx = 54X² + 1 = X 3 + X + k = 18X³ + X + k = 18X³ + X + 0 = 18X³ + X AP = = X X = 18X² Matematika Ekonomi 2 34 ATA 14/15

42 Integral Tak Tentu Jika X = 11, maka: TP = 18X³ + X = 18(11)³ + 11 = AP = = = Analisis : Apabila MP = 54X² + 1 dan konstantan sebesar 0, maka fungsi Total Produksi TP = 18X³ + X dan fungsi rata-rata produksi AP = 18X². Jika masukan yangdigunakan sebesar 11 unit, maka besarnya produk total adalah unit. Sedangkan produk rata-ratanya sebesar unit. LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN SOFTWARE EC-MATH 1.Buka aplikasi EC Math Gambar 2.11 Tampilan Menu Awal Software EC-Math Matematika Ekonomi 2 35 ATA 14/15

43 Integral Tak Tentu 2. Pilih Integral Tak Tentu Gambar 2.12 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu 3. Pilih Fungsi Produksi Gambar 2.13 Tampilan Menu Operasi Fungsi Produksi Matematika Ekonomi 2 36 ATA 14/15

44 Integral Tak Tentu 4. Masukan data-data yang diketahui dari soal. Untuk menentukan Banyaknya Variabel hitung berapa banyak variabel pada data soal, yaitu 1. Masukkan persamaan MP seperti yang diketahui di soal. Klik Calculate. Gambar 2.14 Tampilan Menu Input Data Fungsi Produksi 5. Untuk mencari besarnya TP dan AP, masukkan nilai Q seperti yang ada di soal, yaitu 11. Kemudian klik Calculate. Gambar 2.15 Tampilan Menu Output Data Fungsi Produksi contoh kasus 3 Matematika Ekonomi 2 37 ATA 14/15

45 Integral Tak Tentu 3.4 FUNGSI UTILITAS UTILITAS TOTAL (TU) = MU dq = f (Q) CONTOH KASUS 4: Bentuklah persamaan utilitas total dari seorang konsumen jika utilitas marginalnya ditunjukkan oleh persamaan MU = 45Q² - 44Q +1 dan konstantanya sebesar 0? Berapakah besarnya utilitas total jika Q = 14? Diketahui : MU = 45Q² - 44Q +1 k = 0 Q = 14 Ditanya : Persamaan TU? Besarnya TU jika Q = 14? Jawab : TU = MU dq = 45Q² - 44Q +1 dq = Q 3 - Q 2 + Q + k = 15Q³ - 22Q 2 + Q + k = 15Q³ - 22Q 2 + Q Jika Q = 14 maka: TU = 15Q³ - 22Q 2 + Q = 15(14)³ - 22(14) = = Analisis : Apabila MU = 45Q² - 44Q +1 dan konstanta sebesar 0, maka fungsi utilitas totalnya adalah TU = 15Q³ - 22Q + Q. Jika kuantitasnya sebesar 14 unit, maka besarnya utilitas total konsumen sebesar Matematika Ekonomi 2 38 ATA 14/15

46 Integral Tak Tentu 3.5 FUNGSI KONSUMSI DAN FUNGSI TABUNGAN Dalam ekonomi makro, konsumsi (C) dan tabungan (S) dinyatakan fungsional terhadap pendapatan nasional (Y). Berdasarkan kaidah integrasi, konsumsi (C) adalah integral dari MPC dan tabungan (S) adalah integral dari MPS. C = MPC dy = F(Y) + k k = +a S = MPS dy = F(Y) + k k = -a Keterangan: MPC (Marginal Propensity to Consume) = Perbandingan antara besarnya perubahan konsumsi (ΔC) dengan perubahan Pendapatan Nasional (ΔY) yang mengakibatkan adanya perubahan konsumsi tersebut. MPS (Marginal Propensity to Saving)= Perbandingan antara besarnya perubahan saving (ΔS) dengan perubahan Pendapatan Nasional (ΔY) yang mengakibatkan adanya perubahan konsumsi tersebut. k = a = Autonomous Consumption = konsumsi otonom menunjukkan besarnya konsumsi nasional pada saat Pendapatan Nasional sebesar nol k = -a = Autonomous Saving = Tabungan otonom menunjukkan besarnya tabungan nasional pada saat Pendapatan Nasional sebesar nol. Dimana : 0,5 < MPC < 1 MPC + MPS = 1 MPC < 1 = menunjukkan sebagian besar penggunaan tambahan pendapatan digunakan untuk menambah besarnya konsumsi, sedangkan sisanya yaitu sejumlah kecil merupakan tambahan tabungan. MPC > 0,5 = menunjukkan lebih dari 50 % pendapatan yang diperoleh digunakan untuk konsumsi. MPC selalu positif = karena jika pendapatan naik, konsumsi akan naik. Matematika Ekonomi 2 39 ATA 14/15

47 Integral Tak Tentu CONTOH KASUS 5 : Bentuklah fungsi konsumsi dan fungsi tabungan masyarakat suatu negara Juvedona jika diketahui bahwa MPC = 0,55 dan konsumsi autonomnya sebesar 15 milyar? Berapa besar konsumsi dan tabungan masyarakat jika pendapatan nasional negara Juvedona sebesar 445 Milyar? Diketahui :MPC = 0,55 Konsumsi Otonomus = k = a= 15 Pendapatan Nasional = 445 Ditanya : f (C) & f(s)? Besar C & S? Jawab : MPC + MPS = 1 MPS = 1 MPC = 1 0,55 = 0,45 C = MPC dy = 0,55 dy = 0,55Y + k = 0,55Y + 15 S = MPS dy = 0,45 dy = 0,45Y + k = 0,45Y 15 Jika (Y=445) maka, C = 0,55Y + 15 = 0,55(445) + 15 = 259,75 Matematika Ekonomi 2 40 ATA 14/15

48 Integral Tak Tentu S = 0,45Y 15 = 0,45(445) 15 = 185,25 Analisis : Apabila MPC = 0,55 dan konsumsi autonomnya sebesar 15; maka fungsi konsumsi yang terbentuk adalah C = 0,55Y Sedangkan fungsi tabungannya adalah S = 0,45Y 15. Jika pada saat Pendapatan Nasional sebesar 445 maka konsumsi dan saving masyarakat negara Juvedona sebesar 259,75 & 185,25. LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN SOFTWARE EC-MATH 1. Buka aplikasi EC Math Gambar 2.16 Tampilan Menu Awal Software EC-Math Matematika Ekonomi 2 41 ATA 14/15

49 Integral Tak Tentu 2. Pilih Integral Tak Tentu Gambar 2.17 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu 3. Pilih Fungsi Konsumsi Gambar 2.18 Tampilan Menu Operasi Fungsi Konsumsi Matematika Ekonomi 2 42 ATA 14/15

50 Integral Tak Tentu 4. Masukkan nilai k atau a sesuai dengan data yang diketahui di soal sebesar 15, kemudian masukkan nilai MPC yaitu 0,55. Kemudian klik Calculate. Gambar 2.19 Tampilan Menu Input Data Fungsi Konsumsi 5. Masukan nilai Y sesuai data soal sebesar 445 pada kolom Y untuk menghitung nilai konsumsinya, klik Calculate. Gambar 2.20 Tampilan Menu Output Data Fungsi Konsumsi Contoh Kasus 5 Matematika Ekonomi 2 43 ATA 14/15

51 Integral Tak Tentu 6. Setelah itu masuk ke menu Integral Tak Tentu. Lalu pilih Fungsi Tabungan. Masukkan nilai k atau a sesuai dengan data yang diketahui di soal sebesar -15, kemudian masukkan nilai MPS yaitu 0,45. Kemudian klik Calculate. Gambar 2.21 Tampilan Menu Input Data Fungsi Saving 7. Masukan nilai Y sesuai data soal sebesar 445 pada kolom Y untuk menghitung nilai savingnya, klik Calculate. Gambar 2.22 Tampilan Menu Output Data Fungsi Saving contoh kasus 5 Matematika Ekonomi 2 44 ATA 14/15

52 Integral Tertentu INTEGRAL TERTENTU 1. KONSEP DASAR INTEGRAL TERTENTU Integral Tertentu (definisi) merupakan suatu konsep yang berhubungan dengan proses pencarian luas suatu area yang batasan-batasan (limit) nya sudah ditentukan. Rumus Integral tertentu : = a = batas bawah b = batas atas dimana a < b Contoh: Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh kurva dengan nilai a = 1 dan nilai b =4 pada persamaan 5x 2 + 4x + 1 dx! Jawab : 5x 2 + 4x + 1 dx = [5/3x 3 + 2x 2 + x = [5/3 (4) (4) 2 + 4] [5/3 (1) (1) 2 + 1] = [ 106, ] [ 1, ] = [ ] [ 4,67 ] = PENERAPAN EKONOMI Integral Tertentu dapat digunakan untuk mencari besarnya keuntungan Konsumen (Surplus Konsumen) dan besarnya keuntungan Produsen (Surplus Produsen). Matematika Ekonomi 2 45 ATA 14/15

53 Integral Tertentu 2.1 SURPLUS KONSUMEN = SK (Consumer s Surplus = CS) Surplus konsumen merupakam cerminan suatu keuntungan lebih/surplus yang dinikmati oleh konsumen tertentu berkenaan dengan tingkat harga pasar suatu barang. Besarnya surplus konsumen (Cs) ditunjukkan oleh luas area di bawah kurva permintaan ( P = f(q)) tetapi diatas tingkat harga pasar (Pe). Catatan: Jika mencari SK/CS maka harus memakai fungsi permintaan 1. Jika fungsi permintaan/ demand berbentuk D = Maka Rumusnya: CS = = Keterangan : Qe = Tingkat kuantitas keseimbangan dipasar Pe = Tingkat Harga keseimbangan di pasar = Tingkat harga pada saat Q=0 Gambar 3.1 Grafik Surplus Konsumen CONTOH SOAL 1 Diketahui suatu fungsi permintaan barang Pd = 54 4Q dan fungsi penawaran Ps = 4 + Q, tentukan surplus konsumen dengan dua cara? Analisi dan buat grafiknya! Diketahui : Pd = 54 4Q Ps = 4 + Q Ditanya : Cs? Matematika Ekonomi 2 46 ATA 14/15

54 Integral Tertentu Jawab : Cara 1 : Pd = Ps P = 54 4Q 54 4Q = 4 + Q P = 54 4(10) 4Q - Q = 4 54 Pe = 14-5Q = - 50 Qe = 10 Analisis: Jadi surplus yang diperoleh konsumen tersebut sebesar Rp 200 karena konsumen dapat membeli dengan harga Rp 14 padahal konsumen sanggup membayar lebih tinggi dari harga keseimbangan pasar yang bernilai Rp 14. Langkah membuat kurva: 1. Pd = 54 4Q Misal P = 0, maka 0 = 54 4Q 4Q = 54 Q = 13,5 Matematika Ekonomi 2 47 ATA 14/15

55 Integral Tertentu Misal Q = 0, maka P = 54 4 (0) P = Letakkan nilai kuantitas keseimbangan pasar (Qe = 10) dan harga keseimbangan pasar (Pe = 14). 3. Untuk area Cs dapat dihitung dengan rumus luas segitiga, L = (a x t) : 2. Dengan a = 10 ; t = 40. Maka nilai Cs atau Luas segitiga yang diarsir adalah L = (10 x 40) : 2 = 200 Gambar 3.2 Grafik Surplus Konsumen soal 1 LANGKAH LANGKAH MENGGUNAKAN SOFTWARE EC-MATH : 1. Buka software EC-Math, Lalu pilih materi Integral tertentu, Surplus Konsumen 1 (Rumus1) Gambar 3.3 Tampilan Integral Tertentu Surplus Konsumen 1 Matematika Ekonomi 2 48 ATA 14/15

56 Integral Tertentu 2. Masukan jumlah variable Q yang tertera pada soal ( Lihat fungsi permintaan nya), pilih 1 variabel Gambar 3.4 Tampilan Rumus Ec-Math 3. Masukan data-datanya sesuai soal. Jika sudah semua, Klik Hitung, maka akan muncul jawabannya. Gambar 3.5 Hasil Perhitungan Suplus Konsumen 1 Matematika Ekonomi 2 49 ATA 14/15

57 Integral Tertentu Cara 2 Pd = 54 4Q 4Qd = 54 P Qd = P Jika : Q = 0 ; = LANGKAH LANGKAH MENGGUNAKAN SOFTWARE EC-MATH : 1. Pilih materi Integral tertentu, Surplus Konsumen 2 (Rumus2) Gambar 3.6 Tampilan Integral Tertentu Surplus Konsumen 2 Matematika Ekonomi 2 50 ATA 14/15

58 Integral Tertentu 2. Masukan jumlah variable Q yang tertera pada soal ( Lihat fungsi permintaan nya), pilih 1 variabel Gambar 3.7 Tampilan Rumus Ec-Math Surplus Konsumen 2 3. Masukan nilai konstanta dan nilai koefisien nya. Jika sudah lalu klik Hitung, maka akan keluar jawabannya. Gambar 3.8 Tampilan Hasil Pengerjaan Surplus Konsumen 2 Matematika Ekonomi 2 51 ATA 14/15

59 Integral Tertentu CONTOH SOAL 2 Jika fungsi permintaan P= 45 4Q dan tingkat kuantitas keseimbangan pasarnya adalah 5. Hitunglah surplus konsumen nya dengan menggunakan 2 cara, analisislah dan buat grafiknya! Diketahui : P = 45 4Q Qe = 5 Ditanya : Cs? Jawab : Qe = 5 Pe = 45 4(5) = 25 Cara 1 Analisi: Jadi surplus yang diperoleh konsumen tersebut sebesar Rp 50 karena konsumen dapat membeli dengan harga Rp 25 padahal konsumen sanggup membayar lebih tinggi dari harga keseimbangan pasar yang bernilai Rp 25. Langkah membuat kurva: 1. Pd = 45 4Q Misal P = 0, maka 0 = 45 4Q 4Q = 45 Q = 11,25 Matematika Ekonomi 2 52 ATA 14/15

60 Integral Tertentu Misal Q = 0, maka P = 45 4 (0) P = Letakkan nilai kuantitas keseimbangan pasar (Qe = 5) dan harga keseimbangan pasar (Pe = 25). 3. Untuk area Cs dapat dihitung dengan rumus luas segitiga, L = (a x t) : 2. Dengan a = 5 ; t = 20. Maka nilai Cs atau Luas segitiga yang diarsir adalah L = (5 x 20) : 2 = 50 Gambar 3.9 Grafik Surplus Konsumen soal 2 Cara 2: Pd = 45 4Q 4Qd = 45 P Qd = 11, P Jika : Q = 0 ; = 45 Matematika Ekonomi 2 53 ATA 14/15

61 Integral Tertentu SURPLUS PRODUSEN = SP (Producer s Surplus = PS) Surplus produsen mencerminkan suatu keuntungan lebih/surplus yang dinikmati oleh produsen tertentu berkenaan dengan harga pasar dari barang yang ditawarkan. Besarnya surplus produsen (Ps) ditunjukkan oleh luas area diatas kurva permintaan (P = f (Q)) tetapi dibawah tingkat harga pasar (Pe). Rentang wilayah nya dibatasi oleh Q = sebagai batas bawah dan Q = Qe sebagai batas atas. Catatan: Jika mencari SP/PS maka harus memakai fungsi penawaran Ps = = Keterangan : Qe = Tingkat kuantitas keseimbangan dipasar Pe = Tingkat Harga keseimbangan di pasar = Tingkat harga pada saat Q=0 Gambar 3.10 Grafik Surplus Produsen Matematika Ekonomi 2 54 ATA 14/15

62 Integral Tertentu CONTOH SOAL 3 Diketahui fungsi penawaran suatu barang adalah Ps = 45 + Q dan fungsi permintaan Pd = 51 Q. hitunglah surplus produsen PT. OPQ, analisis dan buat grafiknya! Diketahui : Ps = 45 + Q Pd = 51 Q Ditanya : Ps? Jawab : Cara 1 Pd = Ps P = 45 + Q 51 Q = 45 + Q P = Q Q= Pe = 48-2Q = - 6 Qe = 3 5 Analisis Jadi produsen memperoleh keuntungan sebesar Rp 5 dikarenakan perusahaan dapat menjual barang dengan harga Rp 48 padahal sebenarnya ia bersedia menjual dengan harga yang lebih rendah dari harga keseimbangan pasar dengan nilai Rp 48 Matematika Ekonomi 2 55 ATA 14/15

63 Integral Tertentu Langkah membuat kurva: 1. Ps = 45 + Q Misal P = 0, maka 0 = 45 + Q Q = -45 Misal Q = 0, maka P = P = Letakkan nilai kuantitas keseimbangan pasar (Qe = 3) dan harga keseimbangan pasar (Pe = 48). 3. Untuk area Ps dapat dihitung dengan rumus luas segitiga, L = (a x t) : 2. Dengan a =3 ; t =3. Maka nilai Cs atau Luas segitiga yang diarsir adalah L = (3 x 3) : 2 = 4,5. Gambar 3.11 Grafik Surplus produsen soal 1 Matematika Ekonomi 2 56 ATA 14/15

64 Integral Tertentu LANGKAH LANGKAH MENGGUNAKAN SOFTWARE EC-MATH : 1. Pilih materi Integral tertentu, Surplus Produsen 1 (Rumus1) Gambar 3.12 Tampilan Integral Tertentu Surplus Produsen 1 2. Masukan jumlah variable Q yang tertera pada soal (Lihat fungsi Penawarannya), pilih 1 variabel Gambar 3.13 Tampilan Rumus Ec-Math Matematika Ekonomi 2 57 ATA 14/15

65 Integral Tertentu 3. Masukan data-datanya sesuai soal, jika sudah klik Hitung, maka akan tampil jawabannya, Cara 2 Gambar 3.14 Tampilan Output Surplus Produsen soal 1 Ps = 45 + Q Qs = P 45 Jika : Q = 0 ; = 45 5 Matematika Ekonomi 2 58 ATA 14/15

66 Integral Tertentu LANGKAH LANGKAH MENGGUNAKAN SOFTWARE EC-MATH 1. Pilih materi Integral tertentu, Surplus Produsen 2 (Rumus 2) Gambar 3.15 Tampilan Integral Tertentu Surplus Produsen 2 2. Masukan jumlah variable Q yang tertera pada soal (Lihat fungsi Penawarannya), pilih 1 variabel Gambar 3.16 Tampilan Rumus Ec-Math Surplus Produsen 2 Matematika Ekonomi 2 59 ATA 14/15

67 Integral Tertentu 3. Masukan data-datanya sesuai soal, jika sudah klik Hitung, maka akan tampil jawabannya Gambar 3.17 Tampilan Hasil Pengerjaan Ec-Math Surplus Produsen 2 Matematika Ekonomi 2 60 ATA 14/15

68 Transedental TRANSEDENTAL 1. KONSEP DASAR TRANSEDENTAL Transedental merupakan suatu hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan. Transedental digunakan untuk menentukan tingkat pertumbuhan pada periode yang akan datang. Yang termasuk dalam fungsi transendental adalah fungsi eksponensial, fungsi logaritmik, fungsi trigonometrik, fungsi siklometrik, dan fungsi berpangkat irrasional. Namun pokok pembahasan di sini hanya pada fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik. Baik fungsi eksponensial maupun fungsi logaritmik keduanya memiliki hubungan yang erat, dikarenakan fungsi logaritma adalah fungsi balik (inverse) dari fungsi eksponen tertentu, atau sebaliknya. 1.1 Fungsi Eksponensial Fungsi Eksponensial berbeda dengan fungsi pangkat. Fungsi pangkat adalah suatu fungsi dimana variabel bebasnya dipangkatkan dengan suatu konstanta. Sedangkan fungsi eksponensial adalah suatu fungsi dimana konstantanya dipangkatkan dengan variabel bebasnya. Bentuk Fungsi Eksponens yang paling sederhana adalah: y n x di mana: n > 0 Bentuk Fungsi Eksponensial yang lebih umum adalah: y ne kx c di mana: n 0 e = 2,71828 k, c = konstanta Matematika Ekonomi 2 61 ATA 14/15

69 Transedental Hukum-Hukum Eksponensial, antara lain: 1. a 0 = 1 2. a -k =1/(a) k 3. a 1/q = q a 4. a m a n 5. am / an = a m-n 6. (a m ) k = a mk Contoh Soal: Tentukan titik potong kurva eksponensial y = e 0,45x - 1, pada masing-masing sumbu dan hitunglah f(4)! Jawab : Pada sumbu x ; y = 0 e 0,45x 1 = 0 e 0,45x = 1 Ln e 0,45x = Ln 1 0,45x Ln e = Ln 1 0,45x = 0 x = 0 Titik potongnya (0 ; 0) Ket : Ln e = 1 Ln 1 = 0 Matematika Ekonomi 2 62 ATA 14/15

70 Transedental Pada sumbu y ; x = 0 y = e 0,45x - 1 y = e 0,45(0) - 1 y = e 0-1 y = 1-1 y = 0 Titik potongnya (0 ; 0) Untuk x = 4 y = e 0,45x - 1 y = e 0,45(4) - 1 y = e 1,8 1 y = 2, y = 6, y = 5,0496 Titik potongnya (4 ; 5,0496) 1.2 Fungsi Logaritmik Logaritma dapat diartikan sebagai pangkat dari suatu bilangan pokok untuk menghasilkan suatu bilangan tertentu. Misalnya, 5 2 = 25, ini berarti bahwa eksponen 2 sebagai logaritma dari 25 dengan bilangan pokok 5. Sedangkan fungsi logaritma adalah fungsi yang variabel bebasnya merupakan bilangan logaritma, seperti y = a log x atau log y = a + b log x. Matematika Ekonomi 2 63 ATA 14/15

71 Transedental Bentuk Fungsi logaritmik yang paling sederhana adalah : y n logx di mana: n > 0 n 1 Bentuk fungsi logaritmik yang lebih umum adalah : y = a Ln(1+x) + b di mana: x > -1 Hukum-Hukum atau rumus-rumus logaritma 1. Log a.b = log a + log b 2. Log a/b = log a log b a log b = log b / log a a log b = c maka a c = b a log a = 1 6. log x n = n log x 7. a log 1 = 0 8. a a log b = b Contoh: Tentukan titik potong kurva logaritmik y = -4,5 Ln(1 + x) 1, pada masingmasing sumbu dan hitunglah f(4)! Jawab : Pada sumbu x ; y = 0-4,5 Ln(1 + x) 1 = 0-4,5 Ln (1 + x) = 1 Matematika Ekonomi 2 64 ATA 14/15

72 Transedental Ln (1 + x) = -0, x = e 0, x = 0,8025 x = -0,1975 Titik potongnya (-0,1975; 0) Pada sumbu y ; x = 0 y = -4,5 Ln (1 + x) 1 y = -4,5 Ln (1 + 0) 1 y = -4,5 Ln 1 1 y = -4, y = 1 Titik potongnya (0 ; -1) Untuk x = 4 y = -4,5 Ln(1 + x) 1 y = -4,5 Ln(1 + 4) 1 y = -4,5 Ln 5 1 y = -7,242 1 y = -8,242 Titik potongnya (4 ; -8,242) 2. PENERAPAN EKONOMI Banyak model-model bisnis dan ekonomi sangat relevan ditelaah dengan fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik, khususnya model-model yang berkenaan dengan aspek pertumbuhan. Model-model yang menerapkan fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik tersebut antara lain: Matematika Ekonomi 2 65 ATA 14/15

73 Transedental 2.1 MODEL BUNGA MAJEMUK Modul bunga majemuk tidak lain merupakan bentuk fungsi eksponensial. Model ini digunakan untuk menghitung jumlah di masa mendatang dari jumlah sekarang suatu pinjaman atau tabungan. Jika suatu modal awal P dibunga majemukkan secara tahunan pada suku bunga i selama n tahun, maka jumlah di masa mendatang Fn adalah: Fn P i n Tetapi jika bunga dimajemukkan sebanyak m kali dalam setahun, maka jumlah di masa mendatang Fn adalah : Fn P i m m n di mana : Fn = Jumlah saldo pinjaman atau tabungan setelah n tahun. P = Jumlah saldo sekarang (tahun ke-0). i = Tingkat bunga per tahun. m = Frekuensi pembayaran bunga dalam setahun. n = Jumlah tahun Dalam hal ini Fn merupakan variabel terikat (dependent variable) dan n sebagai variabel bebas (independent variable). Dengan demikian, prinsipprinsip penyelesaian persamaan eksponensial relevan diterapkan terhadap model ini. Selanjutnya, apabila bunga dimajemukkan secara kontinu selama satu tahun (m sangat besar / bunga diperhitungkan secara terus menerus atau sering), maka jumlah di masa mendatang Fn adalah: i n Fn P e dimana e = 2,71828 Matematika Ekonomi 2 66 ATA 14/15

74 Transedental Bentuk ini dinamakan model bunga majemuk sinambung (continuous compound interest). Bunga majemuk sinambung dalam kasus pinjam meminjam seringkali dipraktekkan oleh para pelepas uang atau rentenir atau lintah darat yang kadang-kadang menetapkan atau memperhitungkan bunga atas uang yang dipinjamkannya secara harian (m = 360). Oleh karena itu, model ini dapat pula disebut model lintah darat CONTOH SOAL 1: Aliando baru saja memenangkan kuis berhadiah Rp Untuk itu uangnya langsung ia tabung di Bank Gunadarma dengan bunga 5% pertahun. Berapa jumlah tabungan Aliando setelah 5 tahun, jika bunga diperhitungkan : a. Setiap triwulan b. Setiap per jam Diketahui :P = i = 5% = 0,05 m = 4 n = 5 Ditanya : a. F5 per triwulan? b. F5 per jam? Jawab : a. Per triwulan (dengan rumus bunga majemuk biasa) 1) Tanpa Menggunakan Logaritma F5 = (1,0125) 20 F5 = (1,2820) F5 = ,1 Matematika Ekonomi 2 67 ATA 14/15

75 Transedental 2) Dengan Menggunakan Logaritma F5= (1,0125) 20 Log F5= log log 1,0125 Log F5= 8, ,1079 Log F5= 8,29978 F5 = ,1 b. Per jam (dengan rumus bunga majemuk sinambung) 1) Tanpa Menggunakan Logaritma Natural F x e 0,05 * 5 F x e 0,25 F x 1,2840 F ,3 2) Dengan Menggunakan Logaritma Natural F x e 0,05 * 5 F x e 0,25 Ln F5 Ln ,25 Ln e Ln F5 18, ,25 Ln F5 19,1125 F ,3 Analisis : Jumlah uang tabungan Aliando setelah 5 tahun apabila pembayaran bunga dihitung per triwulan adalah sebesar Rp ,1 Sedangkan jika pembayaran bunga dihitung per jam Rp ,3 Matematika Ekonomi 2 68 ATA 14/15

76 Transedental Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math 1. Buka software EC MATH, lalu klik materi Transendental, klik Transendental. Gambar 4.1. Tampilan Menu Awal Transedental 2. Lalu pilih Model Bunga Majemuk Gambar 4.2. Tampilan Menu Model Bunga Majemuk Matematika Ekonomi 2 69 ATA 14/15

77 Transedental 3. Masukkan data yang diketahui pada soal, lalu klik hasil maka akan muncul jawaban dibawah data diketahui Gambar 4.3 Tampilan Hasil Output Kasus 1 Catatan : Hasil perhitungan secara manual dengan menggunakan software EC-Math mengalami perbedaan karena pada perhitungan secara manual menggunakan pembulatan 4 angka dibelakang koma, sedangkan pada software EC-Math tidak menggunakan pembulatan. 2.2 MODEL PERTUMBUHAN Model pertumbuhan tak lain juga merupakan bentuk fungsi eksponensial. Model ini tidak saja relevan bagi penaksiran variabel kependudukan, tetapi juga dapat diterapkan untuk menaksir variabel-variabel lain yang berkenaan dengan pertumbuhannya. Pt P R t R = 1 + r Matematika Ekonomi 2 70 ATA 14/15

78 Transedental Dimana : P t t P 1 r = Jumlah penduduk pada tahun ke-t. = Jumlah tahun. = Jumlah penduduk pada tahun pertama (basis). = Tingkat pertumbuhan Agar model di atas dapat diterapkan secara umum terhadap segala macam variabel dan tidak semata-mata hanya terpaku pada masalah kependudukan, maka persamaan di atas dapat ubah bentuknya menjadi: Nt N R t R = 1 + r di mana: N = Variabel yang sedang diamati. r = Persentase pertumbuhan per satuan waktu. t = Indeks tahun. CONTOH SOAL 2: Pada tahun 2010 jumlah mahasiswa fakultas ekonomi di World Class University adalah mahasiswa. Diperkirakan pertumbuhan mahasiswa fakultas ekonomi setiap tahunnya sebesar 15% per tahun. Hitunglah berapa jumlah mahasiswa fakultas ekonomi di World Class University pada tahun 2014? Analisislah! Diketahui: N = t = 5 tahun r = 0,15 R = 1 + 0,15 = 1,15 Ditanya : N5 =..? Matematika Ekonomi 2 71 ATA 14/15

79 Transedental Jawab : 1) Tanpa Menggunakan Logaritma Nt = N1 x R (t-1) N5 = x 1,15 (5-1) N5 = x 1,15 4 N5 = x 1,749 N5 = mahasiswa 2) Dengan Menggunakan Logaritma N5 = x 1,15 (5-1) N5 = x 1,15 4 Log N5 = log log 1,15 Log N5 = 3, ,2428 Log N5 = 3,3054 N5 = mahasiswa Analisis : Dalam kurun waktu 5 tahun ke depan diperkirakan jumlah mahasiswa fakultas ekonomi di Worl Class University akan meningkat menjadi mahasiswa, dengan jumlah peningkatan sebesar 865 mahasiswa. Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math 1. Buka software EC MATH, lalu klik materi Transendental, Gambar 4.4 Tampilan Menu Awal Transedental Matematika Ekonomi 2 72 ATA 14/15

80 Transedental 2. Lalu pilih Model Pertumbuhan Majemuk. Gambar 4.5 Tampilan Menu Model Pertumbuhan Majemuk 3. Masukkan data yang diketahui pada soal, lalu kilk hitung maka akan muncul jawaban dibawah data diketahui. Gambar 4.6. Tampilan Hasil Output Kasus 2 Matematika Ekonomi 2 73 ATA 14/15

81 Transedental 2.3 KURVA GOMPERTZ Metode ini digunakan untuk menganalisis variabel yang meningkat secara eksponensial selama jangka waktu tertentu, tetapi sesudah itu peningkatannya sangat kecil atau tidak berarti meskipun waktu terus berjalan. Dimana: N = Jumlah variabel tertentu yang sedang diamati c = Batas jenuh pertumbuhan a = Proporsi pertumbuhan awal r = Tingkat pertumbuhan rata-rata t = Indeks waktu CONTOH SOAL 3 Diketahui PT.Valiant setiap bulannya selalu mengalami peningkatan jumlah produksi sebesar 55% bulan, dengan produksi awal sebesar 541 unit. Jika batas jenuh pertumbuhan sebesar 1.454, berapakah jumlah produk yang akan dihasilkan oleh perusahaan pada bulan ke 4? Diketahui : Ditanya :? Jawab : 1) Tanpa menggunakan Logaritma Matematika Ekonomi 2 74 ATA 14/15

82 Transedental ) Dengan meggunakan logaritma (-0, ) -0, ) Analisis : Jadi pada bulan ke-4 PT.Laksana jaya akan menghasilkan unit produk jika produksi awalnya sebesar 541 unit dengan tingkat pertumbuhan 55% setiap bulan, dan batas jenuh pertumbuhan sebesar Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math 1. Buka software EC MATH, lalu klik materi Transendental. Gambar 4.7 Tampilan awal software ec-math Matematika Ekonomi 2 75 ATA 14/15

83 Transedental 2. Pilih Kurva Gompertz Gambar 4.8. Tampilan awal menu Kurva Gompertz 3. Klik mencari N, lalu isi sesuai dengan angka pada soal, lalu klik Hasil. Gambar 4.9. Tampilan output kasus kurva gompertz Matematika Ekonomi 2 76 ATA 14/15

84 Transedental 2.4 KURVA BELAJAR (Learning Curve) Metode ini lebih banyak digunakan ke dalam penerapan ekonomi untuk menggambarkan perilaku produksi dan biaya dalam hubungannya dengan variabel waktu. a. Bentuk Dasar Dimana: m = batas jenuh y atau y tertinggi yang dapat tercapai k, m, s > 0 b. Perilaku Produksi Dimana: P = Produksi per satuan waktu setelah t satuan waktu Pm = Kapasitas produksi maksimum per satuan waktu Ps = Sisa kapasitas produksi pada permulaan kegiatan produksi (pada t= 0) t = Indeks waktu r = Tingkat pertumbuhan produksi c. Perilaku Biaya Dimana: C = Biaya total per satuan waktu Cm = Biaya maksimum yang diperkenankan (anggaran yang disediakan) per satuan waktu Cs = Sisa anggaran pada permulaan periode (pada t = 0) t = Indeks waktu r = Persentase kenaikan biaya per satuan waktu Matematika Ekonomi 2 77 ATA 14/15

85 Transedental CONTOH SOAL 4 PT.Semakin Jaya mampu menghasilkan kapasitas produksi maksimum sebesar 44% pada awal produksi dari kapasitas yang telah ditentukan. Namun manager produksi perusahaan yakin bahwa produksi dapat ditingkatkan sebesar 15% setiap bulan. Jika kapasitas produksi maksimum perusahaan sebesar 1115 unit, maka: a. Bentuklah persamaan perilaku produksi bulanan b. Unit yang dihasilkan pada awal produksi c. Berapa unit produksi setelah produksi berlangsung selama 4 bulan? Diketahui : P m = 1115 P s = 56% (1115) = 624,4 r = 15% = 0,15 t = 4 Ditanya : a. persamaan P b. produksi perdana c. jumlah produksi setelah 5 bulan Jawab : 1) Tanpa menggunakan Logaritma P = P m P s e r.t P = e - 0,15. 4 P = e 0,6 P = ,5488 P = ,458 P = 772,54 = 773 2) Dengan menggunakan Logaritma Natural P = P m P s e r.t P = e - 0,15. 4 P = e 0,6 P = ( -0,6 ln e ) P = ( -0,6. 1 ) Matematika Ekonomi 2 78 ATA 14/15

86 Transedental P = ( anti ln -0,6 ) P = (0,5488) P = ,458 P = 772,54 = 773 Analisis : Dengan kapasitas produksi maksimum sebesar unit dan peningkatan produksi 15% setiap bulannya, maka jumlah produksi yang dihasilkan perusahaan setelah 4 bulan adalah 773 unit Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math 1. Buka software EC MATH, lalu klik materi Transendental, klik Transendental. Gambar 4.10 tampilan awal software ec-math Matematika Ekonomi 2 79 ATA 14/15

87 Transedental 2. Pilih Kurva Belajar (Learning Curve) Gambar 4.11 Tampilan menu kurva belajar 3. Isi Angka sesuai soal, lalu klik Hasil Tampilan output kasus kurva belajar Matematika Ekonomi 2 80 ATA 14/15