ALJABAR LINIER LANJUT

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "ALJABAR LINIER LANJUT"

Leony Sugiarto
9 tahun lalu
Tontonan:

1 ALABAR LINIER LANUT Ruang Bars dan Ruang Kolom suatu Matrks Msalkan A adalah matrks mnatas lapangan F. Bars pada matrks A merentang subruang F n dsebut ruang bars A, dnotaskan dengan rs(a) dan kolom pada matrks A merentang subruang F m dsebut ruang kolom A, dnotaskan dengan cs(a). Dmens ruang tersebut berturut-turut dsebut row rank, dnotaskan dengan rrk(a) dan column rank, dnotaskan dengan crk(a). Fakta bahwa row rank dan column rank pada matrks selalu sama merupakan sesuatu yang menark dan berguna, terlepas dar kenyataan ka m n, ruang bars dan ruang kolom tdak terletak pada ruang vektor yang sama! Pembuktan fakta tersebut berdasarkan observas tentang matrks berkut: Lemma 1.15 Msalkan A adalah matrks m n. Operas kolom elementer tdak mempengaruh row rank matrks A. Begtu uga dengan operas bars elementer tdak mempengaruh column rank matrks A. Bukt: Akan dbuktkan operas kolom elementer tdak mempengaruh row rank matrks A. Ruang bars matrks A adalah rs, A (1) ( A) e1a, e2a, e m dengan e adalah vektor bass standar d m F. Operas kolom elementer terhadap matrks A ekuvalen dengan mengalkan matrks A dengan matrks elementer E d sebelah kanan. Matrks elementer n ddapatkan dar matrks denttas I n yang dlakukan operas kolom elementer yang sama dengan operas pada matrks A. Msal matrks B adalah matrks hasl operas kolom elementer dar matrks A, maka B AE. Ruang bars untuk matrks AE adalah rs AE) e E,, e AE (2) ( 1AE, e2a m Pandang persamaan (1) dan (2), msal x rs( A), maka x aeaa e A (3) 1 1 m m dengan a F. ka kta kalkan persamaan (3) dengan E d sebelah kanan ddapat xe a eaea e AE (4) 1 1 m m Alabar Lner Lanut 1

2 sehngga xe rs( AE). Selanutnya msal k adalah row rank matrks A, maka terdapat k vektor yang merupakan bass untuk ruang bars A, sebut saa v1, v2,, vk. Berdasarkan (4), vektor v1e, v2e,, vk E ada d ruang bars AE. Akan dtunukkan vektor-vektor tersebut bebas lner, yatu solus satu-satunya untuk persamaan dengan x x (5) 1v1 E x2v2e xkvke 0 F adalah solus trval x1 x2 x k 0. Berdasarkan sfat dstrbutf perkalan matrks, persamaan (5) menad ( x v x v x v ) E 0 (6) k k Karena E dapat dbalk, maka terdapat 1 E sehngga EE I 1, mengmplkaskan x 1v1 x2v2 xv k k 0 (7) Dketahu v1, v2,, vk bebas lner, sehngga ddapatkan x1 x2 x k 0. Vektor-vektor v1e, v2e,, vk E bebas lner d rs(ae), sehngga rrk( AE) k. Dar hasl n dapat dsmpulkan rrk( AE) rrk( A) (8) Selanutnya dlakukan operas kolom elementer yang berkebalkan dengan operas pada matrks A yakn E -1 1, akan ddapatkan AEE AI A. Pembuktan dlakukan sepert pembuktan d atas dengan menukar poss A dengan AE, akan dperoleh Dar (8) dan (9) dapat dsmpulkan rrk( A) rrk( AE). rrk( A) rrk( AE) (9) ad berdasarkan hasl d atas operas kolom elementer tdak mempengaruh row rank matrks A. Untuk pembuktan operas bars elementer tdak mempengaruh column rank matrks A dapat dlakukan dengan cara yang sama hanya saa dlakukan terhadap A T. Operas kolom elementer tdak mempengaruh row rank matrks A, begtu pula operas bars elementer tdak mempengaruh column rank matrks A. Alabar Lner Lanut 2

3 Teorema 1.16 ka A mn, maka rrk(a) = crk(a). Blangan n dsebut rank dar matrks A dan dnotaskan dengan rk(a). Bukt: Berdasarkan Lemma 1.15, matrks A dapat dreduks menad eselon kolom tereduks tanpa mempengaruh row rank. Reduks n uga tdak mempengaruh column rank. Selanutnya mereduks matrks A menad eselon bars tereduks tanpa mempengaruh row rank dan column rank. Hasl kedua reduks sebut saa sebaga matrks M. Matrks M mempunya row rank dan column rank yang sama dengan matrks A. Akan tetap matrks M adalah matrks dengan 1 dkut 0 pada dagonal utama (M 1,1, M 2,2,...) dan 0 d tempat lan. Matrks M dapat dtuls sebaga M I atau M r (10) Oleh karena tu rrk( A) rrk( M) crk( M) crk( A). Terbukt rrk(a) = rrk(ae). Alabar Lner Lanut 3

4 Kompleksfkas Ruang Vektor Rl ka W adalah ruang vektor kompleks (yatu ruang vektor atas lapangan kompleks), maka kta dapat berpkr W sebaga ruang vektor rl dengan cara membatas semua skalar berasal dar lapangan rl. Ruang vektor rl n dnotaskan dengan W dan dsebut vers rl dar W. Sebalknya kta uga dapat menghubungkan ruang vektor rl V dengan ruang vektor kompleks V. Proses kompleksfkas n akan mempunya peran yang berguna pada saat membahas tentang struktur operator lner pada ruang vektor rl. (dalam pembahasan selanutnya V menotaskan ruang vektor rl). Defns ka V adalah ruang vektor rl, maka hmpunan pasangan terurut V V V, dengan operas penumlahan komponen yang bersesuaan ( u, v) ( x y) ( u x, v y) dan perkalan skalar atas yang ddefnskan oleh ( a b)( u, v) ( au bv, av bu) untuk ab, adalah ruang vektor kompleks, dsebut kompleksfkas dar V. Berkut dperkenalkan notas untuk vektor d V yang mrp dengan notas untuk blangan kompleks. Kta notaskan ( uv, ) V dengan u v, sehngga V { u v uv, V} Penumlahan pada V sekarang sepert penumlahan blangan kompleks basa, ( u v) ( x y) ( u x) ( v y) dan perkalan skalar sepert perkalan blangan kompleks basa, ( a b)( u v) ( au bv) ( av bu) Sebaga contoh, untuk ab, ddapat a( u v) au av b( u v) bv bu ( a b) u au bu ( a b) v bv av Bagan rl untuk z u v adalah u V dan bagan maner dar z adalah v V. Fakta bahwa z u v V benar-benar pasangan terurut adalah z bernla 0 ka dan hanya ka bagan rl dan manernya uga 0. Berkutnya ddefnskan pemetaan kompleksfkas cpx :V V oleh Alabar Lner Lanut 4

5 cpx( v) v 0 Selanutnya bentuk u 0 dsebut sebaga kompleksfkas atau vers kompleks dar v V. Sebaga catatan pemetaan n merupakan homomorfsma grup, yatu dan pemetaan tersebut bersfat nektf cpx(0) 0 0 dan cpx( u v) cpx( u) cpx( v) cpx( u) cpx( v) u v Selan tu pemetaan tersebut mempertahankan perkalan oleh skalar rl untuk a. cpx( au) au 0 a( u 0 ) acpx( u) Pemetaan kompleksfkas tdak surektf, karena hanya memberkan vektor rl saa. Pemetaan kompleksfkas adalah transformas lner nektf dar ruang vektor rl ke vers rl ( V ) dar kompleksfkas V. Dengan cara n V mengandung embedded copy dar V. Dmens V Dmens ruang vektor V dan V sama. Hal n tdak terlalu mengeutkan karena walaupun V terlhat lebh besar dar V akan tetap lapangan skalarnya uga lebh besar. Teorema 1.17 ka { v I} merupakan bass untuk V atas, maka kompleksfkas yatu cpx( ) { v 0 v } adalah bass ruang vektor V atas. Sehngga, dm( V ) dm( V) Bukt: Akan dtunukkan cpx( ) merentang V dan bebas lner. Untuk melhat cpx( ) merentang V atas, msal ambl sembarang vektor x y V, ddapat xy, V dan terdapat blangan rl a dan b (beberapa mungkn 0) sehngga x y V dapat kta tuls menad Alabar Lner Lanut 5

6 x y a v bv ( a v ( a b v ) b )( v 0 ) ad kta dapat menulskan setap vektor dalam V sebaga kombnas lner cpx( ). Sehngga cpx( ) terbukt merentang V. Untuk menunukkan cpx( ) bebas lner, ka 1 ( a maka berdasarkan perhtungan sebelumnya, ddapat b )( v 0 ) 0 0 sehngga a v b v a v 0 dan b v Karena bebas lner, mengakbatkan a 0 dan b 0 untuk semua. ad cpx( ) uga bebas lner. Karena cpx( ) merentang V dan bebas lner maka cpx( ) merupakan bass untuk ruang vektor V. Dapat kta lhat banyaknya anggota cpx( ) dan sama sehngga dapat dtuls dm( V ) dm( V) ka vv dan { v I} adalah bass untuk V, maka dapat kta tuls n v av 1 untuk a. Karena koefsennya rl, maka ddapat Alabar Lner Lanut 6

7 n v 0 a( v 0) 1 sehngga matrks koordnat v terhadap bass dan v 0 terhadap bass cpx( ) adalah sama v 0 v cpx( ) Alabar Lner Lanut 7

dokumen-dokumen yang mirip

Bab 1 Ruang Vektor. R. Leni Murzaini/0906577381

Bab 1 Ruang Vektor. R. Leni Murzaini/0906577381 Bab 1 Ruang Vektor Defns Msalkan F adalah feld, yang elemen-elemennya dnyatakansebaga skalar. Ruang vektor atas F adalah hmpunan tak kosong V, yang elemen-elemennya merupakan vektor, bersama dengan dua