Matriks. Modul 1 PENDAHULUAN
|
|
|
- Ridwan Susanto
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Modul 1 Mtriks Dr. Whyu Widyt, M.Ec. S PENDAHULUAN ering kli kit berhdpn dengn mslh mencri solusi dri sistem persmn linier, tu mslh optimissi sutu fungsi dengn jumlh vribel yng bnyk. Mslh-mslh tersebut dpt dibntu pemechnny dengn menggunkn mtriks. Sistem persmn linier tersebut dpt ditulis lebih singkt dengn menggunkn mtriks dn solusiny dpt diperoleh dengn metode Crmer tu menggunkn invers dri mtriks. Dengn menggunkn mtriks, mk penyelesin sutu mslh ternyt kn menjdi lebih mudh. Selin itu, pengethun tentng mtriks dpt jug dipliksikn di dlm ekonomi dn bisnis pd bnyk hl. Optimissi sutu fungsi dengn bnyk vribel kn diperoleh pemechn dengn menggunkn mtriks. Mslh input-output untuk perencnn ekonomi jug memerlukn mtriks. Tnp menggunkn mtriks, mk mslh-mslh seperti yng disebutkn di ts menjdi sngt sulit tu mungkin tidk kn memberi hsil pemechn. Oleh sebb itu, konsep mtriks seperti yng kn dijelskn muli modul ini merupkn konsep penting yng hrus diphmi dengn bik. Mengingt pentingny mtriks dlm kehidupn sehri-hri, mk setelh mempeljri modul ini And dihrpkn mmpu untuk menggunkn konsep mtriks untuk memechkn mslh ekonomi dn bisnis tertentu. Setelh mempeljri modul ini And dihrpkn mmpu untuk: 1. menjelskn konsep mtriks; 2. menghitung penjumlhn dn pengurngn mtriks; 3. menghitung perklin mtriks; 4. menghitung trnspose dri mtriks; 5. menghitung determinn mtriks; 6. menghitung kr persmn dengn kidh Crmer.
2 1.2 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis Kegitn Beljr 1 Konsep Mtriks A. PENGERTIAN MATRIKS Sutu mtriks dpt didefinisikn sebgi sutu susunn ngk-ngk yng disebut elemen dn bentuk umumny disusun sebgi berikut n n A m1 m2 m3 mn mxn tu dpt jug ditulis: A : : : : : n n n m1 m2 m3 mn mxn Simbol untuk mtriks ditulis dengn huruf besr (huruf kpitl) dn dicetk tebl (bold), sedngkn mn dlh elemen-elemen digunkn untuk simbolsimbol bilngn riil. Elemen-elemen mtriks ditulis di ntr du tnd kurung ( ) tu dpt jug tnd kurung [ ]. Perhtikn indeks yng diberikn untuk setip elemen. Secr umum elemen dpt diberi simbol ij. Untuk elemen 23 mislny, dpt dirtikn i bernili 2 dn j bernili 3. Lebih lnjut dpt diliht bhw i menunjukkn bris dn j menunjukkn kolom. Dlm hl i 2 dn j 3, mk elemenny dlh 23 dn letkny dlm mtriks dpt seger dikethui, yitu pd bris kedu dn kolom ketig pd mtriks. Kren ij merupkn simbol dri elemen sutu mtriks, dklny sutu mtriks A dilukiskn sebgi: ( ij ) tu [ ij ]
3 ESPA4222/MODUL Sutu mtriks yng mempunyi bris sebnyk m dn jumlh kolomny n sering disebut dengn mtriks m x n yng dibc "m kli n" tu mtriks berdimensi m x n. Dimensi tu ukurn mtriks ini ditulis di sebelh knn bwh kurung tutupny. Contoh: A x4 Mtriks di ts jumlh brisny 3 dn jumlh kolomny 4. Dimensi mtriks A dlh 3 x 4. Bil m n, mtriksny disebut dengn mtriks bujur sngkr. Contoh 1.1: 2 1 B 0 3 2x2 Dimensi mtriks B dlh 2 x 2 dn mtriks B dlh mtriks bujur sngkr. Contoh mtriks bujur sngkr dengn dimensi 3 x C x3 Sutu mtriks dengn dimensiny sering disimbolkn sebgi A mxn tu ( ij ) mxn. Contoh 1.2: A 2x x3 Sebenrny, tnp ditulis dimensiny pun kit bis meliht lngsung berp jumlh bris dn kolomny, sehingg penulisn mtriks jug dibenrkn pbil dimensiny tidk ditulis.
4 1.4 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis Contoh 1.3: A Du buh mtriks diktkn sm bil kedu mtriks tersebut mempunyi dimensi yng sm dn elemen pd bris dn kolom yng sm berelemenkn sutu nili yng sm. Contoh 1.4: 3-3 A B C D 3-3 A C kn tetpi A B, A D, B C, B D dn C D. Bis terjdi, sutu mtriks hny memiliki stu kolom tu stu bris sj. Mtriks yng hny memiliki stu kolom disebut dengn vektor kolom dn ditulis. U1 U1 U 2 2 U U U 3 tu U U 3 : : U m U m U 1, U 2... U m disebut dengn komponen vektor. Sutu vektor kolom yng terdiri ts m buh bris disebut vektor komponen m tu vektor bris dimensi m. Sutu mtriks yng hny terdiri ts stu bris sj disebut vektor bris dn dpt ditulis seperti:
5 ESPA4222/MODUL V V (V 1, V 2... V n ) tu V, V, , V 1 2 n V 1, V 2... V n merupkn komponen vektor. Sutu vektor bris yng terdiri ts n buh kolom disebut vektor komponen n tu vektor bris dimensi n. Contoh 1.5: 2 1 dlh mtriks dimensi 2 x 1 tu vektor kolom 2 dimensi. Contoh 1.6: dlh mtriks dimensi 5 x 1 tu vektor kolom 5 dimensi. 2 3 Contoh 1.7: [1, 5, 2] dlh mtriks dimensi 1 x 3 tu vektor bris 3 dimensi. Perhtikn, ntr elemen yng stu dengn yng lin dipishkn dengn kom untuk menghindri slh penfsirn sebgi sutu mtriks yng hny memiliki stu elemen seperti [152]. Contoh 1.8: -1, 1, -1, 1, -1 dlh mtriks dimensi 1 x 5 tu vektor bris 5 dimensi. Du buh vektor bris diktkn sm hny jik kedu vektor mempunyi jumlh kolom yng sm dn elemen-elemen yng sepdn di kedu vektor jug sm. Contoh 1.9: U 2, 3, 1 W 2, 3, 1 U W
6 1.6 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis Du buh vektor kolom diktkn sm hny jik kedu vektor mempunyi jumlh bris yng sm dn elemen-elemen yng sepdn di kedu vektor jug sm. Contoh 1.10: 1 X 0 1 Y X Y B. BENTUK MATRIKS Pd bgin ini kit kn membhs tig bentuk mtriks, yitu mtriks digonl, mtriks identits, dn mtriks nol. 1. Mtriks Digonl Mtriks digonl dlh mtriks bujur sngkr yng elemen-elemenny bernili nol keculi elemen-elemen yng terletk di digonl utm, yitu digonl dri kiri ts ke knn bwh, dn pling sedikit stu elemen tidk bernili nol. Jdi: n n A... ij nxn... n1 n2... nn merupkn mtriks digonl hny jik: ij 0 untuk i j ij 0 untuk pling sedikit stu i j. Contoh 1.11: Mtriks-mtriks berikut dlh mtriks digonl. A B
7 ESPA4222/MODUL C D Mtriks Identits Mtriks identits dlh mtriks digonl yng elemen-elemen digonlny bernili stu, jdi: A n n n1 n2 nn nxn merupkn mtriks identits hny jik: ij 0 untuk i j ij 1 untuk i j mtriks identits bisny diberi simbol I Contoh 1.12: I I 3 merupkn mtriks identits dimensi 3 x 3. Contoh 1.13: I I 5 merupkn mtriks identits dimensi 5 x 5.
8 1.8 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis 3. Mtriks Nol Mtriks nol dlh mtriks dengn dimensi m x n yng semu elemenny bernili nol dn diberi simbol 0. Contoh: O 2 x LATIHAN Untuk memperdlm pemhmn And mengeni mteri di ts, kerjknlh ltihn berikut! 1) Bil dikethui : A B Dri mtriks di ts, tentuknlh: ) Dimensi mtriks A. b) Bentuk mtriks B. c) Jenis mtriks C. d) Jenis mtriks D. C D ) Bil dikethui: D E Dri mtriks di ts, tentuknlh: ) Bentuk mtriks D. b) Bentuk mtriks E. c) Bentuk mtriks F. d) Bentuk mtriks G F G
9 ESPA4222/MODUL Petunjuk Jwbn Ltihn 1) ) Mtriks A dimensiny 2 x 3. b) Mtriks B dlh mtriks bujur sngkr berdimensi 3 x 3. c) Mtriks C dlh vektor bris. d) Mtriks D dlh vektor kolom 2) ) Bentuk mtriks D dlh bujur sngkr. b) Mtriks E dlh mtriks nol. c) Mtriks F dlh mtriks digonl. d) Mtriks G dlh mtriks identits. RANGKUMAN Sutu mtriks dpt didefinisikn sebgi sutu susunn ngk-ngk yng terdiri dri bris dn kolom. Sutu mtriks yng mempunyi bris sebnyk m dn jumlh kolom n disebut dengn mtriks berdimensi m x n. Mtriks bujur sngkr dlh mtriks yng jumlh brisny sm dengn jumlh kolomny. Mtriks yng hny memiliki stu bris sj disebut dengn vektor bris, dn mtriks yng hny memiliki stu kolom sj disebut dengn vektor kolom. Mtriks digonl dlh mtriks bujur sngkr yng elemen-elemenny bernili nol keculi elemen-elemen yng terletk di digonl utm, yitu digonl dri kiri ts ke knn bwh, pling sedikit stu elemen tidk bernili nol. Mtriks identits dlh mtriks digonl yng elemen-elemen digonlny bernili stu. Mtriks nol dlh mtriks dengn dimensi m x n yng semu elemenny bernili nol dn diberi simbol 0. TES FORMATIF 1 Pilihlh stu jwbn yng pling tept! 1 0 1) Mtriks A 0 1 dlh... A. mtriks bis B. mtriks nol C. mtriks identits D. mtriks digonl
10 1.10 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis ) Mtriks B dlh x4 A. mtriks bujur sngkr B. mtriks bis dengn dimensi 3 x 4 C. mtriks identits D. mtriks digonl ) Mtriks C A. mtriks identits B. mtriks digonl C. mtriks nol D. mtriks bis ) Mtriks D A. mtriks identits B. mtriks digonl C. mtriks nol D. mtriks bis dlh... dlh n n 5) Mtriks E dlh... n1 n2... nn nxn A. mtriks digonl hny jik ij 0 untuk i j dn ij 1 untuk i j B. mtriks identits hny jik ij 0 untuk i j dn ij 1 untuk i j C. mtriks nol hny jik ij 0 untuk i j dn ij 1 untuk i j D. bukn mtriks bujur sngkr jik ij 0 untuk i j dn ij 1 untuk i j
11 ESPA4222/MODUL n n 6) Mtriks F dlh... n1 n2... nn nxn A. mtriks digonl hny jik ij 0 untuk i j dn ij 0 untuk pling sedikit stu i j B. mtriks identits hny jik ij 0 untuk i j dn ij 0 untuk pling sedikit stu i j C. mtriks nol hny jik ij 0 untuk i j dn ij 0 untuk pling sedikit stu i j D. bukn mtriks bujur sngkr jik ij 0 untuk i j dn ij 0 untuk pling sedikit stu i j 0 1 7) Mtriks G 0 merupkn A. vektor bris dengn dimensi 1 x 5 B. vektor bris dengn dimensi 5 x 1 C. vektor kolom dengn dimensi 1 x 5 D. vektor kolom dengn dimensi 5 x 1 8) Mtriks A 2, 3, 1 dlh... A. vektor bris dengn dimensi 1 x 3 B. vektor bris dengn dimensi 3 x 1 C. vektor kolom dengn dimensi 1 x 3 D. vektor kolom dengn dimensi 3 x ) Mtriks A dlh A. mtriks identits B. mtriks digonl C. mtriks nol D. mtriks bis
12 1.12 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis ) Mtriks A A. mtriks identits B. mtriks digonl C. mtriks nol D. mtriks bis 3x4 dlh... Cocokknlh jwbn And dengn Kunci Jwbn Tes Formtif 1 yng terdpt di bgin khir modul ini. Hitunglh jwbn yng benr. Kemudin, gunkn rumus berikut untuk mengethui tingkt pengusn And terhdp mteri Kegitn Beljr 1. Tingkt pengusn Jumlh Jwbn yng Benr 100% Jumlh Sol Arti tingkt pengusn: % bik sekli 80-89% bik 70-79% cukup < 70% kurng Apbil mencpi tingkt pengusn 80% tu lebih, And dpt meneruskn dengn Kegitn Beljr 2. Bgus! Jik msih di bwh 80%, And hrus mengulngi mteri Kegitn Beljr 1, terutm bgin yng belum dikusi.
13 ESPA4222/MODUL Kegitn Beljr 2 Opersi Mtriks A. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN Sutu mtriks dpt diopersikn secr ritmtik, yitu ditmbh, dikurngi, dibgi, tu diklikn. Selin itu sutu mtriks dpt jug diopersikn tetpi tidk terdpt pd opersi ritmtik, yitu trnspose, determinn, dn invers. Kren umumny mtriks bukn merupkn ngk tunggl, mk opersi ritmtikny berbed dengn opersi pd bilngn-bilngn rel. Du buh mtriks dpt dijumlhkn hny jik kedu mtriks tersebut mempunyi dimensi yng sm dn hsilny dlh mtriks lin yng setip elemenny merupkn hsil penjumlhn elemen-elemen yng letkny sesui. Mksud dri letk yng sesui dlh, kedu elemen tersebut terletk di bris dn kolom yng sm. Jdi jik d du mtriks: A dn B b b b b b b mk: A + B + b + b + b + b + b + b Du buh mtriks dpt dikurngkn hny jik kedu mtriks tersebut memiliki dimensi yng sm hsilny dlh mtriks lin yng setip elemenny merupkn hsil pengurngn elemen-elemen yng letkny sesui. Mislny d du buh mtriks, yitu: C c c c c c c c c c dn D d d d d d d d d d mk:
14 1.14 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis C D c d c d c d c d c d c d c d c d c d Contoh 1.14: Contoh 1.15: Contoh 1.16: [4, 12, 6] - [3, 2, -1] [1, 10, 7] Contoh 1.17: [-1, 3, 2] + [-2, 1, 3] [-3, 4, 5] Contoh 1.18: Contoh 1.19:
15 ESPA4222/MODUL Contoh 1.20: Contoh 1.21: [3, 4] + [2, 1] + [1, 3] - [5, 8] [1, 0] Contoh 1.22: Contoh 1.23: Sutu mtriks yng ditmbh tu dikurngi dengn mtriks nol niliny tidk kn berubh, jdi: A mxn + 0 mxn A mxn Contoh 1.24: A 2x A 2x3 0 2x
16 1.16 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis B. PERKALIAN MATRIKS Sutu bilngn sklr dpt diklikn dengn sutu mtriks dimensi berp pun, dn hsilny dlh mtriks lin yng elemen-elemenny merupkn hsil perklin bilngn sklr dengn elemen mtriks wlny. Contoh 1.25: Contoh 1.26: Contoh 1.27: C 1, 0, 0, 0, 2 C, 0, 0, 2C Contoh 1.28: b b b 2 b b 2 b Pd contoh-contoh perklin sklr dengn mtriks di ts, sklr dpt diklikn dengn mtriks berp pun dimensiny. Lin hlny klu kit kn menglikn mtriks dengn mtriks. Perklin ntr du buh mtriks dpt dilkukn klu dipenuhiny sutu syrt tertentu. Mislkn d du mtriks yitu A dn B yng dikethui dn kit ingin mencri hsil perklinny. Syrt yng hrus dipenuhi gr du buh mtriks dpt diklikn dlh jumlh kolom mtriks A hrus sm dengn jumlh bris mtriks B. Jdi sendiny: A 1x2 [ ]
17 ESPA4222/MODUL B 2x3 b b b b b b Perklin A dn B dpt dilkukn kren mtriks A mempunyi du kolom dn mtriks B mempunyi du bris. Hsil perklinny yitu AB merupkn sutu mtriks yng dimensiny 1 x 3. Jdi: A 1x2. B 2x3 [AB] 1x3 Bil kemudin dimislkn bhw [AB] 1x3 C 1x3 dn C 1x3 [C 11. C 12. C 13 ], mk: [AB] 1x3 C 1x3 [C 11, C 12, C 13 ]. Sekrng kit kn menentukn prosedur perklin, ketig elemen mtriks C merupkn jumlh hsil perklin bris mtriks A dengn kolom mtriks B dengn mengikuti prosedur berikut ini: C b b 21 (bris 1 mtriks A kli kolom 1 mtriks B). C b b 22 (bris 1 mtriks A kli kolom 2 mtriks B). C b b 23 (bris 1 mtriks A kli kolom 3 mtriks B). Perhtikn bhw indeks pd C ij menunjukkn bhw indeks pertm dlh bris pd mtriks A dn indeks kedu menunjukkn kolom pd mtriks B. Jdi, sendiny C 11 hrus merupkn jumlh hsil perklin elemen-elemen pd bris pertm mtriks A dn kolom pertm mtriks B, dn C 12 hrus merupkn jumlh hsil perklin elemen-elemen pd bris pertm mtriks A dn kolom kedu mtriks B. Bil bris dn kolom telh dipilih, mk elemen yng d di dlmny diklikn secr berpsngn secr urut. Dengn menggunkn gmbr, jumlh hsil perklin untuk mengisi elemen C ij dpt ditunjukkn sebgi berikut:
18 1.18 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis Untuk C 11 : Psngn pertm b b Psngn kedu Untuk C 12: Psngn pertm b b Psngn kedu Untuk C 11, pd psngn pertm 11 diklikn dengn b 11 dn pd psngn kedu 12 diklikn dengn b 12 sehingg C b b 12. Untuk C 12, pd psngn pertm 11 diklikn dengn b 12 dn pd psngn kedu 12 diklikn dengn b 22 sehingg C b b 22. Dengn cr yng sm mk dpt diperoleh C b b 23. Contoh 1.29: A [1, 2] 1x2 B A x B [1, 2] x 2 [1x1 + 2x3, 1x5 + 2x2] 1x2 [1 + 6, 5 + 4] 1x2 [7, 9] 1x2
19 ESPA4222/MODUL Contoh 1.30: -1 3 A x 2 B x 2 A x B x x 1-1 x x 4 2 x x 1 2 x x x 2 2 x 2 Contoh 1.31: 5 4 A B x 3 AB A x B 5 x x -1 5 x x 3 5 x x 2-1 x x -1-1 x x 3-1 x x 2 0 x x -1 0 x x 3 0 x x x 3
20 1.20 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis Contoh 1.32: 2 V -1 2 x 1 2 x 3 2 x - 2 V x U -1 x 3-1 x x 2 U [3, -2] 1x2 2 x 2 Contoh 1.33: U [1, 3] 1x2 V x 1 U x V [1 x x 2] 1x1 [5 + 6] 1x1 [11] 1x1 11 Pd contoh di ts dpt diliht bhw perklin ntr vektor bris dengn kolom kn menghsilkn sklr. Jdi secr umum dpt ditulis: v1 U [u1,... un] 1xn dn V v mk: U 1xn V nx1 W sklr. di mn W u 1 v 1 + u 2 v u n v n n n x 1 Dlm perklin mtriks, urut-urutn mtriks yng diklikn hrus diperhtikn kren A x B hsilny berbed dengn B x A. Bil dimensi A dlh m x n dn B dlh n x m mk A x B dimensiny dlh m x m dn B x A berdimensi n x n. Jdi secr umum A x B B x A. Contoh 1.34: Bil A x 3 B x 2
21 ESPA4222/MODUL mk: A x B 4 x x x 2 4 x x x 0-1 x x x 2-1 x x x x 2 2 x 2 2 x B x A x x 3 1 x x -1-1 x x 2 1 x x 3-1 x x -1-1 x x 2-1 x x 3 2 x x -1 2 x x 2 2 x x x 3 Sutu mtriks jik diklikn dengn mtriks identits tu mtriks identits yng diklikn dengn sutu mtriks hsilny dlh sm dengn mtriks itu sendiri. Jdi: A mxn I m A mxn A mxn I n A mxn Contoh 1.35: Bil A mk: 2x3 3 x 3 3 x 3
22 1.22 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis I.A A.I x2 2x x3 2x3 2x3 A A 3x3 Sift khusus mtriks identits dlh dlm sutu proses perklin dpt disisipkn (tu dihpus) mtriks identits tnp mempengruhi hsilny, jdi: A mxn I nxn B nxp (AI) B A mxn B nxp menunjukkn bhw d tidkny I, hsil perklin mtriksny tidk kn terpengruh. Sutu mtriks yng diklikn dengn mtriks nol tu seblikny mtriks nol diklikn dengn sutu mtriks kn menghsilkn mtriks nol, jdi: 0 kxm A mxn 0 kxn A mxn 0 nx1 0 mx1 Contoh 1.35: A 2x O 3x2 A 2x x x4 O 3x4 2x4
23 ESPA4222/MODUL A 2x4 O 4x x2 O 2x2 2x x 2 C. KAIDAH MATRIKS Di dlm mempeljri ljbr untuk bilngn riil, dipeljri beberp kidh seperti: Kidh jumlh komuttif: + b b + Kidh perklin komuttif: b b Kidh jumlh sositif: (+b) + c + (b + c) Kidh perklin sositif: (b)c (bc) Kidh distribusi: (b+c) b + c Hmpir semu dri kidh-kidh tersebut dpt diterpkn dlm opersi mtriks. Hny kidh perklin komuttif yng menjdi perkeculin dn kidh itu tidk dpt diterpkn dlm opersi mtriks. Penjumlhn mtriks dpt dilkukn secr komuttif mupun sositif. And telh mempeljri bhw penjumlhn du buh mtriks dilkukn dengn menjumlhkn elemen-elemen yng berkitn dri du mtriks. Pengurngn yng opersiny A - B dpt dinggp sm dengn opersi penmbhn A + (-B) sehingg tidk diperlukn penmbhn yng terpish. Kidh komuttif dn sositif dpt ditentukn sebgi berikut: A,B b dn C c ij Bil ij ij mk: 1. Kidh Jumlh Komuttif A + B B + A Bukti: A + B ij b ij
24 1.24 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis B + A bij ij b b, mk A + B B + A. kren ij ij ij ij Contoh 1.36: A 1 2 B 5 6 mk: A + B B + A Kidh Jumlh Asositif (A + B) + C A + (B + C) Bukti: (A + B) + C [ ij + b ij ] + c ij [ ij + b ij +c ij ] A + (B + C) ij +[ b ij + c ij ] [ ij + b ij +c ij ] Jdi: (A + B) + C A + (B + C) [ ij + b ij + c ij ] Contoh 1.37: 4 V V V (V 1 - V 2 )+ V
25 ESPA4222/MODUL Jwbn di ts sm dengn: V 1 - (V 2 -V 3 ) (-1) Perklin Mtriks Perklin mtriks tidk komuttif berrti: AB BA Bil AB dpt ditentukn mk belum tentu BA ditentukn dn bil BA dpt ditentukn mk kidh umum dlh AB BA Contoh 1.38: Bil A B x x x x 0 AB 2 x x x x
26 1.26 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis 3 x -1 + (-1) x 2 3 x 0 + (-1) x 1 BA -2 x x 2-2 x x Jdi ternyt AB BA Perklin ntr sklr dn mtriks mengikuti hukum komuttif, tu bil k dlh sklr mk: k.a A.k. Contoh 1.39: 1 5 Bil: k 5 dn A 3 7 mk: k.a dn A.k Kidh Asositif (AB)C A(BC) Apbil dimensi mtriks A dlh m x n dn C dlh p x q, mk perklin ABC dpt dilkukn bil dimensi B dlh n x p. A mxn B nxp C pxq Contoh 1.40: A [1,4] 1x2 B 1 3 C 2 2x2 0-1 AB [1,4] 1 3 [0 + 4, ] [4, 11] (AB) C [4, 11] X1 [ ] 14 2x1
27 ESPA4222/MODUL BC (-2) A (BC) [1, 4] 4 [ ] 14 Jdi (AB) C A (BC) 5. Kidh Distributif A (B + C) AB + AC dn (B + C) BA CA Contoh 1.41: -3 4 A 1-2 B 3 1 C A(B+C) (20) AB AC
28 1.28 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis AB + AC Jdi A (B+C) AB + AC D. TRANSPOSE 17-9 Trnspose sutu mtriks diperoleh dengn menukrkn kolom menjdi bris tu seblikny. Jdi, dengn trnspose mislny, bris pertm sutu mtriks diubh menjdi kolom pertm dn bris kedu menjdi kolom kedu dn seterusny. Simbol yng digunkn untuk trnspose mtriks A dlh A' tu A T. Contoh 1.42: Bil dikethui : A mk: 3 2 A' Contoh 1.43: Bil dikethui: 0 4 B 2 5 mk: 0 2 B' 4 5 Sutu mtriks A yng berdimensi m x n mempunyi trnspose A' yng dimensiny n x m. Bil m n tu mtriksny dlh mtriks bujur sngkr, mk mtriks sliny mupun trnsposeny mempunyi dimensi yng sm, Jdi, jik:
29 ESPA4222/MODUL A mxn n n : : :... m1 m2 mn mxn ( ij ) mxn dn trnspose mtriks A dlh: m m2 A' n x m : : : 1n 2n... mn ( ji ) nxm ( ij )' mxn Berikut ini dlh contoh trnspose dri mtriks, Contoh 1.44: Bil A x2, mk A' x5 Contoh 1.45: Bil A [1, 3, 2, 7, 6]1x5, mk A' x1 Contoh 1.46: Bil A x3, mk A' x3
30 1.30 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis Contoh 1.47: A x5, mk A' x5 Contoh 1.48: 4 1 Bil A x1, mk A' x5 Bil sutu mtriks dn trnsposeny bernili sm, yitu ij ji untuk semu i dn j, mk mtriks itu dinmkn mtriks simetris terhdp digonl utm. Contoh 1.49: Bil A 4 0 2, mk A' x3 Kren A A', mk A disebut mtriks simetris. Contoh 1.50: Bil A x4, mk A' Kren A A', mk A dlh mtriks simetris. 3x x4
31 ESPA4222/MODUL Contoh 1.51: Bil I x5, mk I' x5 Dri contoh di ts dpt diliht bhw I n I' n dn seblikny I' n I n Sutu mtriks simetris yng diklikn dengn mtriks itu sendiri dn hsilny sm dengn mtriks itu sendiri, mk mtriks disebut mtriks idempoten. Jdi, sutu mtriks A diktkn mtriks idempoten bil: A' A dn AA A Contoh 1.52: Mtriks identits untuk semu dimensi merupkn mtriks idempoten kren I' n I n dn I n I n I n Contoh 1.53: Mtriks merupkn mtriks idempoten kren
32 1.32 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis Sift-sift sutu trnspose: 1. Trnspose dri trnspose dlh mtriks slny, tu (A')' A Contoh 1.54: 3 1 A 8 0 A' (A')' Trnspose sutu jumlh merupkn jumlh dri sutu trnspose, jdi: (A + B)' A' + B' Contoh 1.55: 2 4 Bil A A + B dn B (A + B)' A' B A'+ B' 2 3 Jdi, ternyt benr bhw (A + B)' A' + B'
33 ESPA4222/MODUL Contoh 1.56: Dri contoh di ts : 2 6 A - B A'- B' 6 1 Jdi (A - B)' A'- B' (A - B)' Trnspose dri stu perklin dlh produk perklin dri trnspose yng urut-urutn perklinny diblik, jdi: (A mxn B nxp ) B pxn A nxm Contoh 1.57: Bil dikethui : A 3 4 dn B 6 7, mk AB dn (AB)' B'A' Jdi (AB)' B' A'. LATIHAN Untuk memperdlm pemhmn And mengeni mteri di ts, kerjknlh ltihn berikut! 4 2 1) Bil dikethui A 3 1 dn B , mk ) berpkh A - B? b) berpkh A + B?
34 1.34 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis c) berpkh A x B? d) berpkh B x A? ) Bil dikethui C ) berpkh C + D? b) berpkh C - D? c) berpkh C x D? d) berpkh D x C? e) berpkh C? dn D , mk 0,2 0,4 3) Bil dikethui E 0, 4 0,8 mk berpkh E x E? Petunjuk Jwbn Ltihn 1) Dikethui A dn B , mk ) A B 4 ( 2) b) A + B 4 ( 2) c) A x B x ( 2) ( 2) d) B x A 3 0 x 4 2 ( 2) ( 2)
35 ESPA4222/MODUL ) Dikethui C dn D , mk ) C + D b) C D c) C x D x d) D x C ( 2) ( 2) ( 2) x ( 2) ( 2) ( 2) 4.4
36 1.36 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis e) C 3 1-2, C ' ,2 0,4 3) Dikethui E 0, 4 0,8 mk E x E 0,2 0,4 0, 4 0,8 RANGKUMAN Kidh-kidh yng berlku pd mtriks dlh : 1. Kidh jumlh komuttif : A+B B+A 2. Kidh jumlh sositif : (A+B) A(B+C) 3. Kidh perklin sositif : (AB) C A(BC) 4. Kidh distributif : A(B+C) AB+AC Sedngkn pd perklin komuttif AB BA. TES FORMATIF 2 Pilihlh stu jwbn yng pling tept! Bil dikethui: A B C
37 ESPA4222/MODUL ) Tentukn (A + B) + C A B C D ) Tentukn (A B) + C A B C D ) Tentukn AB A
38 1.38 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis B. C. D ) Tentukn AI 3 A B C D ) Tentukn O 3 C A B
39 ESPA4222/MODUL C. D Cocokknlh jwbn And dengn Kunci Jwbn Tes Formtif 2 yng terdpt di bgin khir modul ini. Hitunglh jwbn yng benr. Kemudin, gunkn rumus berikut untuk mengethui tingkt pengusn And terhdp mteri Kegitn Beljr 2. Tingkt pengusn Jumlh Jwbn yng Benr 100% Jumlh Sol Arti tingkt pengusn: % bik sekli 80-89% bik 70-79% cukup < 70% kurng Apbil mencpi tingkt pengusn 80% tu lebih, And dpt meneruskn dengn Kegitn Beljr 3. Bgus! Jik msih di bwh 80%, And hrus mengulngi mteri Kegitn Beljr 2, terutm bgin yng belum dikusi.
40 1.40 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis Kegitn Beljr 3 Opersi Khusus A. DETERMINAN Determinn sutu mtriks dlh bilngn sklr yng diperoleh dri pengopersin elemen-elemen mtriks secr spesifik. Simbol yng digunkn untuk menunjukkn determinn dri sutu mtriks dlh, mislny mtriks A mk determinnny ditulis A. Determinn hny dpt dihitung dri mtriks bujur sngkr. Metode untuk memperoleh determinn sutu mtriks dlh sebgi berikut: Mislkn kit mempunyi sutu mtriks dengn dimensi 2 x 2: A mk determinnny dlh: A bilngn sklr Contoh 1.58: Jik A 2 4, mk A Tnd titik (.) pd contoh di ts digunkn untuk mewkili tnd perklin. Contoh 1.59: 2 0 Jik B 4 3, mk B (-2) Dri contoh-contoh di ts dpt diliht bhw determinn mtriks bujur sngkr dimensi 2 x 2 diperoleh dengn menglikn elemen-elemen pd digonl utm dn kemudin dikurngi dengn hsil kli kedu elemen yng lin. Kren dimensi dri mtriks yng dihitung tersebut dlh 2 x 2, mk determinnny disebut determinn tingkt du.
41 ESPA4222/MODUL Pd penulisn determinn dpt diliht bhw sutu determinn dipit oleh du gris tegk dn nili sutu determinn merupkn sklr (ngk). Jdi sutu determinn dpt disusut menjdi sutu bilngn. Berbed dengn mtriks yng tidk dpt disusut menjdi bilngn lin. Bgimn dengn determinn sutu mtriks yng berdimensi 3 x 3. Mislkn d sutu determinn yng dimensiny 3 x 3 berikut: mk determinnny kn bernili: A A ( sklr) Dri mn hsil tersebut diperoleh? Dengn meliht hsil khir yng diperoleh, nili A merupkn penjumlhn dri enm suku hsil kli dengn tig di ntrny didhului tnd minus dn tig yng lin dengn tnd plus. Hsil semcm itu sulit memng untuk dipikirkn jik kit hny meliht hsil khirny sj. Dlm modul ini dijelskn du cr untuk menghitung determinn tingkt tig, yitu metode short cut dn metode urin Lplce. B. METODE SHORT CUT Cr yng memudhkn dlm mencri psngn-psngn elemen yng hrus diklikn, yitu dengn menggunkn gmbr seperti ditunjukkn pd gmbr berikut ini.
42 1.42 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis Pd gmbr di ts, setip elemen telh dihubungkn dengn du elemen linny oleh gris pnh yng tidk terputus-putus dn gris yng terputus-putus. Cob sekrng ikuti rh gris penghubungny dengn cermt. Elemen-elemen yng dihubungkn dengn gris yng tidk putus dlh , dn Setip elemen yng dihubungkn dengn tnd pnh dpt diklikn dn hsil kliny merupkn bgin dri enm suku tersebut. Suku-suku hsil perklin tig elemen ini diberi tnd plus di depn. Pd pihk lin, setip elemen yng d di bris ts dihubungkn dengn elemen-elemen lin oleh gris yng pth-pth, yitu , dn Tig elemen dri msing-msing hubungn ini kemudin diklikn dn diwli tnd minus. Jumlh dri tig suku yng bertnd plus dn tig suku terkhir yng bertnd minus merupkn nili determinn. Untuk mengingt-ingt, perhtikn gmbr pnh-pnh tersebut! Nmpk seperti gmbr jntung hti. Ini kn memudhkn kit untuk menentukn psngn elemen-elemenny. Contoh 1.60: (1)(2)(4) + (-3)(0)(-1) + (2)(6)(5)-(2)(2)(-1) - (-3) (5) (4) - (1)(6)(0)
43 ESPA4222/MODUL Contoh 1.61: (1)(-5)(2) + (2)(-6)(0) + (3)(-1)(-4)-(3)(-5)(0)-(2)(-4)(2)-(1)(-1)(6) Contoh 1.62: (9)(1)(2) + (0)(0)(0) + (0)(0)(0) - (0)(1)(0) - (0) (0) (2) - (9)(0)(0) Contoh 1.63: (1)(4)(5) + (2)(6)(3)+ (3)(6)(2) - (3)(4)(3) - (2)(2)(5) - (1) (6) (6) Alterntif linny dlh dengn jln menuliskn kembli kolom pertm dn kedu di sebelh knn gris tegk, kemudin elemen-elemen dihubungkn dengn pnh seperti gmbr berikut ini: Elemen-elemen yng dihubungkn oleh gris yng turun dri kiri ts ke knn bwh kemudin diklikn dn msing-msing suku diberi tnd plus.
44 1.44 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis Elemen-elemen yng dihubungkn oleh gris yng turun dri knn ts ke kiri bwh diklikn dn diberi tnd minus. Keenm hsil perklin kemudin dipindhkn dn merupkn nili dri determinn, yitu: D Contoh 1.64: Berpkh determinn dri: A (1)(4)(9) + (2)(7)(5) + (8)(3) (6) -(8)(4)(5) - (1)(7)(6) -(2)(3)(9) Apbil menghitung determinn seperti yng dilkukn pd contoh di ts, dihitung lgi dengn cr sebelumny, mk sudh brng tentu hsilny kn sm. Cr yng mn yng kn And gunkn untuk menghitung determinn, nntiny diserhkn pd And sendiri. Tentuny, yng sebikny And gunkn dlh yng cr yng menurut And pling mudh. C. URAIAN LAPLACE Kedu cr yng dibhs di ts dlh cr mencri nili determinn tingkt tig. Bil And kn mencri nili determinn tingkt yng lebih tinggi, mk cr di ts tidk dpt diterpkn. Sebgi gntiny dpt digunkn cr Lplce yng bis disebut dengn urin Lplce. Cr ini dpt digunkn untuk determinn tingkt tig mupun tingkt yng lebih tinggi. Sebgi wl dri urin, mrilh kit bhs pengertin Lplce dri sutu determinn tingkt tig. Perhtikn determinn berikut:
45 ESPA4222/MODUL A Determinn A di ts dpt dipndng sebgi jumlh dri tig suku yng msing-msing suku merupkn hsil perklin ntr elemen bris pertm dengn sutu determinn tingkt du. Proses pengurin dri A inilh yng melukiskn pengurin Lplce dri sutu determinn. Determinn tingkt du yng disebutkn di ts tidk ditetpkn secr sembrng tetpi ditetpkn dengn menggunkn kidh tertentu. Determinn tingkt du yng pertm dlh merupkn determinn bgin dri A yng didpt dengn menghilngkn bris pertm dn kolom pertm dri A. Bgin ini disebut minor dri elemen 11, yitu elemen bris dn kolom yng dihilngkn dn ditulis M 11. Simbol M ij dpt jug digunkn untuk menytkn minor yng diperoleh dengn cr menghilngkn bris ke i kolom ke j. Dengn demikin, tentu bis ditebk bhw du determinn tingkt du linny dlh minor M 12 dn minor M 13, tu: M M M Konsep lin yng mempunyi hubungn ert dengn minor dlh kofktor. Kofktor ditulis dengn C ij dn didefinisikn sebgi minor dengn diserti tnd ljbr tertentu (mungkin minus tu plus). Aturn pemberin tnd dlh sebgi berikut. Jik jumlh indeks i dn j pd M ij genp, mk tnd pd kofktor sm dengn tnd minor. Jdi C ij M ij. Akn tetpi jik jumlh ntr i dn j gnjil, mk tnd pd kofktor kn berlwnn dengn tnd pd minor. Jdi C ij - M ij. Penentun tnd pd kofktor dpt dirumuskn menjdi: C ij (-1) i+j M ij Di sini dpt diliht bhw (-1) i+j kn positif bil i+j genp dn kn negtif bil i + j gnjil.
46 1.46 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis Contoh 1.65: Pd determinn M , minor dri elemen 3 dlh Kofktor dri elemen 3 dlh: C 12 (-1) 1+2 M 12 Kren i + j dlh gnjil, mk kofktor: C 12 - M Kofktor elemen bris pertm yng lin dlh C 11 M , dn C 13 M Dengn menggunkn cr Lplce, sutu determinn tingkt tig dpt diurikn menjdi: A 11 M M M C C C 13 ij C ij Nili determinn di ts didpt dengn mengurikn bris pertm dn menglikn elemen-elemen pd bris pertm dn kofktor psngnny.
47 ESPA4222/MODUL Perbedn tnd yng d pd mislny suku 12 C 12 dn 13 C 13 dlh kren perbedn lebih elemen tersebut. Bil dikehendki, bris yng diurikn tidk hrus bris stu tetpi dpt jug bris kedu tu yng lin bhkn dpt pul yng diurikn dlh kolomny, yitu kolom stu tu kolom du tu kolom yng lin. Penulisn bris tu kolom mnpun yng kn diurikn kn memberikn hsil yng sm. Contoh 1.66: Determinn A dpt dikerjkn dengn: 1. Mengurikn bris pertm: A (-9-10) - 1(0-8) Mengurikn bris kedu: A (-6-0) + 4(-3 + 2) - 5(0-4) Mengurikn kolom pertm: A (-6-0) + 2 (10 + 4)
48 1.48 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis Jdi dengn mengurikn kolom tu bris yng mnpun kn didpt nili determinn yng sm. Contoh 1.67: Nili determinn A mengurikn bris pertm: A dengn Hsil yng sm dpt diperoleh dengn mengurikn kolom kedu: A Dri contoh di ts, kit meliht sutu kenytn bhw kit mempunyi kebebsn untuk memilih bris tu kolom yng "mudh" untuk diurikn. Sutu bris tu kolom yng mengndung elemen-elemen yng pling bnyk bernili 0 tu 1 dlh yng disuki untuk tujun penghitungn determinn. Elemen yng bernili 0 bil diklikn dengn kofktorny kn sm dengn nol dn elemen yng niliny stu diklikn dengn kofktorny hsilny jels dlh kofktor itu sendiri. Dengn demikin kit dpt melkukn penghemtn dlm melkukn perklin. Pengurin Lplce dpt jug digunkn untuk menghitung determinn tingkt empt tu tingkt yng lebih tinggi lgi. Dlm sutu determinn tingkt empt B mislny: B b b b b b b b b b b b b b b b b
49 ESPA4222/MODUL Bris pertm memut empt elemen, yitu b 11, b 12, b 13, dn b 14. Seperti telh kit peljri, minor dri elemen b 11 dlh determinn B yng dihilngkn bris dn kolom pertmny. Kren minor bertingkt 3, mk kofktor jug bertingkt tig. Secr umum kit dpt menytkn bhw dengn pengurin Lplce, determinn tingkt n kn diciutkn menjdi n kofktor yng msing-msing bertingkt (n-1). Kemudin pengurin selnjutny kn membw determinn ke tingkt yng lebih rendh. Demikin seterusny sehingg khirny kn didpt determinn-determinn tingkt du yng dpt dihitung dengn mudh. Contoh 1.68: Berpkh nili determinn: A Untuk menghitung nili determinn A, mk sebikny kit memilih kolom 3 untuk diurikn kren pd kolom tersebut bnyk mengndung elemen yng bernili 0. Jdi, A Kemudin determinn pngkt tig di ts diurikn lgi, mislny: C kemudin bris pertm diurikn 0 6 8
50 1.50 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis C (24 + 0) + 7(18-0) Jdi A 7 C (-100) -700 D. SIFAT-SIFAT DETERMINAN Sekrng kit kn membhs sift-sift determinn. Ad 8 sift yng kn dibhs di sini, yitu: Sift 1: Nili sutu determinn tidk kn berubh bil brisny dignti dengn kolom tu seblikny kolom dignti bris. Pdhl kit sudh mempeljri bhw mtriks yng ditukr brisny dengn kolom tu seblikny merupkn trnspose dri mtriks tersebut. Jdi sift ke-1 ini dpt diktkn pul bhw determinn dri sutu mtriks A mempunyi nili yng sm dengn determinn dri trnspose-ny, A' tu A A' Contoh 1.69: Contoh 1.70: b c d c d bc b d
51 ESPA4222/MODUL Contoh 1.71: Sift 2: Jik dlm sutu bris (kolom) dri mtriks semu elemen niliny nol, mk nili determinn itu jug sm dengn nol. Contoh 1.72: Contoh 1.73: Contoh 1.74: Sift 3: Jik setip elemen pd sutu bris (kolom) dri sutu determinn diklikn dengn bilngn sklr k, mk nili determinn kn menjdi k kli nili determinn semul.
52 1.52 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis Contoh 1.75: A Bil B dlh determinn A yng bris pertmny diklikn 5, mk: B mk B 5 A Bil B dlh determinn A yng kolom keduny diklikn tig, mk: B mk B 3 A Contoh 1.76: A Bil A * dlh determinn A yng bris pertmny diklikn 4, mk: A Jdi A 4 A 0
53 ESPA4222/MODUL Bil A * dlh determinn A yng kolom ketigny diklikn 2, mk A Jdi A 2 A 0 Dri contoh-contoh di ts dpt diliht bhw perklin ntr sklr dengn sutu mtriks berbed dengn perklin ntr sklr dn determinn. Pd perklin sklr dengn mtriks, mk semu elemen pd mtriks hrus diklikn dengn sklr tersebut. Akn tetpi, pd determinn seperti yng And liht, perklin sklr dengn determinn hny dilkukn dengn menglikn sebuh bris tu kolom dengn sklr. Sift ini dpt digunkn untuk mengelurkn pembgi persekutun yng terdpt dlm sutu bris tu kolom. Contoh 1.77: 4 8 4(1) 4(2) (5-6) -4 Contoh 1.78: (2) (5-14) - 54
54 1.54 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis Sift 4: Bil du buh bris tu kolom dri sutu determinn ditukr temptny, mk tnd determinn kn berubh. Akn tetpi, nili mutlkny tetp sm. Contoh 1.79: A Sekrng bris ke-2 ditukr temptny dengn bris ke * A Jdi A - A * Contoh 1.80: B Sekrng kolom ke-2 ditukr dengn kolom 1, mk: B
55 ESPA4222/MODUL Contoh 1.81: A Bil bris pertm ditukr dengn bris ketig, mk: A Sift 5: Jik pd sutu determinn, elemen-elemen du bris tu du kolomny sm, mk nili determinnny sm dengn nol. Contoh 1.82: A Contoh 1.83: A Kren du bris tu kolom yng sm dri sutu determinn kn menyebbkn nili determinnny nol, mk ini jug berrti bhw sutu
56 1.56 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis determinn dengn bris tu kolom yng nili elemen-elemenny merupkn keliptn bris tu kolom yng lin kn memberikn nili determinn yng sm dengn nol. Hl itu mudh dimengerti kren bil keliptnny dikelurkn dri bris tu kolom kn menyebbkn kedu bris tu kolom menjdi sm. Sift nomor 5 menytkn bhw nili determinn itu sm dengn nol. Contoh 1.84: 2 2b A b bris ke stu merupkn 2x bris kedu 2 b b 0 Contoh 1.85: 3c d B bris pertm sm dengn bris kedu 3c d 3 c d c d 0 Contoh 1.86: A bris pertm merupkn 2x bris kedu Contoh 1.87: A kolom kedu merupkn 2x kolom
57 ESPA4222/MODUL Sift 6: Sutu determinn niliny tidk kn berubh bil elemen-elemen pd sutu bris tu kolom diklikn dengn sutu bilngn konstn kemudin ditmbhkn tu dikurngkn pd elemen-elemen dlm bris tu kolom yng lin. Contoh 1.88: b A c d d - bc Bris pertm diklikn k dn ditmbhkn pd bris kedu, mk: b c k d kb (d + kb) - b(c + k) d + kb - bc - kb d - bc A Contoh 1.89: 1 3 A Bris pertm diklikn stu kemudin untuk mengurngi bris ke du
58 1.58 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis Contoh 1.90: A Bris kedu diklikn 2 dn ditmbhkn pd bris ketig Contoh 1.91: A Bris pertm diklikn 2 kemudin untuk mengurngi bris kedu Bris ketig diklikn 2 kemudin untuk mengurngi bris pertm
59 ESPA4222/MODUL Bris ketig diklikn 2 kemudin untuk mengurngi bris pertm Kolom pertm ditmbhkn ke kolom Sift ke-6 ini ters pentingny jik kit kn mengurikn sutu determinn dengn cr Lplce. Elemen-elemen dlm stu bris tu kolom jik mungkin dijdikn nol dengn sift ke-6 ini. Semkin bnyk elemen yng bernili nol, mk pekerjn menghitung perklin menjdi lebih sedikit. Sift 7: Determinn dri perklin du buh mtriks sm dengn hsil kli determinn mtriks-mtriks tersebut, tu AB A B Contoh 1.92: Mislkn A B A B A B
60 1.60 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis AB Sift ke-6 digunkn, bris kedu dikurngi bris pertm AB Pdhl A B 7 X Jdi AB A B Sift 8: Determinn dri mtriks digonl dlh hsil kli elemen-elemen digonlny. 0 0 A 0 b 0 bc 0 0 c Contoh 1.93: A (1)(2)(4)(5)(3) 120 E. KAIDAH CRAMER Dlm mencri titik ekstrem sutu fungsi bisny kit terlibt pd pekerjn menyelesikn persmn linier secr serempk. Bil jumlh vribel yng dihdpi bnyk, mk penyelesin secr serempk persmnpersmn tersebut kn menjdi mslh tersendiri. Untuk mengtsi mslh
61 ESPA4222/MODUL tersebut biklh kit gunkn kidh Crmer. Bil kit menghdpi n buh persmn linier dengn n peubh yng bentuk umumny dpt ditulis: 11 x x x n x n c 1 11 x x x n x n c n1 x 1 + n2 x 2 + n3 x nn x n c n Dengn menggunkn mtriks, persmn-persmn di ts dpt ditulis menjdi: n x1 c n x 2 c n1 n2 n3... nn x n c n Nili x 1, x 2... x n dpt dicri dengn menggunkn rsio dri determinn: c... x n c n c... n n2 n3 nn A c n c n c... x2 A n1 n n3 nn
62 1.62 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis x n... c n... c c n1 2n n3 n A n n di mn A n1 n2 nn Untuk setip x i pd i 1, 2,... n, pembilngnny merupkn sutu determinn dri mtriks koefisien dengn kolom ke i dignti oleh konstn c yng d di sebelh knn tnd sm dengn pd persmn. Bil persmn tidk d penyelesinny mk A kn sm dengn nol. Contoh 1.94: Berpkh nili x dn y yng memenuhi persmn: x + 2y 1 3x + 4y 2 Dlm bentuk mtriks, persmn di ts dpt ditulis: 1 2 x y A x
63 ESPA4222/MODUL y Contoh 1.95: Berpkh x 1,x 2 dn x 3 dri persmn-persmn berikut: 3x 1 + x 2 - x 3 2 x 1-2x 2 + x 3-9 4x 1 + 3x 2 + 2x 3 1 Bentuk dlm mtriks, persmn di ts dpt ditulis: x x x A x x x
64 1.64 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis Contoh 1.96: Selesikn persmn berikut ini: x - 5y + 6z 7 3x + 3y - z 8 2x + 8y - 7z 1 Dlm bentuk mtriks, persmn di ts dpt ditulis: x y z A Kren A 0, mk persmn tersebut tidk d penyelesinny. LATIHAN Untuk memperdlm pemhmn And mengeni mteri di ts, kerjknlh ltihn berikut! Hitung determinn dri mtriks berikut ini: 7 1 1) 2 5 2) )
65 ESPA4222/MODUL ) ) Gunkn kidh Crmer untuk mendptkn kr-kr dri persmn berikut: 6) 3x + 2y 7 x + 3y 10 7) 2x 3y 4 x + 2y 9 8) x + 2y + 3z 10 2x + 3y + z 13 x + y + 10z 15 9) x + 2y + 3z 14 x y 3z 0 2x 4y - 4z 2 10) x + y 8 y - z 2 x + 3z 10 Petunjuk Jwbn Ltihn 1) )
66 1.66 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis 3) 4) 5) Jik elemen-elemen pd bris pertm diklikn 2, mk nili elemen-elemenny menjdi sm dengn bris ketig, mk determinnny dlh ( ) ( ) ) 3x + 2y 9 x + 3y 10 Persmn dpt ditulis menjdi x y Jdi, x 1; y x y 9 10
67 ESPA4222/MODUL ) 2x 3y 4 x + 2y 9 Persmn dpt ditulis menjdi x x 1 2 y y Jdi, x 5; y 2 8) x + 2y + 3z 10 2x + 3y + z 13 x + y + 10z x 10 Persmn dpt ditulis menjdi y z x
68 1.68 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis y z Jdi, x 3; y 2; z 1 9) x -3y + 3z 10 x y 3z 0 2x 4y - 4z 2 Persmn dpt ditulis menjdi x 10 y 0 z 2 x
69 ESPA4222/MODUL y z Jdi, x 7; y 1; z ) x + y 8 y - z 2 x + 3z 10 Persmn dpt ditulis menjdi x 8 y 2 z 10 x
70 1.70 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis y Jdi, x 4; y 4; z 2 RANGKUMAN Sift-sift determinn 1. A A' 2. Jik dlm sutu bris tu kolom elemen sutu mtriks bernili nol semu, mk nili determinn itu jug sm dengn nol. 3. Jik setip elemen pd sutu bris tu kolom dri sutu mtriks determinn diklikn dengn sutu skl k, mk nili determinn kn menjdi k kli nili determinn semul. 4. Bil du buh bris tu kolom dri sutu determinn ditukr temptny, mk determinn kn berubh kn tetpi nili mutlkny tetp sm. 5. Jik du bris tu kolom sutu determinn sm elemen-elemenny, mk nili determinn sm dengn nol. 6. Sutu determinn niliny tidk kn berubh bil elemen-elemen pd sutu bris tu kolom diklikn dengn sutu konstn kemudin ditmbhkn tu dikurngkn pd elemen-elemen dlm bris tu kolom yng lin.
71 ESPA4222/MODUL Determinn dri perklin du buh mtriks sm dengn hsil kli determinn mtriks-mtriks tersebut gr AB A B. 8. Determinn dri mtriks digonl dlh hsil kli elemen-elemen digonlny. TES FORMATIF 3 Pilihlh stu jwbn yng pling tept! 1) Determinn dri 4 1 dlh A. 8 B. 2 C. 0 D. -2 2) Determinn dri A. 33 B. 27 C. 9 D. 0 3) Determinn dri A. 60 B. 39 C. 15 D dlh dlh
72 1.72 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis 4) Akr dri persmn: 3x + 5y 32 4x + 2y 26 dlh... A. x 5; y 4 B. x 4; y 5 C. x -1; y 7 D. x 7; y -1 5) Akr dri persmn: 2x + 2y + z 17 x + 3y + 4z 18 y + 10z 13 dlh... A. x 5; y 4; z 1 B. x 3; y 5; z 2 C. x 5; y 3; z 1 D. x 4; y 1; z 3 Cocokknlh jwbn And dengn Kunci Jwbn Tes Formtif 3 yng terdpt di bgin khir modul ini. Hitunglh jwbn yng benr. Kemudin, gunkn rumus berikut untuk mengethui tingkt pengusn And terhdp mteri Kegitn Beljr 3. Tingkt pengusn Jumlh Jwbn yng Benr 100% Jumlh Sol Arti tingkt pengusn: % bik sekli 80-89% bik 70-79% cukup < 70% kurng Apbil mencpi tingkt pengusn 80% tu lebih, And dpt meneruskn dengn modul selnjutny. Bgus! Jik msih di bwh 80%, And hrus mengulngi mteri Kegitn Beljr 3, terutm bgin yng belum dikusi.
73 ESPA4222/MODUL Kunci Jwbn Tes Formtif Tes Formtif 1 1) D 2) B 3) D 4) C 5) B 6) A 7) D 8) A 9) B 10) D Tes Formtif 2 1) C 2) B 3) A 4) B 5) D Tes Formtif 3 1) D 2) A 3) D 4) B 5) C
74 1.74 Mtemtik Ekonomi dn Bisnis Dftr Pustk Bldni, Jeffrey, Jmes Brdfield, nd Robert Turner. Mthemticl Economics. The Dryden Press, Hrcourt Brce College Publisher. Dowling, Edwrd T. Introduction to Mthemticl Economics 2 nd. Schum s Outline Series, McGrw-Hill. Heussler, Ernest F., nd Richrd S. Pul. Introductory Mthemticl Anlysis for Bussiness Economics nd The Life Socil Science. Eight Edition. Prentice Hll Internsionl, Inc. Hoy, Michel, John Livernois, Chris McKenn, Ry Rees, nd Thnsis Stengos. Mthemtics for Economics. Addison-Wesley Publisher Limited. Jcques, In. Mthemticl for Economics nd Business. Second Edition. Addison-Wesley Publishing Compny. Weber, Jen D. Mthemticl Anlysis: Business nd Economic Apliction. New York: Hrper & Row, Inc.
Bab a. maka notasi determinan dari matriks A ditulis : det (A) atau. atau A.
Bb DETERMINAN MATRIKS Determinn sutu mtriks dlh sutu fungsi sklr dengn domin mtriks bujur sngkr. Dengn kt lin, determinn merupkn pemetn dengn domin berup mtriks bujur sngkr, sementr kodomin berup sutu
BAB 10. MATRIKS DAN DETERMINAN
Dessy Dwiynti, S.Si, MBA Mtemtik Ekonomi 1 BAB 10. MATRIKS DAN DETERMINAN 1. Pengertin mtriks Mtriks kumpuln bilngn yng disjikn secr tertur dlm bris dn kolom yng membentuk sutu persegi pnjng, sert termut
DETERMINAN. Misalkan A adalah suatu matriks persegi. a) Jika A memiliki satu baris atau satu kolom bilangan nol, maka det(a) = 0.
DETERMINAN Fungsi determinn dri sutu mtriks persegi A (dinotsikn dengn det(a) tu A ) didefinisikn sebgi jumlh dri semu hsil kli elementer bertnd dri A. Sementr, ngk tu bilngn dri det(a) disebut determinn
M A T R I K S. Oleh: Dimas Rahadian AM, S.TP. M.Sc.
M T R I K S Oleh Dims Rhdin M, S.TP. M.Sc Emil rhdindims@yhoo.com JURUSN ILMU DN TEKNOLOGI PNGN UNIVERSITS SEBELS MRET SURKRT DEFINISI... Mtriks dlh susunn bilngn berbentuk jjrn segi empt siku-siku yng
Kerjakan di buku tugas. Tentukan hasil operasi berikut. a. A 2 d. (A B) (A + B) b. B 2 e. A (B + B t ) c. A B f. A t (A t + B t ) Tes Mandiri
Mmt Apliksi SMA Bhs Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut A c A A b A A d A Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut (A + B) c (B A) b A + AB + B d B BA + A Sol Terbuk Kerjkn di buku tugs Jik X = dn
Universitas Esa Unggul
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS BHAN KULIAH DRA SURYARI PURNAMA, MM Universits Es Unggul Minggu I Mtriks Pokok Bhsn Sub Pokok Bhsn Tujun Instruksionl Umum Tujun Instruksionl Khusus : Pendhulun Mtriks : A. Pengertin
BAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Bb berikut ini kn disjikn mteri pendukung yng dpt membntu penulis untuk menyelesikn permslhn yng kn dibhs pd bb selnjutny. Adpun mteri pendukungny dlh pengertin mtriks, jenis-jenis
Aljabar Linear Elementer
ljbr Liner Elementer M SKS Silbus : Bb I Mtriks dn Opersiny Bb II Determinn Mtriks Bb III Sistem Persmn Liner Bb IV Vektor di Bidng dn di Rung Bb V Rung Vektor Bb VI Rung Hsil Kli Dlm Bb VII Trnsformsi
PERTEMUAN - 1 JENIS DAN OPERASI MATRIKS
PERTEMUN - JENIS DN OPERSI MTRIKS Pengertin Mtriks : merupkn sutu lt tu srn yng sngt mpuh untuk menyelesikn model-model liner. Definisi : Mtriks dlh susunn empt persegi pnjng tu bujur sngkr dri bilngn-bilngn
BAB III MATRIKS
BB III MTRIKS PENGERTIN MTRIKS Pengertin Mtriks Mtriks dlh susunn bilngn-bilngn ng berbentuk persegi tu persegi pnjng ng ditur dlm bris dn kolom Bentuk Umum Mtriks : i m i m i m j j j ij mj n n n in mn
VEKTOR. 1. Pengertian Vektor adalah besaran yang memiliki besar (nilai) dan arah. Vektor merupakan sebuah ruas garis yang
VEKTOR 1. Pengertin Vektor dlh besrn yng memiliki besr (nili dn rh. Vektor merupkn sebuh rus gris yng P berrh dn memiliki pnjng. Pnjng rus gris tersebut dlh pnjng vektor. Rus gris dri titik P dn berujung
Aljabar Linear Elementer
ljbr Liner Elementer M3 3 SKS Silbus : Bb I Mtriks dn Opersiny Bb II Determinn Mtriks Bb III Sistem Persmn Liner Bb IV Vektor di Bidng dn di Rung Bb V Rung Vektor Bb VI Rung Hsil Kli Dlm Bb VII Trnsformsi
BAB I. MATRIKS BAB II. DETERMINAN BAB III. INVERS MATRIKS BAB IV. PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN
DFTR ISI BB I. MTRIKS BB II. DETERMINN BB III. INVERS MTRIKS BB IV. PENYELESIN PERSMN LINER SIMULTN BB I. MTRIKS Mtriks erup sekelompok ilngn yng disusun empt persegi dn ditsi tnd terdiri dri ris dn kolom
BAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI. Mtriks Definisi. (Anton, Howrd. ). Mtriks dlh sutu susunn bilngn berbentuk segi empt. Bilngn-bilngn dlm susunn itu disebut nggot dlm mtriks tersebut. Ukurn (size) sutu mtriks dinytkn
SISTEM BILANGAN REAL. 1. Sifat Aljabar Bilangan Real
SISTEM BILANGAN REAL Dlm terminologi Aljbr Abstrk, sistem bilngn rel disebut dengn field (lpngn) pd opersi penjumlhn dn perklin. Sutu opersi biner bis ditulis dengn sutu psngn terurut (, b) yng unik dri
Minggu ke 3 : Lanjutan Matriks
inggu ke : Lnjutn triks Pokok Bhsn Sub Pokok Bhsn Tujun Instruksionl Umum Tujun Instruksionl Khusus : triks :. Trnsformsi Elementer. Trnsformsi Elementer pd bris dn kolom. triks Ekivlen. Rnk triks B. Determinn.
Matriks yang mempunyai jumlah baris sama dengan jumlah kolomnya disebut matriks bujur sangkar (square matrix). contoh :
TRIKS. PENGERTIN triks dlh sutu deretn elemen yng mementuk empt persegi pnjng, terdiri dri m ris dn n kolom. Elemen terseut dpt erentuk koefisien, ilngn tu simul. triks yng mempunyi m ris dn n kolom diseut
det DEFINISI Jika A 0 disebut matriks non singular
DETERINAN DEFINISI Untuk setip mtriks persegi (bujur sngkr), d stu bilngn tertentu yng disebut determinn Determinn dlh jumlh semu hsil kli elementer bertnd dri sutu mtriks bujur sngkr. Disimbolkn dengn:
A. PENGERTIAN B. DETERMINAN MATRIKS
ATRIKS A. PENGERTIAN triks dlh sutu deretn elemen yng mementuk empt persegi pnjng, terdiri dri m ris dn n kolom. Elemen terseut dpt erentuk koefisien, ilngn tu simul. triks yng mempunyi m ris dn n kolom
BAB ALJABAR MARIX Dlm pokok bhsn ini kn disjikn dsr-dsr opersi ljbr mtrix yng berhubungn dengn nlisis struktur dengn menggunkn metode mtrix kekkun (stiffness method)... Pengertin Mtrix Mtrix merupkn sutu
Matriks. Pengertian. Lambang Matrik
triks Pengertin Definisi: trik dlh susunn bilngn tu fungsi yng diletkkn ts bris dn kolom sert dipit oleh du kurung siku. Bilngn tu fungsi tersebut disebut entri tu elemen mtrik. mbng mtrik dilmbngkn dengn
2. Paman mempunyai sebidang tanah yang luasnya 5 hektar. Tanah itu dibagikan kepada 3. Luas tanah yang diterima oleh mereka masing-masing = 5 :3 1
. Hitunglh 7 5. : b. 5 : c. 8 : 6 d. 8 9 7 7 7 5 77 77 77. : c. 8 : 6 : 6 6 9 9 9 6 54 8 40 7 b. 5: 5 d. 4: 4: 4 6 8 7 95 Husein Tmpoms, Rumus-rumus Dsr Mtemtik 4 :. Pmn mempunyi sebidng tnh yng lusny
4. Perkalian Matriks. Riki 3 2 Fera 2 5. Data harga bolpoin dan buku (dinyatakan oleh matriks Q), yaitu
Sift-Sift Perklin Sklr Mislkn dn b sklr, D dn H mtriks sebrng dengn ordo sm, mk berlku sift-sift sebgi berikut. D + H (D + H) 2. D + bd ( + b)d 3. (bd) (b)d 4. Perklin Mtriks Du buh mtriks tu lebih selin
1. Pengertian Matriks
BAB MATRIKS BAB MATRIKS. Pengertin Mtriks. Opersi Mtriks. Trnspose Sutu Mtriks. Kesmn Duh Buh Mtriks. Jenis-Jenis Mtriks. Trnsformsi Elementer 7. Rnk Mtriks . Pengertin Mtriks Mtriks dlh dftr ilngn yng
Topik: Matriks Dan Sistem Persamaan Linier
Mt Kulih: Mtemtik Kode: TKF Topik: Mtriks Dn Sistem Persmn Linier MAT Kompetensi : Dpt menerpkn konsep-konsep mtriks dn sistem persmn linier dlm mempeljri konsep-konsep keteknikn pd mt kulih mt kulih progrm
MATRIKS. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
MTRIKS gustin Prdjningsih, M.Si. Jurusn Mtemtik FMIP UNEJ tinprdj.mth@gmil.com DEFINISI MTRIKS Sutu dftr bilngn-bilngn rel tu kompleks terdiri ts m bris dn n kolom, m dn n bilngn bult positip disebut mtriks
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE)
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE) Mcm Mtriks Mtriks Nol () Mtriks yng semu entriny nol. Ex: Mtriks Identits (I) Mtriks persegi dengn entri pd digonl utmny dn pd tempt lin.
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA
K- Kels X mtemtik PEMINATAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi definisi persmn dn pertidksmn logritm.. Dpt
3.1 Permutasi. Secara umum, bilangan-bilangan pada {1, 2,, n} akan mempunyai n! permutasi
BB Determinn . Permutsi Definisi Permutsi: (i) Sutu permutsi dri bilngn-bilngn bult {,,,, n} dlh penyusunn bilngn-bilngn tersebut dengn urutn tnp pengulngn. (ii) Brisn bilngn ( j, j,.., j n ) dimn j i
2.Matriks & Vektor (1)
.triks & Vektor () t Kulih: ljbr Liner dn triks Semester Pendek T. / S Teknik Informtik Dosen Pengmpu: Heri Sismoro,.Kom. STIK IKO YOGYKRT Jl. Ringrod Utr Condong Ctur Yogykrt. Telp. 7 88 Fx 7-888 Website:
r x = 0. Koefisien-koefisien persamaan yang dihasilkan adalah analitik pada x = 0. Jadi dapat kita gunakan metode deret pangkat.
Husn Arifh,M.Sc : Persmn Legendre Emil : husnrifh@uny.c.id Persmn diferensil Legendre (1) 1 x 2 y 2xy + n n + 1 y = 0 Prmeter n pd (1) dlh bilngn rill yng diberikn. Setip penyelesin dri (1) dinmkn fungsi
PROBLEM SOLVING TERKAIT DENGAN KELAS X SEMESTER 1 PADA STANDAR KOMPETENSI (SK) 1.
PROLEM SOLVING TERKIT DENGN KELS X SEMESTER PD STNDR KOMPETENSI (SK). LJR Memechkn mslh yng berkitn dengn bentuk pngkt, kr, dn logritm Oleh: Sigit Tri Guntoro. Du orng berselisih mengeni bnykny psngn bilngn
VEKTOR. Adri Priadana. ilkomadri.com
VEKTOR Adri Pridn ilkomdri.com Pengertin Dlm Fisik dikenl du buh besrn, yitu 1. Besrn Sklr. Besrn Vektor Pengertin Besrn Sklr dlh sutu besrn yng hny mempunyi nili dn dinytkn dengn sutu bilngn tunggl diserti
Skew- Semifield dan Beberapa Sifatnya 1
Skew- Semifield dn Beberp Siftny K r y t i Jurusn Pendidikn Mtemtik Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm Universits Negeri Yogykrt E-mil: ytiuny@yhoo.com Abstrk Sutu field ( lpngn ) F dlh struktur ljbr
Integral Tak Wajar. Ayundyah Kesumawati. March 25, Prodi Statistika FMIPA-UII
Kesumwti Prodi Sttistik FMIPA-UII Mrch 25, 205 Sutu integrl tertentu b f (x)dx () diktkn wjr jik i memenuhi du syrt berikut: i. Bts integrsi dn b merupkn bilngn berhingg ii. fungsi f (x) terbts pd intervl
MODUL 2 DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS
MODUL DETERMINN DN INVERS MTRIKS.. Determinn Definisi. (Determinn) Untuk setip mtriks berukurn n x n, yng dikitkn dengn sutu bilngn rel dengn sift tertentu dinmkn determinn, dengn notsi dri determinn mtriks
1) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persamaan kuadrat adalah seperti di bawah ini:
) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persmn kudrt dlh seperti di bwh ini: b c dengn, b, c bilngn dn riil Dimn, disebut sebgi koefisien dri b disebut sebgi koefisien dri c disebut
BAB I MATRIKS. Aljabar matriks merupakan salah satu cabang matematika yang. dikembangkan oleh seorang matematikawan Inggris Arthur Cayley ( ).
BAB I MATRIKS Aljbr mtriks merupkn slh stu cbng mtemtik yng dikembngkn oleh seorng mtemtikwn Inggris Arthur Cyley (8 89) Mtriks berkembng kren pernnny dlm cbng-cbng Mtemtik linny, mislny bidng ekonomi,
DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS BLOK 2 2
Buletin Ilmih Mth. Stt. dn Terpnny (Bimster) Volume 06, No. 3(2017), hl 193 202. DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS BLOK 2 2 Ilhmsyh, Helmi, Frnsiskus Frn INTISARI Mtriks blok merupkn mtriks persegi yng diblok
MATRIKS. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah.
MATRIKS Stndr Kompetensi : Menggunkn konsep mtriks, vektor, dn trnsformsi dlm pemechn mslh Kompetensi Dsr : Menggunkn sift-sift dn opersi mtriks untuk menentukn invers mtriks persegi Menggunkn determinn
BAB IV BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR
BAB IV BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR Pet Konsep Bilngn Berpngkt dn Bentuk Akr mempeljri Bilngn berpngkt meliputi Bentuk kr meliputi Sift Opersi Mersionlkn Opersi Sift Kt Kunci. Pngkt 2. Akr 3. Sift
matematika K-13 TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR K e l a s
K-3 mtemtik K e l s XI TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Memhmi teorem fktor.. Menentukn kr dn fktor liner suku nyk dengn
Catatan Kuliah 2 Matematika Ekonomi Memahami dan Menganalisa Aljabar Matriks (2)
Cttn Kulih Mtemtik Ekonomi Memhmi dn Mengnlis ljbr Mtriks (). Vektor dn kr Krkteristik pbil dlh mtriks berordo n n dn X dlh vector n, kn dicri sklr λ R yng memenuhi persmn : X λ X tu ( λi) X gr X (solusiny
MATRIKS Definisi: Matriks Susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Matriks ditulis sebagai berikut (1)...
MATRIKS Definisi: Mtriks Susunn persegi pnjng dri ilngn-ilngn yng ditur dlm ris dn kolom. Mtriks ditulis segi erikut ()... m... m... n... n......... mn Susunn dits diseut mtriks m x n kren memiliki m ris
NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN
Pert 9 (mengjrkomputer.wordpress.com) NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN 9. Definisi Sebuh mtriks bujur sngkr dengn orde n n mislkn A, dn sebuh vektor kolom X. Vektor X dlh vektor dlm rung Euklidin n R yng dihubungkn
A x = b apakah solusi x
MTRIKS INVERSI & SIFT-SIFTNY Bil, x, dlh sklr ilngn rel yng memenuhi x, mk x pil. Sekrng, untuk sistem persmn linier x pkh solusi x dpt diselesikn dengn x? Mtriks Identits Untuk sklr (rel numer dn ), mk.
Pengertian Matriks. B. Notasi Matriks. a 21 adalah elemen baris 2 kolom 1. Banyaknya baris : Banyaknya kolom : Ordo Matrik :
MATRIKS Segi gmrn wl mengeni mteri mtriks mri kit ermti urin erikut ini. Dikethui dt hsil penjuln tiket penerngn tujun Medn dn Sury dri seuh gen tiket selm empt hri erturut-turut disjikn dlm tel erikut.
Menerapkan konsep vektor dalam pemecahan masalah. Menerapkan konsep vektor pada bangun ruang
VEKTOR PADA BIDANG SK : Menerpkn konsep vektor dlm pemechn mslh KD : Menerpkn konsep vektor pd bidng dtr Menerpkn konsep vektor pd bngun rung TUJUAN PELATIHAN: Pesert memiliki kemmpun untuk mengembngkn
CHAPTER 1 EXPONENTS, ROOTS, AND LOGARITHMS
CHAPTER EXPONENTS, ROOTS, AND LOGARITHMS Indiktor (penunjuk): Mengubh bentuk pngkt negtif ke pngkt positif dn seblikny. (4 jp) A. EXPONENTS. Definition (ketentun): Positive Integers Exponents n = x x...
Sistem Persamaan Linear Bagian 1
Sistem Persmn Liner Bgin. SISTEM PERSAMAAN LINEAR PENGANTAR Dlm bgin ini kn kit perkenlkn istilh dsr dn kit bhs sebuh metode untuk memechkn sistem-sistem persmn liner. Sebuh gris dlm bidng xy secr ljbr
1. Introduction. Aljabar Linear dan Matriks Semester Pendek TA 2009/2010 S1 Teknik Informatika. Mata Kuliah: Dosen Pengampu: Heri Sismoro, M.Kom.
1. Introduction Mt Kulih: Aljbr Liner dn Mtriks Semester Pendek TA 9/1 S1 Teknik Informtik Dosen Pengmpu: Heri Sismoro, M.Kom. STMIK AMIKOM YOGYAKARTA Jl. Ringrod Utr Condong Ctur Yogykrt. Telp. 74 8841
CONTOH SOLUSI BEBERAPA SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M. 3. Untuk k 2 didefinisikan bahwa a
CONTOH SOLUSI BEBERAPA SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M. Dikethui bhw,. Untuk k didefinisikn bhw k k k. Tentukn jumlh tk hingg dri. Kit mislkn S S. Dengn demikin kit dpt menuliskn Kedu
MATRIKS A. Pengertian, Notasi dan Bagian Dalam Matriks
MATRIKS A. Pengertin, Notsi dn Bgin Dlm Mtriks Dlm kehidupn sehri-hri kit sering menemui dt tu informsi dlm entuk tel, seperti tel pertndingn sepkol, tel sensi kels, tel hrg tiket keret pi dn seginy..
METODE ALTERNATIF BARU UNTUK MENGHITUNG DETERMINAN MATRIKS ORDE 3 X 3
METODE ALTERNATIF BARU UNTUK MENGHITUNG DETERMINAN MATRIKS ORDE 3 X 3 Glng Ismu Hndoko 1, M Ntsir 2, Sigit Sugirto 2 1 Mhsisw Progrm S1 Mtemtik 2 Dosen Jurusn Mtemtik Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm
didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b
1 PENDAHULUAN 1.1 Sistem Bilngn Rel Untuk mempeljri klkulus perlu memhmi hsn tentng system ilngn rel, kren klkulus didsrkn pd system ilngn rel dn siftsiftny. Sistem ilngn yng pling sederhn dlh ilngn sli,
Vektor di R 2 dan R 3
Vektor di R dn R Pengertin Vektor dlh besrn yng mempunyi besr dn rh Vektor digmbrkn oleh rus gris yng dilengkpi dengn nk pnh vektor dimuli dri titik wl (initil point) dn dikhiri oleh titik khir (terminl
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN MENGGUNAKAN DETERMINAN (ATURAN CRAMER)
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN MENGGUNAKAN DETERMINAN (ATURAN CRAMER) Dikethui system Persmn Linier x+ x + x = x+ x + x = x+ x + x = dlm entuk mtriks x x x Penyelesin Dengn Aturn Crmer dlh
b. Notasi vektor : - Vektor A dinotasikan a atau a atau PQ - Panjang vektor a dinotasikan a atau PQ
BAB 4 VEKTOR Stndr Kompetensi: 3. Menggunkn konsep mtriks, vektor, dn trnsformsi Kompetensi Dsr: 3.4 Menggunkn sift-sift dn opersi ljbr vktor dlm pemechn mslh 3.5 Menggunkn sift-sift dn opersi perklin
Aljabar Linier & Matriks. Tatap Muka 3
Aljbr Linier & Mtriks Ttp Muk Eliminsi Guss-Jordn Sistem persmn linier dengn n vribel dn m persmn secr umum dinytkn sbg: Sistem persmn linier tsb dpt dinytkn dlm bentuk mtriks sbb: A x X = b dengn A dlh
ALJABAR LINIER _1 Matrik. Ira Prasetyaningrum
LJR LINIER _ Mtrik Ir Prsetyningrum DEFINISI MTRIKS pkh yng dimksud dengn Mtriks? kumpuln ilngn yng disjikn secr tertur dlm ris dn kolom yng mementuk sutu persegi pnjng, sert termut dintr sepsng tnd kurung.
Matriks. Bab II. Motivasi. Tujuan Pembelajaran
Mtriks Bb II Mtriks Sumber: Ensiklopedi Peljr, 999 Motivsi Secr umum mtriks merupkn sutu dftr yng berisi ngkngk dn ditulis di dlm tnd kurung. Dftr-dftr yng dpt ditulis dlm bentuk mtriks, mislny perolehn
matematika PEMINATAN Kelas X FUNGSI LOGARITMA K-13 A. Definisi Fungsi Logaritma
K-3 Kels mtemtik PEMINATAN FUNGSI LOGARITMA Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi definisi fungsi logritm.. Dpt menggunkn konsep fungsi logritm dlm menyelesikn
PELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU TANGGAL 28 JULI s.d. 10 AGUSTUS 2003 SUKU BANYAK. Oleh: Fadjar Shadiq, M.App.Sc.
PELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU TANGGAL 8 JULI s.d. 0 AGUSTUS 00 SUKU BANYAK Oleh: Fdjr Shdiq, M.App.Sc. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH PUSAT PENGEMBANGAN
6. Himpunan Fungsi Ortogonal
6. Himpunn Fungsi Ortogonl Mislkn f periodik dengn periode, dn mulus bgin demi bgin pd [ π, π]. Jik S f N (θ) = N n= N c ne inθ, n =,, 2,..., dlh jumlh prsil dri deret Fourier f, mk kit telh menunjukkn
FISIKA BESARAN VEKTOR
K-3 Kels X FISIKA BESARAN VEKTOR TUJUAN PEMBELAJARAN Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi pengertin besrn vektor.. Mengusi konsep penjumlhn vektor dengn berbgi metode.
TURUNAN FUNGSI. LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI
LA - WB (Lembr Aktivits Wrg Beljr) TURUNAN FUNGSI Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI Creted By It Yulin 33 Turunn Fungsi Kompetensi Dsr 1. Menggunkn
BAB 3 SOLUSI NUMERIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR
A SOLUSI NUMERIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Metode Eliminsi Guss Tinu sistem persmn liner ng terdiri dri i ris dn peuh, kni,,,, erikut.......... i i i Jik =, sistem persmn linern diseut sistem homogen, sedngkn
BAB II PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA
BAB II PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA ILUSTRASI Sony kn membeli sebuh motor secr kredit, ketentun yng ditwrkn oleh perushn lesing dlh, ung muk sebesr Rp.500.000,00 dn ngsurn perbulnny sebesr Rp 365.000,00
1. Matriks dan Jenisnya Definisi: Matrik A berukuran m x n ialah suatu susunan angka dalam persegi empat ukuran m x n, sebagai berikut:
triks dn opersiny by yudiri ATRIKS DAN OPERASINYA. triks dn Jenisny Definisi: trik A berukurn x n ilh sutu susunn ngk dl persegi ept ukurn x n, sebgi berikut: A = n n n triks berukurn (ordo) x n. tu A
Materi IX A. Pendahuluan
Mteri IX Tujun :. Mhsisw dpt memhmi vektor. Mhsisw mmpu mengunkn vektor dlm persoln sederhn 3. Mhsisw mengimplementsikn konsep vektor pd rngkin listrik. Pendhulun Sudh menjdi kesepktn umum hw untuk menentukn
LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN
LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN RANGKUMAN MATERI Sebelum memsuki mteri, perhtikn himpunn-himpunn berikut: ) Himpunn bilngn sli:,,,4,5,.... b) Himpunn bilngn bult:...,,,0,,,.... p c) Himpunn bilngn rsionl:
Bilangan. Bilangan Nol. Bilangan Bulat (Z )
Bilngn Bilngn Asli (N) (,2,, ) Bilngn Nol (0) Bilngn Negtif (,, 2, ) Bilngn Bult (Z ) Bilngn Pechn ( 2 ; 5 ; 5%; 6,82; ) 7 A. Bilngn Asli (N) Bilngn Asli dlh himpunn bilngn bult positif (nol tidk termsuk).
Matematika Lanjut 1. Onggo Wiryawan
Mtemtik Lnjut 1 Onggo Wirywn Setip mtriks persegi tu bujur sngkr memiliki nili determinn Nili determinn sklr Mtriks Singulr= Mtriks yng determinnny bernili 0 Determinn & Invers - Onggo Wr 2 Mislkn A sutu
III. Bab. Matriks. Di unduh dari: (www.bukupaket.com) Sumber buku : (bse.kemdikbud.go.id)
Bb III Mtriks 79 Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri bb ini, dihrpkn klin dpt. menjelskn ciri sutu mtriks;. menuliskn informsi dlm bentuk mtriks;. melkukn opersi ljbr ts du mtriks; 4. menentukn determinn
MODEL POTENSIAL 1 DIMENSI
MODEL POTENSIAL 1 DIMENSI 1. Sumur Potensil Tk Berhingg Kit tinju prtikel bermss m dengn energi positif, berd dlm sumur potensil stu dimensi dengn dinding potensil tk berhingg dn potensil didlmny nol,
STRATEGI PENGAJARAN MATEMATIKA UNTUK MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT
Jurnl Vol II. No., Mret 08, hlm. 9-95 vilble online t www.jurnl.un.c.id/indeks/jmp STRTEGI PENGJRN MTEMTIK UNTUK MENENTUKN KR-KR PERSMN KUDRT Indh Purnm Putri, Symsudhuh, Ihd Hsbiyti 3 Progrm Studi Mgister
MATEMATIKA DASAR. Bab Bilangan Irasional dan Logaritma. Drs. Sumardi Hs., M.Sc. Modul ke: 02Fakultas FASILKOM. Program Studi Teknik Informatika
MATEMATIKA DASAR Modul ke: 0Fkults FASILKOM Progrm Studi Teknik Informtik Bb Bilngn Irsionl dn Logritm Drs. Sumrdi Hs., M.Sc. Bgin Isi Bilngn Irsionl - Berbgi bentuk kr dn opersiny Logritm - Sift-sift
Materi V. Determianan dinotasikan berupa pembatas dua gris lurus,
Mteri V Tujun : 1. Mhsisw dpt mengenli determinn.. Mhsisw dpt merubh persmn linier menjdi persmn determinn.. Mhsisw menelesikn determinn ordo du. Mhsisw mmpu menelesikn determinn ordo tig. Mhsisw mengethui
Sistem Persamaan Linier
b I Sistem Persmn Linier I Sistem Persmn Linier TUJUN PEMELJRN: Mhsisw memhmi konsep-konsep tentng sistem persmn linier, eksistensi dn keunikn sistem persmn linier, keunikn sistem persmn linier homogen,
BAB I PENDAHULUAN. A. Latar belakang
BAB I PENDAHULUAN A. Ltr belkng Bnyk orng yng bernggpn bhw Mtemtik itu rumit, kren lsn itulh bnyk orng yng menghindri Mtemtik. Pdhl Mtemtik dpt kit jumpi di dlm kehidupn sehri-hri, dn mu tidk mu kit psti
DETERMINAN. Matematika Industri I. TIP FTP UB Mas ud Effendi. Matematika Industri I
DETERMINAN Mtemtik Industri I TIP FTP UB Ms ud Effendi Mtemtik Industri I Pokok Bhsn Determinn Determinn orde-ketig Persmn simultn dengn tig ilngn tidk dikethui Konsistensi sutu set persmn Sift-sift determinn
Jarak Titik, Garis dan Bidang dalam Ruang
Pge of Kegitn eljr. Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri kegitn beljr, dihrpkn sisw dpt :. Menentukn jrk titik dn gris dlm rung b. Menentukn jrk titik dn bidng dlm rung c. Menentukn jrk ntr du gris dlm rung.
Integral Kompleks (Bagian Kesatu)
Integrl Kompleks (Bgin Kestu) Supm Jurusn Mtemtik, FMIPA UGM Yogykrt 55281, INDONESIA Emil:mspomo@yhoo.com, supm@ugm.c.id (Pertemun Minggu XI) Outline 1 Fungsi Bernili Kompleks 2 Lintsn tu Kontur 3 Integrl
15. INTEGRAL SEBAGAI LIMIT
15. INTEGRAL SEBAGAI LIMIT 15.1 Jumlh Riemnn Dlm kulih Klkulus pd thun pertm, integrl Riemnn bisny diperkenlkn sebgi limit dri jumlh Riemnn, tidk mellui integrl Riemnn ts dn integrl Riemnn bwh. Hl ini
3 PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA
PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA.. Pngkt Pngkt dri seuh ilngn dlh sutu indeks ng menunjukkn nkn perklin ilngn ng sm secr eruntun. Notsi n errti hw hrus diklikn degn itu sendiri senk n kli. Notsi ilngn erpngkt
RUANG VEKTOR (lanjut..)
RUANG VEKTOR (Vector Spce) dn Rung Bgin (Subspce) 8/0/009 budi murtiys ums surkrt RUANG VEKTOR (VECTOR SPACE) Dikethui himpunn V dengn u, v, w V dn opersi i(+)b berlku dintr nggot-nggot t V. Dikethui Field
BAB 1 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN. Standar Kompetensi Mahasiswa memahami konsep dasar sistem bilangan real (R)
BAB PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN Stndr Kompetensi Mhsisw memhmi konsep dsr sistem bilngn rel (R) sebgi semest untuk menentukn selesin persmn dn pertidksmn, dpt mengembngkn bentuk persmn dn pertidksmn yng
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 3 Sistem Persmn Liner Sistem Persmn Liner Su Pokok Bhsn Pendhulun Solusi SPL dengn OBE Solusi SPL dengn Invers mtriks dn Aturn Crmmer SPL Homogen Beerp Apliksi
Bab. Vektor. A. Vektor B. Perkalian Vektor. Hasil yang harus Anda capai: menerapkan konsep besaran Fisika dan pengukurannya.
2 Sumer: Dsr-Dsr Foto Jurnlistik, 2003 esrn yng memiliki esr dn rh diseut esrn vektor. Keceptn merupkn slh stu esrn vektor. Vektor Hsil yng hrus nd cpi: menerpkn konsep esrn Fisik dn pengukurnny. Setelh
Aljabar Linear. Pertemuan 12_14 Aljabar Vektor (Perkalian vektor)
Aljbr Liner Pertemun 12_14 Aljbr Vektor (Perklin vektor) Pembhsn Perklin vektor dengn sklr Rung vektor Perklin Vektor dengn Vektor: Dot Product - Model dot product - Sift dot product Pendhulun Penmbhn
SUKU BANYAK ( POLINOM)
SUKU BANYAK ( POLINOM) Bb 16 Skl 8.Menyelesikn mslh yng berkitn dengn teorem sis tu teorem fktor A. PENGERTIAN SUKU BANYAK. Bentuk x x x... x x, dengn 0 dn n { bil. cch} 1 0 disebut dengn Suku bnyk (Polinomil)
ANALISIS NUMERIK. Inter polasi. SPL simultan. Akar Persama. linear
ANALISIS NUMERIK Inter polsi SPL simultn Akr Persm n Non liner INTERPOLASI Tujun Interpolsi bergun untuk menksir hrg-hrg tengh ntr titik dt yng sudh tept. Interpolsi mempunyi orde tu derjt. Mcm Interpolsi
matematika WAJIB Kelas X RASIO TRIGONOMETRI Kurikulum 2013 A. Definisi Trigonometri
Kurikulum 0 Kels X mtemtik WAJIB RASIO TRIGONOMETRI Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi rsio-rsio trigonometri yng meliputi sinus, kosinus, tngen,
MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN PANGKAT EMPAT. Supriyono Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo.
MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN PANGKAT EMPAT Supriyono Jurusn Pendidikn Mtemtik FKIP Universits Muhmmdiyh Purworejo Abstrk Tulisn ini terdiri bgin yitu () bgin pendhulun yng membhs bentuk umum persmn pngkt
3. LIMIT DAN KEKONTINUAN
3. LIMIT DAN KEKONTINUAN 1 3.1 Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi 1 1 Fungsi dits tidk terdeinisi di =1, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn berp
INTEGRAL FOURIER KED. Diasumsikan syarat-syarat berikut pada f(x): 1. f x memenuhi syarat Dirichlet pada setiap interval terhingga L, L.
INTEGRAL FOURIER Disumsikn syrt-syrt berikut pd f(x):. f x memenuhi syrt Dirichlet pd setip intervl terhingg L, L.. f x dx konvergen, yitu f(x) dpt diintegrsikn secr mutlk dlm (, ). Selnjutny, Teorem integrl
Penyelesaian Persamaan dengan Logaritma. Persamaan & Fungsi logaritma. Pengertian Logaritma 10/9/2013
10/9/013 Penyelesin Persmn dengn Logritm Persmn & Fungsi logritm Tim Dosen Mtemtik FTP Logritm dpt digunkn untuk mencri bilngn yng belum dikethui (bilngn x) dlm sebuh persmn, khususny persmn eksponensil
7. Ruang L 2 (a, b) f(x) 2 dx < }.
7. Rung L (, b) Rung L (, b) didefinisikn sebgi rung semu fungsi f yng kudrtny terintegrlkn pd [, b], ykni L (, b) := {f : b f(x) dx < }. Rung ini menckup fungsi-fungsi f yng tk terbts pd [, b] tetpi f
02. OPERASI BILANGAN
0. OPERASI BILANGAN A. Mm-mm Bilngn Rel Dlm kehidupn sehri-hri dn dlm mtemtik ergi keterngn seringkli menggunkn ilngn yng is digunkn dlh ilngn sli. Bilngn dlh ungkpn dri penulisn stu tu eerp simol ilngn.
MATERI I : VEKTOR. Pertemuan-01
MATERI I : VEKTOR Pertemun-0. Pendhulun Definisi Vektor didefinisikn segi esrn yng memiliki rh. Keeptn, gy dn pergesern merupkn ontoh ontoh dri vektor kren semuny memiliki esr dn rh wlupun untuk keeptn