OPTIMASI NUMERIK. Materi Kuliah: Pengantar; Optimasi Satu Variabel; Optimasi Banyak Variabel

Transkripsi

1 OPTIMASI NUMERIK Materi Kuliah: Pengantar; Optimasi Satu Variabel; Optimasi Banak Variabel PUSTAKA James B. Riggs, 988, An Introduction to Numerical Methods or Chemical Engineers, Teas: Teas Tech Universit Press, Chapter 6 Steven C. Chapra & Ramond P. Canale, 3, Numerical Methods or Engineers: With Sotware and Programming Applications, 4 th edition, New York: McGraw-Hill Compan Inc, Part Four etc. INTRODUCTORY EXAMPLE Persoalan pemilihan diameter pipa untuk mengangkut luida dari satu proses ke proses ang lain. Istilah diameter pipa optimum, didasarkan kepada: () Biaa investasi, dan () Biaa operasi, seperti diilustrasikan dalam tabel berikut ini: $ / ear Cost components Pipe diameter (in),5,5,5 Operating costs Pipe capital costs Pump capital costs Total Berdasarkan pertimbangan di atas, diameter pipa manakah ang akan Anda pilih? PENGANTAR (Deinisi Optimasi, Jenis Optimasi, Fungsi Objekti, Decision Variables, dan Kendala) Optimasi merupakan suatu proses untuk mencari kondisi ang optimum, dalam arti paling menguntungkan. Optimasi bisa berupa maksimasi atau minimasi. Jika berkaitan dengan masalah keuntungan, maka keadaan optimum adalah keadaan ang memberikan keuntungan maksimum (maksimasi). Jika berkaitan dengan masalah pengeluaran/pengorbanan, maka keadaan optimum adalah keadaan ang memberikan pengeluaran/pengorbanan minimum (minimasi). Hal-hal penting dalam studi optimasi meliputi: - ungsi objekti dan decision variables - kendala (constraints) Secara umum, ungsi ang akan dimaksimumkan atau diminimumkan disebut ungsi objekti (objective unction), sedangkan harga-harga ang berpengaruh dan bisa dipilih disebut variabel (perubah) atau decision variable. Secara analitik, nilai maksimum atau minimum dari suatu persamaan: () dapat diperoleh pada d d harga ang memenuhi: ' '( ) d d Untuk ungsi ang sulit untuk diturunkan atau mempunai turunan ang sulit dicari akarna, proses optimasi dapat dilakukan secara numerik. Contoh persoalan optimasi dalam bidang engineering: Design pump and heat transer equipment or maimum eicienc Design waste water treatment sstem to meet water-qualit standards o least cost d/analisis numerik/optimasi numerik/april 8/halaman dari 6

2 Optimal planning and scheduling Optimal pipeline network Inventor control Maintenance planning to minimize cost Contoh kendala (constraints) ang menertai persoalan optimasi dalam bidang Teknik Kimia: Maimum process temperature Maimum low rate limitation Maimum conversion limitation Product purit Strength o materials Environmental actor Saet consideration Availabilit o utilities Corrosion considerations Availabilit and characteristics o eed stocks Market demand or the product Space limitation An upper limit on the capital investment Ilustrasi secara Graik Contoh maksimasi satu variabel: Perbedaan antara persoalan optimasi dengan pencarian/ penentuan akar persamaan: Beberapa istilah: Maksimum lokal, maksimum global Minimum lokal, minimum global A unimodal unction one hump or one valle Contoh optimasi dua variabel (maksimasi): Titik optimum d/analisis numerik/optimasi numerik/april 8/halaman dari 6

3 OPTIMASI SATU VARIABEL Tinjaulah sebuah ungsi dengan satu variabel sbb.: () Ingin dicari harga ang memberikan harga maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi). Dalam hal ini, ang diperoleh merupakan nilai optimum ungsi. Beberapa metode ang akan dibahas meliputi: Metode golden section Metode Newton Metode interpolasi kuadrat METODE GOLDEN SECTION Golden section merupakan salah satu cara atau metode optimasi numerik ang dapat diterapkan untuk ungsi ang bersiat unimodal. Kedua tipe optimasi, aitu maksimasi dan minimasi dapat diselesaikan dengan cara ini. Golden-section (search) method merupakan metode optimasi satu variabel ang sederhana, dan mempunai pendekatan ang mirip dengan metode bisection dalam penentuan akar persamaan tak linier. Tinjaulah ungsi () ang akan ditentukan maksimum-na, pada rentang l dan u (perhatikan gambar di bawah ini). Mirip dengan bisection, ide dasar metode ini adalah memanaatkan nilai ang lama sebagai nilai ang baru, secara iterati. Sebagai akibatna, rentang/ interval awal variabel ang dipilih semakin lama akan semakin menempit, karena ada sebagian sub-interval variabel ang dieliminasi, hingga diperoleh tingkat konvergensi ang diinginkan. Berdasarkan graik di atas, secara matematika berlaku: l l Karena: maka: l l+ l l l l Ambil kebalikanna dan kemudian deinisikan: R l l + l l maka: atau: l l l l + l l atau: + R R sehingga: R + R 5 Nilai akar positina adalah sebesar: R, (Bilangan R ini selanjutna biasa disebut sebagai golden ratio atau golden number) ALGORITMA (Kasus Maksimasi):. Mulailah dari nilai tebakan awal l dan u, ang mengapit titik maksimum. (Perhatikan ilustrasi graik berikut ini...) d/analisis numerik/optimasi numerik/april 8/halaman 3 dari 6

4 . Tentukan nilai dan di dalam rentang l dan u, sesuai dengan golden ratio (R), akni sebesar: l + d u d dengan: 5 d ( u l ) R ( u l ) 3. Berdasarkan harga () pada titik tersebut ( dan ), maka diharapkan ada sebagian interval ang dapat dieliminasi, sehingga salah satu titik lama bisa dipakai lagi pada evaluasi langkah berikutna. Jadi hana diperlukan titik baru. Demikian seterusna. Ada kemungkinan kasus, aitu: (a) Jika: ( ) > ( ), maka: domain antara l dan dieliminasi Dengan demikian: lama l baru lama baru u lama u baru baru ditentukan (b) Jika: ( ) > ( ), maka: domain antara dan u dieliminasi Dengan demikian: lama u baru lama baru l lama l baru baru ditentukan Perhatian: Algoritma untuk kasus minimasi merupakan kebalikan dari algoritma untuk kasus maksimasi ang telah diuraikan tersebut di atas. CONTOH SOAL #: Gunakan metode golden-section search untuk menentukan maksimum dari ungsi: ( ) sin di dalam interval: l dan u 4 Penelesaian: Secara graik, ungsi () pada interval sebesar s.d. 4 ditunjukkan pada gambar berikut. Perhatikanlah bahwa nilai maksimum ungsi teramati di sekitar harga,5. Titik maksimum ungsi 3 () d/analisis numerik/optimasi numerik/april 8/halaman 4 dari 6

5 Secara numerik, dengan metode golden-section search, dapat dilakukan langkah-langkah perhitungan sebagai berikut. Iterasi pertama: l : ( l ) u 4 : ( u ) -3,36 d 5 5 ( u l ) (4 ),47 l + d +,47,47 : ( ),63 u d 4,47,579 : ( ),7647 Karena kasus ini merupakan persoalan maksimasi, dan: ( ) > ( ), maka: l baru l lama u baru lama Dengan kata lain, sub-interval kanan (akni antara dan u ) dieliminasi. Iterasi kedua: l : ( l ) u,47 : ( u ),63 d 5 5 ( u l ) (,47 ),579 l + d +,579,579 lama : ( ),7647 u d,47,579,9443 : ( ),53 Karena kasus ini merupakan persoalan maksimasi, dan: ( ) < ( ), maka: l baru lama u baru u lama Dengan kata lain, sub-interval kiri (akni antara l dan ) dieliminasi. Cara perhitungan ang sama/ analog dapat dilakukan pada langkah iterasi berikutna. Perhitungan dapat dilakukan secara berulang-ulang hingga mencapai nilai toleransi ang diinginkan. Perhatikanlah bahwa penelesaian ini konvergen menuju nilai maksimum ang sebenarna (akni pada,476; dengan nilai maksimum (),7757). Hasil-hasil perhitungan selengkapna (hingga langkah iterasi ke-7) disajikan pada tabel berikut ini: Keterangan: Bagian ang diarsir merupakan nilai dan () terbesar pada setiap langkah iterasina. Catatan: Secara analitik, nilai maksimum ungsi dapat ditentukan dengan cukup mudah, karena () berbentuk persamaan ang mudah diturunkan (atau ditentukan ungsi turunanna). Tentukan ungsi turunan pertama dari (), dan selanjutna tentukan nilai ang membuat (). Untuk mengecek kebenaran kategori persoalan optimasina (akni apakah maksimum atau minimum) pada nilai ang ditinjau, tentukan nilai ungsi turunan kedua dari (). Silakan Anda coba sendiri...! d/analisis numerik/optimasi numerik/april 8/halaman 5 dari 6

6 Eektivitas evaluasi dengan metode golden section: Misal diinginkan pengecilan interval sampai menjadi, dari semula, maka jumlah step ang diperlukan (N) adalah: (,68) N, N 4,3 5 Jumlah evaluasi + (N ) 6 METODE NEWTON Metode ini menggunakan pendekatan ang sama dengan metode Newton dalam penentuan akar persamaan tak-linier, melalui pendeinisian ungsi: g() () Karena pada kondisi optimum berlaku: '( *) g( *) (dengan * menatakan nilai optimum) maka, nilai * dapat diperoleh secara iterati sebagai berikut: i + i '( i ) ''( ) CONTOH SOAL #: Gunakan metode Newton untuk menentukan maksimum dari ungsi: ( ) sin dengan nilai awal sebesar,5 Penelesaian: Pada metode Newton, ungsi turunan pertama dan kedua harus dievaluasi terlebih dahulu. Untuk ungsi tersebut di atas: '( ) cos 5 ''( ) sin 5 Iterasi pertama:,5 (,5) ( ) (,5) sin (,5),5794,5 '( ) '(,5) cos (,5),3 5 ''( ) ''(,5) sin (,5), Dengan demikian, dapat dihitung dengan cara sbb.: '( ),3,5 ''( ),3969,9958 Cara perhitungan ang sama/ analog dapat dilakukan pada langkah iterasi berikutna. Perhitungan dapat dilakukan secara berulang-ulang hingga mencapai nilai toleransi ang diinginkan. Perhatikanlah bahwa penelesaian ini konvergen menuju nilai maksimum ang sebenarna (akni pada,4755; dengan nilai maksimum (),77573). Hasil-hasil perhitungan selengkapna (hingga langkah iterasi ke-5) disajikan pada tabel berikut ini: i d/analisis numerik/optimasi numerik/april 8/halaman 6 dari 6

7 Catatan: Berdasarkan hasil ang disajikan dalam tabel di atas, bagaimanakah komentar Anda, ang berkaitan dengan laju konvergensi metode Newton, jika dibandingkan dengan penggunaan metode sebelumna...? METODE INTERPOLASI KUADRAT Metode interpolasi kuadrat dapat digunakan untuk melakukan optimasi secara numerik. Hal ini disebabkan oleh penggunaan polinomial orde-dua ang menghasilkan pendekatan cukup baik terhadap bentuk () di dekat titik optimumna. (Perhatikan gambar di bawah ini ) Jika mula-mula kita mempunai tiga buah titik tebakan awal (akni,, dan ) ang mengapit titik optimumna, maka sebuah parabola dapat di-it-kan melalui ketigana. Dierensiasikan persamaan ang diperoleh, set hasilna menjadi sama dengan nol, dan perkiraan optimum dapat ditentukan (dalam hal ini sebagai 3 ) sbb.: 3 ( )( ) + ( )( ) + ( )( ) ( )( ) + ( )( ) + ( )( ) Penentuan 3 dilakukan secara iterati, melalui strategi ang sama dengan metode golden section, hingga diperoleh penelesaian ang konvergen. CONTOH SOAL 3#: Gunakan metode interpolasi kuadrat untuk menentukan maksimum dari ungsi: ( ) sin dengan nilai-nilai awal : ; ; dan 4 Penelesaian: Iterasi pertama: : ( ) : ( ),589 4 : ( ) -3,36 Berdasarkan nilai-nilai, ( ),, ( ),, dan ( ), maka 3 dapat dihitung sbb.: ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) 3 ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) () ( 4 ) + (,589) (4 ) + ( 3,36) ( ) () ( 4) + (,589) (4 ) + ( 3,36) ( ) Nilai () pada 3 : ( 3 ),769 3 Karena kasus ini merupakan persoalan maksimasi, dan: ( ) < ( ) < ( 3 ), serta: ( 3 ) > ( ) maka: lama dieliminasi baru lama d/analisis numerik/optimasi numerik/april 8/halaman 7 dari 6,555

8 Dengan kata lain, sub-interval kiri dieliminasi, atau 3 buah nilai lama (akni,, dan 3 ) akan digunakan dalam perhitungan iterasi berikutna. Iterasi kedua: : ( ),589,555 : ( ),769 4 : ( ) -3,36 Berdasarkan nilai-nilai, ( ),, ( ),, dan ( ), maka: 3,493 Nilai () pada 3 : ( 3 ),774 Karena kasus ini merupakan persoalan maksimasi, dan: ( ) < ( 3 ), serta: ( 3 ) > ( ) > ( ) maka: lama dieliminasi baru lama Dengan kata lain, sub-interval kanan dieliminasi, atau 3 buah nilai lama (akni,, dan 3 ) akan digunakan dalam perhitungan iterasi berikutna. Demikian seterusna, untuk langkah iterasi berikutna. Perhitungan dapat dilakukan secara berulang-ulang hingga mencapai nilai toleransi ang diinginkan. Perhatikanlah bahwa penelesaian ini konvergen menuju nilai maksimum ang sebenarna (akni pada,476; dengan nilai maksimum (),7757). Hasil-hasil perhitungan selengkapna (hingga langkah iterasi ke-5) disajikan pada tabel berikut ini: OPTIMASI BANYAK VARIABEL Misal diketahui sebuah ungsi dengan banak variabel sbb: (,, 3,.., n ) Ingin dicari harga,, 3,.., n ang memberikan harga maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi). Pengelompokan metodena secara garis besar adalah: () non-gradient methods, dan () gradient methods. Beberapa metode ang akan dibahas meliputi: Metode Hooke-Jeeves Metode steepest ascent (ascending)/ descent (descending) Metode langsung/ random search METODE HOOKE-JEEVES Prinsip penerapan metode Hooke-Jeeves meliputi hal sebagai berikut: () Eksplorasi nilai i (i menatakan indeks variabel ) () Mengulangi langkah sukses Optimasi dengan metode Hooke-Jeeves ditunjukkan dalam contoh berikut. Misal ingin dilakukan minimasi dari suatu ungsi: ( 4) +,5.( 9) + 3 (, ) Sebagai cek, dengan mudah dapat terlihat bahwa minimum terjadi pada 4, 9, dan harga min 3. Dalam hal ini dipilih titik awal: dan 6, serta interval awal Δ dan Δ. d/analisis numerik/optimasi numerik/april 8/halaman 8 dari 6

9 Komentar 6 36,5 Basis Eksplorasi dengan Δ, Δ 6 3,5 Sukses 8 47,5 Gagal 4 9,5 Sukses Mengulangi langkah sukses 3 8,5 Sukses 4 3,5 Sukses 5 8 4,5 Gagal Eksplorasi dengan Δ, Δ 5 4,5 Gagal 3 4,5 Gagal 4 7,5 Gagal 4 8 3,5 Gagal Eksplorasi dengan Δ,, Δ,4 4, 3,54 Gagal 3,8 3,54 Gagal 4,4 4,96 Gagal 4 9,6 3,8 Sukses Mengulangi langkah sukses 4 9, 3, Sukses 4 8,8 3, Gagal Eksplorasi dengan Δ,, Δ,4 4, 9, 3,6 Gagal 3,8 9, 3,6 Gagal 4, 9,6 3,8 Gagal 4, 8,8 3, Gagal Eksplorasi dengan Δ,4, Δ,8 4,4 9, 3, Gagal 3,96 9, 3, Gagal 4, 9,8 3,39 Gagal 4, 9, 3,7 Sukses Mengulangi langkah sukses 4, 9,4 3,8 Sukses 4, 8,96 3,8 Gagal Demikian seterusna. Proses dihentikan setelah eksplorasi gagal, serta Δ dan Δ cukup kecil. METODE STEEPEST ASCENT /DESCENT Merupakan jenis metode gradien ang paling sederhana. Terminologi: steepest ascent untuk pencarian maksimum ungsi steepest descent untuk pencarian minimum ungsi Prinsip pencarian optimum: Dilakukan serangkaian proses transormasi untuk mengubah sebuah ungsi dengan banak variabel (multi-dimensional unction) menjadi sebuah ungsi dengan variabel tunggal (one-dimensional unction), berdasarkan gradien arah pencarian. Langkah pencarian optimum ini selanjutna dilakukan secara berulang-ulang (iterati), hingga diperoleh tingkat konvergensi ang diinginkan. PENCARIAN OPTIMUM: Sebagai ilustrasi, tinjaulah ungsi dua variabel (,) ang akan ditentukan titik maksimumna. (lihat gambar berikut ini...) d/analisis numerik/optimasi numerik/april 8/halaman 9 dari 6

10 h (,) Titik optimum h h Berdasarkan nilai awal dan, dapat ditentukan nilai gradien (atau arah steepest ascent)-na, akni sebesar h. Berdasarkan nilai h, nilai maksimum ungsi dapat ditentukan, akni pada titik. Demikian seterusna, proses ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh titik optimum sesungguhna. Secara numerik: Misal, untuk sebuah ungsi dua variabel: (,) ang akan dicari titik optimumna, dengan nilai awal: dan, maka pada langkah iterasi pertama, nilai dan ang baru dapat ditentukan dengan: + h dan + h dengan: dan, merupakan turunan parsial ungsi (,) masing-masing terhadap dan Dalam hal ini, vektor gradien ungsina dinatakan sebagai:, i+ j (Pada kasus ini, sebuah ungsi variabel dalam dan, (,), ditransormasikan menjadi sebuah ungsi satu variabel dalam h, g(h).) Nilai dan ang diperoleh pada langkah iterasi ini selanjutna menjadi dan pada langkah iterasi berikutna. Demikian seterusna. CONTOH SOAL 4#: Gunakan metode steepest ascending (atau ascent) untuk menentukan maksimum dari ungsi: (, ) + dengan nilai awal dan sebesar: - dan Penelesaian: Turunan parsial ungsi di atas dapat dituliskan sebagai: + dan 4 Iterasi pertama: Nilai awal: -; Pada dan : (, ) ( ) () + ( ) ( ) () 7 Evaluasi nilai turunan parsial ungsi pada dan : () + ( ) 6,, ( ) 4() 6 d/analisis numerik/optimasi numerik/april 8/halaman dari 6

11 maka, vektor gradienna dapat dituliskan sebagai: dan: + h +, + h, 6h 6h 6 i 6 j Substitusikan nilai dan (sebagai ungsi h) ke dalam (,) di atas: (, ) + (, ) ( + 6h) ( 6h) + ( + 6h) ( + 6h) ( 6h) g( h) (, ) 8 h + 7 h 7 g( h) Fungsi turunan pertama dari g(h): g '( h) 36 h + 7 Nilai h ang membuat g(h) maksimum dicapai pada saat g (h), akni sebesar: g '( h) 36 h h 7 h, Dengan demikian, nilai baru dan baru dapat dihitung sbb.: + 6h + 6 (,), 6h 6 (,), Cara perhitungan ang sama dapat dilakukan untuk langkah-langkah iterasi berikutna. Hasil perhitungan selengkapna (hingga langkah iterasi ke-) disajikan pada tabel berikut ini: Berdasarkan hasil-hasil tersebut di atas, terlihat bahwa penelesaian bersiat konvergen menuju ke nilai optimum dan optimum ang sebenarna, akni dan, dengan nilai (,) maksimum sebesar. Catatan: Anda dapat mengecek hasil ini secara analitik melalui telaah turunan ungsina. Turunan parsial ungsi ini dapat dituliskan sebagai: + dan 4 Nilai optimum dan dicapai pada saat dan. Dapat ditentukan dengan mudah, nilai-nilai tersebut adalah: dan. Kriteria optimumna (local minimum, local maimum, atau saddle point) dapat dicek melalui penggunaan turunan-kedua ungsi dan dievaluasi pada nilai dan tersebut. Dalam hal ini, turunan parsial tersebut adalah: d/analisis numerik/optimasi numerik/april 8/halaman dari 6

12 d/analisis numerik/optimasi numerik/april 8/halaman dari 6 ( ) + ( ) 4 ( ) + ( ) 4 4 Nilai determinan matriks Hessian (H) dari : det(h) 6 ()() 4) )( ( 4 Karena nilai det(h) > dan <, maka terbukti bahwa titik (, ) merupakan titik maksimum lokal. METODE LANGSUNG (RANDOM SEARCH) Sesuai dengan namana, metode random search secara berulang-ulang mengevaluasi nilai ungsi pada nilai-nilai variabel bebas tertentu (selected values) secara acak (randoml). Jika banakna sampel ang dicoba mencukupi, maka kondisi optimumna akan teramati, dan sebalikna. Dengan demikian, metode ini tidak eisien! Metode ini dapat diterapkan untuk ungsi ang discontinuous dan non-dierentiable sekalipun. Pendekatan ini pada umumna akan menghasilkan titik optimum global (bukan optimum lokal) CONTOH SOAL 5#: Gunakan metode random search untuk menentukan maksimum dari ungsi: ), ( jika domain nilai dan dibatasi pada: - hingga ; dan hingga 3. Catatan: Nilai maksimum ungsi ini adalah,5 pada - dan,5. Penelesaian: Random number generator, ang dalam hal ini diwakili sebagai bilangan r, secara tipikal dinatakan dalam angka-angka di antara dan. Nilai optimum di antara l dan u secara acak (random) dapat dinatakan sebagai: l + ( u l ) r Karena dalam hal ini: l - dan u, maka: (-) + ( (-)) r r Dengan cara ang sama, nilai optimum di antara l dan u secara acak dapat dinatakan sebagai: l + ( u l ) r Karena dalam hal ini: l dan u 3, maka: () + (3 ) r + r Dengan mensubstitusikan nilai-nilai r ang memenuhi: r secara acak ke dalam: r dan + r maka dapat diperoleh nilai maksimum ungsi ini sebesar,5 pada: - dan,5.

13 Sebagai contoh, dengan mengambil nilai-nilai r sebesar ;,5;,5;,75; dan ; serta menerapkanna secara acak terhadap persamaan dan sebagai ungsi r tersebut di atas, maka diperoleh hasil-hasil perhitungan sbb.: Nilai-nilai dan optimum Nilai (,) maksimum OPTIMASI FUNGSI VARIABEL SECARA ANALITIK (Sebuah Perbandingan) Tinjaulah sebuah ungsi variabel: `(,) Kriteria optimumna dapat dibagi menjadi 3 kategori: () (,) mempunai minimum lokal: jika det(h) > dan > () (,) mempunai maksimum lokal: jika det(h) > dan < (3) (,) mempunai titik belok (saddle point): jika det(h) < det(h) merupakan nilai determinan matriks Hessian ang dinatakan sebagai: det( H ) Contoh Aplikasi-: LOKASI OPTIMUM PENGOLAH LIMBAH TERPADU Sejumlah N pabrik dengan posisi koordinat masing-masing ( i, i ) menghasilkan limbah dengan debit masing-masing sejumlah Q i. Akan dibangun suatu unit pengolah limbah terpadu untuk seluruh pabrik tersebut. Ongkos pengangkutan limbah dari pabrik ke unit pengolah limbah berbanding lurus dengan debit pangkat,6. Ingin ditentukan posisi (koordinat) unit pengolah limbah agar ongkos pengangkutan limbah minimum. Analisis: k. jarak. debit Harga ( ) ( ),6 Misal: Lokasi pengolah limbah berada di titik P ( P, P ) Jarak pabrik ( i, i ) ke lokasi pengolah limbah: di ( P i) + ( P i),6 Ongkos transportasi dari pabrik ( i, i ): C kq.. ( ) + ( ) i i P i P i d/analisis numerik/optimasi numerik/april 8/halaman 3 dari 6

14 maka, ongkos transportasi total: C T N C i i N,6 i ( P i) ( P i) (, ) P P k Q + i Akan ditentukan nilai P dan P ang memberikan nilai C T minimum. Misal: nilai k dan posisi koordinat masing-masing pabrik adalah sebagai berikut: i i i Q i atau: (,4) (3,7) (8,3) (,) (Silakan Anda coba untuk menelesaikanna, dengan bantuan sotware ang Anda kuasai...) Contoh Aplikasi-: EVALUASI NILAI PARAMETER PERSAMAAN NON-LINIER Hubungan antara tekanan uap murni suatu cairan (P o, cm Hg) dengan suhu mutlak (T, K) didekati dengan persamaan Clausius-Claperon: o B P ep A+ T Jika tersedia data sebagai berikut: T P o berapakah nilai A dan B ang memberikan hasil persamaan empirik ang paling mendekati data? Analisis: Persoalan ini dapat diselesaikan dengan metode linierisasi, kemudian dilanjutkan dengan regresi linier, namun di sini akan diselesaikan dengan least squares secara langsung dalam bentuk persamaan non-linier ang ditinjau. Untuk data ke-i : o B Piempirik, ep A+ T i Error untuk data ke-i : o o Ri Pi, empirik Pi, data B o Ri epa+ Pi Ti n n B i i i i Ti Akan dicari nilai A dan B ang memberikan nilai S minimum. o Sum o squares o errors : S R ep A+ P ( A, B) (Silakan Anda coba untuk menelesaikanna, dengan bantuan sotware ang Anda kuasai... Jika Anda menggunakan metode Hooke-Jeeves, silakan coba dengan nilai awal: A ; B -4; ΔA,48; ΔB 5; Toleransi A,; toleransi B, rasio Δ,6) d/analisis numerik/optimasi numerik/april 8/halaman 4 dari 6

15 SOAL-SOAL LATIHAN () Emplo the ollowing methods to ind the maimum o: 3 4 ( ),75 +,,5 (a) golden section search ( l -, u 4, ε s %) (b) quadratic interpolation (,75; ;,5; iterations 5) (c) Newton s method (,5; ε s %) () Consider the ollowing unction: 3 4 ( ) 6 + 7, Use analtical and graphical methods to show the unction has a minimum or some value o in the range -. (3) Emplo the ollowing methods to ind the maimum o the unction rom Prob. () above: (a) golden section search ( l -, u, ε s %) (b) quadratic interpolation ( -; -; ; iterations 5) (c) Newton s method ( -; ε s %) (4) Consider the ollowing unction: ( ) + Perorm iterations o quadratic interpolation to locate the minimum. Comment on the convergence o our results. (,;,5; 5,) (5) Find the gradient vector and Hessian matri or each o the ollowing unctions: (a) (, ) + 3e (b) (,, z) + + z (c) (, ) ln( ) (6) Find the minimum value o: (, ) ( ) + ( 3) starting at and, using the steepest descent method with a stopping criterion o ε s %. (7) Perorm one iteration o the steepest ascent method to locate the maimum o: 4 (, ) 3,5 + + using initial guesses and. Emplo bisection to ind the optimal step size in the gradient search direction. (8) A temperature unction is: 3 (, ) Develop a one-dimensional unction in the temperature gradient direction at the point (,). (9) Design the optimal clindrical container (the radius, r, and the height, h) that is open at one end and has walls o negligible thickness. The container is to hold 8 meter 3. Design it so that the areas o its bottom and side are minimized. Perorm 3 iterations (at least) b using: (a) Newton method (Use the initial guess o r or h meter) (b) golden section search method (Use the initial interval guess o r or h - meter) () A miture o benzene and toluene are to be separated in a lash tank. At what temperature should the tank be operated to get the highest purit toluene in the liquid phase (maimizing T ). The pressure in the lash tank is 76 mm Hg. The units or Antoine s equations are mm Hg and o C or pressure and temperature, respectivel. d/analisis numerik/optimasi numerik/april 8/halaman 5 dari 6

16 sat sat B PB + T PT P log ( P sat B ) 6,95 T log ( P sat T ) 6,953 T + 9 () A will be converted into B in a stirred tank reactor. The product B and un-reacted A are puriied in a separation unit. Un-reacted A is reccled to the reactor. A process engineer has ound that the initial cost o the sstem is a unction o the conversion, A. Find the conversion that will result in the lowest cost sstem. C is a proportionalit constant.,6,6 Cost C + 5 ( A ) A () In the previous problem, onl one reactor is used. I two reactors are used in series, the governing equation or the sstem changes. Find the conversions or both reactors ( A and A ) such that the total cost o the sstem is minimized.,6 A,6,6 A A Cost C A( A ) ( A) A (3) The two-dimensional distribution o pollutant concentration in a channel can be described b: c(, ) 7,9 +,3 +,,5,6, 7 Determine the eact location o the peak concentration given the unction and the knowledge that the peak lies within the bounds - and. Good Luck!!! Catatan: Pustaka lain ang digunakan dalam penusunan materi kuliah ini: Wahudi Budi Sediawan dan Agus Praseta, Pemodelan Matematis dan Penelesaian Numeris dalam Teknik Kimia, Diktat Kuliah, Yogakarta: UGM Press; dan beberapa materi Pelatihan Metode Numerik ang disampaikan oleh Pro. Wahudi Budi Sediawan di dalam lingkup UPN Veteran Yogakarta. d/analisis numerik/optimasi numerik/april 8/halaman 6 dari 6