U JIAN A KHIR S EMESTER M ATEMATIKA T EKNIK

Transkripsi

1 Jurusan Teknk Spl dan Lngkungan FT UGM U JIAN A KHIR S EMESTER M ATEMATIKA T EKNIK SABTU, JULI OPEN BOOK WAKTU MENIT PETUNJUK ) Saudara bole menggunakan komputer untuk mengerjakan soal- soal ujan n. Tabel tungan Saudara saln ke lembar jawab. ) Harap Saudara memperatkan satuan pada setap varabel. ) Setap butr soal memlk bobot nla yang sama. Istarto ttp://starto.staff.ugm.ac.d starto@ugm.ac.d SOAL Elevas Gambar d atas menunjukkan profl tana melntas sebua bukt. Bukt tersebut akan dratakan dengan cara dpotong (dgal) ngga elevas m untuk keperluan pembangunan sebua pabrk. Dengan asums profl tersebut dentk pada ara tegak lurus bdang gambar, tungla dengan cara numers volume potongan (per meter lebar tegak lurus bdang gambar) yang arus dlakukan. PENYELESAIAN Volume potongan per meter lebar tegak lurus bdang gambar adala sama dengan luas kawasan d bawa kurva profl muka tana dan d atas bdang pada elevas m, serta dbatas ole jarak m d ss kr dan 4 m d ss kanan. Secara matemats, luas tersebut dnyatakan dalam bentuk ntegral sebaga berkut: UAS Matematka Teknk - lm. dar 8

2 Jurusan Teknk Spl dan Lngkungan FT UGM A = 4 Dalam persamaan tersebut A adala luas (m ), y adala elevas muka tana, dan x adala jarak. Secara numers, ntegral d atas dapat dtung dengan memaka sala satu metoda yang tela dbaas pada saat kula. D sn, dpl metoda trapesum. Pada gambar tampak ada bua trapesum dengan lebar seragam, = x = 4 m. 4 A =... = A A 8 4 y y 4... A 4 6 y y 4 y9 y... 4 Htungan dlakukan dengan cara tabulas sepert dsajkan pada tabel d bawa n. Istarto ttp://starto.staff.ugm.ac.d starto@ugm.ac.d TABEL. HITUNGAN VOLUME GALIAN DENGAN INTEGRASI NUMERIS METODA TRAPESIUM Ttk ukur x Elevas y Luas (m ) A Jad luas atau volume pekerjaan galan tana yang arus dlakukan untuk perataan tana ngga elevas m adala 4 48 m /m'. Pada metoda trapesum, bentuk profl bukt ddekat dengan gars lurus yang mengubungkan ttk- ttk data ukur elevas tana. Bentuk profl tu sendr tdak dketau karena data elevas tana d antara ttk- ttk ukur tdak dketau. Metoda trapesum dapat memlk kesalaan tung yang besar, kususnya apabla bentuk profl bukt pada kenyataannya menympang dar gars- gars lurus antar ttk- ttk data ukur. Untuk menngkatkan keteltan asl tungan, dapat dpaka metoda Smpson /. Pada metoda n, antara ttk data ukur dubungkan dengan gars lengkung yang dperole dar fungs polnomal orde. Karena ada ttk data, maka ada pasang tga ttk data atau pas yang masng- masng memlk lebar 8 m. Smpson / dterapkan pada kelma pas tersebut: UAS Matematka Teknk - lm. dar 8

3 Jurusan Teknk Spl dan Lngkungan FT UGM 8 A = = A A 6 8 A A y 4y y A y 4y y y8 4y9 y Htungan dlakukan dengan cara tabulas sepert dsajkan pada tabel d bawa n. TABEL. HITUNGAN VOLUME GALIAN DENGAN INTEGRASI NUMERIS METODA SIMPSON / Istarto ttp://starto.staff.ugm.ac.d starto@ugm.ac.d Ttk ukur x Elevas y Luas (m ) A Jad luas atau volume pekerjaan galan tana yang arus dlakukan untuk perataan tana ngga elevas m adala 4. m /m'. SOAL 8 7 Elevas UAS Matematka Teknk - lm. dar 8

4 Jurusan Teknk Spl dan Lngkungan FT UGM Menjelang pelaksanaan pemotongan bukt pada Soal, dlakukan pengukuran ulang dengan penambaan ttk ukur. Hasl pengukuran ulang dsajkan pada gambar d bawa n. Htung kembal volume pekerjaan pemotongan bukt tersebut dengan metoda numers. Gunakan metoda ntegras numers Smpson / atau /8. Pada pas yang tdak memungknkan penggunaan metoda Smpson, pakala metoda trapesum. Tunjukkan pada tabel tungan Saudara, metoda yang dpaka pada setap pas. PENYELESAIAN Metoda Smpson / membutukan pasang ttk data berjarak seragam dan metoda Smpson /8 membutukan 4 pasang ttk data berjarak seragam. Luas d bawa kurva atau nla ntegral menurut metoda Smpson /8 untuk suatu pas adala: Istarto ttp://starto.staff.ugm.ac.d starto@ugm.ac.d x A = x y y y y 8 ( x x ) Pada Soal, ada beberapa pas yang luasnya dapat dtung dengan metoda Smpson /8, sebagan yang lan dtung dengan metoda Smpson /, dan ada pula yang anya dapat dtung dengan metoda trapesum. Htungan dsajkan pada Tabel. Htungan ntegras numers dengan berbaga metoda menunjukkan bawa luas atau volume pekerjaan galan tana untuk perataan tana ngga elevas m adala m /m'. TABEL. HITUNGAN VOLUME GALIAN DENGAN INTEGRASI NUMERIS METODA SIMPSON /8, SIMPSON /, DAN TRAPESIUM Ttk ukur x Elevas y Lebar pas x Luas (m ) A Metoda Smpson / Smpson / Trapesum Smpson / Trapesum Smpson / Trapesum Smpson / Smpson / UAS Matematka Teknk - lm. 4 dar 8

5 Jurusan Teknk Spl dan Lngkungan FT UGM SOAL Sebua benda bergerak nak turun dengan kecepatan yang beruba- uba. Dar pengukuran selama detk dengan selang pengukuran. detk (frekuens samplng Hertz), dperole nformas bawa kecepatan gerak benda tersebut dapat dnyatakan dengan persamaan: dy v = = y cos(.64 t.) y sn(.64 t.), pada t = s y = m dt Dalam persamaan d atas v adala kecepatan gerak benda, y adala elevas, dan t adala waktu (s). Pada saat pengukuran dmula, t = s, poss benda berada pada elevas y = m. Htungla dengan cara numers poss benda tersebut setap selang waktu = t =. s pada rentang waktu t = s.d. s. Pakala sala satu metoda: Euler, Heun, atau Polgon. Apabla Saudara menambakan metoda Runge- Kutta untuk mengtung poss benda tersebut, tambaan (bonus) nla akan dberkan. Istarto ttp://starto.staff.ugm.ac.d starto@ugm.ac.d PENYELESAIAN Penyelesaan persamaan dferensal ordner (ordnary dfferental equatons, ODE) dengan syarat awal yang dketau sepert pada Soal n dlakukan dengan beda ngga yang dapat dnyatakan dalam bentuk: y = y φ Dalam persamaan tersebut y dan y berturut- turut adala poss atau elevas benda pada waktu t dan t, adala selang waktu atau t = t t, dan φ adala slope atau graden penggal kurva antara y dan y. Graden φ merupakan fungs t dan y, φ = dy/dt = f(t,y). Dalam al n, graden φ tdak lan adala kecepatan benda, v, saat bergerak dar y ke y. Tga metoda tungan, yatu Euler, Heun, dan Polgon berbeda dalam menetapkan graden φ: a) pada metoda Euler, φ dtetapkan sebaga graden d ttk t, b) pada metoda Heun, φ dtetapkan sebaga graden rata- rata antara graden d ttk t dan graden d ttk t, c) pada metoda Polgon, φ dtetapkan sebaga graden d ttk tenga antara t dan t. Metoda penyelesaan yang palng muda dan cepat untuk dselesakan adala metoda Euler: ( t y ) = y v y = y f,, =. s Htungan dsajkan dalam pada Tabel 4. Sampa d sn, Saudara tela selesa menjawab semua soal ujan. Namun demkan, apabla Saudara mas memlk waktu, Saudara dapat mencoba menyelesakan Soal n dengan memaka metoda- metoda yang lan. Pada tabel Tabel, Tabel 6, dan Tabel 7 dsajkan tungan penyelesaan ODE secara numers dengan memaka metoda Heun, Polgon, dan Runge- Kutta. Pada pemakaan metoda Heun, anya dlakukan satu kal koreks, jad y yang dperole dar langka pertama sebaga predktor dkoreks pada langka kedua yang mengaslkan korektor. Setela tu, tungan berlanjut pada langka waktu t berkutnya. Metoda n dkenal sebaga sngle- corrector Heun. UAS Matematka Teknk - lm. dar 8

6 Jurusan Teknk Spl dan Lngkungan FT UGM predktor ( t y ) = y v y = y f, φ rata rata korektor = y = y φ predktor ( t y ) f ( t, y ) f, rata rata Metoda Polgon mendefnskan graden graden φ (yatu kecepatan v) antara y dan y sebaga graden d ttk y ½, yatu ttk d tenga antara y dan y. Langka tungan adala sebaga berkut: y ( t, y ) = y = y f y = y f ( t y ), v Istarto ttp://starto.staff.ugm.ac.d starto@ugm.ac.d Metoda Runge- Kutta (RK) ada beberapa jens, antara lan second- order RK, trd- order RK, atau fourt- order RK. Pada Tabel 7 dsajkan penyelesaan ODE dengan metoda fourt- order RK. Persamaan- persamaan yang dpaka pada metoda n adala: y k k k k4 = y 6 k k k k 4 = f = f = f = f ( t, y ) = v ( t, y k ) ( t, y k ) ( t, y k ) Hasl tungan poss benda pada waktu t = s.d. detk dengan berbaga metoda dsajkan pada gambar d bawa n..6 Euler Heun Polgon 4t- order RK Elevas, y Waktu, t (s) UAS Matematka Teknk - lm. 6 dar 8

7 Jurusan Teknk Spl dan Lngkungan FT UGM TABEL 4. HITUNGAN POSISI BENDA DENGAN PENYELESAIAN ODE SECARA NUMERIS MEMAKAI METODA EULER Istarto ttp://starto.staff.ugm.ac.d t (s) f(t,y ) y TABEL. HITUNGAN POSISI BENDA DENGAN PENYELESAIAN ODE SECARA NUMERIS MEMAKAI METODA HEUN t (s) f(t,y ) y (predktor) f(t,y ) φ rata- rata y (korektor) UAS Matematka Teknk - lm. 7 dar 8

8 Jurusan Teknk Spl dan Lngkungan FT UGM TABEL 6. HITUNGAN POSISI BENDA DENGAN PENYELESAIAN ODE SECARA NUMERIS MEMAKAI METODA POLIGON Istarto ttp://starto.staff.ugm.ac.d t (s) f(t,y ) t ½ (s) y ½ f(t ½,y ½ ) y TABEL 7. HITUNGAN POSISI BENDA DENGAN PENYELESAIAN ODE SECARA NUMERIS MEMAKAI 4TH- ORDER RUNGE- KUTTA t (s) k k k k 4 φ y - oo- UAS Matematka Teknk - lm. 8 dar 8