III. Bab. Matriks. Di unduh dari: ( Sumber buku : (bse.kemdikbud.go.id)

Transkripsi

1 Bb III Mtriks 79 Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri bb ini, dihrpkn klin dpt. menjelskn ciri sutu mtriks;. menuliskn informsi dlm bentuk mtriks;. melkukn opersi ljbr ts du mtriks; 4. menentukn determinn mtriks persegi ordo ;. menentukn invers mtriks persegi ordo ; 6. menentukn penyelesin sistem persmn liner du vribel dengn invers mtriks; 7. menentukn penyelesin sistem persmn liner du vribel dengn determinn; 8. menentukn determinn mtriks persegi ordo ; 9. menentukn penyelesin sistem persmn liner tig vribel. Mtriks Sumber: uplod.wikimedi.org Motivsi Ap yng klin mti ketik meliht dftr hrg, dftr nili UN, tu dftr gji? Apkh klin memerhtikn susunn penulisnny? Jik susunn tersebut dituliskn untuk per hri tu per buln tu bhkn per thun psti kn menjdi sngt pnjng. Perhtikn jug posisi tempt duduk pesert ujin. Ap yng klin byngkn tentng posisi berderet dri depn ke belkng dn dri kiri ke knn? Ksus-ksus di ts dpt disjikn dengn mudh menggunkn mtriks. Di unduh dri: (

2 8 Khz Mtemtik SMA IPS Pet Konsep Mtriks membhs Notsi dn Ordo Jenis-Jenis Mtriks Opersi Mtriks Determinn dn Invers membhs terdiri ts Trnspose Determinn Invers Penjumlhn Pengurngn bergun untuk Penyelesin SPL Perklin dengn Sklr Perklin Mtriks Kt Kunci djoin mtriks ordo turn Srrus mtriks bris perklin mtriks bris mtriks digonl persmn mtriks determinn mtriks identits singulr entry mtriks kolom sklr kesmn mtriks mtriks persegi trnsformsi bris kofktor minor elementer kolom nonsingulr trnspose lwn mtriks notsi mtriks Di unduh dri: (

3 Mtriks 8 Mteri tentng mtriks merupkn mteri bru bgi klin. Pembhsn tentng mtriks ini sngt diperlukn untuk mempeljri mteri lin dlm mtemtik, ntr lin determinn, vektor, dn trnsformsi geometri. Mtriks merupkn slh stu cr untuk mempermudh penyelesin sistem persmn liner. Dlm kehidupn sehri-hri, mtriks sngt membntu dlm menctt hl-hl yng berhubungn dengn jjrn bilngn. Sebelum lebih juh mempeljri tentng mtriks, kerjknlh ltihn berikut gr klin lebih mudh mempeljri mtriks. Prsyrt Kerjkn di buku tugs Coblh klin mencri informsi tentng hrg-hrg kebutuhn pokok di beberp psr di sekitrmu, kemudin isikn dlm kolom berikut. Nm Brng Nm Psr Psr A Psr B Bers (per kg) Gul psir (per kg) Cbe merh (per kg) Jelskn tentng isi tbel tersebut. Ap rti dri elemen tu ngk dlm tbel tersebut? A. Pengertin, Notsi, dn Ordo Mtriks. Pengertin Mtriks Untuk memhmi pengertin tentng mtriks, perhtikn contoh berikut. Seorng sisw menctt hsil ulngn hrinny untuk peljrn Mtemtik, Sejrh, TIK, dn Bhs Inggris dlm tbel berikut. Mt Peljrn Ulngn I Ulngn II Ulngn III Ulngn IV Mtemtik Sejrh TIK B. Inggris Di unduh dri: (

4 8 Khz Mtemtik SMA IPS Tbel di ts dpt disjikn dlm bentuk yng lebih sederhn tu Tugs: Observsi Kerjkn di buku tugs Ambillh sebuh surt kbr. Crilh dftr hrg dsr kebutuhn bhn pokok, dftr hsil skor pertndingn sepk bol, tu dftr nili tukr mt ung. Butlh dftr tersebut menjdi bentuk mtriks. Bgimnkh hsilny, pkh bentukny lebih ringks? Dlm membc tbel di ts, sisw tidk menglmi kesulitn kren di sudh thu bhw bris ke- dlh nili Mtemtik, bris ke- nili Sejrh, bris ke- nili TIK, dn bris ke-4 nili Bhs Inggris. Untuk kolom pertm menytkn nili ulngn I, kolom ke- dlh nili ulngn II, dn seterusny. Dlm mtemtik, susunn bilngn yng ditulis menurut bris dn kolom sert ditndi dengn tnd kurung di sebelh kiri dn sebelh knnny disebut mtriks. Nm bris dn kolom disesuikn dengn urutnny. Msing-msing bilngn yng d di dlm tnd kurung tersebut disebut elemen mtriks. Pd mtriks di ts, elemen mtriks bris ke- kolom ke-4 dlh 6 dn elemen mtriks bris ke- kolom ke- dlh. Hl ini dpt diliht dengn mudh pd mtriks berikut bris ke- bris ke- bris ke- bris ke-4 kolom ke-4 kolom ke- kolom ke- kolom ke-. Notsi dn Ordo Mtriks Pd mtriks di ts, elemen mtriks bris ke- kolom ke-4 dlh 6. Elemen mtriks bris ke- kolom ke- dlh 8. Untuk menytkn mtriks, bisny digunkn huruf kpitl, seperti A, B, C,..., sedngkn untuk menytkn elemen mtriks ditulis dengn huruf kecil. Mislny, ij untuk menytkn tip elemen mtriks A, b ij untuk menytkn tip elemen B, dn seterusny. Di unduh dri: (

5 Mtriks 8 Dri urin yng telh dismpikn di ts, kit dpt mendefinisikn pengertin mtriks sebgi berikut. Sutu mtriks A berukurn m n dlh susunn berbentuk persegi pnjng yng terdiri ts m bris dn n kolom. Mtriks A bisny dinotsikn sebgi berikut. A M i m M i m M j j M ij mj M n n M in mn ij menytkn elemen mtriks pd bris ke-i dn kolom ke-j. Untuk ukurn m n, sering kli disebut ordo sutu mtriks sehingg mtriks A dpt ditulis A m n. Kdng-kdng, bentuk umum mtriks A dpt dituliskn secr singkt ke dlm notsi A ( ij ), B (b ij ), dn seterusny. Dri urin di ts dpt diberikn definisi yng jels tentng ordo mtriks dn notsi mtriks sebgi berikut. Ordo sutu mtriks dlh ukurn mtriks yng menytkn bnyk bris diikuti dengn bnyk kolom. Notsi dri mtriks A dinytkn dengn A ( ij ). Contoh : Hsil penelitin tentng kedn hrg-hrg pokok selm thun 4,, 6, dn 7 di sutu derh dlh sebgi berikut. Thun Hrg Per Kilogrm dlm Rupih Bers Gul Minyk Goreng Susunlh dt di ts ke dlm bentuk mtriks dengn notsi A. b. Berp bnyk bris dn kolom dri mtriks A? c. Sebutkn elemen-elemen pd bris kedu. d. Sebutkn elemen-elemen pd kolom ketig. Di unduh dri: (

6 84 Khz Mtemtik SMA IPS Jwb:.9. A b. Bnyk bris pd mtriks A dlh 4 dn bnyk kolom pd mtriks A dlh. c. Elemen-elemen pd bris kedu dlh.,.9, dn 4.7. d. Elemen-elemen pd kolom ketig dlh 4., 4.7,., dn 4.6. Contoh : 7 8 Dikethui mtriks B Tentukn. ordo mtriks B; b. elemen-elemen bris pertm; c. elemen pd bris ke- dn kolom ke-; d. elemen pd bris ke- dn kolom ke-4. Jwb:. Mtriks B mempunyi bris dn 4 kolom sehingg ordo mtriks B dlh 4 tu dinotsikn B 4. b. Elemen-elemen bris pertm dlh 7,,, dn 8. c. Elemen pd bris ke- kolom ke- dlh, ditulis b. d. Elemen pd bris ke- kolom ke-4 dlh 9, ditulis b 4 9. Problem Solving Dikethui sistem persmn liner berikut. x + y x 4 x + y z 8 x 4y + z 6. Susunlh sistem persmn liner di ts ke dlm mtriks A. b. Tentukn ordo mtriks A. c. Hitunglh + +. Di unduh dri: (

7 Mtriks 8 Jwb: Koefisien x Koefisien y Koefisien z Persmn Persmn Persmn 4. Sistem persmn liner di ts dpt disusun dlm tbel berikut. Dengn demikin, mtriks yng bersesuin dengn tbel di ts dlh A 4. b. Ordo mtriks A dlh tu ditulis A. c. dlh elemen bris ke- kolom ke-, yitu 4. dlh elemen bris ke- kolom ke-, yitu. dlh elemen bris ke- kolom ke-, yitu. Jdi, ( ).. Mtriks-Mtriks Khusus Beberp mcm mtriks khusus yng perlu klin kenl dlh sebgi berikut.. Mtriks Bris Mtriks bris dlh mtriks yng hny terdiri ts stu bris. Mislny: P [ ] Q [4 ] b. Mtriks Kolom Mtriks kolom dlh mtriks yng hny terdiri ts stu kolom Mislny: R S 4 Di unduh dri: ( T 7

8 86 Khz Mtemtik SMA IPS c. Mtriks Persegi Mtriks persegi dlh mtriks yng bnyk bris sm dengn bnyk kolom. Jik bnyk bris mtriks persegi A dlh n mk bnykny kolom jug n, sehingg ordo mtriks A dlh n n. Seringkli mtriks A yng berordo n n disebut dengn mtriks persegi ordo n. Elemen-elemen,,,..., nn merupkn elemen-elemen pd digonl utm. Mislny: 8 A merupkn mtriks persegi ordo. 4 B merupkn mtriks persegi ordo 4. Elemen-elemen digonl utm mtriks A dlh dn, sedngkn pd mtriks B dlh 4, 6,, dn. d. Mtriks Digonl Mtriks digonl dlh mtriks persegi dengn setip elemen yng bukn elemen-elemen digonl utmny dlh (nol), sedngkn elemen pd digonl utmny tidk semuny nol. Mislny: C D 4 e. Mtriks Identits Mtriks identits dlh mtriks persegi dengn semu elemen pd digonl utm dlh (stu) dn elemen linny semuny (nol). Pd umumny mtriks identits dinotsikn dengn I dn diserti dengn ordony. Mislny: I I I 4 Di unduh dri: (

9 Mtriks 87 f. Mtriks Nol Mtriks nol dlh sutu mtriks yng semu elemenny dlh (nol). Mtriks nol bisny dinotsikn dengn huruf O diikuti ordony, Mislny: O O m n. O O 4. Trnspose Sutu Mtriks Trnspose dri mtriks A berordo m n dlh mtriks yng diperoleh dri mtriks A dengn menukr elemen bris menjdi elemen kolom dn seblikny, sehingg berordo n m. Notsi trnspose mtriks T A m n dlh A n m. Tugs: Inkuiri Kerjkn di buku tugs Contoh: Butlh contoh-contoh mtriks dengn ordo yng berbed-bed. Trnsposekn mtriks-mtriks tersebut. Amtilh hsilny. Kemudin, butlh bentuk umum mtriks berordo m n dn mtriks trnsposeny. 4 Jik A 6, tentukn A T dn ordony. Jwb: Terliht dri mtriks A bhw elemen bris ke- dlh 4,, dn, sedngkn elemen bris ke- dlh,, dn 6. Untuk mengubh mtriks A menjdi A T, posisikn elemen bris ke- menjdi kolom ke- dn elemen bris ke- menjdi elemen 4 kolom ke- sehingg diperoleh A T 6 Ordo mtriks A dlh, sedngkn ordo A T dlh. Sol Kompetensi. Dikethui mtriks A Kerjkn di buku tugs Sebutkn elemen mtriks yng terletk pd ) bris ke-; ) bris ke-; ) bris ke-; 4) bris ke- dn kolom ke-4; ) bris ke- dn kolom ke-; 6) bris ke- dn kolom ke-. Di unduh dri: (

10 88 Khz Mtemtik SMA IPS b. Sebutkn nomor bris dn nomor kolom yng merupkn posisi dri msing-msing elemen berikut. ) ) ) 8 ) 6 4) 6) c. Tentukn ordo mtriks A. d. Tentukn trnspose mtriks A dn ordony.. Tulislh koefisien-koefisien sistem persmn liner berikut ke dlm bentuk mtriks.. x + y c. x + y z 6 6x 4y 7 x 7y z x 9y + 6z b. 7x + 8y d. 4x 8 6 x 4y y 6 y. 6 Dikethui mtriks P [p ij ] ditentukn oleh P. 4. Tentukn ordo mtriks P. b. Tentukn p, p, p, p, dn p. c. Hitunglh p + p, p p, p p, dn p : p. d. n + n Jik n p, hitunglh. n e. Tentukn trnspose mtriks P. 4. q Dikethui mtriks B. p. Tentukn nili p dn q jik p + 4 dn q. b. Hitunglh nili dri p + q.. u Dikethui mtriks A. v 8. Tentukn A T. b. Dri hsil yng diperoleh pd sol, tentukn u dn v jik u dn 4v Tentukn trnspose dri msing-msing mtriks berikut.. A 6 7 b. B 6 4 Di unduh dri: (

11 Mtriks 89 c. C [ 4] d. D e. E f. F Dikethui mtriks A berordo. Tentukn mtriks A jik. ij i + j; d. ij i j ; b. ij 8i j; e. ij 6i + j ; c. ij i + j ; f. ij 4j Dikethui mtriks Q dlh trnspose dri mtriks Tentukn nili dri. q + q q ; d. q + 4q q ; b. 4q q + ; e. q q c. q + q ; f. q : q + 4q. + b b+ 4c + b+ c+ d 9. Jik mtriks dlh mtriks nol, + e b+ e+ f + b+ g h g+ e tentukn nili, b, c, d, e, f, g, dn h Dikethui trnspose mtrik P dlh 6. 7 Tentukn. mtriks P; b. nili x dn y jik x p + p dn y p + p 4. Di unduh dri: (

12 9 Khz Mtemtik SMA IPS B. Kesmn Du Mtriks Kuis Kerjkn di buku tugs Dikethui x+ y x B xy dn x C. Mtriks y A B T. Jik A C mk x xy + y.... b. c. 4 d. e. 6 UMPTN 996 Cob perhtikn bhw 4 4; + ; 9. Perhtikn jug dengn mtriks berikut. 4 4 Mtriks tersebut dlh du mtriks yng sm. Demikin jug dengn mtriks berikut. + + Tmpk bhw elemen-elemen seletk dri kedu mtriks mempunyi nili yng sm. Sekrng, pkh mtriks dn 4 4 merupkn du mtriks yng sm? Cob selidiki, pkh elemen-elemen seletk dri kedu mtriks mempunyi nili yng sm? Jik klin telh memhmi ksus di ts, tentu klin dpt memhmi definisi berikut. Du mtriks A dn B diktkn sm, ditulis A B jik mtriks A dn B mempunyi ordo yng sm dn semu elemen yng seletk bernili sm. Elemen yng seletk dlh elemen yng terletk pd bris dn kolom yng sm. Contoh : Dikethui A 4, B 9 6, C 4, 4 dn D. 6 Apkh A B? Apkh A C? Apkh A D? Di unduh dri: (

13 Mtriks 9 Jwb: Dri keempt mtriks tersebut, tmpk bhw mtriks A B kren ordony sm dn elemen-elemen yng seletk niliny sm. Mtriks A C kren meskipun ordony sm, tetpi elemen-elemen seletk d yng niliny tidk sm, sedngkn A D kren ordony tidk sm. Contoh : Tentukn nili x, y, dn z jik x y y. z Jwb: Kren kedu mtriks di ts sm dn elemen-elemen yng seletk bernili sm, diperoleh x, y tu y 4, dn y z tu z. Jdi, x, y 4, dn z. Sol Kompetensi Tntngn Eksplorsi Kerjkn di buku tugs Dikethui mtriks x+ y 4 A dn x B 8 7. Tentukn nili x + y +. Kerjkn di buku tugs. Tulislh psngn mtriks yng sm dri mtriks-mtriks berikut. 4 [ ] B A 4 D G C E [ ] F H [ ] K. Crilh nili x dn y yng memenuhi persmn mtriks berikut. x y. 4x 6 b. y Di unduh dri: (

14 9 Khz Mtemtik SMA IPS c. d. 4x 7 y x + 6 y 4 x. Hitunglh nili dn b yng memenuhi persmn mtriks berikut. + b. b 4 b b. + b 4. Tentukn nili x, y, z,, b, c, d, e, dn f jik mtriks A B. Kuis Kerjkn di buku tugs Dikethui mtriks A 4 + b dn mtriks B Jik A B, b nili dn b berturut-turut dlh.... dn b. dn c. dn d. dn e. dn UN x x y y+ z A 8 B z + b b+ x x+ d y c e+ f. Tentukn nili s dn t jik mtriks P T Q.. P dn Q 4 8 s + t 8 6 s b. P 9 7 dn Q 6 4 s + t s xy 4 6. Dikethui mtriks A x+ y dn B. Tentukn nili x dn y jik dikethui bhw A T B. 7. Dikethui mtriks A 4. Tentukn nili p dn 8 q jik p + q dn p + q Tentukn nili x yng mungkin dri kesmn mtriks berikut. x ( x + 4) 6 Di unduh dri: (

15 Mtriks Dikethui K 4 b dn L 4. 8 c 8 4b Tentukn nili, b, dn c pbil K L.. Dikethui M 4 + b 6 c c dn N 7 c b. Tentukn, b, dn c jik M N. C. Penjumlhn dn Pengurngn Mtriks. Penjumlhn Mtriks Jumlh mtriks A dn B, ditulis mtriks A + B, dlh sutu mtriks yng diperoleh dengn menjumlhkn elemen-elemen yng seletk dri mtriks A dn B. Mislny: c Mtriks b d dpt dijumlhkn dengn mtriks e f g h ; b c Mtriks d e f dpt dijumlhkn dengn mtriks g h i j k l ; dn seterusny. Secr umum, jik mtriks A [ ij ] dn B [b ij ] mk mtriks A + B [ ij ] + [b ij ] [ ij + b ij ]. Mri Berdiskusi Observsi Bgimn jik kedu mtriks mempunyi ordo yng tidk sm? Mislny: c b c mtriks b d dengn mtriks d e f. Dptkh kedu mtriks itu dijumlhkn? Cob klin diskusikn dengn temn-temnmu. Setelh melkukn diskusi tentng permslhn di ts, tentu klin dpt menyimpulkn sebgi berikut. Syrt gr du mtriks tu lebih dpt dijumlhkn dlh mempunyi ordo yng sm. Di unduh dri: (

16 94 Khz Mtemtik SMA IPS Contoh: Dikethui A Tentukn. A + B; b. A + C. 4, B, dn C 6. Jwb:. A + B ( 6) 9 8 b. A + C + kren ordony tidk sm. tidk dpt dijumlhkn Problem x + Solving Crilh nili x dn y yng memenuhi Jwb: x + 4x 4 + y y 8 y 4x + y 4. 8 x + + 4x 4 y + y 8 6x + 4y 8 Terliht dri persmn mtriks ini, diperoleh 6x + x dn 4y 8 y. Jdi, diperoleh nili x dn y. Di unduh dri: (

17 Mtriks 9. Pengurngn Mtriks. Lwn Sutu Mtriks Sebelum kit membhs tentng pengurngn mtriks, terlebih dhulu kn kit bicrkn mengeni lwn sutu mtriks. Lwn sutu mtriks A dlh sutu mtriks yng elemenelemenny merupkn lwn dri elemen-elemen mtriks A. Secr lebih jels, dri sutu mtriks A [ ij ] dpt ditentukn lwn mtriks yng ditulis dengn A sehingg A [ ij ]. Mislny sebgi berikut. 4 4 Jik A, lwn mtriks A dlh A. Jik B, lwn mtriks B dlh B 4. 4 b. Pengurngn terhdp Mtriks Pengurngn mtriks A dn B, ditulis A B, dlh sutu mtriks yng diperoleh dengn mengurngkn elemen-elemen yng bersesuin letk dri mtriks A dn B. Atu, mtriks A B dlh mtriks yng diperoleh dengn cr menjumlhkn mtriks A dengn lwn dri mtriks B, yitu A B A + ( B) dengn B dlh lwn mtriks B. Seperti hlny dengn penjumlhn mtriks, syrt gr du mtriks tu lebih dpt dikurngkn dlh mempunyi ordo yng sm. Secr umum, jik A [ ij ] dn B [b ij ] mk A B [ ij ] [b ij ] [ ij ] [b ij ] Contoh : Dikethui A Jwb: Cr : 6 dn B. Tentukn A B. Kren B mk Di unduh dri: (

18 96 Khz Mtemtik SMA IPS A B A + ( B) ( ) Cr : 4 9 A B 6 ( ) 6 ( ) 4 9 Contoh : 6 Hitunglh X jik dikethui 4 Jwb: X X.. Sift-Sift Penjumlhn Mtriks Agr klin dpt menemukn sendiri sift-sift penjumlhn mtriks, lkukn Aktivits berikut. Aktivits Tujun : Menemukn sift-sift penjumlhn mtriks Permslhn : Sift-sift pkh yng berlku pd penjumlhn mtriks? Kegitn : Kerjkn sol-sol berikut di buku tugs.. Dikethui mtriks A, 4 6 B, dn C. 7 8 Tentukn hsil penjumlhn berikut, kemudin tentukn sift p yng berlku. Di unduh dri: (

19 Mtriks 97. A + B c. (A + B) + C b. B + A d. A + (B + C). Untuk mtriks A 7 dn O, dengn ordo A dlh dn ordo O dlh, pkh A + O O + A? Apkh A + O O + A berlku untuk semu mtriks yng dpt dijumlhkn?. 6 8 Dikethui mtriks A. 7 4 Tentukn A + ( A) dn ( A) + A. Mtriks pkh yng klin peroleh? Kesimpuln : Berdsrkn kegitn di ts, sift p sj yng klin peroleh? Perhtin Untuk pengurngn mtriks tidk berlku sift komuttif, sift sositif, dn tidk mempunyi unsur identits. Berdsrkn Aktivits di ts dpt ditemukn sift-sift penjumlhn dn pengurngn mtriks sebgi berikut. Jik A, B, dn C mtriks-mtriks yng berordo sm mk pd penjumlhn mtriks berlku sift-sift berikut.. A + B B + A (sift komuttif) b. (A + B) + C A + (B + C) (sift sositif) c. Unsur identits penjumlhn, yitu mtriks O sehingg A + O O + A A. d. Invers penjumlhn A dlh A sehingg A + ( A) ( A) + A O. Mri Berdiskusi Inkuiri Cob klin buktikn sift-sift penjumlhn mtriks di ts, dengn memislkn mtriks A [ ij ], B [b ij ], C [c ij ], dn O [o ij ],... n untuk o ij. Ingt mtriks A... n dpt M M M M m m... mn ditulis [ ij ]; i,,... m j,,... n Di unduh dri: (

20 98 Khz Mtemtik SMA IPS Sol Kompetensi. Dikethui mtriks A 4 6 Kerjkn di buku tugs dn B Tentukn. A + B; d. A T B T ; b. A B; e. B A; c. A T + B T ; f. B T A T Dikethui mtriks P, Q 6 8, dn 4 R. Tentukn. P + Q; e. P (Q + R); b. Q P; f. (P + Q) (P + R); c. P R; g. (P + Q + R) T ; d. (P + Q) R; h. (P + Q) T + R T.. Tentukn lwn dri mtriks-mtriks berikut.. A [ 4 ] d. D b. B e. E 8 6 c. C Crilh nili, b, c, dn/tu d yng memenuhi persmn berikut.. b c 6 7 [ ] + [ ] [ ] b. b c b 6 4 c. c d 6 Di unduh dri: (

21 Mtriks 99 4 b 7 d. c + d 6. Tentukn mtriks X yng memenuhi persmn berikut.. X b. + X c. X d. X T 9 6. Tentukn nili x dn y dri persmn berikut. x y. + y y x + y 9 b. x 4 y x + 4 y 4 8 c. + x + 6 y 6 6 x 4y + 4 d. x + y Dikethui + b b Tentukn nili d c c ; b. b; c. c; d. d; e. + b + c; f. + 4b d; g. 4b ; h. + b c. 8. Tbel berikut menunjukkn nili ujin yng diperoleh Ni dn Doni untuk mt peljrn Mtemtik, Sejrh, TIK, dn Bhs Inggris. Di unduh dri: (

22 Khz Mtemtik SMA IPS Mt Peljrn Ujin Ke- Ujin Ke- Ujin Ke- Ni Doni Ni Doni Ni Doni Mtemtik Sejrh TIK Bhs Inggris Mislkn mtriks A menytkn ujin ke-, mtriks B menytkn ujin ke-, dn mtriks C menytkn ujin ke-. Nytkn nili-nili tersebut dlm bentuk mtriks. b. Tentukn hsil A + B + C. c. Untuk mt peljrn pkh jumlh nili Doni lebih tinggi dri nili Ni? 9. Vin dn Adi belnj brng-brng keperlun sekolh di toko yng sm. Vin membeli buku dn pen dengn membyr Rp6.,. Adi membeli 4 buku dn pen dengn membyr Rp9.,. Nytkn jumlh brngbrng yng dibeli kedu nk tersebut dlm mtriks. Nytkn pul hrg-hrg brng itu dlm sutu mtriks. Dptkh mtriks jumlh brng dn mtriks hrg-hrg brng di ts dijumlhkn? Mengp?. Berikut diberikn dftr hrg brng kebutuhn pokok (per kg) dlm 4 hri di toko yng berbed dlm rupih.. Nytkn dftr hrg brng kebutuhn pokok di ts dlm bentuk mtriks. b. Tentukn jumlh hrg brng selm 4 hri berturutturut. c. Dri hsil b, hrg brng pkh dn di toko mnkh yng pling murh dn pling mhl? Nm Brng Minggu Senin Sels Rbu Toko A Toko B Toko C Toko A Toko B Toko C Toko A Toko B Toko C Toko A Toko B Toko C Gndum Bers Minyk goreng D. Perklin Sutu Sklr dengn Mtriks. Pengertin Perklin Sutu Sklr dengn Mtriks Mislkn A sutu mtriks berordo m n dn k sutu sklr bilngn rel. Mtriks B ka dpt diperoleh dengn cr menglikn semu elemen A dengn bilngn k, ditulis Di unduh dri: (

23 Mtriks... n k k... kn... n k k... k B k M M M M n M M M M m m... mn km km... kmn Contoh: 4 6 Dikethui A dn B. 8 Tentukn. A; b. 6B; c. A + B. Jwb: () (). A ( ) () b. 6B 6 8 6(4) 6(6) 4 6 6( ) 6(8) c. A + B + 8 () () (4) (6) + ( ) () ( ) (8 ) Sift-Sift Perklin Bilngn Rel (Sklr) dengn Mtriks Perklin bilngn rel (sklr) dengn sutu mtriks dpt dilkukn tnp syrt tertentu. Artiny, semu mtriks dengn ordo sembrng dpt diklikn dengn bilngn rel (sklr). Mislkn A dn B mtriks-mtriks berordo m n sert k dn k bilngn rel (sklr), berlku sift-sift berikut.. k (A + B) k A + k B b. (k + k )A k A + k A c. k (k A) (k k ) A Di unduh dri: (

24 Khz Mtemtik SMA IPS Bukti Di buku ini, hny kn dibuktikn sift. Mislkn k sklr, A dn B mtriks berordo m n K n K n A, dn M M K M K m m mn b b K b n b b b K n B M M K M b b K b m m mn K k (A + B) k K M M K M K m m mn b b K b n b b K b n + M M K M bm bm K bmn n n Kuis Kerjkn di buku tugs Dikethui persmn mtriks berikut. 7 x + y 6. z Nili z.... b. c. d. 6 e. UMPTN b + b L n + b m + b + b L n + b n k M M M + b + b L + b m m m m mn mn ( ) ( + ) ( + m) ( ) k + b k b L k n b k( + b) k( + b ) L k n + b M M M k + b k b L k b ( ) ( + ) ( + ) m m m m mn mn k + kb k + kb L k n + kb m k + kb k + kb L k n + kb n M M M k + kb k + kb L k + kb m m m m mn mn n k k K k k k K k M M K M k k K k n n m m mn kb kb K kb n kb kb K kb n + M M K M kb kb K kb m m mn K K k M M K M K m m mn b b K b n b b K b n + k M M K M b b K b n n m m mn k A + k B... (terbukti) Di unduh dri: (

25 Mtriks Tugs: Eksplorsi Kerjkn di buku tugs Buktikn kebenrn siftsift perklin sklr dengn mtriks poin b dn c. Sol Kompetensi 4 Cr membuktikn sift ini dpt jug dilkukn sebgi berikut. Mislkn mtriks A [ ij ] dn B [b ij ], dengn i,,..., m dn j,,..., n k (A + B) k ([ ij ] + [b ij ]) k ([ ij + b ij ]) [k ( ij + b ij )] [k ij + k b ij ] [k ij ] + [k b ij ] k [ ij ] + k [b ij ] k A + k B... (terbukti) Kerjkn di buku tugs. 8 Dikethui A. Tentukn hsil opersi 6 7 mtriks berikut.. A c. 4A T b. A T d. A + A. 4 8 Dikethui A dn B. Tentukn hsil opersi mtriks berikut.. A + B b. A B c. A T + B T d. 4A T + A B e. A T + B f. (A T + B T ). Tentukn X jik dikethui. 6 7 X 6 8 ; b. X T ; 6 c X T ; d. 6 X 9. Di unduh dri: (

26 4 Khz Mtemtik SMA IPS 4. Tentukn nili p, q, r, dn s yng memenuhi persmn berikut.. p q b. r p q s 4 9 c. p r p r q 8 4 d. + r s r q p q p q 4 4. Tentukn nili p, q, r, dn s jik dikethui persmn berikut. 6 4 p q r s p p q r s Dikethui x y z Tentukn nili z. 7. Dikethui x x y +. Tentukn nili y. 8. Dikethui mtriks A 6, B, dn C 8. Jik Ax + By C, tentukn titik potong koordint yng terjdi ntr du buh persmn gris yng terbentuk. 9. Dikethui persmn x y z 6 7. Tentukn nili x, y, dn z.. Jik x dn y memenuhi persmn x y x y + + dn x p x y mk tentuknlh nili-nili berikut.. x, y, dn p c. y + p b. 4y + x d. 6x y + p Di unduh dri: (

27 Mtriks E. Perklin Mtriks. Pengertin Perklin Mtriks Untuk memhmi pengertin perklin mtriks, perhtikn ilustrsi berikut ini. Rin membeli bolpoin dn buku di du tempt yng berbed. Di toko I, i membeli bolpoin dn buku, sedngkn di toko II, i membeli 4 bolpoin dn buku. Hrg bolpoin dn buku di kedu toko tersebut sm, yitu Rp., dn Rp4., per buh. Berp ung yng dikelurkn Rin? Tempt Bolpoin Buku Toko I Toko II 4 Brng Bolpoin Buku Hrg Rp., Rp4., Kuis Kerjkn di buku tugs Jik dikethui m n mk nili m dn n msingmsing dlh dn 6 b. dn 4 c. dn d. 4 dn e. dn 7 UMPTN 998 Untuk menghitung jumlh ung yng dibyr oleh Rin dpt lngsung kit hitung dengn cr menglikn bnykny brng dengn hrg msing-msing sebgi berikut. Toko I : ( Rp.,) + ( Rp4.,) Rp., Toko II : (4 Rp.,) + ( Rp4.,) Rp., Di smping itu, pernytn di ts dpt disjikn dlm bentuk mtriks sebgi berikut. P menytkn bnyk bolpoin dn buku yng dibeli 4 Rin. Bris menytkn toko I dn bris untuk toko II.. Q menytkn hrg msing-msing bolpoin dn buku. 4. Dftr jumlh ung yng dikelurkn Rin dpt diliht pd tbel berikut. Tempt Toko I Toko II Hrg Pembelin Rp., + Rp4., Rp., 4 Rp., + Rp4., Rp., Tbel pengelurn di ts bersesuin dengn perklin mtriks P Q, yitu P Q Di unduh dri: (

28 6 Khz Mtemtik SMA IPS Dri urin di ts, mtriks P berordo dn mtriks Q berordo, sedngkn P Q berordo sehingg bgn perklin dn hsil kliny mempunyi hubungn sebgi berikut. ordo hsil kli ( ) ( ) ( ) sm Secr umum, perklin mtriks didefinisikn sebgi berikut. Mislkn A mtriks berordo m p dn B mtriks berordo p n mk A B dlh sutu mtriks C [c ij ] berordo m n yng elemen-elemenny pd bris ke-i, yitu kolom ke-j (c ij ) diperoleh dri penjumlhn hsil kli elemen-elemen yng bersesuin pd bris ke-i mtriks A dn kolom ke-j mtriks B. Contoh: Dikethui mtriks A, B [ ], C, dn 4 4 D. 6 Tentukn. A B; c. C D; b. B C; d. A C. Jwb:. A B [ ( ) () 6 4 ] ( ) () Bgimn hsil perklin dri B A? b. B C [ ] 4 [( ) + ( ( )) ( ) + ( 4)] [ 8 ] Bgimn hsil perklin dri C B? c. C D ( 4) + ( ) ( ( ) + 6 ( ( ) + ) ( 4) + (4 ) ( ( ) + 4 6) ( ( ) + 4 ) Di unduh dri: (

29 Mtriks 7 d. A C tidk dpt diklikn kren 4 bnyk kolom mtriks A tidk sm dengn bnyk bris mtriks C.. Pengertin Diklikn dri Kiri dn Diklikn dri Knn Syrt du mtriks dpt diklikn dlh jik bnyk kolom mtriks kiri sm dengn bnyk bris mtriks knn. Jik perklin A B d (dpt diklikn) mk diktkn bhw. mtriks B dikli dri kiri oleh mtriks A; b. mtriks A dikli dri knn oleh mtriks B. Contoh: 4 Dikethui mtriks A dn B 4 Tentukn hsil perklin. mtriks A dikli dri kiri oleh mtriks B; b. mtriks A dikli dri knn oleh mtriks B. Jwb:. Mtriks A diklikn dri kiri oleh mtriks B, berrti 4 B A b. Mtriks A diklikn dri knn oleh mtriks B, berrti 4 6 A B 4. 4 Tmpk dri hsil di ts bhw A B B A, rtiny perklin mtriks tidk bersift komuttif.. Sift-Sift Perklin Mtriks Mislkn mtriks A, B, dn C dpt diklikn tu dijumlhkn. Untuk memhmi sift-sift perklin mtriks, lkukn Aktivits berikut. Aktivits Tujun : Menemukn sift-sift perklin mtriks. Permslhn : Sift-sift pkh yng berlku pd perklin mtriks? Di unduh dri: (

30 8 Khz Mtemtik SMA IPS Kuis Kerjkn di buku tugs Dikethui mtriks A x y; B ; C. Nili x + y yng memenuhi persmn AB B C dlh.... b. c. 6 d. 8 e. UMPTN 998 Kuis Kerjkn di buku tugs Jik dikethui 4 x mk nili x dlh.... b. c. d. 4 e. UMPTN 998 Kegitn : Kerjkn (selidiki) sol berikut di buku tugs. Dikethui mtriks A, B, dn C 4. Jik k, tentukn hsil perhitungn berikut.. A B dn B A. Apkh A B B A? Ap kesimpulnmu? b. (A B) C dn A (B C). Apkh hsilny sm? Ap kesimpulnmu? c. A (B + C), (C B) + (A C), dn (A C) + (A B). Bgimn hubungn ketig opersi perklin mtriks tersebut? d. A I dn I A dengn I mtriks identits. Hubungn p yng terbentuk? e. A O dn O A dengn O mtriks nol ordo. Apkh A O O A O? f. (ka) B dn k(a B). Apkh (ka) B k(a B)? Kesimpuln : Sift-sift pkh yng klin temukn dri kegitn di ts? Berdsrkn Aktivits di ts ditentukn sift-sift perklin mtriks sebgi berikut. Jik k bilngn rel (sklr); A, B, dn C mtriks yng dpt diklikn; sert B dn C dpt dijumlhkn mk berlku sift-sift perklin mtriks sebgi berikut.. Tidk komuttif, yitu A B B A. b. Asositif, yitu (A B) C A (B C). c. Distributif, yitu: ) distributif kiri: A (B + C) (A B) + (A C); ) distributif knn: (A + B) C (A C) + (B C). d. Perklin mtriks-mtriks persegi dengn mtriks identits I, yitu A I I A A (ordo I sm dengn ordo mtriks A). e. Perklin dengn mtriks O, yitu A O O A O. f. Perklin dengn sklr, yitu (k A) B k(a B). Di unduh dri: (

31 Mtriks 9 Tntngn Eksplorsi Kerjkn di buku tugs Mislkn diberikn mtriks A dn B 4 6. Tunjukkn bhw hsil perklin AB dlh mtriks nol. Aktivits Tujun : Menentukn hsil perklin mtriks dengn bntun softwre komputer. Permslhn : Bgimn cr menentukn hsil perklin mtriks dengn menggunkn softwre komputer? Kegitn : Kit kn menentukn mtriks invers dengn Microsoft Excel. Fungsi yng digunkn dlh MMULT. Mislny, kn ditentukn hsil perklin mtriks Untuk itu lkukn lngkh-lngkh berikut.. Msukkn elemen-elemen mtriks pd sel-sel Microsoft Excel.. Tentukn hsil kli mtriks A dengn B. Crny dlh sebgi berikut. Blok sel-sel yng kn ditempti elemen-elemen mtriks hsil kli dri mtriks A dn B. Ketik MMULT(, kemudin sorot sel-sel yng mengndung mtriks A tdi. Kemudin, ketik ;. Sorot sel-sel yng mengndung elemen-elemen mtriks B diikuti dengn mengetik ). Tekn CTRL + SHIFT + ENTER mk mtriks hsil kli dri A dn B kn muncul. Kesimpuln : Jik klin melkukn lngkh-lngkh yng diinstruksikn dengn benr, klin kn memperoleh hsil berikut. Di unduh dri: (

32 Khz Mtemtik SMA IPS 4. Perpngktn Mtriks Persegi Jik n dlh sebuh bilngn bult positif dn A sutu mtriks persegi, mk A n A A A... A (sebnyk n fktor) tu dpt jug dituliskn A n A A n tu A n A n A. Tntngn Eksplorsi Kerjkn di buku tugs Contoh: Selidiki, mnkh pernytn berikut yng benr. Mislkn A dn B mtriks persegi.. AB BAB b. A B (A + B)(A B) c. (A ) A 4 Dikethui mtriks A. Tentukn. A ; b. A ; c. A 4. Jwb: 8. A A A 4 b. A A A Dengn cr lin, yitu A A A, diperoleh 8 A A A 4 Ternyt, A A A A A. 4 Tugs: Observsi Kerjkn di buku tugs Dri sol pd contoh di ts, cob selidiki, pkh A A A A A A? c. A 4 A A Sol Kompetensi Kerjkn di buku tugs. Hitunglh perklin mtriks-mtriks berikut [ ] 4 b. 6 Di unduh dri: (

33 Mtriks Tntngn Inkuiri Kerjkn di buku tugs Diberikn A i i dengn i. Tunjukkn bhw. A 4 I b. A A c. A 6 I d. A 7 A untuk I. c d. 4 [ 4 ]. Dikethui mtriks A dn I mtriks identits. Tentukn. A ; d. A + I; b. A + I; e. A A + I. c. A A T ;. Dikethui mtriks U, V, dn W. 4 Tentukn. (U V) W; d. U T V T W; b. U T (V W); e. U T (V W) T ; c. (U V) T W; f. W U V T. 4. Tentukn nili dri dn b yng memenuhi persmn mtriks berikut.. 4 b 4 b. 6 6 b 4 8 c. + 4 b d. 4 b e. b 6 9 b f. b Di unduh dri: (

34 Khz Mtemtik SMA IPS Kuis Kerjkn di buku tugs Nili p yng memenuhi persmn mtriks 6 + p b. c. d. e. SPMB 4. Mislkn A dn B mtriks-mtriks yng dpt diklikn sert A dn C jug dpt diklikn. Apkh berlku jik A B A C mk B C? Tunjukkn dengn contoh dn berikn lsnmu. b 6. Jik dikethui 4, tentukn nili 7 + b. 7. Jik titik A merupkn perpotongn du gris yng disjikn oleh persmn mtriks x, tentukn y koordint titik A. 8. Jik titik B merupkn perpotongn du gris yng disjikn 4 oleh persmn mtriks x y 8 dn gris k (k dn l) dlh gris yng mellui titik B dn titik sl O, tentukn persmn gris k yng mellui C(, ) dn sejjr gris l. F. Invers Sutu Mtriks 9. Dikethui mtriks P 4 dn Q. 4 Tentukn hsil perklin mtriks berikut.. P Q b. P c. (P + Q) (P Q) d. Q T (P + Q) T e. (P Q) T P f. P T (P Q) T. Dikethui sistem persmn liner tig vribel berikut. x + y + z 6 4x y + z x y z Susunlh sistem persmn itu dlm bentuk persmn mtriks. (Ingt turn perklin mtriks) Du hl penting yng diperlukn dlm mencri invers mtriks dlh trnspose dn determinn sutu mtriks. Pd subbb sebelumny, klin telh mempeljri trnspose mtriks. Sekrng, kit kn mempeljri determinn mtriks. Di unduh dri: (

35 Mtriks. Determinn Sutu Mtriks Perhtin Determinn mtriks ditulis dengn tnd gris lurus, bukn tnd kurung siku.. Determinn Mtriks Ordo b Mislkn A dlh mtriks yng berordo c d dengn elemen dn d terletk pd digonl utm pertm, sedngkn b dn c terletk pd digonl kedu. Determinn mtriks A dinotsikn det A tu A dlh sutu bilngn yng diperoleh dengn mengurngi hsil kli elemen-elemen pd digonl utm dengn hsil kli elemen-elemen digonl kedu. Dengn demikin, dpt diperoleh rumus det A sebgi berikut. det A c b d d bc Contoh: Tentukn determinn mtriks-mtriks berikut. 4. A b. B 4 Jwb:. det A 4 ( ) ( 4) 7 b. det B 4 (( 4) ) ( ( )) b. Determinn Mtriks Ordo (Pengyn) Jik A dlh mtriks persegi berordo, determinn A dinytkn dengn det A Ad cr yng dpt digunkn untuk menentukn determinn mtriks berordo, yitu turn Srrus dn metode minor-kofktor. Di unduh dri: (

36 4 Khz Mtemtik SMA IPS Aturn Srrus Untuk menentukn determinn dengn turn Srrus, perhtikn lur berikut. Mislny, kit kn menghitung determinn mtriks A. Gmbrn perhitungnny dlh sebgi berikut. det A Metode Minor-Kofktor Mislkn mtriks A dituliskn dengn [ ij ]. Minor elemen ij yng dinotsikn dengn M ij dlh determinn setelh elemen-elemen bris ke-i dn kolom ke-j dihilngkn. Mislny, dri mtriks A x kit hilngkn bris ke- kolom ke- sehingg A Akn diperoleh M. M dlh minor dri elemen mtriks A bris ke- kolom ke- tu M minor. Sejln dengn itu, kit dpt memperoleh minor yng lin, mislny M Kofktor elemen ij, dinotsikn K ij dlh hsil kli ( ) i+j dengn minor elemen tersebut. Dengn demikin, kofktor sutu mtriks dirumuskn dengn K ij ( ) i+j M ij Dri mtriks A di ts, kit peroleh mislny kofktor dn berturut-turut dlh K ( ) + M M Di unduh dri: (

37 Mtriks Tugs: Inkuiri Kerjkn di buku tugs Cob klin tentukn determinn mtriks A menurut bris kedu dn ketig. Kemudin, tentukn pul determinn menurut kolom ke-, ke-, dn ke-. Apkh hsilny sm? K ( ) + M M K Kofktor dri mtriks A x dlh kof(a) K K Nili dri sutu determinn merupkn hsil penjumlhn dri perklin elemen-elemen sutu bris (tu kolom) dengn kofktorny. Untuk menghitung determinn, kit dpt memilih dhulu sebuh bris (tu kolom) kemudin kit gunkn turn di ts. Perhtikn cr menentukn determinn berikut. K K K K K K Mislkn dikethui mtriks A. Determinn mtriks A dpt dihitung dengn cr berikut. Kit pilih bris pertm sehingg det A K + K + K ( ) + M + ( ) + M + ( ) + M + ( ) ( ) + ( ) Tmpk bhw det A mtriks ordo yng diselesikn dengn cr minor kofktor hsilny sm dengn det A menggunkn cr Srrus. Contoh: Tentukn determinn dri mtriks A 4 dengn turn Srrus dn minor-kofktor. Di unduh dri: (

38 6 Khz Mtemtik SMA IPS Jwb: Cr : (Aturn Srrus) det A 4 ( ) + ( 4 ) + ( ) ( ) ( 4 ) ( ) Cr : (Minor-kofktor) Mislny kit pilih perhitungn menurut bris pertm sehingg diperoleh det A ( 8) + ( ) + 6 Cob klin selidiki nili determinn ini dengn cr lin. Apkh hsilny sm? c. Sift-Sift Determinn Mtriks Berikut disjikn beberp sift determinn mtriks. Jik semu elemen dri slh stu bris/kolom sm dengn nol mk determinn mtriks itu nol. Misl A A ; B 4 B.. Jik semu elemen dri slh stu bris/kolom sm dengn elemen-elemen bris/kolom lin mk determinn mtriks itu nol. 4 Misl B B (Kren elemen-elemen bris ke- dn ke- sm).. Jik elemen-elemen slh stu bris/kolom merupkn keliptn dri elemen-elemen bris/kolom lin mk determinn mtriks itu nol. Di unduh dri: (

39 Mtriks 7 Misl A 7 A (Kren elemen-elemen 4 6 bris ke- sm dengn keliptn elemen-elemen bris ke-). 4. AB A B. A T A, untuk A T dlh trnspose dri mtriks A. 6. A A, untuk A dlh invers dri mtriks A. (Mteri invers kn klin peljri pd subbb berikutny). 7. ka k n A, untuk A ordo n n dn k sutu konstnt. Sift-sift di ts tidk dibuktikn di sini. Pembuktin sift-sift ini kn klin peljri di jenjng yng lebih tinggi.. Pengertin Invers Mtriks Mislkn du mtriks A dn B dlh mtriks berordo n n dn I n dlh mtriks identits berordo n n. Jik A B B A I n mk mtriks A disebut invers mtriks B, seblikny B disebut invers mtriks A. Dlm kedn seperti ini mk diktkn bhw A dn B sling invers. Jik mtriks A mempunyi invers, diktkn bhw mtriks A dlh mtriks nonsingulr, sedngkn jik A tidk mempunyi invers, mtriks A disebut mtriks singulr. Invers mtriks A ditulis A. Contoh: Dikethui A dn B. Selidiki, pkh A dn B sling invers? Jwb: Mtriks A dn B sling invers jik berlku A B B A I. A B I B A I Kren A B B A mk A dn B sling invers, dengn A B dn B A. Di unduh dri: (

40 8 Khz Mtemtik SMA IPS. Menentukn Invers Mtriks Berordo Tugs: Berpikir Kritis Kerjkn di buku tugs Di depn, klin telh menemukn bhw pd perklin mtriks tidk berlku sift komuttif. Bgimn dengn hsil kli dri A A dn A A? Jelskn pendpt klin. Kuis Kerjkn di buku tugs Mtriks X yng memenuhi persmn 7 8 X 7 9 dlh.... b. c. d. e. UN 7 b Mislkn dikethui mtriks A, dengn d bc. c d Sutu mtriks lin, mislny B diktkn sebgi invers mtriks A jik AB I. Mtriks invers dri A ditulis A. Dengn demikin, berlku AA A A I Mtriks A mempunyi invers jik A dlh mtriks nonsingulr, yitu det A. Seblikny, jik A mtriks singulr (det A ) mk mtriks ini tidk memiliki invers. b p q Mislkn mtriks A dn mtriks B sehingg c d r s berlku A B B A I. Kit kn mencri elemen-elemen mtriks B, yitu p, q, r, dn s. Dri persmn A B I, diperoleh b p q c d r s p + br cp + dr q + bs cq + ds Jdi, diperoleh sistem persmn p + br dn q + bs cp + dr cq + ds Dengn menyelesikn sistem persmn tersebut, klin peroleh d c p, r, q d bc d bc Dengn demikin, d d bc B c d bc b, dn s d bc b d bc d b d bc c d bc. d bc Mtriks B memenuhi A B I. Sekrng, kn kit buktikn pkh mtriks B A I? B A d d bc c b c Di unduh dri: ( b d

41 Mtriks 9 d bc bd bd d bc c c d bc Kren d bc, berlku B A I. Kren A B B A I mk B A. b Jdi, jik A mk inversny dlh c d A d d bc c b untuk d bc. Contoh: Tentukn invers mtriks-mtriks berikut. 4. A 7 b. B 4 Jwb:. A b. B ( ) 4 Di unduh dri: (

42 Khz Mtemtik SMA IPS Aktivits Tujun : Menentukn invers mtriks persegi dengn bntun softwre komputer. Permslhn : Bgimn cr menentukn inver mtriks dengn menggunkn softwre komputer? Kegitn : Kit kn menentukn mtriks invers dengn Microsoft Excel. Fungsi yng digunkn dlh MINVERSE. Mislny, kn ditentukn invers mtriks 4. Untuk itu lkukn lngkh-lngkh berikut.. Msukkn elemen-elemen mtriks pd sel-sel Microsoft Excel yng membentuk persegi.. Tentukn invers mtriks A dengn cr berikut. Blok empt sel yng kn ditempti elemen-elemen mtriks invers dri A. Ketik MINVERSE(, kemudin sorot sel-sel yng mengndung mtriks A tdi. Diikuti dengn mengetik ). Tekn CTRL + SHIFT + ENTER mk mtriks invers dri A kn muncul. Kesimpuln : Jik klin melkukn lngkh-lngkh yng diinstruksikn dengn benr, klin kn memperoleh hsil berikut. Di unduh dri: (

43 Mtriks 4. Menentukn Invers Mtriks Berordo (Pengyn) Kuis Kerjkn di buku tugs Dikethui mtriks B dlh invers mtriks A, mtriks D dlh invers mtriks C, dn A B C D. Berikut ini yng menghsilkn mtriks identits (I) dlh.... A b. B c. C d. D e. A C Kompetisi Mtemtik DKI, Invers mtriks berordo dpt dicri dengn beberp cr. Pd pembhsn kli ini kit kn menggunkn cr djoin dn trnsformsi bris elementer.. Dengn Adjoin Pd subbb sebelumny, telh dijelskn mengeni determinn mtriks. Selnjutny, djoin A dinotsikn dj(a), yitu trnspose dri mtriks yng elemen-elemenny merupkn kofktor-kofktor dri elemen-elemen mtriks A, yitu dj(a) (kof(a)) T Adjoin A dirumuskn sebgi berikut. dj(a) (kof(a)) T K K K K K K K K K K K K K K K K K K T Invers mtriks persegi berordo dirumuskn sebgi berikut. A dj( A) det A Adpun bukti tentng rumus ini kn klin peljri lebih mendlm dijenjng pendidikn yng lebih tinggi. Di unduh dri: (

44 Khz Mtemtik SMA IPS Kuis Kerjkn di buku tugs Contoh: B dlh invers mtriks B. Jik B dn AB, determinn mtriks A dlh.... b. 8 c. 7 d. e. 64 Kompetisi Mtemtik DKI, Dikethui mtriks A 4. Tentukn invers mtriks A, mislny kit gunkn perhitungn menurut bris pertm. Jwb: Terlebih dhulu kit hitung determinn A. det A () () + () Dengn menggunkn rumus djoin A, diperoleh 4 dj(a) Jdi, A dpt dihitung sebgi berikut. A dj( A) det A 4 b. Dengn Trnsformsi Bris Elementer Untuk menentukn invers mtriks A n dengn cr trnsformsi bris elementer, dpt dilkukn dengn lngkhlngkh berikut berikut. ) Bentuklh mtriks (A n I n ), dengn I n dlh mtriks identits ordo n. ) Trnsformsikn mtriks (A n I n ) ke bentuk (I n B n ), dengn trnsformsi elemen bris. ) Hsil dri Lngkh, diperoleh invers mtriks A n dlh B n. Notsi yng sering digunkn dlm trnsformsi bris elementer dlh Di unduh dri: (

45 Mtriks ) B i B : menukr elemen-elemen bris ke-i dengn j elemen-elemen bris ke-j; b) k.b i : menglikn elemen-elemen bris ke-i dengn sklr k; c) B i + kb j : jumlhkn elemen-elemen bris ke-i dengn k kli elemen-elemen bris ke-j. Tugs: Inkuiri Contoh : Kerjkn di buku tugs Ujilh hsil perhitungn di smping dengn rumus A A I tu dengn rumus invers mtriks ordo. Ap yng klin peroleh? Tentukn invers mtriks A dengn trnsformsi bris elementer. Jwb: (A I ) B B B ~ ~ ~ B B B ~ Jdi, diperoleh A Keterngn:. B : Klikn elemen-elemen bris ke- dengn. B B : Kurngkn bris ke- dengn kli elemen-elemen bris ke-. B B : Kurngi elemen-elemen bris ke- dengn elemen-elemen bris ke-. B : Klikn elemen-elemen bris ke- dengn. Contoh : Tentukn invers mtriks A dengn trnsformsi bris elementer. Di unduh dri: (

46 4 Khz Mtemtik SMA IPS Jwb: (A I ) B + B 4 B 4 B B 4 B B 7 4 Jdi, diperoleh A 7 4. Mislkn A, B, dn X dlh mtriks-mtriks berordo, dengn mtriks A dn B sudh dikethui elemenny, sedngkn mtriks X belum dikethui elemen-elemenny. Mtriks X dpt ditentukn jik A mempunyi invers (mtriks nonsingulr). Untuk menyelesikn persmn mtriks berbentuk AX B dpt dilkukn dengn lngkh berikut. AX B A (AX) A B (A A)X A B IX A B X A B. Persmn Mtriks Bentuk AX B dn XA B ~ ~ ~ ~ B B B B ~ Mri Berdiskusi Inkuiri Mungkinkh sembrng mtriks berukurn m n dpt ditentukn inversny? Berikn lsnmu. Untuk memperkut lsn klin, cob berikn contohny. Di unduh dri: (

47 Mtriks Dri persmn terkhir tmpk bhw kedu rus diklikn dri kiri oleh A sehingg diperoleh bentuk penyelesin X A B. Untuk menyelesikn persmn mtriks berbentuk XA B dpt ditentukn dengn cr menglikn kedu rus dri knn dengn A sehingg diperoleh penyelesin X BA seperti berikut. XA B (XA)A BA X(AA ) BA XI BA X BA Oleh kren itu, diperoleh penyelesin X BA. Dengn demikin, dpt disimpulkn sebgi berikut. Penyelesin persmn mtriks AX B dlh X A B. Penyelesin persmn mtriks XA B dlh X BA. Untuk lebih jelsny, perhtikn contoh berikut. Tugs: Eksplorsi Kerjkn di buku tugs Contoh: Mislkn diberikn sistem persmn liner berikut. x + 4y 6 x + y 4 Susunlh sistem persmn itu dlm bentuk mtriks. Kemudin, dptkh klin menentukn penyelesin persmn mtriks yng terbentuk? Berp bnyk penyelesinny? Mengp? 8 Dikethui A dn B. Tentukn mtriks X yng memenuhi. AX B; b. XA B. Jwb: 8 Kren det A 6 mk mtriks A mempunyi invers. Jik dicri inversny, klin kn memperoleh A. 8 (Cob klin tunjukkn). Dengn demikin, dpt kit tentukn sebgi berikut.. AX B X A B 4 8 Di unduh dri: (

48 6 Khz Mtemtik SMA IPS b. XA B X BA Mri Berdiskusi Inkuiri Sol Kompetensi 6 Kuis Kerjkn di buku tugs Dikethui A 4 dn B. Jik mtriks C A B mk determinn mtriks C sm dengn.... b. 44 c. 4 d. 6 e. Kompetisi Mtemtik DKI, Mislny diberikn persmn dlm bentuk mtriks AX B dn XA B. Mtriks A dn B dlh mtriks-mtriks yng sudh ditentukn, sedngkn X dlh mtriks yng hrus dicri.. Jik A dn B mtriks ordo, syrt pkh yng hrus dipenuhi gr X dpt dicri? Berpkh ordo mtriks X? b. Jik A ordo dn B ordo, syrt pkh yng hrus dipenuhi gr mtriks X dpt dicri? Berpkh ordo mtriks X? Kerjkn di buku tugs. Tentukn determinn dri mtriks-mtriks berikut. x x. d. 4 x x + 8 b. x c. x e. f Mnkh di ntr mtriks-mtriks berikut yng merupkn mtriks nonsingulr?. d. 4 4 b. e. 4 6 c. f. 4 7 Di unduh dri: (

49 Mtriks 7. Tentukn nili dri persmn di bwh ini d b. 8 e c. f Tentukn invers dri mtriks-mtriks berikut ini. 6. A d. D 4 b. B 4 c. C 6 4 e. E Dikethui mtriks A. Mislkn A menytkn invers dri A dn A menytkn determinn dri A, tentukn. AB; f. (BA) ; b. BA; g. A B ; c. A ; h. B A ; d. B ; A T ; A i. hubungn (AB) dn B A ; e. (AB) ; j. hubungn (BA) dn A B. 6. Dengn metode djoin dn trnsformsi bris elementer, tentukn invers dri mtriks-mtriks berikut.. 4 c b. 4 d. Di unduh dri: (

50 8 Khz Mtemtik SMA IPS Tntngn Penlrn Kerjkn di buku tugs Hrg sebuh buku tulis Rp.7, dn hrg sebuh bolpoin Rp.,. Heny membeli 4 buku tulis dn bolpoin, sedngkn Ari membeli buku tulis dn sebuh bolpoin. Bgimn bentuk perklin mtriks dri ksus ini? Tentukn pul hrg yng hrus dibyrkn msingmsing nk. Tntngn Penlrn Kerjkn di buku tugs Dikethui mtriks A. 4 Jik merupkn penyelesin persmn 4(x ) (x 4), dn merupkn kr-kr dri x 4x + dengn >, dn 4 nilny du kli, tentukn determinn mtriks A. 7. Tentukn nili x gr mtriks-mtriks berikut singulr. x c. x 4x x + x x x x + 4 b. d. ( x ) 4( x) ( x) 8. Tentukn mtriks X jik dikethui persmn berikut. 4. X b. X 8 4 c 8 X d X Misl jumlh ung Lir dn ung Virn Rp.,. Jik Lir memberikn ungny sebnyk Rp., kepd Virn mk bnyk ung merek kn menjdi sm. Dengn menggunkn mtriks, tentukn bnyk ung merek (semul) msing-msing.. Dikethui K dn L 6. Determinn mtriks KL dlh m. Jik sistem persmn yng dinytkn dengn 6 x y memiliki penyelesin (x, y ), tentukn persmn gris yng mellui (x, y ) dn bergrdien m. G. Penyelesin Sistem Persmn Liner dengn Mtriks Mtriks dpt digunkn untuk mempermudh dlm menentukn penyelesin sistem persmn liner. Pd pembhsn kli ini, kit kn menggunknny untuk menyelesikn sistem persmn liner du vribel dn tig vribel. Di unduh dri: (

51 Mtriks 9. Sistem Persmn Liner Du Vribel Bentuk umum sistem persmn liner du vribel dlh x + by p... () cx + dy q... () Persmn () dn () di ts dpt kit susun ke dlm bentuk mtriks seperti di bwh ini. c b x p d y q Tujun penyelesin sistem persmn liner du vribel dlh menentukn nili x dn y yng memenuhi sistem persmn itu. Oleh kren itu, berdsrkn penyelesin mtriks bentuk AX B dpt dirumuskn sebgi berikut. x d y d bc c slkn d bc. b p, q Kuis Kerjkn di buku tugs Contoh: 8 Jik x y mk 4x + y b. 7 c. 6 d. e. 4 UMPTN 994 Tentukn penyelesin dri sistem persmn liner berikut dengn cr mtriks. x + y 7 x + y 7 Jwb: Dri persmn di ts dpt kit susun menjdi bentuk mtriks sebgi berikut. x 4 y 7 Dengn menggunkn rumus penjelsn persmn mtriks di ts, diperoleh sebgi berikut. x y 4 ( ) ( ) 7 Jdi, diperoleh penyelesin x dn y. Di unduh dri: (

52 Khz Mtemtik SMA IPS. Sistem Persmn Liner Tig Vribel Klin tentu thu bhw untuk menyelesikn sistem persmn liner tig vribel dpt dilkukn dengn beberp cr, mislny eliminsi, substitusi, gbungn ntr eliminsi dn substitusi, opersi bris elementer, sert menggunkn invers mtriks. Klin dpt menggunkn cr-cr tersebut dengn bebs yng menurut klin pling efisien dn pling mudh. Mislkn diberikn sistem persmn liner tig vribel berikut. x + b y + c z d x + b y + c z d x + b y + c z d Sistem persmn liner di ts dpt kit susun ke dlm bentuk mtriks seperti berikut. b c b c b c x d y d z d Mislkn A b b b c x d c, X y, dn B d. c z d Bentuk di ts dpt kit tuliskn sebgi AX B. Penyelesin sistem persmn AX B dlh X A B. Dlm hl ini, A dj(a). det A Oleh kren itu, diperoleh X. dj( A) B. dj( A) B, det A det A slkn det A. Contoh: Tentukn himpunn penyelesin dri sistem persmn berikut. x + y z x + y + z 6 x y + z Di unduh dri: (

53 Mtriks Jwb: Cr : Opersi elemen bris, selin dpt digunkn untuk mencri invers mtriks, dpt pul digunkn untuk menyelesikn sistem persmn liner. Dengn menggunkn opersi bris elementer. x + y z x + y + z 6 B B x + y + z 6 x + y + z 6 B B x + y z y z x y + z x y + z B ~ ~ B y + 6 B x + y + z 6 B y + z y ~ { Dengn demikin, diperoleh y. Kit substitusikn nili y ke persmn () sehingg y + z + z z z 9 z Substitusikn y dn z ke persmn () sehingg diperoleh x + y + z 6 x x + 6 x 6 x Jdi, penyelesinny dlh x, y, dn z. Dengn demikin, himpunn penyelesinny dlh {(,, )}. Cr : Sistem persmn liner di ts dpt kit susun ke dlm bentuk mtriks sebgi berikut. Mislkn A, X x y, dn B z 6. det A + ( ) () () + ( )( ) 9 Dengn menggunkn minor-kofktor, diperoleh K ( ) + M K ( ) + M ( ) ( ) Di unduh dri: (

54 Khz Mtemtik SMA IPS K ( ) + M K ( ) + M ( ) K ( ) + M ( ) K ( ) + M ( 4 ) Dengn cr yng sm, klin kn memperoleh K, K, dn K (cob tunjukkn). Dengn demikin, diperoleh kof(a) K K K K K K K K K Oleh kren itu, dj(a) (kof(a)) T. Adj(A) Jdi, X x y z det A 9 dj(a)b T Jdi, diperoleh x, y, dn z. Dengn demikin, himpunn penyelesin sistem persmn di ts dlh {(,, )}. Sol Kompetensi 7 Kerjkn di buku tugs. Tentukn himpunn penyelesin dri sistem persmn liner berikut.. x y c. 6x + y x + y x 4y 7 b. x + y 4 d. x y 7 4x + y 7 x 6y Di unduh dri: (

55 Mtriks Kuis Kerjkn di buku tugs Jik x : y : 4 mk x dn y yng memenuhi persmn mtriks ABC [.6], untuk A [ ], B x y 4, dn C dlh.... x ; y 4 b. x 4 ; y c. x ; y 4 d. x ; y 8 e. x ; y 8 UMPTN 994. Tentukn himpunn penyelesin dri sistem persmn liner berikut.. x + y + z c. x + y z - x y + z 9x + z x + y z x y b. x + y z 6 d. 4x y + 4z 8 x + y + z 4 6x 8z 6x y + z x + y 6z 8. Dengn memislkn bentuk vribel yng sesui, tentukn himpunn penyelesin dri sistem persmn berikut dengn metode mtriks.. 4 b. x y x y y y z + 4 x z 4. Jumlh du bilngn sm dengn. Selisih kedu bilngn itu. Butlh sistem persmnny, kemudin dengn cr mtriks tentukn bilngn-bilngn tersebut.. Jik hrg buh buku tulis dn sebuh pensil Rp7., dn hrg 4 buh buku tulis dn buh pensil dlh Rp7.,. Tentukn hrg buh buku tulis dn 4 buh pensil. 6. Dikethui du buh bilngn. Jumlh du kli bilngn pertm dengn tig kli bilngn kedu sm dengn 4. Empt kli bilngn pertm dikurngi tig kli bilngn kedu sm dengn 9. Susunlh ksus di ts dlm sistem persmn liner. Kemudin, dengn cr mtriks, crilh bilngn-bilngn itu. 7. Sebuh pbrik memproduksi du jenis brng, yitu X dn Y. Jumlh penerimn dri unit brng X dn unit brng Y sebesr Rp4.,. Jumlh penerimn dri unit brng X dn 7 unit brng Y sebesr Rp46.,. Nytkn ksus di ts dlm sistem persmn liner. Kemudin, dengn cr mtriks, tentukn besr penerimn unit brng X dn unit brng Y. 8. Dlm sutu gedung bioskop terdpt orng penonton. Hrg tip lembr krcis dlh Rp., dn Rp.,. Hsil penjuln krcis seluruhny dlh Di unduh dri: (

56 4 Khz Mtemtik SMA IPS Rp.47.,. Berpkh bnyk krcis hrg Rp., dn hrg Rp., yng terjul? Selesikn dengn cr mtriks. 9. Perbndingn umur Titi dn Dewi 8 thun yng llu dlh 4 : 7. Perbndingn umur merek 6 thun yng kn dtng dlh 6 : 7. Dengn cr mtriks, tentukn perbndingn umur Titi dn Dewi sekrng.. Pk Rudi dn Pk Mmn berjuln jenis brng yng sm. Modl Pk Rudi Rp4.., lebih bnyk dri modl Pk Mmn. Jik keuntungn yng di dpt Pk Rudi %, sedngkn keuntungn Pk Mmn % mk ung merek menjdi sm bnyk. Hitunglh modl Pk Rudi dn Pk Mmn msing-msing.. Menyelesikn Sistem Persmn Liner dengn Determinn Kuis Kerjkn di buku tugs Nili x + y yng memenuhi 7 x y dlh b. c. d. e. 4 Kompetisi Mtemtik DKI, Sistem persmn liner yng disusun dlm bentuk mtriks jug dpt ditentukn himpunn penyelesinny dengn metode determinn. Mislny, sistem persmn liner untuk du vribel dn tig vribel dlh sebgi berikut.. x + by p b. x + b y + c z d cx + dy q x + b y + c z d x + b y + c z d Pd sistem persmn liner du vribel, bentuk tersebut dpt diubh ke bentuk mtriks berikut. b x p b x p, dengn A c d y q, X, dn B c d y. q Untuk menentukn penyelesin persmn mtriks tersebut, terlebih dhulu kit tentukn determinnny sebgi berikut. D b d bc (Determinn koefisien x dn y, dengn elemen-elemen mtriks A) c d D x p b pd bq (Gnti kolom ke-, dengn elemenelemen mtriks B) q d D y p q cp (Gnti kolom ke-, dengn elemenelemen mtriks c q B) Di unduh dri: (

57 Mtriks Nili x dn y dpt ditentukn dengn rumus berikut. x D D x ; y D D y Dengn cr yng sm dpt ditentukn D, D x, D y, dn D z untuk sistem persmn liner tig vribel sebgi berikut. D b c b c b c D y d c d c d c D x d b c d b c d b c D z b d b d b d Nili x, y, dn z dpt ditentukn dengn cr berikut. D x x D y ; y ; D D z D D z Tntngn Eksplorsi Kerjkn di buku tugs Contoh: Usi Din sekrng 8 thun lebih tu dripd umur Div. Pd 4 thun yng llu, usi Div sm dengn du pertig dri usi Din.. Butlh sistem persmn yng mewkili ksus di ts. b. Susunlh sistem persmn yng kmu peroleh dlm bentuk perklin mtriks. c. Dengn menggunkn mtriks, tentukn usi Din sekrng. Tentukn penyelesin sistem persmn liner berikut dengn metode determinn.. x + y 4 b. x + y + z x y x + y z x y + z 4 Jwb:. Sistem persmn liner di ts dpt disusun dlm bentuk mtriks berikut. x 4 y Kit tentukn nili D, D x, dn D y. D 4 4 D x 8 ( ) D y Di unduh dri: (