Teori Himpunan. Modul 1 PENDAHULUAN

Transkripsi

1 Modul 1 Teor Hmpunan Dr. Subanar K PENDHULUN arena banyak karakterstk dar masalah probabltas dapat dnyatakan secara formal dan dmodelkan secara rngkas dengan menggunakan notas hmpunan elementer, maka pertama-tama kta pelajar teor hmpunan. Setelah mempelajar modul n nda dharapkan dapat: melakukan operas hmpunan; menghtung ttk sampel; menentukan ruang sampel dskrt dan kontnu dan melakukan perkalan hmpunan.

2 1.2 Pengantar Probabltas S Kegatan Belajar 1 Hmpunan dan Operasnya uatu hmpunan adalah koleks objek yang dnamakan anggota atau elemen. Msalnya {mobl, apel, pensl} adalah hmpunan dengan elemenelemen mobl, apel, dan pensl. Hmpunan {muka, belakang} mempunya dua elemen yatu muka dan belakang. Hmpunan {1, 2, 3, 5} mempunya empat elemen. Hmpunan basanya dlambangkan dengan huruf besar, B, H dan seterusnya. nggota atau elemen suatu hmpunan basanya dlambangkan dengan huruf kecl dan dhmpun dengan menggunakan suatu notas { }. Jad = { a, a,..., a } mempunya art hmpunan dengan anggota-anggota 1 2 n a1, a2,..., a n. Hmpunan bagan dar hmpunan atau basa dtuls dengan B adalah hmpunan yang elemen-elemennya juga anggota dar. Hmpunan-hmpunan yang dbcarakan adalah hmpunan-hmpunan bagan dar hmpunan S, d mana kemudan S dsebut semesta (space). Suatu hmpunan dapat pula dsajkan dengan syarat keanggotaan. Jad = {seluruh blangan bulat postf} mempunya art hmpunan dengan anggota-anggota 1, 2, 3, Bla P(x) menyatakan propors P tentang objek x, maka hmpunan yang ddefnskan dengan P(x), dtuls { x P( x )} adalah koleks objek-objek x yang mempunya sfat P. Sebaga contoh, { x x blangan bulat postf yang lebh kecl dar 4} adalah hmpunan {1, 2, 3}. Lambang menyatakan anggota dan bukan anggota. Contoh a mempunya art a anggota dar sedangkan a berart a bukan anggota dar. Hmpunan kosong atau hmpunan hampa adalah hmpunan yang tdak mempunya anggota. Hmpunan n dlambangkan dengan Ø. Sebaga contoh 2 = { x x blangan real dan x 1} adalah hmpunan kosong karena kuadrat blangan real x selalu taknegatf. Bla suatu hmpunan memuat n anggota, maka cacah seluruh hmpunan bagannya adalah 2 n.

3 STS4221/MODUL Contoh Msalkan a menyatakan angka yang tampak pada ss suatu dadu. ngka pada ss n adalah anggota dar hmpunan S= { a 1,a 2,...,a 6} Dalam keadaan 6 n, n = 6; karena tu S mempunya 2 64 hmpunan bagan, yatu,{ a }... { a },{ a,a },... { a,a,a }..., S Pada umumnya, anggota-anggota suatu hmpunan adalah sebarang objek. Sebaga contoh, 64 hmpunan bagan dar hmpunan S pada contoh d atas dapat dpandang sebaga anggota dar hmpunan lan. Hmpunan dketahu secara lengkap bla anggota-anggotanya semuanya dketahu. Jad kta mengatakan dua hmpunan dan B sama bla mereka mempunya anggota yang sama dan dtuls = B. Contoh Bla = {1, 2, 3} dan B = {x x blangan bulat postf yang memenuh : x 2 < 12} maka = B. 2. Bla = {LGOL, FORTRN, BSIC} dan B = {BSIC, FORTRN, LGOL} maka = B.. HIMPUNN BGIN Bla setap anggota dar juga anggota dar B, yatu, bla x maka x B, maka dsebut hmpunan bagan (subset) dar B, atau termuat dalam B, dan dtuls B. Bla bukan hmpunan bagan dar B, kta tuls B (lhat Gambar 1.1) Gambar 1.1.

4 1.4 Pengantar Probabltas Dagram, sepert yang terlhat pada Gambar 1.1, yang dgunakan untuk menunjukkan hubungan antar hmpunan dsebut dagram Venn. Pada pokok bahasan berkutnya dagram Venn akan dgunakan secara luas. Contoh Msalkan = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {2, 4, 5}, C = {1, 2, 3, 4, 5} D = {6, 7, 8} Maka B, B C, C. Tetap D B, D C, D B. 2. Bla sebarang hmpunan, maka. In berart, semua hmpunan adalah hmpunan bagan dar drnya sendr. B. OPERSI HIMPUNN Sekarang kta akan membcarakan beberapa operas yang akan mengombnaskan beberapa hmpunan yang akan menghaslkan hmpunan lan. Operas-operas tersebut, yang analog dengan operas yang kta kenal pada blangan real, memankan peran pentng dalam teor probabltas. Defns Gabungan Bla dan B merupakan dua hmpunan, gabungan dan B dtuls B adalah hmpunan yang memuat semua elemen yang berada dalam atau B. B= { x x atau x B} Perhatkan bahwa x B bla x atau x B atau x berada dalam dan B kedua-duanya. Contoh Msalkan = { a,b,c,e, f }, B= { b,d,r,s }. Tentukan B. Penyelesaan Karena B memuat semua anggota yang berada dalam atau B, maka B={ a, b, c, d, e, f, r, s}. Kta dapat menglustraskan gabungan dua hmpunan dengan menggunakan dagram Venn sebaga berkut. Bla dan B

5 STS4221/MODUL adalah hmpunan-hmpunan yang terlhat dalam Gambar 1.2 (a), maka B adalah hmpunan ttk-ttk pada daerah yang darsr yang terlhat pada Gambar 1.2 (b). Gambar 1.2. Bla dan B hmpunan, rsan dar dan B, dtuls semua anggota yang berada dalam dan B B = { x x dan x B} B, adalah hmpunan Contoh Msalkan { a, b, c, e, f }, B { b, e, f, r, s}, C { a, t, u, v}. Tentukan B, C, dan B C. Penyelesaan nggota-anggota b, e, dan f adalah anggota yang berada dalam dan B bersama-sama. Sehngga B= { b,e, f } Dengan pengamatan yang sama, C= {} a Karena tdak ada anggota yang berada dalam B dan C bersama-sama maka B C Dua hmpunan yang tdak mempunya anggota yang berserkat (anggota bersama), sepert B dan C dalam contoh d atas, dsebut salng asng. Kta dapat menglustraskan rsan dua hmpunan dengan menggunakan dagram Venn sebaga berkut. Bla dan B hmpunan-hmpunan sepert terlhat dalam Gambar 1.3 (a), maka B adalah hmpunan semua ttk-ttk dalam

6 1.6 Pengantar Probabltas daerah terarsr sepert terlhat dalam Gambar 1.3(b). Gambar 1.4 menglustraskan dagram Venn untuk dua hmpunan yang salng asng. Gambar 1.3. Gambar 1.4. Operas gabungan dan operas rsan untuk tga atau lebh hmpunan dapat ddefnskan dengan cara yang sama dengan dua hmpunan. Jad dan B C= x x atau x B atau x C BC= x x dan x B dan x C. Daerah terarsr pada Gambar 1.5. adalah gabungan hmpunan-hmpunan, B, dan C yang terlhat pada Gambar 1.5 (a) dan daerah terarsr pada Gambar 1.5 (c) adalah rsan dan daerah terarsr hmpunan-hmpunan, B, dan C.

7 STS4221/MODUL Gambar 1.5. Secara umum, bla 1, 2,..., n hmpunan bagan dar S maka n akan dnyatakan dengan akan dnyatakan dengan n. 1 n dan n 1 Contoh Msalkan = {1, 2, 3, 4, 5, 7}, B = {1, 3, 8, 9}, C = {1, 3, 6, 8}. B C adalah hmpunan elemen-elemen yang berada dalam, B dan C. Jad B C {1,3} Selsh. Bla dan B hmpunan, maka selsh dan B dtuls B kta defnskan sebaga B = { x x dan x B}

8 1.8 Pengantar Probabltas Contoh Msalkan = {a, b, c} dan B = {b, c, d, e}, Maka B = {a} dan B = {d, e}. Bla dan B hmpunan-hmpunan sepert terlhat pada Gambar 1.6 (a) maka B dan B adalah hmpunan ttk-ttk dalam daerah yang darsr pada Gambar 1.6 (b) dan (c). Gambar 1.6. Bla S hmpunan semesta yang memuat, maka S dsebut komplemen c c dan dtuls dengan. Jad { x x }. Contoh Msalkan { x xblangan bulat dan x 4}, maka c { x x blangan bulat dan x< 4}. Bla hmpunan dalam Gambar 1.7 maka komplemennya adalah daerah terarsr dalam gambar tersebut.

9 STS4221/MODUL Gambar 1.7. Bla dan B hmpunan, maka selsh smetrs (symmetrc dfference) dar dan B dtuls B kta defnskan sebaga hmpunan anggota-anggota yang berada dalam atau B, tetap tdak pada kedua dan B. Jad B= {( x dan xb)atau ( xb dan x )} Contoh Msalkan ={ a, b, c, d } dan B={ a, c, e, f, g } Maka B= { b,d,e, f,g}.` Bla dan B sepert terlhat pada Gambar 1.8 (a) maka selsh smetrs adalah terarsr sepert terlhat pada Gambar 1.8 (b). Dengan mudah dapat dlhat bahwa B= ( B) ( B ) Gambar 1.8.

10 1.10 Pengantar Probabltas 1. Sfat-sfat ljabar Operas Hmpunan Operas-operas pada hmpunan yang baru saja kta defnskan memenuh banyak sfat aljabar. Beberapa d antaranya mempunya sfat-sfat aljabar yang dmlk sstem blangan real. Semua sfat-sfat utama yang terdapat d sn dapat dbuktkan dengan menggunakan defns-defns yang dberkan dan aturan-aturan logka. Kta hanya akan membuktkan beberapa sfat dan yang terssa sebaga lathan untuk nda. 2. Sfat-sfat Operas Hmpunan Operas-operas pada hmpunan yang ddefnskan d atas memenuh sfat-sfat berkut: Komutatf a. B =B b. B =B ssosatf c. ( BC ) = ( B ) C d. ( BC ) = ( B) C Dstrbutf e. ( BC ) = ( B ) ( C ) f. ( B C ) = ( B) ( C) Idempoten g. = h. = Komplemen c. c j. k. l. m. = c =S c = c =S c S

11 STS4221/MODUL c c c n. ( B ) = B c c c o. ( B ) = B Hukum De Morgan. Hmpunan Semesta p. S =S q. S = Hmpunan Kosong r. = s. = Bukt: Kta hanya akan membuktkan Sfat n. yatu ( B ) c = c B c dan mennggalkan lannya sebaga lathan. Caranya: Kta harus membuktkan: ( B) c c B c yatu jka x ( B) c c c maka x B, dan c c c sebalknya B ( B), yatu jka c c x B Msalkan x B c. Maka x B, sehngga x berart c c x B, sehngga ( B) c c B c., maka x ( B) c. dan x B. In c c Sebalknya, msalkan x B. Maka x dan x B, sehngga x B, atau x ( B) c c c c. kbatnya B ( B). c c c c c c Oleh karena ( B) B dan B ( B), berart ( B) c c B c. Terbukt. 3. Prnsp Penjumlahan Hmpunan dsebut hngga bla mempunya n anggota yang berbeda d mana n blangan bulat postf. Dalam hal n n dsebut cacah anggota dar dan dtuls dengan n(). Sekarang msalkan dan B sebarang hmpunan hngga. Kadang-kadang berguna untuk mendapatkan rumus untuk n( B), cacah gabungan. Bla dan B salng asng, yatu bla B, maka setap elemen dar B nampak d atau B tetap tdak pada kedua-duanya. Karena tu n ( B) n( )+ n( B). Bla dan B salng berpotongan, sepert terlhat pada Gambar 1.9, maka B berada dalam kedua hmpunan dan B, dan

12 1.12 Pengantar Probabltas jumlahan n( ) n( B) memuat cacah elemen d B dua kal. Untuk mengoreks duplkas n, kta mengurang n B dall berkut, yang serng dsebut prnsp penjumlahan.. Jad, kta mempunya Teorema Bla dan B hmpunan hngga, maka n( B ) =n( ) + n( B) n( B) Contoh Msalkan = { a,b,c,d,e } dan B= { c,e, f,h,k,m }. Htunglah n( B) Penyelesaan Kta mempunya B= { a, b, c,d, e, f, h, k, m} dan B= { c,e} juga, n( ) = 5, n( B ) = 6, n( B ) = 9, n( B ) = 2 Maka n( B ) = 9 = n( ) + n( B) n( B ) = Bla dan B salng asng, yatu B= kbatnya dall d atas menjad n( B) n( )+ n( B), maka n B 0. Gambar 1.9. Keadaan untuk tga hmpunan lebh rumt (kompleks) dan n dapat dgambarkan dalam Gambar 1.10.

13 STS4221/MODUL Gambar Prnsp penjumlahan untuk tga hmpunan dnyatakan dalam dall berkut. Teorema Bla, B, dan C hmpunan berhngga, maka n B C = n +n B +n C nb nb C n C n BC Contoh Msalkan { a, b, c, d, e}, B { a, b, e, g, h} C Htunglah n B C. b, d, e, g, h, k, m, n Penyelesaan Kta mempunya B C { a, b, c, d, e, g, h, k, m, n} B { a, b, e}, C { b, d, e} B C { b, e, g, h}, B C ( b, e}. Maka n ( ) 5, nb ( ) 5, nc ( ) 8 n( B C) 10, n( B) 3, n( C) 3, n( B C) 4. n( B C) 2.

14 1.14 Pengantar Probabltas Maka n B C = n +n B +n C n B n B C n C +n B C Contoh Sebuah perusahaan komputer harus menyewa 25 programmer untuk mengerjakan tugas-tugas sstem programmng dan 40 programmer untuk terapan programmng. Dar yang dsewa tersebut 10 harus dapat mengerjakan kedua-duanya. Berapa programmer yang harus dsewa? Penyelesaan Msalkan menyatakan hmpunan programmer untuk sstem programmng yang dsewa, dan B untuk terapan programmng, maka n 25, n B 40 dan n B 10. Cacah programmer yang harus dsewa adalah n( B) n( ) n( B) n( B) Contoh Sebuah surve dlakukan untuk mengetahu apa kendaraan yang dpaka karyawan ke kantornya. Setap responden dmnta memlh BUS, KERET PI, atau MOBIL PRIBDI sebaga alat transportas utama. Seorang responden boleh memberkan lebh satu jawaban. Hasl surve adalah sebaga berkut: (a) 30 orang menjawab BUS. (b) 35 orang menjawab KERET PI. (c) 100 orang menjawab MOBIL PRIBDI. (d) 15 orang menjawab BUS dan KERET PI. (e) 15 orang menjawab BUS dan MOBIL PRIBDI. (f) 20 orang menjawab KERET PI dan MOBIL PRIBDI. (g) 5 orang menggunakan ketga-tganya. Berapakah cacah karyawan yang mengkut surve? Penyelesaan Msalkan, B, dan C masng-masng menyatakan hmpunan-hmpunan karyawan yang menjawab BUS, KERET PI, dan MOBIL PRIBDI.

15 STS4221/MODUL Maka n() = 30, n(b) = 35 dan 100 n B n C nb C n B C nc, =15, 15, 20, dan 5. Jumlah karyawan yang mengkut surve adalah n B C Fungs Karakterstk Konsep yang sangat berguna untuk hmpunan adalah fungs karakterstk. Bla hmpunan bagan dar semesta S, fungs karakterstk f dar ddefnskan sebaga berkut: 1 bla x f( x) 0 bla x Sfat-sfat fungs karakterstk a. f B f f, yatu ( ) ( ) ( ) B fb x f x fb x untuk setap x. b. fb f+ fb f fb, yatu fb( x) f( x)+ fb( x) f ( x) fb( x) untuk setap x. c. fb f+ fb 2 f fb, yatu fb( x) f( x)+ fb( x) 2 f ( x) fb( x) untuk seta Bukt: a. f( x) fb( x ) sama dengan 1 bla dan hanya bla f( x) dan fb( x ) semuanya sama dengan 1 dan n terjad bla dan hanya bla x berada d dan B yatu dalam B. Karena f f B sama dengan 1 pada B dan 0 untuk yang lan, a harus sama dengan f B. b. Bla x, maka ( )=1 f x + f x f x f x = f x, sehngga B B 1 f ( x) f ( x) 1. Bla x tdak d atau B, maka f ( x) f ( x) 0, B B sehngga f x + f x f x f x = 0 B B. Jad f + fb f fb sama dengan 1 pada B dan 0 untuk yang lan, sehngga sama dengan f. B c. Bukt dar sfat 3 dtnggalkan sebaga lathan untuk nda. B

16 1.16 Pengantar Probabltas 5. Perluasan Gabungan dan Irsan Operas gabungan dan rsan dapat dperluas juga ke koleks tak hngga hmpunan. Bla 1, 2, 3,... koleks hmpunan, semuanya ddefnskan pada ruang sampel S, maka 1 1 x S x untuk suatu x S x untuk setap Contoh Msalkan S = (0,1] dan 1,1, 1, 2, 3,... maka ,1 x (0, 1] x,1 untuk suatu { x(0,1]} (0,1] ,1 x (0,1] x,1 untuk setap 0,1 x 1,1 x = {1} hmpunan n terdr dar ttk 1. Banyak sfat-sfat operas hmpunan hngga yang berlaku untuk operas gabungan dan rsan yang banyaknya tak hngga. Sebaga contoh, hukum De Morgan menjad c 1 1 c c 1 1 c khr Kegatan Belajar 1 n kta akhr dengan defns-defns berkut.

17 STS4221/MODUL Defns Dua hmpunan dan B dsebut salng asng bla B. Hmpunan,,... dsebut salng asng pasangan (mutually exclusve) bla 1 2 untuk setap j. j Contoh [, 1), 0, 1,... salng asng pasangan. Defns Bla 1, 2,... salng lepas (parwse dsjont) dan koleks 1, 2,... dsebut parts dar S. S maka, 1 Contoh Msalkan S [1, ), maka [, 1), 1, 2,... merupakan parts dar S, sebab 1 [1,2), 2 [2,3), 3 [3,4),..., sehngga S. LTIHN Untuk memperdalam pemahaman nda mengena mater d atas, kerjakanlah lathan berkut! 1) Buktkan = B bla dan hanya bla B dan B! 2) Bla = {1, 2, 5, 8, 11}. Jawab masng-masng pertanyaan d bawah benar atau salah. (a) {5,1} (b) {8,1} (c) {1,6} (d) {1,8,2,11,5} (e) (f) {2} (g) {11, 2,5,1,8, 4} (h) {3}.

18 1.18 Pengantar Probabltas 3) Pada setap hmpunan d bawah tuls hmpunan yang bersesuaan dalam bentuk x P x dengan P(x) sfat yang menggambarkan elemenelemen dar hmpunan. (a) {2, 4, 6, 8, 10} (b) {a, e,, o, u} (c) {1, 4, 9, 16, 25, 36} (d) { 2, 1, 0, 1, 2} 4) Dengan menggunakan gambar d bawah n, jawab pertanyaanpertanyaan berkut dengan benar atau salah! (a) B (b) B (c) C B (d) x B (e) x (f) y B 5) Msalkan = {1, 2, 3, 4, 5}. Mana dar hmpunan-hmpunan d bawah yang sama dengan? (a) {4, 1, 2, 3, 5} (b) {2, 3, 4} (c) {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2 (d) { x x blangan bulat x 25} (e) { x x blangan bulat postf x 5} (f) { x x blangan rasonal postf x 5}

19 STS4221/MODUL ) Msalkan x x x 2 { blangan bulat dengan 16} Jawab pertanyaan-pertanyaan berkut dengan benar atau salah. (a) {0, 1, 2, 3} (b) { 3, 2, 1} (c) (d) { x x blangan bulat dan x 4} (e) 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3 7) Buktkan B = B. 8) Bla B = C, apakah B = C? Jelaskan. 9) Msalkan dan B sebarang hmpunan. Buktkan B bla dan hanya bla B c c. 10) Buktkan. (a) B bla dan hanya bla B =B (b) B bla dan hanya bla B =. RNGKUMN 1. Operas gabungan dan rsan pada hmpunan mempunya sfat komutatf, asosatf, dan dstrbutf. 2. n( B) n( ) n( B) n( B). 3. f B f fb 4. f B f f B f fb f f f 2 f f 1 1 B B B { x S x untuk suatu } x S x untuk setap. 5. Hukum De Morgan. c 1 1 c

20 1.20 Pengantar Probabltas 1) Dar hmpunan-hmpunan d bawah, yang merupakan hmpunan kosong adalah.. x x blangan real dan x B. x x blangan real dan x C. x x blangan real dan x 2 9 D. x x blangan real dan x E. x x blangan real dan x x+1 2) Msalkan S { a, b, c, d, e, f, g, h, k} TES FORMTIF 1 Plhlah satu jawaban yang palng tepat! a, b, c, g ; B d, e, f, g; C a, c, f ; D f, h, k B adalah. a, b, c, d, e, g. B. a, b, c, d, e, f C. a, b, c, d, e, f, g D. a, b, d, e, f, g E. a, b, e, f, g 3) Dar soal 2, B D adalah.. {h} B. {f} C. (e} D. {d} E. {k} 4) Dar soal 2, C adalah.. {f, g} B. {b, g} C. {d, f, g} D. {b, f, g} E. {a, f, g}, maka

21 STS4221/MODUL ) Msalkan S 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9 = {1, 2, 3, 4, 6, 8}; B = {2, 4, 5, 9} 2 C x x blangan bulat postf dan x 16 C adalah.. {1, 2, 3, 4, 6, 8} B. {1, 2, 4, 6, 8} C. {2, 3, 6, 8} D. {1, 4, 6, 8} E. {1, 3, 4, 6, 8} 6) Dar soal 5, C adalah.. {3, 5} D. {4, 5, 6} B. {1, 2, 4} E. {1, 3, 4} C. 7) Dar soal 5, B adalah.. {1, 5, 6, 8, 9} D. {1, 2, 8, 9} B. {1, 6, 8, 9} E. {1, 2, 5, 6} C. {1, 2, 6, 8, 9} 8) Msal, B, dan C hmpunan hngga dengan n() = 6, n(b) = 8, n(c) = 6, n( B C) 11, n( B) 3, n( C) 2, adalah.. 2 D. 5 B. 3 E. 6 C ) Msal n [1, 1 ), n=1, 2, 3, 4,... maka n n adalah. 1. 1, D. 1 2 B. E. {1} C. 0 10) Dar soal 9, n adalah. 1. [1, 2) D. {1} B. [1, 2] E. C. 1 1, 2 1

22 1.22 Pengantar Probabltas Cocokkanlah jawaban nda dengan Kunc Jawaban Tes Formatf 1 yang terdapat d bagan akhr modul n. Htunglah jawaban yang benar. Kemudan, gunakan rumus berkut untuk mengetahu tngkat penguasaan nda terhadap mater Kegatan Belajar 1. Tngkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar 100% Jumlah Soal rt tngkat penguasaan: % = bak sekal 80-89% = bak 70-79% = cukup < 70% = kurang pabla mencapa tngkat penguasaan 80% atau lebh, nda dapat meneruskan dengan Kegatan Belajar 2. Bagus! Jka mash d bawah 80%, nda harus mengulang mater Kegatan Belajar 1, terutama bagan yang belum dkuasa.

23 STS4221/MODUL K Kegatan Belajar 2 Hmpunan Terhtung, Perkalan, dan Keluarga Hmpunan ta menggunakan notas-notas khusus untuk hmpunan-hmpunan tertentu, sepert N = {1, 2, 3, } untuk hmpunan blangan bulat postf, Z = {, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } untuk hmpunan blangan bulat, R x x } untuk hmpunan blangan real, a, b x a x b a, b x a x b a, b x a x b a, b x a x b untuk selang terbuka, untuk selang tertutup, untuk selang setengah terbuka/tertutup, untuk selang setengah tertutup/terbuka. Dua hmpunan dan B dsebut ekuvalen dan dtuls ~ B bla terdapat korespondens 11 antara dan B. Contoh1.2.1 Hmpunan = {1, 2, 3} dan B = {2, 4, 6} ekuvalen karena adanya korespondens 1 1 antara dan B berkut : B: Bla ~ B, maka B~. Juga bla ~ B dan B~ C maka ~ C. Hmpunan yang ekuvalen dengan hmpunan {1, 2,, n} untuk suatu blangan asl n dsebut hngga; bla tdak demkan dsebut takhngga. Hmpunan takhngga yang ekuvalen dengan hmpunan blangan postf N dsebut terhtung (denumerabel); bla tdak ekuvalen dengan blangan postf N dsebut tak terhtung (non-denumerabel).

24 1.24 Pengantar Probabltas Suatu hmpunan yang merupakan hmpunan kosong, hngga, atau denumerabel dsebut terhtung; bla tdak termasuk dalam krtera tersebut dsebut tak terhtung. Teorema Gabungan terhtung dar hmpunan yang terhtung adalah terhtung. (1.21) Contoh Tunjukkan bahwa hmpunan blangan rasonal dalam selang [0,1] adalah takhngga terhtung atau denumerabel. Penyelesaan Kta harus menunjukkan bahwa terdapat korespondens 1-1 antara hmpunan blangan rasonal dalam [0,1] dan N. Korespondens yang dmaksud dnyatakan dengan cara sebaga berkut Perhatkan bahwa blangan rasonal durutkan menurut naknya penyebut. Blangan rasonal sepert 2 4, yang sama dengan 1, dabakan karena telah 2 terhtung. Contoh Tunjukkan bahwa gabungan terhtung dar hmpunan yang terhtung adalah terhtung. Penyelesaan Pandang hmpunan-hmpunan S 1= a 11, a 21, a 31,..., S = a, a, a,.... Terdapat sejumlah terhtung hmpunan-hmpunan 1 2 S, S,... dan masngmasng hmpunannya adalah terhtung.

25 STS4221/MODUL Sekarang kta dapat menuls elemen-elemennya dalam bentuk a a a a a a a a a a a a a a a a a Bla kta mengkut arah anak panah, maka akan ddapat hmpunan a, a, a, a, a, a, a, a,... dan hasl terakhr menunjukkan adanya korespondens 11 dengan N. Contoh Tunjukkan bahwa hmpunan semua blangan real [0,1] adalah tak terhtung. Penyelesaan Setap blangan real dalam [0,1] mempunya ekspans desmal 0,a1 a 2,... dengan a 1, a 2,... salah satu dar angka 0, 1, 2,, 9. Bla ekspans desmalnya berhent sepert 0,7324, maka blangan tersebut d tuls 0, dan n sama dengan 0, Bla semua blangan real dalam [0,1] terhtung, maka kta dapat menempatkan mereka dalam korespondens 11 dengan N dalam bentuk daftar sebaga berkut: 1 0,a11 a12 a13 a ,a a a a ,a a a a

26 1.26 Pengantar Probabltas Sekarang kta bentuk blangan 0,b1 b2 b3 b 4... dengan b1 6 bla a11 5 dan b1 5 bla a11 5, b2 6 bla a22 5 dan b2 5 bla a2 5 dan seterusnya. [Pemlhan 5 dan 6 dengan sendrnya dapat dgant dengan dua blangan yang lan]. Dar cara pembentukan d atas, terlhat bahwa blangan 0, b1 b2 b 3... berbeda dengan setap blangan dalam daftar d atas dan tdak dapat berada dalam daftar. Kontradks dengan andaan bahwa setap blangan real dalam [0,1] telah dkutkan. Karena [0,1] tdak dapat dkorespondenskan dengan N maka [0,1] tak terhtung.. PERKLIN HIMPUNN Msalkan dan B dua hmpunan sebarang. Perkalan hmpunan dan B, dtuls B adalah hmpunan semua pasangan berurutan (a, b) dengan a dan b B yatu B= a,b a, b B. Perkalkan suatu hmpunan dengan drnya sendr, katakanlah, akan dnyatakan dengan 2. Contoh Dalam bdang Cartesan 2 R R R (Gambar 1.11) setap ttk P menyajkan pasangan berurutan (a, b) dar blangan real a dan b demkan juga sebalknya, pasangan berurutan (a, b) dar blangan real a dan b menentukan setap ttk P. Gambar 1.11.

27 STS4221/MODUL Contoh Msalkan = {1,2,3} dan B = {a, b}. Maka B=,a,,b,,a,,b,,a,,b. Karena dan B tdak memuat terlalu banyak elemen, maka dmungknkan untuk menyajkan B dengan dagram koordnat sepert dtunjukkan dalam Gambar D sn gars-gars tegak melalu ttk-ttk dar dan gars-gars mendatar melalu ttk-ttk dar B dan bertemu dalam 6 ttk yang menyajkan B. Ttk P adalah pasangan berurutan (2,b). Secara umum bla hmpunan mempunya s elemen dan hmpunan B mempunya t elemen, maka B mempunya s t elemen. Konsep perkalan hmpunan dapat dperluas ke sejumlah hngga hmpunan dengan cara sepert basa Perkalan hmpunan 1, 2..., m yang dnyatakan dengan m atau a 1, a 2,..., a m dengan a m 1 untuk setap. 1 2 m a, a,..., a a untuk setap m adalah hmpunan m-tuples 1 Gambar Contoh Msalkan = {a, b}, B = {2, 3}, dan C = {3, 4}. Tentukan. ( B C) ( B) ( C)

28 1.28 Pengantar Probabltas Penyelesaan B C= 234,, Karena maka B C adalah B C a,2, a,3, a,4, b,2, b,3, b,4. Contoh B C = B C. Buktkan Penyelesaan (B C)={( x, y) x, yb C} = x, y x, y B, y C x, y x, y B, x, y C = B C. Contoh Msalkan = {1, 2, 3}, B = {2, 4} dan C = (3, 4, 5}. Tentukan B C. Penyelesaan Metode yang enak untuk menentukan B C adalah melalu apa yang dsebut dagram pohon d bawah. Dagram pohon dsusun dar kr ke kanan. B C terdr dar trpel terurut yang dsusun d sebelah kanan pohon.

29 STS4221/MODUL Contoh Bla B dan C D, buktkan ( C) ( B D). Bukt: Msalkan (x,y) sebarang elemen dalam C. Maka x dan y C. Karena B dan C Dmaka x B dan y D. In berart x,y B D. Karena kta telah menunjukkan, bla x,y terbukt ( C) ( B D). C maka x,y B D,

30 1.30 Pengantar Probabltas B. KELURG HIMPUNN Kadang-kadang anggota suatu hmpunan dapat juga merupakan hmpunan. Sebaga contoh, setap gars dalam hmpunan gars adalah hmpunan ttk-ttk. Untuk memperjelas stuas n, kta menggunakan stlah keluarga untuk hmpunan sedemkan. Contoh nggota dar keluarga hmpunan {{2,3}, {2}, {5,6}} adalah hmpunan-hmpunan {2,3}, {2} dan {5,6}. 2. Pandang sebarang hmpunan. Kuasa hmpunan dtuls P(), adalah keluarga dar semua hmpunan bagan dar. Pada khususnya, bla = {a, b}, maka P( )={{ a, b}, { a}, { b}, } atau {, { a}, { b}, }. Bla = {a, b, c} maka P =, a,b, a,c, b,c, a, b, c,. Secara umum, bla hngga dan mempunya n elemen, maka P() mempunya 2 n elemen. Dengan alasan n P() serng dtuls 2. Defns Msalkan keluarga hmpunan bagan dar S dengan S semesta. dsebut lapangan (feld) bla (a) S c (b) Bla (c) Bla 1, 2,..., n. n 1 Bla syarat (c) dubah menjad (c) Bla 1, 2,... maka dsebut lapangan ( feld). 1

31 STS4221/MODUL Contoh Msalkan S adalah semesta. Maka,S merupakan lapangan. c, B=,,, S C. HIMPUNN DLM TEORI PROBBILITS, maupun 2 S Dalam teor probabltas basanya kta mempelajar gejala acak (random) sebaga lawan dar gejala yang tertentu atau determnstk. Dalam hal n kta ngn mempelajar hasl percobaan dan percobaan n tdak selalu menghaslkan hasl yang sama. Persoalan kta adalah mengumpulkan semua hasl yang mungkn dar percobaan n, dan n berfungs sebaga hmpunan semesta S. Hmpunan bagan, B, C dar S menyatakan kejadan yang mungkn muncul dan ngn dketahu probabltas atau peluangnya untuk terjad. Dalam menghtung probabltas tersebut basanya kta menggunakan manpulas teor hmpunan yang telah kta bcarakan d muka. Contoh Msalkan kta melemparkan sepasang dadu ke atas dan kta perhatkan permukaan yang muncul. Hasl yang ddapat adalah pasangan blangan bulat (, j ) dengan 1, j 6. Jad, dalam hal n semesta S adalah (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), S = (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,4), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), Msalkan menyatakan kejadan jumlahnya 7 maka {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}. Perhatkan bahwa merupakan hmpunan bagan dar S. Sekarang msalkan B menyatakan tada dadu yang menunjukkan 1. Maka

32 1.32 Pengantar Probabltas (2,2), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2) (2,3), (3,3), (4,3), (5,3), (6,3) B = (2,4), (3,4), (4,4), (5,4), (6,4) (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5) (2,6), (3,6), (4,6), (5,6), (6,6) Jumlahnya 7 dan tada dadu menunjukkan 1 adalah hmpunan ttk-ttk dalam B={(2,5), (3,4), (4,3), (5,2)}. (Gambar 1.13). Gambar S,, B, dan B Contoh Dar rumah sampa ke kantor, seorang karyawan melewat tga perempatan yang semuanya mempunya lampu pengatur lalu lntas. Pada setap perempatan seorang karyawan dapat stop (s) atau terus (t). Dalam hal n S atau semestanya adalah S = {ttt, tts, tss, tst, sss, sst, stt, sts}. LTIHN Untuk memperdalam pemahaman nda mengena mater d atas, kerjakanlah lathan berkut! 1) Msalkan Q menyatakan hmpunan semua blangan rasonal. Buktkan hmpunan-hmpunan berkut denumerabel!

33 STS4221/MODUL (a) x x Q, x 1 (b) x x Q, x 0 (c) x x Q, x 0 2) Buktkan bahwa terdapat korespondens 1-1 antara ttk-ttk dalam selang 0 x 1 dan (a) 4 x 4 (b) 4 x 6 3) Seldk apakah persyaratan berkut benar atau salah? (a) ( BC) ( B) C (b) ( B C) ( B) ( C) n, 2 n, 3 n,..., n 1, 2, 3... tentukan 4) Msalkan n (a) 2 7 (b) 6 8 (c) ) Bla = {1, 2, 3, 4} tentukan hmpunan kuasa 2 dar! 6) Msalkan dan B kedua-duanya merupakan lapangan dar hmpunanhmpunan bagan dar S. Tunjukkan bahwa B belum tentu merupakan lapangan! 7) Sepert pada soal nomor 6, buktkan bahwa B merupakan lapangan! 8) Msalkan B C. Perhatkan pernyataan berkut apakah benar atau salah? ( B B) ( C C) 9) Dar soal nomor 8, buktkan ( BC) ( C B) 10) Buktkan 1 ( ) ( )... c c c

34 1.34 Pengantar Probabltas RNGKUMN 1. Hmpunan tak hngga yang ekuvalen dengan hmpunan blangan bulat postf N dsebut denumerabel. 2. Suatu hmpunan yang merupakan hmpunan kosong, hngga, atau denumerabel dsebut terhtung. B a, b a, b B Msalkan keluarga hmpunan bagan dar S, dengan S semesta. dsebut lapangan bla a. S b. c Bla c. Bla 1, 2, 3, TES FORMTIF 2 Plhlah satu jawaban yang palng tepat! 1) Bla B = {1, {2, 3}, 4} maka cacah anggota hmpunan kuasa dar B, P(B) adalah.. 15 D. 16 B. 14 E. 10 C. 8 2) Msalkan = {1, 2, 3, 4} dan B = {1, {2, 3}, 4} cacah anggota dar B adalah.. 16 D. 8 B. 12 E. 10 C. 0 3) Msalkan n { n, 2 n, 3 n,...}, n 1, 2, 3... Maka 3 12 adalah.. 3 D. B. 4 E. 12 C. N

35 STS4221/MODUL ) Dengan n sepert pada soal nomor 3 maka 2 8 adalah.. 2 D. N B. 8 E. C. 16 5) Msalkan J = {2, 4, 6, 8, } dan n sepert pada soal 3. Maka adalah.. N D. 3 B. J E. C. 2 nj n B x a x b 1, n 1, 2, 3,... Maka 6) Msalkan n n adalah.. x a x b D. x a x b B. x a x E. x a x b C. x a x 0 n1 B n 7) Dalam perjalanan ke kantornya seorang karyawan harus melewat 4 lampu pengatur lalu lntas. Pada setap lampu pengatur lalu lntas a dapat stop (s) atau terus (t). Dalam hal n cacah anggota dar ruang sampel S adalah.. 32 D. 16 B. 10 E. 12 C. 8 8) Sebuah mata uang sembang dlemparkan tga kal. Msalkan M menyatakan ss muka dan B ss belakang. Msalkan : palng sedkt mendapatkan dua muka; D: dua lemparan pertama muka dan c C : lemparan terakhr belakang, maka adalah.. {MMM, MBB} B. {MMB, BBM, MBM} C. {MBB, BBB, BBM, BMB} D. {BBB, MBB, BBM} E. {MBB, BBM, BMB}

36 1.36 Pengantar Probabltas 9) Dar soal 8, D adalah.. {MMB, MMM} B. {MBB, BBB, BBM, BMB} C. {MMB} D. {MMM} E. {BBB, MBM} 10) Dar soal 8, C adalah.. S B. C. {MMM, MMB, MBM, BBB} D. {MMM, BBB, BMB} E. {MMM, MMB, MBM, BMM, MBB, BBB, BMB} Cocokkanlah jawaban nda dengan Kunc Jawaban Tes Formatf 2 yang terdapat d bagan akhr modul n. Htunglah jawaban yang benar. Kemudan, gunakan rumus berkut untuk mengetahu tngkat penguasaan nda terhadap mater Kegatan Belajar 2. Tngkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar 100% Jumlah Soal rt tngkat penguasaan: % = bak sekal 80-89% = bak 70-79% = cukup < 70% = kurang pabla mencapa tngkat penguasaan 80% atau lebh, nda dapat meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jka mash d bawah 80%, nda harus mengulang mater Kegatan Belajar 2, terutama bagan yang belum dkuasa.

37 STS4221/MODUL Kunc Jawaban Tes Formatf Tes Formatf 1 1) E 2) C 3) B 4) D 5) 6) B 7) 8) C 9) E 10) Tes Formatf 2 1) C 2) B 3) E 4) 5) E 6) D 7) D 8) C 8) 10) E

38 1.38 Pengantar Probabltas Daftar Pustaka Dudewcz, E.J. & Mshra, S.N. (1988). Modern Mathematcal Statstcs. Jhon Wley. Lpschutz, S. (1982). Probablty. Mc. Graw Hll.