Dekomposisi Nilai Singular dan Aplikasinya

Transkripsi

1 A : Dekomposs Nla Sngular dan Aplkasnya Gregora Aryant Dekomposs Nla Sngular dan Aplkasnya Oleh : Gregora Aryant Program Stud Penddkan Matematka nverstas Wdya Mandala Madun aryant_gregora@yahoocom Abstrak Dekomposs nla sngular matrks rl A m x n adalah faktorsas A Σ V dengan matrks orthogonal m x m, V matrks orthogonal n x n dan Σ matrks dagonal m x n bernla rl tak negatf yang dsebut nla-nla sngular Dengan kata lan Σ dag (σ, σ,, σ n ) terurut sehngga σ σ σ n Jka (u, u,, u n ) dan V (v, v,, v n ) maka n A σ u v Selanjutnya, akan durakan aplkasnya dalam matrks yatu untuk menentukan nvers suatu matrks Jka A matrks taksngular n x n maka nvers dar matrks A adalah A - V Σ - dengan Σ - dag,,, σ σ σ n Kata kata kunc : dekomposs nla sngular, nla sngular dan nvers matrks A Pendahuluan Dalam teor matrks, dkenal beberapa teorema dekomposs, d antaranya teorema faktorsas L dan teorema faktorsas QR Selanjutnya, terdapat dekomposs yang dkenal dengan Dekomposs Nla Sngular (Sngular Value Decomposton atau SVD) SVD terkat dengan nla egen dan nla sngular, yang hubungannya akan durakan dalam tulsan n Defns A ntuk suatu matrks perseg A, terdapat vektor tak nol x dan suatu skalar λ sehngga Ax λ x, x Skalar λ dsebut nla egen dar A dan vektor x dsebut vektor egen yang bersesuaan dengan λ (Goldberg, 99 : ) ntuk menentukan nla egen dar matrks perseg A, tuls Ax λ x sebaga Ax λ Ix atau ekuvalen dengan ( A λ I ) x ntuk nla egen λ, persamaan tersebut mempunya penyelesaan tak nol jka dan hanya jka det ( A λ I ) dan dsebut persamaan karakterstk matrks A (Anton, 987 :3) Contoh : ntuk menentukan nla egen dar matrks 4, dbentuk persamaan karakterstk Makalah dpresentaskan dalam Semnar Nasonal Matematka dan Penddkan Matematka dengan tema Penngkatan Kontrbus Peneltan dan Pembelajaran Matematka dalam paya Pembentukan Karakter Bangsa pada tanggal 7 November d Jurusan Penddkan Matematka FMIPA NY

2 A : Dekomposs Nla Sngular dan Aplkasnya Gregora Aryant λ det λ I det 4 ( λ ) 4 4 λ λ 4, yatu λ dan λ 3 Nla egennya adalah akar dar persamaan ( ) Defns A Dberkan A matrks dengan rank r ( ) / Nla egen postf dar A A dsebut nla sngular dar A Dengan kata lan, jka σ adalah nla sngular dar A maka σ adalah nla egen postf dar ( ) / A A, atau σ adalah nla egen dar A A (Goldberg, 99:389) Dar defns d atas, dapat dketahu hubungan antara nla egen dan nla sngular Dengan kata lan, untuk matrks A dengan rank r dan nla-nla egen dar matrks A A adalah λ λ λ r λ r+ λ n, maka σ λ dengan,,, r, r+,, n dsebut nla sngular dar matrks A Contoh : ntuk menentukan nla sngular dar, dapat dperoleh dengan menghtung nla egen dar A A dan nla egen dar A A adalah ( 3 ± ) / serta nla sngular dar A adalah ( ) / 3 ± Berkut dberkan defns nla sngular yang dhubungkan dengan vektor sngular kr dan vektor sngular kanan Defns A3 Msalkan A matrks real berukuran m x n Blangan real postf σ dsebut nla sngular dar matrks A jka ada vektor taknol u R m dan v R n sehngga Av σ u dan A u σ v Vektor u dsebut vektor sngular kr dan v dsebut vektor sngular kanan Selanjutnya, (σ,v) dsebut pasangan sngular kanan dar A dan (σ,u) dsebut pasangan sngular kr dar A Hubungan antara suatu matrks dengan rank tertentu dan nla sngular tak nol dar matrks tersebut dberkan dalam teorema berkut n eorema A Dberkan matrks A dengan rank r Maka terdapat tepat sejumlah r nla sngular tak nol matrks A Bukt : Msalkan nla-nla egen dar matrks A adalah λ λ λ n Semnar Nasonal Matematka dan Penddkan Matematka Yogyakarta, 7 november 34

3 A : Dekomposs Nla Sngular dan Aplkasnya Gregora Aryant Hal n berart terdapat sejumlah n vektor egen x, x,, x n yang bersesuaan dengan nla-nla egen tersebut Hmpunan vektor egen { x, x,, x n } membentuk bass orthogonal untuk R Dengan menormalsaskan bass orthogonal tersebut, dperoleh bass orthonormal Perhatkan nla P, P ntuk j, nla Akbatnya AP AP ( AP ) ( AP ) j P, Pj, dan untuk j, nla Pj P,, P AA P λ, akbatnya λ > Menurut defns nla sngular, berlaku λ P σ AP, untuk setap Rank matrks A sama dengan dmens ruang kolomnya yatu dm{ax x R m } Karena dketahu rank (A) r, maka AP AP AP r, dan AP r+ AP r+ AP n Jad dperoleh σ, untuk,,3,, r Selanjutnya, tulsan n membahas tentang dekomposs nla sngular (sngular value decomposton/svd) beserta contoh dalam matrks SVD dgunakan dalam menentukan nvers yang selanjutnya dapat menyelesakan sstem persamaan lner B Dekomposs Nla Sngular (Sngular Value Decomposton atau SVD) Suatu proses dekomposs akan memfaktorkan sebuah matrks menjad lebh dar satu matrks Demkan halnya dengan Dekomposs Nla Sngular (Sngular Value Decomposton) atau yang lebh dkenal sebaga SVD, adalah salah satu teknk dekomposs berkatan dengan nla sngular (sngular value) suatu matrks yang merupakan salah satu karakterstk matrks tersebut Defns B Dekomposs nla sngular matrks rl A m x n adalah faktorsas A Σ V dengan matrks orthogonal m x m, V matrks orthogonal n x n dan Σ matrks dagonal m x n bernla rl tak negatf yang dsebut nla-nla sngular Dengan kata lan Σ dag (σ, σ,, σ n ) terurut sehngga σ σ σ n Jka (u, u,, u n ) dan V (v, v,, v n ) maka n A σ u v eorema tersebut juga menyatakan bahwa matrks A mxn dapat dnyatakan sebaga dekomposs matrks yatu matrks, dan V Matrks merupakan matrks dagonal dengan elemen dagonalnya berupa nla-nla sngular matrks A, sedangkan matrks dan V merupakan matrks-matrks yang kolom-kolomnya berupa vektor sngular kr dan vektor sngular kanan dar matrks A untuk nla sngular yang bersesuaan Menentukan SVD melput langkah-langkah menentukan nla egen dan vektor egen dar matrks AA atau A A Vektor egen dar A A membentuk kolom V, sedangkan vektor egen dar AA membentuk kolom Nla sngular dalam adalah akar Semnar Nasonal Matematka dan Penddkan Matematka Yogyakarta, 7 november 3

4 A : Dekomposs Nla Sngular dan Aplkasnya Gregora Aryant pangkat dua dar nla-nla egen matrks AA atau A A Nla sngular adalah elemenelemen dagonal dar dan dsusun dengan urutan menurun Contoh : entukan SVD matrks 3 A 3 Penyelesaan : ntuk menentukan vektor sngular kr, dmula dengan AA Yatu, AA Selanjutnya, menentukan nla egen dar AA, yatu λ dan λ Dperoleh nla sngular dar A yatu dan ntuk λ, dperoleh : ( ) x + x x -x Maka vektor egen u bersesuaan dengan nla egen λ ntuk λ, dperoleh ( ) x + x x x Maka vektor egen u bersesuaan dengan nla egen λ Dengan menormalsaskan u dan u dperoleh u u u dan u u u Dperoleh Selanjutnya, dcar nla egen dar A A 4 4 dan nla egen dar A A, yatu λ, λ dan λ Dperoleh nla sngular dar A yatu, dan Dengan mencar vektor egen yang bersesuaan dengan nla egen dperoleh u 3 bersesuaan dengan nla egen λ Semnar Nasonal Matematka dan Penddkan Matematka Yogyakarta, 7 november 3

5 A : Dekomposs Nla Sngular dan Aplkasnya Gregora Aryant u bersesuaan dengan nla egen λ u bersesuaan dengan nla egen λ Akbatnya, vektor-vektor sngular kanan yang orthonormal adalah v ; v dan v Jad, V Dar proses d atas, dperoleh SVD matrks tersebut adalah A V C Menentukan Invers Matrks Jka sebuah matrks sudah dnyatakan dalam perkalan beberapa matrks melalu dekomposs nla sngular, maka dengan menggunakan defns nvers suatu matrks dan sfat matrks orthogonal maka dapat dtentukan nvers dar hasl dekomposs nla sngular pada matrks yang dberkan Defns C Msalkan A matrks nxn Matrks A dsebut orthogonal jka A A - Dar defns d atas, dperoleh nvers matrks dar suatu matrks A - ( ) V ( ) V ( ) V V Semnar Nasonal Matematka dan Penddkan Matematka Yogyakarta, 7 november 37

6 A : Dekomposs Nla Sngular dan Aplkasnya Gregora Aryant dengan σ σ σ n Contoh: Dberkan matrks A Dar matrks A 3 A dperoleh nla egen λ dan λ 8 3 Dan, vektor vektor egen yang bersesuaan masng-masng adalah v dan v Demkan juga nla sngular matrks A adalah σ dan σ Akbatnya, Av σ u v v σ u dengan u Av σ u v v σ u dengan u Jad SVD dar matrks A adalah A V Dengan SVD matrks A dapat dtentukan nvers matrks A yatu A - V 4 4 D Penutup Dekomposs nla sngular adalah suatu proses memfaktorkan sebuah matrks menjad lebh dar satu matrks, yatu perkalan antara matrks dagonal yang memuat nla-nla sngular ( ) dengan matrks yang memuat vektor-vektor sngular yang bersesuaan ( dan V) Karena proses memfaktorkan yang cukup rumt, perlu ada pengembangan lebh lanjut dengan melakukan reduks rank guna mengurang waktu komputas Semnar Nasonal Matematka dan Penddkan Matematka Yogyakarta, 7 november 38

7 A : Dekomposs Nla Sngular dan Aplkasnya Gregora Aryant E Daftar Pustaka Anton, Howard987 Elementary Lnear Algebra Sngapore : John Wley & Sons Goldberg, Jack L 99 Matrx heory wth Applcatons nted States of Amerca : McGraw-Hll Inc Jody S Hourgan and Lynn V McIndoo, he Sngular Value Decomposton onlneredwoodscccaus/nstruct/darnold//jodlynn/reportpdf dakses tanggal September Lay, DC 99 Lnear algebra and ts applcatons, nd ed Readng, MA: Addson- Wesley Sngular_Value_Decomposton_utoral pdf dakses tanggal November Semnar Nasonal Matematka dan Penddkan Matematka Yogyakarta, 7 november 39