APLIKASI PERKONGRUENAN DALAM MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA PEUBAH. Yuni Yulida dan Muhammad Ahsar K

Transkripsi

1 Jurnal Matematka Murn dan Terapan Vol. 3 No. Desember 009: 4-6 APLIKASI PERKONGRUENAN DALAM MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA PEUBAH Yun Yulda dan Muhammad Ahsar K Program Stud Matematka Unverstas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. Yan km. 36 Kampus Unlam Banjarbaru Emal: y_yulda@yahoo.com, m_ahsar@yahoo.com ABSTRAK D dalam paper n dbahas tentang menentukan eksstens dan penyelesaan sstem persamaan lnear dua peubah berbentuk: a x b y c a x b y c a x b y c n n n dengan x dan y blangan bulat, a,a,,an,b,b,,bn,c,c,, cn blangan bulat tak nol, dengan menggunakan aplkas perkongruenan lnear. Kata Kunc: Sstem Persamaan Lnear, Perkongruenan Lnear. ABSTRACT Ths paper dscusses the determnaton of exstenton and soluton of lnear equaton system wth two varables wrtten as: a x b y c a x b y c a x b y c n n n where x, y are ntegers, and a,a,,an,b,b,,bn,c,c,, cn are non-negatve ntegers, usng the applcaton of lnear congruency. Keywords: Lnear Equaton System, Lnear Congruency. () () 4

2 Jurnal Matematka Murn dan Terapan Vol. 3 No. Desember 009: 4-6. PENDAHULUAN Penyelesaan Sstem () secara umum dapat dlakukan dengan berbaga metode, sepert elmnas, substtus dan lannya, tetap sult menentukan apakah penyelesaan yang dcar merupakan blangan bulat atau bukan, kecual langsung dselesakan dengan metode tertentu tersebut sehngga terlhat jelas setelah penyelesaannya dperoleh. Untuk keperluan n maka penelt akan mengkaj bagamana cara untuk menentukan apakah ada penyelesaan dalam blangan bulat dar sstem persamaan lnear pada sstem () dengan menggunakan aplkas perkongruenan lnear, kemudan dlanjutkan dengan menentukan penyelesaan akhr sstem ().. TINJAUAN PUSTAKA. Keterbagan Berkut n defns dan teorema yang menjelaskan tentang keterbagan. Defns Blangan bulat a membag habs blangan bulat b (dtuls a/b) bla dan hanya bla ada blangan bulat k sehngga b=ak. Jka a tdak membag habs b maka dtuls a/b. Berkut n defns dan teorema yang menjelaskan tentang keterbagan. Teorema Jka a/b dan b/c maka a/c. Teorema Jka a/b dan a/c maka a/(b+c) Teorema 3 Jka a/b maka a/cb, untuk blangan bulat c sebarang. Teorema 4 Jka a/b dan a/c maka a/(bm+cm), untuk sebarang blangan bulat m dan n... Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) Faktor-faktor persekutuan dapat dkatakan sebaga pembag-pembag bersama dar dua atau beberapa blangan bulat. Berkut defns faktor persekutuan dab faktor persekutuan terbesar. Defns Suatu blangan bulat d adalah faktor persekutuan dar a dan b bla dan hanya bla d/a dan d/b. 5

3 Jurnal Matematka Murn dan Terapan Vol. 3 No. Desember 009: 4-6 Defns 3 Jka a dan b adalah blangan-blangan bulat yang tdak nol, d adalah faktor persekutuan terbesar dar a dan b (dtuls (a,b) ) bla dan hanya bla b faktor persekutuan dar a dan b. Jka c faktor persekutuan dar a dan b, maka c d Teorema 5 (algortma pembagan) Jka a dan b blangan bulat sehngga b>0 maka terdapat q dan r tunggal anggota blangan bulat sehngga a = bq + r dengan 0 r m..3. Kekongruenan Konsep kekongruenan mempelajar lebh mendalam mengena konsep keterbagan beserta sfat-sfatnya. Kekongruenan merupakan cara lan untuk menelaah keterbagan dalam hmpunan blangan bulat, berkut defns dan teorema tentang keterbagan Defns 4 Jka m suatu blangan bulat postf maka a kongruen dengan b modulo m (dtuls a b(mod m) bla dan hanya bla m membag (a-b). Jka m tdak membag (a-b) maka dkatakan a tdak kongruen dengan b mdulo m. Teorema 6 a b(mod m), dengan m, a dan b blangan bulat jka dan hanya jka ada blangan bulat k sedemkan sehngga a=b+km Teorema 7 Setap blangan bulat kongruen modulo m dengan tepat d antara 0,, 3,..., (m-). Jka a r (mod m) dengan 0 r m, maka r dsebut resdu terkecl dar a modulo m. Defns 5 Hmpunan blangan bulat r, r,...,r m dsebut sstem resdu lengkap modulo m bla dan hanya bla setap blangan bulat kongruen modulo m dengan satu dan hanya satu dantara r, r,...,r m. Teorema 8 a b(mod m) bla dan hanya bla a dan b memlk ssa yang sama jka dbag m. Defns 6 Hmpunan blangan bulat r, r,...,r m dsebut resdu lengkap modulo bla dan hanya bla setap blangan bulat kongruen modulo m dengan satu dan hanya satu dantara r, r,..., atau r m. 6

4 Jurnal Matematka Murn dan Terapan Vol. 3 No. Desember 009: 4-6 Teorema 9 Andakan m blangan bulat postf. Kongruens modulo m memenuh sfat-sfat berkut: () Refleksf : Jka a blangan bulat maka a a (mod m) () Smetrs : Jka a dan b blangan bulat sehngga a b(mod m) maka b a (mod m) () Transtf : Jka a, b dan c blangan bulat dengan a b(mod m) dan b c (mod m) maka a c (mod m). Teorema 0 Jka a, b, c dan m blangan bulat dengan m>0 sedemkan sehngga a b(mod m ) maka () a c b c(mod m ) () a c b c(mod m ) () ac bc(mod m ). Teorema Jka ac bc(mod m ) dan (c,m)= maka a b(mod m ). Teorema m Jka ac bc(mod m ) dan (c,m)=d maka a b(mod ). d.4. Perkongruenan Lner Perkongruenan lner ax b(mod m) akan mempunya solus (penyelesaan) bla dan hanya bla ada blangan bulat k dan x yang memenuh persamaan ax=mk + b. Msalkan r memenuh perkongruenan lner ax b(mod m), maka setap blangan bulat..., (r-3m), (r-m), (r-m), r, (r+m), (r3m),... memenuh perkongruenan tu sebab a(r+km) ar b(mod m) untuk setap blangan bulat k. Dantara blangan-blangan bulat (r+km) dengan k =...,-3, -, -, 0,,, 3,...ada tepat satu dan hanya satu, katakan s, sehngga 0 s m karena tap blangan bulat terletak d antara dua kelpatan m yang berurutan. Jka s = r - km untuk suatu blangan bulat k. Dengan kata lan, s adalah resdu terkecl modulo m yang memenuh perkongruenan ax b(mod m) dan km r ( k ) m untuk suatu blangan bulat k. Dengan kata lan, s adalah resdu terkecl modulo m yang memenuh perkongruenan ax b(mod m). Selanjutnya s dsebut solus dar perkongruenan tu. Teorema 3 Jka (a,m)/b, maka perkongruenan lner ax b(mod m) tdak memlk solus. 7

5 Jurnal Matematka Murn dan Terapan Vol. 3 No. Desember 009: 4-6 Teorema 4 Jka (a,m)=, maka perkongruenan lner ax b(mod m) mempunya tepat satu solus. Andakan solus perkongruenan lner tu tdak tunggal msalkan r dan s masngmasng solus dar ax b(mod m), maka ar b(mod m) dan as b(mod m) Dengan sfat transtf dperoleh bahawa ar as (mod m), karena (a,m)= maka r s (mod m) n berrat m/(r-s) Tap karena r dan s adalah solus dar perkongruenan tu, maka r dan s masngmasng resdu terkecl modulo m, sehngga 0 r m dan 0 s m Dar kedua ketdaksamaan dperoleh bahawa m<r-s<m, tetap m/(r-s) maka r- s=0 atau r = s. In berart bahwa solus dar perkongruenan lner tunggal (terbukt). Teorema 5 [] Jka (a,m)=d dan d/b maka perkongruenan lner ax b(mod m) mempunya tepat d solus..5. Sstem Perkongruenan Lner Berkut n teorema yang menjelaskan tentang sstem perkongruenan lner adalah: Teorema 6 (teorema ssa) Sstem perkongruenan lner x d (mod b), =,, 3,..., k dengan (b, b j )=, untuk setap j memlk solus bersama modulo(b.b.b 3...b k ) dan solus bersama tu tunggal. Bukt: Dengan menggunakan nduks matematk untuk blangan asl k Untuk k= Berart x d modb jelas mempunya solus Untuk k= Berart membentuk sstem perkongruenan lner yatu: x d modb x d dengan b b, modb Sekarang, apakah sstem d atas mempunya solus bersama? Berdasarkan defns perkongruenan lner maka x d modb maka x d kb dengan k adalah blangan bulat, kemudan substtus ke persamaan yang kedua : d kb dmodb kb d d modb (***) 8

6 Jurnal Matematka Murn dan Terapan Vol. 3 No. Desember 009: 4-6 dengan k suatu varabel karena b, b maka perkongruenan (***) n mempunya satu solus untuk k modulo b katakanlah t, maka k = t + k b untuk suatu k memenuh perkongruenan terakhr n. Jad: x d x d kb d d tb mod b b tb k b b t k b b x perkongruenan memenuh untuk k= untuk sstem x d mod b n,,3,,( r ) mempunya solus bersama msalkan solusnya s maka sstem dapat dnyatakan sebaga suatu perkongruenan yatu: x s modb. b. b3... br x d modb r r Sstem d atas mempunya solus bersama mod b b b 3 b r b b b b r b sebab b dan b j salng prma untuk j. 3 r bahwa sstem perkongruenan x d mod b n,,3, r, karena. Sehngga terbukt mempunya solus. Akan dbuktkan bahwa solus tu tunggal Msalkan r dan s adalah solus bersama dar sstem tersebut maka r d modb dan r s 0 s d modb sehngga r s ( d d ) mod b mod b maka b r s untuk =,,..., k. Jad r-s suatu kel[atan persekutuan dar b, b, b3, bk karena, b j b untuk j maka ( ( b, b, b3, b k ) ( rs). Tap r dan s adalah solus perkongruenan, berart r dan s adalah resdu terkecl modulo ( b, b, b3, bk ) sehngga ( b, b, b3, bk )< r-s < ( b, b, b3, bk ). Mengngat bahwa (r-s) adalah kelpatan persekutuan dar b b b b, untuk j dapat dsmpulkan r-s = 0 atau r = s. 3 b k dan b j Jad solus bersama dar sstem x d mod b n,,3, k tunggal., 9

7 Jurnal Matematka Murn dan Terapan Vol. 3 No. Desember 009: 4-6 Teorema 7 [] Sstem perkongruenan lner x b (mod m ), =,, 3,..., k dan M =(m.m... m k ):m, =,, 3,..., k dan s adalah solus M x (mod m ), =,, 3,..., k maka s=a s M +a s M a k s k M k memenuh sstem []. Teorema 8 [] Sstem perkongruenan lner a x a x b (mod m ),,..., r mempunya n n solus jka dan hanya jka sstem persamaan lner a x an xn m y b, y (tdak dketahu) merupakan anggota Z mempunya solus dalam hmpunan blangan bulat. Teorema 9 [] Sstem perkongruenan lner a x b (mod m ), m 0,,, r memlk solus jka dan hanya jka ( a, b ) c,,, n dan ( a b, a b ) a c a c ;, j,, n. 3. METODE PENELITIAN j j j j Metode peneltan yang dgunakan adalah metode stud lteratur. Penelt mengumpulkan buku/bahan bacaan yang berhubungan dengan konsep sstem lnear dua peubah, perkongruenan dan sstem perkongruenan lnear untuk dkaj lebh lanjut. 4. HASIL DAN PEMBAHASAN Dberkan Sstem (), untuk memenentukan penyelesaan Sstem () dengan menggunakan aplkas perkongruenan lnear ada dua langkah yang dlakukan yatu. Menentukan Eksstens penyelesaan blangan bulat Sstem ().. Sstem () dubah dalam bentuk sstem perkongruenan lnear (plh salah satu dalam bentuk varabel x atau y) dengan menggunakan Defns 4 dan Teorema 6. Jka dplh dalam varabel x maka Sstem () menjad a x c modb a x c modb a x c mod b. n n n atau jka dplh varable y maka berbentuk: () 0

8 Jurnal Matematka Murn dan Terapan Vol. 3 No. Desember 009: 4-6 b y c mod a b y c mod a (3) b y c mod a. n n n.. Menentukan eksstens penyelesaan blangan bulat dar sstem perkongruenan lnear yang telah dbentuk. Sstem () mempunya penyelesaan jka dan hanya jka sstem perkongruenan lnear mempunya penyelesaan. In berart Sstem () akan memlk penyelesaan blangan bulat jka Sstem () atau (3) memlk penyelesaan. Untuk keperluan tu maka harus dseldk Sstem () atau (3) terlebh dahulu. Msalkan dplh Sstem (). Sstem () dapat dtuls menjad a x c (mod b ), dengan b 0,,,, n. Sstem () memlk penyelesaan jka dan hanya jka ( a, b ) c,,, n dan ( a b, a b ) a c a c ;, j,, n (lhat kembal Teorema j j j j 9) Jka langkah n terpenuh, Sstem () atau (3) memlk penyelesaan, berakbat Sstem () memlk penyelesaan blangan bulat. Dengan kata lan eksstens penyelesaan blngan bulat Sstem () djamn. Selanjutkan, jka tdak terpenuh maka berhent sampa langkah n.. Menentukan penyelesaan dar Sstem ().. Jka pada langkah djamn eksstens penyelesaan blangan bulat maka kembal ke langkah., dengan mengunakan Sstem () yatu a x c ( mod b ) atau Sstem (3) yatu b y c ( mod a ) dengan,,, n. Kemudan dubah dalam sstem perkongruenan lner yang lebh sederhana yatu koefsen varabel x-nya adalah. Sstem () dapat dubah menjad x d mod e x d mod e x d n mod e n b dengan ketentuan nla e =b untuk kasus pada Teorema atau e untuk kasus s pada Teorema. Sebaga catatan, jka a x c ( mod b ) yang dgunakan maka b b... b dengan,,, n, jka ada nla yang sama maka dgunakan alternatf lan yatu Sstem (3) berbentuk b y c ( mod a ) dengan,,, n, lakukan hal yang sama mengubah koefsen y menjad, dengan catatan a a... a,,,, n. Jka Sstem (3) terdapat modulo yang sama maka penyelesaan tdak dapat dperoleh kesmpulan dengan cara n karena modulo pada sstem perkongruenan yang dbentuk harus tdak (4)

9 Jurnal Matematka Murn dan Terapan Vol. 3 No. Desember 009: 4-6 sama dan salng prma. Jka pada Sstem () atau (3) tdak memenuh karena ada modulo yang sama maka harus dcar alternatf penyelesaan yang lan... Menentukan penyelesaan Sstem () Sstem (4) dapat dtuls menjad x d (mod e),,,, ndengan (e, e j )=, berdasarkan Teorema 6 untuk setap j memlk penyelesaan bersama modulo (e.e.e 3...e n ) dan penyelesaan bersama tu tunggal. Penyelesaan Sstem tunggal, asalkan dperoleh suatu penyelesaan berupa nla x dan y yang tunggal. Kemudan untuk menentukan penyelesaan sstem (), pandang Sstem perkongruenan lnear x d (mod e ),,,, ndan M =(e.e... e n ):e, =,, 3,...,n dan s adalah solus Mx (mod e),,,, n maka s=d s M +d s M d n s n M n memenuh sstem (Teorema 7). Jad penyelesan Sstem () adalah penyelesaan bersama modulo(e.e.e 3...e n ). atau dapat dtulskan x s (mod ( e. e... e n ), ubah nla s dalam perkonruenan palng sederhana, dperoleh nla x sebaga penyelesaan akhr dar Sstem (). Kemudan nla x yang telah dperoleh substtus ke salah satu persamaan pada Sstem () sehngga akan dperoleh nla y sebaga penyelesaan. Jad penyelesaan akhr dar Sstem () dperoleh berupa nla x dan y yang tunggal Aplkas dalam Menentukan Penyelesaan Sstem Persamaaan Berkut beberapa contoh penggunaan aplkas perkongruenan dalam menyelesakan Sstem (). Contoh : Tentukan penyelesaan dalam blangan bulat dar sstem persamaan lner berkut n dengan aplkas perkongruenan lnear: 6 x y 3 (5) 5 x y Penyelesaan Menentukan eksstens penyelesaan blangan, dengan mengubah sstem d atas dalam bentuk perkongruenan berkut 6x 3(mod) (6) 5x (mod ) dengan a =6 b = c =3 a =5 b = c =- syarat : ( a, b ) c

10 Jurnal Matematka Murn dan Terapan Vol. 3 No. Desember 009: 4-6 untuk persamaan pertama terpenuh karena (6,) 3. Untuk persamaan kedua terpenuh karena (5, ). Jad Sstem (5) memenuh syarat. Syarat : ( a b, a b ) a c a c j j j j ( a b, a b ) a c a c (,5) Jad Sstem (5) memenuh syarat. Jad Sstem (5) memlk penyelesaan blangan bulat Langkah kedua menentukan penyelesaan Sstem (5). Perhatkan kembal Sstem (6), dubah menjad: x 0 (mod ) x (mod ) dketahu bahwa: d =0 e = M = d = e = M = sehngga dperoleh perkongruenan: x (mod ) x (mod ) menjad x 0 (mod ) x (mod ) berdasarkan Sstem (7) dperoleh s = 0 dan s = s d. s. M d. s. M = =. Jad penyelesaan sstem (7) adalah x (mod ), karena bentuk n yang sederhana, dperoleh nla s= dalam perkongruenan tdak berubah lag dan berart nla x= sebaga penyelesaan Sstem (5). Kemudan nla x = substtus ke salah satu persamaan pada sstem persamaan lnear sehngga dperoleh nla y= 3. Jad hmpunan penyelesaan sstem (5) adalah {,3}. Contoh :Tentukan penyelesaan dalam blangan bulat dar sstem persamaan lnear berkut n dengan aplkas perkongruenan lnear: xy 5 x3 y 5 3 x y5 x5y 0 (7) (8) 3

11 Jurnal Matematka Murn dan Terapan Vol. 3 No. Desember 009: 4-6 Penyelesaan Menentukan eksstens penyelesaan blangan, dengan mengubah sstem d atas dalam bentuk perkongruenan berkut: x 5(mod ) x 5(mod3) 3x 5(mod) x 0(mod5) menjad x (mod ) x (mod3) 3x 0(mod) x 0(mod5) dengan a = b = c = a = b = 3 c = a 3 = 3 b 3 = c 3 =0 a 4 = b 4 = 5 c 4 = 0 syarat : ( a, b ) c Persamaan pertama terpenuh karena (, ), persamaan kedua terpenuh karena (,3), persamaan pertama terpenuh karena (3,) 0. Untuk persamaan kedua terpenuh karena (,5) 0. Jad Sstem Memenuh syarat Syarat : ( a b, a b ) a c a c j j j j Untuk persamaan pertama dan kedua (3, ) Untuk persamaan pertama dan ketga (, 6) 3 Untuk persamaan pertama dan keempat (5, 4) Untuk persamaan kedua dan ketga (,9) 6 Untuk persamaan kedua dan keempat (5, 6) 4 Untuk persamaan ketga dan keempat (5,) 0 memenuh syarat Jad eksstens penyelesaan blangan bulat dar Sstem (8). (9) 4

12 Jurnal Matematka Murn dan Terapan Vol. 3 No. Desember 009: 4-6 Langkah kedua menentukan penyelesaan Sstem (8). Perhatkan kembal Sstem (9), dubah menjad: x (mod ) x (mod 3) x 0 (mod ) x 0 (mod5) dketahu bahwa d = e = M =5 d = e =3 M =0 d 3 =0 e 3 = M 3 =30 d 4 =0 e 4 =5 M 4 = 6 sehngga dperoleh sstem perkongruenan berkut: 5x (mod ) menjad 0x (mod 3) 30x (mod ) 6x (mod 5) x (mod ) x (mod 3) x 0 (mod ) x (mod 5) berdasarkan sstem perkongruenan lnear d atas dperoleh s = s = s 3 = 0 s 4 = s d. s. M d. s. M d3. s3. M3 d4. s4. M 4 = =35 Jad penyelesaan sstem perkongruenan lnear adalah x 35(mod (.3..5)) x 35(mod 30) x 5(mod 30). karena bentuk n yang sederhana dan dperoleh nla s=5, dan sekalgus nla x= 5 sebaga penyelesaan sstem persamaan lnear. Kemudan nla x=5 substtus ke salah satu persamaan pada sstem persamaan lnear (8) sehngga dperoleh nla y = 0. Jad Hmpunan penyelesaan Sstem (8) adalah {5,0}. 5. KESIMPULAN Penyelesaan Sstem () dengan menggunakan Perkongrueanan lnear terdr dar dua langkah.langkah pertama mentransformas menjad sstem perkongruenan 5

13 Jurnal Matematka Murn dan Terapan Vol. 3 No. Desember 009: 4-6 lnear. Selanjutnya menentukan eksstens penyelesaan dalam blangan bulat Sstem (), jka dan hanya jka ( a, b ) c,,,, n dan ( a b, a b ) a c a c ;, j,, n. j j j j Jka tdak maka tdak dapat dlanjutkan lag ke langkah berkutnya. Jka eksstens penyelesaan blangan bulat djamn maka dlanjutkan menentukan penyelesaan dar sstem (). 6. DAFTAR PUSTAKA []. Sukarman, H.993. Teor Blangan. Jakarta. Unverstas Terbuka, Depdkbud. []. Smarandache, F Algorthms for Solvng Lner Congruences and Systems of Lner Congruences. Jurnal Gamma year X, Nos.-, october, hal: 5-6. [3]. Ahsar, M. & Soesanto, O Menentukan Solus Persamaan Lner Dophantus (PDL) melalu Solus Perkongruenan Lner. Semnar Nasonal Teor dan Aplkas Statstka: Kemarn, Har n dan Esok, Kerjasama Jurusan Matematka UNM dengan IKAPSTAT ITS, Februar. [4]. Nven, I. 97. An Introducton to the Theory of Numbers. Thrd Edton. New York, Wley. [5]. Rosen, K. H Elementary Number Theory And Its Applcatons. Thrd Edton. New Jersey, Wesley Publshng Company. [6]. Schrjver, A Theory of Lner and Integer Programmng. Amsterdam, Departemen of Econometrcs-Tlburg Unversty. [7]. Wrasto, R.M. 97. Pengantar Ilmu Blangan. Yogyakarta, Yayasan Pembnaan Fke-IKIP Yogyakarta. 6