BAB V INTEGRAL KOMPLEKS

Transkripsi

1 6 BAB V INTEGRAL KOMPLEKS 5.. INTEGRAL LINTASAN Msal suatu lntasan yang dnyatakan dengan : (t) = x(t) + y(t) dengan t rl dan a t b. Lntasan dsebut lntasan tutup bla (a) = (b). Lntasan tutup dsebut lntasan tutup sederhana bla ( t ) ( t ) untuk t t ( lntasan tdak berpotongan ). Integral dar fungs kompleks f() atas lntasan dsebut ntegral lntasan atau ntegral gars atau ntegral contour dnyatakan sebaga : f ( ) d Bla : lntasan tutup maka dnotaskan : f ( ) d. Sfat ntegral lntasan : k f ( ) + l g( ) d = k f ( ) d + l g( ) d dengan k, l. ( sfat lner ). f ( ) d = f ( ) d + f ( ) d ( : komposs dar dan ). f ( ) d = f ( ) d ( dan merupakan ujung-ujung dar lntasan ). [ ] 5... Integral Bergantung Lntasan Msal lntasan dengan (t) = x(t) + y(t) ( a t b ) dan f() fungs tdak analtk pada doman D ( yang memuat lntasan ). Maka nla ntegral lntasan f() terhadap bergantung pada bentuk lntasan yang dambl dan dapat dnyatakan : b f ( ) d = f [ ( t) ] '( t) dt a Untuk menghtung ntegral lntasan d atas dlakukan cara sebaga berkut :. Nyatakan lntasan dalam (t) = x(t) + y(t), a t b. ar turunan, (t).. Substtuskan (t) ke dalam f().. Integraskan f() (t) terhadap t. Berkut beberapa lntasan dan penyajannya dalam (t) :. Lngkaran

2 6 Msal dberkan lntasan berbentuk Lngkaran satuan ( lngkaran dengan pusat (, ) dan jar-jar ) dan t sebaga sudut pusat. Maka dperoleh hubungan x = cos t dan y = sn t. Oleh karena tu persamaan lntasan, (t) = x(t) + y(t) = cos t + sn t = e t dengan t π. Sedangkan lntasan berbetuk lngkaran dengan pusat = (, ) dan jar-jar r dapat dtentukan dengan cara sama, sehngga persamaan dtulskan sebaga : ( t) = x( t) + y( t) = r e t dengan t π. Menggunakan trasformas salb sumbu dan bentuk persamaan lntasan d atas ddapatkan persamaan lntasan berbentuk lngkaran dengan pusat dan jar-jar r, yatu: ( t) = re t +, dengan t π. ontoh 5.. Htung ntegral dar f ( ) = atas lntasan berbentuk lngkaran satuan dengan arah berlawanan jarum jam. Persamaan lntasan : (t) = e t dengan t π. (t) = e t f ( ) = = e t. π π f ( ) d f ( ) ' ( t) dt e t e t = = dt = π. Segmen Gars Msal lntasan berbentuk segmen gars dar ( x,y ) ke ( x,y ). Maka kta plh terlebh dahulu nterval parameter t, msal t dan dengan cara deduktf dapat dturunkan persamaan untuk lntasan yatu : t = x( t) = x, y( t) = y ( t) = x + y = x + x y + y t = x( t) =, y( t) = ( t) = + ( ) t = x( t) = x, y( t) = y ( t) = Secara umum persamaan lntasan berbentuk segmen gars dar ke yatu : ( t) = + t( ) dengan t ontoh 5.. Htung f ( ) d dengan f ( ) = dan lntasan berupa segmen gars dar = - ke = +.

3 6 Persamaan lntasan : (t) = - + t ( ) = - t + ( - + 5t ), t. Turunan, (t) = f ( ) = = t ( + 5 t) f ( ) d = f ( ) '( t) dt = ( t ( + t ))( + ) dt = Ellps ( ) ( ) Msal Lntasan berbentuk ellps : x x y y + = dengan arah postf. a b Maka dengan cara sama sepert menentukan persamaan lntasan yang berbentuk lngkaran, ddapatkan : (t) = + a cos t + b sn t dengan t π dan = ( x,y ). ontoh 5.. Htung f ( ) d dengan f() = x - y dan lntasan berbentuk ellps x + y = dengan arah berlawanan jarum jam. y Bentuk lntasan : x + = dengan penyajan (t) = cos t + sn t, t π. Turunan, ( t ) = - sn t + cos t. f() = cos t - sn t π π f ( ) d = ( cos t sn t) ( sn t + cos t) dt = sn t + dt = π cos t + t = π. Kurva Bla lntasan dnyatakan sebaga persamaan kurva maka kta dapat memsalkan x(t) = t. Sehngga nterval parameter t dan bentuk y(t) sangat bergantung berturut-turut terhadap nla x dar ttk dan persamaan kurva yang dberkan. Sebaga contoh, msal lntasan berupa kurva dengan persamaan y = x - dar ttk ( -, ) ke ttk (,- ). Persamaan lntasan : (t) = x(t) + y(t) = t + ( t - ) dengan - t. ontoh 5.. Htung ntegral dar fungs f() = x y + y atas lntasan sepanjang kurva y = x - dar ttk ( -, ) ke ttk (,- ). Persamaan lntasan : (t) = x(t) + y(t) = t + ( t - ) dengan - t. Turunan, (t) = + 6 t

4 6 f ( ) = t ( t ) + ( t ) = t t + ( 6t 6) [ ] ( ) f ( ) d = t t + t + t dt = ( ) 5... Integral Bebas Lntasan Dalam keadaan khusus ntegral lntasan tdak bergantung ( bebas ) terhadap lntasan artnya nla ntegral lntasan akan bernla sama walaupun lntasannya berbeda asalkan ttk-ttk ujung lntasan tetap. Syarat perlu dan cukup untuk keadaan tersebut dberkan berkut. Doman D dsebut tersambung sederhana bla setap lntasan tutup sederhana dalam D melngkup ttk-ttk pada D. Msal f() analtk pada doman tersambung sederhana D. Maka terdapat fungs analtk F() sehngga F () = f() untuk setap D dan nla ntegral dar f() terhadap setap lntasan yang menghubungkan dar ttk ke dnyatakan sebaga: f ( ) d = F ( ) F( ) Dar konds d atas dapat dsmpulkan bahwa bla f() analtk pada doman tersambung sederhana yang memuat lntasan tutup maka f ( ) d =. ontoh 5.5. Htung f ( ) d bla f() = sn dan lntasan berupa ruas gars yang menghubungkan dar ttk ( π,π ) ke ttk ( π,-π ). Pandang bahwa f() = sn merupakan fungs entre, sehngga analtk pada doman tersambung sederhana yang memuat lntasan. Oleh karena tu, ntegral lntasan dar f() tdak bergantung ( bebas ) bentuk lntasan. Jad : π π π π f ( ) d = sn d = ( cos + sn) = π + π π + π ( ) ( ) = π π coshπ snhπ π + π coshπ + snhπ Soal Lathan ( Nomor sd ) Nyatakan dalam = (t), segmen gars dengan ttk ujung,. = - + dan = = dan = = + dan = = - dan = 9-5. ( Nomor 5 sd ) Nyatakan kurva berkut dalam = (t) 5. - =

5 6 6. y = x dar (, ) ke (, ) = 8. x + y = 9. y = / x dar (, ) ke (,/ ) x + 9 y + = 6. ( ) ( ) ( Nomor sd ) Htung : f ( ) d dengan :. f ( ) = dan : setengah lngkaran, e t π π = ( t ) dar ttk = - ke =.. f() = y - x - x dan : segmen gars dar ttk ke +.. f() = y - x - x dan : segmen gars dar ttk ke. dlanjutkan ke +.. f ( ) = dan : setengah lngkaran = e t ( t π ) dar ttk = ke = -., y < 5. f ( ) = dan : dar y, y > = - - ke = + sepanjang y = x 6. f() = Re dan : parabola y = x dar ke f ( ) = + dan : = e t ( t π) mempunya arah berlawana jarum jam 8. f ( ) = + dan : = e t ( π t π ) mempunya arah postf. 9. f ( ) = + dan : = e t ( t π) mempunya arah postf. f ( ) = ( ) ( ) dan : - = ½ ( searah jarum jam ). f() = Im dan : dar ke +. sepanjang segmen gars.. f() = Im dan : dar ke +. sepanjang parabola y = x. ( Nomor sd 7 ) Seldk apakah ntegral dar f() atas bebas lntasan dan tentukan f ( ) d bla :. f ( ) = e dan : segmen gars dar π ke π.. f ( ) = sec dan : sembarang lntasan dar π / ke π/ d dalam lngkaran satuan. 5. f ( ) = cos dan : sembarang lntasan dar ke π. 6. f ( ) = dan : lngkaran 5 satuan ( arah postf ) 7. f ( ) = sec dan : lngkaran satuan ( arah berlawanan jarum jam ). 5.. INTEGRAL AUHY Rumtnya perhtungan ntegral lntasan mendorong tmbulnya cara-cara atau metode yang lebh mudah dan prakts untuk menyelesakannya. Hal n nampak dar berbaga usaha ke arah sana walaupun hanya sebatas ntegral terhadap lntasan tutup, sepert yang dkenalkan oleh auchy berkut.

6 65 Ttk dsebut ttk nteror dar lntasan tutup bla terdapat lngkungan dar yang termuat d dalam.msal fungs f() analtk d dalam dan pada lntasan tutup arah postf, ttk f ( ) nteror dar. Maka f ( ) = d dengan d dalam lntasan. Bentuk π ntegral d atas dkenal dengan Rumus Integral auchy. Penerapan ntegral auchy d atas dapat dlhat dar dua contoh yang dberkan berkut. e ontoh 5.6. Htung d dengan berupa = dan berlawanan jarum jam. Lntasan berbentuk lngkaran dengan pusat = dan jar-jar dan = merupakan ttk nteror dar. Msal f() = e. Maka f() merupakan fungs entre, sehngga analtk d dalam dan pada lntasan. Karena semua syarat telah dpenuh maka penerapan ntegral auchy dlakukan sebaga berkut : f ( ) f d e e ( ) = π = π d e Jad : ( ) d = π sn + cos sn ontoh 5.7. Htung d dengan berupa = dan berlawanan jarum jam. Ttk nteror dar adalah = dan = -. Pandang : sn sn = +. ( ) ( + ) Menggunakan sfat lner ntegral lntasan ddapatkan : sn sn sn d d ( ( )) = d sn sn + = π + = Turunan Fungs Analtk Secara umum, untuk ttk nteror pada maka bentuk ntegral auchy menjad : f ( s) f ( ) = s ds dengan s d dalam. Bla f() dturunkan terhadap maka ruas π kanan juga dturunkan terhadap, caranya ntegran dturunkan terhadap dengan memandang peubah lan sebaga konstanta. Menggunakan cara deduktf kta dapat memperoleh turunan tngkat ke-n sebaga berkut : f ( s) ds Turunan ke- f ' ( ) = π ( s )

7 66 f ( s) ds Turunan ke- f "( ) = π ( s ) Turunan ke-n f ( n) n! f ( s) ds ( ) = n ( s ) n ; =,,,... + π Bentuk turunan d atas merupakan bentuk perluasan dar ntegral auchy yang pada dasarnya dapat juga dterapkan untuk menyelesakan ntegral lntasan, sebagamana contoh berkut. e ontoh 5.8. Htung d ( ) dengan berupa = dan berlawanan jarum jam. Ttk nteror : =. Msal f() = e. Maka f () = e + e. e Jad : d ( e e = π + ) = π( cos sn) + π( cos sn ) ( ) Soal Lathan ( Nomor sd 7 ) Lntasan dbatas oleh gars x = ± dan y = ± ( arah postf ). Htung ntegral berkut :.. e d π cos d ( + ) d. + tan. d ; x ( x) < < cosh 5. d cosh d ( ) cos d + ( Nomor 8 sd 5 ) Htung ntegral dar g() atas lntasan, bla : 8. g( ) = + ; : - = ( arah postf ) 9. g( ) = + ; : - = ( ( ) arah postf ) sn. g( ) = ; : = (arah postf )

8 67. g( ) = ; : - = + (arah postf ) e. g( ) = ; : + = + (berlawanan jarum jam ). g( ) =, : = ( arah postf ) +. g( ) =, w d dalam ( w) lntasan tutup sederhana yang mempunya arah postf. ln 5. g( ) =, 5 = ( ) ( arah postf ) ( Nomor 6 sd ) Htung g( ) d dengan = arah postf, bla g() = 6. ( ) 7. ( ) 8. cos + 9. e π. ( +). e sn Daftar Pustaka.. E B Saff, A D Snder, Fundamental of omplex Analyss for mathematcs, Scence, and Engneerng, Prentce Hall Inc, USA, 976. ( Hal 89 sd 7 ).