Kode MAT.01. Matriks

Transkripsi

1 MAT.. Mtriks i

2 Kode MAT. Mtriks BAGIAN PROYEK PENGEMBANGAN KURIKULUM DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUAN DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL MAT.. Mtriks ii

3 Kode MAT. Mtriks Penyusun: Drs. Meg Teguh B., M.Pd. Editor: Dr. Mnuhrwti, MSi. Dr. Kusrini, M.Pd. BAGIAN PROYEK PENGEMBANGAN KURIKULUM DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUAN DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL MAT.. Mtriks iii

4 Kt Pengntr Puji syukur kmi pnjtkn ke hdirt Tuhn Yng Mh Es ts kruni dn hidyh-ny, kmi dpt menyusun bhn jr modul mnul untuk SMK Bidng Adptif, ykni mt peljrn Fisik, Kimi dn Mtemtik. Modul yng disusun ini menggunkn pendektn pembeljrn berdsrkn kompetensi, sebgi konsekuensi logis dri Kurikulum SMK Edisi yng menggunkn pendektn kompetensi (CBT: Competency Bsed Trining). Sumber dn bhn jr pokok Kurikulum SMK Edisi dlh modul, bik modul mnul mupun interktif dengn mengcu pd Stndr Kompetensi Nsionl (SKN) tu stndrissi pd duni kerj dn industri. Dengn modul ini, dihrpkn digunkn sebgi sumber beljr pokok oleh pesert diklt untuk mencpi kompetensi kerj stndr yng dihrpkn duni kerj dn industri. Modul ini disusun mellui beberp thpn proses, ykni muli dri penyipn mteri modul, penyusunn nskh secr tertulis, kemudin disetting dengn bntun lt-lt komputer, sert divlidsi dn diujicobkn empirik secr terbts. Vlidsi dilkukn dengn teknik telh hli (epertjudgment), sementr ujicob empirik dilkukn pd beberp pesert diklt SMK. Hrpnny, modul yng telh disusun ini merupkn bhn dn sumber beljr yng berbobot untuk membekli pesert diklt kompetensi kerj yng dihrpkn. Nmun demikin, kren dinmik perubhn sin dn teknologi di industri begitu cept terjdi, mk modul ini msih kn sellu dimintkn msukn untuk bhn perbikn tu direvisi gr supy sellu relevn dengn kondisi lpngn. Pekerjn bert ini dpt terselesikn, tentu dengn bnykny dukungn dn bntun dri berbgi pihk yng perlu diberikn penghrgn dn ucpn terim ksih. Oleh kren itu, dlm kesemptn ini tidk berlebihn bilmn dismpikn rs terim ksih dn penghrgn yng MAT.. Mtriks iv

5 sebesr-besrny kepd berbgi pihk, terutm tim penyusun modul (penulis, editor, teng komputerissi modul, teng hli desin grfis) ts dediksi, pengorbnn wktu, teng, dn pikirn untuk menyelesikn penyusunn modul ini. Kmi menghrpkn srn dn kritik dri pr pkr di bidng psikologi, prktisi duni ush dn industri, dn pkr kdemik sebgi bhn untuk melkukn peningktn kulits modul. Dihrpkn pr pemki berpegng pd zs keterlksnn, kesesuin dn fleksibilits, dengn mengcu pd perkembngn IPTEK pd duni ush dn industri dn potensi SMK dn dukungn duni ush industri dlm rngk membekli kompetensi yng terstndr pd pesert diklt. Demikin, semog modul ini dpt bermnft bgi kit semu, khususny pesert diklt SMK Bidng Adptif untuk mt peljrn Mtemtik, Fisik, Kimi, tu prktisi yng sedng mengembngkn modul pembeljrn untuk SMK. Jkrt, Desember. n. Direktur Jenderl Pendidikn Dsr dn Menengh Direktur Pendidikn Menengh Kejurun, Dr. Ir. Gtot Hri Priowirjnto, M. Sc. NIP 8 MAT.. Mtriks v

6 DAFTAR ISI Hlmn Smpul... i Hlmn Frncis... ii Kt Pengntr... iii Dftr Isi... v Pet Kedudukn Modul... vii Dftr Judul Modul... viii Glosry... i I. PENDAHULUAN A. Deskripsi... B. Prsyrt... C. Petunjuk Penggunn Modul... D. Tujun Akhir... E. Kompetensi... F. Cek Kemmpun... II. PEMBELAJARAN A. Rencn Beljr Pesert Diklt... B. Kegitn Beljr.... Kegitn Beljr.... Tujun Kegitn Pembeljrn... b. Urin Mteri... c. Rngkumn... d. Tugs... e. Kunci Tugs... f. Tes Formtif... g. Kunci Jwbn Formtif.... Kegitn Beljr.... Tujun Kegitn Pembeljrn... b. Urin Mteri... c. Rngkumn... 8 d. Tugs... 9 e. Kunci Tugs... 9 f. Tes Formtif... g. Kunci Jwbn Formtif... MAT.. Mtriks vi

7 III. EVALUASI... KUNCI EVALUASI... IV. PENUTUP... 9 DAFTAR PUSTAKA... MAT.. Mtriks vii

8 PETA KEDUDUKAN MODUL MAT. MAT. MAT. MAT. MAT. MAT. MAT. MAT.8 MAT.9 MAT. MAT. MAT. MAT. MAT. MAT. MAT. MAT.. Mtriks viii

9 Dftr Judul Modul No. Kode Modul Judul Modul MAT. Mtrik MAT. Logik Mtemtik MAT. Persmn dn Pertidksmn MAT. Geometri Dimensi Du MAT. Relsi Dn Fungsi MAT. Geometri Dimensi Tig MAT. Pelung 8 MAT.8 Bilngn Rel 9 MAT.9 Trigonometri MAT. Irisn Kerucut MAT. Sttistik MAT. Brisn MAT. Aproksimsi Keslhn MAT. ProgrmLinier MAT. Vektor MAT. Mtemtik Keungn MAT.. Mtriks i

10 Glossry ISTILAH Mtrik KETERANGAN Susunn segi empt siku-siku dri bilngn yng ditur berdsrkn bris dn kolom/ljur. Elemen, unsur tu entri Bilngn-bilngn dlm susunn mtriks. Ordo mtriks Mtriks nol Mtriks stu/vektor stu ukurn mtriks dijelskn dengn menytkn bnykny bris (gris horizontl) dn bnykny kolom (gris vertikl) yng terdpt dlm mtriks tersebut. Mtriks nol didefinisikn sebgi mtriks yng setip entri tu elemenny dlh bilngn nol. Mtriks stu didefinisikn sebgi mtriks yng setip entri tu elemenny dlh. Mtriks bris/vektor bris Mtriks bris didefinisikn sebgi mtriks yng entri tu elemenny tersusun dlm tept stu bris. Mtriks kolom/vector ljur Mtriks Persegi Mtriks Segitig Ats Mtriks Segitig Bwh Mtriks trnpose Mtriks kolom didefinisikn sebgi mtriks yng entri tu elemenny tersusun dlm tept stu kolom. Sebuh mtriks dengn n bris dn n kolom dinmkn mtriks kudrt berorde n (squre mtri of order n) dn entri-entri,,,, nn berd pd digonl utm dri A. Mtriks segitig ts dlh mtriks persegi yng entri/elemenny memenuhi syrt ij ij untuk i j untuk i j Mtriks segitig bwh dlh mtriks persegi yng entri/elemenny memenuhi syrt ij ij untuk i j untuk i j Sutu mtriks yng diperoleh dri perpindhn bris pd mtriks A menjdi kolom pd mtriks A t. Jdi dpt dituliskn dlm rumus: MAT.. Mtriks

11 Mtrik digonl Penjumlhn Mtriks Mtriks Identits/Mtriks Stun (I) Perklin Sklr dengn Mtriks Mtriks digonl dlh mtriks persegi yng entri/elemenny memenuhi syrt ij untuk i j ij untuk i j untuk i j Mtriks Identits dlh mtriks persegi yng entri/elemenny memenuhi syrt ij Ssutu mtriks dn k dlh sutu sklr, mk hsil kli ka dlh mtriks yng diperoleh dengn menglikn entri/elemen dri A oleh k. Jik A dlh sutu mtriks dn k dlh sutu sklr, mk hsil kli ka dlh mtriks yng diperoleh dengn menglikn entri/elemen dri A oleh k. MAT.. Mtriks i

12 BAB I. PENDAHULUAN A. Deskripsi Dlm modul ini nd kn mempeljri Pengertin mtriks, notsi mtriks, bris kolom, elemen dn ordo mtriks, jenis-jenis mtriks, kesmn mtriks, trnpose mtriks. And jug mempeljri penyelesin opersi mtriks: penjumlhn, dn pengurngn, perklin sklr dengn mtriks, perklin mtriks dengn mtriks, determinn mtriks, minor, kofktor dn djoin mtriks dn invers mtriks. And jug mempeljri penyelesin sistem persmn linier dengn menggunkn mtriks. B. Prsyrt Prsyrt untuk mempeljri modul ini dlh nd hrus sudh mempeljri relsi dn fungsi, persmn sert opersi pd bilngn rel. Semu mteri prsyrt tersebut terdpt dlm modul Relsi dn Fungsi, persmn dn pertidksmn dn bilngn rel. C. Petunjuk Penggunn Modul. Peljri dftr isi sert skem kedudukn modul dengn cermt dn teliti kren dlm skem modul kn nmpk kedudukn modul yng sedng And peljri ini ntr modul-modul yng lin. b. Perhtikn lngkh-lngkh dlm melkukn pekerjn dengn benr untuk mempermudh dlm memhmi sutu proses pekerjn, sehingg diperoleh hsil yng optiml. c. Phmi setip teori dsr yng kn menunjng pengusn mteri dengn membc secr teliti. Bilmn terdpt evlusi mk kerjkn evlusi tersebut sebgi srn ltihn. MAT.. Mtriks

13 d. Jwblh tes formtif dengn jwbn yng singkt dn jels sert kerjkn sesui dengn kemmpun And setelh mempeljri modul ini. e. Bil terdpt penugsn, kerjkn tugs tersebut dengn bik dn bil perlu konsultsikn hsil penugsn tersebut kepd guru/instruktur. f. cttlh semu kesulitn And dlm mempeljri modul ini untuk ditnykn pd guru/instruktur pd st ttp muk. Bclh referensi lin yng d hubungn dengn mteri modul ini gr And mendptkn pengethun tmbhn. D. Tujun Akhir Setelh mempeljri modul ini dihrpkn And dpt:. Memhmi pengertin mtriks, notsi mtriks, bris kolom, elemen dn ordo mtriks, jenis-jenis mtriks, kesmn mtriks, trnpose mtriks.. menyelesikn opersi mtriks: penjumlhn, dn pengurngn, perklin sklr dengn mtriks, perklin mtriks dengn mtriks, determinn mtriks, minor, kofktor dn djoin mtriks dn invers mtriks.. Menyelesikn sistem persmn linier dengn menggunkn mtriks. MAT.. Mtriks

14 E. Kompetensi KOMPETENSI : MATRIKS PROGRAM KEAHLIAN : progrm dktif KODE : MATEMATIKA/MAT DURASI PEMBELAJARAN : 8 menit SUB KOMPETENSI KRITERIA KINERJA LINGKUP BELAJAR. Mendeskripsikn mcm-mcm mtriks Mtriks dibedkn menurut jenisny Mcm-mcm mtriks MATERI POKOK PEMBELAJARAN SIKAP PENGETAHUAN KETERAMPILAN Teliti dn cermt dlm menerpkn konsep mtriks Pengertin mtriks, notsi mtriks, bris kolom, elemen dn ordo mtriks Jenis-jenis mtriks Kesmn Mtriks Trnspose mtriks Mengopersikn mtriks. Menyelesikn opersi mtriks. Menentukn determinn dn invers Opersi mtriks diselesikn dengn menggunkn turn yng berlku Determinn dn invers mtriks ditentukn dengn turn yng berlku Opersi mtriks Determinn dn Invers mtriks Teliti dn cermt dlm menerpkn konsep mtriks Teliti dn cermt dlm menerpkn konsep mtriks Penyelesin opersi mtriks : - penjumlhn dn pengurngn - perklin sklr dengn mtriks - perklin mtriks dengn mtriks. Determinn mtriks Minor, kofktor dn djoin mtriks Invers mtriks Penyelesin sistem persmn linier dengn menggunkn mtriks. MAT.. Mtriks

15 MAT.. Mtriks

16 F. Cek kemmpun Kerjknlh sol-sol berikut ini. Jik nd mers dpt mengerjkn semu sol berikut ini, mk nd dpt lngsung mengerjkn sol-sol Evlusi pd BAB III.. Apkh yng dimksud dengn mtriks. Kpnkh du mtriks diktkn sm. Tentukn trnpos dri mtriks A =. Jik A = dn B =, mk hitung (A + B). Jik A = ; B =, hitung A B. Tentukn determinn mtriksa =. MAT.. Mtriks

17 BAB II. PEMBELAJARAN A. Rencn Beljr Sisw Kompetensi : Menerpkn konsep mtriks. Sub Kompetensi : - Mendeskripsikn mcm-mcm mtriks - Menyelesikn opersi mtriks - Menentukn determinn dn invers Tulislh semu jenis kegitn yng nd lkukn di dlm tbel kegitn di bwh ini. Jik d perubhn dri rencn semul, berilh lsnny kemudin memint tngn kepd guru tu instruktur nd. Jenis Kegitn Tnggl Wktu Tempt Beljr Alsn perubhn Tnd Tngn Guru MAT.. Mtriks

18 B. KEGIATAN BELAJAR. Kegitn Beljr. Tujun Kegitn Pembeljrn Setelh mempeljri kegitn beljr ini, dihrpkn nd dpt: Memhmi pengertin mtriks, notsi mtriks, bris kolom, elemen dn ordo mtriks. Menytkn jenis-jenis mtriks, kesmn mtriks, dn trnpose mtriks. Menyelesikn opersi mtriks: penjumlhn, dn pengurngn, perklin sklr dengn mtriks, perklin mtriks dengn mtriks. b. Urin Mteri NOTASI MATRIKS Bentuk umum mtriks: Mtriks dlh susunn segi empt siku-siku dri bilngn yng ditur berdsrkn bris dn kolom/ljur. Bilngnbilngn dlm susunn tersebut dinmkn entri dlm mtriks tu disebut jug elemen tu unsur. A mn = i n i n i n j j nj ij m m im nm Bris ke - i Keterngn: Kolom ke - j ij rtiny entri mtriks A yng berd pd bris ke-i dn kolom j. MAT.. Mtriks

19 ORDO MATRIKS Ordo mtriks tu ukurn mtriks dijelskn dengn menytkn bnykny bris (gris horizontl) dn bnykny kolom (gris vertikl) yng terdpt sdlm mtriks tersebut. Jdi, sutu mtriks yng mempunyi m bris dn n kolom disebut mtriks berordo m n. JENIS-JENIS MATRIKS Mtriks dibedkn berdsrkn berbgi susunn entri dn bilngn pd entriny. Sehingg mtriks dibedkn sebgi berikut:. Mtriks nol Mtriks nol didefinisikn sebgi mtriks yng setip entri tu elemenny dlh bilngn nol. Contoh A = ; B =. Mtriks stu/vektor stu Mtriks stu didefinisikn sebgi mtriks yng setip entri tu elemenny dlh. Contoh A = ; B = ; C =. Mtriks bris/vektor bris Mtriks bris didefinisikn sebgi mtriks yng entri tu elemenny tersusun dlm tept stu bris. Contoh A = ; B = 8 MAT.. Mtriks 8

20 MAT.. Mtriks 9. Mtriks kolom/vektor ljur Mtriks kolom didefinisikn sebgi mtriks yng entri tu elemenny tersusun dlm tept stu kolom. Contoh A = ; B = 8. Mtriks Persegi Sebuh mtriks dengn n bris dn n kolom dinmkn mtriks kudrt berorde n (squre mtri of order n) dn entri-entri,,,, nn berd pd digonl utm dri A. Contoh A = ; B = 9 8 Mtriks Persegi dibedkn menjdi: ) Mtriks Segitig Ats Mtriks segitig ts dlh mtriks persegi yng entri/elemenny memenuhi syrt ij j i untuk j i untuk ij Contoh A = 8 ; B = 9 8 b) Mtriks Segitig Bwh Mtriks segitig bwh dlh mtriks persegi yng entri/elemenny memenuhi syrt ij j i untuk j i untuk ij

21 MAT.. Mtriks Contoh A = 8 9 ; B = 9 c) Mtriks Digonl Mtriks digonl dlh mtriks persegi yng entri/elemenny memenuhi syrt ij j i untuk j i untuk j i untuk ij Contoh 8 A = ; B = ; C = 9 d) Mtriks Identits/Mtriks Stun (I) Mtriks Identits dlh mtriks persegi yng entri/elemenny memenuhi syrt ij j i untuk j i untuk j i untuk Contoh 9 A = B = ; C = KESAMAAN MATRIKS Definisi. Jik A dn B sutu mtriks m n, mk A=B jik dn hny jik ordo kedu mtriks tersebut sm dn entri/elemen yng seletk sm. Dri definisi di ts, du buh mtriks diktkn sm jik:. Ordo kedu mtriks itu sm.. Entri/elemen yng seletk sm.

22 Contoh. A = ; B = 8 Du mtriks di ts, memiliki ordo dn elemen yng seletk sm, mk berdsrkn definisi diktkn A = B.. C = z ; Q = y Jik P = Q, tentukn, y dn z Jwb: = z = = z = 8 y + = y = TRANPOSE SUATU MATRIKS Definisi. Jik A dlh sutu mtriks m n, mk trnpose A dinytkn oleh A t dn didefinisikn dengn mtriks n m yng kolom pertmny dlh bris pertm dri A, kolom keduny dlh bris kedu dri A, demikin jug dengn kolom ketig dlh bris ketig dri A dn seterusny. Dri definisi di ts, dpt jug diktkn bhw mtriks trnpose dlh sutu mtriks yng diperoleh dri perpindhn bris pd mtriks A menjdi kolom pd mtriks A t. Jdi dpt dituliskn dlm rumus: A mn = ij A t nm Contoh. A = ; A t = MAT.. Mtriks

23 . B = 8 ; B t = 8 Dri mtriks trnpose ini, muncul istilh mtriks simetrik (setngkup). Hl ini terjdi mislkn A sutu mtriks, jik A = A t mk A disebut mtriks simetrik/setngkup. Contoh A = B = simetrik. ; A t = ; B t = kren A = At, mk A disebut mtriks simetrik. kren B = Bt mk B disebut mtriks OPERASI PADA MATRIKS Penjumlhn Du Mtriks Definisi. A dn B dlh sutu du mtriks yng ukurnny sm, mk jumlh A + B dlh mtriks yng diperoleh dengn menmbhkn bersm-sm entri yng seletk/bersesuin dlm kedu mtriks tersebut. Mtriks-mtriks yng ordo/ukurnny berbed tidk dpt ditmbhkn. Dri definisi di ts, dpt diktkn bhw du mtriks dpt dijumlhkn jik ordony sm, penjumlhn dilkukn pd elemen yng seletk. Jdi dpt dituliskn dlm rumus: A mn + B mn = C mn Contoh. A = dn B = Hitung: ) A + B b) B + A MAT.. Mtriks

24 MAT.. Mtriks Jwb:. A + B = + = ) ( ) ( = b. B + A = + = =. P = ; Q = ; dn R = Hitung: ) P + Q + R b) (P+Q) + R c) P + (Q+R) Jwb: ) P + Q + R = + + = ) ( ) ( ) ( ) ( = b) P + Q = + = ) ( ) ( =

25 (P+Q) + R = + = c) Q + R = + = ( ) ( ) = 9 8 P + (Q+R) = = Dri contoh () dn () diperoleh sift-sift: ) A + B = B + A Komuttif ) (A+B)+C = A + (B+C) Asositif Pengurngn Du Mtriks Dlm pengurngn mtriks ini, kit perlu mengethui terlebih dhulu tentng lwn sutu mtriks. Lwn sutu mtriks dpt dijelskn sebgi berikut: Jik A sutu mtriks, mk mtriks A disebut lwn dri mtriks A. Contoh ) Jik A =, ) Tentukn lwn dri A b) Hitung A+(-A) MAT.. Mtriks

26 MAT.. Mtriks Jwb: ) A = - = b) A+(-A) = + = ) Jik A = ; B = Hitung A-B Jwb: A-B = - -B = - = = () ) ( A + (-B) = + = 8 = ) ( ) ( = 8 Dri contoh () dn () dpt ditemukn sift-sift sebgi berikut: Perklin Sklr dengn Mtriks Definisi. Jik A dlh sutu mtriks dn k dlh sutu sklr, mk hsil kli ka dlh mtriks yng diperoleh dengn menglikn entri/elemen dri A oleh k. Dri definisi di ts, dpt jug dijelskn bhw misl k sutu sklr, nggot bilngn rel, dn A = ij sutu mtiks. Mk: ka = k ij Contoh ) A = ). A + (-A) = (-A) + A = (Mtriks Nol) ). A + = + A = A ). A + (-B) = A - B

27 MAT.. Mtriks Hitung : ) A b) (-)A Jwb: ) A = = = 8 b) (-) A = - = = 9 ) A = ; B = Hitung: ) A + B b),a,b Jwb: ) A + B = + = = b),a,b =, -, =,,,,,,,, -,,,,,,,,

28 =,,8,,,,,,9 Dri contoh di ts mk diperoleh sift-sift sebgi berikut: Jik A, B sutu mtriks dn r, s sklr, mk: ) (r s) A = ra sa ) r(a B) = ra rb ) r(sa) = s(ra) = (rs) A ). A = A. = A ) (-) A = A (-) = -A Perklin Mtriks dengn Mtriks Definisi. Jik A dlh mtriks m r dn B dlh mtriks r n, mk hsil kli AB dlh mtriks m n yng entri-entriny ditentukn sebgi berikut. Untuk mencri entri dlm bris i dn kolom j dri AB, pilihlh bris i dri mtriks A dn kolom j dri mtriks B. Kliknlh entri-entri yng bersesuin dri bris dn kolom tersebut bersm-sm kemudin tmbhknlh hsil kli yng dihsilkn. Dri definisi di ts, dpt diktkn bhw du mtriks dpt diklikn jik jumlh kolom mtriks pertm sm dengn jumlh bris mtriks kedu. Hl ini dpt dituliskn sebgi berikut: Cr perklinny dlh dengn menglikn bris mtriks A dn kolom mtriks bersm-sm kemudin menmbhkn hsil kli yng diperoleh. Contoh ) A = ; B = ; P = ; Q = A mr B rn = C mn MAT.. Mtriks

29 Hitung: ) A B b) P Q Jwb: ) A B = = (() + ()) = ( + ) = () = b) P Q = ) A = Hitung: ) A B b) P Q Jwb: ; B = ) AB = = b) P Q = = = - ; P = ; Q = = ( ) () () ) = = ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 8 8 = 9 ) A = ; B = ; P = e i m b f j n c g k o d h l p ; Q = MAT.. Mtriks 8

30 Hitung: ) A B b) P Q Jwb: ) A B = = () () () () () () = b) P Q = Wlupun bnyk dri turn-turn ilmu hitung bilngn riel berlku jug untuk mtriks, nmun terdpt beberp perkeculin. Slh stu dri perkeculin itu terjdi dlm perklin mtriks. Untuk bilngn riel dn b, berlku b = b yng sering disebut hukum komuttif untuk perklin. Akn tetpi, pd mtriks AB dn BA tidk sellu sm. Ad du hl pokok yng menyebbkn ketidksmn AB dn BA yitu:. Hsil dri AB didefinisikn, nmun BA tidk terdefinisi. Ini dlh ksus jik A dlh mtriks dn B dlh mtriks.. Hsil AB dn BA didefinisikn tetpi tip-tip entri/elemen yng bersesuin pd kedu mtriks itu tidk sm. Contoh A = ; B = Hitung: AB dn BA, Kemudin bgimn hsil AB dn BA Jwb: AB = BA = = = Dri hsil AB dn BA di ts disimpulkn bhw AB BA. MAT.. Mtriks 9

31 Di bwh ini sift-sift yng berlku pd perklin mtriks yitu:. A B = B A An = AAA.A ; n = bilngn sli (sebnyk n fctor). ABC = A(BC) = (AB)C Hukum sositif untuk perklin. (B+C) = AB + AC dn (B+C)A = BA + CA Hukum distributif c. Rngkumn. Jenis-jenis mtriks dlh mtriks nol, mtriks bris, mtriks kolom, mtriks persegi.. Mtriks persegi terdiri dri mtriks identits, mtriks ts, mtriks bwh, mtriks digonl.. mtriks trnpose dlh sutu mtriks yng diperoleh dri perpindhn bris pd mtriks A menjdi kolom pd mtriks A t. Jdi dpt dituliskn dlm rumus: A mn = ij A t nm. Pd penjumlhn mtriks berlku A + B = B + A Komuttif (A+B)+C = A + (B+C) Asositif A + (-A) = (-A) + A = (Mtriks Nol) A + = + A = A A + (-B) = A - B. Pd perlkin mtriks berlku Jik A, B sutu mtriks dn r, s sklr, mk: (r s) A = ra sa r(a B) = ra rb r(sa) = s(ra) = (rs) A. A = A. = A (-) A = A (-) = -A MAT.. Mtriks

32 An = AAA.A ; n = bilngn sli (sebnyk n fctor) ABC = A(BC) = (AB)C Hukum ssositif untuk perklin (B+C) = AB + AC dn (B+C)A = BA + CA Hukum distributif d. Tugs Ltihn. Dikethui persmn mtriks sebgi berikut: z z Tentukn nili dri y! 8 = - y 9z y z. Mislkn P = dn Q = Hitunglh: ) PQ! b) Apkh PQ = Q! c) Buktikn PQ = I!. Jik A = dn B =, mk hitunglh nili dri: (A B) (A + B) + (B A) (B + A). Tentuknlh determinn dri mtriks. Jik dikethui N =, mk tentuknlh invers dri mtriks N tu N -!. Diberikn du buh mtriks yitu: A = dn B = b c Jik A - = B T, mk tentuknlh nili dri b! MAT.. Mtriks

33 MAT.. Mtriks e. Kunci Tugs. z z = z y z y z z z z 9 = z y z z = z y Sehingg dpt dibut persmn sebgi berikut: = = ; = z z = z = y = z y =. y =.. =. dlh: ) Q = = PQ = = b) y c) PQ = =. A-B = - = A+B = + = (A-B)(A+B) = = A+ B = B + A =.sift komuttif pd penjumlhn

34 MAT.. Mtriks A B = -(B-A) = - = (B-A)(B+A) = = sehingg: (A-B)(A+B)+ (B-A)(B+A) = + =. det = - + = (-) (-)+(-) = () (-) + (-) = 8+ = -. N = ; det N = = - =, mk : N - = N det = =. A - = A det = - = B T = c b Kren A - = B T mk: = c b -b = - b =

35 f. Tes Formtif. Mislkn P = ; Q = dn R = sert = -, b= msing-msing dlh sutu sklr Buktiknlh: ) P+ (Q+R)=(P+Q) + R b) (+b)r = R + br. Dri sol no. di ts. Buktikn bhw: ) (QR)=(Q)R = Q(R) b) P(Q-R) = PQ - PR. Dri sol no. di ts. Buktikn bhw: (P+Q) t = P t + Q t. Jik A = dn B =, mk hitunglh nili dri: (A B) (A + B) + (B A) (B + A). Dikethui persmn mtriks sebgi berikut: Tentukn nili dri y! 8 = + y 8 9 g. Kunci Jwbn Formtif. ) P = Q+R = + = P + Q = + = sehingg: 8 P+(Q+R) = + =.() (P+Q)+R = + =..() 8 MAT.. Mtriks

36 Dri hsil () dn () di ts terbukti bhw: P+ (Q+R)=(P+Q) + R b) R = dn = -, b= (+ b)r = - = R = - = 8 sehingg: ; br = = 8 R + br = + = 8 8 mk terbukti bhw: (+b)r = R + br. ) =- ; QR = mk (QR)= - = (Q)R = - = = ; 8 Q(R) =.- = = 8 8 Jdi terbukti bhw: (QR)=(Q)R = Q(R) b) P = ; Q-R= - = 8 9 PQ = ; PR = = 9 Dengn menghitung nili P(Q-R) dn PQ PR dpt dibuktikn bhw: P(Q-R) = PQ PR MAT.. Mtriks

37 MAT.. Mtriks. P+Q = 8 mk (P+Q) t = 8 sedngkn P t = dn Q= mk Q t = sehingg: P t + Q t = + = 8 = (P+Q) t. A - B = - = A + B = + = (A-B)(A+ B) = = ) ( = A+ B = B + A =.sift komuttif pd penjumlhn A B = -(B-A) = - =, (B-A)(B+ A) = = sehingg: (A-B)(A+B)+ (B-A)(B+A) = + =. y = y y 8 = 8 z z = z y Sehingg dpt dibut persmn sebgi berikut: + y = y = -= y = = tu -+ y = y = + = y = =

38 . Kegitn Beljr. Tujun Kegitn Pembeljrn Setelh mempeljri kegitn beljr ini, dihrpkn nd dpt: Menghitung determinn mtriks, minor, kofktor dn djoin mtriks, dn invers mtriks. Menyelesikn sistem persmn linier dengn menggunkn mtriks. b. Urin Mteri DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS Definisi. Mislkn A dlh mtriks persegi. Fungsi determinn dinytkn oleh det, dn kit definisikn det (A) sebgi jumlh hsil kli elementer bertnd dri A. Jumlh det (A) dinmkn determinn A. Dri definisi di ts, determinn mtriks dpt dijelskn sebgi sutu sklr yng diperoleh dri elemen-elemen mtriks dengn opersi tertentu (jumlh hsil kli elementer bertnd dri mtriks tersebut), yng merupkn krkteristik mtriks. Untuk lebih jelsny mrilh kit tinju contoh berikut: A = ; B = Mk: det(a) = det = + (- ) = - det(b) = det = + + MAT.. Mtriks

39 MAT.. Mtriks 8 Determinn Mtriks berordo Misl A = d c b mk det A = det d c b = d bc Contoh Tentukn determinn mtriks-mtriks berikut ini. ) A = b) B = c) C = Jwb: ) det A = det = ()-() = = b) det B = det = ((-)) ((-)) = - (-) = - + = c) det C = det = ((-)) ((-)(-)) = - = - Determinn Mtriks berordo Mislkn A = i h g f e d c b mk besr det (A) dpt dihitung dengn du cr: Cr I : h g i h g e d f e d b c b Determinn Mtriks mellui cr di ts, diperoleh dengn menjumlhkn hsil kli pd pnh-pnh yng mengrh ke knn dn mengurngkn hsil kli pnh-pnh yng mengrh ke kiri. (+) (+) (+) (-) (-) (-)

40 Mk det (A) = cf + bfg + cdh gec hf idb Cr II: (+) (-) (+) b c d e f g h i Mk det (A) = e h f i - b d g f i + c d g e h Contoh ) A =, hitung det(a) dengn du cr Jwb: Cr I : sehingg det (A) = () + () + () () ()- () = = - Cr II: det(a) = - + = (-) (-) + (-) = (-) (-) + () = = - ) Hitung determinn mtriks dri B = dengn menggunkn du cr MAT.. Mtriks 9

41 Jwb : Teorem. mislkn A dlh sutu mtriks n n. () Jik A dlh mtriks yng dihsilkn bil bris tunggl A diklikn konstnt k, mk det (A) = k det (A). (b) Jik A dlh mtriks yng dihsilkn bil du bris A dipertukrkn, mk det (A) = - det (A). (c) Jik A dlh mtriks yng dihsilkn bil keliptn stu bris A ditmbhkn pd bris yng lin, mk det(a ) = det (A). Contoh 8 A = ; B = ; C = ; D = Jik det (A) = -, tentukn determinn mtriks-mtriks yng lin menggunkn sift-sift di ts Jwb: Mtriks B dihsilkn dengn menglikn bris ke- mtriks A dengn. Sehingg sesui sift di ts, det(b) = det (A) = (-) = -8. Mtriks C dihsilkn dengn menukr bris ke- dn bris ke-. Sehingg sesui dengn sift di ts, det (C) = - det (A) = - (-) =. Mtriks D dihsilkn dengn menglikn bris ke- dri A, kemudin ditmbhkn pd bris ke-. Sehingg menurut sift di ts, det (D) = det (A) = -. MINOR, KOFAKTOR DAN ADJOIN MATRIKS Definisi. Jik A dlh mtriks persegi, mk minor entri ij dinytkn oleh M ij dn didefinisikn menjdi determinn submtriks yng tetp setelh MAT.. Mtriks

42 bris ke i dn kolom ke j dicoret dri A. bilngn (-) i+j C ij dn dinmkn kofktor entri ij. M ij dinytkn oleh Contoh A = 8 Minor entri dlh M = 8 = = - Kofktor dlh C = (-) + M = M = Demikin jug, minor entri dlh M = 8 = 8 = - Kofktor dlh C = (-) + M = M = -(-) = Definisi. Jik A dlh sutu mtriks n n dn Cij dlh kofkor ij, mk mtriks C C Cn C C Cn Cn Cn Cnn dinmkn mtriks kofktor A. Trnpose mtriks ini dinmkn djoin A dn dinytkn dengn dj(a). Contoh A = mk kofktor A dlh C = - C = - C = - C = C = - C = C = - C = C = MAT.. Mtriks

43 Sehingg mtriks kofktor dlh: sedngkn djoin A merupkn trnpose mtriks kofktor yitu: INVERS MATRIKS Teorem. Jik A dlh mtriks persegi yng dpt diblik, mk A - = det( A) dj(a) Invers Mtriks berordo b Mislkn A = mk A - = c d Contoh A = Jwb: A - = 8 9 tentukn invers mtriks A dj (A) = det A = - = d bc d c b Invers Mtriks berordo Ad du cr mencri invers mtriks yitu:. Menggunkn rumus A - = det( A) dj(a). Menggunkn reduksi mtriks tu metode penypun dengn lngkhlngkh sebgi berikut: MAT.. Mtriks

44 MAT.. Mtriks ) Membgi bris pertm dengn elemen yng d dlm kolom pertm; gunknlh bris yng dihsilkn untuk memperoleh nili nol pd kolom pertm dri setip bris yng lin. b) Membgi bris kedu dengn elemen yng d dlm kolom kedu; gunknlh bris yng dihsilkn untuk memperoleh nili nol pd kolom kedu dri setip bris yng lin. c) Membgi bris ke-n dengn elemen yng d dlm kolom ke-n; gunknlh bris yng dihsilkn untuk memperoleh nili nol pd kolom ke-n dri setip bris yng lin. Contoh Crilh invers dri mtriks A = menggunkn du cr Jwb: Cr I : det(a) = - + = (-) (-) + (-) = = kofktor A dlh C = - C = C = - C = C = C = - C = - C = C = - mtriks kofktor A dlh: dn dj(a)= Jdi A - = =

45 MAT.. Mtriks Cr II: Lngkh I Lngkh II Lngkh III jdi A - = PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DENGAN MENGGUNAKAN MATRIKS Teorem. (Aturn Crmer) jik AX = B dlh sistem yng terdiri dri n persmn linier dlm n bilngn tidk dikethui sehingg det(a), mk sistem tersebut mempunyi pemechn yng unik. Pemechn ini dlh: = ) det( det( ) A A, = ) det( det( ) A A,,n = ) det( ) det( A A n di mn A j dlh mtriks yng kit dptkn dengn menggntikn entri-entri dlm kolom ke j dri A dengn entri-entri dlm mtriks. Dri teorem di ts, dpt dijelskn penyelesin sistem persmn linier sebgi berikut: Sistem Persmn Linier Du Vribel Mislkn dikethui sistem persmn linier dengn du vribel + by = p d d + bdy = pd

46 c + dy = q b bc + bdy = bq (d-bc) = pd bq = = pd bq d bc p q c b d b d = sedngkn untuk mencri nili vribel y, dicri dengn cr seperti di ts yitu. + by = p c c + bcy = cp c + dy = q c + dy = q (bc-d) = cp q y = y = q cp d bc c c p q b d y = y b c d disebut determinn utm Contoh 8 Selesikn sistem persmn berikut: ). + y = b) = - y = + = Jwb: ) = = = = MAT.. Mtriks

47 y y = y = = = Jdi nili dn y berturut-turut dlh dn. b) = =.. Sistem Persmn Linier Tig Vribel Mislkn dikethui sistem persmn linier tig vribel + by + cz = p d + ey + fz = q g + hz + iz = r b c = d e f disebut determinn utm g h i p b c p c b p = q e f ; y = d q f ; z = d e q r h i g r i g h r = y ; y = y z ; z = z Contoh 9. Selesikn sistem persmn berikut: + y z = - - y + z = + y z = - Jwb: = = - - = () (-) () = + = MAT.. Mtriks

48 = = = - () (-) () = - + = y = = + - = (-) + (-) (-) = = - z = = - - = (-) (-) + () = = 9 = y = ; y = y = y = - ; z = y 9 = = Jdi HP {, -, }. Selesikn sistem persmn berikut: + = = - + = 8 Jwb: =.. =. =. =. MAT.. Mtriks

49 = = ; = HP { =., =, = ) = ; = = c. Rngkumn. det(a) = det = + (- ) = - det(b) = det = + +. A dlh mtriks persegi, mk minor entri ij dinytkn oleh M ij dn didefinisikn menjdi determinn submtriks yng tetp setelh bris ke i dn kolom ke j dicoret dri A. bilngn (-) i+j dinmkn kofktor entri ij. M ij dinytkn oleh C ij dn. Jik A dlh sutu mtriks n n dn Cij dlh kofkor ij, mk mtriks C C Cn C C Cn Cn Cn Cnn dinmkn mtriks kofktor A. Trnpose mtriks ini dinmkn djoin A dn dinytkn dengn dj(a).. A - = det( A) dj(a). jik AX = B dlh sistem yng terdiri dri n persmn linier dlm n bilngn tidk dikethui sehingg det(a), mk sistem tersebut mempunyi pemechn yng unik. Pemechn ini dlh = det( A ), = det( A) det( A ) det( A,,n = n ) det( A) det( A) di mn A j dlh mtriks yng kit dptkn dengn menggntikn entrientri dlm kolom ke j dri A dengn entri-entri dlm mtriks. MAT.. Mtriks 8

50 MAT.. Mtriks 9 d. Tugs Ltihn. A = tentukn det (A) dn invers mtriks A. A =, hitung det(a). Crilh invers dri mtriks A =. Tentukn penyelesin dri persmn linier berikut ini dengn menggunkn determinn: y =. Tentukn persmn mtriksny:. Jik dikethui = - + y ; b + =! b. Jik dikethui y = ; = b! e. Kunci Tugs. det(a) = 9 =, A - = = =. A =, det(a) = + - = (-) + (-) - (-) = + 8 = 9

51 MAT.. Mtriks. Untuk menghitung invers dri mtriks A =, kit hitung dulu det(a) det(a) = - + = () (-) + (-) = + - = kofktor A dlh C = C = - C = - C = - C = C = C = 9 C = - C = - mtriks kofktor A dlh: 9 dn dj(a) = 9 Jdi A - = 9, sederhnkn sendiri.. y = = = - = ; = = - = -; y = = -= = / = = ; y = y/ = =. ) = - + y ; b + =, mk persmn mtriksny dlh: y = b y = b

52 MAT.. Mtriks b) y = ; = b ;mk persmn mtriksny dlh y = b y = b f. Tes Formtif. Tentuknlh determinn dri mtriks berikut ini: ) b). Jik dikethui P = dn Q =, mk tentuknlh invers dri mtriks P tu P - dn Q -!. Diberikn du buh mtriks yitu: A = dn B = d b c Jik A - = B T, mk tentuknlh nili dri, b, c dn d!. Tentukn penyelesin dri persmn linier berikut ini: y =. Tentukn persmn mtriksny kemudin selesikn:. Jik dikethui = - + y ; b + = tentukn nili dn y! b. Jik dikethui y = ; = b tentukn nili dn y! g. Kunci Jwbn Formtif. ) det = = =

53 MAT.. Mtriks b) det = - + = (-) (-)+(-) = () (-) + (-) = 8+ = -. P = dn Q = P = ; det P = = - =, mk: P - = P det = = Q = ; det Q = - + =.-+.(-)= -8 Q - = detq dj ; kren mtriks kofktorny dlh 8 mk dj = 8 Q - = 8 8 = A - = A det = = B = d b c mk B T = d c b

54 Kren A - = B T b mk: = c d Sehingg: = -, -b = - b =, c = - dn d =. y = = = - = ; = = 9- = 9 ; y = = -= - = / = = ; y = y/ = =. ) = - + y ; b + =, mk persmn mtriksny dlh: y = = b y b b) y = ; = b ;mk persmn mtriksny dlh: y = = b y b MAT.. Mtriks

55 BAB III. EVALUASI A. Tes Tertulis Jwblh pertnyn di bwh ini dengn singkt dn jels!. Jelskn p yng dimksud pengertin di bwh ini, kemudin berikn msing-msing contohny!: ) Mtriks Bris. b) Mtriks Segitig Ats. c) Mtriks Digonl. d) Mtriks Identits.. Dikethui persmn mtriks sebgi berikut: = p + q ; tentuknlh nili p dn q!.. Diberikn A = dn B =, tentuknlh nili dri jik det (A) = det (B)!.. Jik mtriks dlh mtriks singulr, mk tentukn nili dri!. 8. Mtriks P = dn Q =. Tentukn nili dri c, jik b c b P = Q T!. y. Dikethui: =, mk hsil dri: + b dlh.. b y. Dikethui A = dn A + A + yi = ; dimn I = mtriks identits dn,y bilngn bult. Tentukn nili dn y!. MAT.. Mtriks

56 MAT.. Mtriks B. Kunci Jwbn Tes Tertulis. ) Mtriks Bris dlh mtriks yng mempunyi tept stu bris, contoh: b dn b) Mtriks Segitig Ats dlh mtriks persegi yng bgin bwh dri digonl utm, elemenny nol. Contoh: dn c) Mtriks Digonl dlh mtriks persegi yng elemen digonl utmny sembrng dn elemen linny nol. Contoh: dn r q p d) Mtriks Identits dlh mtriks persegi yng elemen digonl utmny stu dn elemen linny nol. Contoh: dn. Persmn mtriks pd sol dpt berubh menjdi: = p p p p + q q = q p p p q p sehingg: p = - p = - p + q = (-) + q = q = + = Jdi nili p dn q berturut-turut dlh dn.

57 . Dikethui: A = ; B = Det (A) = det (B).. =. (-.) 9 = + = = ( - )( ) = = tu =. Dikethui: dlh mtriks singulr. Akibtny: det = - + = ( )-(-)+(-) = + + = 8 8 = = Jdi nili dlh.. Dikethui: 8 P = dn Q = b c b P = Q T, tentukn: c! MAT.. Mtriks

58 = b c 8 b = b c 8 b sehingg: c = b () = + = b = + 8 b = () + 8 = b = Kren = dn b=, mk pd persmn (): c = () c = = c = Jdi nili c dlh.. Dikethui: y = b y y = ; sehingg: = (-y) dn b = (y-) b y mk: + b = (-y) + (-(-y)) =(-y) + (-y) = (-y). Dikethui: A = dn A + A + yi =. Tentukn nili dn y! Jwb: A = = A = = MAT.. Mtriks

59 y yi = y = ; sehingg: y A y + A + yi = = + + y Mk: + + = = - Untuk = -, y + + = y = (-) + = Jdi nili dn y dlh dn. MAT.. Mtriks 8

60 BAB IV. PENUTUP Setelh menyelesikn modul ini, nd berhk untuk mengikuti tes prktek untuk menguji kompetensi yng telh nd peljri. Apbil nd dinytkn memenuhi syrt kelulusn dri hsil evlusi dlm modul ini, mk nd berhk untuk melnjutkn ke topik/modul berikutny. Mintlh pd guru untuk uji kompetensi dengn sistem penilin yng dilkukn lngsung oleh pihk industri tu sosisi yng berkompeten pbil nd telh menyelesikn seluruh evlusi dri setip modul, mk hsil yng berup nili dri guru tu berup portofolio dpt dijdikn bhn verifiksi oleh pihk industri tu sosisi profesi. Kemudin selnjutny hsil tersebut dpt dijdikn sebgi penentu stndr pemenuhn kompetensi dn bil memenuhi syrt nd berhk mendptkn sertifikt kompetensi yng dikelurkn oleh duni industri tu sosisi profesi. MAT.. Mtriks 9

61 DAFTAR PUSTAKA Anton, Howrd. 98. Aljbr Linier Elementer. Jkrt: Erlngg Elizbeth, M Pedomn Pemechn Aljbr Linier Untuk Mhsisw. Jkrt: Erlngg. Suhermn, Ermn dkk.. Strtegi Pembeljrn Kontemporer. Bndung: JICA-IMSTEP. Sembiring, Suwh. 99. Kumpuln sol dn pembhsn UMPTN Ryon A, B, C. Bndung: Gnesh Opertion. MAT.. Mtriks