BAB III FUNGSI MAYOR DAN MINOR Pada bab n akan dbahas konsep-konsep dasar dar fungs mayor dan fungs mnor dar suatu fungs yang terdefns pada suatu nterval tertutup. Pendefnsan fungs mayor dan mnor tersebut berdasarkan pada konsep dervatf atas dan dervatf bawah yang telah dbahas pada bagan.5 defns.5.4. Defns dar fungs mayor dan mnor dgunakan untuk mendefnskan ntegral Perron yang akan dbahas pada bab IV. Sajan berkut n dmula dengan membahas defns dan contoh dar fungs mayor dan mnor, kemudan dlanjutkan dengan bahasan tentang sfat monoton dan ε adjoned dar fungs mayor dan fungs mnor. Defns dan Contoh Fungs Mayor dan Fungs Mnor Msalkan fungs f :[ a, b] { +, } dengan a, b. Berkut n defns dar fungs mayor dan fungs mnor dar fungs f pada [ a, b ]. Defns 3.1.1 Suatu fungs ψ dsebut fungs mayor untuk f pada nterval [ a, b ] jka Dψ ( x) f ( x), untuk setap x [ a, b]. 9
30 Defns 3.1. Suatu fungs ϕ dsebut fungs Mnor untuk f pada nterval [a,b] jka f ( x) Dϕ ( x) +, untuk setap x [ a, b]. Untuk lebh jelasnya, berkut akan d berkan beberapa contoh fungs mayor dan fungs mnor dar suatu fungs f. Contoh 3.1.3 π Msalkan E : = x 0 x dan f : E dengan defns f ( x ) = sn x. Dplh ψ ( x) = cos x dan ϕ ( x) = cos x sn x, maka dperoleh Dψ ( x) = sn x dan + Dϕ ( x) = sn x cos x, untuk setap x Selanjutnya dpenuh konds-konds sebaga berkut : Dψ ( x) = sn x f ( x) dan + Dϕ ( x) = sn x cos x f ( x) untuk setap x Berdasarkan defns 3.1.1 dan 3.1. fungs ψ adalah fungs mayor dar f dan ϕ adalah fungs mnor dar f pada
31 Contoh 3.1.4 Msalkan E = [1,3], f : E dengan f ( x) = x. Dplh ψ ( x) = x 1 dan ϕ ( x) = x 1, maka dperoleh ψ ( ) D x = x dan + Dϕ ( x) = x, untuk setap x [1,3]. Selanjutnya dpenuh konds-konds Dψ ( x) = x f ( x) dan + Dϕ ( x) = x f ( x), untuk setap x [1,3]. Berdasarkan defns 3.1.1 dan 3.1. fungs ψ adalah fungs mayor dar f dan ϕ adalah fungs mnor dar f pada [ 1,3 ]. Sfat Monoton dan ε adjoned dar Fungs Mayor dan Mnor Berkut akan dbahas kemonoton dar fungs mayor dan mnor, kemudan dlanjutkan dengan sfat ε adjoned dar fungs mayor dan mnor suatu fungs f pada nterval tertutup [a,b]. Teorema 3..1 Jka ψ fungs Mayor dan ϕ fungs mnor dar f pada nterval [ a, b ] dan ψ, ϕ masng-masng terdferensabel hampr dsetap x [ a, b] kecual pada hmpunan denumerabel, maka fungs ψ ϕ monoton nak pada nterval [ a, b ]. Bukt : Dberkan sembarang fungs mayorψ dan fungs mnor ϕ dar f pada nterval [a,b] yang terdferensal hampr dsetap x [ a, b]. Berdasarkan teorema.5.7 dan
3 teorema.5. berlaku ( ) D ψ ( x) ϕ( x) Dψ ( x) + D( ϕ ( x)) Dψ ( x) Dϕ ( x) ψ '( x) ϕ '( x) (1) hampr dsetap x [ a, b]. Selanjutnya berdasarkan defns 3.1.1 dan 3.1. dketahu bahwa Dψ ( x) f ( x) Dϕ ( x), tetap berdasarkan defns.5.5 (c) dperoleh ψ '( x) f ( x) ϕ '( x). () Akbatnya dar (1) dan () dperoleh ( ) D ψ ( x) ϕ( x) ψ '( x) ϕ '( x) 0 Jad dapat dsmpulkan bahwa ψ ϕ merupakan fungs yang monoton nak hampr dsetap x [ a, b]. Contoh 3.. Msalkan fungs- fungs pada contoh 3.1. yatu ψ ( x) = cos x dan ϕ ( x) = cos x sn x yang berturut-turut merupakan fungs Mayor dan fungs mnor untuk fungs f ( x) = sn x pada nterval. Msalkan pula : g( x) = ψ ( x) ϕ( x) = ( cos x) ( cos x sn x) = sn x untuk setap x
33 Karena g '( x) = cos x 0 untuk setap x, n berart ψ ϕ monoton nak pada nterval Berkut n defns dar fungs mayor dan fungs mnor yang ε adjoned ke suatu fungs f. Fungs-fungs ϕ, ϕ, ϕ, dan ϕ berturut-turut akan dsebut fungs mayor kanan, mayor kr, mnor kr, dan mnor kanan dar fungs f. Defns 3..3 Msalkan f suatu fungs yang terdefns pada nterval [ a, b ]. Fungs-fungs ϕ, ϕ, ϕ, dan ϕ dsebut ε adjoned ke f pada nterval [ a, b ] jka : a) ϕ ( x) kontnu pada nterval [a,b] dan ϕ ( a) = 0 untuk, j = 1,,3, 4 ; b) kecual mungkn untuk suatu hmpunan yang denumerable konds-konds berkut berlaku 1 D f, +ϕ D ϕ f ϕ 3 + D f, ϕ + 4 + D f j c) fungs ϕ ( x) memenuh konds ϕ ( b) ϕ ( b) < ε untuk setap ε > 0 dengan, j = 1,,3,4.
34 Contoh 3..4 Msalkan f adalah fungs yang ddefnskan pada contoh 3.1.4. Dplh ϕ ( x) = x 1 untuk = 1,,3, 4, maka dperoleh konds-konds sebaga berkut: a) Fungs-fungs ϕ ( x) = x 1 kontnu pada nterval [1,3], dan ϕ (1) = 1 1 = 0 untuk = 1,,3, 4. b) Fungs-fungs ϕ ( x) untuk = 1,,3, 4 merupakan fungs polnom maka fungsfungs tersebut akan terdferensalkan d, selanjutnya akan berlaku D+ϕ 1 ( x) = x f ( x), + D ϕ 3 ( x) = x f ( x), D ϕ ( x) = x f ( x) + + D ϕ 4 ( x) = x f ( x) c) Untuk setap ε > 0 berlaku ϕ (3) ϕ (3) = 3 1 3 + 1 = 0 < ε Jad berdasarkan defns 3..3, fungs-fungs ϕ ( x) = x 1 merupakan fungs-fungs yang ε adjoned ke f pada nterval [1,3], untuk = 1,,3, 4. Berkut n akan bahas satu sfat dar fungs-fungs yang ε adjoned ke suatu fungs f pada nterval [a,b] yang akan dgunakan untuk menunjukkan sfat dar ntegral Perron pada bab V. Teorema 3..5 Jka fungs ϕ, ϕ, ϕ, ϕ ε adjoned ke f pada [ a, b ], maka fungs ϕ, ϕ, ϕ, ϕ juga ε adjoned ke f pada [ a, x ] untuk setap x ( a, b].
35 Bukt : Dberkan sembarang ε > 0 dan nterval [a,b]. Berdasarkan defns 3..3 dketahu bahwa ϕ, ϕ, ϕ, ϕ yang ε adjoned ke f pada ϕ, ϕ, ϕ, ϕ kontnu pada nterval [a,b] dengan ϕ ( a) = 0 untuk, j = 1,,3,4, dan fungs-fungs ϕ, ϕ, ϕ, ϕ berturut-turut merupakan fungs mayor kanan, mayor kr, mnor kr, dan mnor kanan dar fungs f pada nterval [a,b]. Akan dtunjukkan bahwa ϕ ϕ < ε. Msalkan 1 3 0 ( x) ( x) 1 ϕ > ϕ dan 3 4 ϕ < ϕ, berdasarkan defns 3..3 nla maksmum dar ϕ ( x), ϕ ( x), ϕ ( x), ϕ ( x) adalah nla ϕ 1 ( x), dan nla mnmum dar ϕ ( x), ϕ ( x), ϕ ( x), ϕ ( x) adalah nla ϕ 3 ( x). Ambl sembarang x [ a, b] dan pandang selang [ a, x ]. Berdasarkan teorema 3..1 fungs ϕ yang monoton nak sehngga untuk x b berlaku ϕ ϕ ϕ ϕ < ε. 1 3 1 3 0 ( x) ( x) ( b) ( b) ϕ merupakan fungs 1 3 Akbatnya ϕ, ϕ, ϕ, ϕ akan ε adjoned ke f pada [ a, x ]