Bab. Matriks. A. Pengertian dan Jenis. Matriks. B. Operasi Aljabar pada. Matriks

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Bab. Matriks. A. Pengertian dan Jenis. Matriks. B. Operasi Aljabar pada. Matriks"

Transkripsi

1 Bb IV Sumber: Mtriks Pd bb sebelumny, And telh mempeljri persmn dn pertidksmn. Bentuk persmn dpt diubh ke bentuk mtriks untuk mempermudh dlm perhitungn, mislny pliksi berikut ini. Ti, Mirn, dn Yenny kn memesn 3 mcm kue, kue yng dipesn Ti, dlh 3 kue rs cokelt, kue rs keju, dn kue rs susu. Mirn memesn kue rs cokelt, kue rs keju, dn kue rs susu, sedngkn Yenny memesn kue rs cokelt, 3 kue rs keju, dn kue rs susu. Jik hrg untuk stu kue rs cokelt, kue rs keju, dn kue rs susu msing-msing dlh Rp.000,00, Rp.500,00, dn Rp.500,00. Berpkh jumlh ung yng hrus dibyrkn oleh msingmsing orng? Mslh tersebut dpt diselesikn dengn menggunkn mtriks. Untuk itu, peljrilh bb ini dengn bik. A. Pengertin dn Jenis Mtriks B. Opersi Aljbr pd Mtriks C. Determinn dn Invers Mtriks D. Apliksi Mtriks dlm Penyelesin Sistem Persmn Liner Du Vribel 8

2 Tes Kompetensi Awl Sebelum mempeljri bb ini, kerjknlh sol-sol berikut.. Selesikn persmn berikut ini.. x + 5 = 3 b. (x + 9) + 6 = x + 0. Selesikn sistem persmn liner berikut dengn metode gbungn eliminsi dn substitusi.. x + y = 5 b. x y = 5x + y = 0 x + y = 3 A. Pengertin dn Jenis Mtriks Sumber: smtb.files.wordpress.com Gmbr. Dt bsensi sisw dpt ditmpilkn dlm bentuk mtriks. Pengertin Mtriks Dlm kehidupn sehri-hri And psti sering dihdpkn pd informsi yng disjikn dlm bentuk tbel. Sebgi contoh, jik And seorng pecint sepkbol, And psti sering memperhtikn dn mencri informsi mengeni klsemen sementr dri kejurn yng diikuti oleh tim kesyngn And. Bnyk informsi yng sering disjikn dlm bentuk tbel, dintrny dt rekening telepon, dt tgihn listrik, dt tbungn, hrg penjuln brng, dt bsensi sisw dn lin-lin. Sebgi ilustrsi wl untuk memhmi pengertin mtriks, peljri urin berikut. Dikethui dt kunjungn wistwn, bik domestik mupun sing di sutu objek wist selm empt buln berturut-turut, disjikn dlm tbel berikut (dlm ribun). Wistwn Tbel.. Jumlh kunjungn wistwn domestik dn sing Buln I II III IV Domestik Asing 3 Berdsrkn Tbel., And psti memperhtikn setip keterngn yng d terkit jumlh wistwn domestik mupun sing dlm bentuk ngk yng terter pd tbel yng disusun letkny berdsrkn bris dn kolom. Tbel yng bru And bc dpt disederhnkn dengn menghilngkn keterngn-keterngn yng terdpt pd tbel, dn menggnti tbel dengn tnd kurung seperti berikut ini Kini, dt yng telh diubh bentukny hny terdiri ts bilngnbilngn yng disusun menurut bris dn kolom. Bentuk bru seperti inilh yng dinmkn sebgi mtriks. Mtriks merupkn kumpuln bilngn yng tersusun menurut bris dn kolom sedemikin sehingg tmpk seperti bentuk sebuh persegipnjng. Sebuh mtriks memut tnd kurung sebgi pembts. Tnd kurung yng digunkn dpt berup tnd kurung bis tupun tnd kurung siku. Pd umumny, mtriks diberi nm dengn memki huruf kpitl, seperti A, 8 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

3 B, C. Bilngn-bilngn yng menyusun sebuh mtriks dinmkn unsur tu nggot dri mtriks tersebut dn dinotsikn dengn huruf kecil berindeks yng menytkn letk dri unsur tersebut dlm mtriks (bris dn kolom). Perhtikn kembli mtriks pd urin sebelumny. Mislkn mtriks tersebut dlh mtriks A mk A = Pd mtriks A, yng dimksud dengn 3 dlh unsur dri mtriks A yng berd pd bris kedu dn kolom ketig, yitu. Jik And perhtikn, mtriks A terdiri ts buh bris dn buh kolom. Bnykny bris dn kolom yng menyusun sebuh mtriks dinmkn sebgi ordo tu ukurn mtriks. Sehingg mtriks A disebut sebgi mtriks berordo. Secr umum, mtriks dengn m bris dn n kolom dpt disjikn sebgi berikut. A = m n é ù... n... n ú úúúú ëê m m... mn û bris bris bris m Info Mth Arthur Cyley (8 895) kolom kolom kolom n Contoh Sol. Dikethui, mtriks 3 B = 5 Tentukn:. ordo mtriks B, b. b dn b 3, c. bnykny elemen pd mtriks B. Jwb:. Ordo dri mtriks B dlh 3 kren mtriks B terdiri dri bris dn 3 kolom. b. b rtiny unsur mtriks B yng terletk pd bris ke- dn kolom ke- sehingg b =. b 3 rtiny unsur mtriks B yng terletk pd bris ke- dn kolom ke-3 sehingg b 3 =. c. Mtriks B memiliki 6 unsur. Teori tentng mtriks pertm kli dikembngkn oleh Arthur Cyley (8 895) pd 857. Sekrng, mtriks telh menjdi lt yng bergun di berbgi bidng. Adpun metode determinn ditemukn oleh Seki Kow (6 708) pd 683 di Jepng dn ditemukn pul oleh Gottfried Wilhelm Von Leibnitz (66 76) di Jermn. Keduny hny menggunkn mtriks dlm persmn liner. Sumber: Finite Mthemtics nd It's Applictions, 996 Mtriks 83

4 Contoh Sol. Tentukn mtriks koefisien dri sistem persmn liner berikut. x + y z = 6 x y + z = x + y 3z = 9 Jwb: Mtriks koefisien dri sistem persmn tersebut dlh 3 Tugs. Diskusikn dengn temn sebngku And.. Apkh mtriks persegi merupkn mtriks digonl? Berikn lsnny.. Apkh mtriks digonl merupkn mtriks persegi? Berikn lsnny.. Jenis-Jenis Mtriks Mtriks terdiri ts berbgi jenis ntr lin, mtriks nol, mtriks bris, mtriks kolom, mtriks persegi, mtriks segitig ts, mtriks segitig bwh, mtriks digonl, dn mtriks identits. Agr And lebih memhmi mengeni jenis mtriks tersebut perhtikn urin mteri berikut.. Mtriks Nol Mtriks nol dlh mtriks yng semu elemenny bernili nol, contohny é0 0ù 0 0 A = 0 0 B = 0 0 C = [ 0 0 0] ê ë0 0ú û Semu unsur pd mtriks A, B, dn C dlh ngk 0, sehingg disebut sebgi mtriks nol. b. Mtriks Bris Mtriks bris dlh mtriks yng hny terdiri ts stu bris sj, contohny P = [ 5 3] Q = [-3 ] R = [ 6 0-6] Mtriks P berordo 3, Q berordo, dn R berordo. Mtriks P, Q, dn R di ts hny memiliki stu bris sj sehingg disebut sebi mtriks bris. c. Mtriks Kolom Mtriks kolom dlh mtriks yng terdiri ts stu kolom, contohny é-ù é K = 3 ù ê ëú L = M = û 6 3 ëê 5 ûú Mtriks K berordo, mtriks L beordo 3, dn mtriks M berordo. Mtriks K, L, dn M di ts hny memiliki stu kolom sj sehingg disebut sebgi mtriks kolom. d. Mtriks Persegi Mtriks persegi dlh mtriks yng bnyk bris dn bnyk kolomny sm, contohny é 0 -ù 8 N = 7 M = ê ë 6 ú û 8 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

5 Mtriks N berordo dn mtriks M berordo 3 3. Kren bnykny bris sm dengn bnykny kolom, mk mtriks N dn M disebut sebgi mtriks persegi. e. Mtriks Segitig Ats Mtriks segitig ts dlh mtriks persegi yng elemen di bwh digonl utmny bernili nol, sebgi contohny b c 0 d e 0 0 f digonl utm f. Mtriks Segitig Bwh Mtriks segitig bwh dlh mtriks persegi yng elemen di ts digonl utmny bernili nol, contohny 0 0 b c 0 d e f g. Mtriks Digonl Mtriks digonl dlh mtriks persegi yng elemen-elemenny bernili nol, keculi pd digonl utmny tidk sellu nol, sebgi contoh b c h. Mtriks Identits Mtriks identits dlh mtriks sklr yng elemen-elemen pd digonl utmny bernili, Kesmn Du Mtriks Dlm mtriks dikenl dny kesmn du mtriks yng didefinisikn sebgi berikut. Du mtriks diktkn sm jik ordo yng dimiliki keduny sm, dn elemen-elemen yng bersesuin (seletk) sm. Supy And lebih memhmi definisi tersebut, peljri contoh sol berikut. Contoh Sol.3 Dikethui mtriks-mtriks berikut. A = 5 C = B = 5 D 5 = 0 Solusi Dikethui mtriks b c = b Nili dri + b + c =.... d. 8 b. e. 0 c. 6 Jwb: = b = = = c = b = = 8 Nili dri + b + c = = Jwbn: b Sumber: UAN SMK 003 Mtriks 85

6 Solusi Tentukn pkh:. A = B, c. A = D. b. A = C, Jwb:. A B kren ordo mtriks A tidk sm dengn ordo mtriks B. b. A = C kren ordo mtriks A sm dengn ordo mtriks B dn elemenelemen yng bersesuin pd mtriks A sm dengn elemen-elemen pd mtriks C. c. A D kren elemen-elemen yng bersesuin pd kedu mtriks tersebut d yng tidk sm, yitu d. Jik 3 p P = p + q , Q = q 5 r 6 8 dn P = Q T mk nili p, q, dn 3r berturut -turut dlh....,, dn 3 b.,, dn 9 c. 3,, dn d. 3,, dn 3 e. 3,, dn Jwb: P = Q T Q T = q Contoh Sol. 3 3x Jik A = dn B = y mk tentuknlh nili x + y. Jwb: 3 3 = x y Kren A = B mk diperoleh 3x = 3 dn y = x = y = Dengn demikin, x + y = + ( ) = Jdi, nili dri x + y dlh. dn A = B P = Q T 3 p 3 6 p + q 8 = r 5 q p = 6 p = 3 p + q = q = 7 q = q = r = q r = = Jdi, nili dri p = 3, q = dn 3r = 3. Jwbn: d Sumber: UN SMK 007. Trnspos Mtriks é ù 3 Dlm sebuh mtriks A dimn A =, setip bris dri mtriks 3 ê ë3 3 ú 33 û A dpt diubh menjdi kolom dn jug seblikny setip kolom dri mtriks A menjdi bris dri sutu mtriks yng bru mislny mtriks B, mk mtriks B disebut trnspos dri mtriks A, ditulis: B = A T é ù 3 B = 3. ê ë3 3 ú 33 û Contoh Sol.5 5 Jik A = 3 Tentukn:. A T b. B T dn B = Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

7 Jwb:. é5 -ù A = mk A T = é 5 ù ê ú ê ú ë 3 û ë 3û b. é ù B = mk B T = é 0 ù 0 ê ú ê ë- 3ú ë 3 û û Contoh Sol.6 Dikethui mtriks-mtriks berikut. 5 x R = S = 5 dn 3 y 3 Jik R = S T, tentukn nili x + y. Jwb: 5 y x S = 5 T S = x 3 y 3 kren R = S T mk 5 y 5 3 = x 3 Dri persmn tersebut diperoleh x = dn y = x = 8 y = dengn demikin, x + y = 8 + = 8. Jdi, nili x + y dlh 8. Ltihn Sol. Kerjknlh sol-sol berikut.. Dikethui mtriks berikut. 0 5 B = Tentukn:. ordo mtriks B, b. elemen-elemen pd kolom ke-3 mtriks B, c. nili dri b dn b 3.. Untuk setip sistem persmn liner berikut, tulislh mtriks koefisienny.. 3x + y = x y = 3 x = 8 b. 6x + 5y = 3 x y + z = c. x + y z = 7 x + y 3z = 6 3. Dikethui p p A = 3 B + 8 q dn = 5 30 Jik A = B, tentukn nili p + q. Mtriks 87

8 . Dikethui kesmn mtriks berikut b c = b Tentukn nili + b + c. 5. Tentukn mtriks trnspos dri mtriks-mtriks berikut. 3 c. P = b d c. Q = b. R = 3 6. Dikethui 3 K = x dn L = x + y 6 Jik K = L T, tentukn nili dri x dn y yng memenuhi persmn tersebut. B. Opersi Aljbr pd Mtriks Sumber: dunimusikinstrument.com Gmbr. Menggmbrkn sejumlh lt musik yng kn dibeli oleh SMK A dn B di sutu toko lt musik Pd subbb sebelumny, telh And peljri mengeni pengertin, jenis-jenis, kesmn, dn trnspos dri sutu mtriks. Peljrn selnjutny pd subbb ini dlh opersi ljbr pd mtriks. Jdi, sm seperti pd bilngn, pd mtriks pun berlku sift-sift opersi ljbr.. Penjumlhn dn Pengurngn Mtriks Sebgi ilustrsi wl, supy And lebih memhmi penjumlhn pd mtriks, peljrilh urin berikut. Di sebuh kot terdpt du SMK yng menyelenggrkn progrm kesenin khususny gitr, pino, drum, dn biol. Berikut ini dlh tbel yng menyjikn jumlh lt-lt musik yng dimiliki oleh kedu sekolh tersebut. Tbel.. Jumlh lt-lt musik yng dimiliki SMK Gitr Pino Drum Biol SMK A 0 6 SMK B Berdsrkn Tbel.. di ts SMK A memiliki 0 gitr, pino, drum, dn 6 biol. SMK B memiliki 8 gitr, 3 pino, drum, dn 9 biol. Dikrenkn pd thun jrn bru ini kedu SMK tersebut menmbh dy tmpung siswny sedemikin rup sehingg lt-lt musik yng diperlukn untuk kegitn beljr-mengjr pun perlu ditmbh. Oleh kren itu, kedu SMK tersebut melkukn pembelin lt-lt musik bru untuk melengkpi kekurngn lt-lt musik pd msing-msing SMK. Dftr jumlh pembelin lt-lt musik bru yng dibeli oleh kedu SMK tersebut disjikn dlm tbel berikut. Tbel.3. Jumlh lt-lt musik yng di beli SMK Gitr Pino Drum Biol SMK A SMK B 7 88 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

9 Berdsrkn tbel.. dikethui bhw SMK A membeli 0 gitr, pino, 7 drum, dn 6 biol, sedngkn SMK B memiliki gitr, pino, drum dn 7 biol. Setelh dny penmbhn lt-lt musik tersebut, dptkh And menentukn bnykny lt-lt musik menurut jenisny di msing-msing SMK tersebut? Dpt dipstikn And dpt menjwb pertnyn tersebut kren And hny tinggl menjumlhkn msing-msing bnykny lt musik pd setip SMK, menurut jenis lt musikny. Proses penjumlhn pd kedu tbel tersebut sm dengn proses penjumlhn tupun pengurngn pd mtriks. Elemen-elemen yng dijumlhkn tupun dikurngkn hrus sejenis dn pd sumber yng sm (mislny, bnykny gitr pd SMK A psti ditmbhkn dengn bnyk gitr yng dibeli oleh SMK A). Du buh mtriks dpt dijumlhkn tu dikurngkn pbil ordo dri kedu mtriks tersebut sm. Opersi penjumlhn dn pengurngn pd mtriks dilkukn dengn cr menjumlhkn tu mengurngkn elemen-elemen yng bersesuin (seletk). Jik kedu dt pd tbel And ubh ke dlm bentuk mtriks, And kn memperoleh mtriks A dn B berikut ini. A = B = Jik mtriks A dn mtriks B dijumlhkn, diperoleh A + B = = = Dn jik mtriks A dikurngi mtriks B, diperoleh A B = = = Mislkn, Tugs. A = 3 B = dn C = 5 Hitung:. (A + B) e. (B + C) b. (B + A) f. (A + B) + C c. (A B) g. A + (B + C) d. (B A) Dri hsil yng And peroleh, p yng dpt And simpulkn? Contoh Sol.7 Dikethui mtriks-mtriks berikut A = B C D = = = Tentukn:. A + C b. B D Mtriks 89

10 c. A + B d. D A Jwb: 5. A + C = ( ) = = 5 0 Tugs.3 Mislkn, A = 3 B = 3, 5 p = dn q = 3 Hitung:. (p + q) A dn pa + qa b. p (A + B) dn pa + pb c. p (qa) dn (pq) A Dri hsil yng And peroleh, p yng dpt And simpulkn? 3 5 b. B D = = ( 3) = c. Pd mtriks A dn mtriks B tidk dpt dilkukn opersi penjumlhn kren ordo mtriks A tidk sm dengn ordo mtriks B. d. Pd mtriks D dn mtriks A tidk dpt dilkukn opersi pengurngn kren ordo mtriks D tidk sm dengn ordo mtriks A.. Perklin Sklr dengn Mtriks Jik A dlh sutu mtriks dn k dlh bilngn riil mk ka dlh mtriks bru yng elemen-elemenny diperoleh dri hsil perklin k dengn setip elemen pd mtriks A. Supy And lebih memhminy, peljri contoh berikut dengn bik. Contoh Sol.8 Dikethui: A = 3 B = 8 3 dn Tentukn:. A b. 3B c. (A + B) Jwb: é A = - ù ê 5 6ú = é (- ) ( ) ù ë û ëê ( 5) ( 6) = é ù ûú ê ë0 ú û ( ) ( ) é b. 3B = 3 - ù ê 7 -ú = é - ù ë û ëê 3( 7) 3( -) = é ù ûú ê ë 6ú û e. ( A + B)= = = 8 90 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

11 3. Perklin Mtriks Du buh mtriks A dn B dpt diklikn, jik bnyk kolom pd mtriks A sm dengn bnyk bris pd mtriks B. Elemen-elemen pd mtriks A B diperoleh dri penjumlhn hsil kli elemen bris pd mtriks A dengn elemen kolom pd mtriks B. Sebgi contoh, diberikn mtriks A dn mtriks B sebgi berikut. b b A = B = dn b b 3 3 b A B = b mk 3 b3 b b + b3 b + b = 3b + b3 3b + b Supy And lebih memhmi perklin mtriks, peljri contoh sol berikut. Contoh Sol.9 Dikethui mtriks-mtriks berikut P = Q R, = dn = 5 3 Tentukn:. P Q b. Q P c. P R d. R P Jwb: é 3ù é 3 ù. P Q = ê ë - ú ê û ë- ú = é ù 5 ê û ë ú = é 3 0ù ê û ë 7 ú û é 3 ù é 3ù b. Q P = ê ë - ú ê û ë- ú = é ù 5 ê û ë ú = é 9ù ê û ë 0 7 ú û Mislkn, Tugs. A = B, = 5 3 dn C = 3 7 Hitung:. AB, BA, dn BC b. (AB) C dn A (BC) c. (B + C) dn AC d. A (B + C) A dn (BA + CA) e. (B + C) A dn (BA + CA) Dri hsil yng And peroleh, p yng dpt And simpulkn? c. é 3ù é 0 -ù P R = ê ë - ú ê û ë - - ú = é ù 5 3 ê û ú ë û 6 = é ù ê ë6 0 ú û d. Hsil kli mtriks R dn mtriks P tidk d kren bnyk kolom pd mtriks R tidk sm dengn bnyk bris pd mtriks P. Mtriks 9

12 Solusi Dikethui mtriks A = 3 B, =. Mtriks 5A B dlh b c d. 7 e. 3 8 Jwb: 5A B = Jwbn: c Sumber: UN SMK 00. Perpngktn Mtriks Persegi Sift perpngktn pd mtriks, sm hlny seperti sift perpngktn pd bilngn-bilngn, untuk setip bilngn riil, berlku = 3 = n = sebnyk nfktor Pd mtriks pun berlku hl yng sm untuk setip mtriks persegi A berlku A = A A 3 A = A A A n A = A A A sebnyk nmtriks Supy And memhmi mteri perpngktn mtriks, peljri contoh sol berikut. Contoh Sol.0 Dikethui mtriks A = 0 Tentukn:. A dn A 3 b. 3A A 3 Jwb:. A = A A = 0 0 = 3 3 A = A A = 3 0 = b A A = = 6 6 = Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

13 Contoh Sol. Dikethui mtriks-mtriks x y P = 0 Q = dn 3z w Tentukn nili-nili w, x, y, dn z sedemikin rup hingg dipenuhi persmn P = Q. Jwb: P = Q P P = Q 0 0 x = 3z 0 = x 3z 0 = x 8 3z y w y w y w Dengn memperhtikn elemen-elemen seletk pd kedu mtriks, mk diperoleh w = 8 w = 8 x = x = y = 0 3z = z = 3 Jdi, nili w, x, y, dn z yng memenuhi persmn P = Q berturut-turut dlh 8,, 0, dn. Ltihn Sol. Kerjknlh sol-sol berikut.. Crilh hsil opersi mtriks berikut c b d Jik 5 + k =, tentukn nili k Crilh mtriks P yng memenuhi persmn 3 = = P 8. Dikethui mtriks-mtriks berikut. 3 A = B C, = dn = 6 8 Tentukn:. A + B b. A 3B c. AB + AC d. A (B + C) 5. Dikethui mtriks-mtriks berikut. é5 -ù é X = Y = - ù dn ê ú ê ú ë 0 û ë û Tentukn:. X + Y b. X 3 + XY Mtriks 93

14 C. Determinn dn Invers Mtriks. Determinn Pd Subbb A And telh dikenlkn pd mtriks persegi, yitu mtriks yng jumlh bris dn jumlh kolomny sm. Pd bgin ini, And kn dikenlkn pd determinn dri sutu mtriks persegi.. Determinn Mtriks Mislkn A dlh mtriks persegi ordo berikut. b A = c d Determinn dri mtriks A didefinisikn sebgi selisih ntr hsil kli elemen-elemen pd digonl utm dengn hsil kli elemen-elemen pd digonl sekunder. Determinn dri mtriks A dinotsikn dengn det A tu A. Berdsrkn definisi determinn, diperoleh determinn dri mtriks A sebgi berikut. Info Mth Seki Kow tu Seki Tkkzu ( ) dlh seorng mtemtikwn dri Jepng yng menciptkn sistem notsi bru mtemtik yng digunkn di bnyk teorem dn teori. Sumbngn terkenl dri Seki pd ljbr dlh menemukn determinn. Beliu hny dpt menyelesikn mtriks ordo dn 3 3, dn ggl untuk ordo yng lebih tinggi. Akn tetpi, muridny, yitu Lplce berhsil menyelesikn unsur untuk mtriks ordo yng lebih tinggi yng digunkn untuk mengeliminsi vribel pd sistem persmn. Sumber: en.wikipedi.org digonl sekunder b det A = A = = ( d)- ( b c)= d -bc c d digonl utm Contoh Sol. Tentukn nili determinn dri mtriks-mtriks berikut. A = 3 B = dn 7 Jwb: det A = = (- (- ))-(- 3 ) = + 6 = 0 det B = = (- ) - - ( )-(-7 ) = = 7 Contoh Sol.3 Dikethui mtriks-mtriks berikut. x A = 5 B 8 x dn = Jik det A = det B, tentukn nili-nili x yng memenuhi persmn tersebut. Jwb: det A x 5 = = ( x)( x) ( 5) = x 0 x 8 det B = = ( ) ( )( ) = Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

15 Kren det A = det B mk x 0 = 6 x = 3 x = 6 x = ± Jdi, nili-nili x yng memenuhi persmn tersebut dlh dn. b. Determinn Mtriks 3 3 Mislkn, A mtriks persegi berordo 3 3 berikut ini. b c A = d e f g h i Untuk mencri nili determinn dri mtriks A yng berordo 3 3, digunkn Metode Srrus. Adpun lngkh-lngkh Metode Srrus dlh sebgi berikut. ) Slin kembli kolom pertm dn kolom kedu dri mtriks A kemudin diletkkn di sebelh knn tnd determinn. ) Hitung jumlh hsil kli elemen-elemen pd digonl utm dn digonl lin yng sejjr dengn digonl utm. Nytkn jumlh tersebut sebgi D. b c d e f g h i d g b e h D = ()(e)(i) + (b)(f)(g) + (c)(d)(h) 3) Hitung jumlh hsil kli elemen-elemen pd digonl sekunder dn digonl lin yng sejjr dengn digonl sekunder. Nytkn jumlh tersebut sebgi D. b c d e f g h i d g b e h D = (g)(e)(c) + (h)(f)() + (i)(d)(b) ) Determinn dri mtriks A dlh pengurngn D oleh D, mk det A = D D b c det A = d e f d g h i g b e h Solusi Determinn dri mtriks dlh d. b. e. c. Jwb: Gunkn turn Srrus det A = A = = (5)()(0) + (3)( )() + (0)(0)( ) ()()(0) ( )( )(5) (0)(0)(3) = Jwbn: Sumber: UN SMK 007 = ()(e)(i) + (b)(f)(g) + (c)(d)(h) (g)(e)(c) (h)(f)() (i)(d)(b) = D D Berdsrkn nili diskriminnny sutu mtriks dibedkn menjdi jenis yitu mtriks singulr dn mtriks non singulr. Mtriks singulr dlh mtriks yng determinnny nol, sedngkn mtriks non singulr dlh mtiks yng determinnny tidk sm dengn nol. Mtriks 95

16 Contoh Sol. Tentukn nili determinn dri mtriks berikut. 5 A = Mislkn, Tugs.5 A = B = Hitung:. AB dn BA b. A dn B c. (AB) dn (BA) d. A B e. B A Dri hsil yng And peroleh, p yng dpt And simpulkn? Jwb: det A = ( ) + = ( 3) 3 ( 0) + ( 5 ) ( 0 ( 3) 5) + ( ( ) ) + ( 3 ) = [ ] [ + ] = 7. Invers Mtriks Pd ljbr bilngn, And telh mengenl bhw jik sutu bilngn diopersikn dengn invers perklinny mk kn diperoleh unsur identits. Begitu pul dlm mtriks, jik sutu mtriks diklikn dengn inversny mk kn diperoleh mtriks identits. Supy And lebih memhmi pernytn tersebut, peljri ilustrsi berikut. Mislkn, A = 3 B 3 dn = 3 3 mk AB = 3 3 = = Kren perklin ntr mtriks A dn mtriks B menghsilkn mtriks identits mk dpt And simpulkn bhw mtriks A dn mtriks B sling invers. Hl ini berrti mtriks B merupkn mtriks invers dri mtriks A (dutulis B = A ) tu mtriks A merupkn mtriks invers dri mtriks B (dutulis A = B ). Dengn demikin And dpt menytkn sebgi berikut: Jik A dn B du mtriks persegi yng berordo sm dn memenuhi persmn AB = BA = I mk mtriks A dlh mtriks invers dri B tu mtriks B dlh mtriks invers dri mtriks A. Contoh Sol.5 Dikethui mtriks-mtriks berikut. G = H K = =, dn Jwblh pertnyn berikut ini.. Apkh mtriks H merupkn mtriks invers dri mtriks G? b. Apkh mtriks K merupkn mtriks invers dri mtriks G? Jwb:. Mtriks H merupkn mtriks invers dri mtriks G jik memenuhi persmn GH = I. GH = = = = I Kren GH = I, mk mtriks H merupkn invers dri mtriks G. 96 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

17 b. Mtriks K merupkn mtriks invers dri mtriks G, jik memenuhi persmn GK = I. GK = = = I Kren GK I mk mtriks K bukn invers dri mtriks G. Sebelum And mempeljri invers mtriks lebih lnjut d konsep yng terlebih dhulu hrus And phmi yitu bgimn cr menentukn invers dri sutu mtriks.. Adjoin Mtriks Berordo Adjoin dri mtriks berordo diperoleh dengn cr menukr elemen pd digonl utm dn elemen pd digonl sekunder diklikn dengn ( ). b Mislkn, jik A = c d, mk djoin A d = b c. Contoh Sol Dikethui mtriks A =, tentukn djoin dri mtriks A. 3 Jwb: A = mk djoin A = 3 5 é 3 7ù Jdi, djoin mtriks A dlh ê ë 5ú. û b. Minor, Kofktor, dn Adjoin mtriks ) Minor Mislkn mtriks A berordo 3 3 sebgi berikut: 3 A = Jik bris ke- dn kolom ke- dri mtriks tersebut dihilngkn mk kn diperoleh mtriks bru dengn ordo, determinn dri mtriksny dinmkn minor. Kren kit menghilngkn bris kestu dn kolom kedu mk minor tersebut dinmkn minor dri bris ke- kolom ke- yng dilmbngkn oleh M. Dri mtriks A di ts mk minor-minor dri mtriks tersebut dlh Minor dri bris ke- kolom ke- dlh M = 3 = Minor dri bris ke- kolom ke- dlh M = = Minor dri bris ke-3 kolom ke- dlh M 3 = Minor dri bris ke- kolom ke- dlh M = 3 33 = = Mtriks 97

18 Minor dri bris ke- kolom ke- dlh M = Minor dri bris ke-3 kolom ke- dlh M 3 = = = 3 3 Minor dri bris ke- kolom ke-3 dlh M 3 = 3 3 Minor dri bris ke- kolom ke-3 dlh M 3 = Minor dri bris ke-3 kolom ke-3 dlh M 33 = 3 3 Diperoleh mtriks minor dri mtriks A dlh sebgi berikut. M M M3 M M M 3 M3 M3 M33 = 3 3 = 3 3 = ) Kofktor Jik M ij merupkn minor ke-ij dri mtriks A mk kofktor dlh hsil perklin elemen minor M ij dengn ( ) i+j. Dengn demikin, K ij = ( ) i+j M ij Sehingg diperoleh mtriks kofktor dri mtriks A dlh K = K K K K K K K K K ) Adjoin Mtriks Jik kofktor dri mtriks A tersebut di trnsposkn, mk didpt mtriks bru yng disebut sebgi Adjoin A. Ditulis: ék K K ù 3 Adj A = K K K 3 ê ëk3 K3 K ú 33 û Contoh Sol.7 3 Dikethui mtriks A = 3 Tentukn:. minor mtriks A, b. kofktor mtriks A, c. djoin A. Jwb:. Menentukn minor. M = 3 = + = M = 3 3 = + = 98 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

19 M 3 = = 6 = M = 3 = = 3 M = = = M 3 = = + 3 = M 3 = 6 7 = + = 3 M 3 = 3 5 = = M 33 = = + = 5 Berdsrkn nili-nili minor di ts mk mtriks minorny dlh b. Menentukn mtriks kofktor. K = ( ) + M = ( 3) = 3 K = ( ) + M = ( ) = K 3 = ( ) + 3 M 3 = ( 5) = 5 K = ( ) + M = ( )( ) = K = ( ) + M = ( 3) = 3 K 3 = ( ) + 3 M 3 = ( ) 5 = 5 K 3 = ( ) 3 + M 3 = ( 5) = 5 K 3 = ( ) 3 + M 3 = ( ) ( 5) = 5 K 33 = ( ) M 33 = 5 = 5 Sehingg, mtriks kofktor A dlh c. Menentukn djoin. é 3 5ù 3 5. ê ë ú û Adjoin merupkn trnspos dri mtriks kofktor sehingg diperoleh. 3 5 Adjoin A = c. Invers Mtriks Berordo b Mislkn A = c d merupkn mtriks yng memiliki invers yitu mtriks yng memiliki nili determinn tidk nol (mtriks ini disebut mtriks nonsingulr) mk invers dri A yitu A dinytkn A = det A Adjoin A Mtriks 99

20 Contoh Sol.8 Dikethui mtriks A =, tentukn invers dri mtriks A. 3 Jwb: A = A = det = + = 3 3 A = Adjoin A det A 3 = = 3 3 = é 3 ù Jdi, invers dri mtriks A dlh A = ê ë ú. û Cttn A terdefinisi jik det A 0 rtiny mtriks A memiliki invers jik mtriks A memiliki determinn yng tidk sm dengn nol. Contoh Sol.9 Dikethui mtriks-mtriks berikut. P = 3 Q = 8 dn Tentukn invers dri mtriks-mtriks tersebut jik d. Jwb: P = Periks nili determinn dn mtriks P 3 det P = = 0 = 5 7 kren det P 0 mk mtriks P memiliki invers P 7 = P = P = 7 Adjoin det Q = Periks nili determinn dri mtriks Q 8 det Q = = = Kren det Q = 0 mk mtriks Q tidk memiliki invers. 00 d. Invers Mtriks Berordo Mislkn, A = 3 merupkn mtriks yng memiliki invers, Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

21 dengn det A 0 mk invers dri A, yitu A dinytkn A = Adjoin A det A Contoh Sol.0 3 Tentukn invers dri A = 3 Jwb: 3 A = 3 3 det A = = = Berdsrkn Contoh Sol.7 diperoleh 3 5 Adjoin A = Dengn demikin. 3 5 A = A A = Adjoin 3 5 det = 0 0 Jdi, invers mtriks A dlh é ëê ù. ûú Jik 5 A = B 3 = dn 3 mk (A B ) =.... b. c. And Psti Bis d e Sumber: UMPTN, 999 Contoh Sol. Dikethui mtriks-mtriks R = 3 dn S = 0 0 Tentukn:. R S b. (RS) Mtriks 0

22 Jwb:. R = é - ù mk R = ê ú R Adjoin R é - ù - = ë 0 û ê ë - ú = - é -ù é- ù det 0 ê û 0 -ú ê ë 0 ú û ë û é 3 = - ù é ù - R S ê ë 0 ú ê û ë- 0ú = é ù ê û ë- 0 ú û é = - - ù - 7 Jdi, R S. ê ë- 0 ú û é b. RS = - ù é 3 ù ê ú ê ë û ë- ú = é ù 0 0 ê û ë- 0 ú û - é0 ù ( RS) = 0 ê -7ú ë û é0 ù = - ê -7ú ë û é ù 0 - = 7 - ëê ûú é ù 0 - Jdi,( RS) - =. 7 - ëê ûú Ltihn Sol.3 Kerjknlh sol-sol berikut.. Tentukn nili determinn dri mtriks-mtriks berikut d. 7 6 b e c Tentukn pkh mtriks-mtriks berikut memiliki invers.. P = 7 5 b. Q = 7 c. R = d. S = Dikethui P = 8 Q x = 9 dn Jik det P = det Q, tentukn nili x.. Tentukn minor dn kofktor dri mtriks-mtriks berikut b Tentukn invers dri mtriks-mtriks berikut c b. d Dikethui mtriks-mtriks berikut. A = 3 B = Tentukn:. AB b. (AB) 0 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

23 D. Apliksi Mtriks dlm Penyelesin Sistem Persmn Liner Du Vribel Pd Bb III And telh mempeljri metode penyelesin dri sistem persmn liner dengn metode substitusi eliminsi. Pd subbb ini, And kn mempeljri metode lin dengn menggunkn mtriks. Nmun sebelumny, And kn diperkenlkn dhulu bgimn menyelesikn persmn AX = B dn XA = B.. Penyelesin Persmn Mtriks AX = B dn XA = B Dlm menyelesikn persmn mtriks AX = B dn XA = B, digunkn konsep invers mtriks yng telh And peljri pd Subbb C. Dlm hl ini konsep yng And gunkn dlh A A = I = AA = I Jik A dn B merupkn mtriks berordo sm, dengn A mtriks non singulr bgimnkh cr mencri mtriks X yng memenuhi persmn AX = B dn XA = B. Untuk mengethuiny, peljrilh urin berikut dengn bik.. Persmn AX = B AX = B A AX = A B (kedu rus diklikn dengn invers mtriks A dri kiri) IX = A B (AA = I) X = BA (IX = X) Jdi, persmn AX = B dpt diselesikn dengn X = A B b. Persmn XA = B XA = B XAA = BA (kedu rus diklikn dengn invers mtriks A dri knn) XI = BA (AA = I) X = BA (XI = X) Jdi, persmn XA = B dpt diselesikn dengn X = BA Supy And lebih memhmi mksudny, peljri contoh sol berikut. Contoh Sol. Mislkn A = 5 B = dn, tentukn mtriks X yng memenuhi persmn 0. AX = B b. XA = B Jwb: A = é 5 ù 5 mk det A = = 5( )- ( ) = ê ú ë û é - -ù A = det A ê ë- 5 ú = é -ù ê û ë- ú = é -ù 5 ê û ë- 5 ú û. AX = B X = A B é -ù é- ù X = ê ë- ú ê ú = é ù 5 ê ú û ë 0 û ë 3û b. XA = B X = BA X = é ù é -ù ê ú ê ë û ë- ú = é 9 ù 0 5 ê ú û ë 5 û Solusi Mtriks X berordo ( ) yng 3 memenuhi 3 = X dlh.... b. c. d. e. Jwb: Misl, A = B = 3, 3 AX = B mk X = A B det A = = 6 = 3 A = det A = 3 3 = 3 X = A B 3 = 3 = Jwbn: Sumber: UAN 005 Mtriks 03

24 Solusi 3 Jik x = y 0 mk x + y d. 3 b. 5 e. c. Jwb: Misl, 3 x A = B X =,, = 0 y 3 det A = A = = A = det A 3 = 3 = 3 x = A B = 3 = 0 mk x + y = + = Jwbn: c Sumber: UAN 003. Menyelesikn Sistem Persmn Liner dengn Invers Mtriks Slh stu metode dlm menyelesikn sistem persmn liner du vribel dlh dengn menggunkn invers mtriks. Perhtikn bentuk umum dri SPL berikut: x + b y = c x + b y = c Bentuk di ts dpt ditulis dlm bentuk perklin mtriks koefisien dengn vribelny, yitu: æ b öæxö c èç b ø èç yø =æ ö èç c ø dengn æ b ö merupkn mtriks koefisien. èç b ø Berikut dlh lngkh-lngkh dlm menyelesikn sistem persmn liner dengn menggunkn invers mtriks.. Nytkn sistem persmn liner tersebut ke dlm bentuk mtriks. b. Tentukn mtriks koefisien dri sistem persmn liner tersebut. c. Tentukn invers dri mtriks koefisien. d. Gunkn konsep persmn AX = B tu XA = B. Supy And memhmi lngkh-lngkh tersebut, perhtikn contoh sol berikut. Contoh Sol.3 Tentukn himpunn penyelesin dri sistem persmn liner berikut dengn menggunkn metode invers mtriks. x 3y = x + y = 3 Jwb: Lngkh 3 3 x = 3 = =, misl A, B y 3 = x, dn X y Lngkh 3 3 A = A mk det = = 3 = 3 A = Adjoin A = det A = 3 Lngkh 3 X = 3 = 3 diperoleh x = dn y = Jdi, himpunn penyelesinny dlh {(, )}. Contoh Sol. Zoel dn Ade pergi ke kios puls. Zoel membeli 3 buh krtu perdn A dn buh krtu perdn B. Untuk itu Zoel hrus membyr Rp53.000,00. Ade membeli buh krtu perdn A dn sebuh krtu perdn B, untuk itu Ade hrus membyr Rp3.500,00. Mislkn, hrg sebuh krtu perdn 0 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

25 A dlh x rupih dn hrg sebuh krtu perdn B dlh y rupih. Tentukn penyelesin dri mslh tersebut. Jwb: Butlh Tbel untuk mslh tersebut Krtu Perdn A Krtu Perdn B Jumlh Zoel Ade Hrg sebuh krtu perdn A dlh x rupih Hrg sebuh krtu perdn B dlh y rupih Sistem persmn liner dri mslh tersebut dlh 3x + y = x + y = Bentuk mtriks dri sistem persmn liner tersebut dlh x =. y A X B 3 det A = = 3 = A = A = det A = Adjoin 3 3 = 3 X = A B = X X = = Diperoleh, x =.000 dn y = Jdi, hrg sebuh krtu perdn A dlh Rp.000,00 dn hrg krtu perdn B dlh Rp8.500, Menyelesikn Sistem Persmn Liner Du Vribel dengn Aturn Crmer Determinn yng telh And peljri di Subbb C, selin digunkn mencri invers dri sutu mtriks, dpt pul digunkn dlm mencri penyelesin sistem persmn liner du vribel. x + b y = c x + b y = c Sistem persmn liner tersebut jik diselesikn kn diperoleh nilinili x dn y sebgi berikut. cb cb x = b b c y = b c b Bentuk-bentuk (c b c b ), ( b b ) dn ( c c ) jik dinytkn dlm bentuk determinn dlh sebgi berikut. Mtriks 05

26 And Psti Bis Dengn menggunkn metode determinn. Tentukn x 3y = 3 nili x y jik x 5y = 9 Sumber: UMPTN 999 c b b c c c b = c b = c = b b b b c c Dengn demikin nili x dn nili y jik dinytkn dlm bentuk determinn dlh sebgi berikut. dengn: D b b D D = c c b b x = c c y = c b b c b x = dn y = b tu D D x y x = dn y = D D c c b b yitu determinn dri mtriks koefisien x dn y. yitu determinn dri mtriks koefisien x dn y yng kolom pertmny dignti oleh konstnt c dn c. yitu determinn dri mtriks koefisien x dn y yng kolom keduny dignti oleh konstnt c dn c. Berdsrkn urin tersebut mk diperoleh kesimpuln berikut: Jik diberikn sistem persmn liner du vribel x + b y = c x + b y = c Sistem persmn liner tersebut memiliki penyelesin D D x y x = dn y =, dengn D 0 D D dimn D b b D c b c = x = dn Dy = c b c Contoh Sol.5 Tentukn himpunn penyelesin sistem persmn liner pd Contoh Sol.3 dn Contoh Sol. dengn menggunkn Aturn Crmer. Jwb: Dri Contoh Sol.3 dikethui sistem persmn liner berikut. x 3y = x y = 3 06 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

27 Tentukn terlebih dhulu nili D, D x, dn D y. D D D x y 3 = = 3 = = 3 = 8 ( 9) = 3 = = 6 = 3 Dengn demikin diperoleh Dx x = = = D Dy y = = = D Jdi, himpunn penyelesinny dlh {(, )}. Dri Contoh Sol. dikethui sistem persmn liner berikut. 3x + y = x + y = D = = 3 = D D x y = = = = = = Dengn demikin, diperoleh Dx x = =. 000 =. 000 D Dy y = = = D Jdi, himpunn penyelesinny dlh {(.000, 8.500)}. Ltihn Sol. Kerjknlh sol-sol berikut.. Jik P mtriks berordo, tentukn mtriks P yng memenuhi. 3 P = 5 b. P 5 3 = Jik p dn q memenuhi persmn 5 p = 3 6 q 3 Tentukn nili-nili dri. (p + q) b. p + pq 3. Tentukn himpunn penyelesin dri sistem persmn liner berikut dengn menggunkn metode invers mtriks.. b. x + 3y = x 5y = 5 x + y = 5 5x + 3y =. Tentukn himpunn penyelesin dri sistem persmn liner berikut dengn menggunkn Aturn Crmer.. 3x + y = x y = 3 b. 7x + 5y = 3 7 = x y 6 Mtriks 07

28 5. Pk Heru bekerj selm 5 hri dengn 3 hri dintrny lembur, untuk itu i mendpt uph Rp85.000,00. Pk Heri bekerj selm hri dn selm hri tersebut i lembur, untuk itu i mendpt uph Rp60.000,00. Jik Pk Heru, Pk Heri, dn Pk Willi bekerj pd perushn yng sm, berpkh uph yng diperoleh Pk Willi jik bekerj selm 5 hri dn hri dintrny lembur? Rngkumn. Mtriks merupkn kumpuln bilngn yng tersusun menurut bris dn kolom sedemikin sehingg tmpk seperti bentuk sebuh persegipnjng.. Jik mtriks A mempunyi m bris dn n kolom mk mtriks berordo m n dn ditulis A m n. 3. Du mtriks diktkn sm jik ordo yng dimiliki keduny sm dn elemen-elemen yng bersesuin (seletk) sm.. Trnspos dri mtriks A dlh mtriks bru yng disusun dengn cr mengubh setip bris menjdi kolom jug seblikny setip kolom menjdi bris. 5. Du buh mtriks dpt dijumlhkn tu dikurngkn pbil ordo dri kedu mtriks tersebut sm. Penjumlhn dn pengurngn pd mtriks dilkukn dengn cr menjumlhkn tu mengurngkn elemen-elemen yng bersesuin (seletk). 6. Jik A dlh sutu mtriks dn k dlh bilngn riil mk ka dlh sutu mtriks bru yng elemenelemenny diperoleh dri hsil perklin k dengn setip elemen pd mtriks A. 7. Perklin mtriks A dn mtriks B diperoleh dri penjumlhn hsil kli elemen bris pd mtriks A dengn elemen kolom pd mtriks B. b 8. Jik A = b c d mk det A = A = = d bc c d 9. Jik A = mk det A = b 0. Jik A = c d mk invers dri A, yitu A d b dinytkn dengn A = A c. det. Jik A = mk invers dri A, yitu A dinytkn dengn A = Adj A. det A. Invers mtriks dpt digunkn untuk menyelesikn sistem persmn liner du vribel dengn menggunkn konsep AX = B X = A B tu XA = B X = BA jik A mempunyi invers. 3. Penyelesin persmn liner du vribel dengn Aturn Crmer. D D x y x = dn y =, D D D 0 dimn D b c b c =, D =, dn D =. x y b c b c 08 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

29 Alur Pembhsn Perhtikn lur pembhsn berikut: Mteri tentng Mtriks dpt digmbrkn sebgi berikut. Mtriks membhs Pengertin dn Jenis-Jenis Mtriks Opersi Aljbr pd Mtriks Determinn dn Invers Apliksi Mtriks dlm SPL mempeljri mempeljri mempeljri mempeljri Jenis-Jenis Mtriks Kesmn Du Mtriks Trnspos Mtriks Determinn Invers untuk Ordo dn Ordo 3 3 Penjumlhn dn Pengurngn pd Mtriks Perklin Sklr dengn Sebuh Mtriks Perklin Mtriks Perpngktn Mtriks Persegi Penyelesin SPL dengn Invers Mtriks Penyelesin SPL dengn Metode Determinn Kt Mutir Ad du hl yng hrus And lupkn: kebikn yng And lkukn kepd orng lin dn keslhn orng lin kepd And Si Bb Mtriks 09

30 Ltihn Sol Bb A. Pilihlh slh stu jwbn dn berikn lsnny.. Dikethui mtriks H = Mtriks H merupkn mtriks, keculi.... Mtriks sklr d. Mtriks persegi b. Mtriks digonl e. Mtriks ordo c. Mtriks identits. Trnspos dri mtriks M = dlh d. 3 b. c. 3 e Jik Y = 3 dn Z = mk Y + Z = d. 7 b. c. 0 e Dikethui mtriks-mtriks berikut. x y A = B = 8 z dn Jik A = B T, mk nili x, y. dn z berturut-turut dlh....,, d.,, b.,, e.,, c.,, 5. Jik B = 0 C = dn 0 mk BC = d. b. c. e. 6. Jik F = mk F = b. c. 6 d e Jik R = mk R = d. 6 b. 6 e. 6 c Jik x x + 3 x + = mk nili x =.... d. b. e. c. tu 9. Jik P (ordo 3) diklikn dengn Q (ordo 3 5) mk dihsilkn R yng berordo d. 5 b. 5 3 e. 5 c Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

31 0. Mtriks X yng memenuhi dlh d. b. 5 c. 6 e. 3 X = Jik x = 7 3 y mk nili x dn y berturut-turut dlh.... dn d. dn b. dn e. dn c. dn. Nili x dn y yng memenuhi persmn x 5 + y = 5 3 y 3 dlh.... x = dn y = 3 d. x = 3 dn y = b. x = 3 dn y = e. x = dn y = c. x = dn y = 3 3. Invers dri mtriks Q = dlh d b c x. Jik mtriks A = x + tidk memiliki invers mk nili x dlh.... d. 5 b. e. 3 c Nili yng memenuhi persmn 3 = 3 5 dlh.... d. b. e. 3 c. 6. Jik A 3 - = B 3 = dn mk A B = d. 8 b e c Jik A = 0 dn I mtriks stun ordo du 3 mk A A + I = d. b. c e Nili yng memenuhi b 5 3 b + b dlh.... d. b. e. 5 c Mtriks b + b tidk mempunyi invers bil.... dn b sebrng b. 0, b 0, dn = b c. 0, b 0, dn = b d. = 0 dn b sebrng e. b = 0 dn sebrng 0. Jik mtriks B dlh invers dri mtriks A dn AC = B mk C = d. B b e. AB c. A Mtriks

32 B. Jwblh sol-sol berikut.. Jik A = B = 7 3, dn C = 5 7, tentukn:. BC b. A T (A + B) c. CA. Jik A = 0 dn f(x) = x. Tentukn f(a). 3. Tentukn invers dri mtriks-mtriks berikut:. 3 b Jik A =, tentukn nili A Dikethui, mtriks P =, tentukn nili k 5 6 yng memenuhi det P T = k det P. Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

33 Ltihn Ulngn Semester A. Pilihlh slh stu jwbn dn berikn lsnny.. Himpunn penyelesin dri persmn 3 x + 7x + 7, x R dlh.... d. 3 5 b. e. 5 c. 5. Hrg krcis kebun bintng untuk 5 orng dlh Rp5.000,00 mk hrg krcis untuk orng dlh.... Rp8.000,00 d. Rp.000,00 b. Rp9.000,00 e. Rp.000,00 c. Rp0.000,00 3. Nili x dn y yng memenuhi persmn x + 3y = dn 3x y = 30 dlh.... x =, y = 6 d. x = 6, y = b. x =, y = 6 e. x = 6, y = c. x =, y = 6. Himpunn penyelesin sistem persmn liner 3x 5y = 0 x + 3y = 7 dlh.... { 5, } d. {5, } b. { 5, } e. {,5} c. {5, } 5. Dikethui, hrg kg bers dn 3 kg gul psir dlh Rp8.500,00 sedngkn hrg kg bers dn kg gul psir dlh Rp5.000,00 mk hrg kg gul psir dlh.... Rp5.500,00 d. Rp7.000,00 b. Rp6.000,00 e. Rp7.500,00 c. Rp6.500,00 6. Persmn kudrt yng kr-krny 3 tu 5 dlh.... x + x 5 = 0 b. x x 5 = 0 c. x x +5 = 0 d. x + x + 5 = 0 e. x + x 5 = 0 = 7. Persmn kudrt x p(x ) = 0 mempunyi kr kembr untuk nili p sm dengn.... d. 3 b. e. 8 c. 8. Himpunn penyelesin dri pertidksmn 5x 3 x dlh d b. e c Pertidksmn x p < 7x + mempunyi penyelesin x >. Nili p dlh d. 8 b. 8 e. 3 c Pertidksmn x x 6 dipenuhi oleh.... x tu x 3 b. x tu x 3 c. x tu x 3 d. x tu x 3 e. x tu x 3. Nili m yng memenuhi persmn kudrt (m + )x x = 9 = 0. Agr persmn kudrt tersebut mempunyi du kr yng sm (kembr) dlh.... d. 5 b. 3 e. 6 c.. Persmn kudrt yng mempunyi du kr riil yng berbed dlh.... 5x + x + = 0 d. x + x + = 0 b. x 5x + = 0 e. x x + = 0 c. x + x + = 0 Uji Kompetensi Semester 3

34 3. Jik x + x = 5 dn x x = 7 mk persmn kudrt yng memenuhi dlh.... x + 5x + 7 = 0 d. x + 5x 7 = 0 b. x 5x + 7 = 0 e. x 5x 7 = 0 c. x 5x 7 = 0. Himpunn penyelesin dri pertidksmn x 3 x + + dlh x 7 b. x 7 c. x 7 d. x 8 7 e. x Himpunn penyelesin dri pertidksmn x 8 dlh... x 3. {x x < 3 tu x 5, x R} b. {x x 3 tu x 5, x R} c. {x 3 x < 5; x R} d. {x 3 x 5; x R} e. {x 3 < x 5; x R} 6. Ordo mtriks berikut yng termsuk ke dlm mtriks kolom dlh.... A( 3) b. A(3 ) c. A( 3) d. A(3 ) e. A( 5) 7. Dikethui A = 3 B 3 dn = 3. Pernytn berikut yng benr dlh.... AB = 3A b. AB = 3B c. BA = 3A d. BA = 3B e. 3BA = A 8. Jik A = 3 B = dn mk B + A T dlh.... b. c d e Jik A =, mk determinn mtriks AT 0 dlh b. 8 c. 9 d. 9 e. 0. Invers mtriks A = 3 dlh d b. 3 e c Determinn mtriks A = 3 3 dlh b. 5 c. 5 d. 8 e. Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

35 . Dikethui mtriks A = B = dn 6 0 mtriks yng memenuhi C = A B dlh d b. 3 e. 0 3 c Mtriks X berordo ( ) yng memenuhi 5 0 x = 6 dlh d b. 5 e. 3 c. 3. Mtriks b A = + B C b c = c d =, 0 dn 0 Jik A + B = C dengn B T trnspose dri B mk nili d dlh.... d. b. e. c Jik A = B = 0 dn 0 mk (A + B) (A B) (A B) (A + B) = d b. e c. 0 B. Jwblh sol-sol berikut.. Tentukn himpunn penyelesin persmn berikut. 3. x + y = x + 5y = b. x x + = 0. Tentukn himpunn penyelesin pertidksmn berikut.. x + 3x x b. (x )(x + ) < x( x) 3. Jik A = 3 B = 9 tentukn A B b. Determinn dri A B c. Invers (A B). Dikethui A = B, tentukn nili x dn y jik 3 x dikethui mtriks A = B = 5 dn 5 3 y 5. Tentukn determinn dri mtriks 3 5 C = 3 dengn turn Srrus. 5 7 Uji Kompetensi Semester 5

36 Dftr Pustk Anton, H Aljbr Liner Elementer (terjemhn). Jkrt: Erlngg. Ayres, F. dn Schmidt, P. 99. Schum s Outline of College Mthemtics. New York: Mc Grw Hill. Brnett, R.A. dn Zieglr, M.R College Algebr. New York: Mc Grw Hill. Brtle, R. G. dn Sherbert, D. R. 99. Introduction to Rel Anlysis. Michign: John Wiley nd Sons. BSNP Stndr Kompetensi dn Kompetensi Dsr 006 Mt Peljrn Mtemtik Sekolh Menengh Ats/Mdrsh Aliyh. Jkrt: Deprtemen Pendidikn Nsionl. Deprtemen Pendidikn dn Kebudyn, Sol-Sol Evlusi Beljr Thp Akhir Nsionl (Ebtns) Thun 986 smpi dengn Thun 999. Deprtemen Pendidikn dn Kebudyn, Sol-Sol Ujin Akhir Nsionl (UAN) Thun 00 smpi dengn Thun 003. Deprtemen Pendidikn dn Kebudyn, Sol-Sol Ujin Nsionl (UN) Thun 00 smpi dengn Thun 006. Deprtemen Pendidikn dn Kebudyn Dirjen Pendidikn Tinggi, Sol-Sol Ujin Msuk Pergurun Tinggi Negeri Thun 987 smpi dengn Thun 00. Deprtemen Pendidikn dn Kebudyn Dirjen Pendidikn Tinggi, Sol-Sol Seleksi Penerimn Mhsisw Bru (SPMB) Thun 00 smpi dengn Thun 006. Frlow, Stnley. J. 99. Finite Mthemtics And It's Applictions. Singpore: Mc Grw Hill. Spiegel, M.R. 99. Seri Buku Schum Teori dn Sol-Sol Mtemtik Dsr. Jkrt: Erlngg. Sulvivn, M Pre Clculus. Upper Sddle River: Prentice Hll. Vrberg, D. dn Purcell, E. J. 00. Clculus (terjemhn). Jkrt: Interksr. Whyudin. 00. Ensiklopedi Mtemtik dn Perdbn Mnusi. Jkrt: Trity Smudr Berlin. 6 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggnuntuk untuk SMK Kels Kels X SMK I

37 Kunci Jwbn Uji Kompetensi... {,,0,,,3,} BAB I Bilngn Riil Uji Kompetensi... sositif b. memiliki elemen penting 3. 0 Uji Kompetensi.3.. e c c. 5. Rp.000,00 g. 3 0 Uji Kompetensi tu 80% c.,3 tu 30% e. 0, tu 0,% c. 5% 5. Rp ,00 Uji Kompetensi Bb I A.. d. d 3. c 3. d 5. c 5. b 7. d 7. c 9. c 9. b B... A = {, 5, 6, 7, 8, 9, 0, } orng 5. hrg pensil Rp.000,00 hrg Pulpen Rp.000,00 hrg buku Rp5.000,00 BAB II Bentuk Pngkt, Akr, dn Logritm Uji Kompertensi... m c. 5 8 e. 7 p 7 q 7 r p 3 c. ( m 3 n ) e. 0 b c. 5 Uji Kompetensi... bukn bentuk kr b. bentuk kr c. bukn bentuk kr Uji Kompetensi.3.. c. x 3 b c. 3 Uji Kompetensi... 5 e c. 5 0 g c. 5 5 e

38 Uji Kompetensi log = 7 c. log x = m + n e. 3 log q = 5 p 3.. x = 7 c. x = 3 tu x = 5.. c. 7 Uji Kompetensi.6.. 0,8785 c.,8785 e.,9 Uji Kompetensi Bb II A.. c. c 3. b 3. d 5. c b 7. c 9. b 9. e Uji Kompetensi b. 6 Uji Kompetensi x x 5 = 0 c. 5x 7x = x + 3x + 63 = 0 c. x x = 0 5. Rp35.000,00 Uji Kompetensi 3... x 3 c. x 5 7 e. x B... 5e 9 p 0 c. 5x 5 y c c. 3 e. 5. Rp.563.,00 Uji Kompetensi Semester A.. d.. b 3. b 3. d 3. d 5. c c c 9. b 9. B c. 5f9 h 3 BAB III Persmn dn Pertidksmn e. Uji Kompetensi {x x 6 tu x, x R} 3. t Uji Kompetensi Bb III A.. c. d 3. b c 5. e 7. d 7. b 9. c 9. b B. 9.. x = tu x = 3 3. p = 9 cm, l = 6 cm 5. Uji Kompetensi 3... x = 5 c. = 30 e. x = 3. Rp7.000,00 8 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggnuntuk SMK Kels I

39 Uji Kompetensi B (3 ) c. b = b 3 = c. c b d Uji Kompetensi c Uji Kompetensi.3.. c. 5 e , b. 3 0 Uji Kompetensi. 0.. P = 3. x =, y = 3 5. Rp65.000,00 BAB IV Mtriks Uji Kompetensi Bb IV A.. c. 3. e b 5. e 7. d 7. d 9. d 9. e B... B tidk bis diklikn dengn C kren sift dri perklin du mtriks c Uji Kompetensi Semester A... b. 3. c 3. b 3. e 5. c c c 9. d 9. b B... 7, c. Tidk terdpt invers 5. 3 Kunci Jwbn 9

40 Dftr Lmpirn Tbel Logritm B : Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggnuntuk SMK Kels I

41 B Dftr Lmpirn

42 Glosrium A Adjoin: menukrkn elemen pd digonl utm dengn elemen pd digonl sekunder diklikn dengn ( ) dri sutu mtriks berordo [97] Antilogritm: keblikn dri logritrm [] B Bsis: bilngn pokok dri sutu bentuk pemngktn [0] Himpunn bilngn sli: himpunn bilngn yng diwli dengn ngk dn bertmbh stu-stu [3] Himpunn bilngn bult: Himpunn bilngn yng merupkn gbungn ntr himpunn bilngn cch dengn himpunn bilngn bult negtif [3] Himpunn bilngn cch: Gbungn ntr himpunn bilngn sli dn himpunn bilngn 0 [3] Himpunn bilngn rsionl: himpunn bilngn yng dpt dinytkn dlm bentuk, dengn p, q B dn q 0 [3] 5 Himpunn bilngn riil: gbungn bilngn rsionl dengn bilngn irsionl [3] D Desiml: bilngn pechn yng ditulis dengn ngk keliptn per sepuluh, per sertus, dn sebginy [0] Diskriminn: bentuk (b c) pd rumus bc [6] E Eksponen: ngk d sebginy yng ditulis di sebelh knn ts ngk lin yng menunjukkn pngkt dri ngk tersebut [0] Elemen: bgin dri keseluruhn unsur, nggot [8] K Klkultor: lt hitung elektronik [] Koefisien: bgin suku yng berup bilngn tu konstn yng bisny dituliskn sebelum lmbng peubh [5] Kofktor: hsil perklin elemen minor M ij dengn ( ) i + j [97] Konstnt: lmbng untuk menytkn objek yng sm di keseluruhn opersi mtemtik [5] Konversi: perubhn dri stu bentuk tu besrn ke bentuk (besrn) yng lin [0] L Lmbng: simbol yng digunkn untuk menytkn unsur, senyw, sift, dn stun mtemtik [5] Logritm: eksponen pngkt yng diperlukn untuk memngktkn bilngn dsr supy memperoleh bilngn tertentu [33] M Mntis: bgin dri desiml logritm bis [] Mtriks: kumpuln bilngn yng tersusun menurut bris dn kolom sedemikin sehingg tmpk seperti bentuk sebuh persegipnjng [8] Metode Srrus: slh stu metode dlm menentukn nili determinn mtriks berordo 3 3 [95] N Notsi: cr penulisn tu melmbngkn [7] Numerrus: bilngn yng dicri nili logritmny [33] O Ordo: ukurn, ordo pd mtriks ditentukn oleh bnykny bris dn kolom [83] P Pngkt: sutu bentuk perklin bilngn itu sendiri [0] Persmn kudrt: persmn berderjt du [53] Persmn liner: persmn berderjt stu [5] Persen: per sertus [0] S Sklr: besrn yng hny memiliki ukurn dn tidk memiliki rh [90] T Teorem: teori yng hrus dibuktikn [9] Trnspos: menukr semu kolom menjdi bris dn bris menjdi kolom dlm mtriks [86] V Vribel: peubh [5] Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggnuntuk SMK Kels I

43

Bab. Matriks. A. Pengertian dan Jenis. Matriks. B. Operasi Aljabar pada. Matriks

Bab. Matriks. A. Pengertian dan Jenis. Matriks. B. Operasi Aljabar pada. Matriks Bb IV Sumber: www.gerrysckes.com Mtriks Pd bb sebelumny, And telh mempeljri persmn dn pertidksmn. Bentuk persmn dpt diubh ke bentuk mtriks untuk mempermudh dlm perhitungn, mislny pliksi berikut ini. Ti,

Lebih terperinci

Kerjakan di buku tugas. Tentukan hasil operasi berikut. a. A 2 d. (A B) (A + B) b. B 2 e. A (B + B t ) c. A B f. A t (A t + B t ) Tes Mandiri

Kerjakan di buku tugas. Tentukan hasil operasi berikut. a. A 2 d. (A B) (A + B) b. B 2 e. A (B + B t ) c. A B f. A t (A t + B t ) Tes Mandiri Mmt Apliksi SMA Bhs Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut A c A A b A A d A Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut (A + B) c (B A) b A + AB + B d B BA + A Sol Terbuk Kerjkn di buku tugs Jik X = dn

Lebih terperinci

4. Perkalian Matriks. Riki 3 2 Fera 2 5. Data harga bolpoin dan buku (dinyatakan oleh matriks Q), yaitu

4. Perkalian Matriks. Riki 3 2 Fera 2 5. Data harga bolpoin dan buku (dinyatakan oleh matriks Q), yaitu Sift-Sift Perklin Sklr Mislkn dn b sklr, D dn H mtriks sebrng dengn ordo sm, mk berlku sift-sift sebgi berikut. D + H (D + H) 2. D + bd ( + b)d 3. (bd) (b)d 4. Perklin Mtriks Du buh mtriks tu lebih selin

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI Bb berikut ini kn disjikn mteri pendukung yng dpt membntu penulis untuk menyelesikn permslhn yng kn dibhs pd bb selnjutny. Adpun mteri pendukungny dlh pengertin mtriks, jenis-jenis

Lebih terperinci

BAB III MATRIKS

BAB III MATRIKS BB III MTRIKS PENGERTIN MTRIKS Pengertin Mtriks Mtriks dlh susunn bilngn-bilngn ng berbentuk persegi tu persegi pnjng ng ditur dlm bris dn kolom Bentuk Umum Mtriks : i m i m i m j j j ij mj n n n in mn

Lebih terperinci

M A T R I K S. Oleh: Dimas Rahadian AM, S.TP. M.Sc.

M A T R I K S. Oleh: Dimas Rahadian AM, S.TP. M.Sc. M T R I K S Oleh Dims Rhdin M, S.TP. M.Sc Emil rhdindims@yhoo.com JURUSN ILMU DN TEKNOLOGI PNGN UNIVERSITS SEBELS MRET SURKRT DEFINISI... Mtriks dlh susunn bilngn berbentuk jjrn segi empt siku-siku yng

Lebih terperinci

DETERMINAN. Misalkan A adalah suatu matriks persegi. a) Jika A memiliki satu baris atau satu kolom bilangan nol, maka det(a) = 0.

DETERMINAN. Misalkan A adalah suatu matriks persegi. a) Jika A memiliki satu baris atau satu kolom bilangan nol, maka det(a) = 0. DETERMINAN Fungsi determinn dri sutu mtriks persegi A (dinotsikn dengn det(a) tu A ) didefinisikn sebgi jumlh dri semu hsil kli elementer bertnd dri A. Sementr, ngk tu bilngn dri det(a) disebut determinn

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN REAL. 1. Sifat Aljabar Bilangan Real

SISTEM BILANGAN REAL. 1. Sifat Aljabar Bilangan Real SISTEM BILANGAN REAL Dlm terminologi Aljbr Abstrk, sistem bilngn rel disebut dengn field (lpngn) pd opersi penjumlhn dn perklin. Sutu opersi biner bis ditulis dengn sutu psngn terurut (, b) yng unik dri

Lebih terperinci

MATRIKS A. Pengertian, Notasi dan Bagian Dalam Matriks

MATRIKS A. Pengertian, Notasi dan Bagian Dalam Matriks MATRIKS A. Pengertin, Notsi dn Bgin Dlm Mtriks Dlm kehidupn sehri-hri kit sering menemui dt tu informsi dlm entuk tel, seperti tel pertndingn sepkol, tel sensi kels, tel hrg tiket keret pi dn seginy..

Lebih terperinci

Bab a. maka notasi determinan dari matriks A ditulis : det (A) atau. atau A.

Bab a. maka notasi determinan dari matriks A ditulis : det (A) atau. atau A. Bb DETERMINAN MATRIKS Determinn sutu mtriks dlh sutu fungsi sklr dengn domin mtriks bujur sngkr. Dengn kt lin, determinn merupkn pemetn dengn domin berup mtriks bujur sngkr, sementr kodomin berup sutu

Lebih terperinci

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA K- Kels X mtemtik PEMINATAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi definisi persmn dn pertidksmn logritm.. Dpt

Lebih terperinci

BAB 10. MATRIKS DAN DETERMINAN

BAB 10. MATRIKS DAN DETERMINAN Dessy Dwiynti, S.Si, MBA Mtemtik Ekonomi 1 BAB 10. MATRIKS DAN DETERMINAN 1. Pengertin mtriks Mtriks kumpuln bilngn yng disjikn secr tertur dlm bris dn kolom yng membentuk sutu persegi pnjng, sert termut

Lebih terperinci

BAB I. MATRIKS BAB II. DETERMINAN BAB III. INVERS MATRIKS BAB IV. PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN

BAB I. MATRIKS BAB II. DETERMINAN BAB III. INVERS MATRIKS BAB IV. PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN DFTR ISI BB I. MTRIKS BB II. DETERMINN BB III. INVERS MTRIKS BB IV. PENYELESIN PERSMN LINER SIMULTN BB I. MTRIKS Mtriks erup sekelompok ilngn yng disusun empt persegi dn ditsi tnd terdiri dri ris dn kolom

Lebih terperinci

PERTEMUAN - 1 JENIS DAN OPERASI MATRIKS

PERTEMUAN - 1 JENIS DAN OPERASI MATRIKS PERTEMUN - JENIS DN OPERSI MTRIKS Pengertin Mtriks : merupkn sutu lt tu srn yng sngt mpuh untuk menyelesikn model-model liner. Definisi : Mtriks dlh susunn empt persegi pnjng tu bujur sngkr dri bilngn-bilngn

Lebih terperinci

DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS BLOK 2 2

DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS BLOK 2 2 Buletin Ilmih Mth. Stt. dn Terpnny (Bimster) Volume 06, No. 3(2017), hl 193 202. DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS BLOK 2 2 Ilhmsyh, Helmi, Frnsiskus Frn INTISARI Mtriks blok merupkn mtriks persegi yng diblok

Lebih terperinci

1) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persamaan kuadrat adalah seperti di bawah ini:

1) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persamaan kuadrat adalah seperti di bawah ini: ) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persmn kudrt dlh seperti di bwh ini: b c dengn, b, c bilngn dn riil Dimn, disebut sebgi koefisien dri b disebut sebgi koefisien dri c disebut

Lebih terperinci

VEKTOR. 1. Pengertian Vektor adalah besaran yang memiliki besar (nilai) dan arah. Vektor merupakan sebuah ruas garis yang

VEKTOR. 1. Pengertian Vektor adalah besaran yang memiliki besar (nilai) dan arah. Vektor merupakan sebuah ruas garis yang VEKTOR 1. Pengertin Vektor dlh besrn yng memiliki besr (nili dn rh. Vektor merupkn sebuh rus gris yng P berrh dn memiliki pnjng. Pnjng rus gris tersebut dlh pnjng vektor. Rus gris dri titik P dn berujung

Lebih terperinci

Catatan Kuliah 2 Matematika Ekonomi Memahami dan Menganalisa Aljabar Matriks (2)

Catatan Kuliah 2 Matematika Ekonomi Memahami dan Menganalisa Aljabar Matriks (2) Cttn Kulih Mtemtik Ekonomi Memhmi dn Mengnlis ljbr Mtriks (). Vektor dn kr Krkteristik pbil dlh mtriks berordo n n dn X dlh vector n, kn dicri sklr λ R yng memenuhi persmn : X λ X tu ( λi) X gr X (solusiny

Lebih terperinci

3.1 Permutasi. Secara umum, bilangan-bilangan pada {1, 2,, n} akan mempunyai n! permutasi

3.1 Permutasi. Secara umum, bilangan-bilangan pada {1, 2,, n} akan mempunyai n! permutasi BB Determinn . Permutsi Definisi Permutsi: (i) Sutu permutsi dri bilngn-bilngn bult {,,,, n} dlh penyusunn bilngn-bilngn tersebut dengn urutn tnp pengulngn. (ii) Brisn bilngn ( j, j,.., j n ) dimn j i

Lebih terperinci

MATRIKS. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah.

MATRIKS. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah. MATRIKS Stndr Kompetensi : Menggunkn konsep mtriks, vektor, dn trnsformsi dlm pemechn mslh Kompetensi Dsr : Menggunkn sift-sift dn opersi mtriks untuk menentukn invers mtriks persegi Menggunkn determinn

Lebih terperinci

Aljabar Linear Elementer

Aljabar Linear Elementer ljbr Liner Elementer M SKS Silbus : Bb I Mtriks dn Opersiny Bb II Determinn Mtriks Bb III Sistem Persmn Liner Bb IV Vektor di Bidng dn di Rung Bb V Rung Vektor Bb VI Rung Hsil Kli Dlm Bb VII Trnsformsi

Lebih terperinci

CHAPTER 1 EXPONENTS, ROOTS, AND LOGARITHMS

CHAPTER 1 EXPONENTS, ROOTS, AND LOGARITHMS CHAPTER EXPONENTS, ROOTS, AND LOGARITHMS Indiktor (penunjuk): Mengubh bentuk pngkt negtif ke pngkt positif dn seblikny. (4 jp) A. EXPONENTS. Definition (ketentun): Positive Integers Exponents n = x x...

Lebih terperinci

Matriks yang mempunyai jumlah baris sama dengan jumlah kolomnya disebut matriks bujur sangkar (square matrix). contoh :

Matriks yang mempunyai jumlah baris sama dengan jumlah kolomnya disebut matriks bujur sangkar (square matrix). contoh : TRIKS. PENGERTIN triks dlh sutu deretn elemen yng mementuk empt persegi pnjng, terdiri dri m ris dn n kolom. Elemen terseut dpt erentuk koefisien, ilngn tu simul. triks yng mempunyi m ris dn n kolom diseut

Lebih terperinci

BAB ALJABAR MARIX Dlm pokok bhsn ini kn disjikn dsr-dsr opersi ljbr mtrix yng berhubungn dengn nlisis struktur dengn menggunkn metode mtrix kekkun (stiffness method)... Pengertin Mtrix Mtrix merupkn sutu

Lebih terperinci

LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN

LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN RANGKUMAN MATERI Sebelum memsuki mteri, perhtikn himpunn-himpunn berikut: ) Himpunn bilngn sli:,,,4,5,.... b) Himpunn bilngn bult:...,,,0,,,.... p c) Himpunn bilngn rsionl:

Lebih terperinci

A. PENGERTIAN B. DETERMINAN MATRIKS

A. PENGERTIAN B. DETERMINAN MATRIKS ATRIKS A. PENGERTIAN triks dlh sutu deretn elemen yng mementuk empt persegi pnjng, terdiri dri m ris dn n kolom. Elemen terseut dpt erentuk koefisien, ilngn tu simul. triks yng mempunyi m ris dn n kolom

Lebih terperinci

Aljabar Linear Elementer

Aljabar Linear Elementer ljbr Liner Elementer M3 3 SKS Silbus : Bb I Mtriks dn Opersiny Bb II Determinn Mtriks Bb III Sistem Persmn Liner Bb IV Vektor di Bidng dn di Rung Bb V Rung Vektor Bb VI Rung Hsil Kli Dlm Bb VII Trnsformsi

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI. Mtriks Definisi. (Anton, Howrd. ). Mtriks dlh sutu susunn bilngn berbentuk segi empt. Bilngn-bilngn dlm susunn itu disebut nggot dlm mtriks tersebut. Ukurn (size) sutu mtriks dinytkn

Lebih terperinci

Matriks. Pengertian. Lambang Matrik

Matriks. Pengertian. Lambang Matrik triks Pengertin Definisi: trik dlh susunn bilngn tu fungsi yng diletkkn ts bris dn kolom sert dipit oleh du kurung siku. Bilngn tu fungsi tersebut disebut entri tu elemen mtrik. mbng mtrik dilmbngkn dengn

Lebih terperinci

BAHAN AJAR MATEMATIKA UMUM KELAS XI MATERI POKOK : OPERASI MATRIKS

BAHAN AJAR MATEMATIKA UMUM KELAS XI MATERI POKOK : OPERASI MATRIKS BAHAN AJAR MATEMATIKA UMUM KELAS XI MATERI POKOK : OPERASI MATRIKS Mtriks A dn mtriks B diktkn sm (A = B), jik dn hny jik: 1. Ordo mtriks A sm dengn ordo mtriks B 2. Setip elemen yng seletk pd mtriks A

Lebih terperinci

ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE)

ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE) ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE) Mcm Mtriks Mtriks Nol () Mtriks yng semu entriny nol. Ex: Mtriks Identits (I) Mtriks persegi dengn entri pd digonl utmny dn pd tempt lin.

Lebih terperinci

r x = 0. Koefisien-koefisien persamaan yang dihasilkan adalah analitik pada x = 0. Jadi dapat kita gunakan metode deret pangkat.

r x = 0. Koefisien-koefisien persamaan yang dihasilkan adalah analitik pada x = 0. Jadi dapat kita gunakan metode deret pangkat. Husn Arifh,M.Sc : Persmn Legendre Emil : husnrifh@uny.c.id Persmn diferensil Legendre (1) 1 x 2 y 2xy + n n + 1 y = 0 Prmeter n pd (1) dlh bilngn rill yng diberikn. Setip penyelesin dri (1) dinmkn fungsi

Lebih terperinci

Matriks. Bab II. Motivasi. Tujuan Pembelajaran

Matriks. Bab II. Motivasi. Tujuan Pembelajaran Mtriks Bb II Mtriks Sumber: Ensiklopedi Peljr, 999 Motivsi Secr umum mtriks merupkn sutu dftr yng berisi ngkngk dn ditulis di dlm tnd kurung. Dftr-dftr yng dpt ditulis dlm bentuk mtriks, mislny perolehn

Lebih terperinci

BAB IV BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR

BAB IV BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR BAB IV BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR Pet Konsep Bilngn Berpngkt dn Bentuk Akr mempeljri Bilngn berpngkt meliputi Bentuk kr meliputi Sift Opersi Mersionlkn Opersi Sift Kt Kunci. Pngkt 2. Akr 3. Sift

Lebih terperinci

det DEFINISI Jika A 0 disebut matriks non singular

det DEFINISI Jika A 0 disebut matriks non singular DETERINAN DEFINISI Untuk setip mtriks persegi (bujur sngkr), d stu bilngn tertentu yng disebut determinn Determinn dlh jumlh semu hsil kli elementer bertnd dri sutu mtriks bujur sngkr. Disimbolkn dengn:

Lebih terperinci

Topik: Matriks Dan Sistem Persamaan Linier

Topik: Matriks Dan Sistem Persamaan Linier Mt Kulih: Mtemtik Kode: TKF Topik: Mtriks Dn Sistem Persmn Linier MAT Kompetensi : Dpt menerpkn konsep-konsep mtriks dn sistem persmn linier dlm mempeljri konsep-konsep keteknikn pd mt kulih mt kulih progrm

Lebih terperinci

MATEMATIKA DASAR. Bab Bilangan Irasional dan Logaritma. Drs. Sumardi Hs., M.Sc. Modul ke: 02Fakultas FASILKOM. Program Studi Teknik Informatika

MATEMATIKA DASAR. Bab Bilangan Irasional dan Logaritma. Drs. Sumardi Hs., M.Sc. Modul ke: 02Fakultas FASILKOM. Program Studi Teknik Informatika MATEMATIKA DASAR Modul ke: 0Fkults FASILKOM Progrm Studi Teknik Informtik Bb Bilngn Irsionl dn Logritm Drs. Sumrdi Hs., M.Sc. Bgin Isi Bilngn Irsionl - Berbgi bentuk kr dn opersiny Logritm - Sift-sift

Lebih terperinci

Skew- Semifield dan Beberapa Sifatnya 1

Skew- Semifield dan Beberapa Sifatnya 1 Skew- Semifield dn Beberp Siftny K r y t i Jurusn Pendidikn Mtemtik Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm Universits Negeri Yogykrt E-mil: ytiuny@yhoo.com Abstrk Sutu field ( lpngn ) F dlh struktur ljbr

Lebih terperinci

Minggu ke 3 : Lanjutan Matriks

Minggu ke 3 : Lanjutan Matriks inggu ke : Lnjutn triks Pokok Bhsn Sub Pokok Bhsn Tujun Instruksionl Umum Tujun Instruksionl Khusus : triks :. Trnsformsi Elementer. Trnsformsi Elementer pd bris dn kolom. triks Ekivlen. Rnk triks B. Determinn.

Lebih terperinci

III. Bab. Matriks. Di unduh dari: (www.bukupaket.com) Sumber buku : (bse.kemdikbud.go.id)

III. Bab. Matriks. Di unduh dari: (www.bukupaket.com) Sumber buku : (bse.kemdikbud.go.id) Bb III Mtriks 79 Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri bb ini, dihrpkn klin dpt. menjelskn ciri sutu mtriks;. menuliskn informsi dlm bentuk mtriks;. melkukn opersi ljbr ts du mtriks; 4. menentukn determinn

Lebih terperinci

1. Pengertian Matriks

1. Pengertian Matriks BAB MATRIKS BAB MATRIKS. Pengertin Mtriks. Opersi Mtriks. Trnspose Sutu Mtriks. Kesmn Duh Buh Mtriks. Jenis-Jenis Mtriks. Trnsformsi Elementer 7. Rnk Mtriks . Pengertin Mtriks Mtriks dlh dftr ilngn yng

Lebih terperinci

matematika K-13 TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR K e l a s

matematika K-13 TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR K e l a s K-3 mtemtik K e l s XI TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Memhmi teorem fktor.. Menentukn kr dn fktor liner suku nyk dengn

Lebih terperinci

BAB I MATRIKS. Aljabar matriks merupakan salah satu cabang matematika yang. dikembangkan oleh seorang matematikawan Inggris Arthur Cayley ( ).

BAB I MATRIKS. Aljabar matriks merupakan salah satu cabang matematika yang. dikembangkan oleh seorang matematikawan Inggris Arthur Cayley ( ). BAB I MATRIKS Aljbr mtriks merupkn slh stu cbng mtemtik yng dikembngkn oleh seorng mtemtikwn Inggris Arthur Cyley (8 89) Mtriks berkembng kren pernnny dlm cbng-cbng Mtemtik linny, mislny bidng ekonomi,

Lebih terperinci

PROBLEM SOLVING TERKAIT DENGAN KELAS X SEMESTER 1 PADA STANDAR KOMPETENSI (SK) 1.

PROBLEM SOLVING TERKAIT DENGAN KELAS X SEMESTER 1 PADA STANDAR KOMPETENSI (SK) 1. PROLEM SOLVING TERKIT DENGN KELS X SEMESTER PD STNDR KOMPETENSI (SK). LJR Memechkn mslh yng berkitn dengn bentuk pngkt, kr, dn logritm Oleh: Sigit Tri Guntoro. Du orng berselisih mengeni bnykny psngn bilngn

Lebih terperinci

Matematika Lanjut 1. Onggo Wiryawan

Matematika Lanjut 1. Onggo Wiryawan Mtemtik Lnjut 1 Onggo Wirywn Setip mtriks persegi tu bujur sngkr memiliki nili determinn Nili determinn sklr Mtriks Singulr= Mtriks yng determinnny bernili 0 Determinn & Invers - Onggo Wr 2 Mislkn A sutu

Lebih terperinci

Pengertian Matriks. B. Notasi Matriks. a 21 adalah elemen baris 2 kolom 1. Banyaknya baris : Banyaknya kolom : Ordo Matrik :

Pengertian Matriks. B. Notasi Matriks. a 21 adalah elemen baris 2 kolom 1. Banyaknya baris : Banyaknya kolom : Ordo Matrik : MATRIKS Segi gmrn wl mengeni mteri mtriks mri kit ermti urin erikut ini. Dikethui dt hsil penjuln tiket penerngn tujun Medn dn Sury dri seuh gen tiket selm empt hri erturut-turut disjikn dlm tel erikut.

Lebih terperinci

Suku banyak. Akar-akar rasional dari

Suku banyak. Akar-akar rasional dari Suku nyk Algoritm pemgin suku nyk menentukn Teorem sis dn teorem fktor terdiri dri Pengertin dn nili suku nyk Hsil gi dn sis pemgin suku nyk Penggunn teorem sis Penggunn teorem fktor Derjd suku nyk pd

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN REAL. Purnami E. Soewardi. Direktorat Pembinaan Tendik Dikdasmen Ditjen GTK Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan

SISTEM BILANGAN REAL. Purnami E. Soewardi. Direktorat Pembinaan Tendik Dikdasmen Ditjen GTK Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan SISTEM BILANGAN REAL Purnmi E. Soewrdi Direktort Peminn Tendik Dikdsmen Ditjen GTK Kementerin Pendidikn dn Keudyn Himpunn Bilngn Asli (N) Bilngn sli dlh ilngn yng pertm kli dikenl dn digunkn oleh mnusi

Lebih terperinci

b. Notasi vektor : - Vektor A dinotasikan a atau a atau PQ - Panjang vektor a dinotasikan a atau PQ

b. Notasi vektor : - Vektor A dinotasikan a atau a atau PQ - Panjang vektor a dinotasikan a atau PQ BAB 4 VEKTOR Stndr Kompetensi: 3. Menggunkn konsep mtriks, vektor, dn trnsformsi Kompetensi Dsr: 3.4 Menggunkn sift-sift dn opersi ljbr vktor dlm pemechn mslh 3.5 Menggunkn sift-sift dn opersi perklin

Lebih terperinci

A x = b apakah solusi x

A x = b apakah solusi x MTRIKS INVERSI & SIFT-SIFTNY Bil, x, dlh sklr ilngn rel yng memenuhi x, mk x pil. Sekrng, untuk sistem persmn linier x pkh solusi x dpt diselesikn dengn x? Mtriks Identits Untuk sklr (rel numer dn ), mk.

Lebih terperinci

SUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 2016 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN MATEMATIKA BAB IV PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

SUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 2016 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN MATEMATIKA BAB IV PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN SUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 2016 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN MATEMATIKA BAB IV PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN Dr. Djdir, M.Pd. Dr. Ilhm Minggi, M.Si J fruddin,s.pd.,m.pd. Ahmd Zki, S.Si.,M.Si Shln Sidjr,

Lebih terperinci

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN MENGGUNAKAN DETERMINAN (ATURAN CRAMER)

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN MENGGUNAKAN DETERMINAN (ATURAN CRAMER) PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN MENGGUNAKAN DETERMINAN (ATURAN CRAMER) Dikethui system Persmn Linier x+ x + x = x+ x + x = x+ x + x = dlm entuk mtriks x x x Penyelesin Dengn Aturn Crmer dlh

Lebih terperinci

III. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan

III. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan Bb III Sumber: mycityblogging.com Persmn dn Pertidksmn Konsep persmn dn pertidksmn telh And peljri sebelumny di Kels VII dn Kels VIII. Konsep persmn dn pertidksmn sngt bergun jik diterpkn dlm kehidupn

Lebih terperinci

Universitas Esa Unggul

Universitas Esa Unggul ALJABAR LINIER DAN MATRIKS BHAN KULIAH DRA SURYARI PURNAMA, MM Universits Es Unggul Minggu I Mtriks Pokok Bhsn Sub Pokok Bhsn Tujun Instruksionl Umum Tujun Instruksionl Khusus : Pendhulun Mtriks : A. Pengertin

Lebih terperinci

MATRIKS. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ

MATRIKS. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ MTRIKS gustin Prdjningsih, M.Si. Jurusn Mtemtik FMIP UNEJ tinprdj.mth@gmil.com DEFINISI MTRIKS Sutu dftr bilngn-bilngn rel tu kompleks terdiri ts m bris dn n kolom, m dn n bilngn bult positip disebut mtriks

Lebih terperinci

Matematika X Semester 1 SMAN 1 Bone-Bone

Matematika X Semester 1 SMAN 1 Bone-Bone http://meetbied.wordpress.com Mtemtik X Semester SMAN Bone-Bone Hsil yng pling berhrg dri semu jenis pendidikn dlh kemmpun untuk membut diri kit melkukn sesutu yng hrus kit lkukn, pd st hl itu hrus dilkukn,

Lebih terperinci

CONTOH SOLUSI BEBERAPA SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M. 3. Untuk k 2 didefinisikan bahwa a

CONTOH SOLUSI BEBERAPA SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M. 3. Untuk k 2 didefinisikan bahwa a CONTOH SOLUSI BEBERAPA SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M. Dikethui bhw,. Untuk k didefinisikn bhw k k k. Tentukn jumlh tk hingg dri. Kit mislkn S S. Dengn demikin kit dpt menuliskn Kedu

Lebih terperinci

matematika PEMINATAN Kelas X FUNGSI LOGARITMA K-13 A. Definisi Fungsi Logaritma

matematika PEMINATAN Kelas X FUNGSI LOGARITMA K-13 A. Definisi Fungsi Logaritma K-3 Kels mtemtik PEMINATAN FUNGSI LOGARITMA Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi definisi fungsi logritm.. Dpt menggunkn konsep fungsi logritm dlm menyelesikn

Lebih terperinci

METODE ALTERNATIF BARU UNTUK MENGHITUNG DETERMINAN MATRIKS ORDE 3 X 3

METODE ALTERNATIF BARU UNTUK MENGHITUNG DETERMINAN MATRIKS ORDE 3 X 3 METODE ALTERNATIF BARU UNTUK MENGHITUNG DETERMINAN MATRIKS ORDE 3 X 3 Glng Ismu Hndoko 1, M Ntsir 2, Sigit Sugirto 2 1 Mhsisw Progrm S1 Mtemtik 2 Dosen Jurusn Mtemtik Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm

Lebih terperinci

Sistem Persamaan Linier

Sistem Persamaan Linier b I Sistem Persmn Linier I Sistem Persmn Linier TUJUN PEMELJRN: Mhsisw memhmi konsep-konsep tentng sistem persmn linier, eksistensi dn keunikn sistem persmn linier, keunikn sistem persmn linier homogen,

Lebih terperinci

BAB 1 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN. Standar Kompetensi Mahasiswa memahami konsep dasar sistem bilangan real (R)

BAB 1 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN. Standar Kompetensi Mahasiswa memahami konsep dasar sistem bilangan real (R) BAB PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN Stndr Kompetensi Mhsisw memhmi konsep dsr sistem bilngn rel (R) sebgi semest untuk menentukn selesin persmn dn pertidksmn, dpt mengembngkn bentuk persmn dn pertidksmn yng

Lebih terperinci

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 3 Sistem Persmn Liner Sistem Persmn Liner Su Pokok Bhsn Pendhulun Solusi SPL dengn OBE Solusi SPL dengn Invers mtriks dn Aturn Crmmer SPL Homogen Beerp Apliksi

Lebih terperinci

STRATEGI PENGAJARAN MATEMATIKA UNTUK MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT

STRATEGI PENGAJARAN MATEMATIKA UNTUK MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT Jurnl Vol II. No., Mret 08, hlm. 9-95 vilble online t www.jurnl.un.c.id/indeks/jmp STRTEGI PENGJRN MTEMTIK UNTUK MENENTUKN KR-KR PERSMN KUDRT Indh Purnm Putri, Symsudhuh, Ihd Hsbiyti 3 Progrm Studi Mgister

Lebih terperinci

didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b

didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b 1 PENDAHULUAN 1.1 Sistem Bilngn Rel Untuk mempeljri klkulus perlu memhmi hsn tentng system ilngn rel, kren klkulus didsrkn pd system ilngn rel dn siftsiftny. Sistem ilngn yng pling sederhn dlh ilngn sli,

Lebih terperinci

15. INTEGRAL SEBAGAI LIMIT

15. INTEGRAL SEBAGAI LIMIT 15. INTEGRAL SEBAGAI LIMIT 15.1 Jumlh Riemnn Dlm kulih Klkulus pd thun pertm, integrl Riemnn bisny diperkenlkn sebgi limit dri jumlh Riemnn, tidk mellui integrl Riemnn ts dn integrl Riemnn bwh. Hl ini

Lebih terperinci

MATRIKS Definisi: Matriks Susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Matriks ditulis sebagai berikut (1)...

MATRIKS Definisi: Matriks Susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Matriks ditulis sebagai berikut (1)... MATRIKS Definisi: Mtriks Susunn persegi pnjng dri ilngn-ilngn yng ditur dlm ris dn kolom. Mtriks ditulis segi erikut ()... m... m... n... n......... mn Susunn dits diseut mtriks m x n kren memiliki m ris

Lebih terperinci

III. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan

III. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan Bb III Sumber: mycityblogging.com Persmn dn Pertidksmn Konsep persmn dn pertidksmn telh And peljri sebelumny di Kels VII dn Kels VIII. Konsep persmn dn pertidksmn sngt bergun jik diterpkn dlm kehidupn

Lebih terperinci

VEKTOR. Adri Priadana. ilkomadri.com

VEKTOR. Adri Priadana. ilkomadri.com VEKTOR Adri Pridn ilkomdri.com Pengertin Dlm Fisik dikenl du buh besrn, yitu 1. Besrn Sklr. Besrn Vektor Pengertin Besrn Sklr dlh sutu besrn yng hny mempunyi nili dn dinytkn dengn sutu bilngn tunggl diserti

Lebih terperinci

Bilangan. Bilangan Nol. Bilangan Bulat (Z )

Bilangan. Bilangan Nol. Bilangan Bulat (Z ) Bilngn Bilngn Asli (N) (,2,, ) Bilngn Nol (0) Bilngn Negtif (,, 2, ) Bilngn Bult (Z ) Bilngn Pechn ( 2 ; 5 ; 5%; 6,82; ) 7 A. Bilngn Asli (N) Bilngn Asli dlh himpunn bilngn bult positif (nol tidk termsuk).

Lebih terperinci

Sistem Persamaan Linear Bagian 1

Sistem Persamaan Linear Bagian 1 Sistem Persmn Liner Bgin. SISTEM PERSAMAAN LINEAR PENGANTAR Dlm bgin ini kn kit perkenlkn istilh dsr dn kit bhs sebuh metode untuk memechkn sistem-sistem persmn liner. Sebuh gris dlm bidng xy secr ljbr

Lebih terperinci

Menerapkan konsep vektor dalam pemecahan masalah. Menerapkan konsep vektor pada bangun ruang

Menerapkan konsep vektor dalam pemecahan masalah. Menerapkan konsep vektor pada bangun ruang VEKTOR PADA BIDANG SK : Menerpkn konsep vektor dlm pemechn mslh KD : Menerpkn konsep vektor pd bidng dtr Menerpkn konsep vektor pd bngun rung TUJUAN PELATIHAN: Pesert memiliki kemmpun untuk mengembngkn

Lebih terperinci

MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN PANGKAT EMPAT. Supriyono Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo.

MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN PANGKAT EMPAT. Supriyono Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo. MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN PANGKAT EMPAT Supriyono Jurusn Pendidikn Mtemtik FKIP Universits Muhmmdiyh Purworejo Abstrk Tulisn ini terdiri bgin yitu () bgin pendhulun yng membhs bentuk umum persmn pngkt

Lebih terperinci

2. Paman mempunyai sebidang tanah yang luasnya 5 hektar. Tanah itu dibagikan kepada 3. Luas tanah yang diterima oleh mereka masing-masing = 5 :3 1

2. Paman mempunyai sebidang tanah yang luasnya 5 hektar. Tanah itu dibagikan kepada 3. Luas tanah yang diterima oleh mereka masing-masing = 5 :3 1 . Hitunglh 7 5. : b. 5 : c. 8 : 6 d. 8 9 7 7 7 5 77 77 77. : c. 8 : 6 : 6 6 9 9 9 6 54 8 40 7 b. 5: 5 d. 4: 4: 4 6 8 7 95 Husein Tmpoms, Rumus-rumus Dsr Mtemtik 4 :. Pmn mempunyi sebidng tnh yng lusny

Lebih terperinci

SUKU BANYAK ( POLINOM)

SUKU BANYAK ( POLINOM) SUKU BANYAK ( POLINOM) Bb 16 Skl 8.Menyelesikn mslh yng berkitn dengn teorem sis tu teorem fktor A. PENGERTIAN SUKU BANYAK. Bentuk x x x... x x, dengn 0 dn n { bil. cch} 1 0 disebut dengn Suku bnyk (Polinomil)

Lebih terperinci

2.Matriks & Vektor (1)

2.Matriks & Vektor (1) .triks & Vektor () t Kulih: ljbr Liner dn triks Semester Pendek T. / S Teknik Informtik Dosen Pengmpu: Heri Sismoro,.Kom. STIK IKO YOGYKRT Jl. Ringrod Utr Condong Ctur Yogykrt. Telp. 7 88 Fx 7-888 Website:

Lebih terperinci

LEMBAR KERJA SISWA. Pengurangan matriks A dengan B, dilakukan dengan menjumlahkan matriks A dengan matriks negatif (lawan) B.

LEMBAR KERJA SISWA. Pengurangan matriks A dengan B, dilakukan dengan menjumlahkan matriks A dengan matriks negatif (lawan) B. LEMBAR KERJA SISWA Juul (Mteri Pokok) : Pengertin, Kesmn, Trnspos, Opersi n Sift Mtriks Mt Peljrn : Mtemtik Kels / Semester : XII / Wktu : menit Stnr Kompetensi : Menggunkn konsep mtriks, vektor n trnsformsi

Lebih terperinci

MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real MA3231 Anlisis Rel Hendr Gunwn* *http://hgunwn82.wordpress.com Anlysis nd Geometry Group Bndung Institute of Technology Bndung, INDONESIA Progrm Studi S1 Mtemtik ITB, Semester II 2016/2017 HG* (*ITB Bndung)

Lebih terperinci

SIFAT-SIFAT LOGARITMA

SIFAT-SIFAT LOGARITMA K- Kels X mtemtik PEMINATAN SIFAT-SIFAT LOGARITMA Tujun Pembeljrn Setelh memeljri mteri ini, kmu dihrkn memiliki kemmun berikut.. Memhmi definisi logritm.. Dt menentukn nili logritm dengn menggunkn tbel

Lebih terperinci

,, % ,, % -0: 0 -0: 0! 2 % 26, &

,, % ,, % -0: 0 -0: 0! 2 % 26, & PERSAMAAN LINIER GAUSS-SIEDEL METHOD Simultneous Liner Equtions Oleh : Purwnto,S.Si Bentuk Umum x + x + 3 x 3 + + n x n = b Sebuh persmn linier dengn : n peubh : x, x, x 3,, x n n konstnt :,, 3,, n Contoh

Lebih terperinci

Aljabar Linier & Matriks. Tatap Muka 3

Aljabar Linier & Matriks. Tatap Muka 3 Aljbr Linier & Mtriks Ttp Muk Eliminsi Guss-Jordn Sistem persmn linier dengn n vribel dn m persmn secr umum dinytkn sbg: Sistem persmn linier tsb dpt dinytkn dlm bentuk mtriks sbb: A x X = b dengn A dlh

Lebih terperinci

Vektor di R 2 dan R 3

Vektor di R 2 dan R 3 Vektor di R dn R Pengertin Vektor dlh besrn yng mempunyi besr dn rh Vektor digmbrkn oleh rus gris yng dilengkpi dengn nk pnh vektor dimuli dri titik wl (initil point) dn dikhiri oleh titik khir (terminl

Lebih terperinci

Jarak Titik, Garis dan Bidang dalam Ruang

Jarak Titik, Garis dan Bidang dalam Ruang Pge of Kegitn eljr. Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri kegitn beljr, dihrpkn sisw dpt :. Menentukn jrk titik dn gris dlm rung b. Menentukn jrk titik dn bidng dlm rung c. Menentukn jrk ntr du gris dlm rung.

Lebih terperinci

LEMBAR KEGIATAN SISWA. : Menemukan Teorema Pythagoras Sekolah/Satuan Pendidikan:... Kelas/Semester :... Anggota Kelompok :

LEMBAR KEGIATAN SISWA. : Menemukan Teorema Pythagoras Sekolah/Satuan Pendidikan:... Kelas/Semester :... Anggota Kelompok : LEMBAR KEGATAN SSWA Topik : Menemukn Teorem Pythgors Sekolh/Stun Pendidikn:... Kels/Semester :... Anggot Kelompok : 1.... 2.... 3.... 4. 5.... Tnggl Mengerjkn LKS :. Petunjuk Umum: 1. Setelh mengerjkn

Lebih terperinci

12. LUAS DAERAH DAN INTEGRAL

12. LUAS DAERAH DAN INTEGRAL 12. LUAS DAERAH DAN INTEGRAL 12.1 Lus Derh di Bwh Kurv Mslh menentukn lus derh (dn volume rung) telh dipeljri sejk er Pythgors dn Zeno, pd thun 500-n SM. Konsep integrl (yng terkit ert dengn lus derh)

Lebih terperinci

FISIKA BESARAN VEKTOR

FISIKA BESARAN VEKTOR K-3 Kels X FISIKA BESARAN VEKTOR TUJUAN PEMBELAJARAN Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi pengertin besrn vektor.. Mengusi konsep penjumlhn vektor dengn berbgi metode.

Lebih terperinci

2. PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT

2. PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT . PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT A. Persmn Kudrt. Bentuk umum persmn kudrt : x + bx + c = 0, 0. Nili determinn persmn kudrt : D = b c. Akr-kr persmn kudrt dpt dicri dengn memfktorkn tupun

Lebih terperinci

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Pert 9 (mengjrkomputer.wordpress.com) NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN 9. Definisi Sebuh mtriks bujur sngkr dengn orde n n mislkn A, dn sebuh vektor kolom X. Vektor X dlh vektor dlm rung Euklidin n R yng dihubungkn

Lebih terperinci

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) : SMA IT Izzuddin : Matematika : X (Sepuluh) / Ganjil

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) : SMA IT Izzuddin : Matematika : X (Sepuluh) / Ganjil RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Nm Sekolh Mt Peljrn Kels / Semester : SMA IT Izzuddin : Mtemtik : X (Sepuluh) / Gnjil Stndr Kompetensi :. Memechkn mslh yng berkitn dengn bentuk pngkt, kr, dn logritm.

Lebih terperinci

Matriks. Modul 1 PENDAHULUAN

Matriks. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Mtriks Dr. Whyu Widyt, M.Ec. S PENDAHULUAN ering kli kit berhdpn dengn mslh mencri solusi dri sistem persmn linier, tu mslh optimissi sutu fungsi dengn jumlh vribel yng bnyk. Mslh-mslh tersebut

Lebih terperinci

Teorema Dasar Integral Garis

Teorema Dasar Integral Garis ISBN: 978-979-79-55-9 Teorem Dsr Integrl Gris Erdwti Nurdin Progrm Studi Pendidikn Mtemtik FKIP UIR d_1910@yhoo.com Abstrk Slh stu generlissi integrl tentu (definite integrl) f x dx diperoleh dengn menggnti

Lebih terperinci

ALJABAR LINIER _1 Matrik. Ira Prasetyaningrum

ALJABAR LINIER _1 Matrik. Ira Prasetyaningrum LJR LINIER _ Mtrik Ir Prsetyningrum DEFINISI MTRIKS pkh yng dimksud dengn Mtriks? kumpuln ilngn yng disjikn secr tertur dlm ris dn kolom yng mementuk sutu persegi pnjng, sert termut dintr sepsng tnd kurung.

Lebih terperinci

PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Persmn Kudrt. Bentuk Umum Persmn Kudrt Mislkn,, Є R dn 0 mk persmn yng erentuk 0 dinmkn persmn kudrt dlm peuh. Dlm persmn kudrt 0, dlh koefisien

Lebih terperinci

BAB II PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA

BAB II PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA BAB II PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA ILUSTRASI Sony kn membeli sebuh motor secr kredit, ketentun yng ditwrkn oleh perushn lesing dlh, ung muk sebesr Rp.500.000,00 dn ngsurn perbulnny sebesr Rp 365.000,00

Lebih terperinci

matematika WAJIB Kelas X RASIO TRIGONOMETRI Kurikulum 2013 A. Definisi Trigonometri

matematika WAJIB Kelas X RASIO TRIGONOMETRI Kurikulum 2013 A. Definisi Trigonometri Kurikulum 0 Kels X mtemtik WAJIB RASIO TRIGONOMETRI Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi rsio-rsio trigonometri yng meliputi sinus, kosinus, tngen,

Lebih terperinci

INTEGRAL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 45

INTEGRAL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 45 INTEGRAL Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB Bogor, 2012 (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 1 / 45 Topik Bhsn 1 Pendhulun 2 Anti-turunn 3 Lus di Bwh Kurv 4 Integrl Tentu 5 Teorem Dsr Klkulus 6

Lebih terperinci

PELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU TANGGAL 28 JULI s.d. 10 AGUSTUS 2003 SUKU BANYAK. Oleh: Fadjar Shadiq, M.App.Sc.

PELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU TANGGAL 28 JULI s.d. 10 AGUSTUS 2003 SUKU BANYAK. Oleh: Fadjar Shadiq, M.App.Sc. PELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU TANGGAL 8 JULI s.d. 0 AGUSTUS 00 SUKU BANYAK Oleh: Fdjr Shdiq, M.App.Sc. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH PUSAT PENGEMBANGAN

Lebih terperinci

Integral Tak Wajar. Ayundyah Kesumawati. March 25, Prodi Statistika FMIPA-UII

Integral Tak Wajar. Ayundyah Kesumawati. March 25, Prodi Statistika FMIPA-UII Kesumwti Prodi Sttistik FMIPA-UII Mrch 25, 205 Sutu integrl tertentu b f (x)dx () diktkn wjr jik i memenuhi du syrt berikut: i. Bts integrsi dn b merupkn bilngn berhingg ii. fungsi f (x) terbts pd intervl

Lebih terperinci

E. Penggunaan Matriks untuk Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

E. Penggunaan Matriks untuk Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel 5. Di wh ini merupkn mtriks-mtriks singulr, tentukn nili, y dn z yng memenuhi.. - 3 - Î 2 2y 5 Î 4 2 3 2 8 Î 6 6. Dikethui mtriks-mtriks erikut. - 2 5 7 P = Q = Î 3 Î2 Tentukn: (PQ). P Q E. Penggunn Mtriks

Lebih terperinci

7. Ruang L 2 (a, b) f(x) 2 dx < }.

7. Ruang L 2 (a, b) f(x) 2 dx < }. 7. Rung L (, b) Rung L (, b) didefinisikn sebgi rung semu fungsi f yng kudrtny terintegrlkn pd [, b], ykni L (, b) := {f : b f(x) dx < }. Rung ini menckup fungsi-fungsi f yng tk terbts pd [, b] tetpi f

Lebih terperinci

1. Introduction. Aljabar Linear dan Matriks Semester Pendek TA 2009/2010 S1 Teknik Informatika. Mata Kuliah: Dosen Pengampu: Heri Sismoro, M.Kom.

1. Introduction. Aljabar Linear dan Matriks Semester Pendek TA 2009/2010 S1 Teknik Informatika. Mata Kuliah: Dosen Pengampu: Heri Sismoro, M.Kom. 1. Introduction Mt Kulih: Aljbr Liner dn Mtriks Semester Pendek TA 9/1 S1 Teknik Informtik Dosen Pengmpu: Heri Sismoro, M.Kom. STMIK AMIKOM YOGYAKARTA Jl. Ringrod Utr Condong Ctur Yogykrt. Telp. 74 8841

Lebih terperinci