UKURAN GEJALA PUSAT &

Transkripsi

1 UKURAN GEJALA PUSAT & UKURAN LETAK

2 UKURAN GEJALA PUSAT & LETAK Untuk mendapatkan gambaran yang jelas mengena suatu populas atau sampel Ukuran yang merupakan wakl kumpulan data mengena populas atau sampel Ukuran gejala pusat : Ukuran letak : Rata-rata/rata-rata htung Rata-rata ukur Rata-rata harmons Modus Medan Kuartl Desl Persentl Catatan: Ukuran yang dhtung dar data dalam sampel dsebut Statstk Ukuran yang dhtung dar data dalam populas dsebut parameter

3 Rata-rata Htung ( ) Rumus untuk menentukan rata-rata htung X : X = x + x x n dalam bentuk sederhana: n atau X n = = x X = n Contoh: Nla ujan dar lma mahasswa untuk mata kulah statstka adalah : 70,69,45,80, dan 56. Htung rata-rata nla kelma mahasswa tersebut! n x X = 5 = 64

4 Bla x menyatakan nla data, dan f menyatakan frekuens untuk nla x yang bersesuaan, maka: X = f f x Contoh: X f X f X f Jumlah X = ( 5x70) + ( 6x69) + ( 3x45) + ( x80) + ( x56) = 6 = 64,6875 X = f f x 035 = = 6 64,6875

5 Rata-rata Gabungan Rata-rata gabungan dar k buah sampel dhtung dengan rumus: n x X = n Contoh: Tga sampel masng-masng berukuran 0, 6, dan 8. Sedangkan rat-ratanya masng-masng 45, 8, dan 62. Htung rata-rata gabungannya! X = ( 0x45) + ( 6x8) + ( 8x62) = Data yang dsusun dalam daftar dstrbus frekuens X = f f x x = Tanda kelas = md pont = 43,966667

6 Rata-rata Gabungan Data yang dsusun dalam daftar dstrbus frekuens X = f Contoh: f x Nla f X f X , ,5 36, ,5 277, , , , ,5 46 Jumlah X = = 80 75,875

7 Cara 2 : Cara Codng/Cara Sngkat Ambl salah satu tanda kelas (X o ) Harga Xo dber nla C = 0 Tanda kelas > Xo berturut-turut dber nla C=+, C=+2, dst Tanda kelas < Xo berturut-turut dber nla C=-, C=-2, dst Jka panjang kelas nterval (p) f c = x + p f Xo = mean duga, kelas nterval yang memlk X 0 frekuens terbesar Nla f C f X Jumlah X = x 0 + p X = 75,875 X = 75, X = 75,5 + 0,375 f f c

8 Rata-rata Ukur Jka kta memlk perbandngan tetap atau hampr tetap, maka rata-rata ukur U ddefnskan sebaga: U = n x. x2. x3... x n Contoh: Htung rata-rata ukur untuk data x = 2, x2=4 dan x3=8 U = = 4 Untuk blangan-blangan bernla besar: log x logu = n logu = 3 = 3 = 0,602 U = 4 ( log 2 + log 4 + log8) ( 0, ,602+ 0,903)

9 Untuk fenomena bersfat tumbuh (pertumbuhan penduduk, bakter, dll), dgunakan rata-rata ukur: P t x p = t P o = Keadaan awal atau permulaan P t = keadaan akhr t = Satuan waktu yang dgunakan x = Rata rata pertumbuhan setap satuan waktu Contoh: Penduduk Indonesa pada akhr tahun 946 ada 60 juta, akhr tahun 956 ada 78 juta. Berapa rata-rata pertumbuhan penduduk setap tahun? P o = 60 juta P t = 78 juta t = 0 tahun x Pt p = x x = x + 00 x log78 = log60 + 0log x = 2,67 t Laju rata-rata pertumbuhan = 2,67% tap tahun

10 Rata-rata Ukur Data yang dsusun dalam daftar dstrbus frekuens logu = ( f log x ) f Contoh : Data nla 80 Mahasswa Nla f X log X f logx ,5,5502 3, ,5,6580 4, ,5,7443 8, ,5,862 25, ,5, , ,5, , ,5, ,7600 Jumlah , ,6923 log U = 80 =,872 U = 74,336

11 Rata-rata Harmons (H) Rata-rata harmons dar data x,x 2,,x n dalam sebuah sampel berukuran n, adalah: H = n x Contoh: Htung rata-rata harmons untuk data 3, 5,6,6,7,0, dan 2 H = = 5,87 Ahmad bepergan pulang perg. Waktu perg melakukan kecepatan 0 km/jam, sedangkan waktu kembalnya 20 km/jam. Berapa rata-rata kecepatan pulang perg Ahmad? 2 H = = 3 km / jam

12 Rata-rata Harmons (H) Data dalam daftar dstrbus frekuens; H Contoh: = f f x Nla f x f /x ,5 0, ,5 0, ,5 0, ,5 0, ,5 0, ,5 0, ,5 0,257 Jumlah 80 -, H = =,035 72,4966 Untuk nla statstka 80 mahasswa: H U x

13 MODUS Modus merupakan suatu nla yang serng banyak muncul Contoh : Sampel dengan data sebaga berkut: 20,80,75,60,50,85,45,60, dan 90 Modus = 60 Sampel dengan data sebaga berkut: 20,80,75,60,50,85,45,65, dan 90 Tdak ada Modus

14 Modus Data dalam daftar dstrbus frekuens: dengan: Mo = Modus b = Batas bawah kelas modal (kelas nterval dengan frekuens terbanyak) p = Panjang kelas M o b = b+ p b + b b = Frekuenskelasmodal frekuenskelasnterval sebelumnya b 2 = Frekuenskelasmodal frekuenskelasnterval berkutnya Contoh : Data untuk 80 mahasswa Nla f Jumlah 80 M o M o 0 = 70, = 77, b = b+ p b + b = 70,

15 Modus dar sekumpulan data bsa lebh dar satu Contoh : Dberkan data sebaga berkut: Nla f ada 2 modus, yatu 75 dan 92

16 MEDIAN Medan merupakan suatu nla yang membag dua suatu deretan nla (dstrbus frekuens), sehngga banyaknya pengamatan d kedua bagan Itu sama Contoh : Sampel dengan data sebaga berkut: 4,2,5,7,8,0, dan 0 Setelah dsusun nlanya: 4,5,7,8,0, 0, 2 Medan = 8

17 Untuk data berukuran genap, setelah dsusun urutan nlanya, Medannya merupakan rata-rata htung dar dua data tengah Contoh : Sampel dengan data sebaga berkut: 2,7,8,4, 6, 9, 0, dan 8 Setelah dsusun nlanya: 7,8,8,0, 2,4,6,9 Me = 2 ( 0 + 2) =

18 Untuk data yang telah dsusun dalam daftar dstrbus frekuens dengan: M e = Medan n F M = b+ p 2 e f b = Batas bawah kelas medan (kelas dmana M e terletak) p = Panjang kelas M e n = ukuran sampel(banyak data) F = Jumlah frekuens sebelum kelas medan f = FrekuenskelasM e

19 Contoh : Data untuk 80 mahasswa Nla f Jumlah 80 Setengah dar seluruh data ada 40 buah (n) Medan terletak d kelas nterval kelma Dar kelas Medan dperoleh: b = 70,5 p = 0 f = 24 F = 24 n F M = b+ p 2 e f = 70, = 77, M e

20 x Untuk, Me dan Mo yang sama besarnya, maka kurva halusnya smetrs Bentuk Kurva Norma x M e M o

21 Untuk kurva halus postf (Skewness) Postf atau negatf, secara emprs dtemukanhubungan,m e danm o sebagaberkut: x x M = 3 ( x ) o M e Dalam grafk, kedudukan ketga nla tersebut adalah: x M o M e M x e M o Skewness Postf Skewness Negatf

22 Kwartl, Desl dan Persentl Jka sekumpulan data dbag menjad empat bagan yang sama, sesudah dsusun menurut urutan nlanya, maka blangan pembagnya dsebut kwartl Ada tga buah kwartl, yatu kwartl pertama (K ), kwartl kedua (K 2 ), kwartl ketga (K 3 ) Pemberan nama dmula dar nla kwartl terkecl Bagmana menentukan letak Kwartl??? Menentukan nla kwartl: Susun data menurut urutan nlanya Tentukan letak kwartl Tentukan nla kwartl Letak kwartl dtentukan dengan rumus: ( n ) + Letak K = Data ke 4 =,2,3)

23 Contoh: Sampel dengan data: 75,82,66,57,97,64,56,92,94,86,52,60,70 Setelah dsusun: 52,56,57,60,64,66,70,75,82,86,92,94,97 ( + ) 3 Letak K = Data ke = 4 Data ke3 2 Yatuantaradata ke3 danke4, setengahjauhnyadardata ke3 NlaK = Data ke3 + ½ (Data ke4 Data ke3) K = 57 + = 2( 3+ ) 2 Letak K 2 = Data ke = Data ke7 K 2 = ( 3+ ) Letak K 3 = Data ke = Data ke0 4 2 ( 60 57) 58, 5 Yatuantaradata ke0 danke, setengahjauhnyadardata ke0 K 3 = 86+ = 2 ( 92 86) 89

24 Cara lan ( n ) + Letak K 4 = =,2, dan3 ( ) Letak K = a,b (baca: a komab) K = x( a) + 0, b x( a +) x( a ) Contoh: ( 3+ ) 3+ Letak K 3,5 = = a = 3 danb = 5) 4 K = x( a) + 0, b x x K K K K K = x(3) + 0,5 = x(3) + 0,5 = ,5 = ,5 = 58,5 ( ) ( a+ ) ( a) ( x ) ( 3+ ) x( 3) ( x x ) ( 4) ( 3) ( 60 57) ( 3)

25 Kwartl untuk data yang dsusun dalam dstrbus frekuens Kwartl dtentukan dengan rumus: n F K = b+ p 4 f dengan: b = Batas bawah kelas K (kelas dmana K akan terletak) p = Panjang kelas K F = JumlahfrekuenssebelumkelasK f = FrekuenskelasK

26 Contoh : Data untuk 80 mahasswa Nla f Jumlah 80 Untuk menetapkan K 3 dperlukan data 3/4 x 80 = 60 data Maka K 3 terletak pada kelas nterval ke-6 Dar kelas K 3 dketahu: b = 80,5; p = 0; f = 20 dan F = 48 Dengan = 3 dan n = 80 K n F F = b+ p 4 f 75% dar mahasswa mendapat nla ujan 86,5, sedangkan 25% lag mendapat nla ujan > 86,5 3x80 48 K 80, = + 20 K = 86,5

27 Desl Jka sekumpulan data dbag menjad 0 bagan yang sama, maka ddapat semblan pembag, tap pembag dsebut DESIL Ada 9 buah desl, dsngkat D, D 2,,D 9 (desl pertama, desl kedua, dst) Bagmana menentukan letak desl??? Menentukan nla desl: Susun data menurut urutan nlanya Tentukan letak desl Tentukan nla desl Letak desl dtentukan dengan rumus: ( n ) + Letak D = Data ke 0 (=,2, 9)

28 Contoh: Sampel dengan data: 75,82,66,57,97,64,56,92,94,86,52,60,70 Setelah dsusun: 52,56,57,60,64,66,70,75,82,86,92,94,97 ( + ) 7 3 Letak D 7 = Data ke = Data ke9,8 0 Yatuantaradata ke9 danke0, 0,8 jauhnyadardata ke9 NlaD 7 = Data ke9 + 0,8 (Data ke0 Data ke9) ( 86 82) 85, 2 D 7 = ,8 = Coba Anda tentukan letak desl yang lan!!!

29 Cara lan ( n ) + Letak D = 0 =,2,,9 ( ) Letak D = a,b (baca: a komab) D = x( a) + 0, b x( a +) x( a ) Contoh: ( + ) 7 3 Letak 7 = = 9,8 0 D = x( a) + 0, b x D a = 9 danb = 8) D D K D D = x(9) + 0,8 = x(9) + 0,8 = 82+ 0,8 = 82+ 0,8 = 85,2 ( ) ( a+ ) x( a) ( x ) ( 9+ ) x( 9) ( x x ) ( 0) ( 9) ( 86 82) ( 4)

30 Desl untuk data yang dsusun dalam dstrbus frekuens Desl dtentukan dengan rumus: n F D = b+ p 0 f (=,2, 9) dengan: b = Batas bawah kelas D (kelas dmana D akan terletak) p = Panjang kelas D F = JumlahfrekuenssebelumkelasD f = FrekuenskelasD

31 Contoh : Data untuk 80 mahasswa Nla f Jumlah 80 Untuk menetapkan D 3 dperlukan data 3/0 x 80 = 24 data Maka D 3 terletak pada kelas nterval ke-4 Dar kelas D 3 dketahu: b = 60,5; p = 0; f = 4 dan F = 0 Dengan = 3 dan n = 80 D 3 n F = b+ p 0 f 3x80 0 D 60, = + 4 D = 70,5

32 Persentl Jka sekumpulan data dbag menjad 00 bagan yang sama, maka ddapat 99 pembag, tap pembag dsebut PERSENTIL Bagmana menentukan letak persentl??? Menentukan nla persentl: Susun data menurut urutan nlanya Tentukan letak persentl Tentukan nla persentl Letak desl dtentukan dengan rumus: ( n ) + Letak P = Data ke 00 (=,2,,99)

33 Contoh: Sampel dengan data: 75,82,66,57,97,64,56,92,94,86,52,60,70 Setelah dsusun: 52,56,57,60,64,66,70,75,82,86,92,94,97 ( + ) 0 3 Letak P 0 = Data ke = Data ke,4 00 Yatuantaradata ke danke2, 0,4 jauhnyadardata ke NlaP 0 = Data ke + 0,4 (Data ke2 Data ke) ( 56 52) 53, 6 P 0 = 52+ 0,4 = Coba Anda tentukan letak persentl yang lan!!!

34 Cara lan ( n ) + Letak P = 00 =,2,,99 ( ) Letak P = a, b (baca: a komab) P = x( a) + 0, b x( a +) x( a ) Contoh: ( + ) 0 3 Letak 0 = =,4 00 P = x( a) + 0, b x P a = danb = 4) P P P P P = x() + 0,4 = x() + 0,4 = 52+ 0,4 = 52+ 0,4 = 53,6 ( ) ( a+ ) x( a) ( x ) ( + ) x( ) ( x x ) ( 2) ( ) ( 56 52) ( 4)

35 Persentl Untuk Data Yang Dsusun Dalam Dstrbus Frekuens Persentl dtentukan dengan rumus: n F P= b+ p 00 f (=,2,,99) dengan: b = Batas bawah kelas P (kelas dmana P akan terletak) p = Panjang kelas P F = JumlahfrekuenssebelumkelasP f = FrekuenskelasP

36 Contoh : Data untuk 80 mahasswa Nla f Jumlah 80 Untuk menetapkan P 0 dperlukan data 0/00 x 80 = 8 data Maka P 3 terletak pada kelas nterval ke-3 Dar kelas P 0 dketahu: b = 50,5; p = 0; f = 5 dan F = 5 Dengan = 0 dan n = 80 P P P 0 0 n F = b+ p 00 f 0x 80 5 = 50, = 56,5