Bab 2 AKAR-AKAR PERSAMAAN

Transkripsi

1 Analsa Numerk Bahan Matrkulas Bab AKAR-AKAR PERSAMAAN Pada kulah n akan dpelajar beberapa metode untuk mencar akar-akar dar suatu persamaan yang kontnu. Untuk persamaan polnomal derajat, persamaannya dapat dselesakan dengan rumus persamaan kuadrat yang sangat sederhana. Contoh persamaan polnomal derajat adalah sebaga berkut: ( ) a. + b. c dar persamaan d atas, penyelesaan agar ( ) 0 atau untuk mendapatkan akar-persamaannya, secara analts dapat dselesakan dengan rumus berkut, b ± b 4. a. c. a Untuk persamaan polnomal derajat 3 atau yang lebh tngg, rumus-rumus d atas tdak dapat dgunakan atau rumus-rumus penyelesaan untuk persamaan polnomal tersebut menjad sangat kompleks. Contoh bentuk dar persamaanpersamaan polnomal tersebut adalah sebaga berkut, 3 ( ) ( ) + + ( ) e Ahmad Zakara

2 Analsa Numerk Bahan Matrkulas 3. + cos e ln ( ) Bentuk-bentuk persamaan polnomal d atas tdak dapat dselesakan secara eksplst. Akan tetap persamaan polnomal n dapat dselesakan dengan menggunakan metode numerk. Penyelesaan numerk untuk persamaan-persamaan polnomal derajat 3 atau lebh dan persamaan-persamaan polnomal yang kompleks dlakukan dengan metode pendekatan. Proses perhtungan metode pendekatan n dlakukan dengan cara teras. Dengan melakukan produr perhtungan yang berulang-ulang nla pendekatan penyelesaan persamaan tersebut ddapat. Semakn banyak prosedur teras yang dlakukan maka nla pendekatan penyelesaan semakn mendekat hasl eksak. Metode-metode yang dapat dgunakan untuk menyelesakan persamaan polnomal derajat 3 dan persamaan polnomal yang lebh kompleks adalah sebaga berkut,. Cara coba-coba. Metode Setengah Interval 3. Metode Interpolas Lner 4. Metode Newton-Raphson 5. Metode Secant.. Cara coba-coba Cara n adalah salah satu cara yang palng sederhana dan palng banyak dpergunakan untuk menyelesakan akar-akar persamaan polnomal yang kompleks. Langkah pertama dar penyelesaan n adalah dengan menggambarkan kurva dar persamaan atau ungs tersebut. Dar kurva persamaan n dapat dlhat poss nla untuk ungs ( ) 0 (lhat Gambar.). Dengan memasukkan nla dengan cara coba-coba kta dapat menghtung Ahmad Zakara

3 Analsa Numerk Bahan Matrkulas pendekatan untuk nla ungs ( ) 0. Dengan metode n lama waktu perhtungan dan akuras pendekatan nla tdak dapat dpredks. ( ) Akar persamaan atau ( ) 0 Gambar. akar persamaan dar kurva ungs ( ) 0.. Metode Setengah Interval Metode setengah nterval adalah metode yang palng sederhana dantara metode-metode yang akan dbahas selanjutnya. Langkah-langkah penyelesaan untuk metode setengah nterval adalah sebaga berkut,. Gambar kurva ungs persamaan polnomal ungs ( ). Tentukan nla dan htung ungs ( ) 3. Tentukan nla nla dan htung ungs + ( ) 4. Apakah persamaan ( ) ( + ) < 0 dpenuh 5. Jka persamaan d atas tdak dpenuh ulang prosedur no. dan jka persamaan d atas dpenuh, maka htung, + + n () 6. Setelah ddapat persamaan (), htung persamaan berkut, + a. Jka persamaan ( ) n < 0 dpenuh, ( + ) n b. persamaan ( + ) n < 0 dpenuh, ( ) n 7. Htung pendekatan baru akar persamaan dar ungs tersebut dengan, 3 Ahmad Zakara

4 Analsa Numerk Bahan Matrkulas n Jka nla pendekatan yang baru belum cukup telt maka lakukan lag prosedur perhtungan no.. Apabla nla pendekatan baru yang ddapat sudah cukup telt atau nla dar persamaan polnomal atau ( ) 0 ungs, maka htungan selesa dan merupakan akar persamaan yang dcar. n.3. Metode Interpolas Lner Metode Setengah Interval merupakan metode numerk yang sangat sederhana untuk mencar akar-akar persamaan polnomal. Metode Setengah Interval tdak esen bla dbandngkan dengan Metode Interpolas Lner. Hal n karena untuk mendapatkan nla pendekatan yang cukup telt dbutuhkan prosedur teras yang cukup panjang dan memakan waktu relat lebh lama bla dbandngkan dengan Metode Interpolas Lner. Metode Interpolas Lner ddasarkan pada nterpolas antara dua nla dar ungs yang mempunya tanda yang berlawanan. Metode setengah nterval adalah sebaga berkut,. Gambar kurva ungs persamaan polnomal ungs ( ). Tentukan nla dan htung ungs ( ) ( ) 3. Tentukan nla dan htung ungs + mempunya nla yang berlawanan dengan dan ungs ) harus + ( ). ( + 4. Untuk selanjutnya penyelesaan dapat dturunkan sebaga berkut (lhat Gambar ), tan φ tanθ () tanφ tanθ ( ) ( ) ( ) + + * Ahmad Zakara

5 Analsa Numerk Bahan Matrkulas ( + ) ( ) ( ) ( ) + + * + ( + ) ( ) ( ) ( * ) (3) ( ) ( ) ( ) + φ * + + * ( ) ( ) + θ + Gambar. Metode Interpolas Lner 5. Setelah ddapat nla kemudan dhtung nla. * * 6. Setelah dhtung nla ( ), htung persamaan berkut, a. Jka persamaan ( ) * < 0 dpenuh, ( + ) * b. persamaan ( + ) * < 0 dpenuh, ( ) * 7. Setelah dhtung nla ( ), htung pendekatan baru akar persamaan dar ungs tersebut dengan menggunakan persamaan (3) dar prosedur perhtungan no Jka nla pendekatan yang baru belum cukup telt maka lakukan lag prosedur perhtungan no. 4 dengan menggunakan persamaan (3). Apabla nla pendekatan baru yang ddapat sudah cukup telt atau nla dar persamaan polnomal atau ungs ( ) 0, maka htungan selesa dan * merupakan akar persamaan yang dcar. 5 Ahmad Zakara

6 Analsa Numerk Bahan Matrkulas.4. Metode Newton-Raphson Metode Newton-Raphson n palng banyak dgunakan dalam mencar akar-akar dar suatu persamaan. Metode n dapat menghtung nla pendekatan akar-akar persamaan polnomal lebh cepat dan akurat dbandngkan dengan beberapa metode yang sudah dbahas terdahulu. Penurunan rumus untuk metode n dapat djelaskan sebaga berkut (lhat Gambar 3), ( ) Gars snggung d ttk A ( ) A B ( ) + θ + θ + ( ) + Gambar 3. Prosedur perhtungan metode Newton-Raphson Tentukan nla awal dan kemudan htung ( ). ( ) ( ) tanθ ( ) tanθ ( ) + 6 Ahmad Zakara

7 Analsa Numerk Bahan Matrkulas Dar persamaan d atas dapat dturunkan, ( ) + ( ) + ( ) ( ) Metode Newton-Raphson: + ( ) ( ).5. Metode Secant Dengan metode Newton-Raphson kta dapat menghtung nla pendekatan dar akar-akar persamaan polnomal dalam waktu yang relat lebh cepat dan akurat dbandngkan dengan metode yang sebelumnya. Akan tetap kelemahan dar metode n adalah, tdak semua persamaan polnomal kompleks dapat dcar ( ) atau turunan pertamanya dengan mudah atau turunan pertamanya sangat sult ddapatkan. Sehngga turunan pertama dar ungs ( ) dapat ddekat dengan persamaan pendekatan beda hngga sebaga berkut(lhat Gambar 4.), ( ) tanφ tanθ ( ) ( ) ( ) tanθ Δ dmana: Δ 7 Ahmad Zakara

8 Analsa Numerk Bahan Matrkulas Untuk setap prosedur perhtungan atau teras dperlukan pendekatan untuk turunan ungs ( ). Semakn kecl nla Δ yang dambl maka hasl nla pendekatan akar-akar persamaan polnomal yang ddapat akan semakn telt dan jumlah prosedur perhtungan atau teras akan semakn pendek. ( ) Gars snggung d ttk A ( ) Pendekatan gars snggung d ttk A, yang memotong ttk A dan ttk B B A φ ( ) ( ) ( ) ( ) + θ ( ) Δ Gambar 4. Prosedur perhtungan metode Secant 8 Ahmad Zakara