TRANSITIF KLOSUR DARI GABUNGAN DUA RELASI EKUIVALENSI PADA SUATU HIMPUNAN DENGAN STRUKTUR DATA DINAMIS

Transkripsi

1 TRANSITIF KLOSUR DARI PADA SUATU HIMPUNAN Sukmawat Nur Endah Program Stud Ilmu Komputer Jurusan Matematka FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedarto, S.H, Semarang 5275 Abstract. A relaton R on set A s an equvalence relaton on A f and only f R s reflexve, symmetrc and transtve. If two equvalence relatons on set A are combned, the combnaton of them s not surely an equvalence relaton, because t s not surely transtve relaton. In ths paper s found the smallest transtve relaton (transtve closure) of the combnaton, to be an equvalence relaton. Then the steps to determne transtve closure are programmed n Pascal programmng language wth dynamc data structure that s multlst. Keywords: transtve closure, equvalence relaton, dynamc data structure. PENDAHULUAN Salah satu konsep dasar bdang matematka adalah relas. Relas pada hmpunan A serng memenuh sfat-sfat refleksf, smetrs, dan transtf. Namun ada juga relas yang tdak memenuh salah satu dar ketga sfat d atas. Hal n dapat dtambahkan pasangan relas pada R sampa mendapat relas dengan sfat yang dngnkan. Untuk menambahkan sesedkt pasangan relas baru yang mungkn, maka harus dcar relas terkecl R pada hmpunan A yang mengandung R dan memlk sfat yang dngnkan. Relas R sepert d atas dsebut klosur (closure) dar R [4]. Dengan demkan suatu relas dapat dcar refleksf klosur (reflexve closure), smetrs klosur (symmetrc closure), dan transtf klosur (transtve closure). Salah satu aplkas transtf klosur yang menark adalah pada relas ekuvalens (equvalence relaton). Msalkan R dan S adalah relas ekuvalens pada hmpunan A. Jka R dan S dgabungkan, maka R S belum tentu relas ekuvalens. Hal n dsebabkan R S belum tentu transtf. Untuk membentuk relas ekuvalens terkecl yang mengandung R dan S maka perlu dcar transtf klosur dar R S tersebut. Permasalahan yang dambl dalam penulsan n adalah menentukan relas ekuvalens terkecl yang mengandung dua relas ekuvalens pada suatu hmpunan. Dengan kata lan, permasalahannya adalah menentukan transtf klosur dar gabungan dua relas ekuvalens. Kemudan dmplementaskan ke dalam program komputer dengan bahasa pemrograman Turbo Pascal dan menggunakan struktur data dnams, yatu senara beranta. Untuk membatas ruang lngkup permasalahan, maka dalam penulsan n dberkan batasan sebaga berkut:. Dua relas ekuvalens sebaga nput untuk mencar relas ekuvalens terkecl yang mengandung keduanya merupakan relas pada hmpunan yang sama. 2. Penentuan transtf klosur menggunakan algortma Warshall. 3. Program yang dbuat menggunakan struktur data dnams. Tujuan penulsan n adalah. Untuk mencar relas ekuvalens terkecl yang memuat dua relas ekuvalens pada suatu hmpunan. 2. Untuk memaham program dengan struktur data dnams. 78

2 Sukmawat Nur Endah (Transtf Klosur dar Gabungan Dua Relas Ekuvalens pada ) 2. PEMBAHASAN A. Transtf Klosur Defns 2.. [2] Msalkan R relas pada hmpunan A. Transtf klosur dar R adalah relas R sedemkan hngga: (). R adalah transtf (). R R (). Untuk suatu relas transtf R, jka R R maka R R. Transtf klosur dar relas R dnotaskan dengan t(r). Jka R relas pada hmpunan A, maka transtf klosurnya dapat dbentuk dengan menambahkan pada relas R semua pasangan terurut yang dperlukan untuk membentuk relas transtf yang baru. Tetap bagan () dar defns menyatakan bahwa tak ada pasangan yang dtambahkan kecual kalau dperlukan. Jad R adalah relas transtf terkecl dan RR. Jka R transtf, maka relas transtf terkecl yang mengandung R adalah R tu sendr. Teorema 2.. [5] Msalkan R relas pada hmpunan A. R transtf jka dan hanya jka t(r) = R. Bukt. () Jka R transtf, maka jelas R adalah relas transtf terkecl yang mengandung R. Sehngga R = t(r). () Jka t(r) = R, maka berdasarkan sfat () dar defns, R adalah transtf. Teorema 2.2. [2] Msalkan R relas pada hmpunan A maka t(r) = R. Bukt. Bukt n dbag dalam dua bagan, yatu : (). R t(r) Akan dtunjukkan terlebh dulu bahwa R n t(r) untuk setap n. (). (Bass). Untuk n=, berdasarkan defns bagan () jelas bahwa R = R t(r). (2). (Induks). Msalkan R k t(r) benar untuk setap k, akan dtunjukkan bahwa R k+ t(r). Ambl sebarang (a,b)r k+. (a,b) R k R (sebab R k+ = R k R). c A (a,c) R k (c,b) R. (a,c) t(r) (c,b) t(r) (dar langkah nduks R k t(r) dan langkah bass) (a,b) t(r) (karena t(r) transtf). Karena sebarang [(a,b) R k+ (a,b) t(r)], maka R k+ t(r). Sehngga berdasarkan prnsp nduks matematk R n t(r) untuk setap n. Sesudah terbukt R n t(r) untuk setap n, dapat dsmpulkan bahwa R t(r). (). t(r) R Akan dtunjukkan terlebh dulu R transtf. Msalkan (a,b) dan (b,c) sebarang elemen dar R. Untuk suatu nteger s dan t, (a,b) R s dan (b,c) R t, sehngga (a,c) R s+t. Jad (a,c) R dan oleh karena tu R adalah transtf. Karena setap relas transtf yang mengandung R bers t(r), maka t(r) R. Dar () dan () terbukt t(r) = R. Defns 2.2. [2] Msalkan R relas pada hmpunan A dan n blangan bulat postf, maka relas R n pada A adalah relas yang menunjukkan path dengan panjang n dalam R. Dengan menulskan ar n b berart terdapat path dengan panjang n dar a ke b dalam R. Defns 2.3. [2] Msalkan R relas pada hmpunan A. Relas R* ={(a,b) A x A terdapat suatu path dalam R dar a ke b} dsebut relas keterhubungan (connectvty 79

3 Jurnal Matematka Vol. 8, No.3, Desember 25: relaton) pada A. Panjang dar path n secara umum tergantung pada a dan b. Dengan menulskan ar*b berart terdapat path dalam R dengan suatu panjang dar a ke b. Teorema 2.3. [2] Jka R relas pada hmpunan A maka R* = R. Bukt. Dar defns 2, untuk setap n >, R n = {(a,b) A x Aterdapat path dalam R dengan panjang n dar a ke b}. Sehngga berdasarkan defns 3, R* = R. Dar teorema 2 dan teorema 3, ddapatkan transtf klosur t(r) = R*. Teorema 2.4. [5] Jka R relas pada hmpunan A yang mempunya n elemen, maka n t(r) R* R. Bukt. Teorema n cukup dtunjukkan bahwa n R k R untuk setap k >. Msalkan (x,y) R k, maka terdapat path terhubung dengan panjang k dar x ke y dalam dgraphnya dan dengan menghapus cycle dar path n, dapat dbentuk sebuah path terhubung sederhana dar x ke y. Karena path sederhana terpanjang yang mungkn dalam dgraph dengan n vertek mempunya panjang n, maka (x,y) R untuk suatu < n. Oleh karena tu R k R untuk k n >. Jad terbukt t(r) = R. n Ada beberapa metode/cara untuk menentukan transtf klosur yatu: a. Metode graphcal b. Metode matrks c. Algortma Warshall Dalam penulsan n, metode yang dgunakan dalam menentukan transtf klosur adalah algortma Warshall. Msalkan R adalah relas pada hmpunan A = { a, a 2,..., a n }. Jka a, a 2,..., a n adalah path pada R maka semua vertek selan a dan a n dsebut vertekvertek nteror (nteror vertces) dar path tersebut. Defns 4 [4] Msalkan R adalah relas pada hmpunan A = { a, a 2,..., a n }. Untuk k =,2,,n, matrks Boolean W k mempunya nla pada elemen ke (,j) jka dan hanya jka terdapat path dar a ke a j dalam R yang vertek nterornya (jka ada) berasal dar hmpunan A k = {a,a 2,..., a k }. Dar defns 4, matrks W n mempunya nla pada elemen ke (,j) jka dan hanya jka terdapat path dalam R yang menghubungkan a ke a j. Dengan kata lan W n = M R*. Jka ddefnskan W sebaga M R, maka dpunya barsan W, W,, W n dengan suku pertama adalah M R dan suku terakhr = M R* (matrks transtf klosur dar R). Masng-masng matrks W k dtentukan dar matrks W k-. Langkah-langkah dalam mencapa matks R* dar matrks R nlah yang dnamakan algortma Warshall. Berkut akan dtunjukkan bagamana menentukan matrks W k dar matrks W k-. Msalkan W k = [t j ] dan W k- = [s j ]. Jka t j = maka harus ada path dar a ke a j yang vertek nterornya berada dalam hmpunan A k ={a, a 2,..., a k }. Jka vertek a k bukan vertek nteror dar path n, maka semua vertek nteror harus berasal dar hmpunan A k = { a, a 2,..., a k- }, sehngga s j =. Jka a k vertek nteror dar path, maka stuasnya sepert dalam gambar. a k subpath subpath 2 a Gambar. a k termasuk vertek nteror dar path a ke a j Dasumskan bahwa semua vertek nteror adalah berbeda. Jad a k hanya terlhat sekal d dalam path n, sehngga semua vertek nteror dar subpath dan subpath 2 harus berasal dar hmpunan { a, a 2,..., a k- }. In berart bahwa s k = dan s kj =. a j 8

4 Sukmawat Nur Endah (Transtf Klosur dar Gabungan Dua Relas Ekuvalens pada ) Sehngga dperoleh t j = jka dan hanya jka: (). sj atau... (2.) ().sk dan skj Persamaan (2.) merupakan dasar dar algortma Warshall. Jka matrks W k- bernla pada elemen ke (,j) maka dengan persamaan (2.) () W k juga bernla pada elemen ke (,j). Dengan menggunakan persamaan (2.) (), nla yang baru dapat dtambahkan pada elemen ke (,j) pada matrk W k jka dan hanya jka kolom ke k dar W k- bernla d poss dan bars k dar W k- bernla pada poss j. Jad prosedur untuk menentukan W k dar W k- sesua dengan referens [4] adalah sebaga berkut. Langkah : Transfer ke W k semua nla dalam W k-. Langkah 2 : Tanda lokas p, p 2,... dalam kolom k dar W k- yang nputnya dan lokas q,q 2,... dalam bars k dar W k- yang nputnya. Langkah 3 : Letakkan pada semua poss p, q j yang dtanda dar W k (jka elemen pada (p,q j ) bernla ) Contoh A = {, 2, 3, 4} dan relas pada hmpunan A adalah: R = {(a,b) A x Aa 2 +b 2 =5 b=a+}, sehngga R = {(,2), (2,3), (3,4), (2,)}. Transtf klosur dar R dengan algortma Warshall dapat dselesakan sebaga berkut. Matrks relas R adalah: M R W Karena hmpunan A mempunya 4 anggota, maka n = 4. Kemudan menentukan W k, untuk k =, 2, 3, dan 4 a. Menentukan W (k = ) W mempunya nla pada lokas ke 2 dar kolom dan lokas ke 2 pada bars. Jad W sepert W dtambah nla yang baru pada elemen ke (2,2). W b. Menentukan W 2 (k = 2) Perhatkan kolom 2 dan bars 2 dar W. Matrks W mempunya nla pada lokas dan 2 dar kolom 2 dan lokas, 2 dan 3 dar bars 2 sehngga untuk mendapatkan W 2, nla harus dletakkan pada elemen ke (,), (,2), (,3), (2,), (2,2) dan (2,3) dar matrks W (jka pada elemen tersebut belum bernla ). Jad: W 2 c. Menentukan W 3 (k = 3) Kolom ke 3 dar W 2 bernla pada lokas dan 2, dan bars ke 3 dar W 2 bernla pada lokas 4. Untuk mendapatkan W 3, pada elemen ke (,4) dan (2,4) dar W 2 harus bernla, Jad: W 3 d. Menentukan W 4 (k = 4) W 3 mempunya nla pada lokas, 2, 3 dar kolom 4 dan tdak ada nla pada bars ke 4, sehngga tdak ada nla yang baru yang dtambahkan jad M R * = W 4 = W 3. M R * merupakan matrks transtf klosur dar R. Jad transtf klosur dar R adalah: t(r) = {(,), (,2), (,3), (,4), (2,), (2,2), (2,3), (2,4), (3,4)}. 8

5 Jurnal Matematka Vol. 8, No.3, Desember 25: B. Relas Ekuvalens Defns 2.5. [] Relas R pada hmpunan dsebut refleksf jka dan hanya jka ara untuk setap a A. Dengan melhat matrks suatu relas dapat dtentukan apakah relas tersebut refleksf atau bukan. Dagonal utama dar matrks relas refleksf semuanya bernla. Defns 2.6. [] Relas pada hmpunan A dsebut smetrs jka dan hanya jka arb maka bra, untuk semua a, b A. Matrks relas smetrs M R = [m j ] mempunya sfat sebaga berkut : Jka m j = maka m j = atau jka m j = maka m j =. [4] Jad matrks tersebut smetrs terhadap dagonal utama atau M R = M R T. Defns 2.7. [] Relas R pada hmpunan A dsebut transtf jka dan hanya jka arb dan brc maka arc, untuk semua a, b, ca. Dlhat dar matrksnya, menentukan relas transtf tdaklah semudah pada relas refleksf dan smetrs. Matrks relas transtf M R = [m j ] mempunya cr cr sebaga berkut: Jka m j = dan m jk = maka m k = Defns 8 [] Relas R pada hmpunan A dsebut relas ekuvalens jka dan hanya jka R mempunya sfat refleksf, smetrs dan transtf. C. Transtf Klosur dar Gabungan Dua Relas Ekuvalens pada Suatu Hmpunan Salah satu aplkas transtf klosur adalah pada relas ekuvalens. Msal R dan S adalah relas ekuvalens pada hmpunan A, akan dcar suatu relas ekuvalens terkecl yang d dalamnya memuat R dan S. Untuk mencar relas tersebut berart sama dengan menentukan transtf klosur dar gabungan dua relas ekuvalens yang ada (R dan S). Defns 2.9. [2] Msalkan R relas dar A ke B. Invers dar relas R dnotaskan R - adalah relas dar B ke A yang ddefnskan sebaga berkut R - = {(y,x)xry}. Teorema 2.4. [4] Msalkan R, R 2 relas dar A ke B maka (R R 2 ) - = R - R - 2. Bukt. (x,y) (R R 2 ) - (y,x) R R 2 (y,x) R (y,x) R 2 (x,y) R - - (x,y) R 2 (x,y) R - - R 2 Teorema 2.5. [4] Msalkan R relas pada A. R smetrs jka dan hanya jka R = R -. Bukt. () Bukt n ada dua bagan, yatu : (). Ambl sebarang (x,y) R. Karena R smetrs maka (y,x) R. Dar defns nvers, maka (x,y) R -. Sehngga R R -. (). Ambl sebarang (x,y) R -. Dar defns nvers maka (y,x) R. Karena R smetrs maka (x,y) R. Sehngga R - R. Jad dar () dan (), terbukt R = R -. ()Ambl sebarang (x,y) R. Dar defns nvers maka (y,x) R -. Karena R = R - maka (y,x) R. Sehngga jka (x,y) R maka (y,x) R. Berdasarkan defns smetrs, maka R smetrs. Teorema 6 [4] Jka R dan S relas ekuvalens pada hmpunan A maka relas ekuvalens terkecl yang memuat R dan S adalah (R S)*. Bukt. Msalkan E adalah relas persamaan (equalty relaton) yang ddefnskan sebaga berkut : E = {(x,x)x A}. Suatu relas adalah refleksf jka hanya jka relas tersebut memuat E. E R, E S sebab keduanya refleksf. Jad E R S (RS)*, sehngga (R S)* juga refleksf. Karena R dan S smetrs, maka R= R - dan S = S -. Jad (R S) - = R - S - = R S, dan R S juga smetrs. Oleh karena tu, semua path dalam R S mempunya dua jalur yang arahnya berlawanan, sehngga (R S)* juga smetrs. Karena telah 82

6 Sukmawat Nur Endah (Transtf Klosur dar Gabungan Dua Relas Ekuvalens pada ) dketahu bahwa (R S)* transtf, maka (R S)* adalah relas ekuvalens yang memuat R S. Relas (R S)* adalah yang terkecl, sebab tdak ada hmpunan terkecl yang memuat R S yang dapat transtf, sesua dengan defns transtf klosur. (R S)* n merupakan transtf klosur sekalgus relas ekuvalens terkecl dar gabungan dua relas ekuvalens R dan S pada hmpunan A. Contoh 2 Msalkan A = {, 2, 3, 4, 5} dan relas pada hmpunan A adalah: R = {(a,b) A x Aab (a ganjl, ba+) (a genap, ba-)}, dan S = {(a,b) A x Aab a 2 +b 2 4}, sehngga: R = {(,), (,2), (2,), (2,2), (3,3), (3,4), (4,3), (4,4), (5,5)} S = {(,), (2,2), (3,3), (4,4), (4,5), (5,4), (5,5)} Jelas bahwa R dan S adalah relas ekuvalens. Akan dcar relas ekuvalens terkecl yang memuat R dan S. Matrks dar relas R dan S adalah sebaga berkut: M R = dan M S = M R S = M R M S = Untuk mencar M (R S)* dengan menggunakan algortma Warshall. Pertama W = M R S. a). Menentukan W (k = ) Karena W mempunya nla d lokas dan 2 dar kolom dan d lokas dan 2 pada bars, maka tdak ada nla yang baru yang dtambahkan pada W. Jad W = W. b). Menentukan W 2 (k = 2) Karena W mempunya nla d lokas dan 2 dar kolom 2 dan d lokas dan 2 dar bars 2, maka tdak ada nla yang baru yang dtambahkan pada W. Jad W 2 = W. c). Menentukan W 3 (k = 3) Karena W 2 bernla d lokas 3 dan 4 dar kolom 3 dan d lokas 3 dan 4 dar bars 3, maka tdak ada nla yang baru yang dtambahkan pada W 2. Jad W 3 = W 2. d). Menentukan W 4 (k = 4) Karena W 3 bernla d lokas 3, 4 dan 5 dar kolom 4 dan d lokas 3, 4 dan 5 dar bars 4, maka untuk membentuk W 4 harus dtambahkan nla baru pada W 3 d elemen ke (3,5) dan (5,3). Jad : W 4 e). Menentukan W 5 (k = 2) Karena W 4 mempunya nla pada lokas 3, 4 dan 5 dar kolom 5 dan lokas 3, 4 dan 5 dar bars 5, maka tdak ada nla baru yang dtambahkan pada W 5. Jad W 4 = W 5. Jad t(r S) = {(,), (,2), (2,), (2,2), (3,3), (3,4), (3,5), (4,3), (4,4), (4,5), (5,3), (5,4), (5,5)}. Hasl t(r S) n merupakan relas ekuvalens terkecl yang memuat R dan S. Penyelesaan dengan menggunakan program dapat dlhat pada contoh output d halaman selanjutnya. D. Implementas dalam Program Pascal dengan Struktur Data Dnams Dar pembahasan sebelumnya, langkah-langkah dalam menentukan transtf klosur dar gabungan dua relas ekuva- 83

7 Jurnal Matematka Vol. 8, No.3, Desember 25: lens pada suatu hmpunan agar mendapatkan relas ekuvalens terkecl dapat dgambarkan pada Gambar 2. Langkah-langkah tersebut kemudan dbuat ke dalam program dengan bahasa pemrograman Turbo Pascal dan menggunakan struktur data dnams. Dalam membuat program, senara yang dgunakan adalah senara banyak (multlst), sebab terkadang relas yang ada pada suatu hmpunan, hanya melbatkan beberapa elemen yang ada dalam hmpunan tersebut. Sehngga struktur smpul matrks relas dapat dlhat pada Gambar 3. Contoh 3 Matrks relas R pada contoh 2 = Penyajan matrks d atas dengan senara beranta banyak adalah sebaga berkut. R Relas Ekuvalens (Msal : Relas R) Membuat matrks relas R, M R Relas Ekuvalens (Msal : Relas S) Membuat matrks relas S, M S Menggabungkan matrks M R S = M R M S Menentukan transtf klosur dar R S dengan algortma Warshall Relas ekuvalens yang memuat R dan S Gambar 2. Langkah-langkah menentukan relas ekuvalens terkecl dar gabungan dua relas ekuvalens pada suatu hmpunan Bars Bawah Kolom Kanan Gambar 3. Struktur smpul untuk matrks relas Bars dan Kolom menunjukkkan nomor bars dan nomor kolom yang bernla. Tpe Bars dan Kolom adalah nteger. Bawah dan Kanan masng-masng adalah ponter yang bertpe sama sepert gambar 3. Ponter Bawah menunjuk ke nomor bars berkutnya, ponter Kanan menunjuk ke kolom berkutnya Gambar 4. Penympanan matrks relas dengan senara beranta banyak Deklaras smpul sepert d atas sepert dalam referens [3] adalah: type Mat = ^ Elemen; Elemen = record Bars, Kolom : nteger; Kanan, Bawah : Mat; end; Procedure yang dgunakan dalam program adalah: a) Procedure BUAT_SIMPUL: Dgunakan untuk membuat smpul baru. b) Procedure ADA_BARIS: Dgunakan untuk mencek apakah nomor bars sudah ada. c) Procedure ADA_KOLOM: Dgunakan untuk mencek apakah nomor kolom sudah ada. d) Procedure SISIP_ELEMEN: Dgunakan untuk menyspkan elemen matrks pada possnya yang tepat. 84

8 Sukmawat Nur Endah (Transtf Klosur dar Gabungan Dua Relas Ekuvalens pada ) e) Procedure TAMBAH_DATA: Dgunakan untuk menambah data pada relas yang telah ada. f) Procedure CETAK_MATRIKS: Dgunakan untuk mencetak bentuk matrks yang bernla dan. g) Procedure CETAK_RELASI: Dgunakan untuk mencetak relas dar suatu bentuk matrks. h) Procedure GABUNGAN_MATRIKS: Dgunakan untuk menggabungkan dua buah matrks relas. ) Procedure TRANSITIF_KLOSUR: Dgunakan untuk menentukan transtf klosur dar sebuah matrks. j) Procedure CEK_REFLEKSIF: Dgunakan untuk mengecek sfat refleksf dar suatu relas. k) Procedure CEK_SIMETRIS: Dgunakan untuk mengecek sfat smetrs dar suatu relas. l) Procedure CEK_TRANSITIF: Dgunakan untuk mengecek sfat transtf dar suatu relas. Berkut contoh output program: Tamplan menu plhan >>> MENU PILIHAN <<< A. INPUT DATA (DUA RELASI EKUIVALENSI) B. MENAMBAH DATA C. OUTPUT MATRIKS RELASI EKUIVALENSI D. OUTPUT MATRIKS GABUNGAN DUA RELASI EKUIVALENSI E. TRANSITIF KLOSUR DARI GABUNGAN DUA RELASI EKUIVALENSI F. KESIMPULAN G. SELESAI PILIH SALAH SATU (A..G atau a..g): Tamplan menu plhan A (Input Data) PERHATIAN. Pemasukan data relas ekuvalens berdasarkan matrks relasnya yatu hanya pada elemen yang bernla. 2. Jka Anda ngn mengakhr pemasukan data, ketkkan blangan sesudah kata Nomor bars Tamplan contoh pemasukan data relas ekuvalens (msal untuk data d contoh 2 halaman sebelumnya) MASUKKAN POSISI ELEMEN YANG BERNILAI PADA MATRIKS RELASI EKUIVALENSI PERTAMA: Nomor bars : Nomor kolom : Nomor bars : Nomor kolom : 2 Nomor bars : 2 Nomor kolom : Nomor bars : 2 Nomor kolom : 2 Nomor bars : 3 Nomor kolom : 3 Nomor bars : 3 Nomor kolom : 4 Nomor bars : 4 Nomor kolom : 3 Nomor bars : 4 Nomor kolom : 4 Nomor bars : 5 Nomor kolom : 5 Nomor bars : MASUKKAN POSISI ELEMEN YANG BERNILAI PADA MATRIKS RELASI EKUIVALENSI KEDUA: Nomor bars : Nomor kolom : Nomor bars : 2 Nomor kolom : 2 Nomor bars : 3 Nomor kolom : 3 Nomor bars : 4 Nomor kolom : 4 Nomor bars : 4 Nomor kolom : 5 Nomor bars : 5 Nomor kolom : 4 Nomor bars : 5 Nomor kolom : 5 Nomor bars : >> CEK TERPENUHINYA SYARAT RELASI EKUIVALENSI << Ingat : Relas dkatakan relas ekuvalens jka dan hanya jka relas tersebut mempunya sfat refleksf, smetrs, dan transtf Relas PERTAMA merupakan relas refleksf Relas PERTAMA merupakan relas smetrs Relas PERTAMA merupakan relas transtf Relas PERTAMA merupakan relas ekuvalens 85

9 Jurnal Matematka Vol. 8, No.3, Desember 25: Relas KEDUA merupakan relas refleksf Relas KEDUA merupakan relas smetrs Relas KEDUA merupakan relas transtf Relas KEDUA merupakan relas ekuvalens Tamplan menu plhan C (Matrks Relas Ekuvalens) >> MATRIKS RELASI EKUIVALENSI << ================================== MATRIKS RELASI EKUIVALENSI PERTAMA: MATRIKS RELASI EKUIVALENSI KEDUA: Tamplan menu plhan D (Matrks Gabungan Dua Relas Ekuvalens) >> GABUNGAN DUA BUAH MATRIKS RELASI EKUIVALENSI << ================================== MATRIKS HASIL GABUNGAN: Tamplan menu plhan E (Transtf Klosur dar Gabungan Dua Relas Ekuvalens) >>TRANSITIF KLOSUR DARI GABUNGAN DUA BUAH MATRIKS RELASI EKUIVALENSI<< =================================== Matrks W(): Matrks W(2): TEKAN ENTER UNTUK MELANJUTKAN!! Matrks W(3): Matrks W(4): TEKAN ENTER UNTUK MELANJUTKAN!! Matrks W(5): MATRIKS HASIL TRANSITIF KLOSUR : 86

10 Sukmawat Nur Endah (Transtf Klosur dar Gabungan Dua Relas Ekuvalens pada ) Jad transtf klosur dar gabungan dua relas ekuvalens(r dan S) adalah t(r U S) = {(,),(,2),(2,), (2,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,3), (4,4),(4,5), (5,3),(5,4),(5,5)} Tamplan menu plhan F (Kesmpulan) >> KESIMPULAN << ============ Dua relas ekuvalens R dan S dar matrks relas yang dketahu adalah : R = {(,),(,2),(2,),(2,2), (3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(5,5)} S = {(,),(2,2),(3,3),(4,4), (4,5),(5,4),(5,5)} Relas ekuvalens terkecl yang mengandung R dan S adalah {(,),(,2),(2,),(2,2),(3,3), (3,4),(3,5),(4,3),(4,4),(4,5), (5,3),(5,4),(5,5)} 3. PENUTUP Dar pembahasan yang telah dkemukakan sebelumnya, maka dapat dambl kesmpulan sebaga berkut:. Transtf klosur dar suatu relas merupakan relas transtf terkecl yang mengandung R, sedangkan transtf klosur dar gabungan dua relas ekuvalens merupakan relas ekuvalens terkecl yang mengandung dua relas yang dketahu. 2. Algortma Warshall dapat dgunakan untuk menentukan relas ekuvalens terkecl dar gabungan dua relas ekuvalens pada suatu hmpunan dengan cara menentukan transtf klosur dar gabungan kedua relas ekuvalens tersebut. 3. Penympanan matrks relas dengan senara beranta banyak dapat menghemat memor sebab elemen nol pada matrks tersebut tdak kut tersmpan. 4. DAFTAR PUSTAKA [] Barner, W., Fedman, N. (99), Introducton to Advanced Mathematcs, Prentce-hall Internatonal, New Jersey: [2] Fletcher, Hoyle, Patty (99), Foundatons of Dscrete Mathematcs. PWS Kent Publshng Company, Boston: [3] Insap Santosa, P. (992) Struktur Data Menggunakan Turbo Pascal 6., And Offset, Yogyakarta: [4] Kolman, B. (987), Dscrete Mathematcal Structures for Computer Scence, Prentce-hall Inc, New Jersey: [5] Ross, K A., Wrght, C.R.B. (992), Dscrete Mathematcs, Thrd Edton, Prentce-hall Internatonal, New Jersey: