Teori Himpunan. Modul 1 PENDAHULUAN. impunan sebagai koleksi (pengelompokan) dari objek-objek yang

Transkripsi

1 Modul 1 Teor Hmpunan PENDAHULUAN Prof SM Nababan, PhD Drs Warsto, MPd mpunan sebaga koleks (pengelompokan) dar objek-objek yang H dnyatakan dengan jelas, banyak dgunakan dan djumpa dberbaga bdang bukan hanya dbdang matematka Dalam kegatan sehar-har banyak hmpunan dpaka bak secara langsung maupun tdak langsung Dalam bdang matematka konsep hmpunan dnyatakan dengan jelas agar dapat dpelajar dan dkembangkan tanpa menmbulkan keraguan Teor hmpunan merupakan landasan konsep matematka untuk relas, fungs, urutan dan lan-lan yang banyak dgunakan dalam analsa dan geometr Modul n terdr dar dua Kegatan Belajar Dalam Kegatan Belajar 1, Anda mempelajar konsep hmpunan dan operas-operas untuk hmpunan Teorema-teorema yang menyangkut operas-operas hmpunan dberkan yang dserta dengan beberapa bukt teorema Dalam Kegatan Belajar 2, Anda mempelajar gabungan, rsan dan perkalan kartess hmpunan-hmpunan sebarang Konsep gabungan, rsan dan perkalan kartess untuk hmpunan dberkan dserta dengan contoh-contoh dan teorema-teorema yang menyangkut operas-operas tersebut Setelah mempelajar modul n, dharapkan Anda memlk kemampuan untuk memberkan konsep-konsep dan teorema-teorema yang menyangkut hmpunan Secara lebh ternc, setelah selesa mempelajar modul n dharapkan Anda dapat: 1 menentukan hmpunan dengan menggunakan operas-operas hmpunan; 2 menentukan gabungan dan rsan hmpunan-hmpunan sebarang yang banyaknya berhngga atau tak hngga; 3 menentukan perkalan kartess untuk beberapa hmpunan dengan menggunakan defnsnya; 4 menentukan operas hmpunan yang berkatan dengan gabungan, rsan, dan perkalan kartess

2 12 Pengantar Matematka D Kegatan Belajar 1 Hmpunan dan Operas untuk Hmpunan alam Kegatan Belajar 1 n Anda mempelajar konsep hmpunan, jens-jens hmpunan dengan contoh-contohnya Selan tu, dberkan juga operas-operas untuk hmpunan yang memperluas pengetahuan Anda mengena hmpunan Hmpunan adalah koleks (pengelompokan) objek-objek yang dnyatakan dengan jelas Sebaga contoh: 1 Hmpunan semua mahasswa dar Jakarta 2 Hmpunan semua blangan bulat 3 Hmpunan huruf dar a sampa j Hmpunan dtulskan dengan huruf besar A, B, C, D dan seterusnya dserta dengan keterangan atau penjelasan (cr-cr) dar objek-objek yang d dalamnya Sebaga contoh A x penjelasan (cr-cr) x atau keterangan tentang x Sebaga lustras: M x x x x mahasswa dar Jakarta blangan bulat A x x huruf dar a sampa j a, b, c, d, e, f, g, h,, j Kta tuls x A menyatakan x anggota (elemen) A dan x A jka x bukan anggota A Hmpunan yang tak mempunya anggota dsebut hmpunan kosong, dnyatakan dengan notas Contoh 111 : { x x blangan asl dengan x 2} { xxorangyang tnggnya 20meter} 2 { x x 0} 2

3 MATA4101/MODUL 1 13 Perhatkan bahwa { }, { } adalah hmpunan yang terdr dar satu elemen yatu hmpunan kosong Hmpunan-hmpunan blangan yang terkenal adalah: 1,2,3,4,5, hmpunansemua blanganasl, 0, 1, 2, 3, hmpunansemua blanganbulat, p p, q blangan bulat, q 0 hmpunan semua blangan rasonal q hmpunansemua blangan real Dua hmpunan A dan B dkatakan sama, dtuls A B, jka kedua hmpunan mempunya anggota-anggota yang sama Hmpunan A dkatakan hmpunan bagan dar hmpunan B, dtuls A B, jka setap anggota A juga anggota B Contoh: 1,2 1,2,3 ; Kta katakan A hmpunan bagan sejat dar hmpunan B, dtuls A B atau A B, jka A B tetap A B Jelas bahwa: () A B jka dan hanya jka A B dan B A () Jka A B dan B C maka A C Teorema 111 Untuk setap hmpunan A berlaku: () A, () A A Hmpunan A dkatakan hmpunan hngga jka banyaknya anggota A adalah berhngga; dkatakan tak hngga jka banyaknya anggota A adalah tak hngga A 1,2,3,4,5 adalah hmpunan hngga dan hmpunan blangan Contoh: asl adalah hmpunan tak hngga Hmpunan kuasa dar hmpunan A, dtuls P ( A), adalah koleks semua hmpunan bagan dar A Contoh 112 : 1) A 1,2,3,4 P ( A) {,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4}, {1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4}

4 14 Pengantar Matematka 2) Untuk hmpunan A yang terdr dar n anggota, dapat dperlhatkan bahwa P ( A) mempunya 2 n elemen 3) Untuk hmpunan blangan asl, P ( ) adalah hmpunan tak hngga Perhatan 111 : ) Jka B A maka BP ( A) ) Jka a A maka a A OPERASI UNTUK HIMPUNAN { } dan a ( A) P Untuk dua hmpunan, kta dapat melakukan operas-operas tertentu sehngga menghaslkan hmpunan lan sepert operas penjumlahan dan perkalan untuk blangan bulat Kta sebut U sebaga hmpunan semesta, dmana setap hmpunan yang dbcarakan (dtnjau) adalah hmpunan bagan dar U Defns 111 Msalkan A U dan B U a) Gabungan dar hmpunan A dan B, dtuls A B, adalah hmpunan yang memuat elemen-elemen d A atau d B atau ada d keduanya Jad A B x x A atau x B b) Irsan dar hmpunan A dan B, dtuls A B, adalah hmpunan yang memuat elemen-elemen d A dan d B Jad A B x x A dan x B c) Hmpunan A dan B dkatakan salng lepas (dsjont) jka A B adalah hmpunan kosong Ilustras dar ketga operas d atas dberkan dalam gambar berkut, yang dkenal sebaga dagram Venn

5 MATA4101/MODUL 1 15 Perhatan 112 Jka hmpunan yang dbcarakan sudah jelas maka hmpunan semestanya tdak perlu dsebutkan lag Contoh 113 A 1, 2,3, 4,5,6,7,8 ; B 3, 4,5,6,7,8,9,10,11 Maka AB 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 ; A B 3,4,5,6,7,8 Contoh 114 A x 2 x 4 ; B3 x 7 Maka A B x 2 x 7 ; A B x 3 x 4 Contoh 115 U adalah hmpunan orang Indonesa A x xu, x berumur lebh10 tahun ; B x xu, x berumur kurang 20 tahun Maka A B x x U A B x x x U ; dan U, berumur antara10 tahun dan 20 tahun Contoh 116 A x 2 x 3, hmpunan blangan asl Maka A, atau A dan salng lepas D bawah n dberkan teorema yang menyangkut operas hmpunan Teorema 112 Untuk hmpunan-hmpunan A U, B U dan C U, berlaku: a) A U U b) A A c) A B B A d) AU A e) A f) A B B A g) A B A A B h) A( B C) ( A B) C ) A( B C) ( A B) ( A C) (hukum dstrbutf) j) A( B C) ( A B) C k) A( B C) ( A B) ( A C) (hukum dstrbutf)

6 16 Pengantar Matematka Bukt: Sebaga lathan, Anda buktkan a) s/d g) h) Menunjukkan A( B C) ( A B) C () Akan dperlhatkan A ( B C) ( A B) C Ambl x A ( B C), x sebarang Maka x A atau x B C In memberkan x A atau x B atau x C, yang berart x A B atau x C Jad x( A B) C dan A ( B C) ( A B) C () Akan dperlhatkan ( A B) C A ( B C) Ambl x( A B) C, x sebarang Maka x A B atau x C In memberkan x A atau x B atau x C, yang berart x A atau x( B C) Jad x A ( B C) dan ( A B) C A ( B C) ) Menunjukkan A( B C) ( A B) ( A C) () Akan dperlhatkan A( B C) ( A B) ( A C) Ambl x A ( B C), x sebarang Maka x A atau x B C Jka x A maka x A B dan x A C Jad x( A B) ( A C) dan A( B C) ( A B) ( A C) () Akan dperlhatkan ( A B) ( AC) A( B C) Ambl x( A B) ( A C), x sebarang Maka x A B dan x A C In memberkan x A atau x B dan x A atau x C, sehngga dperoleh x A atau x B dan x C In berart x A ( B C) Jad ( A B) ( A C) A ( B C) j) Menunjukkan A( B C) ( A B) C () Akan dperlhatkan A ( B C) ( A B) C Ambl x A ( B C), x sebarang Maka x A dan x B C In memberkan x A dan x B dan x C, sehngga ddapat x( A B) C Jad A ( B C) ( A B) C () Akan dperlhatkan ( A B) C A ( B C) Ambl x( A B) C, x sebarang Maka x A B dan x C In memberkan x A dan x B dan x C, sehngga dperoleh x A ( B C) Jad ( A B) C A ( B C)

7 MATA4101/MODUL 1 17 k) Menunjukkan A( B C) ( A B) ( A C) () Akan dperlhatkan A( B C) ( A B) ( A C) Ambl x A ( B C), x sebarang Maka x A dan x B C In memberkan x A dan ( xb atau x C), sehngga ddapat x A dan x B atau x A dan x C Jad x A B atau x A C, yatu x( A B) ( A C) dan dperoleh A( B C) ( A B) ( A C) () Akan dperlhatkan ( A B) ( AC) A( B C) Ambl x( A B) ( A C), x sebarang Maka x A B atau x A C In memberkan x A dan x B atau x A dan x C, sehngga dperoleh x A dan ( x B atau x C ), yang berart x A ( B C) Jad ( A B) ( AC) A( B C) Defns 112 Msalkan A U dan B U a) Selsh hmpunan A terhadap B, dtuls A B, adalah hmpunan elemen-elemen d A yang tdak termuat d B; jad A B x x A dan x B b) Komplemen dar A, dtuls A, adalah A U ; jad A x x A c) Selsh smetrs dar dua hmpunan A dan B, dtuls A B, ddefnskan sebaga A B ( A B) ( B A) Dagram Venn untuk hmpunan-hmpunan d atas dberkan sebaga berkut

8 18 Pengantar Matematka Contoh 117 U n nasl, 1 n 20 A 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ; 5,7,8,10,11,12,13 Maka A A B B 1,2,3,4,6,9 ; BA 11,12,13 A 11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 B 1,2,3,4,6,9,14,15,16,17,18,19,20 B 1,2,3,4,6,9,11,12,13 Contoh 118 U ; A x x 15 Maka A B x x 20 20, 15,15 B A x x ; B x x 20 A { x x 15} (,15) ; B { x x 20} (20, ) A B x x 15 atau x 20 (,15) (20, ) Contoh 119 U ; A x x, x 10 Maka A B x x, x 20 ; B x x, x 20, {10,11,12,13,14,} ; B x x x, 20, 20 dan x 10,11,12,13,14,15,16,17,18,19 B A x x, x 20 dan x 10,11,12,13,14,15,16,17,18,19 A x x x A B x x x x x x, 2 0 D bawah n dberkan teorema yang menyangkut komplemen hmpunan Teorema 113 Untuk hmpunan A U dan B U berlaku: a) AAU b) A A c) U

9 MATA4101/MODUL 1 19 d) U e) A A f) A B A B (Dall De Morgan) g) A B A B (Dall De Morgan) Bukt: Anda buktkan sendr untuk (a), (b), (c), dan (d) sebaga lathan e) Dbuktkan A A () Akan dperlhatkan A A Ambl x A Maka x A Jad x A dan A A () Akan dperlhatkan A A Ambl x A Maka x A dan n memberkan x A Jad A A f) Akan dtunjukkan A B A B () Akan dperlhatkan A B A B Ambl x A B Maka x A B In berart x A dan x B In memberkan x A dan x B sehngga dperoleh xa B () Akan dtunjukkan A B A B Ambl xa B Maka x A dan x B In memberkan x A dan x B sehngga ddapat x A B atau x A B Jad A B A B g) Akan dtunjukkan A B A B () Akan dperlhatkan A B A B Ambl x A B Maka x A B In berart x A atau x B In memberkan x A atau x B sehngga xa B Jad A B A B () Akan dperlhatkan A B A B Ambl xa B Maka x A atau x B In berart x A atau x B In memberkan x A B atau x A B Jad A B A B

10 110 Pengantar Matematka Teorema berkut menyangkut selsh dua hmpunan Teorema 114 Dberkan dua hmpunan A dan B Maka a) A A b) A c) A B A B d) A B jka dan hanya jka A B e) Jka A B maka AC B C Bukt: Bukt untuk (a), (b), (e) Anda kerjakan sendr sebaga lathan c) Dperlhatkan A B A B () Akan dtunjukkan A B A B Ambl x A B, x sebarang Maka x A dan x B In memberkan x A dan x B Jad xa B dan A B A B () Akan dperlhatkan A B A B Ambl xa B, x sebarang Maka x A dan x B In memberkan x A dan x B atau x A B Jad A B A B d) Dperlhatkan A B A B () Akan dtunjukkan jka A B maka A B Karena A B maka A B dan dar (c) ddapat A B () Akan dtunjukkan jka A B maka A B Dar hubungan (c) ddapat A B In memberkan jka x A maka x B atau x B Jad A B Teorema berkut menyangkut selsh smetrs hmpunan Teorema 115 Untuk setap hmpunan A dan B berlaku: a) A A b) A A c) A B B A A B C A B C d)

11 MATA4101/MODUL Bukt: Bukt a), b), dan c) dperoleh langsung dar defns A B ( A B) C ( A B) C) ( C ( A B) d) A ( B C) A ( B C)) (( B C) A Ambl x( A B) C, x sebarang Maka x(( A B) C) ( C ( A B)) In memberkan x( A B) C atau xc ( A B) Jka x( A B) C, maka x A B dan x C In berart x( A B) ( B A) dan x C Dengan demkan x( A B) dan x C atau x( B A) dan x C Jka x( A B) dan x C maka x A dan x B dan x C In memberkan x A dan x B C, yatu x A ( B C) sehngga x A ( B C) Jka x B A dan x C maka x B dan x A dan x C In berart xb ( A C) Dengan demkan x( B C) A Jad x A ( B C) atau x( B C) A In berart x( A ( B C)) (( B C) A) atau x A ( B C) Jka xc ( A B), maka x C dan x A B In berart x C dan x( A B) ( B A) sehngga xc ( A B) dan x C ( B A) atau dtuls x C ( A B) C ( B A) Dengan demkan x( A ( B C)) (( B C) A) atau x A ( B C) Jad ( A B) C A ( B C) Sebalknya, ambl x A ( B C) Maka x A ( B C) atau x( B C) A Jka x A ( B C) maka x A dan x B C In berart x A ( B C) dan x A ( C B) atau x( A ( B C)) ( A ( C B)) Dengan demkan x( A B) C Jka x( B C) A maka x B C dan x A In berart x( B C) ( C B) dan x A Dengan demkan x B C dan x A atau x C B dan x A In memberkan x( B C) A atau x( C B) A Jad x( A B) C sehngga dperoleh A ( B C) ( A B) C

12 112 Pengantar Matematka Ilustras dar hmpunan-hmpunan yang muncul dalam pembuktan dapat dlhat d bawah n LATIHAN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengena mater d atas, kerjakanlah lathan berkut! 1) Untuk setap hmpunan A dan B berkut, tentukan A B dan A B A a, b, c, d B c, d, e, f, g a) ; b) A x x 0 ; B x x 0 c) A 1,2,3,{1,2},{1,2,3} ; 2,{1,2},{1,3} B 2) Gunakan dagram Venn untuk memberkan lustras hubungan berkut a) AB C b) A B C 3) Buktkan pernyataan berkut a) A B jka dan hanya jka () AB B b) A B A B A c) Jka A B C dan A B maka A C d) Jka A C dan B C, maka AB C e) Jka A B C D, C A dan A B, maka B D

13 MATA4101/MODUL ) Buktkan: a) P ( A B) P ( A) P ( B) b) P ( A) P ( B) P ( A B) Berkan contoh bahwa kebalkannya tdak berlaku 5) Perlhatkan bahwa a) ( A( B C)) C ( A B) C b) ( A B) C ( A C) ( B C) c) ( A B) ( C D) ( AC) ( A D) ( B C) ( B D) Petunjuk Jawaban Lathan 1) Gunakan defns rsan dan gabungan 2) Gunakan dagram Venn 3) (a) dan (b) gunakan defns, dan (c) ambl x A dan perlhatkan x C dengan mengngat A B dan A B C (d) Gunakan defns dan (e) Ambl x Bdan perlhatkan x D Karena A B dan C A maka x C dan x A Selanjutnya gunakan hubungan A B C D untuk memperoleh x D 4) a) Gunakan defns P ( A) b) Gunakan defns P ( A) Ambl A {1, 2}, B {2,3}, AB {1,2,3} Jelas P ( A B) P ( A) P ( B) 5) a) Gunakan Teorema 12 () dan (k) Khususnya ( AC) C C b) Gunakan defns A B c) Gunakan hukum dstrbutf Teorema 12 () atau (k) RANGKUMAN Dberkan dua hmpunan A U, B U dan U hmpunan semesta Maka 1 A B jka x A maka x B 2 A B jka A B dan B A

14 114 Pengantar Matematka 3 A B x x A atau x B 4 A B x x A dan x B 5 A B x x A dan x B 6 A x x A, A komplemen dar A 7 A B ( A B) ( B A) (selsh smetrs) 8 A A 9 A B A B; A B A B 10 ( A) B B A P, hmpunan kuasa dar A TES FORMATIF 1 Plhlah satu jawaban yang palng tepat! 1) Dberkan hmpunan A 1,2,3,{2,3},{1,2,3} dan 2,{2,3},{1,2} Maka AB A 1,2,3,{2,3},{1,2,3} B AB 1,2,3,{1,2},{2,3},{1,2,3} C AB {2,3} D AB 1,2,{2,3} 2) Dberkan A { x x 2} dan B [1,4] Maka A A B x x 4 B A B x x 3 C A B x 1 x 2 D A B x 1 x 2 3) Dberkan A B C dan B C Maka A AC A B B AC B A B

15 MATA4101/MODUL C AC B A D AC A B 4) Jka A mempunya 5 buah anggota, maka A P ( A) 30 B P ( A) 32 C P ( A) 34 D P ( A) 36 5) Msalkan P dan Q dua rumus (formula) sehngga xp( x) Q( x) ( P( x) mengakbatkan Q( x )) Jka A { x P( x)} dan B { x Q( x)}, maka A A B B A B C B A D B A 6) Jka A, hmpunan blangan real; B, hmpunan blangan rasonal dan C hmpunan blangan rasonal, maka A A( B C) ( A B) C B A( B C) ( A B) C C ( A B) C A( B C) D ( A B) C A( B C) 7) Dberkan A,5 (7, ), maka A A 5,7 B A 5,7 C A 5,7 D A 5,7 8) Untuk pertanyaan berkut, manakah yang salah (tdak benar) A 5,8,5 8, B 3, 7 6,8,3 6,

16 116 Pengantar Matematka C 1, 4 4,10 8,1 4,10 D,3 6, 3, 9) Untuk tga hmpunan A, B dan C berkut, manakah yang berlaku? A A B dan B C A C B A B dan B C A C C A B dan B C AC D A B dan B C A C 10) Dberkan A 2x x, B 2x 1 x dan C 3x x dmana hmpunan blangan bulat postf Maka manakah yang tdak benar A AC 6x x B B C 3(2 x 1) x C A C 2(3x 2) x 2(3x 1) x D B C 6x 5 x 6x 2 x, Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunc Jawaban Tes Formatf 1 yang terdapat d bagan akhr modul n Htunglah jawaban yang benar Kemudan, gunakan rumus berkut untuk mengetahu tngkat penguasaan Anda terhadap mater Kegatan Belajar 1 Tngkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar 100% Jumlah Soal Art tngkat penguasaan: % = bak sekal 80-89% = bak 70-79% = cukup < 70% = kurang

17 MATA4101/MODUL Apabla mencapa tngkat penguasaan 80% atau lebh, Anda dapat meneruskan dengan Kegatan Belajar 2 Bagus! Jka mash d bawah 80%, Anda harus mengulang mater Kegatan Belajar 1, terutama bagan yang belum dkuasa

18 118 Pengantar Matematka D Kegatan Belajar 2 Gabungan, Irsan, dan Perkalan Kartess Hmpunan-hmpunan Sebarang alam Kegatan Belajar 1, Anda telah mempelajar konsep Hmpunan dan Operas-operas yang menyangkut hmpunan Dalam Kegatan Belajar 2 n, Anda mempelajar operas-operas yang menyangkut hmpunan-hmpunan yang banyaknya sebarang termasuk tak hngga dan perkalan Kartess beberapa hmpunan Perkalan Kartess n memberkan de (gagasan) untuk sstem koordnat d bdang dan d ruang Hmpunan ndeks yang dgunakan boleh merupakan hmpunan berhngga atau hmpunan tak hngga, tdak selalu blangan-blangan asl atau blangan bulat Msalkan I suatu hmpunan ndeks dan setap I dkatkan dengan suatu hmpunan A Maka koleks hmpunan A I dnyatakan sebaga keluarga berndeks dar hmpunan-hmpunan A Sebaga contoh, msalkan P hmpunan semua blangan prma dan P, sebut faktor dar Maka E P E n n adalah keluarga berndeks Selanjutnya untuk setap blangan real r sebut x r merupakan hmpunan blangan rasonal yang lebh kecl dar r Maka xr r merupakan keluarga berndeks Perhatkan bahwa keluarga E P dapat dtuls sebaga barsan tak hngga A1, A2, A 3,, dengan mengambl A1 E2, A2 E3, A3 E5 dan seterusnya, tetap tdak dapat untuk keluarga xr r Gabungan dar keluarga berndeks A I ddefnskan sebaga hmpunan dar semua elemen-elemen yang terletak pada satu atau lebh hmpunan A d dalam keluarga Umumnya dnyatakan sebaga A Jad I A a I a A I

19 MATA4101/MODUL Irsan dar keluarga berndeks A I ddefnskan sebaga hmpunan dar semua elemen-elemen yang terletak dalam semua hmpunan A d dalam keluarga Umumnya dnyatakan sebaga A Jad I A a a A, I Perhatan 121 Bla hmpunan ndeks I terdr dar dua elemen, msalnya I 1,2, maka I A A A Bla I 1,2,3,, n 1 2 dan A A1 A2 I dlakukan teras untuk pasangan gabungan dan I pasangan rsan, yatu A (((( A A ) A ) A ) ) A, dan I I A (((( A A ) A ) A ) ) A Teorema berkut bersfat trval Teorema 121 Msalkan A I keluarga berndeks dar hmpunanhmpunan A Maka 0 I berlaku A A dan A A 0 Bukt: Ambl A 0 I I 0 x A 0 sebarang Karena 0 I maka x A Jad A Selanjutnya jka x A I I x A 0 Jad I A A 0 n n I maka x A, I, khususnya

20 120 Pengantar Matematka Teorema berkut menyangkut keluarga berndeks Teorema 122 Msalkan A I keluarga berndeks dar hmpunanhmpunan A dan B suatu hmpunan sebarang Bla dmana U hmpunan semesta, maka: (a) B A B A I I (b) B A B A I I (c) B A B A I I (d) B A B A I I (e) A A I I (f) A A I I A U dan B U, Bukt: D sn dbuktkan untuk (a), (c), dan (f), sedangkan yang lan Anda kerjakan sendr sebaga lathan (a) () Ambl xb A sebarang Maka x B atau x A I I Jka x B maka x B A, I sehngga dperoleh x ( B A ) Selanjutnya jka x A, maka 0 I I x A 0 untuk suatu 0 I In memberkan xb A untuk suatu 0 I, sehngga ddapat x ( B A ) Jad dperoleh B A ( B A) I I I

21 MATA4101/MODUL () Sebalknya ambl x ( B A ) sebarang Maka I xb A 0 untuk suatu 0 I Jka x B maka xb A I Selanjutnya jka x A 0 maka x A dan mengakbatkan I0 xb A Jad dperoleh ( B A ) B A I I I (c) () Ambl xb A sebarang Maka x B atau x A I I Jka x B maka x B A, I In memberkan x ( B A ) Selanjutnya jka x A maka x A, I I yang menyebabkan x B A, I In memberkan x ( B A ) dan dperoleh B A ( B A) I I I () Sebalknya ambl x ( B A ) sebarang Maka I x B A, I Jka x B maka xb A Jka I x A, I maka x A, yang menyebabkan I I xb A Jad dperoleh ( B A ) B A I I I (f) Ambl x U sebarang Maka x A x A x A I untuk suatu 0 I x A 0 untuk suatu 0 I x A 0 I I

22 122 Pengantar Matematka PERKALIAN KARTESIS Perkalan Kartess dua hmpunan memperumum konsep bdang Eukldes dmens dua dan sstem koordnat Kartess d bdang-xy In berkatan dengan pasangan terurut dua objek Pasangan terurut dua objek a dan b adalah objek ( ab, ) yang memenuh syarat bahwa ( a, b) ( x, y) jka dan hanya jka a x dan b y Perkalan slang dua hmpunan A dan B, dtuls A B, ddefnskan sebaga A B {( a, b) a A, b B} Contoh 121 Dberkan A {1,2,3} dan B {3,4} Maka AB {(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4)} dan BA {(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3)} Contoh 122 Dberkan A x 1 x 2 1,2 ; B y 0 y 1 0,1 Maka A B {( x, y) 1 x 2, 0 y 1}, dan B A {( x, y) 0 x 1, 1 y 2} Jelas bahwa A B B A Gambar dar A B dan B A dbdang-xy, dberkan d bawah n Gb: A B 1, 20,1 Gb: B A 0,1 1, 2

23 MATA4101/MODUL Teorema berkut menyangkut perkalan slang Teorema 123 Untuk hmpunan-hmpunan A, B, C dan D berkut berlaku: (a) A( B C) ( A B) ( A C) (b) A( B C) ( A B) ( A C) (c) ( A B) ( C D) ( AC) ( B D) (d) ( A B) ( C D) ( AC) ( B D) Bukt: (a) () Akan dtunjukkan A( B C) ( A B) ( A C) Ambl ( x, y) A( B C) sebarang; maka x A, yb C Jka y B maka ( x, y) A B dan jka y C maka ( x, y) A C Jad ( x, y) ( A B) ( A C) () Akan dtunjukkan ( A B) ( AC) A( B C) Ambl ( x, y) ( A B) ( A C) sebarang; maka ( x, y) A B atau ( x, y) A C Jka ( x, y) A B maka x A, y B sehngga yb C In memberkan ( x, y) A( B C) (b) () Akan dtunjukkan A( B C) ( A B) ( A C) Ambl ( x, y) A( B C) sebarang; maka x A, yb C In memberkan x A, y B dan x A, y C yang menghaslkan ( x, y) A B dan ( x, y) A C Jad ( x, y) ( A B) ( A C) () Akan dtunjukkan ( A B) ( AC) A( B C) Ambl ( x, y) ( A B) ( A C) sebarang; maka ( x, y) A B dan ( x, y) A C In memberkan x A, y B dan y C Jad x A, yb C sehngga berlaku ( x, y) A( B C) (c) () Akan dtunjukkan ( A B) ( C D) ( AC) ( B D) Ambl ( x, y) ( A B) ( C D) sebarang; maka ( x, y) A B dan ( x, y) C D In memberkan x A, y B dan x C, y D; yatu x A C, yb D Jad ( x, y) ( AC) ( B D)

24 124 Pengantar Matematka () Akan dtunjukkan ( AC) ( B D) ( A B) ( C D) Ambl ( x, y) ( AC) ( B D) sebarang; maka x A C, yb D, yang memberkan x A, y B dan x C, y D Jad ( x, y) A B dan ( x, y) C D dan menghaslkan ( x, y) ( A B) ( C D) (d) Akan dtunjukkan ( A B) ( C D) ( AC) ( B D) Ambl ( x, y) ( A B) ( C D) sebarang; maka ( x, y) A B atau ( x, y) C D Jka ( x, y) A B maka x A, y B In memberkan x A C, yb D Jad ( x, y) ( AC) ( B D) Jka ( x, y) C D, maka x C, y D In memberkan x A C dan yb D Jad ( x, y) ( AC) ( B D) Perhatkan kebalkannya tdak berlaku Ambl AB [0,2] ; 1 5 C D [1,3] Ttk P, ( ) ( ) 2 2 A C B D dan ttk P A D tetap P A B dan P C D Jad P( A B) ( C D) Perhatan 122 Perkalan slang dua hmpunan dapat dperluas untuk n buah hmpunan sepert berkut Pasangan-n (n tuple) objek 1, 2,, n a a a dberkan oleh a a a,,, n 1 2 yang memenuh hubungan a, a,, a b, b,, b a b, a b,, a b 1 2 n 1 2 n n n Perkalan slang hmpunan A1, A2,, A n ddefnskan sebaga A A A ( a, a,, a ) a A, 1,2,, n 1 2 n 1 2 n In memotvas hmpunan berdmens-n n, yatu ruang Eukldes Contoh 123 Dberkan A1 {1,2}, A2 {2,3,4}, dan A3 {1,5} Maka A A A ( a, a, a ) a A, a A, a A n (1,2,1),(1,2,5),(1,3,1),(1,3,5),(1,4,1),(1,4,5),(2,2,1),(2,2,5), (2,3,1),(2,3,5),(2,4,1),(2,4,5)}

25 MATA4101/MODUL Contoh 124: 3 {( x, y, z) x, y, z } hmpunan ttk-ttk d ruang dmens-3 4 {( x, x, x, x ) x, 1,2,3,4} hmpunan ttk-ttk d ruang dmens-4 LATIHAN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengena mater d atas, kerjakanlah lathan berkut! 1) Untuk setap hmpunan A1, A2,, An ( n 2) perlhatkan bahwa n n1 n A ( A A 1) ( An A1) A ) Sebut { xx 0} dan untuk setap r, defnskan A { x 0 x r} Tunjukkan bahwa r a) A {0}, dan r r b) A {0} r r 3) Buktkan: a) ( A B) C ( AC) ( B C) b) ( A B) C ( AC) ( B C) 4) Dberkan tga hmpunan A, B, C dengan A, B Jka ( A B) ( B A) C C, tunjukkan bahwa A B C 5) Jka A hmpunan yang terdr dar m elemen dan B terdr dar n elemen, buktkan bahwa A B hmpunan yang terdr dar mn elemen

26 126 Pengantar Matematka Petunjuk Jawaban Lathan 1) () Ambl n 1 n x A sebarang Jka xa, 1,2,, n maka 1 x A Tanpa mengurang keumuman, msalkan x A1 Jka x A n maka x An A1 Jka x An dan x An 1 maka xan1 An dan hubungan terbukt Jka x An dan x An 1, secara nduks dapat dperlhatkan jka x An 2 maka x An2 An1 dan hubungan berlaku Tetap jka x An 2 maka proses pembuktan dapat dlakukan sepert d atas Sudah past terdapat k dengan 2 k n sehngga x Ak dan x Ak 1 Dalam hal n xak Ak 1 dan hubungan berlaku () Jelas 2) (b) Ambl x Ak Maka x Ar, r 0, yatu 0 x r, r 0 r In memberkan x {0} 3) Gunakan defns perkalan slang 4) Tunjukkan A C dan B C Jka x A, kesamaan memberkan A C Jka x B, kesamaan memberkan B C Jka x C, kesamaan memberkan C A dan C B 5) Sebut anggota A { a1, a2,, a m } dan B { b1, b2,, b n } A B {( a, b ),( a, b ),,( a, b )}, j 1,2,, n 1 j 2 j m j RANGKUMAN 1 Bla { A I} keluarga berndeks dar hmpunan-hmpunan A, maka A { a I a A } I I A { a a A, I}

27 MATA4101/MODUL Perkalan slang hmpunan A1, A2,, A n ddefnskan sebaga A A A {( a, a,, a ) a A, 1,2,, n} 1 2 n 1 2 n 1) Untuk setap n, An {} n Bla An a dan An b, maka A a ; b 0 B a ; b a n b 0 C ; D a n ; b 2) Untuk setap n, A n maka A a ( 1,1), b B a ( 1,1), b {0} C a D a 1,1, b 1,1, b {0} 3) Dberkan hmpunan n TES FORMATIF 2 Plhlah satu jawaban yang palng tepat! A n b, maka A a A 1 ; b B a A 1 ; b {0} C a A 2 ; b D a A 2 ; b {0} n n 1 1, n n Bla An a dan An b, n n A n,, n Bla An a dan n n

28 128 Pengantar Matematka 4) Dberkan hmpunan An ( n, n), n Bla An a dan n A n b, maka A a, b B a, b {0} C a, b ( 1,1) D a, b 1,1 5) Msalkan A {1,2} dan B {2,3,4} Maka A B adalah hmpunan yang terdr dar n elemen, dmana A n = 5 B n = 6 C n = 7 D n = 8 6) Dberkan A [1,2] dan B [1,3] Maka A B terdr dar sku-empat (empat perseg panjang) beserta ttk-ttk dalamnya, dengan ttk-ttk sudut adalah A (1,1),(2,1),(3,1),(3,2) B (1,1),(1,2),(1,3),(3,2) C (1,1),(1,2),(3,1),(3,2) D (1,1),(1,2),(3,1),(2,3) 7) Msalkan A, B Maka A B B A berlaku jka dan hanya jka A A B B B A C A B D A B 8) Jka A, B dan C tga hmpunan tak kosong, maka A A( BC) ( A B) C B A( BC) ( A B) C C A( BC) ( A B) C D A( BC) ( A B) C n

29 MATA4101/MODUL ) Jka A, B dan C tga hmpunan tak kosong, maka A A( B C) ( A B) ( A C) B A( B C) ( A B) ( A C) C A( B C) ( A B) ( A C) D A( B C) ( A B) ( A C) 10) Jka A, B dan C tga hmpunan tak kosong, maka A A ( BC) ( A B) ( A C) B A ( BC) ( A B) ( A C) C A( BC) ( A B) ( A C) D A( BC) ( A B) ( A C) Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunc Jawaban Tes Formatf 2 yang terdapat d bagan akhr modul n Htunglah jawaban yang benar Kemudan, gunakan rumus berkut untuk mengetahu tngkat penguasaan Anda terhadap mater Kegatan Belajar 2 Tngkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar 100% Jumlah Soal Art tngkat penguasaan: % = bak sekal 80-89% = bak 70-79% = cukup < 70% = kurang Apabla mencapa tngkat penguasaan 80% atau lebh, Anda dapat meneruskan dengan modul selanjutnya Bagus! Jka mash d bawah 80%, Anda harus mengulang mater Kegatan Belajar 2, terutama bagan yang belum dkuasa

30 130 Pengantar Matematka Kunc Jawaban Tes Formatf Tes Formatf 1 1) B 2) C 3) D 4) B 5) A 6) C 7) A 8) C 9) B 10) D Tes Formatf 2 1) B 2) D 3) A 4) C 5) B 6) C 7) D 8) A 9) D 10) D

31 MATA4101/MODUL Daftar Pustaka Devln, K (1992) Functons and Logc London: Chapman & Hall Stoll, RR (1976) Set Theory and Logc New Delh: Eurasa Publshng House (PVT), Ltd Suppes, P (1960) Axomatc Set Theory New York: D Van Nostrand Company, Inc