Probabilitas dan Proses Stokastik. Belajar Latihan Asesmen. Belajar. Visualisasi Pengetahuan dan Virtualisasi Eksperimen. Trihastuti Agustinah, dkk

Transkripsi

1 Belajar Latiha Asesme Belajar Visualisasi Pegetahua da Virtualisasi Eksperime Probabilitas da Proses Stokastik Trihastuti Agustiah, dkk P r o b a b l i t a s d a P r o s e s S t o k a s t i k Page

2 Kata Pegatar P r o b a b l i t a s d a P r o s e s S t o k a s t i k Page

3 Prakata Jakarta, [Publish Date] P r o b a b l i t a s d a P r o s e s S t o k a s t i k Page 3

4 Daftar isi Probabilitas Kosep Probabilitas Eksperime Acak Teori Probabilitas Probabilitas Bersyarat Probabilitas Total Da Teorema Bayes Probabilitas Total Teorema Bayes EvetIdepedet Keadala Sistem Variabel Acak Diskrit Kosep Variabel Acak Diskrit Fugsi Variabek Acak PMF Variabel Acak Diskrit CDF Variabel Acak Mome Variabel AcakDiskrit Model Fugsi Var. Acak Diskrit ModelPoisso ModelBiomial VAriabel Acak Kotiu Kosep Variabel Acak Kotiu Fugsi Variabel Acak Kotiu Fugsi Distribusi Variabel Acak Kotiu Fugsi KepadataProbablitas Mome Variabel Acak Kotiu Model Perhituga Model Ekspoesial Model Weibull... 7 P r o b a b l i t a s d a P r o s e s S t o k a s t i k Page 4

5 3.3.3 Model Gauss Trasformasi Variabel Acak Variabel Acak Multipel Joit CDF Joit PMF Joit PDF Variabel Acak Bersyarat Variabel Acak Idepede Jumlah Dua Variabel Acak Idepede Mome Joit Dua Variabel Acak Proses Acak Kosep Proses Stokastik Proses Stokastik Stasioer Fugsi Fugsi autokorelasi Fugsi Korelasi Silag Fugsi Kovarias Sekue Acak Fugsi PSD Proses Stokastik Fugsi Kepadata Spektral Silag Kepadata Spektral Daya Sekue Acak Model Noise Respo Sistem Respo Sistem Liear Kotiu dega Iput Stokastik Respo Sistem Liear Diskrit dega Iput Stokastik P r o b a b l i t a s d a P r o s e s S t o k a s t i k Page 5

6 Daftar Gambar Gambar a Evet Mutually Eclusive da b Mutually eclusive da Collectively Ehaustive... Gambar Outcome eksperime 'pilih bola dalam kotak' Gambar 3 Frekuesi relatif dari tiga outcome eksperime utuk trial Gambar 4 Frekuesi relatif dari tiga outcome eksperime utuk trial Gambar 5 Diagram Ve Iterseksi Evet A da B Gambar 6 Diagram Poho Eksperime Pegambila Bola Tapa Pegembalia Kembali... Gambar 7 Diagram Ve Evet Mutually Eclusive B da EvetA... 3 Gambar 8 Sistem Komuikasi Bier... 4 Gambar Diagram Poho Eksperime Pegambila Bola Dega Pegembalia Bola Terambil... 3 Gambar a Kofigurasi Seri b Kofigurasi Paralel P r o b a b l i t a s d a P r o s e s S t o k a s t i k Page 6

7 Daftar Tabel Tabel Prosedur Eksperime Acak... 9 Tabel Ruag SampelEksperime Acak... Tabel 3 Evet Ruag Sampel Eksperime Acak... Tabel 5 Sistem Komuikasi Bier Simetris... 8 P r o b a b l i t a s d a P r o s e s S t o k a s t i k Page 7

8 Probabilitas Mahasiswa mampu mejelaska spesifikasi eksperime acakmeliputi prosedur, observasi da model; megidetifikasi ruag sampel da evet dari eksperime. Kosep Probabilitas Mahasiswa mampu mejelaska spesifikasi eksperime acakmeliputi prosedur, observasi da model; megidetifikasi ruag sampel da evet dari eksperime.. Eksperime Acak CAPAIAN PEMBELAJARAN Mahasiswa mampu mejelaska peetua eksperime acakmeliputi prosedur, observasi da model; megidetifikasi ruag sampel da evet dari eksperime acak PENGANTAR Kosep dasar tetag eksperime acak da peetua ruag sampel serta evet dari suatu eksperime tersebut terdapat dalam bahasa ii. Pedefiisia tetag eksperime acak, ruag sampel da evet tersebut dilegkapi dega beberapa cotoh yag bergua utuk memberika pejelasa secara utuh tetag kosepkosep tersebut. EKSPERIMEN ACAK Eksperime acak merupaka suatu eksperime yag hasilya outcome bervariasi da tidak dapat diprediksi bila eksperime tersebut diulag pada kodisi yag sama.eksperime acak ditetuka melalui peetapa prosedur eksperime da pegukura atau observasi hasil outcomeyag harus dilakuka.selai itu, eksperime acak juga perlu dilegkapi dega model eksperime. Dalam eksperime pelempara sebuah koi, model eksperimeya adalah terjadiya agka atau gambar memiliki kemugkia yag sama equally likely, da tiap hasil lempara tidak terkait dega hasil lempara sebelumya. Suatu eksperime acak dapat mempuyai prosedur yag sama tapi observasi yag dilakuka tidak sama. Observasi yag dilakuka dalam eksperime acak dapat meliputi lebih dari satu observasi. P r o b a b l i t a s d a P r o s e s S t o k a s t i k Page 8

9 CONTOH Berikut ii merupaka cotoh peetapa prosedur da observasi yag harus dilakuka dalam eksperime acak. Tabel Prosedur Eksperime Acak Eksperime Prosedur Observasi E E E 3 E 4 E 5 E 6 E 7 Pilih bola dalam kotak yag berisi bola idetik yag diberi omor sampai Pilih bola dalam kotak yag berisi 4 bola idetik yag diomori da utuk bola hitam h, omor 3 da 4 utuk bola putih p. Lempar koi tiga kali. Model:terjadiya agka da gambar memiliki kemugkia yag sama equally likely Catata: outcome eksperime berupa agka A atau gambar G Lempar koi tiga kali. Model:terjadiya agka da gambar memiliki kemugkia yag sama equally likely Catata: outcome eksperime berupa agka A atau gambar G Pilih bilaga iteger gajil positif Pilih bilaga positif dari ol sampai dega Hitug bayakya pesa yag datag pada pusat pesa tiap jam E 8 Ukur ilai tegaga dalam ragkaia pada waktu t Catat omor bola Catat omor da wara bola Catat bayakya agka yag terjadi Cataturuta agka da/atau gambar hasil lempara Catat iteger gajil positif terpilih Catat bilaga positif yag terpilih Catat hasil peghituga pesa tersebut Catat hasil pegukura tegaga tersebut Ruag Sampel P r o b a b l i t a s d a P r o s e s S t o k a s t i k Page 9

10 Himpua dari seluruh hasil outcome atau titik sampel dalam eksperime disebut ruag sampel da disimbolka dega S. Dalam eksperime pelempara sebuah dadu, ruag sampel S merupaka himpua terbatas dari eam bilaga yag meyataka jumlahmata dadu yag mucul atas, S = {,, 3, 4, 5, 6}. Ruag sampel yag seperti ii disebut diskrit da terbatas. Ruag sampel juga dapat berupa diskrit da tak terbatas. Sebagai cotoh,s dalam eksperime 'pilih iteger positif secara acak'merupaka himpua tak terbatas, S = {,, 3, }. Eksperime juga dapat memuyai ruag sampel tak terbatasda tak terhitug. Misalya dalam eksperime 'pilih bilaga positif dari sampai dega ', maka ruag sampel dari eksperime ii adalahs={<s<}. Ruag sampel ii disebut kotiu. CONTOH Berikut ii merupaka ruag sampel terkait eksperime acak dalam cotoh. Tabel Ruag SampelEksperime Acak Eksp. Observasi Ruag Sampel E Nomor bola yag terpilih dari dalam kotak S = {,,, } E Nomor da wara bola terpilih S = {,h,,h, 3,p, 4,p} E 3 E 4 Jumlah bayakya agka dalam tiga kali lempara Uruta hasil lempara koi dalam tiga kali S 3 = {,,,3} S 4={AAA, AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG} E 5 Bilaga iteger gajil positif S 5={, 3, 5, 7, } E 6 E 7 Bilaga positif dari sampai dega Bayakya pesa yag datag tiap jam S 6 = {: } S 7 = {,,,, N} E 8 Nilai tegaga pada waktu t S 8 = {v: v } Eksperime E, E, E 3, E 4 memuyai ruag sampel diskrit da terbatas, sedagka eksperime E 5 da E 7 memuyai ruag sampel diskrit da tak terbatas. Eksperime E 6 da E 8 adalah cotoh ruag sampel kotiu. Evet P r o b a b l i t a s d a P r o s e s S t o k a s t i k Page

11 Dalam satu eksperime biasaya yag diperhatika adalah hasil outcome dega karakteristik tertetu. Misalya dalam pelemparasebuah dadu yag diperhatika adalah kejadia dari muculya jumlah mata dadu berilai geap. CONTOH 3 Berikut ii merupaka evet yag didefiisika dalam ruag sampel terkait eksperime acak dalam cotoh. Eksp. Tabel 3 Evet Ruag Sampel Eksperime Acak Observasi Evet E Bola beromor geap terpilih A={,4,6,8,} E Bola beromor geap da berwara putih terpilih E 3 Jumlah agka sama bayak dega gambar A={4,p} A3 =Ø E 4 Tiga kali lempara outcome sama A 4 ={AAA, GGG} E 5 Bilaga yag terpilih tidak egatif A5 =S 5 = {, 3, 5, 7, } E 6 E 7 E 8 Bilaga yag terpilih lebih kecil dari 5 Tidak ada pesa yag datag tiap jam Nilai tegaga pada waktu t lebih besar dari tetapi lebih kecil dari 3 A6={: <5} A7={} A8={v: <v < 3} Evet yag terdiri dari satu outcome dalam ruag sampel diskrit disebut evet elemeter. Evet A da A 7 adalah evet elemeter. Evet dapat juga meliputi seluruh ruag sampel seperti evet A 5. Evet ul, Ø, mucul bila tidak ada outcome yag memeuhi kodisi yag diberika pada evet tersebut seperti pada evet A 3. Operasi Himpua Evetdapat juga didefiisika sebagai hasil outcome eksperime dega karakteristik tertetu sebagai himpua bagia subset dari ruag sampel. Suatu evet dapat diperoleh dari kombiasi beberapa evet megguaka operasi himpua. P r o b a b l i t a s d a P r o s e s S t o k a s t i k Page

12 Gabuga uio dua evet A da B, diotasika dega A B, didefiisika sebagai himpua outcome yag termasuk dalam A, atau B atau keduaya. Evet A B terjadi jika A atau B, atau kedua evet A da B terjadi. Iterseksi dua evet A da B, diotasika A B, didefiisika sebagai himpua outcome dalam A da B. Dua evet yag memuyai outcome yag tidak dapat terjadi secara bersamaa disebut mutually eclusivesalig ekslusif, iterseksi dari dua evet tersebut adalah evet ul, A B =. Kumpula evet-evet disebut collectively ehaustivekolektif legkap jika da haya jika gabuga uio dari himpua evet-evet tersebut adalah sama dega ruag sampel. A B A B a b Gambar a Evet Mutually Eclusive da b Mutually eclusive da Collectively Ehaustive Kompleme evet A, diotasika A c, didefiisika sebagai himpua seluruh outcome yag tidak berada dalam A. Dua evet A da B disebut sama,a = B, jika kedua evet tersebut memiliki outcome yag sama. Berikut ii merupaka sifat-sifat operasi himpua da kombiasiya yag bergua dalam kosep himpua da evet: Komutatif Asosiatif Distributif A B=B AdaA B=B A A B C=A B C A B C=A B C A B C=A B A C A B C=A B A C P r o b a b l i t a s d a P r o s e s S t o k a s t i k Page

13 Atura DeMorga A B c =A c B c da A B c =A c B c Operasi gabuga da iterseksi dapat diulag utuk sejumlah evet. Gabuga evet A, A,, A dapat ditulis dalam betuk berikut: A k = A A A k= Gabuga evet tersebut terjadi jika satu atau lebih evet A k terjadi. Evet iterseksi A k = A A A k= terjadi bila seluruh evet A, A,, A terjadi. RINGKASAN Eksperime acak merupaka eksperime yag hasilya outcome berbeda-beda da tidak dapat diprediksi bila eksperime tersebut diulag dalam kodisi yag sama. Ruag sampel S merupaka himpua seluruh hasil outcome yag mugki dalam eksperime. Evet merupaka subset dari S yag memuyai karakteristik tertetu yag diperhatika dalam eksperime. LATIHAN Moitor tiga paggila call telepo berturuta pada setral telepo. Paggila telepo diklasifikasika sebagai paggila suara bila ada pembicaraa da paggila data. Hasil observasi adalah dereta tiga huruf, misal ssd adalah observasi dua paggila suara da satu paggila data. Tulis eleme-eleme dari himpua berikut: a A = {paggila pertama adalah pagggila suara} b B = {paggila pertama adalah paggila data} c A = {paggila kedua adalah paggila suara} P r o b a b l i t a s d a P r o s e s S t o k a s t i k Page 3

14 d B = {paggila pertama adalah paggila data} e A3 = {semua paggila sama} f B3 = {paggila suara da data bergatia} Utuk setiap pasaga evet A da B; A da B; A3 da B3; idetifikasi apakah pasaga evet tersebut adalah mutually eclusive atau collectively ehaustive atau keduaya... Teori Probabilitas CAPAIAN PEMBELAJARAN Mahasiswa mampu mejelaska teori probabilitas berdasarka pedekata frekuesi relatif da aksioma probabilitas. PENGANTAR Probabilitas merupaka bilaga yag mewakili ilai kemugkia sebuah evet terjadi bila suatu eksperime acak dilakuka. Teori probabilitas dapat dibedaka dalam dua pedekata, yaitu frekuesi relatif da aksioma probabilitas. Pedefiisia probabilitas melalui frekuesi relatif memberika pemahama medalam berkeaa dega hukum alamyag bayak diaplikasika dalam persoala praktis. Pedekata melalui defiisi terkait dega aksioma probabilitas lebih bayak diguaka sebagai dasar pemahama utuk mempelajari teori probabilitas yag lebih moder da lebih lajut. FREKUENSI RELATIF Suatu eksperime acak memiliki prosedur 'pilih bola dalam kotak yag berisi bola idetik yag diberi omor, da 3' dega observasi yag harus dilakuka adalah 'catat omor bola'. Dalam eksperime ii terdapat 3 outcome yag mugki k dega ruag sampel adalahs={,, 3}.Aggap bahwa eksperime diulag sebayak kalitrial dalam kodisi yag sama. Gambar meujukka outcome eksperime dalam trial yag dilakuka secara simulasi megguaka komputer. Jelas bahwa outcome eksperime secara kosiste tidak dapat diprediksi dega bear. Misalka N, N da N 3 merupaka jumlah dari tiap outcome k yag terjadi, maka frekuesi relatif dari outcome tersebut didefiisika dega f k = N k Regulasi statistik meyataka bahwa model probabilitasdalam tekik didasarka pada keyataa bahwa rata-rata ilai dereta outcome yag pajag dari P r o b a b l i t a s d a P r o s e s S t o k a s t i k Page 4

15 pegulaga trial eksperime acak secara kosiste meghasilka ilai yag kurag lebih sama. Oleh karea itu,f k aka meuju ilai kosta utuk trial yag sagat besar, yaitu lim f k = p k dega kostata p k disebut dega probabilitas utuk outcome k. Gambar meujukka frekuesi relatif utuk tiga outcome eksperime. Frekuesi relatif tersebut koverge pada ilai /3 bila jumlah trial semaki bayak seperti yag ditujukka dalam Gambar 3. Nilai frekuesi relatif ii meujukka bahwaterjadiyamasig-masig outcome dalam eksperime memiliki kemugkia yag sama. 3 Outcome Trial Gambar Outcome eksperime 'pilih bola dalam kotak'..8 Outcome Outcome Outcome 3 Relative Frequecy Number of trials P r o b a b l i t a s d a P r o s e s S t o k a s t i k Page 5

16 Gambar 3Frekuesi relatif dari tiga outcome eksperime utuk trial..8 Outcome Outcome Outcome 3 Relative Frequecy Number of trials Gambar 4Frekuesi relatif dari tiga outcome eksperime utuk trial. Karea jumlah terjadiya tiapoutcome N k dalam pemiliha bola yag diulag sebayak kali trial adalah bilaga atara da, maka N k utuk k=,, 3 da bila persamaa tersebut dibagi dega bayakya trial, diperoleh frekuesi relatif yag merupaka bilaga atara ol da satu: f k utuk k=,, 3 Jumlah dari terjadiya seluruh outcome yag mugki adalah sama dega, ditulis 3 N k = k= Jika kedua sisi dari persamaa tersebut dibagi dega, maka jumlah seluruh frekuesi relatif adalah sama dega satu, yaitu 3 f k = k= Persamaa ii merupaka sifat dari frekuesi relatif. Beberapa kelemaha pedekata frekuesi relatif diataraya adalah pada umumya suatu eksperime jarag dilakuka sampai dega tak higga sehigga probabilitas p ktidak dapat diketahui dega pasti; frekuesi relatiftidak aka dapat diaplikasika utuk situasi di maasuatueksperimetidak dapat diulag. Oleh karea itu, pegembaga teori matematika probabilitas mejadi sagat diperluka utuk meyelesaika persoala praktis yag berkaita dega feomea acak. P r o b a b l i t a s d a P r o s e s S t o k a s t i k Page 6

17 AKSIOMA PROBABILITAS Misalka A meyataka evet yag didefiisika pada ruag sampel S da probabilitas evet A diotasika dega PA.Teori probabilitas dimulai dega pedefiisia tigaaksiomaberikut:. PA Aksioma ii meyataka bahwa ilai probabilitas adalah bilaga tidak egatif.. PS = Aksioma kedua meyataka bahwa ruag sampel meliputi seluruh hasil yag mugki dalam suatu eksperime. Oleh karea itu probabilitas ruag sampel mempuyai ilai probabilitas yag tertiggi yaitu. Nilai ii juga meyataka bahwa S diketahui sebagai evet yag pasti. Sedagka evet yag tidak memuyai eleme diketahui sebagai evet yag tidak mugki dega probabilitas sama dega ol. N N 3. P A P A A m A m,,, N Aksioma ii meyataka bahwa probabilitas uio sejumlah evet mutually eclusive sama dega jumlah dari probabilitas evet-evet idividu. Aksioma probabilitas memberika sekumpula atura-atura yag kosiste bahwa besara probabilitas yag valid harus terpeuhi. Dari aksioma probabilitas ii, dapat dikembagka beberapa dalil yag bergua utuk peghituga ilai probabilitas. Partisi ruag sampel ke dalam dua evet mutually eclusive da collectively ehaustive, yaitu evet A da kompleme dari evet A, maka diperoleha A c =. Meurut aksioma ketiga PA A c = PA + PA c Karea S=A A c maka meurut aksioma kedua, probabilitas kompleme A adalah = PS= PA A c = PA + PA c PA c = -PA Dalam beberapa eksperime, evet-evet yag terjadi tidak haya berupa evetevet mutually eclusive saja, tetapi dapat juga terjadi evet-evet tersebut mempuyai eleme-eleme yag sama dalam satu ruag sampel.eleme ii terjadiya secara serempak atau bersamaa joit dari evet-evet yag buka ekslusif. Utuk dua evet A da B, eleme bersama joit membetuk evet A B. Probabilitas PA Bdisebut probabilitas joit utuk evet A da B yag beriterseksi dalam satu ruag sampel. Dari diagram Ve dapat dilihat bahwa atau PA B = PA + PB-PA B P r o b a b l i t a s d a P r o s e s S t o k a s t i k Page 7

18 PA B = PA + PB - PA B PA + PB Jadi probabilitas uio dari dua evet tidak perah melebihi ilai jumlah dari probabilitas evet-evet tersebut. Utuk evet-evet mutually eclusive, karea A B= maka PA B = P =. S A A B B. Gambar 5Diagram Ve Iterseksi Evet A da B. CONTOH Utuk eksperime Pilih bola dalam kotak yag berisi bola yag diomori sampai. Catat omor bola.evet A didefiisika sebagai bola beromor geap terpilih da evet B adalah bola beromor lebih besar dari 6. Dapatka probabilitas kompleme evet A, probabilitas joi da uio eve A da B. Dapat diperoleh bahwa: Probabilitas ruag sampel S={,,,} adalah P S. 5 Probabilitas eveta, A={,4,6,8,}, adalah P A Probabilitas kompleme A,A c = {, 3, 5, 7, 9} adalah Atau Probabilitas kompleme A sama dega Probabilitas evet B, B={7,8,9,}, adalah Probabilitas joit A da B, A B={8,}, adalah Probabilitas uio A da B, adalah c 5 P A P A c P A P B P A B P A P B P A B 4 P A B P r o b a b l i t a s d a P r o s e s S t o k a s t i k Page 8

19 5 4 7 RINGKASAN Probabilitas suatu evet selalu berilai tak egatif, sedagka probabilitas ruag sampel selalu berilai satu yag meyataka bahwa ruag sampel meliputi seluruh hasil eksperime. Probabilitas uio dari evet-evet mutually eclusive sama dega jumlah probabilitas masig-masig evet idividu. Probabilitas kompleme dari suatu evet sama dega satu dikuragi probabilitas evet tersebut. Probabilitas joit dari dua evet merupaka probabilitas iterseksi evet-evet tersebut dalam satu ruag sampel. LATIHAN Dadu bermata eam dega setiap sisi mempuyai peluag mucul yag sama. Berapa probabilitas setiap outcome? Utuk evet-evet: A = {dadu bermata geap} B = {dadu bermata gajil} C= {mata dadu lebih dari 3} dapatka probabilitas setiap evet tersebut, probabilitas uio A da B, probabilitas joit A da C.. Probabilitas Bersyarat CAPAIAN PEMBELAJARAN Mahasiswa mampu meghitug probabilitas suatu evet yag bersyarat evet lai. PENGANTAR P r o b a b l i t a s d a P r o s e s S t o k a s t i k Page 9

20 Dalam bahasa ii aka dijelaska tetag hubuga dari dua evet, misal A da B, apakah terjadiya salah satu evet megubah terjadiya evet yag lai. Jadi, apakah pegetahua tetag terjadiya evet B aka megubah kemugkia terjadiya evet A. Utuk mejawab pertayaa ii perhatika eksperime berikut ii. PROBABILITAS BERSYARAT Eksperime yag aka dilakuka adalah ambil bola dua kali dari dalam kotak yag berisi bola terdiri dari 5 bola putih da 5 bola hitam. Catat wara bola terambil wara bola dalam kotak tidak dapat dilihat dari luar. Bola yag sudah terambil pada pegambila pertama tidak dikembalika ke dalam kotak. Hasil eksperime ii dapat diyataka dalam diagram poho tree diagram berikut: P ½ ½ H outcome pegambila pertama P H P H outcome pegambila kedua Gambar 6Diagram Poho Eksperime Pegambila Bola Tapa Pegembalia Kembali Bila B adalah evet bola putih terambil pada pegambila pertama da A adalah evet bola putih terambil pada pegambila kedua, maka dari tree diagram tampak bahwa probabilitas bola putih kedua terambil bergatug pada hasil pegambila pertama. Jika pada pegambila pertama terambil bola putih B maka probabilitas bola putih kedua terambil sama dega 4/9. Sebalikya, jika bola hitam yag terambil pada pegambila pertama maka probabilitas bola putih terambil pada pegambila kedua sama dega 5/9. Jadi, evet Abergatug bersyarat pada terjadiya evet B. P r o b a b l i t a s d a P r o s e s S t o k a s t i k Page

21 Diberika evet B yag memuyai probabilitas tidak ol P B Probabilitas bersyarat dari evet A, jika diberika evet B, didefiisika P A B P A B P B Probabilitas P A B meggambarka fakta bahwa probabilitas evet A bergatug pada evet B. Bila A da B mutually eclusive P A B. A B maka CONTOH Eksperime berikut merupaka pegambila sebuah bola dari sebuah kotak. Kotak berisi dua bola hitam yag diberi omor da, da dua bola putih yag diberi omor 3 da 4. Nomor da wara bola dicatat sebagai hasil eksperime. Defiisika evet A sebagai evet terpilihya bola hitam, evetb adalah evet bola beromor geap da evet C adalah omor bola lebih besar dari. Simpulka apakah pegetahua terjadiya evet B da C mempegaruhi probabilitas terjadiya evet A. Ruag sampel dari eksperime ii adalah S, h,, h,3, p,4, p dega evet-evet A, h,, h B, h,4, p C 3, p,4, p P A B P{, h da P AC P Karea } P A B.5 P A B.5 P A P B.5 P A C P AC P A P C.5, maka Pada kasus pertama, pegetahua terjadiya evet B tidak megubah probabilitas A sedagka pegetahua terjadiya evet C berimplikasi bahwa evet A tidak dapat terjadi. P r o b a b l i t a s d a P r o s e s S t o k a s t i k Page

22 RINGKASAN Probabilitas bersyarat diguaka utuk meguji kebergatuga terjadiya suatu evet terhadap evet lai. Probabilitas evet A bersyarat evet B sama dega probabilitas joit dari A da B dibagi dega probabilitas evet B. LATIHAN Eksperime dilakuka utuk meguji dua IC berasal dari pabrik YZ. Observasi dilakuka utuk meetuka IC tadi diterima a: accepted atau ditolak r: rejected. Evet B didefiisika sebagai evet dari IC pertama yag diuji adalah ditolak. Secara matematis ditulis B={rr, ra}. Dega cara yag sama A={rr, ar} meyataka evet IC kedua ditolak. Diketahui bahwa P{rr}=., P{ra}=., P{ar}=. da P{aa}=.97. Dapatka probabilitas IC kedua adalah ditolak biladiketahui IC pertama ditolak..3 Probabilitas Total Da Teorema Bayes.3. Probabilitas Total CAPAIAN PEMBELAJARAN Mahasiswa mampu meghitug probabilitas total suatu evet berdasarka terjadiya evet-evet lai yag didefiisika dalam ruag sampel yag sama. PENGANTAR Kosep probabilitas total diguaka utuk memeroleh probabilitas evet tertetu A berdasarka terjadiya evet-evet lai B yag mutually eclusive dalam ruag sampel yag sama. Probabilitas evet A diyataka sebagai jumlah dari probabilitas joi evet A dega evet B tersebut. PROBABILITAS TOTAL P r o b a b l i t a s d a P r o s e s S t o k a s t i k Page

23 P r o b a b l i t a s d a P r o s e s S t o k a s t i k Page 3 Probabilitas dari evet A,PA, dalam suatu ruag sampel S dapat diekspresika dalam probabilitas bersyarat. Aggap terdapat N evet mutually eclusiveb, N,,, seperti yag terdapat pada gambar. Evet-evet ii memeuhi m B B N m,,, da N B S Gambar 7Diagram Ve Evet Mutually Eclusive B da EvetA. Probabilitas total dari evet A diyataka sebagai N B P A B P A P Persamaa diatas dapat dibuktika melalui peurua berikut ii. A S A N N B A B A S A evet B A adalah mutually eclusive. Peerapa aksioma ke-3 utuk evetevet tersebut meghasilka N N B A P B A P S A P A P B B B B 3 A

24 Dega melakuka subsitusi P A B P A B P B pada persamaa di atas diperoleh persamaa probabilitas total utuk evet A. Misal, N= maka P A P A B P A B P A B P A B P B P A B P B P A B P B CONTOH Dalam sistem komuikasi bier terdiri dari trasmitter yag megirim satu dari dua simbol atau pada kaal sampai ke receiver. Adaya eror pada sistem meyebabka terjadiya peerimaa simbol yag salah oleh receiver. Misalka simbol yag dikirim oleh trasmitter diterima oleh receiver sebagai simbol. Probabilitas receiver membuat kesalaha keputusa adalah sama dega., sedagka probabilitas simbol yag ditrasmisika adalah.6. Notasika B i adalah simbol yag dikirim da A i adalah simbol yag diterima dega i= utuk simbol, da i= utuk simbol. Probabilitas simbol yag diterima berasal dari simbol sama yag dikirim adalah.9. Hitug probabilitas simbol diterima, yaitu P A da P. A Sistem Komuikasi dalam cotoh ii dapat diilustrasika dega diagram berikut:.9 B PB =.6. A. B PB =.4.9 A Gambar 8Sistem Komuikasi Bier P r o b a b l i t a s d a P r o s e s S t o k a s t i k Page 4

25 Probabilitas bahwa simbol da yag dikirim adalah P B.6 P B. 4 da probabilitas simbol diterima diperoleh dari simbol dikirim probabilitas trasisi adalah P A B.9 ; P A B. P A B.; P A B. 9 Probabilitas simbol yag diterima, A, P A P A B P B P A B P B Probabilitas simbol yag diterima, A, P A P A B P B P A B P B RINGKASAN Probabilitas total diguaka utuk mecari probabilitas evet tertetu A berdasarka evet-evet lai B yag mutually eclusiveda collectively ehaustivedalam ruag sampel yag sama. Probabilitas evet A tersebut diyataka sebagai jumlah dari probabilitas joi evet A dega evet B. LATIHAN Sistem komuikasi seperti cotoh dikembagka utuk kasus tiga simbol yag ditrasmisika yaitu, da. Asumsika probabilitas trasisi pada kaal adalah sama yaitu. P A i B j utuk i j da P A i B j. 8 P r o b a b l i t a s d a P r o s e s S t o k a s t i k Page 5

26 utuk i j,,. Probabilitas simbol,, da ditrasmisika adalah P B.5, P B. 3 da P B.. a. Sket model secara diagram sistem komuikasi tersebut. b. Hitug probabilitas simbol diterima P A, P A da P A.3. Teorema Bayes CAPAIAN PEMBELAJARAN Mahasiswa mampu meghitug probabilitas posteriori suatu eksperime acak. PENGANTAR Teorema Bayes diguaka utuk megestimasi suatu iformasi atau hasil eksperime berdasarka probabilitas evet yag diketahui sebelum eksperime tersebut dilakuka. Aplikasi teorema Bayes bayak diguaka dalam sistem komuikasi. TEOREMA BAYES Defiisi probabilitas bersyarat dapat diguaka pada dua evet, yaitu atau P B P A B P B A A P A P A B P B Dega megguaka persamaa probabilitas bersyarat, diperoleh P B A P A B P B P A Substitusi PA dega megguaka rumus probabilitas total, teorema Bayes dapat diyataka dalam persamaa P B P A B P B A P A B P B P A B P B N N,, 3,, N P r o b a b l i t a s d a P r o s e s S t o k a s t i k Page 6

27 Probabilitas P B biasaya disebut dega probabilitas priori, karea probabilitas ii diberika pada evet B sebelum eksperime dilakuka. Begitu juga dega diketahui sebelum eksperime dilakuka. Dalam koteks P A B komuikasi probabilitas ii disebut dega probabilitas trasisi. Sedagka disebut dega probabilitas posteriori, karea probabilitas ii diketahui P B A setelah eksperime da evet A telah terjadi. CONTOH Dalam sistem komuikasi bier terdiri dari trasmitter yag megirim satu dari dua simbol siyal atau pada kaal sampai ke receiver. Adaya eror pada sistem meyebabka terjadiya peerimaa siyal yag salah oleh receiver. Misalka siyal yag dikirim oleh trasmitter diterima oleh receiver sebagai siyal. Probabilitas receiver membuat kesalaha keputusa acak adalah sama dega., sedagka probabilitas simbol yag ditrasmisika adalah.6. Notasika Bi adalah simbol yag dikirim da Ai adalah simbol yag diterima dega i= utuk simbol, da i= utuk simbol. Probabilitas simbol yag diterima berasal dari simbol sama yag dikirim adalah.9. Hitug probabilitas posteriori utuk tiap simbol. Sistem Komuikasi dalam cotoh ii dapat diilustrasika dega diagram berikut: B PB =.6..9 A B PB =.4..9 A P r o b a b l i t a s d a P r o s e s S t o k a s t i k Page 7

28 Tabel 4Sistem Komuikasi Bier Simetris Probabilitas bahwa simbol da yag dikirim adalah P B.6 P B. 4 da probabilitas trasisi P A B P A B P A B P A B Probabilitas simbol yag diterima, A, P A P A B P B P A B P B Probabilitas simbol yag diterima, A, P A P A B P B P A B P B Probabilitas posteriori utuk simbol yag diterima berasal dari simbol yag sama P B P B P A B P B A P A P A B P B A P A Probabilitas posteriori utuk simbol yag diterima berbeda dega simbol yag dikirim P B P B P A B P B..6.6 A P A.4.4 P A A B P B P A P r o b a b l i t a s d a P r o s e s S t o k a s t i k Page 8

29 RINGKASAN Probabilitas priori diketahui diberika sebelum eksperime dilakuka. Probabilitas posteriori dapat dihitug dega megguaka teorema Bayes bila eksperime telah dilakuka da terjadi evet tertetu yag diamati. LATIHAN Sistem komuikasi seperti cotoh dikembagka utuk kasus tiga simbol yag ditrasmisika yaitu, da. Asumsika probabilitas trasisi pada kaal adalah sama yaitu P. utuk A i B j i j da P. 8 A i B j utuk i j,,. Probabilitas simbol,, ditrasmisika adalah P B.5, P B. 3 da P B.. c. Sket model secara diagram sistem komuikasi tersebut. d. Hitug probabilitas simbol diterima P A, P A da P A e. Hitug probabilitas posteriori utuk sistem ii. f. Bila probabilitas P B i 3, i,, ; ulagi soal c..4 EvetIdepedet CAPAIAN PEMBELAJARAN Mahasiswa mampu meghitug probabilitas suatu evet berdasarkapegetahua tetag kejadia evet lai yag idepede secara statistik. PENGANTAR P r o b a b l i t a s d a P r o s e s S t o k a s t i k Page 9

30 Pegetahua tetag terjadiya suatu evet dapat megubah atau tidak megubah probabilitas evet yag lai. Jika probabilitas terjadiya suatu evet tidak bergatug pada terjadiya evet lai, maka evet-evet tersebut disebut evet idepede secara statistik. EVENTINDEPENDENT Eksperime yag aka dilakuka adalah ambil bola dua kali dari dalam kotak yag berisi bola terdiri dari 5 bola putih da 5 bola hitam. Catat wara bola terambil wara bola dalam kotak tidak dapat dilihat dari luar. Bola yag sudah terambil pada pegambila pertama dikembalika lagi ke dalam kotak. Hasil eksperime ii dapat diyataka dalam tree diagram berikut: P ½ ½ H outcome pegambila pertama P H P ½ ½ ½ ½ H outcome pegambila kedua ¼ ¼ ¼ ¼ Gambar 9Diagram Poho Eksperime Pegambila Bola Dega Pegembalia Bola Terambil Bila B adalah evet bola putih terambil pada pegambila pertama da A adalah evet bola putih terambil pada pegambila kedua, maka dari tree diagram tampak bahwa probabilitas bola putih kedua terambil tidak bergatug pada hasil pegambila pertama. Jadi, probabilitas evet A tidakbergatug pada terjadiya evet B. P A Dua evet A da B memuyai probabilitas tak ol, jadi diasumsika da P B. Evet A da B disebut evet-evet idepedet secara statistik bila probabilitas terjadiya dari satu evet tidak dipegaruhi oleh terjadiya evet lai. Secara matematis utuk evet-evet idepedet secara statistik, berlaku P A B P A P r o b a b l i t a s d a P r o s e s S t o k a s t i k Page 3

31 atau P B A P B utuk evet-evet idepede secara statistik. Ketakbergatugaidepedesi evet juga memuyai arti bahwa probabilitas dari kejadia yag bersamaa iterseksi dari dua evet harus sama dega perkalia dari probabilitas kedua evet tersebut. P A B P A P B CONTOH Eksperime berikut merupaka pegambila sebuah bola dari sebuah kotak. Kotak berisi dua bola hitam yag diberi omor da, da dua bola putih yag diberi omor 3 da 4. Nomor da wara bola dicatat sebagai hasil eksperime. Defiisika evet A sebagai evet terpilihya bola hitam, evet B adalah evet bola beromor geap da evet C adalah omor bola lebih besar dari. Buktika apakah evet A da B atau A da C idepedet. Ruag sampel eksperime da evet diperoleh Jadi S, h,, h,3, p,4, p A, h,, h B, h,4, p C 3, p,4, p P A P B.5 P A B P{, h}.5 P A B.5 P A P B Karea probabilitas iterseksi A da B sama dega perkalia dari probabilitas A da B, maka evet A da B idepedet. Idepedesi A da B juga dapat dibuktika melalui persamaa berikut: P A B P{, h}.5 P A B.5 P B P{, h,4, p}.5 P r o b a b l i t a s d a P r o s e s S t o k a s t i k Page 3

32 P A P{, h,, h}.5 P A.5 P S P{, h,, h,3, p,4, p} Dua persamaa diatas meyataka bahwa P A P A B jadi pegetahua terjadiya B tidak megubah probabilitas terjadiya A. P AC Evet A da C tidak idepedet karea A da C adalah mutually eclusive karea berimplikasi bahwa A jelas tidak terjadi. A C, sehigga terjadiya C Secara umum, bila dua evet memuyai probabilitas tak ol da mutually eclusive maka evet-evet tersebut tidak dapat mejadi evet idepedet. Jika dua evet adalah idepedet da mutually eclusive, maka P A B P A P B Persamaa ii meyataka bahwa palig tidak salah satu evet tersebut harus memuyai probabilitas ol. RINGKASAN Dua evet adalah idepedet bila pegetahua tetag terjadiya salah satu evet tidak megubah probabilitas evet yag laiya. Probabilitas joit dari dua evet idepedet sama dega perkalia masig-masig probabilitas evet tersebut. Evet-evet mutually eclusive yag memuyai ilai probabilitas tidak ol tidak dapat mejadi evet idepedet. LATIHAN Moitor dua paggila telepo berturuta pada setral telepo. Paggila telepo diklasifikasika sebagai paggila suara bila ada pembicaraa da paggila data. Hasil observasi adalah sekue dari dua huruf, misal sd adalah observasi satu paggila suara da satu paggila data. Dua paggila telepo tersebut adalah idepedet. Probabilitas paggila suara adalah.8. NS P r o b a b l i t a s d a P r o s e s S t o k a s t i k Page 3

33 merupaka otasi utuk bayakya paggila suara. Apakah pasaga evet { NS = } da { NS } adalah idepedet?.5 Keadala Sistem CAPAIAN PEMBELAJARAN Mahasiswa mampu megaplikasika kosep probabilitas utuk memeroleh ilai keadala suatu sistem yag tersusu dalam kofigurasi seri, paralel atau seriparalel. PENGANTAR Salah satu aplikasi kosep probabilitas adalah utuk meghitug keadala suatu sistem. Keadala sistem dapat diaalisis berdasarka struktur sistem yag dapat tersusu dalam kofigurasi seri da paralel atau gabuga dari keduaya. KEANDALAN SISTEM Keadala merupaka perhatia utama dalam desai sistem moder. Sebagai cotoh, sistem pembagkit daya listrik yag dapatmemeuhikosumsi daya pada kosume. Keadala sistem merupaka hal yag sagat petig yag mejami bahwa sistem ii terus beroperasi bahka bila terjadi beberapa kerusaka yag terjadi pada satu subsistem dalam sistem tersebut. Pertayaa kuciya adalah bagaimaa caraya membagu sistem yag dapat diadalka bahka mugki dari kompoe yag tidak dapat diadalka? Model probabilitas merupaka sebuah alat utuk mejawab pertayaa ii secara kuatitatif. Pegoperasiasistem membutuhkaoperasibeberapa atausemua kompoeya. Sebagai cotoh, sistem seriaka berfugsihaya jikasemua kompoeyaberfugsi, da sistem paralelaka berfugsiselamasetidakya satukompoeyaberfugsi. Sistem yag lebih kompleksdapat diperolehsebagaikombiasidaridua kofigurasidasar ii. Berdasarka pegalama, tidak mugki utuk memprediksi secara tepat kapa suatu kompoe aka rusak gagal. Evaluasi keadala sistem mejadi mugki melalui teori probabilitas dega megguaka ilai probabilitas kompoe atau sistem saat masih berfugsi. P r o b a b l i t a s d a P r o s e s S t o k a s t i k Page 33

34 C C C C C C a b Gambar a Kofigurasi Seri b Kofigurasi Paralel Sistem dalam kofigurasi seri dikataka berfugsi bila semua kompoe yag meyusu sistem berfugsi. Probabilitas sistem berfugsi adalah sama dega probabilitas semua kompoe berfugsi. Defiisika evet F sebagai sistem berfugsi da evet A iadalah kompoe C iberfugsi dega i=,,,. Dega megasumsika bahwa kerusaka semua kompee adalah idepede, maka Sistem seri berfugsi semua kompoe berfugsi = C berfugsi da C berfugsi da da C berfugsi F A A Bila probabilitas kompoe berfugsi adalah p, maka probabilitas sistem seri berfugsi diyataka sebagai P F P A A P A P A P Ai i p Sistem dalam kofigurasi paralel dikataka berfugsi bila satu atau lebih kompoe dalam sistem berfugsi. Utuk memudahka aalisis, sistem berfugsi dapat diyataka sebagai kompleme dari sistem rusak. Oleh karea itu, sistem dikataka rusak bila semua kompoe dalam sistem rusak, maka F c A c A c A c Probabilitas sistem paralel berfugsi P r o b a b l i t a s d a P r o s e s S t o k a s t i k Page 34

35 P p c c c F P A P A P A dega asumsi kegagala kompoe adalah idepede da probabilitas kompoe berfugsi adalah p, makapa i =pda PA i c =- p. CONTOH Suatu sistem memiliki kofigurasi seperti dalam gambar. Dapatka probabilitas sistem tersebut berfugsi dega asumsi bahwa kerusaka seluruh kompoe adalah idepede. Defiisika evet Ai adalah kompoe Ci berfugsi. Probabilitas kompoe C da Cberfugsi adalah.9, da probabilitas kompoe C3, C4 da C5berfugsi adalah.8. C C C4 C3 C5 Subsistem seri kompoe C da C: C C Probabilitas subsistem seri: P F seri P A P A Probabilitas subsistem paralel pertama seri atauc3: c c P FP P Fseri P A Probabilitas subsistem paralel kedua C4 atauc5: P c c FP P A4 P A5.8.8 Ragkaia ekuivale sistem:.96 P P P r o b a b l i t a s d a P r o s e s S t o k a s t i k Page 35

36 Jadi, probabilitas sistem adalah P F P FP P FP CONTOH Suatu sistem catu daya seperti pada gambar terdiridari dari subsistem switch da geerator. Probabilitas switch da berfugsi adalah.9 da probabilitas geerator berfugsi.8, serta probabilitas switch rusak bila switch rusak sama dega.4. Berapa probabilitas sistem tersebut berfugsi pada saat diperluka. S S G BEBAN Sistem berfugsi adalah ekuivale dega subsistem switch da geerator berfugsi. Jadi, P sistemberfugsi Pswitch baik Pgeerator baik Pswitch rusak Pgeerator baik Pswitch rusak da switch rusak Pgeerator baik c P S c S P G Karea kerusaka switch S bergatug pada kerusaka switch S, maka berdasarka teori probabilitas bersyarat P c S c c c c S P S S P S Proabilitas sistem berfugsi: P sistemberfugsi P r o b a b l i t a s d a P r o s e s S t o k a s t i k Page 36

37 RINGKASAN Bila kerusaka kompoe adalah idepede, probabilitas sistem seri berfugsi adalah sama dega perkalia probabilitas masig-masig kompoe berfugsi. Bila kerusaka kegagala kompoe adalah idepede, probabilitassistem paralel berfugsi adalah sama dega satu dikuragi perkalia probabilitas kerusaka kegagala masigmasig kompoe. Probabilitas sistem gabuga seri-paralel diaalisis berdasarka ekuivalesi sistem dalam hubuga seri da/atau paralel. LATIHAN Sistem terdiri dari sebuah kotroler da tiga uit peripheral. Sistem disebut berfugsi bila kotroler da miimal dua peripheral berfugsi. Dapatka probabilitas sistem tersebut berfugsi dega asumsi bahwa kerusaka seluruh kompoe adalah idepede. Petujuk: defiisika evet A adalah kotroler berfugsi da Bi adalah peripheral berfugsi P r o b a b l i t a s d a P r o s e s S t o k a s t i k Page 37

38 Variabel Acak Diskrit. Kosep Variabel Acak Diskrit CAPAIAN PEMBELAJARAN Mahasiswa mampu mejelaska kosep variabel acak diskrit da megidetifikasi hasil observasi dari eksperime acak yag dapat digologka dalam variabel acak diskrit. PENGANTAR Model probabilitas dimulai dega model fisik suatu eksperime. Eksperime terdiri dari prosedur da observasi. Himpua seluruh observasi yag mugki, S, merupaka ruag sampel dari eksperime tersebut. S merupaka awal dari model matematis probabilitas. Model matematika ii berisiatura yagmeugaskabilaga ataradautuk megaturevet AdiS.Jadi,utuk setiap A merupaka himpua bagia dari S, modelmeetapka probabilitasdari Adega PA. KONSEP VARIABEL ACAK Notasi yag diguaka utuk variabel acak adalah huruf kapital, misalya. Himpua seluruh ilai yag mugki dalam merupaka kisara rage. Rage dari variabel acakdiotasika dega huruf S dega subscript yag merupaka ama dari variabel acak. Sebagai cotoh, S adalah rage dari variabel acak, S Y adalah rage variabel acak Y, da sebagaiya. PegguaaS utuk meotasika rage disebabka karea himpua seluruh ilai yag mugki dari adalah aalog dega S, yaitu himpua dari seluruh outcome yag mugki dalam eksperime. Sebuah modelprobabilitasselalu dimulaidega eksperime. Setiap variable acakberkaita lagsug degaeksperime ii. Terdapat tigajeis hubuga atara variabel acak dega observasi yag dilakuka dalam suatu eksperime. Variabel acak adalah sama dega observasi yag dilakuka dalam eksperime. Tipe variabel acak ii didefiisika secara lagsug dari observasi yag dilakuka dalam suatu eksperime. Misalka, dalam eksperime 'hitug bayakya hit' dalam website Tekik Elektro ITS. Variabel acak didefiisika sebagai jumlah dari bayakya hit, maka hasil observasi dalam eksperime tersebut adalah variabel acak. Kareaya, rage da ruag sampel adalah idetik. Variabel acak merupaka fugsi dari observasi P r o b a b l i t a s d a P r o s e s S t o k a s t i k Page 38

39 Eksperime dilakuka utuk megujiempat IC apakah diterima atau ditolak. Observasi dari eksperime tersebut adalah uruta sekueempat huruf, yaitua diterima ataur ditolak. Sebagai cotoh, s = aaaa, s = araa, s 3= aara da seterusya. Ruag sampel S terdiri dari 6 sekue yag mugki. Variabel acak terkait eksperime ii diotasika N, yaitu jumlah IC yag diterima. Utuk s da s 3, maka N = 3 IC yag diterima. Jadi, ragen adalah S N = {,,, 3, 4}. Variabel acak merupaka fugsi dari variabel acak lai. Dalam eksperime pegujia empat IC, defiisika variabel acak baru Y yag merupaka fugsi dari dua kali bayakya IC yag diterima. Hubuga Y terkait dega N adalah Y f N N Karea S N = {,,, 3, 4}, maka ragey adalah S Y = {,, 4, 6, 8} disebut variabel acak diskrit jika rage dari adalah himpua yag dapat dihitug, dega ruag sampel S,,, }. Jadi, himpua ilai yag { 3 mugki S dapat ditabelka meskipu tabel tersebut mugki sagat pajag. Sebalikya, variabel acak Y yag dapat diyataka pada setiap bilaga real dalam iterval a y b disebut variabel acak kotiu. Bila rage dari variabel acak adalah terbatas S {,,, } disebut variabel acak diskrit terbatas. Variabel acak diskrit biasaya memuat ilaiilai iteger, meskipu dalam beberapa kasus tertetu dapat berilai buka iteger. CONTOH Variabel acak berikutdidefiisika sebagai : jumlah mahasiswa yag memeroleh ilai A dalam MK Probabilitas da Proses Stokastik Y: jumlah paggila telepo yag dijawab dalam tiap jam Z: jumlah meit waktu tuggu utuk mejawab paggila telepo berikutya Tetuka tipe dari variabel acak tersebut ke dalam variabel acak diskrit atau kotiu. Variabel acak da Y merupaka variabel acak diskrit, dega ilai yag mugki utuk variabel acak tersebut merupaka himpua ilai yag dapat dihitug. P r o b a b l i t a s d a P r o s e s S t o k a s t i k Page 39

40 Variabel acak Z memiliki ruag sampel kotiu yag dapat berupa bilaga real tak egatif. Oleh karea itu, variabel acak Z adalah variabel acak kotiu. RINGKASAN Variabel acak diskrit merupaka variabel acak yag memiliki rage yag dapat dihitug. Pada umumya, variabel acak diskrit memiliki titik-titik ilai berupa iteger bilaga bulat. LATIHAN Ruag sampel suatu eksperime adalah S {,, 3, 5, 8,}. Variabel acak didefiisika sebagai s. Catat seluruh ilai yag mugki dari variabel acak.. Fugsi Variabek Acak.. PMF Variabel Acak Diskrit CAPAIAN PEMBELAJARAN Mahasiswa mampu meghitug probabilitas evet megguaka fugsi massa probabilitas variabel acak diskrit. PENGANTAR Dalam bahasa berikut, dikealka model probabilitas yag meugaska bilaga atara da utuk tiap outcome berilai diskrit dari eksperime. Model probabilitas utuk variabel acak diskrit ii dideskripsika sebagai fugsi massa probabilitas dalam rage seluruh bilaga real. FUNGSI MASSA PROBABILITAS Fugsi massa probabilitas probability mass fuctio PMF didefiisika sebagai P P P r o b a b l i t a s d a P r o s e s S t o k a s t i k Page 4

41 Amati otasi yag diguaka pada variabel acak da PMF. Pada variabel acak, huruf besar meyataka ama variabel da huruf kecil diguaka utuk ilai yag mugki dalam variabel tersebut. Notasi utuk PMF adalah P dega subscript meujukka ama variabel. PMF berisi seluruh iformasi tetag variabel acak. Karea P adalah probabilitas dari evet {=}, maka P memuyai beberapa sifat petig yag dituruka dari aksioma probabilitas utuk variabel acak diskrit. Sifat-sifat PMF. P PMF variabel acak diskrit selalu berilai tak egatif.. S P Jumlah PMF dari variabel acak sama dega. CONTOH Tijau eksperime 'lempar sebuah dadu'. Variabel acak Y didefiisika sebagai jumlah mata dadu yag mucul pada permukaa atas. a. Dapatka PMF da sket PMF dari Y tersebut. b. Hitug PY > dap Y< 5. Ada 6 outcome dari eksperime lempar sebuah dadu dega tiap outcome memuyai probabilitas /6. Variabel acak Y adalah jumlah mata dadu yag mucul pada permukaa atas, jadi probabilitas tiap evet adalah P Y 6; P Y 6 ; P Y 3 6 P Y 4 6 ; P Y 5 6 ; P Y 6 6 Secara matematis, PMF ditulis dalam betuk P Y 6 y y 6 yag lai Plot PMF dari variabel acak Y seperti pada gambar berikut: P r o b a b l i t a s d a P r o s e s S t o k a s t i k Page 4

42 PYy y b. Probabilitas {Y>} adalah P Y P Y P Y P Y 6 4 atau dapat dihitug dega cara P Y P Y 3 P Y 4 P Y 5 P Y Probabilitas { Y< 5} adalah P Y 5 P Y P Y 3 P Y Betuk PMF dari variabel acak Y dalam cotoh ii disebut uiform diskrit. Secara umum, PMF variabel acak uiform diskrit memiliki betuk sebagai berikut: P Y l k y y k, k, k,, l yaglai di maa parameter k da l adalah iteger dega k<l. RINGKASAN PMF dari variabel acak didefiisika sebagai probabilitas evet {=} PMF selalu berilai tak egatif. Jumlah PMF dari suatu variabel acak sama dega P r o b a b l i t a s d a P r o s e s S t o k a s t i k Page 4

43 LATIHAN Dua IC dari pabrik YZ dites apakah IC tersebut diterima a atau ditolak r. Setiap IC yag diterima a diberi poi. Ada 4 outcome dari eksperime ii: aa, ar, ra, rr dega tiap outcome memuyai probabilitas ¼. Variabel acak adalah tiga ilai yag mugki dari tiga evet tersebut, yaitu {=}={rr}, {=}={ar, ra} da {=}={aa}. a Dapatka PMF dari variabel acak dalam represetasi matematis da grafis. b Hitug P da P>... CDF Variabel Acak CAPAIAN PEMBELAJARAN Mahasiswa mampu meghitug probabilitas suatu evet megguaka fugsi distribusi kumulatif cumulative distributio fuctio CDF variabel acak diskrit. PENGANTAR Deskripsi model probabilitas utuk variabel acak diskrit dapat ditujukka melalui fugsi distribusi kumulatif. Fugsi ii merupaka pejumlaha probabilitas massa dari tiap ilai dalam variabel acak tersebut. Secara grafis, fugsi distribusi variabel acak diskrit memuyai betuk tagga dega tiggi tiap aak tagga sama dega probabilitas tiap ilai dalam variabel tersebut. FUNGSI DISTRIBUSI KUMULATIF Fugsi distribusi kumulatif cumulative distributio fuctio CDFvariabel acak didefiisika sebagai probabilitas evet { }: F P Evet { } da probabilitasya bervariasi sesuai dega ilai, kareaya F merupaka fugsi dari variabel. Bila ilai tertetu dalam variabel acak diskrit diotasika i, maka fugsi distribusi kumulatif,f,dapat juga ditulis sebagai F N i P u i i di maa u. merupaka fugsi tagga satua stairstep yag didefiisika dega P r o b a b l i t a s d a P r o s e s S t o k a s t i k Page 43

44 F Da u P i P i adalah fugsi massa probabilitas PMF variabel acak diskrit memuyai betuk stairstep seperti pada gambar berikut. Amplitudo dari step sama dega probabilitas terjadiya ilai pada step tersebut. Sifat-sifat CDF variabel acak diskrit a. F da F F dimulai dari ol da berakhir pada ilai satu. F b. utuk semua, CDF tidak perah turu, dari kiri ke kaa F CONTOH Tijau eksperime 'lempar sebuah dadu'. Variabel acak Ydidefiisika sebagai jumlah mata dadu yag mucul pada permukaa atas. a. Dapatka CDF da sket CDF dari tersebut. b. Hitug PY 3, PY>da P Y< 5. a. Fugsi distribusi kumulatif CDF variabel acak Y adalah P r o b a b l i t a s d a P r o s e s S t o k a s t i k Page 44

45 FYy. F Y y u y u y u y 3 u y u y 5 u y dega plot CDF dari variabel acak Y seperti pada gambar. b. Probabilitas {Y 3} adalah P Y 3 F Y 3 u3 u3 u3 3 u u3 5 u berdasarka defiisi fugsi tagga satua bahwa u berilai satu utuk da berilai ol utuk <, maka Y 3 F 3 u u u P Y Probabilitas {Y>} adalah 4 P Y P Y FY 6 6 dega F Y u u Probabilitas { Y< 5} adalah 3 P Y 5 P Y P Y 3 P Y y P r o b a b l i t a s d a P r o s e s S t o k a s t i k Page 45

46 RINGKASAN Fugsi distribusi kumulatif CDF dari variabel acak diskrit dideskripsika dega jumlah dari fugsi massa probabilitasya. Sket CDF utuk variabel acak diskrit memuyai betuk tagga dega tiggi aak tagga meyataka probabilitas tiap ilai dalam variabel tersebut. LATIHAN Dua IC dari pabrik YZ dites apakah IC tersebut diterima a atau ditolak r. Setiap IC yag diterima diberi poi. Ada 4 outcome dari eksperime ii: aa, ar, ra, rr dega tiap outcome memuyai probabilitas ¼. Variabel acak adalah tiga ilai yag mugki dari tiga evet tersebut, yaitu {=}={rr}, {=}={ar, ra} da {=}={aa}. a Dapatka CDF dari variabel acak dalam represetasi matematis da grafis. b Hitug P da P>...3 Mome Variabel AcakDiskrit CAPAIAN PEMBELAJARAN Mahasiswa mampu meghitug ilai mome variabel acak diskrit dalam ilai ekspektasi, varias da stadar deviasi. PENGANTAR Selai diyataka dega fugsi probabilitas, variabel acak diskrit diyataka juga dalam momet-momet-ya. Dari momet terhadap origi da momet setral dapat dikembagka pegukura karakteristik variabel acakdalam betuk ilai. Nilai-ilai tersebut adalah mea da varias. MOMENT VARIABEL ACAK DISKRIT P r o b a b l i t a s d a P r o s e s S t o k a s t i k Page 46

47 Nilai ekspektasi variabel acak didefiisika E [ ] P S Nilai ekspektasi disebut juga sebagai ilai mea rata-rata, da diotasika dega. Defiisi ilai ekspektasi variabel acak ii dapat dijelaska sebagai berikut. Misalka, suatu eksperime meghasilka variabel acak da eksperime tersebut dilakuka sebayak trial idepede. Notasika ilai pada trial ke-i dega i, maka rata-rata sampel utuk trial tersebut adalah m i i Asumsika bahwa tiap m N S S S terjadi sebayak N kali, maka N Probabilitas evet A terjadi sebayak N kali dalam observasi dalam iterpretasi frekuesi relatif diyataka dega P A lim N da dalam otasi variabel acak maka A N P lim lim m P E[ ] S Varias dari variabel acak var[ ] E[ ] Karea merupaka fugsi, maka varias dapat dihitug dega rumus berikut: var[ ] P S Akar dari varias,, disebut stadar deviasi dari. Nilai ii adalah ukura sebara variabel acak dalam fugsi kepadata terhadap ilai mea. var[ ] Varias dapat juga diperoleh dari pegetahua mome pertama da kedua, yaitu P r o b a b l i t a s d a P r o s e s S t o k a s t i k Page 47

48 E[ ] S S P P P S E [ ] E[ ] E [ ] CONTOH Variabel acak memiliki fugsi massa probabilitas berikut: P 4 4 yag lai Dapatka ilai ekspektasi mea, varias da stadar deviasi dari. Nilai ekspektasi dari variabel acak : E[ ] P P P 4 4 Varias adalah E[ ] P P P 4 4 Varias dapat dihitug melalui mome kedua da mome pertama ilai ekspektasi: E [ ] P S jadi, varias : E[ P P ] 6 4 P P r o b a b l i t a s d a P r o s e s S t o k a s t i k Page 48

49 Stadar deviasi adalah:.77 RINGKASAN Nilai ekspektasi dari variabel acak merupaka ilai yag diharapka atau ilai rata-rata mea dari variabel acak tersebut. Varias dari variabel acak diguaka utuk megetahui sebara massa dari variabel acak tersebut terhadap ilai mea. Stadar deviasi adalah akar dari varias. LATIHAN Variabel acak N memiliki fugsi massa probabilitas berikut: P N yaglai Dapatka ilai ekspektasi mea da varias dari N..3 Model Fugsi Var. Acak Diskrit.3. ModelPoisso CAPAIAN PEMBELAJARAN Mahasiswa mampu megguaka model Poisso utuk meghitug probabilitas evet variabel acak diskrit. PENGANTAR P r o b a b l i t a s d a P r o s e s S t o k a s t i k Page 49