MATEMATIKA. Sesi MENCARI MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI A. METODE TITIK POJOK

Transkripsi

1 MATEMATIKA KELAS XII - KURIKULUM GABUNGAN 08 Sesi N MENCARI MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI Kita sudah belajar bagaimana menggambar daerah dari batas pertidaksamaan ang diketahui atau pun sebalikna. Suatu daerah terdefinisi berisi sekumpulan titik-titik ang tak berhingga banakna. Jika diberikan suatu fungsi dalam bentuk f() = a + b + c, kemudian ditanakan di antara titik-titik pada daerah tersebut ang dapat menghasilkan nilai optimum (maksimum atau minimum) untuk fungsi tersebut. Jika kita telusuri satu per satu tentu hal itu mustahil. Ada dua metode ang digunakan untuk menentukan titik dan nilai optimum pada daerah terdefinisi, aitu metode titik pojok dan metode garis selidik. A. METODE TITIK POJOK Metode titik pojok adalah metode pencarian titik dan nilai optimum dengan mencari titik sudut daerah terdefinisi. Karena ternata dari hasil analisis sederhana, titik optimum akan selalu terjadi di titik pojok daerah. Langkah-langkah pencarian nilai optimum menggunakan metode ini adalah:. Definisikan daerah, jika belum ada.. Temukan titik pojok daerah, bila belum diketahui gunakan metode eliminasi.. Substitusikan titik pojok ke dalam fungsi objektif ang diberikan, kemudian bandingkan mana ang paling optimum.

2 CONTOH SOAL. Pada gambar di bawah, daerah ang diarsir merupakan grafik himpunan penelesaian sistem pertidaksamaan linier. (, ) (, ) (0, ) (5, ) 0 (, 0) Nilai maksimum dari bentuk objektif 5 + dengan, Chimpunan penelesaian itu adalah... A. B. C. 6 D. 7 E. 0 Pembahasan Dengan menggunakan titik pojok, maka maksimum atau minimum dari fungsi sasaran terjadi di salah satu dari kelima titik pojokna. Perhatikan tabel berikut ini! No Titik Pojok 5 + Keterangan (0,) = Minimum (,0) = 0 (5,) = 6 Maksimum (,) 5. + = 5 (,5) = 0

3 . Nilai minimum f(, ) = + untuk, di daerah ang diarsir adalah A. 5 B. 5 C. D. 0 E. 5 Pembahasan Pada soal ini ketiga titikna telah diketahui, aitu: (0, ) dengan nilai (, ) dengan nilai (5, 5) dengan nilai Maka, terlihat jelas nilai minimumna adalah 0.. Nilai maksimum pada himpunan penelesaian sistem pertidaksamaan adalah... A. B. 6 C. D. 6 E.

4 Pembahasan Langkah pertama: gambar daerah penelesaianna A 6 C B -8 8 Langkah ke dua: menentukan koordinat titik pojok. Terlihat disana ada tiga titik pojok selain (0,0). Titik A adalah titik perpotongan garis (): + = dengan garis (): - + = 8. Koordinatna dengan mudah dapat dicari menggunakan eliminasi: + = + = 8 6+ = 8 + = 8 7 = 0 = = 0 + = = A 7, 7 7

5 Sedangkan titik B dan C sudah jelas. Perhatikan tabel berikut: No Titik Pojok + Keterangan 0 8, = (8, 0) = 6 maksimum (5, ) = maksimum. Jika (, ) terletak pada daerah ang dibatasi oleh > 0, > 0 dan + < <, maka nilai terbesar dari + adalah... A.,5 B. C.,5 D. 5 E. 5,5 Pembahasan Batas diatas dapat dinatakan > 0; > 0; + < ; < atau > 0; > 0; > ; + < Maka gambar ang memenuhi adalah C A - B Titik A adalah perpotongan antara garis (): = dengan garis (): + =, dengan eliminasi akan didapatkan = + = + = = dengan substitusi balik = 5

6 Kita masukkan ke tabel No Titik Pojok + Keterangan, 7 5 maksimum (, 0) = minimum (5, ). 0 + = minimum 5. Nilai maksimum fungsi objektif (tujuan) f(, ) = + dengan kendala + < 8, > dan > adalah... (SBMPTN tahun 0) A. 6 B. 0 C. 5 D. 0 E. Pembahasan Terlihat dari gambar di atas titik A, aitu (, ) sedangkan titik B dan C perlu dicari dengan cara eliminasi dan substitusi. Titik B adalah hasil titik potong antara garis + = 8 dan =, maka kita lakukan proses substitusi. + = 8 + () = 8 = = 6 Maka titik B (6, ) Titik C adalah hasil perpotongan dengan + = 8 dengan =, kita lakukan proses substitusi + = 8 () + = 8 = = Maka titik C (, ) 6

7 Titik pojok dan nilai fungsi objektifna berturut-turut: (, ) f(, ) = + Keterangan (, ) + 6 = 8 (6, ) + 6 = 0 maksimum (, ) + = B. METODE GARIS SELIDIK Metode ini biasana digunakan untuk daerah ang memiliki titik pojok banak dan lebih dari satu titik belum diketahui. Langkah mencari titik dan nilai optimum dengan cara ini adalah:. Tentukan daerah pertidaksamaan dengan gambar seakurat mungkin.. Misal fungsi objektif didefinisikan f() = a + b + c. Gambar garis selidik dari a + b = p, di mana p adalah bilangan ang bias dibagi oleh a dan b ang membuat a + b = p mudah untuk digambar.. Geser garis dari kiri ke kanan sejajar jika a > 0, atau dari kanan ke kiri jika a < 0. Maka, optimum baik maksimum ataupun minimum dapat ditentukan dengan cara: Titik ang pertama tersentuh minimum. Titik ang terakhir tersentuh maksimum. Masukkan titik optimum ke fungsi objektif. CONTOH SOAL. Daerah ang diarsir adalah daerah himpunan penelesaian permasalahan program linier. E(, 5) A(0, ) B(, ) 0 C(, 0) D(5, ) Nilai maksimum dari fungsi tujuan z = + 5 adalah... 7

8 A. 6 B. 7 C. 0 D. 5 E. 9 Pembahasan Salah satu keunggulan metode garis selidik adalah kalian tidak perlu memasukkan nilai titik pojok satu per satu untuk mendapatkan nilai paling optimum dari perbandingan, akan tetapi cukup satu titik ang dimasukkan, karena titik itu sudah diketahui pasti optimum. Pertama kita gambar garis + 5 = 0 (karena 0 bisa dibagi dan 5), bentuk gambarna menjadi seperti ini arah geser 5 kelima dari kiri 5 pertama dari kiri ketiga dari kiri kedua dari kiri Terlihat titik (,5) adalah titik terakhir ang tersentuh oleh pergeseran garis. Maka Z maks = Z(, 5) = = 9. Nilai minimum dari z = - + dari daerah ang memiliki batas-batas sebagai berikut: > ; + < 8; < + 7; + > 5 adalah Pembahasan Langkah ang pertama adalah menggambar daerah ang dimaksud. Dengan mengubah menjadi bentuk umum pertidaksamaanna, diikuti dengan mencari dua titik ang dilewati oleh persamaan garisna akan didapatkan gambar sebagai berikut: 8

9 Kemudian kita gambar garis ang mewakili fungsi objektifna. Misalna garis ang akan kita gambar adalah - + =, maka kita akan mendapatkan posisi garis selidik seperti berikut: arah pergeseran garis selidik Dengan menggeser garis selidik dari kanan ke kiri (karena koefisien negatif), akan didapati titik potong garis dan garis adalah titik minimum. Titik tersebut dapat kita cari dengan menggunakan metode eliminasi. = 7 + = = = dengan substitusi balik, didapat =. 9

10 Maka titik minimumna adalah (, ) sedangkan nilai minimumna adalah Z min = z(, ) = -. + = - C. MASALAH MAKSIMUM DAN MINIMUM PADA SOAL CERITA Langkah mencari nilai maksimum dan minimum pada soal cerita adalah sebagai berikut:. Bentuk model pertidaksamaanna.. Ketahui fungsi objektifna.. Gambar daerah penelesaianna.. Bila titik sudut daerah ang belum diketahui sedikit, gunakan metode titik sudut, apabila titik sudut daerah ang belum diketahuina banak gunakan metode garis selidik. 5. Pada metoda titik sudut, masukkan semua titik pojok ang diketahui pada fungsi objektifna, kemudian bandingkan mana ang paling optimum. Pada metode garis selidik, setelah dilakukan pergeseran dan didapat titik optimumna, sutitusikan titik optimumna pada fungsi objektifna. CONTOH SOAL. Luas daerah parkir.760 m. Luas rata-rata untuk mobil kecil m dan mobil besar 0 m. Daa tampung maksimum hana 00 kendaraan, biaa parkir mobil kecil Rp5.000,00/jam dan mobil besar Rp8.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan ang pergi dan datang, penghasilan maksimum tempat parkir adalah... Pembahasan = banakna mobil kecil ang terparkir dalam satu jam = banakna mobil besar ang terparkir dalam satu jam Tabel keterkaitan Benda Banakna Luas lahan Biaa Mobil kecil Mobil besar Kapasitas z = Model matematikana adalah + < 00, + 0 <.760 atau + < 00, + 5 < 0, dengan > 0, > 0. 0

11 Sedangkan fungsi objektifna adalah z = f(, ) = , maka gambar daerahna adalah sebagai berikut: 00 A 88 C B 00 0 Kita gunakan metode titik pojok. Salah satu titik aitu titik C belum diketahui, tetapi bisa dengan mudah dicari dengan eliminasi + 5= 0 + = 00 = 0 = 60 Dengan substitusi balik nilai didapat nilai = 0 maka C (0, 60). Kita substitusikan semua titik sudut ang telah diketahui: Titik sudut z = Keterangan A(0, 88) z = 5.000(0) (88) = Rp Minimum B(00, 0) z = 5.000(00) (0) = Rp C(0, 60) z = 5.000(0) (60) = Rp Maksimum Maka pendapatan maksimumna adalah Rp ,00.

12 LATIHAN SOAL. Nilai maksimum z = + 5 pada gambar berikut adalah... (5, 7) (, 6) (, ) (6, ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 E. 9. Nilai minimum dari pada gambar di bawah adalah A. -6 B. - C. D. 9 E. 0

13 . Nilai maksimum fungsi f(, ) = + pada suatu daerah ang memiliki batas 5 + <, + > dan > 0 adalah... A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 E. 9. Perhatikan gambar berikut! (, 6) (, 5) (6, ) (0, ) (, 0) (5, 0) Nilai maksimum dari z = 5 + pada daerah arsiran di samping adalah... A. 5 B. 6 C. 9 D. 0 E. 5. Nilai maksimum f(, ) = 6 + pada daerah ang memiliki batas pertidaksamaan adalah A. 7 B. C. D. 8 E. 0

14 6. Nilai minimum dari z = f(, ) = - + pada daerah dengan batas... A. -6 B. -5 C. - D. - E adalah 7. Nilai minimum dari bentuk + pada daerah penelesaian sistem pertidaksamaan: + >, + >, > 0, > 0 adalah... (Ebtanas 00 IPS) A. 9 B. 5 C. D. E Disebuah kantin, Ani dan kawan-kawan membaar tidak lebih dari Rp5.000,00 untuk mangkok bakso dan 6 gelas es ang dipesanna, sedangkan Adi dan kawan-kawan membaar tidak lebih dari Rp50.000,00 untuk 8 mangkok bakso dan gelas es. Jika kita memesan 5 mangkok bakso dan gelas es, maka maksimum ang harus kita baar adalah... (UM UGM 0) A. Rp7.500,00 B. Rp0.000,00 C. Rp.500,00 D. Rp5.000,00 E. Rp7.500,00 9. Rokok A ang harga belina Rp.000,00 dijual dengan harga Rp.00,00 per bungkus sedangkan rokok B ang harga belina Rp.500,00 dijual dengan harga Rp.700,00 per bungkus. Seorang pedagang rokok ang mempunai modal Rp00.000,00 dan kiosna dapat menampung paling banak 50 bungkus rokok akan mendapat keuntungan maksimum jika ia membeli... (UMPTN 00 Raon B) A. 50 bungkus rokok A dan 00 bungkus rokok B. B. 00 bungkus rokok A dan 50 bungkus rokok B. C. 50 bungkus rokok A dan 00 bungkus rokok B. D. 50 bungkus rokok A saja. E. 00 bungkus rokok B saja.

15 0. Seorang penjahit membuat jenis pakaian untuk dijual, pakaian jenis I memerlukan m katun dan m sutera, dan pakaian jenis II memerlukan 5 m katun dan m sutera. Bahan katun ang tersedia adalah 70 m dan sutera ang tersedia adalah 8 m. Pakaian jenis I dijual dengan laba Rp5.000,00 dan pakaian jenis II mendapat laba Rp50.000,00. Agar ia memperoleh laba ang sebesar-besarna, maka banak pakaian masing-masing adalah... A. Pakaian jenis I = 5 potong dan jenis II = 8 potong. B. Pakaian jenis I = 8 potong dan jenis II = 5 potong. C. Pakaian jenis I = 0 potong dan jenis II = potong. D. Pakaian jenis I = potong dan jenis II = 0 potong. E. Pakaian jenis I = 0 potong dan jenis II = potong. 5

16 KUNCI JAWABAN SOAL LATIHAN. 6. C. 7. C. C 8. C. E 9. E 5. E 0. A 6