BAB II LANDASAN TEORI. himpunan bilangan bulat dan diberi simbol dengan hurup besar B. Anggota
|
|
|
- Widyawati Utami Tanuwidjaja
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BB II LNDSN EORI. Bilngn Bult Himpunn bilngn bilngn {..,-,-,-,,,,,..} disebut himpunn bilngn bult dn diberi simbol dengn hurup besr B. nggot nggot dri {-,-,-,..} disebut bilngn bilngn bult negtif. Definisi II.. Sistem bilngn bult terdiri ts himpunn B {...,,,,,,,,... } dengn opersi biner penjumlhn ( ) perklin ( ) untuk, b, c bilngn bilngn bult sebrng. Memenuhi sift sift :. Sift tertutup terhdp penjumlhn. Jik b B. Sift tertutup terhdp perklin. Jik b B. Sift komuttif penjumlhn, b b. Sift komuttif perklin, b b, mk ( b) B, mk ( b) B. Sift ssositif penjumlhn, ( b) c ( b c). Sift ssositif perklin, ( b) c ( b c) 7. Sift distributif kiri perklin terhdp penjumlhn, ( b c) ( b) ( c) dn 8. Sift distributif knn perklin terhdp penjumlhn, ( b) c ( c) ( b c) pliksi Kriptogrfi Hill Cipher..., Lilis Dwi Hendrwti, FKIP UMP,
2 9. Jik bilngn bult mk ( ) ( ), ( ) disebut lwn ( invers ) penjumlhn dri. Hl ini menytkn bhw untuk setip bilngn bult d dengn tunggl bilngn bult ( ) sedemikin hingg ( ) ( ). Untuk setip, d dengn tunggl elemen dlm B sehingg, disebut elemen identits penjumlhn.. Untuk setip, d dengn tunggl elemen dlm B sehingg B. Mtriks, disebut elemen identits perklin. Definisi II.B. ( li, : 8 ) Mtriks dlh sutu susunn elemen-elemen tu entri-entri yng ditur dlm bentuk bris dn kolom. Susunn elemen ini diletkkn dlm tnd kurung bis ( ), tu kurung siku [ ]. Elemen-elemen tu entri-entri tersebut dpt berup bilngn tu berup huruf. Mtriks dinotsikn dengn huruf kpitl seperti, B, C dn seterusny. Sedngkn elemenny, jik berup huruf, mk ditulis dengn huruf kecil.. m. m. m n n. mn Mtriks ], dengn i dn j merupkn bilngn sli yng [ ij menunjukn bris ke-i dn kolom ke-j. pliksi Kriptogrfi Hill Cipher..., Lilis Dwi Hendrwti, FKIP UMP,
3 . Mcm mcm mtriks. Mtriks persegi, ilh sutu mtriks yng memiliki bris dn kolom yng sm bnykny ( m n ) Contoh II.B. : Mtriks persegi m n 7 7 b. Mtriks digonl, ilh sutu mtriks persegi dimn semu elemen di lur digonl utm mempunyi nili dn pling tidk stu elemen pd digonl utm, bisny diberi simbol D. Contoh II.B. : D c. Mtriks identits, ilh sutu mtriks persegi dimn elemen elemenny mempunyi nili pd digonl utm dn pd tempt tempt lin di lur digonl utm. Contoh II.B. : E d. Mtriks sklr, ilh sutu bilngn konstn. Jik k sutu bilngn konstn, mk hsil kli k.i dinmkn mtriks sklr. pliksi Kriptogrfi Hill Cipher..., Lilis Dwi Hendrwti, FKIP UMP,
4 7 Contoh II.B. : k. I k k k k e. Mtriks segi tig ts, ilh mtriks persegi dimn elemen elemen yng terletk di bwh digonl utm semuny nol, tu mtriks [ ij ] disebut mtriks segi tig ts jik untuk i > j. Contoh II.B.: ij f. Mtriks segi tig bwh, ilh mtriks persegi dimn elemen elemen yng terletk di ts digonl utm semuny nol, tu mtriks ] disebut mtriks segi tig bwh jik untuk i < j. Contoh II.B. : [ ij ij g. Mtriks rnspose Misl [ ij ] berukurn ( m n ) mk trnspose dri dlh mtriks berukurn ( n m ) mk [ ji ]. pliksi Kriptogrfi Hill Cipher..., Lilis Dwi Hendrwti, FKIP UMP,
5 8 Contoh II.B.7 : mk Beberp sift mtriks trnspose :. ( B ) B b. ( ) c. ( ) () d. ( B ) B h. Mtriks Simetris, ilh mtriks yng trnsposeny sm dengn diriny sendiri, dengn perktn lin bil tu ij ji Contoh II.B.8 : mk, i. Mtriks Orthogonl Definisi II.B. ( Howrd, 98 : ) Mtriks dlh sebuh mtriks persegi n n dengn sift I tu diktkn mtriks orthogonl. pliksi Kriptogrfi Hill Cipher..., Lilis Dwi Hendrwti, FKIP UMP,
6 9 Contoh II.B.9 : mk sehingg I. Rnk Mtriks Definisi II.C. ( Howrd, 98 : 7 ) Dimensi rung bris dn rung kolom dri sebuh mtriks dinmkn rnk dri, ditulis rnk() Contoh II.B. : Diberikn mtriks dengn serngkin opersi bris elementer ( OBE ), dpt ditentukn rnk(), yitu : b b b b b b Dri lngkh tersebut, terliht bhw bnykny bris yng tknol pd mtriks terkhir dlh, mk rnk() pliksi Kriptogrfi Hill Cipher..., Lilis Dwi Hendrwti, FKIP UMP,
7 Definisi II.B. Diberikn mtriks berukurn m n, mtriks diktkn mempunyi rnk kolom penuh ( full column rnk ) jik rnk() n dn mempunyi rnk bris penuh ( full row rnk ) jik rnk() m Contoh II.B. :. Diberikn mtriks dengn menggunkn opersi bris elementer, didpt : rnk() dn rnk() sesui dengn bnykny kolom pd mtriks ( rnk() n ), mk mtriks mempunyi rnk kolom penuh. b. Diberikn mtriks B dengn menggunkn opersi bris elementer, didpt : B rnk(b) dn rnk(b) sesui dengn bnykny bris pd mtriks B ( rnk(b) m ), mk mtriks B mempunyi rnk bris penuh. pliksi Kriptogrfi Hill Cipher..., Lilis Dwi Hendrwti, FKIP UMP,
8 . Opersi mtriks. Opersi Penjumlhn Definisi II.B. ( Howrd, 98 : 7 ) Jik dn B dlh sebrng du mtriks yng ukurnny sm, mk jumlh B dlh mtriks yng didptkn dengn menmbhkn bersm sm entri yng bersngkutn di dlm kedu mtriks tersebut. Mtriks mtriks yng ukurnny berbed tidk dpt dijumlhkn. Contoh II.C. : Diberikn mtriks : B C 8 mk B 9 sedngkn C dn B C tidk didefinisikn kren mtriks C ukurnny berbed dengn mtriks dn mtriks B. b. Opersi Perklin Definisi II.B. ( Howrd, 98 : 8 ) Jik dlh sebuh mtriks m r dn B dlh mtriks r n, mk hsil kli B dlh mtriks m n yng entri entriny ditentukn sebgi berikut. Untuk mencri entri di dlm bris i dn kolom j dri B, mk pilihlh bris i dri mtriks dn kolom j dri mtriks B. Kliknlh entri entri yng bersngkutn dri bris dn pliksi Kriptogrfi Hill Cipher..., Lilis Dwi Hendrwti, FKIP UMP,
9 kolom tersebut bersm sm dn kemudin tmbhknlh hsil perklin yng dihsilkn. Contoh II.B. : Diberikn mtriks : B 7 mk B 8 7 Sift II.B. ( Howrd, 98 : ) Secr umum perklin mtriks tidk bersift komuttif, yitu tidk sellu berlku B B Contoh II.B. : Diberikn mtriks dn mtriks B dengn mengliknny mk kn memberikn : B 9 B 7 jdi B B pliksi Kriptogrfi Hill Cipher..., Lilis Dwi Hendrwti, FKIP UMP,
10 Definisi II.B. ( Howrd, 98 : 7 ) Jik dlh sutu mtriks dn k dlh sutu sklr, mk hsil kli ( product ) k dlh mtriks yng diperoleh dengn menglikn msing msing entri dri oleh k. Contoh II.B. : Diberikn mk 8 dengn k Penjumlhn du mtriks, perklin sklr dn perklin du mtriks, memenuhi sift sebgi berikut : ). B B ( Sift komuttif pd penjumlhn ) ). ( B C) ( B) C ( Sift sositif pd penjumlhn ) ). ( BC) ( B)C ( Sift sositif pd perklin ) ). ( B C) B C ( Sift distributif ) ). ( B C) B C ( Sift distributif ) ). ( B C) B C 7). ( B C) B C 8). k ( B C) kb kc 9). k( B C) kb kc ). ( k l) C kc lc pliksi Kriptogrfi Hill Cipher..., Lilis Dwi Hendrwti, FKIP UMP,
11 ). ( k l) C kc lc ). ( kl ) C k( lc) ). k ( BC) ( kb) C B(kC) k, l dlh sklr C. Fungsi Determinn Definisi II.C. ( Howrd, 98: 7 ) Diberikn dlh mtriks persegi n n. Fungsi determinn dinytkn oleh det( ), dn det( ) didefinisikn sebgi jumlh semu hsil kli elementer bertnd dri. Jumlh det( ) dinmkn determinn. Contoh II.C. : det Selnjutny kn diperlihtkn hubungn dri invers mtriks dengn determinn mtriks. Definisi II.C. ( Howrd, 98 : 8 ) Jik dlh mtriks persegi, mk minor entri ij dinytkn oleh dn didefinisikn sebgi determinn submtriks setelh bris ke i dn i j kolom ke j dihilngkn dri. Bilngn ( ) M ij dinmkn kofktor entri ij. Contoh II.C. : M ij dinytkn oleh C ij dn Diberikn 8 pliksi Kriptogrfi Hill Cipher..., Lilis Dwi Hendrwti, FKIP UMP,
12 Minor entri dlh : 8 8 M Kofktor dlh : ( ) M M C Demikin jug, minor entri dlh : 8 M Kofktor dlh : ( ) M M C Determinn dri mtriks dpt dihitung dengn menglikn entri entri dlm bris pertm dengn kofktor kofktorny dn menmbhkn hsil kliny. Metode menghitung det( ) ini dinmkn ekspnsi kofktor sepnjng bris pertm. Contoh II.C. : Diberikn mtriks mk ( ) det pliksi Kriptogrfi Hill Cipher..., Lilis Dwi Hendrwti, FKIP UMP,
13 ( ) ( ) Definisi II.C. (Howrd, 98:88) mrtiks Jik dlh sebrng mtriks n n dn C ij dlh kofktor ij, mk C C... Cn C C... C n C n C n... Cnn Dinmkn mtriks kofktor. rnspose mtriks ini dinmkn djoint dri dn dinytkn dengn dj ( ). Contoh II.C. : Diberikn Sehingg mtriks kofktor dlh : dn djoint dlh dj ( ) pliksi Kriptogrfi Hill Cipher..., Lilis Dwi Hendrwti, FKIP UMP,
14 7 D. Invers Mtriks Definisi II.D. ( Howrd, 98 : 8 ) Jik dlh mtriks persegi, dn jik dpt dicri mtriks B sehingg B B I, mk diktkn dpt diblik ( invertible ) dn B dinmkn invers ( inverse ) dri. eorem II.D. ( Howrd, 98 : 9 ) Bukti : Jik B dn C keduny dlh invers dri mtriks, mk B C. Kren B dlh invers, mk B I. Dengn menglikn kedu rus dri sebelh knn dengn C mk kn memberikn ( B ) C IC C ( B ) C B( C) BI B, sehingg B C Metode / cr mencri invers mtriks :. Metode djoint Lngkh lngkhny dlh :. Menentukn nili determinn dri mtriks b. Menentukn djoint mtriks c. Menglikn djoint mtriks dengn keblikn determinn. etpi det ( ) dj ( ) Contoh II.D. : Diberikn mtriks C pliksi Kriptogrfi Hill Cipher..., Lilis Dwi Hendrwti, FKIP UMP,
15 8 dj (C) ( ) C det Jdi C - / / / / / 7 /. Metode rnsformsi Elementer bris Diberikn n n, dn merupkn mtriks non singulr ( ( ) det ) mk [ ] [ ] I I Contoh II.D. : Diberikn mtriks [ ] b b I b b b b [ ] I Jdi pliksi Kriptogrfi Hill Cipher..., Lilis Dwi Hendrwti, FKIP UMP,
16 9 E. Kombinsi Linier Definisi II.E. ( Howrd, 98 : 8 ) Sebuh vektor w dinmkn kombinsi linier dri vektor vektor v, v,... jik vektor tersebut dpt diungkpkn dlm bentuk : v r w k v k v... k v r r dimn k,...,, k kr dlh sklr. Contoh II.E.: Dimbil vektor v (,, ) dn v (,,) didlm R, kn dinytkn bhw w (9,,7) dlh kombinsi linier dri v dn v. Supy w merupkn kombinsi linier dri v dn v, mk hrus d sklr k dn k sehingg diperoleh tu rtiny w k v kv (,,7) k (,, ) (,,) 9 k ( 9,,7) ( k k,k k, k k ) k k k k k k 9 7 pliksi Kriptogrfi Hill Cipher..., Lilis Dwi Hendrwti, FKIP UMP,
17 tu dpt dituliskn : 9 7 k k dengn menyelesikn persmn dits diperoleh k, k Jdi w v v F. Dekomposisi Nili Singulr Sebelum dekomposisi nili singulr, terlebih dhulu dibhs mengeni nili eigen dn vektor eigen. Berikut ini definisi dri vektor eigen dn nili eigen. Definisi II.F. ( Howrd, 98 : 79 ) Jik dlh mtriks persegi n n, mk vektor tk nol x didlm dinmkn vektor eigen dri jik x dlh keliptn sklr dri x, yitu x x untuk sutu sklr. Sklr dinmkn nili eigen dri dn x diktkn vektor eigen yng bersesuin dengn Mencri nili eigen : menyelesikn persmn krkteristik det ( I ) sehingg didpt kr kr persmnny. Mencri vektor eigen : menentukn bsis untuk rung solusi ( I) x untuk yng bersesuin. Contoh II.F. : n R pliksi Kriptogrfi Hill Cipher..., Lilis Dwi Hendrwti, FKIP UMP,
18 Persmn krkteristikny : ( )( ) det det I ( )( ) ( )( ) Nili eigenny dlh dn Vektor eigen yng bersesuin dengn, mislkn y x v y x y x Sehingg x y tu -x y x y x y, misl α y mk α α α v Jdi vektor merupkn vektor eigen yng bersesuin dengn nili eigen Definisi II.F. ( NN, 7 : ) Diberikn mtriks n m, dengn rnk() r, nili eigen dri mtriks dlh : > n r r pliksi Kriptogrfi Hill Cipher..., Lilis Dwi Hendrwti, FKIP UMP,
19 dengn σ, dn i,,,...,n disebut nili singulr dri mtriks. i i Contoh II.G. : entukn nili singulr dri mtriks Nili eigen dri dlh ±, sehingg nili singulr dri dlh dn Definisi II.F. ( NN, 7 : ) Diberikn mtriks berukurn singulr mtriks jik d vektor tk nol sehingg v σ u dn u σ v m n, bilngn positif σ diktkn nili m u R dn n v R, sedemikin Dri pengertin nili eigen dn nili singulr mtriks, dpt dinytkn hubungn bhw jik singulr mtriks. nili eigen mtriks mk merupkn nili Definisi II.F. ( Howrd, 98 : 9 ) Sebuh himpunn dri vektor vektor di dlm sebuh rung perklin dlm dinmkn himpunn orthogonl jik semu psngn vektor vektor yng berbed di dlm himpunn tersebut orthogonl. Sebuh himpunn orthogonl dimn setip vektor mempunyi norm / jrk sm dengn dinmkn ortonorml. pliksi Kriptogrfi Hill Cipher..., Lilis Dwi Hendrwti, FKIP UMP,
20 eorem II.F. ( Dtt dlm riynti, 8 : ) Jik diberikn mtriks berukurn m n dengn rnk r, mk terdpt mtriks orthogonl U m n dn m n V sedemikin sehingg USV dengn S dlh mtriks S dig m n dengn bentuk ( ) dig( σ, σ,..., σ,,...,), r Dengn σ, σ,..., σ r dlh nili nili singulr dri. Bukti : Dpt ditunjukn bhw dn dlh mtriks simetri. Oleh kren itu nili eigen tk nolny dlh positif dn sm sert kr positif dri nili eigen didefinisikn sebgi nili singulr mtriks. Diberikn : [ v v v v v v ] V r r n dlh mtriks n n yng kolomny dlh vektor vektor orthonorml. Mislkn rnk() r, bis disumsikn r kolom pertm dri V dlh vektor eigen yng bersesuin dengn nili eigen dri, yitu vi σ i vi, untuk i,,,..., r. Sisny, n r kolom dlm V dlh vektor vektor eigen dri berkorespondensi dengn nili eigen nolny. Kren kolom dri V orthonorml, mk V mtriks yng orthogonl. Dri sini terbentuk mtriks V dengn elemen elemen yng terdefinisi. Selnjutny didefinisikn U sebgi berikut : untuk i,,...,r dibentuk u i ( σ i ) vi dimn himpunn { u u,..., }, u r dlh orthonorml. Sebnyk r vektor orthonorml ini membentuk r kolom pertm dri U. pliksi Kriptogrfi Hill Cipher..., Lilis Dwi Hendrwti, FKIP UMP,
21 Selnjutny diperlihtkn : [ ] n r r v v v v U V U [ ] [ ] [ ] [ ] S e e u U u U u u U v v v v U r r r r r r n r r σ σ σ σ σ σ Contoh II.F. : entukn dekomposisi nili singulr mtriks, nili eigen dri mtriks ini dlh,, msing msing berkorespondensi dengn vektor eigen v dn v, himpunn vektor vektor eigen tersebut orthonorml. Sehingg dpt dibentuk mtriks orthogonl V : [ ] v v V Kemudin mtriks U dibentuk dri vektor eigen i i u i v σ, yitu u, dn u pliksi Kriptogrfi Hill Cipher..., Lilis Dwi Hendrwti, FKIP UMP,
22 sehingg bentuk mtriks orthogonl U dlh : [ ] u u U Mtriks singulr S Dekomposisi nili singulr : U S V G. Pseudoinvers ( Invers semu sutu mtriks n m ) Definisi II.G. ( Boullion dn Odell, 97 : ) Diberikn mtriks berukurn n m, sebuh mtriks berukurn m n diktkn sebgi pseudoinvers dri mtriks jik dn hny jik memenuhi sift sift berikut :... ( ). ( ) eorem II.G. Untuk sebuh mtriks n m, terdpt dengn tunggl mtriks n m pliksi Kriptogrfi Hill Cipher..., Lilis Dwi Hendrwti, FKIP UMP,
23 Bukti : kn dibuktikn sift ketunggln dri invers semu sutu mtriks Misl # dlh sebrng mtriks yng memenuhi sift smpi sift smpi pd Definisi II.G. Dri Definisi II.G.. ( ) # # Dri persmn ini, dn kren mtriks mtriks menurut Definisi II.G.. dn # simetri, # # ( ) # # # ( )( ) ( ) ( ) ( # ) Dengn cr yng sm, #. Dengn menglikn # dri kiri dengn # dn menurut Definisi II.G.. mk diperoleh # # # tu # #. Selnjutny, dengn menglikn # dri knn dengn diperoleh #. Hl ini membuktikn, #, rtiny tunggl Selnjutny, dibuktikn eksistensi mtriks invers semu dri. Menurut eorem II.F., untuk setip mtriks terdpt mtriks-mtriks m n orhogonl U, V dn mtriks S sedemikin sehingg USV dengn S dig ( ) dig( σ, σ,..., σ,,...,), r pliksi Kriptogrfi Hill Cipher..., Lilis Dwi Hendrwti, FKIP UMP,
24 7 didefinisikn : S (,) dig( σ, σ,..., σ,,...,) dig r kibtny, (USV ) VS U. Dibuktikn, VS U memenuhi keempt sift pd Definisi II.G. Sift sift :. VS U VS U VS U USV VS U VS SS U VS U. VS U USV VS U USV USS SV USV ; dengn mengingt sift SS.. Dengn menggunkn (S S) S S dn VS U USV VS SV, ( ) (VS U USV ) (VS SV ) V(S S) V VS SV. Dengn menggunkn (SS ) SS dn USS U ( ) (USV VS U ) (USS U ) U(SS ) U USS U Mtriks ini disebut p-invers dri, yng merupkn singktn dri pseudo-inverse dn dirtikn sebgi invers semu dri. pliksi Kriptogrfi Hill Cipher..., Lilis Dwi Hendrwti, FKIP UMP,
25 8 Lemm II.G. Diberikn C mtriks ts bilngn rel.. Jik C mtriks dengn rnk bris penuh ( jik m < n dn rnk (C) m), CC non singulr, mk C (CC ) - dlh invers semu knn dri C.. Jik C mtriks dengn rnk kolom penuh ( jik m > n dn rnk(c) n), C C non singulr, mk (C C) - C dlh invers semu kiri dri C. Bukti :. X C (CC ) - dlh invers semu dri C, sebb : CXC XCX (XC) C C (CC ) - C C C (CC ) - CC (CC ) - C (CC ) - X (C (CC ) - C) C ((CC ) - ) C C (( CC ) ) - C C (CC ) - C XC (CX) ( CC (CC ) - ) ((CC ) - ) CC ((CC ) ) - CC (CC ) - CC pliksi Kriptogrfi Hill Cipher..., Lilis Dwi Hendrwti, FKIP UMP,
26 9 CC (CC ) - CX Dengn demikin X dlh invers semu dri C tu C (CC ) - C.. X (C C) - C dlh invers semu dri C, sebb : CXC XCX (XC) C(C C) - C C C ((C C) - C C(C C) - C (C C) - C X (C C) - C C) C ((C C) - C ) C C((C C) - ) C C((C C) ) - C C(C C) - (C C) - C C XC (CX) (C(C C) - C ) ((C C) - C ) C C((C C) - ) C C((C C) ) - C C(C C) - C CX pliksi Kriptogrfi Hill Cipher..., Lilis Dwi Hendrwti, FKIP UMP,
27 Dengn demikin X dlh invers semu dri C tu (C C) - C C. Contoh II.G. : entukn pseudoinvers ( invers semu ) dri mtriks :. mtriks memiliki rnk bris penuh dn m, n ( ) n m <, mk menggunkn invers semu knn ( ) ( ) mk ( ) pliksi Kriptogrfi Hill Cipher..., Lilis Dwi Hendrwti, FKIP UMP,
28 . B mtriks B memiliki rnk kolom penuh dn m, menggunkn invers semu kiri n ( m > n), mk B ( B B) B B B ( B B) mk B 7 7 H. Kekongruenn Definisi II.H. Jik m sutu bilngn bult positif mk kongruen dengn b modulo m ditulis b( mod m) bil dn hny bil m membgi ( b). Jik m tidk membgi ( b) mk diktkn bhw tidk kongruen dengn b modulo m ( ditulis b(mod m) ) Definisi II.H. tersebut dpt ditulis bhw jik > dn hny bil b( mod m). ( b) m mk ( b) m bil m berrti d bilngn bult k sehingg pliksi Kriptogrfi Hill Cipher..., Lilis Dwi Hendrwti, FKIP UMP,
29 ( b) mk, kren ( b) mk sehingg b( mod m) Contoh II.H. : mk sm rtiny dengn mk b, bil dn hny bil mk b. ( mod ) sebb membgi ( ). ( mod) sebb tidk membgi ( ). eorem II.H. Jik bilngn bult dn m,b bilngn bult positif, mk ( mod m) b bil dn hny bil d bilngn bult k sehingg mk b. Bukti : Dikethui dn b bilngn bilngn bult dn m >, ( ) Berdsrkn Definisi II.H., b( mod m) ini berrti m ( b), kren ( b) mk mk sm rtiny dengn. ( ) mk b dengn b < m mk b dpt dinytkn sebgi ( b) mk, ini berrti ( b) dengn b( mod m) Contoh II.H. :. ( mod) sm rtiny dengn. m, mk sm rtiny I. Kriptogrfi Kriptogrfi bersl dri bhs yunni cryptos rtiny rhsi, sedngkn grphein rtiny tulisn. Jdi secr morfologi kriptogrfi berrti tulisn rhsi. d beberp definisi kriptogrfi yng telh dikemukkn di dlm berbgi litertur. Definisi yng kit pki dlm penelitin ini : Kriptogrfi pliksi Kriptogrfi Hill Cipher..., Lilis Dwi Hendrwti, FKIP UMP,
30 dlh ilmu dn seni untuk menjg kemnn pesn. Kt seni di dlm definisi di ts bersl dri fkt sejrh bhw pd ms ms wl sejrh kriptogrfi, setip orng mungkin mempunyi cr yng unik untuk merhsikn pesn. Pd perkembngn selnjutny, kriptogrfi berkembng menjdi sebuh disiplin ilmu sendiri kren teknik teknik kriptogrfi dpt diformulsikn secr mtemtik sehingg menjdi sebuh metode yng forml.. Prinsip Kerj Kriptogrfi Pembhsn penulisn pd kriptogrfi dpt ditulis dlm bhs mtemtik. Fungsi fungsi yng mendsr dlm kriptogrfi dlh enkripsi dn deskripsi. Enkripsi dlh proses mengubh sutu pesn sli ( plintext ) menjdi sutu pesn dlm bhs sndi ( ciphertext ). C P dimn P pesn sli kunci enkripsi C pesn dlm bhs sndi Sedngkn deskripsi dlh proses mengubh pesn dlm sutu bhs sndi menjdi pesn sli kembli. P kunci deskripsi C pliksi Kriptogrfi Hill Cipher..., Lilis Dwi Hendrwti, FKIP UMP,
31 Umumny, selin menggunkn fungsi tertentu dlm melkukn enkripsi dn deskripsi, seringkli fungsi itu diberi prmeter tmbhn yng disebut dengn istilh kunci.. Jenis jenis Kunci Jenis kunci dlm kriptogrfi terbgi menjdi, yitu kunci simetris dn kunci simetris. ). Kunci Simetris Ini dlh jenis kriptogrfi yng pling umum dipergunkn. Kunci untuk membut pesn yng disndikn sm dengn kunci untuk membuk pesn yng disndikn itu. Jdi pembut pesn dn penerimny hrus memiliki kunci yng sm persis. Sippun yng memiliki kunci tersebut, termsuk pihk pihk yng diinginkn, dpt membut dn membongkr rhsi ciphertext. Problem yng pling jels disini terkdng buknlh mslh pengirimn ciphertextny, melinkn mslh bgimn menympikn kunci simetris tersebut kepd pihk yng diinginkn. b). Kunci simetris Kunci simetris dlh psngn kunci kunci kriptogrfi yng slh stuny dipergunkn untuk proses enkripsi dn untuk deskripsi. Semu orng yng mendptkn kunci publik dpt menggunknny untuk mengenkripsikn stu pesn, sedngkn hny stu orng sj yng memiliki rhsi tertentu, dlm hl ini kunci privt, untuk melkukn pembongkrn terhdp sndi yng dikirim untukny. pliksi Kriptogrfi Hill Cipher..., Lilis Dwi Hendrwti, FKIP UMP,
32 Dengn cr seperti ini, jik seorng pihk pertm mengirim pesn untuk pihk kedu, pihk pertm tersebut dpt mers ykin bhw pesn tersebut hny dpt dibc oleh pihk yng bersngkutn, kren hny di yng bis melkukn deskripsi dengn kunci privtny. entuny si pihk pertm hrus memiliki kunci publik milik pihk kedu untuk melkukn enkripsi. Pihk pertm bis mendptknny dri pihk yng bersngkutn, tupun dri pihk ketig yng dipercy.. Hill Cipher Hill Cipher termsuk dlm slh stu kriptosistem polilfbetik, rtiny setip krkter lfbet bis dipetkn ke lebih dri stu mcm krkter lfbet. Hill Cipher ditemukn pd thun 99 oleh Lester S. Hill. Hill Cipher ini menggunkn mtriks persegi sebgi kunciny. Secr singkt, Hill Cipher dpt dijelskn sebgi berikut. Mislkn n dlh bilngn bult positif, didefinisikn ( ) n P C Z dengn P dlh himpunn plintext dn C dlh himpunn ciphertext. Ide dri Hill Cipher dlh untuk membut n kombinsi linier dri n krkter lfbet di dlm stu elemen plintext, sehingg menghsilkn n krkter lfbet sebgi elemen dri ciphertext. Mislkn n, mk dpt dituliskn elemen elemen plintext dlm bentuk x ( x x ) dn elemen elemen ciphertext sebgi pliksi Kriptogrfi Hill Cipher..., Lilis Dwi Hendrwti, FKIP UMP,
33 y ( y y ). Dlm hl ini, y dn y dlh kombinsi linier dri x dn x. Contoh II.I. : Diberikn : y y x 8x x 7x Kombinsi linier dits dpt dituliskn dlm notsi mtriks sebgi berikut : y y 8 x 7 x ( riyus, : 7 ) pliksi Kriptogrfi Hill Cipher..., Lilis Dwi Hendrwti, FKIP UMP,
M A T R I K S. Oleh: Dimas Rahadian AM, S.TP. M.Sc.
M T R I K S Oleh Dims Rhdin M, S.TP. M.Sc Emil rhdindims@yhoo.com JURUSN ILMU DN TEKNOLOGI PNGN UNIVERSITS SEBELS MRET SURKRT DEFINISI... Mtriks dlh susunn bilngn berbentuk jjrn segi empt siku-siku yng
BAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Bb berikut ini kn disjikn mteri pendukung yng dpt membntu penulis untuk menyelesikn permslhn yng kn dibhs pd bb selnjutny. Adpun mteri pendukungny dlh pengertin mtriks, jenis-jenis
Bab a. maka notasi determinan dari matriks A ditulis : det (A) atau. atau A.
Bb DETERMINAN MATRIKS Determinn sutu mtriks dlh sutu fungsi sklr dengn domin mtriks bujur sngkr. Dengn kt lin, determinn merupkn pemetn dengn domin berup mtriks bujur sngkr, sementr kodomin berup sutu
DETERMINAN. Misalkan A adalah suatu matriks persegi. a) Jika A memiliki satu baris atau satu kolom bilangan nol, maka det(a) = 0.
DETERMINAN Fungsi determinn dri sutu mtriks persegi A (dinotsikn dengn det(a) tu A ) didefinisikn sebgi jumlh dri semu hsil kli elementer bertnd dri A. Sementr, ngk tu bilngn dri det(a) disebut determinn
BAB 10. MATRIKS DAN DETERMINAN
Dessy Dwiynti, S.Si, MBA Mtemtik Ekonomi 1 BAB 10. MATRIKS DAN DETERMINAN 1. Pengertin mtriks Mtriks kumpuln bilngn yng disjikn secr tertur dlm bris dn kolom yng membentuk sutu persegi pnjng, sert termut
3.1 Permutasi. Secara umum, bilangan-bilangan pada {1, 2,, n} akan mempunyai n! permutasi
BB Determinn . Permutsi Definisi Permutsi: (i) Sutu permutsi dri bilngn-bilngn bult {,,,, n} dlh penyusunn bilngn-bilngn tersebut dengn urutn tnp pengulngn. (ii) Brisn bilngn ( j, j,.., j n ) dimn j i
Kerjakan di buku tugas. Tentukan hasil operasi berikut. a. A 2 d. (A B) (A + B) b. B 2 e. A (B + B t ) c. A B f. A t (A t + B t ) Tes Mandiri
Mmt Apliksi SMA Bhs Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut A c A A b A A d A Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut (A + B) c (B A) b A + AB + B d B BA + A Sol Terbuk Kerjkn di buku tugs Jik X = dn
MATRIKS. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
MTRIKS gustin Prdjningsih, M.Si. Jurusn Mtemtik FMIP UNEJ tinprdj.mth@gmil.com DEFINISI MTRIKS Sutu dftr bilngn-bilngn rel tu kompleks terdiri ts m bris dn n kolom, m dn n bilngn bult positip disebut mtriks
Aljabar Linear Elementer
ljbr Liner Elementer M SKS Silbus : Bb I Mtriks dn Opersiny Bb II Determinn Mtriks Bb III Sistem Persmn Liner Bb IV Vektor di Bidng dn di Rung Bb V Rung Vektor Bb VI Rung Hsil Kli Dlm Bb VII Trnsformsi
SISTEM BILANGAN REAL. 1. Sifat Aljabar Bilangan Real
SISTEM BILANGAN REAL Dlm terminologi Aljbr Abstrk, sistem bilngn rel disebut dengn field (lpngn) pd opersi penjumlhn dn perklin. Sutu opersi biner bis ditulis dengn sutu psngn terurut (, b) yng unik dri
Aljabar Linear Elementer
ljbr Liner Elementer M3 3 SKS Silbus : Bb I Mtriks dn Opersiny Bb II Determinn Mtriks Bb III Sistem Persmn Liner Bb IV Vektor di Bidng dn di Rung Bb V Rung Vektor Bb VI Rung Hsil Kli Dlm Bb VII Trnsformsi
PERTEMUAN - 1 JENIS DAN OPERASI MATRIKS
PERTEMUN - JENIS DN OPERSI MTRIKS Pengertin Mtriks : merupkn sutu lt tu srn yng sngt mpuh untuk menyelesikn model-model liner. Definisi : Mtriks dlh susunn empt persegi pnjng tu bujur sngkr dri bilngn-bilngn
Minggu ke 3 : Lanjutan Matriks
inggu ke : Lnjutn triks Pokok Bhsn Sub Pokok Bhsn Tujun Instruksionl Umum Tujun Instruksionl Khusus : triks :. Trnsformsi Elementer. Trnsformsi Elementer pd bris dn kolom. triks Ekivlen. Rnk triks B. Determinn.
Matriks. Pengertian. Lambang Matrik
triks Pengertin Definisi: trik dlh susunn bilngn tu fungsi yng diletkkn ts bris dn kolom sert dipit oleh du kurung siku. Bilngn tu fungsi tersebut disebut entri tu elemen mtrik. mbng mtrik dilmbngkn dengn
VEKTOR. Adri Priadana. ilkomadri.com
VEKTOR Adri Pridn ilkomdri.com Pengertin Dlm Fisik dikenl du buh besrn, yitu 1. Besrn Sklr. Besrn Vektor Pengertin Besrn Sklr dlh sutu besrn yng hny mempunyi nili dn dinytkn dengn sutu bilngn tunggl diserti
det DEFINISI Jika A 0 disebut matriks non singular
DETERINAN DEFINISI Untuk setip mtriks persegi (bujur sngkr), d stu bilngn tertentu yng disebut determinn Determinn dlh jumlh semu hsil kli elementer bertnd dri sutu mtriks bujur sngkr. Disimbolkn dengn:
BAB I. MATRIKS BAB II. DETERMINAN BAB III. INVERS MATRIKS BAB IV. PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN
DFTR ISI BB I. MTRIKS BB II. DETERMINN BB III. INVERS MTRIKS BB IV. PENYELESIN PERSMN LINER SIMULTN BB I. MTRIKS Mtriks erup sekelompok ilngn yng disusun empt persegi dn ditsi tnd terdiri dri ris dn kolom
BAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI. Mtriks Definisi. (Anton, Howrd. ). Mtriks dlh sutu susunn bilngn berbentuk segi empt. Bilngn-bilngn dlm susunn itu disebut nggot dlm mtriks tersebut. Ukurn (size) sutu mtriks dinytkn
Universitas Esa Unggul
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS BHAN KULIAH DRA SURYARI PURNAMA, MM Universits Es Unggul Minggu I Mtriks Pokok Bhsn Sub Pokok Bhsn Tujun Instruksionl Umum Tujun Instruksionl Khusus : Pendhulun Mtriks : A. Pengertin
Skew- Semifield dan Beberapa Sifatnya 1
Skew- Semifield dn Beberp Siftny K r y t i Jurusn Pendidikn Mtemtik Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm Universits Negeri Yogykrt E-mil: ytiuny@yhoo.com Abstrk Sutu field ( lpngn ) F dlh struktur ljbr
VEKTOR. 1. Pengertian Vektor adalah besaran yang memiliki besar (nilai) dan arah. Vektor merupakan sebuah ruas garis yang
VEKTOR 1. Pengertin Vektor dlh besrn yng memiliki besr (nili dn rh. Vektor merupkn sebuh rus gris yng P berrh dn memiliki pnjng. Pnjng rus gris tersebut dlh pnjng vektor. Rus gris dri titik P dn berujung
BAB III MATRIKS
BB III MTRIKS PENGERTIN MTRIKS Pengertin Mtriks Mtriks dlh susunn bilngn-bilngn ng berbentuk persegi tu persegi pnjng ng ditur dlm bris dn kolom Bentuk Umum Mtriks : i m i m i m j j j ij mj n n n in mn
A x = b apakah solusi x
MTRIKS INVERSI & SIFT-SIFTNY Bil, x, dlh sklr ilngn rel yng memenuhi x, mk x pil. Sekrng, untuk sistem persmn linier x pkh solusi x dpt diselesikn dengn x? Mtriks Identits Untuk sklr (rel numer dn ), mk.
DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS BLOK 2 2
Buletin Ilmih Mth. Stt. dn Terpnny (Bimster) Volume 06, No. 3(2017), hl 193 202. DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS BLOK 2 2 Ilhmsyh, Helmi, Frnsiskus Frn INTISARI Mtriks blok merupkn mtriks persegi yng diblok
MATRIKS Definisi: Matriks Susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Matriks ditulis sebagai berikut (1)...
MATRIKS Definisi: Mtriks Susunn persegi pnjng dri ilngn-ilngn yng ditur dlm ris dn kolom. Mtriks ditulis segi erikut ()... m... m... n... n......... mn Susunn dits diseut mtriks m x n kren memiliki m ris
Matriks yang mempunyai jumlah baris sama dengan jumlah kolomnya disebut matriks bujur sangkar (square matrix). contoh :
TRIKS. PENGERTIN triks dlh sutu deretn elemen yng mementuk empt persegi pnjng, terdiri dri m ris dn n kolom. Elemen terseut dpt erentuk koefisien, ilngn tu simul. triks yng mempunyi m ris dn n kolom diseut
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE)
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE) Mcm Mtriks Mtriks Nol () Mtriks yng semu entriny nol. Ex: Mtriks Identits (I) Mtriks persegi dengn entri pd digonl utmny dn pd tempt lin.
LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN
LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN RANGKUMAN MATERI Sebelum memsuki mteri, perhtikn himpunn-himpunn berikut: ) Himpunn bilngn sli:,,,4,5,.... b) Himpunn bilngn bult:...,,,0,,,.... p c) Himpunn bilngn rsionl:
A. PENGERTIAN B. DETERMINAN MATRIKS
ATRIKS A. PENGERTIAN triks dlh sutu deretn elemen yng mementuk empt persegi pnjng, terdiri dri m ris dn n kolom. Elemen terseut dpt erentuk koefisien, ilngn tu simul. triks yng mempunyi m ris dn n kolom
BAB ALJABAR MARIX Dlm pokok bhsn ini kn disjikn dsr-dsr opersi ljbr mtrix yng berhubungn dengn nlisis struktur dengn menggunkn metode mtrix kekkun (stiffness method)... Pengertin Mtrix Mtrix merupkn sutu
4. Perkalian Matriks. Riki 3 2 Fera 2 5. Data harga bolpoin dan buku (dinyatakan oleh matriks Q), yaitu
Sift-Sift Perklin Sklr Mislkn dn b sklr, D dn H mtriks sebrng dengn ordo sm, mk berlku sift-sift sebgi berikut. D + H (D + H) 2. D + bd ( + b)d 3. (bd) (b)d 4. Perklin Mtriks Du buh mtriks tu lebih selin
Catatan Kuliah 2 Matematika Ekonomi Memahami dan Menganalisa Aljabar Matriks (2)
Cttn Kulih Mtemtik Ekonomi Memhmi dn Mengnlis ljbr Mtriks (). Vektor dn kr Krkteristik pbil dlh mtriks berordo n n dn X dlh vector n, kn dicri sklr λ R yng memenuhi persmn : X λ X tu ( λi) X gr X (solusiny
1. Pengertian Matriks
BAB MATRIKS BAB MATRIKS. Pengertin Mtriks. Opersi Mtriks. Trnspose Sutu Mtriks. Kesmn Duh Buh Mtriks. Jenis-Jenis Mtriks. Trnsformsi Elementer 7. Rnk Mtriks . Pengertin Mtriks Mtriks dlh dftr ilngn yng
CONTOH SOLUSI BEBERAPA SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M. 3. Untuk k 2 didefinisikan bahwa a
CONTOH SOLUSI BEBERAPA SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M. Dikethui bhw,. Untuk k didefinisikn bhw k k k. Tentukn jumlh tk hingg dri. Kit mislkn S S. Dengn demikin kit dpt menuliskn Kedu
NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN
Pert 9 (mengjrkomputer.wordpress.com) NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN 9. Definisi Sebuh mtriks bujur sngkr dengn orde n n mislkn A, dn sebuh vektor kolom X. Vektor X dlh vektor dlm rung Euklidin n R yng dihubungkn
BAB I MATRIKS. Aljabar matriks merupakan salah satu cabang matematika yang. dikembangkan oleh seorang matematikawan Inggris Arthur Cayley ( ).
BAB I MATRIKS Aljbr mtriks merupkn slh stu cbng mtemtik yng dikembngkn oleh seorng mtemtikwn Inggris Arthur Cyley (8 89) Mtriks berkembng kren pernnny dlm cbng-cbng Mtemtik linny, mislny bidng ekonomi,
RUANG VEKTOR (lanjut..)
RUANG VEKTOR (Vector Spce) dn Rung Bgin (Subspce) 8/0/009 budi murtiys ums surkrt RUANG VEKTOR (VECTOR SPACE) Dikethui himpunn V dengn u, v, w V dn opersi i(+)b berlku dintr nggot-nggot t V. Dikethui Field
1) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persamaan kuadrat adalah seperti di bawah ini:
) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persmn kudrt dlh seperti di bwh ini: b c dengn, b, c bilngn dn riil Dimn, disebut sebgi koefisien dri b disebut sebgi koefisien dri c disebut
Topik: Matriks Dan Sistem Persamaan Linier
Mt Kulih: Mtemtik Kode: TKF Topik: Mtriks Dn Sistem Persmn Linier MAT Kompetensi : Dpt menerpkn konsep-konsep mtriks dn sistem persmn linier dlm mempeljri konsep-konsep keteknikn pd mt kulih mt kulih progrm
Vektor di R 2 dan R 3
Vektor di R dn R Pengertin Vektor dlh besrn yng mempunyi besr dn rh Vektor digmbrkn oleh rus gris yng dilengkpi dengn nk pnh vektor dimuli dri titik wl (initil point) dn dikhiri oleh titik khir (terminl
Bilangan. Bilangan Nol. Bilangan Bulat (Z )
Bilngn Bilngn Asli (N) (,2,, ) Bilngn Nol (0) Bilngn Negtif (,, 2, ) Bilngn Bult (Z ) Bilngn Pechn ( 2 ; 5 ; 5%; 6,82; ) 7 A. Bilngn Asli (N) Bilngn Asli dlh himpunn bilngn bult positif (nol tidk termsuk).
Matematika Lanjut 1. Onggo Wiryawan
Mtemtik Lnjut 1 Onggo Wirywn Setip mtriks persegi tu bujur sngkr memiliki nili determinn Nili determinn sklr Mtriks Singulr= Mtriks yng determinnny bernili 0 Determinn & Invers - Onggo Wr 2 Mislkn A sutu
ALJABAR LINIER _1 Matrik. Ira Prasetyaningrum
LJR LINIER _ Mtrik Ir Prsetyningrum DEFINISI MTRIKS pkh yng dimksud dengn Mtriks? kumpuln ilngn yng disjikn secr tertur dlm ris dn kolom yng mementuk sutu persegi pnjng, sert termut dintr sepsng tnd kurung.
Sistem Persamaan Linier
b I Sistem Persmn Linier I Sistem Persmn Linier TUJUN PEMELJRN: Mhsisw memhmi konsep-konsep tentng sistem persmn linier, eksistensi dn keunikn sistem persmn linier, keunikn sistem persmn linier homogen,
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 3 Sistem Persmn Liner Sistem Persmn Liner Su Pokok Bhsn Pendhulun Solusi SPL dengn OBE Solusi SPL dengn Invers mtriks dn Aturn Crmmer SPL Homogen Beerp Apliksi
Modul 1. Pendahuluan
Modul Pendhulun.. Pengertin Mtriks Definisi. (Pengertin Mtriks) Mtriks didefinisikn sebgi sutu susunn bilngn berbentuk segiempt. Bilngnbilngn yng terdpt dlm susunn itu disebut elemen mtriks tersebut. Secr
didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b
1 PENDAHULUAN 1.1 Sistem Bilngn Rel Untuk mempeljri klkulus perlu memhmi hsn tentng system ilngn rel, kren klkulus didsrkn pd system ilngn rel dn siftsiftny. Sistem ilngn yng pling sederhn dlh ilngn sli,
r x = 0. Koefisien-koefisien persamaan yang dihasilkan adalah analitik pada x = 0. Jadi dapat kita gunakan metode deret pangkat.
Husn Arifh,M.Sc : Persmn Legendre Emil : husnrifh@uny.c.id Persmn diferensil Legendre (1) 1 x 2 y 2xy + n n + 1 y = 0 Prmeter n pd (1) dlh bilngn rill yng diberikn. Setip penyelesin dri (1) dinmkn fungsi
Sistem Persamaan Linear Bagian 1
Sistem Persmn Liner Bgin. SISTEM PERSAMAAN LINEAR PENGANTAR Dlm bgin ini kn kit perkenlkn istilh dsr dn kit bhs sebuh metode untuk memechkn sistem-sistem persmn liner. Sebuh gris dlm bidng xy secr ljbr
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN MENGGUNAKAN DETERMINAN (ATURAN CRAMER)
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN MENGGUNAKAN DETERMINAN (ATURAN CRAMER) Dikethui system Persmn Linier x+ x + x = x+ x + x = x+ x + x = dlm entuk mtriks x x x Penyelesin Dengn Aturn Crmer dlh
Integral Tak Wajar. Ayundyah Kesumawati. March 25, Prodi Statistika FMIPA-UII
Kesumwti Prodi Sttistik FMIPA-UII Mrch 25, 205 Sutu integrl tertentu b f (x)dx () diktkn wjr jik i memenuhi du syrt berikut: i. Bts integrsi dn b merupkn bilngn berhingg ii. fungsi f (x) terbts pd intervl
Aljabar Linear. Pertemuan 12_14 Aljabar Vektor (Perkalian vektor)
Aljbr Liner Pertemun 12_14 Aljbr Vektor (Perklin vektor) Pembhsn Perklin vektor dengn sklr Rung vektor Perklin Vektor dengn Vektor: Dot Product - Model dot product - Sift dot product Pendhulun Penmbhn
2. Paman mempunyai sebidang tanah yang luasnya 5 hektar. Tanah itu dibagikan kepada 3. Luas tanah yang diterima oleh mereka masing-masing = 5 :3 1
. Hitunglh 7 5. : b. 5 : c. 8 : 6 d. 8 9 7 7 7 5 77 77 77. : c. 8 : 6 : 6 6 9 9 9 6 54 8 40 7 b. 5: 5 d. 4: 4: 4 6 8 7 95 Husein Tmpoms, Rumus-rumus Dsr Mtemtik 4 :. Pmn mempunyi sebidng tnh yng lusny
MODUL 2 DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS
MODUL DETERMINN DN INVERS MTRIKS.. Determinn Definisi. (Determinn) Untuk setip mtriks berukurn n x n, yng dikitkn dengn sutu bilngn rel dengn sift tertentu dinmkn determinn, dengn notsi dri determinn mtriks
MODEL POTENSIAL 1 DIMENSI
MODEL POTENSIAL 1 DIMENSI 1. Sumur Potensil Tk Berhingg Kit tinju prtikel bermss m dengn energi positif, berd dlm sumur potensil stu dimensi dengn dinding potensil tk berhingg dn potensil didlmny nol,
matematika K-13 TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR K e l a s
K-3 mtemtik K e l s XI TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Memhmi teorem fktor.. Menentukn kr dn fktor liner suku nyk dengn
Menerapkan konsep vektor dalam pemecahan masalah. Menerapkan konsep vektor pada bangun ruang
VEKTOR PADA BIDANG SK : Menerpkn konsep vektor dlm pemechn mslh KD : Menerpkn konsep vektor pd bidng dtr Menerpkn konsep vektor pd bngun rung TUJUAN PELATIHAN: Pesert memiliki kemmpun untuk mengembngkn
2.Matriks & Vektor (1)
.triks & Vektor () t Kulih: ljbr Liner dn triks Semester Pendek T. / S Teknik Informtik Dosen Pengmpu: Heri Sismoro,.Kom. STIK IKO YOGYKRT Jl. Ringrod Utr Condong Ctur Yogykrt. Telp. 7 88 Fx 7-888 Website:
Hands Out Mata Kuliah: Aljabar Matriks (2 SKS) Dosen: Dra. Hj Ade Rohayati, M. Pd.
Hnds Out Mt Kulih: Aljbr Mtriks ( SKS) Dosen: Dr. Hj Ade Rohyti, M. Pd. No. Indiktor Urin Mteri. menyebutkn definisi mtriks.. membut beberp contoh mtriks dengn menggunkn notsi yng tept.. menentukn ordo
CHAPTER 1 EXPONENTS, ROOTS, AND LOGARITHMS
CHAPTER EXPONENTS, ROOTS, AND LOGARITHMS Indiktor (penunjuk): Mengubh bentuk pngkt negtif ke pngkt positif dn seblikny. (4 jp) A. EXPONENTS. Definition (ketentun): Positive Integers Exponents n = x x...
,, % ,, % -0: 0 -0: 0! 2 % 26, &
PERSAMAAN LINIER GAUSS-SIEDEL METHOD Simultneous Liner Equtions Oleh : Purwnto,S.Si Bentuk Umum x + x + 3 x 3 + + n x n = b Sebuh persmn linier dengn : n peubh : x, x, x 3,, x n n konstnt :,, 3,, n Contoh
BAB 1 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN. Standar Kompetensi Mahasiswa memahami konsep dasar sistem bilangan real (R)
BAB PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN Stndr Kompetensi Mhsisw memhmi konsep dsr sistem bilngn rel (R) sebgi semest untuk menentukn selesin persmn dn pertidksmn, dpt mengembngkn bentuk persmn dn pertidksmn yng
7. Ruang L 2 (a, b) f(x) 2 dx < }.
7. Rung L (, b) Rung L (, b) didefinisikn sebgi rung semu fungsi f yng kudrtny terintegrlkn pd [, b], ykni L (, b) := {f : b f(x) dx < }. Rung ini menckup fungsi-fungsi f yng tk terbts pd [, b] tetpi f
1. Matriks dan Jenisnya Definisi: Matrik A berukuran m x n ialah suatu susunan angka dalam persegi empat ukuran m x n, sebagai berikut:
triks dn opersiny by yudiri ATRIKS DAN OPERASINYA. triks dn Jenisny Definisi: trik A berukurn x n ilh sutu susunn ngk dl persegi ept ukurn x n, sebgi berikut: A = n n n triks berukurn (ordo) x n. tu A
15. INTEGRAL SEBAGAI LIMIT
15. INTEGRAL SEBAGAI LIMIT 15.1 Jumlh Riemnn Dlm kulih Klkulus pd thun pertm, integrl Riemnn bisny diperkenlkn sebgi limit dri jumlh Riemnn, tidk mellui integrl Riemnn ts dn integrl Riemnn bwh. Hl ini
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA
K- Kels X mtemtik PEMINATAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi definisi persmn dn pertidksmn logritm.. Dpt
BABAK PENYISIHAN AMSO JENJANG SMA PEMBAHASAN BABAK PENYISIHAN AMSO
. Jwbn : C 8 3 8 6 3 3 3 6 BABAK PENYISIHAN AMSO JENJANG SMA PEMBAHASAN BABAK PENYISIHAN AMSO. Jwbn : C Tig bilngn prim pertm yng lebih besr dri 0 dlh 3, 9, dn 6. Mk 3 + 9 + 6 = 73. Jdi, jumlh tig bilngn
A. Kompetensi Dasar : Menyelesaikan sistem persamaan linear. B. Materi : 1. Sistem Persamaan Linear dan Matriks 2. Determinan
(Oleh: Winit Sulndri, M.Si) A. Kompetensi Dsr : Menyelesikn sistem persmn liner B. Mteri :. Sistem Persmn Liner dn Mtriks. Determinn C. Indiktor :. Mendefinisikn persmn liner dn sistem persmn liner. Mengenl
b. Notasi vektor : - Vektor A dinotasikan a atau a atau PQ - Panjang vektor a dinotasikan a atau PQ
BAB 4 VEKTOR Stndr Kompetensi: 3. Menggunkn konsep mtriks, vektor, dn trnsformsi Kompetensi Dsr: 3.4 Menggunkn sift-sift dn opersi ljbr vktor dlm pemechn mslh 3.5 Menggunkn sift-sift dn opersi perklin
MA3231 Analisis Real
MA3231 Anlisis Rel Hendr Gunwn* *http://hgunwn82.wordpress.com Anlysis nd Geometry Group Bndung Institute of Technology Bndung, INDONESIA Progrm Studi S1 Mtemtik ITB, Semester II 2016/2017 HG* (*ITB Bndung)
MATRIKS. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah.
MATRIKS Stndr Kompetensi : Menggunkn konsep mtriks, vektor, dn trnsformsi dlm pemechn mslh Kompetensi Dsr : Menggunkn sift-sift dn opersi mtriks untuk menentukn invers mtriks persegi Menggunkn determinn
Matriks. Bab II. Motivasi. Tujuan Pembelajaran
Mtriks Bb II Mtriks Sumber: Ensiklopedi Peljr, 999 Motivsi Secr umum mtriks merupkn sutu dftr yng berisi ngkngk dn ditulis di dlm tnd kurung. Dftr-dftr yng dpt ditulis dlm bentuk mtriks, mislny perolehn
METODE ALTERNATIF BARU UNTUK MENGHITUNG DETERMINAN MATRIKS ORDE 3 X 3
METODE ALTERNATIF BARU UNTUK MENGHITUNG DETERMINAN MATRIKS ORDE 3 X 3 Glng Ismu Hndoko 1, M Ntsir 2, Sigit Sugirto 2 1 Mhsisw Progrm S1 Mtemtik 2 Dosen Jurusn Mtemtik Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm
Penyelesaian Persamaan dengan Logaritma. Persamaan & Fungsi logaritma. Pengertian Logaritma 10/9/2013
10/9/013 Penyelesin Persmn dengn Logritm Persmn & Fungsi logritm Tim Dosen Mtemtik FTP Logritm dpt digunkn untuk mencri bilngn yng belum dikethui (bilngn x) dlm sebuh persmn, khususny persmn eksponensil
TUGAS MATAKULIAH ALJABAR LINIER DAN MATRIK
TUGAS MATAKULIAH ALJABAR LINIER DAN MATRIK Disusun Oleh :. NIM.. NAMA. NIM.. NAMA. NIM.. NAMA PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA S- FAKULTAS ILMU KOMPUTER UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO SEMARANG OKTOBER, .
Aljabar Linier & Matriks. Tatap Muka 3
Aljbr Linier & Mtriks Ttp Muk Eliminsi Guss-Jordn Sistem persmn linier dengn n vribel dn m persmn secr umum dinytkn sbg: Sistem persmn linier tsb dpt dinytkn dlm bentuk mtriks sbb: A x X = b dengn A dlh
PROBLEM SOLVING TERKAIT DENGAN KELAS X SEMESTER 1 PADA STANDAR KOMPETENSI (SK) 1.
PROLEM SOLVING TERKIT DENGN KELS X SEMESTER PD STNDR KOMPETENSI (SK). LJR Memechkn mslh yng berkitn dengn bentuk pngkt, kr, dn logritm Oleh: Sigit Tri Guntoro. Du orng berselisih mengeni bnykny psngn bilngn
BAHAN AJAR MATEMATIKA UMUM KELAS XI MATERI POKOK : OPERASI MATRIKS
BAHAN AJAR MATEMATIKA UMUM KELAS XI MATERI POKOK : OPERASI MATRIKS Mtriks A dn mtriks B diktkn sm (A = B), jik dn hny jik: 1. Ordo mtriks A sm dengn ordo mtriks B 2. Setip elemen yng seletk pd mtriks A
Teorema Dasar Integral Garis
ISBN: 978-979-79-55-9 Teorem Dsr Integrl Gris Erdwti Nurdin Progrm Studi Pendidikn Mtemtik FKIP UIR d_1910@yhoo.com Abstrk Slh stu generlissi integrl tentu (definite integrl) f x dx diperoleh dengn menggnti
STRATEGI PENGAJARAN MATEMATIKA UNTUK MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT
Jurnl Vol II. No., Mret 08, hlm. 9-95 vilble online t www.jurnl.un.c.id/indeks/jmp STRTEGI PENGJRN MTEMTIK UNTUK MENENTUKN KR-KR PERSMN KUDRT Indh Purnm Putri, Symsudhuh, Ihd Hsbiyti 3 Progrm Studi Mgister
RELASI DAN FUNGSI. A disebut daerah asal dari R (domain) dan B disebut daerah hasil (range) dari R.
REASI DAN FUNGSI A. REASI Adlh hubungn ntr elemen himpunn dengn elemen himpunn yng lin. Cr pling mudh untuk menytkn hubungn ntr elemen himpunn dlh dengn himpunn psngn terurut. Himpunn psngn terurut diperoleh
3. LIMIT DAN KEKONTINUAN
3. LIMIT DAN KEKONTINUAN 1 3.1 Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi 1 1 Fungsi dits tidk terdeinisi di =1, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn berp
Pengertian Matriks. B. Notasi Matriks. a 21 adalah elemen baris 2 kolom 1. Banyaknya baris : Banyaknya kolom : Ordo Matrik :
MATRIKS Segi gmrn wl mengeni mteri mtriks mri kit ermti urin erikut ini. Dikethui dt hsil penjuln tiket penerngn tujun Medn dn Sury dri seuh gen tiket selm empt hri erturut-turut disjikn dlm tel erikut.
TURUNAN FUNGSI. LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI
LA - WB (Lembr Aktivits Wrg Beljr) TURUNAN FUNGSI Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI Creted By It Yulin 33 Turunn Fungsi Kompetensi Dsr 1. Menggunkn
6. Himpunan Fungsi Ortogonal
6. Himpunn Fungsi Ortogonl Mislkn f periodik dengn periode, dn mulus bgin demi bgin pd [ π, π]. Jik S f N (θ) = N n= N c ne inθ, n =,, 2,..., dlh jumlh prsil dri deret Fourier f, mk kit telh menunjukkn
MATEMATIKA DASAR. Bab Bilangan Irasional dan Logaritma. Drs. Sumardi Hs., M.Sc. Modul ke: 02Fakultas FASILKOM. Program Studi Teknik Informatika
MATEMATIKA DASAR Modul ke: 0Fkults FASILKOM Progrm Studi Teknik Informtik Bb Bilngn Irsionl dn Logritm Drs. Sumrdi Hs., M.Sc. Bgin Isi Bilngn Irsionl - Berbgi bentuk kr dn opersiny Logritm - Sift-sift
POSET ( Partially Ordered Set ) Himpunan Terurut Parsial
POSET ( Prtilly Ordered Set ) Himpunn Terurut Prsil Definisi Sutu relsi biner dinmkn sebgi sutu relsi pengurutn tk lengkp tu relsi pengurutn prsil ( prtil ordering reltion ) jik i bersift reflexive, ntisymmetric,
MATRIKS A. Pengertian, Notasi dan Bagian Dalam Matriks
MATRIKS A. Pengertin, Notsi dn Bgin Dlm Mtriks Dlm kehidupn sehri-hri kit sering menemui dt tu informsi dlm entuk tel, seperti tel pertndingn sepkol, tel sensi kels, tel hrg tiket keret pi dn seginy..
matematika PEMINATAN Kelas X FUNGSI LOGARITMA K-13 A. Definisi Fungsi Logaritma
K-3 Kels mtemtik PEMINATAN FUNGSI LOGARITMA Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi definisi fungsi logritm.. Dpt menggunkn konsep fungsi logritm dlm menyelesikn
Handout Mata Kuliah: Aljabar Matriks (2 SKS) Dosen: Dra. Hj Ade Rohayati, M. Pd.
Hndout Mt Kulih: Aljbr Mtriks ( SKS) Dosen: Dr. Hj Ade Rohyti, M. Pd. No. Indiktor Urin Mteri. menyebutkn definisi mtriks.. membut beberp contoh mtriks dengn menggunkn notsi yng tept.. menentukn ordo dri
3. LIMIT DAN KEKONTINUAN. INF228 Kalkulus Dasar
. LIMIT DAN KEKONTINUAN INF8 Klkulus Dsr . Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi Fungsi dits tidk terdeinisi di =, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn
LIMIT DAN KONTINUITAS
LIMIT DAN KONTINUITAS Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi Fungsi dits tidk terdeinisi di =, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn berp nili jik mendekti
3. LIMIT DAN KEKONTINUAN
. LIMIT DAN KEKONTINUAN . Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi Fungsi dits tidk terdeinisi di, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn berp nili jik mendekti
12. LUAS DAERAH DAN INTEGRAL
12. LUAS DAERAH DAN INTEGRAL 12.1 Lus Derh di Bwh Kurv Mslh menentukn lus derh (dn volume rung) telh dipeljri sejk er Pythgors dn Zeno, pd thun 500-n SM. Konsep integrl (yng terkit ert dengn lus derh)
Bila kita mempunyai suatu sistem persamaan linier 2x + 3y + 3z = 0 x + y + 3z = 0 x + 2y z = 0
LJBR MTRIKS Bil kit mempui sutu sistem persm liier + + z = + + z = + z = Mk koefisie tersebut di ts disebut MTRIKS, d secr umum dpt ditulisk sbb : Jjr bilg tersebut di ts disebut MTRIKS, d secr umum dpt
III. Bab. Matriks. Di unduh dari: (www.bukupaket.com) Sumber buku : (bse.kemdikbud.go.id)
Bb III Mtriks 79 Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri bb ini, dihrpkn klin dpt. menjelskn ciri sutu mtriks;. menuliskn informsi dlm bentuk mtriks;. melkukn opersi ljbr ts du mtriks; 4. menentukn determinn
BAB I V E K T O R. 1.1 Pengertian
Vektor BAB I V E K T O R Pengertin Bnyk kuntits fisik, seperti lus, pnjng, mss dn tempertur, dpt dijelskn secr lengkp pbil besrn kuntits tersebut telh diberikn Kuntits seperti ini dinmkn sklr Kulits fisik
BAB I PENDAHULUAN. Sebuah sistem sebarang yang terdiri dari m persamaan linear dengan n M M M M M
BAB I PENDAHUUAN Sebuh sistem sebrng yng teriri ri m persmn liner engn n bilngn tk ikethui kn ituliskn sebgi : x + x +... + n x n = b x + x +... + n x n = b n x + n x +... + nn x n = b n imn x, x,...,
Materi V. Determianan dinotasikan berupa pembatas dua gris lurus,
Mteri V Tujun : 1. Mhsisw dpt mengenli determinn.. Mhsisw dpt merubh persmn linier menjdi persmn determinn.. Mhsisw menelesikn determinn ordo du. Mhsisw mmpu menelesikn determinn ordo tig. Mhsisw mengethui
BILANGAN BULAT. 1 Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
BILANGAN BULAT. Oprersi Hitung pd Bilngn Bult Bilngn ult (integer) memut semu ilngn cch dn lwn (negtif) ilngn sli, yitu:,, 4,,, 1, 0, 1, 2, 3, 4,, Bilngn ult disjikn dlm gris ilngn segi erikut. Bilngn