Sifat-sifat Operasi Perkalian Modular pada Graf Fuzzy

Transkripsi

1 SEMINAR MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 07 Sfat-sfat Operas Perkalan Modular pada raf Fuzzy T - 3 Tryan, ahyo Baskoro, Nken Larasat 3, Ar Wardayan 4,, 3, 4 Unerstas Jenderal Soedrman transr@yahoo.com.au Abstrak Artkel n bertuuan menyeldk sfat-sfat operas perkalan modular pada graf fuzzy yang dperkenalkan oleh Dogra []. Sfat yang dseldk adalah perkalan modular pada graf fuzzy lengkap, graf fuzzy efektf dan graf fuzzy komplemen. Metode yang dgunakan pada peneltan n adalah metode peneltan teortk. Hasl peneltan menunukkan bahwa perkalan modular dar dua graf fuzzy lengkap bukan merupakan graf fuzzy lengkap, ka ke dua graf fuzzy efektf, maka perkalan modular dar dua graf fuzzy komplemennya sama dengan perkalan modular dar dua graf fuzzy efektf tersebut dan perkalan modular dar dua graf fuzzy bersfat somorfk. Kata kunc: graf fuzzy, perkalan modular, graf fuzzy lengkap, graf fuzzy efektf, graf fuzzy komplemen I. PENDAHULUAN raf merupakan suatu model matematka palng sederhana yang dapat merepresentaskan hubungan antar obek dengan ttk mewakl obek tertentu dan ss yang menghubungkan antara dua obek merepresentaskan hubungan antara dua obek tersebut. Ketka terdapat ketdakelasan atau ketdakpastan dalam mendskrpskan hubungan antara dua obek, maka sangat dbutuhkan suatu desan model graf fuzzy. raf fuzzy telah dprakarsa oleh Rosenfeld []. raf fuzzy merupakan perluasan dar graf klask yang dkembangkan berdasarkan konsep pada logka dan relas fuzzy dalam teor hmpunan fuzzy. Jka pada graf klask setap elemen-elemennya (ttk dan ss) mempunya nla keanggotaan satu atau nol, maka pada graf fuzzy, setap ttk dan ssnya memlk nla keanggotaan yang terletak pada nteral tutup [0,]. Nla keanggotaan setap elemen n menyatakan deraat keanggotaan elemen tersebut dalam graf fuzzy. Seak dperkenalkan graf fuzzy n, para penelt mula menggeneralsas dan mengembangkan beberapa kaan dalam graf klask ke dalam graf fuzzy bak secara teor maupun aplkas. Secara aplkas graf fuzzy dapat dkatakan sebaga suatu topk yang dapat dterapkan dalam lmu dan teknolog modern khususya dalam bdang teor nformas, arngan syaraf, analss cluster, dagnosa meds, dan teor kontrol [3]. Dey A, dan Anta P [3], telah mengaplkaskan graf fuzzy untuk menyelesakan masalah traffc lght dan Swamnathan [4], telah menerapkan graf fuzzy ke dalam masalah pengalokasan pekeraan. Secara teor, Yeh dan Bang [5] uga telah memperkenalkan beberapa konsep yang berhubungan dengan graf fuzzy sepert konsep keterhubungan pada graf fuzzy. Setelah konsep-konsep dalam graf fuzzy dperkenalkan, hasl-hasl teorts yang lebh mendalam tentang graf fuzzy banyak dberkan, dantaranya oleh Moderson dan Peng [6] memperkenalkan konsep operas-operas pada graf fuzzy antara lan operas gabungan, on, hasl kal kartesan, dan komposs pada dua graf fuzzy. Selanutnya Dogra [] telah mendefnskan operas perkalan modular pada graf fuzzy dan menyeldk sfat operas modular pada dua graf fuzzy sembarang serta graf fuzzy efektf. Dalam artkelnya, Dogra [] belum mengka sfat-sfat operas perkalan modular pada graf fuzzy yang berkatan dengan graf fuzzy lengkap, graf fuzzy komplemen, dan graf fuzzy somorfs. Oleh karena tu berdasarkan uraan tersebut, tuuan dar penulsan artkel n adalah menyeldk sfat operas perkalan modular pada dua graf fuzzy lengkap, operas perkalan modular pada komplemen dar dua graf fuzzy efektf dan menunukan bahwa perkalan modular graf fuzzy dan graf fuzzy somorfk dengan perkalan modular dan. PT-3

2 ISBN (etak) (On-lne) II. METODE PENELITIAN Metode peneltan yang dgunakan dalam peneltan n adalah stud lteratur mengena operas perkalan modular pada graf fuzzy yang ddefnskan oleh Dogra []. Selanutnya perkalan modular n dkenakan pada dua graf fuzzy lengkap, dan komplemen dar graf fuzzy efektf. Hasl operas perkalan modular n selanutnya dtuangkan sebaga sfat-sfat operas perkalan modular yang dtuls dalam bentuk bukt secara sstemats. III. HASIL DAN PEMBAHASAN Defns yang terdapat dalam artkel n dambl dar [], [6]. Defns 3.. raf fuzzy. Msal V adalah hmpunan tak kosong dan berhngga. Suatu graf fuzzy dnotaskan dengan (, adalah pasangan fungs yang menyatakan hmpunan fuzzy dar V dan µ merupakan relas fuzzy smetrs pada sedemkan sehngga:. : V [0, ]. µ : V V [0, ] µ (, ) mn ( ), ( ), untuk setap, V. yang memenuh Selanutnya, dsebut sebaga hmpunan ttk fuzzy dan µ dsebut sebaga hmpunan ss fuzzy. Notas ( ) pada graf fuzzy menyatakan deraat keanggotaan dar ttk dan µ (, ) menyatakan deraat keanggotaan dar ss, ). raf fuzzy yang dbahas dalam artkel n adalah graf fuzzy ( sederhana, sehngga berlaku (, ) 0 untuk setap V. ambar., merupakan graf fuzzy. ( 0, 4) ( 0, 6) 0, 3 ( 0,8) 0, 4 0, 4 0,8 0, 6 4 () AMBAR. RAF FUZZY, ( Defns 3.. raf dasar dar graf fuzzy. raf dasar dar graf fuzzy (, dnotaskan dengan * ( *, *) dengan * meruuk pada hmpunan tak kosong V dan * = E V x V adalah graf fuzzy dengan setap ttk dan ss d (, mempunya deraat keanggotaan. Defns 3.3. Perkalan modular pada dua graf fuzzy. Msalkan (, dan (, * * adalah dua graf fuzzy dengan masng-masng graf dasar ( V, E ), ( V, E), dan V V. Jka perkalan modular dar * * * dan adalah * * ( V, E ) dengan hmpunan ttk dan ssnya ddefnskan sebaga V V V V V {( u, ) u V, V }.. E E E {(( u, )( uk, l )) uuk E, l E atau uuk E, l E} dmana, k,,..., V, l,,..., V dengan syarat k dan l, maka perkalan modular dar dua graf fuzzy (, dan (, dnotaskan dengan (, adalah pasangan fungs yang ddefnskan oleh: PT-4

3 SEMINAR MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 07 ( )( u, ) ( u) ( ), dmanau V dan V.. ( u u ) ( ), u u E dan E ( (( u, )( uk, l )) ( u ) ( u ) ( ) ( ), u u E dan E k l k l k l k l ambar. merupakan contoh operas perkalan modular pada dua graf fuzzy (, dan (, ). AMBAR., ) Sfat 3.. Perkalan modular dar dua graf fuzzy adalah graf fuzzy. Bukt : Lhat []. Defns 3.4. raf fuzzy efektf. Suatu graf fuzzy (, adalah graf fuzzy efektf ka memenuh (, ) mn ( ), ( ) untuk setap (, ) E dmana E V V. Sfat 3.. Perkalan modular dar dua graf fuzzy efektf adalah graf fuzzy efektf. Bukt : lhat []. Defns 3.5. raf fuzzy lengkap. Suatu graf fuzzy (, adalah graf fuzzy lengkap ka memenuh (, ) mn ( ), ( ) untuk setap, V. Sfat 3.3. Perkalan modular dar dua graf fuzzy lengkap bukan merupakan graf fuzzy lengkap. Bukt. Telah elas berdasarkan Defns 3.5, graf fuzzy lengkap merupakan graf fuzzy efektf dan tdak sebalknya. Akbatnya ka (, dan (, adalah graf fuzzy lengkap, maka hasl operas perkalan modularnya merupakan graf fuzzy efektf, namun belum tentu merupakan graf fuzzy lengkap. ambar 3 berkut, merupakan contoh yang menelaskan sfat 3.3. raf fuzzy pada ambar 3(c) merupakan graf fuzzy hasl perkalan modular dar dua graf fuzzy lengkap (ambar 3(a) dan ambar 3(b)). raf fuzzy pada ambar 3(c), bukan graf fuzzy lengkap. PT-5

4 ISBN (etak) (On-lne) AMBAR 3. (a) raf fuzzy lengkap (b) raf fuzzy lengkap (c) raf fuzzy Defns 3.6. Komplemen dar graf fuzzy. Msal V adalah hmpunan tak kosong. Komplemen dar graf fuzzy (, adalah graf fuzzy (, ) dmana dan (, ) mn ( ), ( ) (, ) untuk setap, V. Sfat Msal dberkan graf fuzzy efektf dan graf fuzzy efektf. Jka dan adalah graf fuzzy komplemen dar dan maka. Bukt. Msalkan dberkan dua hmpunan tak kosong V dan V. Selanutnya dberkan dua graf fuzzy efektf (, dan (,. raf (, ) adalah komplemen dar graf (,. raf (, ) adalah komplemen dar graf (,. Berdasarkan Defns 3.6., memlk deraat keanggotaan ttk ( u ) ( u ) dan ss ( uuk ) mn{ ( u ), ( uk )} ( uuk ). Hal n berlaku pula pada memlk deraat keanggotaan ttk ( u ) ( u ), dan ss ( uuk ) mn{ ( u ), ( uk )} ( uuk ) Ss pada graf terbag menad dua kasus. Kasus. Jka uuk E, maka ( uuk ) mn{ ( u ), ( uk )}. Hal n berart ( uuk ) mn{ ( u ), ( uk )} mn{ ( u ), ( uk )} 0. Dengan kata lan uuk E. Kasus. Jka uuk E, maka ( ) 0 uu k. Hal n berart ( uuk ) mn{ ( u ), ( uk )} 0 mn{ ( u ), ( u )} Dengan kata lan uuk E. Analog untuk. raf fuzzy efektf, memlk deraat keanggotaan ttk () dan deraat keanggotaan ss ( ) l mn{ ( ), ( l)}. raf memlk deraat keanggtaan ttk ( ) ( ), dan deraat keanggotaan ss k PT-6

5 SEMINAR MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 07 ( ) l mn{ ( ), ( l )} ( l ). Ss pada graf uga terbag dalam dua kasus. Kasus. Jka l E, maka ( l ) mn{ ( ), ( l )}. Hal n berart ( l ) mn{ ( ), ( l )} mn{ ( ), ( l )} 0. Dengan kata lan l E. Kasus. Jka l E maka ( ) 0 l. Hal n berart ( l ) mn{ ( ), ( l )} 0 mn{ ( ), ( )} Dengan kata lan l E. Selanutnya sesua Defns 3.3., hasl perkalan modular dar dan (, ) () adalah pasangan fungs dengan ( )( u, ) ( u) ( ) ( u) ( ) ( )( u, ). () ( )( u, )( uk, l ) yang terbag menad dua kasus, yatu: Kasus. uuk E dan l E. ( )(( u, )( u, )) ( u ) ( u ) ( ) ( ) k l k l Kasus. uuk E dan l E. ( u ) ( u ) ( ) ( ) PT-7 l k l ( )(( u, )( u, ). k l ( )(( u, )( u, )) ( u u ) ( ) k l k l mn{ ( u ), ( u )} mn{ ( ), ( )} k l ( u u ) ( ). k l dnotaskan dengan Akbatnya dar () dan (), dperoleh bahwa ( )( u, ) ( )( u, ) dan ( )( u, ) ( uk, l) ( uuk ) ( l ). Dengan demkan terbukt bahwa. Defns 7. Msal, dan, terdapat pemetaan bektf f : V V yang memenuh :. ( ) u f u u V. u, f ( u), f ( ) u, V maka dkatakan, dan, Sfat adalah dua graf fuzzy dengan hmpunan ttk V, V. Jka salng somorfs, dan dnotaskan dengan. Bukt : Untuk membuktkan sfat n, dambl sembarang (u,) V x V, akan dbuktkan ada pemetaan bektf f: V x V V x V yang memenuh ( )( u, ) ( )( f ( u), f ( )),. ( )(( u, )( u, )) ( )( f ( u, ) f ( u, )), ( u, ),( u, ) V xv. k l k l k l Berdasarkan defns 3.3, dperoleh, dengan

6 ISBN (etak) (On-lne) dan.. ( )( u, ) ( u) ( ) ( ) ( u) )( u, ) )( f ( u), f ( )) ( )(( u, )( u, )) ( u u ) ( ) k l k l ( ) ( u u ) l k )((, u )(, u )) l k )( f ( u, ) f ( u, )), untuk u u E dan E. k l k l ( )(( u, )( u, )) ( u ) ( u ) ( ) ( ) k l k l ( ) ( ) ( u ) ( u ) l k ( ) ( u u ) l k )((, u )(, u )) l k )( f ( u, ) f ( u, )), untuk u u E dan E. k l k l Berdasarkan bukt () dan (), dperoleh. IV. SIMPULAN DAN SARAN A. Smpulan Dar pembahasan yang telah dberkan dapat dsmpulkan sebaga berkut : a) Perkalan modular dar dua graf fuzzy lengkap bukan merupakan graf fuzzy lengkap. b) Jka dan graf fuzzy efektf, maka. c). B. Saran Perlu dkembangkan operas perkalan modular dar n graf fuzzy. Apakah sfat-sfat operas perkalan modular pada dua graf fuzzy uga berlaku untuk perkalan modular dar n graf fuzzy?. DAFTAR PUSTAKA [] Dogra, S. 05. Dfferent Types of Product of Fuzzy raphs. Progress n Nonlnear Dynamcs and haos. Vol. 3 No., pp [] Rosenfeld, A.,. 975,Fuzzy raphs, Fuzzy Sets and ther Applcatons to ognte and Deceson Processes (eds. L.A Zadeh,K.S. Fu & M. Shmura), Academc Press, New York, Pp [3] Dey A, dan Anta P., 03, Fuzzy raph olorng Technque to lassfy The Accdental Zone of a Traffc ontrol Annals of Pure and Appled Mathematcs. Vol. 3 No., pp [4] Swamnathan S., 0, Fuzzy raph Applcatons of Job Allocaton, Internatonal Journal of Engneerng anf Innoate Technology, Vol.., Issue,. [5] Yeh RT dan Bang SY, 975, Fuzzy Relatons, Fuzzy raphs and ther Applcaton to clusterng analyss, In Zadeh L A, Fu KS & Shmura M (eds). Fuzzy Sets and ther Applcatons to ognte and Deceson Processes), Academc Press, New York, pp [6] Mordeson, J.N dan Peng,S Operaton on Fuzzy raphs, Informaton Scence 79, pp PT-8