MODIFIKASI METODE NEWTON-RAPHSON UNTUK MENCARI SOLUSI PERSAMAAN LINEAR DAN NONLINEAR

Transkripsi

1 Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 6 No. 02 (2017), hal MODIFIKASI METODE NEWTON-RAPHSON UNTUK MENCARI SOLUSI PERSAMAAN LINEAR DAN NONLINEAR Mahmul, Mariatul Kiftiah, Yudhi INTISARI Mencari solusi pada suatu persamaan linear dan nonlinear merupakan bagian dari pemecahan masalah matematika. Salah satu cara untuk mencari solusi persamaan linear dan nonlinear adalah menggunakan metode Newton-Raphson. Metode Newton-Raphson memiliki syarat yang harus dipenuhi yaitu persamaan tersebut memiliki turunan pertama. Metode ini tidak bisa digunakan ketika titik awal yang ditentukan memberikan nilai turunan pertamanya nol. Oleh karena itu, metode Newton-Raphson perlu dimodifikasi agar dalam mencari solusi persamaan tidak menggunakan turunan pertama. Pada modifikasi metode Newton-Raphson, f (x ) diubah menjadi f[x,x ] yang merupakan bentuk selisih terbagi. Sehingga pada modifikasi metode Newton-Raphson digunakan p, (x) atau polinomial interpolasi selisih-terbagi Newton iterasi pertama menggunakan f[x, x ] dan iterasi selanjutnya menggunakan p, (x). Pada modifikasi metode Newton-Raphson menggunakan toleransi kesalahan (ε ) dan iterasi maksimum untuk perberhentian iterasi. Kata Kunci : selisih-terbagi, interpolasi, polinomial Newton PENDAHULUAN Metode numerik adalah teknik-teknik yang digunakan untuk memformulasikan masalah matematis agar dapat dipecahkan operasi perhitungan [1]. Metode numerik bisa menyelesaikan persamaan linear dan nonlinear yang tidak bisa dipecahkan secara analitis. Pada metode numerik, terdapat metode untuk mencari solusi dari persamaan yaitu metode tertutup dan terbuka. Metode tertutup meliputi metode grafis, metode bagi-dua, dan metode posisi palsu, sedangkan metode terbuka meliputi iterasi satu-titik, akar-akar ganda, metode Secant dan metode Newton-Raphson [2]. Metode Newton-Raphson merupakan salah satu cara yang sering digunakan dalam metode penyelesaian f(x) = 0 [1]. Metode Newton-Raphson menggunakan satu titik awal (initial value) sebagai perkiraan awal dan melakukan iterasi untuk mencari solusi dari persamaan nonlinear. Dalam hal ini, metode akan gagal digunakan jika pemilihan titik awal memberikan nilai turunan pertamanya nol. Jika nilai turunan pertamanya nol maka iterasi tidak dapat dilakukan sehingga titik awal yang sudah ditentukan tidak dapat digunakan. Dengan demikian, untuk menggunakan metode Newton- Raphson perlu menentukan titik awal baru yang tidak memberikan nilai turunan pertamanya nol. Pada metode Newton-Raphson memerlukan syarat yang harus dipenuhi yaitu fungsi f harus memiliki nilai f (x). Oleh karena itu, cara alternatif yang digunakan adalah memodifikasi metode Newton-Raphson agar dalam mencari solusi persamaan tidak menggunakan turunan. Penelitian ini bertujuan untuk mengubah bentuk turunan pertama pada metode Newton-Raphson menjadi bentuk f[x, x ] yang merupakan selisih-terbagi, sehingga rumus pada metode Newton- Raphson bisa menggunakan bentuk polinomial interpolasi selisih-terbagi Newton p, (x). Metode modifikasi metode Newton-Raphson menggunakan dua titik awal sehingga pada penentuan titik tersebut diperlukan grafik bantuan untuk menentukan titik awalnya. Setelah itu dilakukan iterasi untuk menentukan solusi dari persamaan linear dan nonlinear. Modifikasi Metode Newton-Raphson 69

2 70 MAHMUL, M. KIFTIAH, YUDHI menggunakan toleransi kesalahan (ε ) sebesar 10 dan iterasi maksimum sebagai perberhentian iterasi. POLINOMIAL INTERPOLASI SELISIH-TERBAGI NEWTON Interpolasi adalah perkiraan suatu nilai tengah dari satu set nilai yang diketahui [1]. Interpolasi pengertian yang lebih luas merupakan upaya mendefinisikan suatu fungsi dekatan dari suatu fungsi analitik yang tidak diketahui. Metode interpolasi terbagi menjadi lima yatu interpolasi linear, interpolasi kuadratik, interpolasi kubik, interpolasi polinomial Lagrange dan interpolasi polinomial Newton [3]. Untuk mendapat tingkat ketelitian yang lebih tinggi, metode orde n bisa digunakan yaitu menggunakan polinomial interpolasi selisih-terbagi Newton. Misalnya diberikan dua pasang titik yaitu x, f(x ) dan (x, f(x )) x x, sehingga bentuk interpolasi linear adalah p (x) = f(x ) + f(x ) f(x ) (x x x x ) (1) Bentuk Persamaan (1) dapat ditulis sebagai p (x) = a + a (x x ) a = f(x ) (2) dan a = f(x ) f(x ) (3) x x Persamaan (3) merupakan bentuk selisih-terbagi (divided-difference) dan dapat diringkas menjadi a = f[x, x ] Interpolasi Newton untuk 3 titik yaitu x, f(x ), x, f(x ) dan x, f(x ) x x x atau menggunakan polinomial derajat 2 diperoleh p (x) = a + a (x x ) + a (x x )(x x ) () Dengan menganti x = x pada Persamaan () diperoleh nilai a adalah a = f(x ) a a (x x ) (x x )(x x ) Nilai a dan a pada Persamaan (2) dan (3) disubstitusikan ke Persamaan () diperoleh f(x ) f(x ) f(x ) f(x ) x x x x a = x x a = f[x, x ] f[x, x ] = f[x x x, x, x ] dan seterusnya, sehingga dapat membentuk polinomial Newton secara bertahap. Polinomial derajat n dibentuk dari polinomial derajat n 1, sehingga p (x) = a + a (x x ) + a (x x )(x x ) + + a (x x )(x x ) (x x ) p (x) = p (x) + + a (x x )(x x ) (x x ) Nilai koefisien a, a, a,.., a merupakan nilai selisih-terbagi, sehingga bentuk polinomial Newton dapat ditulis sebagai berikut p (x) = f[x ] + f[x, x ](x x ) + + f[x, x,, x, x ](x x )(x x ) (x x ) (5)

3 Modifikasi Metode Newton-Rapson untuk Mencari Persamaan (5) dapat ditulis secara lebih ringkas sebagai berikut Jika menggunakan syarat bahwa p (x) = f[x, x,, x, x ] (x x ) z = z z z untuk t s 1 untuk t > s Karena f[x ], f[x, x ],, f[x, x,, x, x ] merupakan bentuk selisih-terbagi, maka polinomial Newton dinamakan juga polinomial interpolasi selisih-terbagi Newton. MODIFIKASI METODE NEWTON-RAPHSON Metode Newton-Raphson adalah teknik optimasi untuk menyelesaikan persamaan-persamaan nonlinear. Rumus dari metode Newton-Raphson adalah sebagai berikut x = x f(x ) f, n = 0,1, (6) (x ) f (x) = df(x) dx = lim f(x + h) f(x) h diberikan koleksi data x, f(x ), x, f(x ),, x, f(x ) maka f (x ) f(x ) f(x ) = f[x x x, x ] karena persamaan turunan pada f(x ) merupakan bentuk selisih-terbagi (divided-difference) maka fungsi turunan pada Persamaan (6) bisa menggunakan bentuk polinomial interpolasi selisih-terbagi Newton. Sehingga bentuk selisih-terbagi dapat ditulis sebagai berikut f[x, x ] = f(x ) f(x ) = f x x f[x, x, x ] = f[x, x ] f[x, x ] = f x x f[x, x,, x, x ] = f[x, x,, x ] f[x, x,, x ] = f x x Sehingga bentuk dari polinomial interpolasi selisih-terbagi Newton adalah p, (x) = f(x ) + f[x, x,, x ] x x Karena f (x ) = f[x, x ] dan menganti x = x pada Persamaan (7), maka bentuk persamaan polinomial interpolasi selisih-terbagi Newton yang digunakan pada modifikasi metode Newton- Raphson adalah p, (x) = f[x, x ] + f[x, x, x ] x x Sehingga bentuk umum modifikasi metode Newton-Raphson adalah x = x f(x ) p, (x) (7)

4 72 MAHMUL, M. KIFTIAH, YUDHI KASUS PERSAMAAN LINEAR DAN NONLINEAR 1. Tentukan solusi persamaan linear f(x) = 0,3868x 0,3983 menggunakan modifikasi metode Newton-Raphson. Penyelesaian: Langkah pertama untuk menentukan solusi persamaan menggunakan metode modifikasi Newton-Raphson adalah menentukan titik awal x dan x menggunakan bantuan grafik dapat dilihat pada Gambar 1. Gambar 1 Grafik pada Persamaan f(x) = 0,3868x 0,3983 Dengan memilih titik x = 1 dan x = 2, maka selanjutnya untuk menentukan x, x,, x digunakan iterasi sebagai berikut. a. Iterasi pertama Untuk x = 1 maka f(x ) = 0,3868(1) 0,3983 = 0,053 untuk x = 2 maka f(x ) = 0,3868(2) 0,3983 = 0,3331 dimana x = x f(x ) p, (x) = x f(x ) f f = f[x, x ] = f(x ) f(x ) x x Sehingga x dapat dihitung sebagai berikut x = 2 0,3331 0, = 1,1 f(x ) = 0,3868(1,1) 0,3983 = 0 karena f(x ) < ε, maka iterasi dihentikan pada iterasi pertama nilai x = 1,1. 2. Tentukan salah satu solusi persamaan nonlinear f(x) = cos sin x + sin 2x 1 menggunakan modifikasi metode Newton-Raphson. Penyelesaian: Langkah pertama untuk menentukan solusi persamaan menggunakan metode modifikasi Newton-Raphson adalah menentukan titik awal x dan x menggunakan bantuan grafik dapat dilihat pada Gambar 2.

5 Modifikasi Metode Newton-Rapson untuk Mencari Gambar 2 Grafik pada Persamaan f(x) = cos sin x + sin 2x 1 Dengan memilih titik x = 0 dan x = 1, maka selanjutnya untuk menentukan x, x,, x digunakan iterasi sebagai berikut. a. Iterasi pertama Untuk x = 0 maka f(x ) = cos sin(0 ) + sin2(0) 1 = 1 untuk x = 1 maka f(x ) = cos sin(1 ) + sin2(1) 1 = 0, dimana x = x f(x ) p, (x) = x f(x ) f f = f[x, x ] = f(x ) f(x ) x x Sehingga x dapat dihitung sebagai berikut x = 1 0, , = 0, f(x ) = cos 0, sin((0, ) ) + sin2(0, ) 1 = 0, karena f(x ) > ε maka iterasi dilanjutkan. b. Iterasi kedua x = x f(x ) jadi p, (x) = x f(x ) f + f (x x ) f = 1, f = 1, f = 0, x = 0, , , = 0,

6 7 MAHMUL, M. KIFTIAH, YUDHI f(x ) = cos 0, sin((0, ) ) + sin2(0, ) 1 = 0, karena f(x ) > ε maka iterasi dilanjutkan. c. Iterasi ketiga x = x f(x ) p, (x) = x f(x ) p, (x) + f (x x )(x x ) f = 2, f = 1, f = 1, jadi x = 0, ( 0, ) = 0, , f(x ) = cos 0, sin((0, ) ) + sin2(0, ) 1 = 0, karena f(x ) > ε maka iterasi dilanjutkan. d. Iterasi Keempat x = x f(x ) p, (x) = x f(x ) p, (x) + f (x x )(x x )(x x ) f = 2, f = 0, f = 1, f = 0, jadi x = 0, ( 0, ) = 0, , f(x ) = cos 0, sin((0, ) ) + sin2(0, ) 1 = 1, karena f(x ) > ε maka iterasi dilanjutkan. e. Iterasi Kelima x = x f(x ) p, (x) = x f(x ) p, (x) + f (x x )(x x )(x x )(x x ) f = 2, f = 0, f = 1, f = 0, f = 0, jadi x = 0, ( 1, ) 2, = 0,

7 Modifikasi Metode Newton-Rapson untuk Mencari f(x ) = cos 0, sin((0, ) ) + sin2(0, ) 1 = 8, karena f(x ) < ε, maka iterasi berhenti pada iterasi kelima x = 0, Tabel 1 Modifikasi Metode Newton-Raphson untuk f(x) = cos sin x + sin(2x) 1 n x f(x ) , , , , , , , , , , , PENUTUP Berdasarkan pembahasan yang telah dipaparkan, dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut: 1. Bentuk umum dari modifikasi metode Newton-Raphson adalah sebagai berikut x = x f(x ) p, (x) p, (x) = f[x, x ] + f[x, x, x ] (x x ). 2. Berikut langkah kerja dalam mencari solusi persamaan linear dan nonlinear menggunakan modifikasi metode Newton-Raphson: 1) Tentukan persamaan linear dan nonlinear. 2) Tentukan nilai toleransi kesalahan (ε ) dan iterasi maksimum. 3) Memilih dua titik awal x dan x menggunakan bantuan grafik. ) Hitung f(x ) dan f(x ) 5) Hitung x = x f(x ) p, (x) n = 1 dan k = 1. 6) Hitung f(x ). 7) Jika f(x ) < ε, maka x adalah solusi dari persamaan linear dan nonlinear, jika tidak lanjut ke iterasi selanjutnya. 8) Lanjut ke langkah (5) n = n + 1 dan k = k ) Jika n dan k lebih dari iterasi maksimum dan f(x ) > ε, maka iterasi tidak dapat dilanjutkan, sehingga harus menentukan titik awal yang baru.

8 76 MAHMUL, M. KIFTIAH, YUDHI DAFTAR PUSTAKA [1] Nasution A, Zakaria H. Metode Numerik dalam Ilmu Rekayasa Sipil. ITB: Bandung; [2] Chapra SC, Canale RP. Metode Numerik. Edisi ke-2, Erlangga: Jakarta; [3] Munir R. Metode Numerik. Informatika: Bandung; [] Sharma SC. dan Arora J. A Modified Newton-Raphson Method for Solving Nonlinear Equations. International Journal of Mathematical. 2010; 1(3): MAHMUL MARIATUL KIFTIAH YUDHI : FMIPA UNTAN, Pontianak, mathmul.99@gmail.com : FMIPA UNTAN, Pontianak, kiftiahmariatul@math.untan.ac.id : FMIPA UNTAN, Pontianak, dhye_dhoank@yahoo.co.uk