S1- MATEMATIKA I BAHAN 7 TURUNAN FUNGSI (DERIVATIVES OR DIFFERENTIATIONS)

Transkripsi

1 S1- MATEMATIKA I BAHAN 7 TURUNAN FUNGSI (DERIVATIVES OR DIFFERENTIATIONS) LANJUTAN TURUNAN FUNGSI (DERIVATIVE OR DIFFERENTIATION) : PARTIAL DERIVATIVE, TOTAL DIFFERENTIAL, TOTAL DERIVATIVE 1/15

2 Bahan 7.1. TURUNAN FUNGSI (FUNCTION DERIVATIVES OR DIFFERENTIATIONS) 1. The Difference Quotient Fungsi (a primitive function) : = f () Kemudian, nilai fungsi atau dependent variable berubah dari 0 = f ( 0 ) ke 1 = f ( 1 ), karena nilai independent variable berubah dari 0 ke 1. Maka timbul : / aitu perubahan pada varabel karena perubahan per unit atau 1 unit pada variabel (the change in per unit of change in ), ang dinatakan dengan istilah the difference quotient : f ( 1 ) f ( 0 ) f ( 0 ) X 0 change in change in Diagram : The Difference Quotient atau the Function Slope = f () f ( + ) f () = f ( + ) f () = = 0 + 2/15

3 Contoh : = f () = a primitive function 2 2 f ( ) 0 {3( 0 ) 4} {3 0 4} 0 = ( ) 2 = = = =30 apabila 0 = 3 dan = 4 Artina, secara rata-rata, perubahan dari 3 ke 7 menebabkan perubahan pada fungsi atau sebesar 30 unit untuk setiap unit perubahan atau per unit perubahan. 2. The Derivative Derivatif (the derivative) menatakan tingkat perubahan nilai fungsi atau dependent variable untuk perubahan independent variable sekecilkecilna mendekati 0 (nol) atau 0, aitu : lim 0 lim 0 f ( 0 ) 0 Dibaca : Apabila, perubahan mendekati 0 atau 0, limit dari the difference quotient terjadi (eist) atau mendekat nilai fungsi pada 0, maka limit itu disebut derivative (the derviative). If, as approaches zero or 0, the limit of the difference quotient / indeed eists, that limit is called the derivative of the function = f (). Contoh : f ( 0 ) 0 lim lim 0 0 lim = 6 0 = 6. 3 = 18 3/15

4 Penjelasan : The derivative terjadi (eist) apabila = f () merupakan fungsi ang kontinu (continuous) pada nilai variabel sebesar 0. Jadi differentiable berarti kontinu, sebalikna tidak berlaku. Atau suatu fungsi ang differentiable pada titik = 0, apabila fungsi mempunai derivatif dan berarti kontinu pada titik itu. A function which is differentiable at ever point in its domain, it must be continuous in its domain. That is, differentiabilit implies continuit. Yet, the converse is not true. Lihat C&W (Book 1) Ch. 6 hal ). Derivatif (derivative) adalah turunan atau perubahan dari dependent variable (fungsi) karena perubahan (sekecil apapun) dari setiap independent variable. Seperti terlihat pada Diagram di atas, derivatif adalah the slope dari fungsi = f () pada setiap titik. Istilah derivative mempunai sama arti dengan istilah differentiation atau derivation. Turunan atau perubahan dependent variable dimaksud mempunai order : kesatu (the first derivative), kedua (the second derivative), dan seterusna. A derivative of the function = f() is the limit of / for ever small changes in, and it is denoted as / or f (), etc. The term of derivative is the same as derivation or differentiation. There are the first derivative, the second derivative, and further order derivatives on. Lihat C&W (Book 4) Ch. 6 hal ). Notasi derivatif :, d, D,, f ( ), d f ( ) The derivative juga merupakan suatu fungsi atau fungsi turunan (a derived function) dari fungsi asal (a primitive function) seperti di atas aitu = f (). 4/15

5 3. Kurva fungsi dan marginal atau derivative A, /, / B 50 = 1 + ½ = 1/ (total) 1 1/ 2 (marginal) 20 ½ 1/ (marginal) , / C 5 5, ( 3) 1, ( 3) 4 3 1, ( 3) 1, ( 3) 2 (marginal) /15

6 4. Aturan derivatif dari fungsi dengan 1 (satu) independent variable (derivative rules for functions of one independent variable) 1). Constant function rule = f() = k = k. 0 f ( ) 0. k. 0-1 = 0 2). Power function rule = f() = c n f ( ) c. n. n-1 3). Sum difference rule = f() + g() + h() = a 2 + b + c 4). Product rule f ( ) g ( ) h ( ) = 2a +b = f()g() = (2 3)( + 1) 5). Quotient rule f ( ) g( ) f ( ) g ( ) = 2( + 1) + (2 3)1 = f() / g() = (2 3) / ( + 1) f ( ). g( ) f ( ). g ( ) f ( ) 2 g ( ) 2. ( + 1) (2 3). 1 5 = = ( + 1) 2 ( + 1) 2 6). Chain rule : derivatives for functions of different variables z = f() while = g() --- z = f(g()) = 17 = ( ) 17 f ( ) f().g () = g () = 17( ) 16.(2+ 3) 6/15

7 5. Inverse-function rule = f () --- one-to-one function d Maka 1 c d 0 a b 0 a b = f() differentiable pada interval a b dan derivatifna / tidak berubah tanda. Seperti pada diagram, kedua fungsi mempunai nilai sepanjang nilai dari domain fungsi dalam hal ini interval itu. Jadi untu setiap nilai = f() pada setiap fungsi terdapat satu hana satu nilai dimana merupakan fungsi dari aitu = g(). Maka f() dan g() disebut inverse functions. c 6. Derivatives dari fungsi pangkat dan fungsi logaritma (derivatives of eponential and logarithmic functions) 1). Eponential function = e f(t) f ( ) ( t f t e ) Misal : = A e rt rt r A e = f(t) = b f(t) f f ( t) b ( t) ln b Misal : = f(t) = A b rt r A b rt ln b 7/15

8 2). Logarithmic (log) functions S1-MATEMATIKA I (MATEMATIKA EKONOMI) 1 = ln f(t) f ( t) f ( t) = log b f(t) 1 f ( t) 1 f ( t) ln b Contoh : = k ln at k 1 at a k t = ln t c ct t c1 c c t = b t = e t ln b (ln b) ( e t lnb ) t b ln b = log b t 1 t ln b 8/15

9 7. Elastisitas Formula elastisitas terhadap = ε : % Y % X Elastisitas dengan fingsi logarithma d d ln ln 1 ( ) 1 ε = Elastisitas terhadap Contoh : = f() = a b (tanpa log) ε = b. (/) = a e k-c atau ln = a ln + ln e k-c = a ln + k c maka derivative terhadap menjadi : 1 a a e k c a k ε =? k A (t) = V e -rt = K e t e -rt = K e -rt + t Cari : 1. Derivative A terhadap t : 2. The rate of growth of A = r t = da A 9/15

10 8. Soal latihan 1). = ). 3) ). = (2 + 1) ). s = t 3 3t 2 dimana s adalah velocit diukur dalam ms -1 atau dalam meter dan detik 1 / 2 e 0 6). f ( ) 0, 0 Buktikan : f() continuous pada = 0 f() puna derivatif pada = 0 2 3, 0 2 7). f ( ) 2 3, 2 4 Buktikan : Continuit Differentiabilit 8). Soal-soal lainna 1. TFC = f (Q) = 7 2. = f () = a + b 3. = /3 4. = g () = (2 + 3)(3 2 ) 5. = f () / g () = (2 3)/( +1) 6. = (a 2 + b) / c 7. z = 3 (2 + 5) 2 8. Y = F (X) = (X 1)/(X X + 4) 9. Y = A / X 10. Q = Q (P) = a b P 11. Q = P 12. P = P (Q) = c/d + (1/d) P 13. Q = P + P z = g (w) = b0 + b1 w + b2 w C = C (Q) = k0 + k1 Q + k2 Q 2 + k3 Q C = 0,04 Q 3 0,9 Q Q TVC = aq + b Q 2 + c Q AVC = TVC/Q = a + b Q + c Q 2 (buktikan dengan sum dan quotient rules) 19. MC = k (Q) = a + 2b Q + 3c Q TR = R (Q) = 7 Q 0,01 Q AR = TR/Q = 7 0,02 Q (buktikan dengan sum dan quotient rules) 22. = f () = h = h (g) = g 4 + 5/2 g 3 11/2 g 2 10 g Z =Z (G) = 2 G G 3 11 G 2 20 g /15

11 Fungsi-fungsi eponential dan logarithma 1. = = 6 e 2t dan = A e rt 3. = b = ep (a 2 + b + c) 5. A (t) = V e -rt = K e t e -rt -rt + t = K e 6. = 2 / {( + 3) (2 + 1)}---dengan ln 7. = 3 ln 2 8. U = q1 6 q ,5 ln q1 + ln q2 9. U = b1 ln (q1 γ1) + b2 ln (q2 γ2) 10. C = 0.04q 3 0,9q 2 + (10 lnk)q + 8 k 2 11/15

12 Bahan 7.2. TURUNAN (DERIVATIVES) DARI FUNGSI DENGAN LEBIH DARI 1 (SATU) INDEPENDENT VARIABLE : PARTIAL DERIVATIVES, TOTAL DIFFERENTIALS, TOTAL DERIVATIVES 1. TURUNAN PARSIAL (PARTIAL DERIVATIVES) DARI FUNGSI DENGAN LEBIH DARI 1 (SATU) INDEPENDENT VARIABLE Partial derivatives adalah derivatives dependent variable (fungsi) karena perubahan hana satu independent variable sementara satu independent variable lainna dianggap tetap. Fungsi : = f( 1, 2, 3,, n ) --- = f(n j ) dimana i = 1, 2, 3,, n Derivatives : f j = j Contoh : = 3( 1 ) ( 2 ) 2 f 1 = ; f 2 = TOTAL DIFFERENTIALS : DERIVATIVES DARI FUNGSI DENGAN INDEPENDENT VARIABLE LEBIH DARI 1 (SATU) Total differential dapat didiefinisikan sebagai derivative (perubahan) dependent variable karena perubahan setiap independent variable secara besamaan. Jadi berbeda dengan derivative dan partial derivative sebelumna, ang merupakan perubahan dependent variable (fungsi) karena perubahan satu 12/15

13 independent variable sementara independent variable lainna dianggap tetap. Penulisan total differential : = f( 1, 2, 3,, n ) --- = f(n j ) dimana j = 1, 2, 3,, n Total differential atau total perubahan karena setiap independent variable berubah secara bersamaan, ditulis : Contoh : = f f f n. n = 3( 1 ) ( 2 ) 2 = f f 2. 2 = ( ). 1 + ( ) TOTAL DERIVATIVES : DERIVATIVES DARI FUNGSI DENGAN INDEPENDENT VARIABLE LEBIH DARI 1 (SATU) Total derivative adalah total differential dengan fokus pada perubahan hana satu independent variable. Dengan kata lain, total derivative adalah total differential dibagi perubahan satu independent variable. Penulisan total derivative dengan total differential di atas, misal dengan perubahan independent variable 2 ( 2 ) : Contoh : 1 n = f 1 + f 1 + f n = 3( 1 ) ( 2 ) 2 / 2 = f 1.( 1 / 2 ) + f 2 = ( ). 1 / 2 + ( ) 13/15

14 Bahan 7.3. TURUNAN (DERIVATIVES) DARI FUNGSI IMPLISIT (IMPLICIT FUNTIONS) DENGAN LEBIH DARI 1 (SATU) INDEPENDENT VARIABLE : Fungsi F(, 1, 2, 3,, n ) = 0 adalah an implicit function dari an eplicit function = f( 1, 2, 3,, n ) --- = f(n j ) dimana j = 1, 2, 3,, n Derivative the implicit function : df = 0 df = F. + F F F n. n = 0 dimana = f f f n. n, maka : df = F.{f f f n. n ) + F F F n. n =0 = (F.f 1 + F 1 ) 1 + (F.f 2 + F 2 ) (F.f n + F n ) n = 0 berarti setiap (F.f j + F j ) j = 0 dimana j = 1, 2, 3,, n maka f j = = i F j F Untuk the implicit function dua variabel F(, ) = 0 : maka f = = F F 14/15

15 Contoh : F(,) = = 0 F 2 maka f = = = = F 2 Eercise dengan fungsi F(Q,K,L) dari the eplicit function production function Q = f(k,l), cari MP K dan MP L 15/15