REGRESI DAN INTERPOLASI

Transkripsi

1 Universitas Gadjah Mada Departemen Teknik Sipil dan Lingkungan Prodi Sarjana Teknik Sipil REGRESI DAN INTERPOLASI Curve Fitting

2 Curve Fitting Acuan Chapra, S.C., Canale R.P., 99, Numerical Methods or Engineers, nd Ed., McGrawHill Book Co., New York. n Chapter dan, pp

3 Curve Fitting 3 Mencari garis/kurva yang mewakili serangkaian titik data Ada dua cara untuk melakukannya, yaitu Regresi Interpolasi Aplikasi di idang enjiniring Pola perilaku data (trend analysis) Uji hipotesis (hypothesis testing)

4 Curve Fitting 4 Pemakaian regresi Apaila data menunjukkan tingkat kesalahan yang cukup signiikan atau menunjukkan adanya noise Untuk mencari satu kurva tunggal yang mewakili pola umum perilaku data Kurva yang dicari tidak perlu melewati setiap titik data

5 Curve Fitting 5 Interpolasi Diketahui ahwa data sangat akurat Untuk mencari satu atau serangkaian kurva yang melewati setiap titik data Untuk memperkirakan nilainilai di antara titiktitik data Etrapolasi Mirip dengan interpolasi, tetapi untuk memperkirakan nilainilai di luar range titiktitik data

6 Curve Fitting terhadap Data Pengukuran 6 Analisis pola perilaku data Pemanaatan pola data (pengukuran, eperimen) untuk melakukan perkiraan Apaila data persis (akurat): interpolasi Apaila data tak persis (tak akurat): regresi Uji hipotesis Pemandingan antara hasil teori atau hasil hitungan dengan hasil pengukuran

7 7 Beerapa Parameter Statistik merepresentasikan searan data Ratarata aritmatik, mean Deviasi standar, simpangan aku, standard deviation Varian ( ragam ), variance Coeicient o variation y s n å yi S ( ) y t å yi y St n St sy n sy c. v. % y

8 8 Distriusi Proailitas rek Distriusi Normal salah satu distriusi/searan data yang sering dijumpai adalah distriusi normal X

9 9 Regresi Regresi linear Regresi nonlinear

10 Regresi: Metode Kuadrat Terkecil Mencari satu kurva atau satu ungsi (pendekatan) yang sesuai dengan pola umum yang ditunjukkan oleh data Datanya menunjukkan kesalahan yang cukup signiikan Kurva tidak perlu memotong setiap titik data Regresi linear Regresi persamaanpersamaan taklinear yang dilinearkan Regresi taklinear

11 Regresi: Metode Kuadrat Terkecil Bagaimana caranya? Program komputer Spreadsheet (Microsot Ecel)

12 Regresi Linear Mencari suatu kurva lurus yang cocok menggamarkan pola serangkaian titik data: (,y ), (,y ) ( n,y n ) y reg a + a a : intercept : slope a Microsot Ecel INTERCEPT(y :y n ; : n ) SLOPE(y :y n ; : n )

13 3 Regresi Linear Kesalahan atau residu (e) adalah peredaan antara nilai y sesungguhnya (data y) dan y nilai pendekatan (y reg ) menurut persamaan linear a + a. e y a a Minimumkan jumlah kuadrat residu terseut min [ ] [ ] [ ( ) ] S min e min y a a r å i å i i

14 4 Regresi Linear Bagaimana cara mencari koeisien a dan a? Dierensialkan persamaan terseut dua kali, masingmasing terhadap a dan a. Samakan kedua persamaan hasil dierensiasi terseut dengan nol. S a S a r r å å ( y a a ) ( y a a ) i i i i i

15 5 Regresi Linear Selesaikan persamaan yang didapat untuk mencari a dan a a n y i i i n i i a y a ( ) y i dalam hal ini, dan masingmasing adalah nilai y ratarata dan ratarata y

16 6 Contoh Regresi Linear Tael data i i y i ( i ) y () Graik/kurva data X

17 7 Hitungan regresi linear i i y i i y i i y reg (y i y reg ) (y i y mean )

18 8 Hitungan regresi linear a n y i i i n i i y i ( ) 4 y a ( ) 8( 4) ( 4) ( 8) ( ). 749

19 9 Hitungan regresi linear Y X data regresi

20 Regresi Linear Kuantiikasi kesalahan Kesalahan standar s y Sr n S r ( y a a ) å i i Perhatikan kemiripannya dengan simpangan aku s S ( ) y t å yi y St n

21 Regresi Linear Beda antara kedua kesalahan terseut menunjukkan peraikan atau pengurangan kesalahan r S t S r S t r n i y i i n i i ( )( y ) i ( ) n y i y i ( ) koeisien determinasi (coeicient o determination) koeisien korelasi (correlation coeicient)

22 Hitungan regresi linear S S r t å å ( yi a a i ) ( y y). 749 i.997 r r S t S S t r

23 Regresi Linear 3 Linearisasi persamaanpersamaan taklinear Logaritmik menjadi linear Eksponensial menjadi linear Pangkat (polinomial tingkat n > ) menjadi linear (polinomial tingkat ) Dll.

24 4 Linearisasi persamaan nonlinear y ln y ln y lna + y a e ln a

25 5 Linearisasi persamaan nonlinear y log y logy loga + log y a log log

26 6 Linearisasi persamaan nonlinear y /y y + a a a 3 3 y a a 3 3 a 3 /

27 7 Interpolasi Metode Newton Metode Lagrange

28 8 Interpolasi linear kuadratik kuik

29 Interpolasi 9 Penyelesaian persamaan polinomial tingkat n memutuhkan sejumlah n + titik data Metode untuk mencari polinomial tingkat n yang merupakan interpolasi sejumlah n + titik data: Metode Newton Metode Lagrange

30 Interpolasi Linear: Metode Newton 3 () ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +

31 Interpolasi Kuadratik: Metode Newton 3 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )! a a a " " # " %" $ "" " # "" %" $ ( ) a a a + + ï î ï í ì + a a a

32 3 Interpolasi Kuadratik: Metode Newton ( ) ( ) ( ) [ ], ( ) ( ) ( ) ( ),,,,

33 Interpolasi Polinomial: Metode Newton 33 ( ) ( ) ( )( ) ( ) n n n ( ) [ ] [ ] [ ],,...,,...,,, n n n

34 Interpolasi Polinomial: Metode Newton 34 [ ] ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ],...,,,...,,,,...,,,,,,, n n n n n n n n k i k j j i k j i j i j i j i

35 Interpolasi Polinomial: Metode Newton 35 ( ) ( ) ( ) [ ] ( )( ) [ ] ( )( ) ( ) [ ],...,,......,,, n n n n

36 36 Interpolasi Polinomial: Metode Newton i i ( i ) langkah hitungan ke ke ke3 ( ) [, ] [,, ] [ 3,,, ] ( ) [, ] [ 3,, ] ( ) [ 3, ] 3 3 ( 3 )

37 37 Interpolasi Polinomial: Metode Lagrange n n ( ) L i ( ) i i ( ) L i ( ) n k k i k i k Contoh interpolasi polinomial order 3: 3 ( ) 3 3 ( )+ 3 3 ( ) ( ) ( ) 3

38 38 Contoh interpolasi i i ( i ) () X

39 39