MATRIKS ( MAT ) Disusun Oleh : Drs. Pundjul Prijono Nip

Transkripsi

1 MODUL MATEMATIKA MATRIKS ( MAT 2..3 ) Disusun Oleh : Drs. Pundjul Prijono Nip PEMERINTAH KOTA MALANG DINAS PENDIDIKAN SMA NEGERI 6 Jln Myjen Sungkono No. 58 Telp. (34) Mlng Modul Mtriks SMA Negeri 6 Mlng By Drs. Pundjul Prijono

2 STANDAR KOMPETENSI: 3. Menggunkn konsep mtriks, vektor, dn trnsformsi dlm pemechn mslh. Kompetensi Dsr : 3. Menggunkn sift-sift dn opersi mtriks untuk menunjukkn bhw sutu mtriks persegi merupkn invers dri mtriks persegi lin 3.2 Menentukn determinn dn invers mtriks 2 x Menggunkn determinn dn invers dlm penyelesin sistem persmn liner du vribel KOMPETENSI : MENERAPKAN KONSEP MATRIKS SUB KOMPETENSI (J) KRITERIA KINERJA LINGKUP MATERI BELAJAR MATERI POKOK PEMBELAJARAN SIKAP PENGETAHUAN KETERAMPILAN. Mendeskripsikn mcm-mcm mtriks Mtriks dibedkn menurut jenisny Mcmmcm mtriks Teliti dn cermt dlm menerpkn Pengertin mtriks, notsi mtriks, bris, kolom, elemen dn Mengopersikn mtriks konsep mtriks ordo mtriks Jenis-jenis mtriks 2. Menyelesikn opersi mtriks Opersi mtriks diselesikn Opersi mtriks Penyelesin opersi mtriks: dengn Penjumlhn dn menggunkn pengurngn turn yng Trnspos mtriks berlku Perklin sklr dengn mtriks Perklin mtriks dengn mtriks 3. Menentukn determinn dn invers mtriks Determinn dn invers mtriks ditentukn dengn turn yng berlku Determinn dn invers mtriks Determinn mtriks Minor, kofktor dn djoin mtriks Invers mtriks Penyelesin sistem persmn liner dengn menggunkn mtriks Modul Mtriks SMA Negeri 6 Mlng By Drs. Pundjul Prijono 2

3 A. Deskripsi Dlm modul ini nd kn mempeljri Pengertin mtriks, notsi mtriks, bris kolom, elemen dn ordo mtriks, jenis-jenis mtriks, kesmn mtriks, trnpose mtriks. And jug mempeljri penyelesin opersi mtriks: penjumlhn, dn pengurngn, perklin sklr dengn mtriks, perklin mtriks dengn mtriks, determinn mtriks, minor, kofktor dn djoin mtriks dn invers mtriks. And jug mempeljri penyelesin sistem persmn linier dengn menggunkn mtriks. B. Prsyrt Prsyrt untuk mempeljri modul ini dlh nd hrus sudh mempeljri relsi dn fungsi, persmn sert opersi pd bilngn rel. Semu mteri prsyrt tersebut terdpt dlm modul Relsi dn Fungsi, persmn dn pertidksmn dn bilngn rel. C. Petunjuk Penggunn Modul. Peljri dftr isi sert skem kedudukn modul dengn cermt dn teliti kren dlm skem modul kn nmpk kedudukn modul yng sedng And peljri ini ntr modul-modul yng lin. b. Perhtikn lngkh-lngkh dlm melkukn pekerjn dengn benr untuk mempermudh dlm memhmi sutu proses pekerjn, sehingg diperoleh hsil yng optiml. c. Phmi setip teori dsr yng kn menunjng pengusn mteri dengn membc secr teliti. Bilmn terdpt evlusi mk kerjkn evlusi tersebut sebgi srn ltihn. d. Jwblh tes formtif dengn jwbn yng singkt dn jels sert kerjkn sesui dengn kemmpun And setelh mempeljri modul ini. e. Bil terdpt penugsn, kerjkn tugs tersebut dengn bik dn bilperlu konsultsikn hsil penugsn tersebut kepd guru/instruktur. f. cttlh semu kesulitn And dlm mempeljri modul ini untuk ditnykn pd guru/instruktur pd st ttp muk. Bclh referensi lin yng d hubungn dengn mteri modul ini gr And mendptkn pengethun tmbhn. Modul Mtriks SMA Negeri 6 Mlng By Drs. Pundjul Prijono 3

4 D. Tujun Akhir Setelh mempeljri modul ini dihrpkn And dpt:. Memhmi pengertin mtriks, notsi mtriks, bris kolom, elemen dn ordo mtriks, jenis-jenis mtriks, kesmn mtriks, trnpose mtriks. 2. menyelesikn opersi mtriks: penjumlhn, dn pengurngn, perklin sklr dengn mtriks, perklin mtriks dengn mtriks, determinn mtriks, minor, kofktor dn djoin mtriks dn invers mtriks. 3. Menyelesikn sistem persmn linier dengn menggunkn mtriks.. Kegitn Beljr ( Pengertin Mtriks ). Tujun Kegitn Pembeljrn Setelh mempeljri urin kegitn beljr ini, nd dihrpkn : ) Memiliki pemhmn mengeni pengertin mtriks 2) Dpt membedkn ntr bris dn kolom mtriks 3) Mengethui elemen-elemen sutu mtriks 4) Dpt menuliskn notsi-notsi mtriks 5) Dpt menyebutkn ordo sutu mtriks b. Urin Mteri NOTASI MATRIKS Bentuk umum mtriks: Mtriks dlh susunn segi empt siku-siku dri bilngn yng ditur berdsrkn bris dn kolom/ljur. Bilngn-bilngn dlm susunn tersebut dinmkn entri dlm mtriks tu disebut jug elemen tu unsur. ) Pengertin Mtriks Dlm kehidupn sehri-hri dn dlm mtemtik, berbgi keterngn seringkli disjikn dlm bentuk mtriks. Contoh. Modul Mtriks SMA Negeri 6 Mlng By Drs. Pundjul Prijono 4

5 Kedn Sisw Kels pd tnggl Mret 24 k o l o m Kels I A Kels I B Kels I C S = Skit I = Ijin T = Tnp Keterngn Contoh 2. bris Dftr Cmpurn Bhn untuk Membut Kue Gul Menteg Tepung Roti I 2 3 Roti II 2 5 Roti III Roti IV Apbil dri dftr tbel Contoh dn 2 tersebut, kepl kolom dn bris dihilngkn, kemudin susunn lmbng bilngn itu diberi tnd kurung tu kurung siku, mk susunn itu disebut mtriks. Mtriks contoh ilh bris bris bris k o l o m k o l o m k o l o m Mtriks contoh 2 ilh Modul Mtriks SMA Negeri 6 Mlng By Drs. Pundjul Prijono 5

6 Jdi, mtriks dlh susunn berbentuk persegi pnjng dri bilngnbilngn yng ditur pd bris dn kolom (ljur) dn diletkkn di dlm du kurung bis tu kurung siku. 2) Elemen Sutu Mtriks Pd mtriks , setip bilngn dlm mtriks dits 2 dinmkn elemen mtriks. Setip elemen ditentukn dengn menytkn bris dn kolom yng memut bilngn itu. Pd mtriks di ts bilngn 7 dlh elemen bris kedu kolom ketig. Elemen-elemen pd kolom kedu dlh bilngn-bilngn 2, 6 dn. Bentuk umum sebuh mtriks dlh : m m2 n 2n mn mn dlh elemen tu unsur pd mtriks yng terletk pd bris ke m dn kolom ke n 3) Notsi Mtriks Sutu mtriks dinytkn dengn sebuh huruf kpitl. Mislny A = 4) Ordo Mtriks , B = 6 2 Ordo sutu mtriks ditentukn oleh bnykny bris diikuti bnykny kolom. A = , B = 6 2 Mtriks A mempunyi 2 bris dn 2 kolom, mk diktkn ordony 23 (dibc 2 kli 3 ) dn ditulis A 23 tu A (23). Jik bnykny bris sutu mtriks sm dengn bnykny kolom, mk mtriks itu disebut mtriks bujur sngkr. Kren istilh bujur Modul Mtriks SMA Negeri 6 Mlng By Drs. Pundjul Prijono 6

7 sngkr disesuikn menjdi persegi, mk dpt pul disebut dengn mtriks persegi. Mtriks B dlh mtriks persegi dengn ordo 2. b. Rngkumn Urin Kegitn Beljr Mtriks dlh susunn berbentuk persegi pnjng dri bilngnbilngn-bilngn yng ditur pd bris dn kolom (ljur), sert diletkkn di dlm du kurung bis tu kurung siku Bentuk umum sebuh mtriks dlh : m m2 n 2n mn mn dlh elemen tu unsur pd mtriks yng terletk pd bris ke m dn kolom ke n Ordo sutu mtriks ditentukn oleh bnykny bris diikuti dengn bnykny kolom. Mtriks A mempunyi 2 bris dn 3 kolom, mk diktkn ordony 2 3 (dibc 2 3 ) dn ditulis A 2 3 tu A (2 3) Jik bnykny bris sutu mtriks sm dengn bnykny kolom, mk mtriks itu disebut mtriks persegi. B = c b dlh mtriks persegi dengn ordo 2 d B. Kegitn Modul Kerjkn sol-sol berikut supy nd lebih memhmi urin mteri kegitn beljr. Jngn membc/meliht petunjuk mengerjkn ltihn ( kunci jwbn ) sebelum nd cob mengerjknny. Petunjuk untuk mengerjkn ltihn hny sebgi pndun bil nd menglmi kesulitn menjwb sol berikut ini. Modul Mtriks SMA Negeri 6 Mlng By Drs. Pundjul Prijono 7

8 . Dikethui mtriks ) Sebutknlh bnykny bris dn kolom b) Sebutknlh elemen-elemen bris kedu c) Sebutknlh elemen-elemen kolom ketig d) Tulislh elemen mtriks yng seletk pd bris kedu dn kolom keempt e) Nytknlh bris dn ljur yng menentukn letk elemen 4, 7 dn 2 2. Hsil pertndingn sepk bol dlh sebgi berikut : Kesebelsn Min Menng Seri Klh Memsukkn Gol Kemsukn Gol Nili Persij Jkrt Persib Bndung PSMS Medn Perseby Surby PSM Mkssr PSS Slemn Dri mtriks yng diperoleh : ) Berp bnykny bris dn bnykny kolom? b) Pd bris tu kolom mn : Semu elemenny sm Semu elemenny lebih dri Semu elemenny genp 3. Dikethui mtriks P= Berpkh ukurn mtriks P? b. Tentukn mn yng merupkn bris, bris 2, bris 3 kolom 4, kolom 5 bris c. Tentukn P, P 3, P 23, P 5, P 35 Modul Mtriks SMA Negeri 6 Mlng By Drs. Pundjul Prijono 8

9 Jik nd sudh menyelesikn kegitn cocokkn jwbn nd pd kunci jwbn yng berd dibelkng modul ini. Setelh nd cocokkn berilh nili kegitn nd didlm mengerjkn kegitn Jik nili perolehn < 75, rtiny nd belum phm tentng pengertin mtriks, mk nd hrus mengulng kembli membc dn memhmi konsep tentng pengertin mtriks. Jik nili perolehn 75 mk nd boleh meneruskn pd kegitn modul berikut ini. Kegitn Beljr 2 ( Mcm-mcm Mtriks). Tujun Kegitn Beljr 2 Setelh mempeljri urin kegitn beljr ini dihrpkn nd : ) Dpt menyebutkn mcm-mcm mtriks (mtriks bris, mtriks kolom, mtriks persegi/bujursngkr, mtriks segitig) 2) Dpt mengidentifiksi du mtriks yng sm 3) Memiliki kemmpun untuk menunjukkn trnspos sutu mtriks 2. Urin Mteri Kegitn Beljr 2. Mcm-mcm mtriks Mtriks dibedkn berdsrkn berbgi susunn entri dn bilngnpd entriny. Sehingg mtriks dibedkn sebgi berikut: Mtriks Bris Mtriks yng hny memiliki elemen stu bris, Mtriks Kolom (Ljur) Mtriks yng hny memiliki elemen stu kolom Modul Mtriks SMA Negeri 6 Mlng By Drs. Pundjul Prijono 9

10 Modul Mtriks SMA Negeri 6 Mlng By Drs. Pundjul Prijono c b, Mtriks Persegi (Bujursngkr) Mtriks yng bnykny bris sm dengn bnykny kolom , p o n m l k j i h g f e d c b Mtriks Segitig Mtriks persegi yng dipishkn oleh digonl, dengn elemen-elemen pd sepruh bginny 5 4 3, ( Mtriks segitig ts ) p o n m l k j h g d (Mtriks segitig bwh ) Mtriks Digonl Mtriks persegi berordo n dengn elemen-elemen mtriks dibwh dn dits digonl utm bernili Mtriks Identits/Mtriks Stun (I) I = I =

11 b. Kesmn Mtriks Du mtriks A dn B disebut sm, jik 4 Ordony sm, dn Elemen-elemen yng bersesuin (seletk) sm , tetpi sebb wlupun elemen-elemen kedu mtriks itu sm, tetpi letk elemen-elemen itu berbed, sehingg elemen-elemen yng bersesuin tidk sm. c. Trnspos sutu Mtriks Dri mtriks A dpt di bentuk mtriks bru dengn cr bris mtriks A ditulis menjdi kolom mtriks bru, bris 2 mtriks A dijdikn kolom 2 mtriks bru, dn seterusny. Mtriks bru yng diperoleh disebut trnspos dri mtriks A dn dinytkn dengn A T (di bc trnspos A ). Bris-bris mtriks A menjdi kolom-kolom mtriks A T, dn kolom-kolom mtriks A menjdi bris-bris mtriks A T. 4 Jik A = 2 5, mk A T 2 3 = Dri mtriks trnpose ini, muncul istilh mtriks simetrik (setngkup). Hl ini terjdi mislkn A sutu mtriks, jik A = A T mk A disebut mtriks simetrik/setngkup. 3. Rngkumn Urin Kegitn Beljr 2 Mtriks bris dlh mtriks yng hny mempunyi elemen stu bris Mtriks kolom dlh mtriks yng hny mempunyi elemen stu kolom Mtriks persegi dlh mtriks yng bnykny bris sm dengn bnykny kolom Mtriks segitig dlh mtriks persegi yng dipishkn oleh digonl dengn elemen bilngn-bilngn nol pd sepruh bginny Du mtriks A dn B disebut sm, jik : Modul Mtriks SMA Negeri 6 Mlng By Drs. Pundjul Prijono

12 Ordony sm, dn Elemen-elemen yng bersesuin (seletk) sm Trnspos sutu mtriks dlh mtriks bru yng bris-brisny merupkn kolom-kolom mtriks semul 4. Kegitn Modul Mtriks-mtriks berikut ini mnkh yng sm? A = 2 3 B = 3 2 C = E = F = G = D = Tentuknlh x dn y berikut ini x 2y 8 ) 3 3 x 3 5 b) 2 y c) 3x y Tulislh trnspose dri setip mtriks pd sol no. dn sebutkn ordo setip mtriks trnspose itu x P = 3 y dn Q = 5 2 Jik P T = Q, tentuknlh x dn y. 5. Dikethui persmn mtriks sebgi berikut : x 6-2 x 2 +3 = x /2x Crilh x, x 2, x 3, x 4 Modul Mtriks SMA Negeri 6 Mlng By Drs. Pundjul Prijono 2

13 6. Crilh A T jik A b. c d Jik nd sudh menyelesikn kegitn 2 cocokkn jwbn nd pd kunci jwbn yng berd dibelkng modul ini. Setelh nd cocokkn berilh nili kegitn nd didlm mengerjkn kegitn 2 Jik nili perolehn < 75, rtiny nd belum phm tentng mcm-mcm mtriks dn opersiny, mk nd hrus mengulng kembli membc dn memhmi konsep tentng mcm-mcm mtriks dn opersiny. Jik nili perolehn 75 mk nd boleh meneruskn pd kegitn modul berikut ini. 3. Kegitn Beljr 3 ( Penjumlhn dn Pengurngn Mtriks). Tujun Kegitn Beljr 3 Setelh mempeljri urin kegitn beljr ini, nd dihrpkn : ) Memhmi pengertin dn syrt penjumlhn mtriks 2) Memhmi pengertin lwn sutu mtriks 3) Mengenl definisi penjumlhn mtriks b. Urin Mteri Kegitn Beljr 3 Agr pengertin dn syrt penjumlhn du buh mtriks dpt diphmi dengn bik, simklh persoln berikut : Dewi dn Budi dlh clon sisw teldn dri SMA Negeri 6 Mlng. Penentun sip yng berhk mengikuti seleksi peljr teldn tingkt kot didsrkn pd jumlh nili mt peljrn Mtemtik dn Bhs Inggris pd semester I dn semester II. Nili kedu mt peljrn yng dicpi oleh Dewi dn Budi diperlihtkn pd tbel di bwh ini : Tbel. Semester Semester 2 Jumlh Dewi Budi Dewi Budi Dewi Budi Mtemtik Modul Mtriks SMA Negeri 6 Mlng By Drs. Pundjul Prijono 3 Bhs Inggris

14 Dri tbel di ts terliht bhw jumlh nili semester I dn II untuk mt peljrn Mtemtik dn Bhs Inggris yng dicpi Budi lebih tinggi dibndingkn yng dicpi oleh Dewi. Dengn demikin, Budi lebih berhk mengikuti seleksi peljr teldn tingkt kot untuk mewkili SMA Negeri 6 Mlng. Sekrng kit kn meliht bgimn proses penjumlhn nili-nili tersebut dilkukn dengn menggunkn mtriks. Bil dt tu informsi pd tbel disjikn dlm bentuk mtriks, mk dpt dituliskn sebgi berikut = A B C Dri urin dits didpt : ) Penjumlhn Du Mtriks Definisi. A dn B dlh sutu du mtriks yng ukurnny sm, mk jumlh A + B dlh mtriks yng diperoleh dengn menmbhkn bersm-sm entri yng seletk/bersesuin dlm kedu mtriks tersebut. Mtriks-mtriks yng ordo/ukurnny berbed tidk dpt ditmbhkn. Dri definisi di ts, dpt diktkn bhw du mtriks dpt dijumlhkn jik ordony sm, penjumlhn dilkukn pd elemen yng seletk. Jdi dpt dituliskn dlm rumus: A mxn + B mxn = C mxn A B A + B c b d + p r q s = p c r b q d s Dikethui A = Hitung : A + B =... B + A = dn B = 5 2 A + B = B + A = Modul Mtriks SMA Negeri 6 Mlng By Drs. Pundjul Prijono 4

15 = Dikethui : P = Q = R = = Hitung : P + Q + R =... P + ( Q + R ) =... (P + Q) + R =... ( Coblh sendiri ) Dri contoh dits diperoleh Soft-sift :. A + B = B + A ( Sift Komuttif ) 2. (A + B) + C = A +( B + C) ( Sift Assositif ) b) PENGURANGAN MATRIKS Apbil kit perhtikn, elemen-elemen yng seletk dri mtriks B dn mtriks A sling berlwnn. Mtriks B yng bersift seperti itu disebut lwn tu negtif dri mtriks A, dn ditulis sebgi - A. Sehingg pengurngn mtriks A dn B, dilkukn dengn menjumlhkn mtriks A dengn mtriks negtip B. A - B = A + (-B) Jik P = dn Q = Mk P Q = P + (- Q ) = = Rngkumn Urin Kegitn Beljr 3 Jik A dn B dlh du mtriks yng berordo sm, mk jumlh mtriks A dn B ditulis: (A + B) dlh sebuh mtriks bru yng didpt dengn cr menjumlhkn elemen-elemen yng seletk dri mtriks A dn mtriks B. Modul Mtriks SMA Negeri 6 Mlng By Drs. Pundjul Prijono 5

16 Setip mtriks mempunyi lwn tu negtif, mislkn mtriks A mempunyi lwn mtriks - A. Pengurngn mtriks A oleh mtriks B dpt ditentukn dengn cr menjumlhkn mtriks A dengn lwn mtriks B. Pengurngn mtriks A oleh mtriks B dpt jug dinytkn sebgi berikut, yitu jik mtriks A dn mtriks B dlh du mtriks yng berordo sm, mk pengurngn mtriks A oleh mtriks B ( ditulis: A B) Kegitn Modul Dikethui mtriks : A = B = Crilh : ) A + B b) B + C c) (A + B) + C d) A + (B + C) C = 3 2 e) Apkh (A + B) + C = A + (B + C) Jik A dn B = 7 4 B Tentukn :. A + B b. A B Jik nd sudh menyelesikn kegitn 3 cocokkn jwbn nd pd kunci jwbn yng berd dibelkng modul ini. Setelh nd cocokkn berilh nili kegitn nd didlm mengerjkn kegitn 3 Jik nili perolehn < 75, rtiny nd belum phm tentng penjumlhn mtriks, lwn sutu mtriks dn pengurngn mtriks, mk nd hrus mengulng kembli membc dn memhmi konsep tentng penjumlhn mtriks, lwn sutu mtriks dn pengurngn mtriks. Jik nili perolehn 75 mk nd boleh meneruskn pd kegitn modul berikut ini. Modul Mtriks SMA Negeri 6 Mlng By Drs. Pundjul Prijono 6

17 4. Kegitn Beljr 4 ( Perklin Mtriks dengn sklr, Mtriks dengn Mtriks). Tujun Kegitn Beljr 3 Setelh mempeljri urin kegitn beljr ini, nd dihrpkn : ) Memhmi pengertin perklin mtriks dengn sklr 2) Memhmi pengertin perklin sutu mtriks dengn mtriks b. Urin Mteri Kegitn Beljr 4 Jik k sutu sklr dn A sutu mtriks, mk ka dlh mtriks yng diperoleh dengn menglikn setip elemen A dengn k. b A c d Dikethui A = Hitung A =. k. k. A k. c 4 2A = = k. b k. d PERKALIAN MATRIKS DENGAN MATRIKS. Perklin Mtriks dengn sklr Mtriks A diklikn dengn c sutu bilngn/sklr mk ca diperoleh dri hsilkli setip elemen A dengn c. Dengn demikin, mtriks A dpt dipndng sebgi hsil kli mtriks A dengn sklr ( ). Jdi A = ( )A. Berikut ini dlh contoh perklin mtriks dengn bilngn sklr, Contoh: P = mk 4P = 4 5 = Jik p dn q bilngn rel dn B, C du mtriks dengn ordo sedemikin hingg dpt dilkukn opersi hitung berikut, mk berlku sift-sift perklin mtriks dengn sklr : ) p (B+C) = pb + pc 2) p (B C) = pb pc 3) (p + q) C = pc + qc 4) ( b) C = pc qc 5) (pq) C = p (qc) 6) (pb) T= pbt Modul Mtriks SMA Negeri 6 Mlng By Drs. Pundjul Prijono 7

18 b. Perklin mtriks dengn mtriks Untuk memhmi perklin mtriks dengn mtriks, kit perhtikn pernytn berikut. Du mtriks AB dpt diklikn bil dn hny bil jumlh kolom mtriks A sm dengn jumlh bris mtriks B. Jdi Am n Bn p bis didefinisikn, tpi Bn p Am n tidk dpt didefinisikn. A m x n x B n x p = A B mxp Perhtikn bhw hsil kli mtriks AB berordo m x p Untuk menguji pkh du mtriks dpt diklikn tu tidk dn jug untuk menentukn ordo hsil perklinny, dpt jug menggunkn turn memsng krtu domino sebgi berikut : Elemen-elemen dri AB diperoleh dri hsil kli setip bris pd mtriks A dengn setip kolom pd mtriks B, kemudin dijumlhkn menjdi stu elemen. Untuk lebih jelsny, berikut ini diberikn contoh- contoh perklin mtriks dengn mtriks. b x. A dn B c d y AxB c b x x d y x by cx dy 2 x 2 2 x = 2 x Ket : Perklin mtriks bersift tidk komuttif (AB X BA) tetpi bersift sositif (AB)C = A(BC). Modul Mtriks SMA Negeri 6 Mlng By Drs. Pundjul Prijono 8

19 A = 2 3 ; B = 2 3 Hitung : A x B dn B x A bgimn hsil Ax B dn B x A? AxB = 2 3 BxA = = = Dri hsil terliht bhw A x B B x A Sift-sift perklin mtriks dengn mtriks : ) A(BC) = (AB)C 2) A(B+C) = AB + AC 3) (B+C)A = BA + CA 4) A(B C) = AB AC 5) (B C)A = BA CA 6) (BC) = (B)C = B(C) 7) AI = IA = A Perlu diingt bhw bil AB dpt didefinisikn, mk BA belum tentu dpt didefinisikn, sehingg AB belum tentu sm dengn BA. Jik AB = - BA mk mtriks A dn B disebut Anti Komutsi Mtriks A dengn sift A k+ = A dengn k bilngn positip mk disebut periodik, jik k = sehingg A = A 2, mk disebut idempoten 5. Kegitn Modul Kerjkn sol-sol berikut untuk menguji kemmpun dn pemhmnmu. Mislkn (mxn) menytkn ukurn mtriks. Cri hsil perklin (klu terdefinisi) dri ukurn-ukurn berikut.. (2x)(x3) b. (4x5)(2x3) c. (x)(x3) d. (3x3)(3x4) e. (2x2)(3x2) 2. Crilh AB dn BA jik 2. A= B= 2 3 b. A= B= Modul Mtriks SMA Negeri 6 Mlng By Drs. Pundjul Prijono 9

20 3. Dikethui A= 2 7 B= Tentukn. 2A, 3B, 2A-B, 3B-A b. (2A-B)(3B-A) Selidikilh bhw ABBA untuk A= dn B= Mtriks A= B= Crilh mtriks P sedemikin sehingg AP=B. 6. Crilh 3A 2 +2A-3I 2, jik A= 2 - Jik nd sudh menyelesikn kegitn 4 cocokkn jwbn nd pd kunci jwbn yng berd dibelkng modul ini. Setelh nd cocokkn berilh nili kegitn nd didlm mengerjkn kegitn 4 Jik nili perolehn < 75, rtiny nd belum phm tentng perklin mtriks, mk nd hrus mengulng kembli membc dn memhmi konsep tentng perklin mtriks. Jik nili perolehn 75 mk nd boleh meneruskn pd kegitn modul berikut ini. C. Determinn Mtriks. Tujun Kegitn Beljr 5 Setelh mempeljri urin kegitn beljr ini, nd dihrpkn : ) Memhmi pengertin Determinn sutu mtriks 2) Memhmi pengertin determinn mtriks ordo 2x2 3) Memhmi pengertin determinn mtriks ordo 3x3 b. Urin Mteri Kegitn Beljr 5 Untuk setip mtriks persegi terdpt sutu bilngn tertentu yng disebut determinn. Pengertin Determinn mtriks dlh jumlh semu hsil perklin elementer yng bertnd dri A dn dinytkn dengn det(a). yng dirtikn dengn sebuh hsil perklin elementer bertnd dri sutu mtriks A dlh sebuh hsil perklin elementer pd sutu Modul Mtriks SMA Negeri 6 Mlng By Drs. Pundjul Prijono 2

21 kolom dengn + tu. Untuk lebih jelsny, berikut ini diurikn cr mencri determinn mtriks berordo 2 x 2 dn mtriks berordo 3 x 3.. Determinn mtriks berordo 2 x 2 Jik mtriks A = c b d mk det (A) = A = d bc Contoh: P = Determinn mtriks berordo 3 X 3, mk det(p) = P = = 2 Untuk mencri determinn mtriks berordo 3 x 3 dpt digunkn du metode, sebgi berikut :. Metode Srrus Jik mtriks B = p q r s t u v w x mk det (B) = p q r s t u v w x p s v q t w = ptx+quv+rsw-qsy-puw-rtv Perlu diperhtikn bhw cr demikin tidk berlku bil mtriks berordo 4x4 dn yng lebih tinggi lgi Contoh: Q = 3 5, mk det Q = Q dlh = (2x3x9) + (4x5x7) + (6xx8) (6x3x7) (2x5x8) (4xx9) = = b. Metode Kofktor Minor sutu mtriks A dilmbngkn dengn Mij dlh mtriks bgin dri A yng diperoleh dengn cr menghilngkn elemen-elemenny pd bris ke-i dn elemen elemen pd kolom ke-j Contoh: Q = 3 5, mk M = M 2 = M 3 = = = = M, M 2 dn M 3 merupkn submtriks hsil ekspnsi bris ke- dri mtriks Q. Kofktor sutu elemen bris ke-i dn kolom ke-j dri mtriks A dilmbngkn dengn Modul Mtriks SMA Negeri 6 Mlng By Drs. Pundjul Prijono 2

22 Kij = ( ) i+j Mij = ( ) i+ j det (Mij ) Untuk mencri det(a) dengn metode kofktor cukup mengmbil stu ekspnsi sj misl ekspnsi bris ke Contoh: Q = 3 5, untuk mendptkn det Q dengn metode kofktor dlh mencri terlebih dhulu determinn-determinn minorny yng diperoleh dri ekspnsi bris ke- dits, yitu det(m )= 3, det(m 2 )= 26 dn det(m 3 ) = 3, mk : Q = q.k q 2.k 2 + q 3.k 3 = q.( ) + det(m ) q 2 ( ) +2 det(m 2 ) + q 3 ( ) +3 det(m 3 ) = = Sutu mtriks yng nili determinnny = disebut mtriks singulr. 3. Adjoin Mtriks Adjoin mtriks A dlh trnspose dri kofktor-kofktor mtriks tersebut, dilmbngkn dengn dj A = (k ij ) t Contoh: Q = 3 5 telh dikethui dri hitungn sebelumny bhw k = 3, k 2 = 26 dn k 3 = 3 sekrng kit hny mencri kofktor dri ekspnsi bris ke-2 dn ekspnsi bris ke-3, yitu : k 2 = ( ) = 2 ; k 22 =( ) = - 24 ; k 23 = ( ) = 2 k 3 = ( ) = 2 ; k 32 = ( ) = - 4 ; k 33 = ( ) = 2 Adj A = k k 2 k 3 k 2 k 22 k 32 = k 3 k 23 k Hl yng menrik dlm mencri djoin mtriks berordo 2x2 ditunjukkn sebgi berikut : Jik A = b c d, mk kofktor-kofktorny dlh k = d, k 2 = - c, k 2 = - b, dn k 22 =. kemudin Adj A = k k 2 k 2 k 22 = d c Hl ini sm rtiny dengn menukrkn elemen-elemen pd digonl utmny dn mengubh tnd pd elemen-elemen pd digonl linny b D. Invers Mtriks Untuk menjelskn invers mtriks, perhtikn pengertin berikut: Invers mtriks dlh lwn tu keblikn sutu mtriks dlm perklin yng dilmbngkn dengn A Definisi: Jik mtriks A dn B sedemikin sehingg A x B = B x A = I, dimn I mtriks identits Modul Mtriks SMA Negeri 6 Mlng By Drs. Pundjul Prijono 22

23 mk B disebut invers dri A dn A invers dri B. Kren invers mtriks A dilmbngkn dengn A mk berlku : A x A = A x A = I dimn I = mtriks Identits Diberikn mtriks A = dn B = ( diskusikn dengn temn-temn mu ) pkh B dlh invers mtriks A? Cr mencri invers mtriks berordo 2 x 2 dn invers mtriks berordo 3 x 3 dipprkn berikut ini.. Invers mtriks berordo 2x2 Jik A = b c d mk A = Dikethui mtriks A = Det (A) = (5x2) ( 3 x 3 ) = A = det (A) = d c tentukn A b ; syrt det (A) 2. Invers mtriks berordo 3x3 Jik B 3x3 mk B = det (B). Adj B; syrt det (B) B = , tentukn invers dri mtriks segitig tersebut. Untuk mencri determinn mtriks B, cr pling prktis dlh dengn metode kofktor dengn mengekspnsi bris yng memut nol terbnyk yitu bris ke-3, mk det (Q) = Q = b 3.k 3 b 32.k 32 +b 33.k 33 = + 6 (- ) = 24 dj (B) = = Modul Mtriks SMA Negeri 6 Mlng By Drs. Pundjul Prijono 23

24 mk Q = = Contoh Sol Apliksi Mtriks Dewi dn temn-temnny memesn 3 mngkok bkso dn 2 gels es jeruk di kntin sekolhny. Tk lm kemudin, dtng Doni dn temn-temnny memesn 5 mngkok bkso dn 3 gels es jeruk. Dewi memint Amir, untuk menentukn hrg bkso per mngkok dn hrg es jeruk per gels jik Dewi hrus membyr Rp. 7, untuk semu pesnnny, dn Doni hrus membyr Rp..5, untuk semu pesnnny itu. Mk berpkh hrg bkso per mngkok dn es jeruk per gelsny? Petunjuk : Butlh sistem persmn linerny llu selesikn dengn mtriks. Jwb : Mislkn x = hrg bkso per mngkok y = hrg es jeruk per gels Sistem persmn linerny : 3x + 2y = 7 5x + 3y = 5 Dlm bentuk mtriks dlh sebgi berikut : x y = 7 5 Atu A.x = B mk x = A. B A = x y = = = 2 5 Hrg bkso Rp. 2, per mngkok dn hrg es jeruk Rp. 5, per gels. Contoh penyelesin pliksi mtriks pd sol-sol di ts buknlh stu-stuny cr. Sisw hendkny diperbolehkn mencri penyelesin lin selm penyelesin dibut dengn logis dn mengikuti kidh ljbr mtriks sert memperoleh hsil sm. Untuk thp selnjutny kepd sisw dpt dijrkn tentng persmn dn pertidksmn, bik yng liner tu kudrt, jug relsi dn fungsi. Penyelesin Sistem Persmn Linier Tig Vribel (Aturn Crmer) x by cz p dx ey fz q gx hy iz r ditentukn oleh Dx Dy Dz x, y, z D D D untuk D, dengn b c D d e f, g h i p b c Dx q e f, r h i p c Dy d q f, g r i b p Dz d e q g h r Modul Mtriks SMA Negeri 6 Mlng By Drs. Pundjul Prijono 24

25 Kegitn Modul Tunjukn bhw mtriks A idempoten jik A= Perikslh pkh mtriks A dn B berikut ekuivlen 3 2. A= dn B= b. A= dn B= Dikethui Mtriks B diperoleh dri A dengn sederetn trnsformsi elementer H 2, H 3 (), K 3, K 2 (2). Crilh B 4. Dikethui sistem persmn liner sbb 3x + 2y + 3z = x + 2y + z = 2x y + 2z + 3 = Tentukn nili dri y + z x dengn turn Crmer Jik nd sudh menyelesikn kegitn 6 cocokkn jwbn nd pd kunci jwbn yng berd dibelkng modul ini. Setelh nd cocokkn berilh nili kegitn nd didlm mengerjkn kegitn 6 Jik nili perolehn < 75, rtiny nd belum phm tentng invers mtriks, mk nd hrus mengulng kembli membc dn memhmi konsep tentng invers mtriks. Jik nili perolehn 75 mk nd boleh mempersipkn untuk Tes Akhir Modul. Modul Mtriks SMA Negeri 6 Mlng By Drs. Pundjul Prijono 25