Bab 3 Analisis Ralat. x2 x2 x. y=x 1 + x 2 (3.1) 3.1. Menaksir Ralat

Transkripsi

1 Mater Kulah Ekspermen Fska Oleh : Drs. Ishaft, M.S. Program Stud Penddkan Fska Unverstas Ahmad Dahlan, 07 Bab 3 Analss Ralat 3.. Menaksr Ralat Msalna suatu besaran dhtung dar besaran terukur,,..., n. Jka dalam pengukuran,,..., n menghaslan ralat sebesar,,..., 3, maka nla ang dperoleh akan membawa ketdakpastan/ralat sebesar. Bagamana menaksr nla tersebut? Menaksr ralat basana dlakukan pada hasl perhtungan ekspermen pendahuluan, guna memperkrakan ralat dar masng-masng varabel atau besaram fss ang terlbat dalam ekspermen. Hal n dperlukan dalam upaa menusun strateg ekspermen, sepert dalam memlh besaran mana ang perlu mendapat perhatan lebh serus atau perlu dukur lebh telt. Berkut tu akan dberkan contoh perumusan taksran ralat untuk hubungan penjumlahan, perkalan, dan pembagan. Hubungan penjumlahan. Msalkan besaran,,dan terhubung oleh persamaan: = + (3.) kemudan dar hasl pengukuran dperoleh: (3.) (3.3) Nla terbak dar besaran dambl dar nla rata-rata, dengan persamaan: (3.4) Untuk menaksr ralat besaran, kta perlu menaksr nla maksmum mak dan nla mnmum mn ang mungkn, atu: mn ( ) ( ) ( ) (3.5) mak ( ) ( ) ( ) (3.6) Ralat pada besaran atu ang dperoleh sebaga akbat dar perambatan ralat besaran, melalu hubungan penjumlahan adalah: mak mn [ ( )] [ ( )] (3.7) Dengan melakukan penederhanaan terhadap persamaan (3.7), maka dperoleh perumusan untuk nla taksran ralat sebaga berkut: (3.8) Hubungan Perkalan. Untuk besaran,,dan terhubung oleh operator perkalan, atu:

2 Mater Kulah Ekspermen Fska Oleh : Drs. Ishaft, M.S. Program Stud Penddkan Fska Unverstas Ahmad Dahlan, 07 (3.9) dengan hasl pengukuran besaran sepert persamaan (3.) dan (3.3), maka nla ukur terbak untuk besaran adalah: (3.0) Nla taksran mnmum dan maksmum untuk besaran adalah: mn ( )( ) (3.) mak ( )( ) (3.) Ralat pada besaran atu, untuk hubungan perkalan adalah sebaga berkut: mak mn (3.3) (3.4) Hubungan Pembagan. Untuk besaran terukur ang terhubung secara pembagan, atu : dengan taksran nla ukur terbakna: maka nla taksran maksmum mak dan mnmum mn ang mungkn, untuk besaran adalah: (3.5) (3.6) mn (3.7)

3 Mater Kulah Ekspermen Fska Oleh : Drs. Ishaft, M.S. Program Stud Penddkan Fska Unverstas Ahmad Dahlan, 07 dabakan mn (3.8) mn (3.9) mak (3.0) mak dabakan (3.) mak (3.) mak mn (3.3) (3.4)

4 Mater Kulah Ekspermen Fska Oleh : Drs. Ishaft, M.S. Program Stud Penddkan Fska Unverstas Ahmad Dahlan, Analss Perambatan Ralat Msalkan suatu rumus teortk besaran V dhtung dar dua besaran terukur dan, V=f(,). Sebaga akbat ketdakpastan pengukuran dan sebesar dan, maka V mempuna ketdakpastan sebesar V. Jka ketdakpastan tdak mempuna hubungan dengan ketdakpastan, maka kedua ketdakpastan tu dkatakan ndependen. Sebalkna, jka kedua ketdakpastan tu berhubungan dkatakan non-ndependen. Bagamana hubungan antara V,, dan dtentukan berdasarkan kedua keadaan hubungan antar ketdakpastan tersebut merupakan bagan dar analss ketdakpastan. Perambatan Ralat Aktual Dketahu. Msalkan V hana tergantung pada satu varabel, atu V=V(), dan dketahu nla kesalahan aktual dar. Dengan bantuan gambar, ralat V dtentukan sebaga berkut V V o V V o Berdasarkan gambar d atas dapat dtunjukkan bahwa: Vma V ( 0) V V ( 0 ) (3.5) atau, V V( 0 ) V ( 0 ) (3.6) Untuk << o maka dapat dperoleh persamaan perambatan ralat untuk satu varabel sebaga berkut n (ang merupakan suku pertama dalam deret Talor): V V (3.7) d Sedangkan persamaan perambatan ralat untuk dua varabel adalah: V V V (3.8) Persamaan (3.7) dapat dturunkan dar deret Talor untuk satu varabel, sedangkan persamaan (3.8) dturunkan dar deret Talor untuk dua varabel. Deret Talor dua varabel dtunjukkan pada persamaan (3.9) d bawah n.

5 Mater Kulah Ekspermen Fska Oleh : Drs. Ishaft, M.S. Program Stud Penddkan Fska Unverstas Ahmad Dahlan, 07 f f f ( f, ) (, ) (, ) (, ) f (, ) f (, ) f (, )!... f (, )... n! (3.9) Perambatan Ralat Aktual Tak Dketahu. Untuk suatu fungs ang ddefnskan sebaga berkut: f ( u, v,...) (3.30) maka nla dengan kebolehjadan terbesar dnatakan dengan persamaan: f ( u, v,...) (3.40) Nla dar pengukuran ndvdual dnatakan dengan persamaan: f ( u, v,...) (3.4) dan nla smpangan hasl ukur besaran dnatakan oleh persamaan: u u v v u ( ) ( )... v (3.4) Varans nla ukur besaran dhtung dengan menggunakan persmaan (3.43), atu: lm ( ) (3.43) N N Kemudan, dengan mensubsttuskan persamaan (3.4) ke persamaan (3.43), maka nla varans nla ukur besaran adalah sebaga berkut: u u v v N N u lm ( ) ( )... v (3.44) lm ( u u) ( v v) N u N v ( u u)( v v).. u v (3.45)

6 Mater Kulah Ekspermen Fska Oleh : Drs. Ishaft, M.S. Program Stud Penddkan Fska Unverstas Ahmad Dahlan, 07 Persamaan (3.45) dapat dsederhanakan dengan menggunakan defns nla varas dar besaran u (persamaan 3.46) dan v (persamaan 3.47), serta nla kovarans antara u dengan v (persamaan 3.48) berkut n: lm ( ) (3.46) N lm ( v v) (3.47) N N u u u N v uv N lm [( u u)( v v)] (3.48) N Akhrna ddapatkan persamaan perambatan ralat ang dtunjukkan pada persamaan (3.49): u v uv u v u v... (3.49) Persamaan (3.49) berlaku apabla ralat antara besaran terukur u dan v salng tergantung (berhubungan). Apabla antara besaran terukur salng tdak tergantung (tdak berhubungan) maka tdak ada sumbungnn dar nla kovarans, sehngga persamaan ramabatan ralatna sebagamana drunjukkan pada persamaan (3.50) d bawah n: u v u... (3.50) v 3.3. Nla Rata-rata dan Ralat Berbobot Msalkan kta mempuna n buah nla ukur ( ; =,,...n) ang berasal dar dstrbus-dstrbus nduk Gaussan dengan rata-rata sama dan smpanga baku, maka kebolehjadan mendapatkan nla ukur adalah: P( ) e (3.5) Oleh karena nla tdak dketahu, maka nla rata-rata populas nduk ddekat oleh nla rata-rata ekspermental. Kebolehjadan medapatkan nla adalah: P( ) e ' (3.5)

7 Mater Kulah Ekspermen Fska Oleh : Drs. Ishaft, M.S. Program Stud Penddkan Fska Unverstas Ahmad Dahlan, 07 Kebolehjadan untuk mendapatkan semua n buah pengukuran adalah P( ) P( ) n P( ) e n ' (3.53) (3.54) Nla rata-rata dar suatu pengukuran adalah nla ang mempuna kebolehjadan terbesar. Pada fungs dstrbus Gaussan, kebolehjad terbesar terjad jka faktor dalam eksponensal mnmum, ang secara matemats dpenuh apabla: d d ' ' ' 0 (3.55) 0 (3.56) 0 (3.57) Akhrna dperoleh persamaan untuk nla rata-rata berbobot sebaga berkut: ' (3.58) Ketdakpastanna dhtung melalu persamaan perambatan ralat, atu: ' ' (3.59) Dengan mensubsttuskan persamaan (3.60) d bawah n: ' (3.60) ke persmaan (3.59) maka dperoleh perumusan untuk nla ralat sebaga berkut (ang hasl akhrna dtunjukkan pada persamaan (3.63):

8 Mater Kulah Ekspermen Fska Oleh : Drs. Ishaft, M.S. Program Stud Penddkan Fska Unverstas Ahmad Dahlan, 07 ' (3.6) ' ' (3.6) (3.63) Soal:. Tentukan hubungan antara ralat dengan ralat u dan atau v dar masng-masng persamaan d bawah n: a. au bv d. au b b. auv e. ae bu au c. v f. a bu ln( ). Dengan menggunakan rumus taksran perambatan ralat, tentukan hubungan antara ralat dengan ketdakpastan u dan v dar masng-masng persamaan d bawah n: a. u v ( ) d. uv b. u v ( ) e. u v c. u