ANALISIS DATA KATEGORIK (STK351)

Transkripsi

1 Suplemen Respons Pertemuan ANALISIS DATA KATEGORIK (STK351) 7 Departemen Statstka FMIPA IPB Pokok Bahasan Sub Pokok Bahasan Referens Waktu Korelas Perngkat (Rank Correlaton) Bag. 1 Koefsen Korelas Perngkat Spearman dan Ujnya Koefsen Korelas Perngkat Tau-Kendall dan Ujnya Koefsen Konkordans Kendall Appled Nonparametrc Statstc Danel (1990) Jumat 6 Nov Salah satu pertanyaan yang umum dajukan dalam sebuah stud atau peneltan adalah apakah dua atau lebh peubah salng berhubungan atau salng bebas. Pada Bab 5, telah dbahas asosas antarpeubah kategor (nomnal dan ordnal) yang duj dengan menggunakan uj kh-kuadrat. Pada kesempatan tersebut, pertanyaan apakah dua peubah salng berhubungan atau salng bebas dapat terjawab, namun ukuran keeratan hubungannya belum dapat djelaskan. Bab n membahas dua aspek analss asosas, yatu apakah peubah salng berhubungan (berasosas) dan berapa erat hubungan tu. Ukuran keeratan hubungan antar dua peubah yang serng dgunakan adalah koefsen korelas Pearson, r. Koefsen korelas Pearson antara X dan Y, r xy adalah : r xy n 1 ( X X )( Y Y ) n n ( X ) ( ) 1 X Y 1 Y r xy merupakan koefsen korelas contoh yang dpat dgunakan untuk menduga koefsen korelas populas, xy. Beberapa karakterstk koefsen korelas Pearson antara lan adalah sebaga berkut : (1) Jka nla X besar berpasangan dengan nla Y besar (dan sebalknya nla X kecl berpasangan dengan nla Y kecl), koefsen korelas pearson akan postf dan mendekat 1. Hubungan sepert n dsebut sebaga hubungan searah (drect relatonshp); () Jka nla X kecl berpasangan dengan nla Y besar (dan sebalknya nla X besar berpasangan dengan nla Y kecl), koefsen korelas pearson akan negatf dan mendekat 1. Hubungan sepert n dsebut sebaga hubungan berkebalkan (nverse relatonshp); (3) Jka nla X besar berpasangan dengan nla Y besar dan juga nla Y kecl, koefsen korelas pearson akan mendekat nol. Pada konds n dapat dkatakan bahwa X dan Y tdak berhubungan atau salng bebas; (4) Nla korelas berksar antara 1 dan +1. Pengujan ataupun nferensa statstk tentang r dapat dgunakan apabla contoh berasal dar populas yang menyebar bvarat normal. Jka tdak, dperlukan prosedur korelas atau asosas nonparameterk sepert yang akan kta pelajar pada kesempatan n. Beberapa yang akan dpelajar adalah koefsen korelas perngkat Spearman, Tau-Kendall, koefsen konkordans Kendall, korelas perngkat parsal dan lan-lan.

2 Koefsen Korelas Perngkat Spearman, r s Ukuran asosas yang serng dgunakan adalah koefsen korelas perngkat Spearman (Spearman rank correlaton coeffcent) yang dperkenalkan oleh Spearman (1904). Asums a. Data terdr dar contoh acak sebanyak n pasang pengamatan, dapat berupa numerc maupun non-numerk. b. Setap pengamatan berpasangan menggambarkan dua pengukuran yang dambl dar objek yang sama, dsebut unt asosas. Hpotess a. H 0 : X dan Y salng bebas ( s = 0) H 1 : X dan Y memlk hubungan searah atau berkebalkan ( s 0) b. H 0 : X dan Y salng bebas ( s = 0) H 1 : X dan Y memlk hubungan searah ( s > 0) c. H 0 : X dan Y salng bebas ( s = 0) H 1 : X dan Y memlk hubungan berkebalkan ( s < 0) Statstk Uj Prosedur untuk menghtung statstk uj korelas perngkat Spearman antara peubah X dan Y, r s, adalah sebaga berkut : 1. Urutkan nla-nla pengamatan peubah X dar yang palng kecl hngga palng besar. Perngkat untuk nla ke- dtuls sebaga R(X ). Jka X adalah nla terkecl pada peubah X, maka R(X )=1.. Lakukan langkah 1) untuk peubah Y. 3. Jka ada beberapa nla yang sama (tes) berkan perngkat tengah (md-rank). 4. Statstk uj korelas perngkat Spearman adalah : 6d rs 1 n( n 1) n dalam hal n d ( ) ( ) R X R Y 1 Statstk uj r s merupakan koefsen korelas perngkat Spearman yang mengukur keeratan hubungan antara perngkat-perngkat pengamatan contoh. Tes. Jka ada nla yang sama (tes) bak pada peubah X maupun Y maka dberkan perngkat tengah (md-rank). Tes sangat kecl pengaruhnya terhadap nla htung r s, kecual dalam jumlah yang banyak. Ketka data mengandung tes, r s dapat dkoreks jka dngnkan. Jka t x dan t y adalah banyaknya pengamatan X dan Y yang tes dan msalkan 3 tx tx Tx 1 3 ty ty Ty 1 3 n n x T 1 3 n n y T 1 x y / 9

3 Jka koreks terhadap tes dterapkan, maka statstk uj menjad : x y d rs * x y Kadah Keputusan Nla krts koefsen korelas perngkat Spearman r s dtunjukkan pada Tabel A.1. Kadah keputusan untuk masng-masng hpotess yang dtulskan d atas adalah : a. Tolak H 0 jka nla mutlak statstk uj r s lebh besar dar nla tabel untuk ukuran contoh n dan taraf nyata α() b. Tolak H 0 jka nla statstk uj r s lebh besar dar nla tabel untuk ukuran contoh n dan taraf nyata α(1) c. Tolak H 0 jka nla statstk uj r s lebh kecl dar nla tabel untuk ukuran contoh n dan taraf nyata α(1). Contoh besar. Jka contoh berukuran lebh dar 100, kta tdak dapat menggunakan Tabel A.1 untuk menguj r s. Karenanya kta dapat menghtung : z r n 1 s yang menyebar normal baku. Contoh : Berkut n adalah data jumlah kehadran dalam kulah, nla tugas dan nla ujan akhr. Htung korelas perngkat Spearman antara jumlah kehadran dalam kulah dan nla ujan akhr. Uj apakah kedua peubah tersebut salng bebas! Mahasswa Kehadran Nla Ujan A B 1 4 C D E 10 3 F G H I J Hpotess : H 0 : Kehadran dalam kulah dan nla ujan akhr salng bebas H 1 : Kehadran dalam kulah dan nla ujan akhr memlk hubungan searah atau berkebalkan Statstk Uj : Untuk mendapatkan statstk uj atau koefsen korelas perngkat Spearman, r s dlakukan prosedur yang drngkas pada tabel sebaga berkut : 3 / 9

4 Kehadran (X ) Nla Ujan (Y ) R(X ) R(Y ) d = R(X ) - R(Y ) d A B C D E F G H I J d 6d Dengan menggunakan rumus rs 1 n( n 1) 6(93.5) rs (10 1) dperoleh : Menurut tabel d atas, data kta mempunya tes. Sehngga akan lebh bak jka r s dhtung ulang dengan mengakomodas tes tersebut x y Sehngga dengan rumus x y d rs * x y dperoleh : r s * (78.5)(8) Keputusan : Berdasarkan Tabel A.1 untuk hpotess dua arah n=10 dan α=0.05 dperoleh nla krts Karena nla r s (maupun r s *) lebh kecl dar nla krtsnya, maka hpotess bahwa kehadran dalam kulah dan nla ujan akhr salng bebas dterma. Tau Kendall, Salah satu ukuran keeratan hubungan antar dua peubah yang popular adalah Tau Kendall (dlambangkan dengan untuk populas atau untuk contoh). Sepert koefsen korelas perngkat Spearman, Tau Kendall juga berdasarkan perngkat pengamatan dan nlanya berksar pada selang 1 sampa dengan +1. Meskpun ada kesamaan antara dengan r s, keduanya memlk perbedaan dalam hal nla sebaga akbat adanya perbedaan dalam prosedur perhtungan. Perbedaan yang palng pentng adalah bahwa merupakan penduga tdak bas bag parameter populas sedangkan r s bukan. 4 / 9

5 Statstk ddefnskan sebaga peluang konkordan mnus peluang dskordan. Pasangan pengamatan (X, Y ) dan (X j, Y j ) dsebut konkordan apabla perbedaan antara X dan X j mempunya arah yang sama dengan Y dan Y j. Dengan kata lan, dkatakan konkordan apabla X > X j dan Y > Y j atau X < X j dan Y < Y j. Sebalknya, apabla arah perbedaannya tdak sama dsebut dskordan. Sedangkan apabla X =X j dan/atau Y =Y j dkatakan pengamatan tersebut tdak konkordan maupun dskordan. Asums a. Data terdr dar contoh acak sebanyak n pasang pengamatan, dapat berupa numerk maupun non-numerk. Setap pengamatan berpasangan menggambarkan dua pengukuran yang dambl dar objek yang sama, dsebut unt asosas. b. Skala pengukuran mnmal ordnal sehngga data dapat durutkan. Hpotess a. H 0 : X dan Y salng bebas ( = 0) H 1 : 0 b. H 0 : X dan Y salng bebas H 1 : > 0 c. H 0 : X dan Y salng bebas H 1 : < 0 Statstk Uj Statstk uj Tau Kendall, yang juga merupakan ukuran keeratan hubungan antar dua peubah adalah : S n( n 1) / dalam hal n n adalah banyaknya pasangan pengamatan (X, Y). Untuk mendapatkan nla S, lakukan prosedur berkut : 1. Urutkan pasangan pengamatan (X, Y ) dar yang terkecl hngga terbesar berdasarkan peubah X, sehngga X dkatakan dalam natural order.. Bandngkan setap nla Y dengan nla Y yang ada d bawahnya. Satu pasang nla Y dkatakan konkordan (natural order) apabla nla Y yang d bawah lebh besar darpada nla Y yang d atas. Jka sebalknya, katakan bahwa pasangan nla Y adalah dskordan (reverse natural order). 3. Nyatakan banyaknya Y yang konkordan sebaga P, dan dskordan sebaga Q. 4. S = P Q Tes. Jka ada nla yang sama (tes) bak pada peubah X maupun Y drekomedaskan untuk menghtung ulang nla dengan prosedur sebaga berkut : 1. Urutkan pengamatan secara ascendng berdasarkan peubah X. Dalam pengamatan X yang sama, urutkan pengamatan Y secara ascendng. 3. Htung banyaknya pasangan nla Y yang konkordan dan banyaknya pasangan Y dskordan. Perhatkan, jangan bandngkan nla-nla Y yang berada pada X yang tes. 5 / 9

6 4. Jka terdapat banyak sekal tes, nla dapat dhtung kembal dengan rumus : S * 1 1 n( n 1) T n( n 1) T x dalam hal n : 1 1 Tx t ( 1) x tx Ty ty ( t y 1) t = banyaknya nla pengamatan X yang tes x t = banyaknya nla pengamatan Y yang tes y Kadah Keputusan Nla krts statstk Tau Kendall dtunjukkan pada Tabel A.. Untuk setap hpotess yang relevan, untuk ukuran contoh n, H 0 dtolak pada taraf nyata α apabla : a. *( n, /) b. *( n, ) c. *( n, ) Contoh besar. Untuk contoh berukuran besar, statstk uj yang dgunakan adalah : 3 n( n 1) z (n 5) yang menyebar normal baku. y Contoh : Berkut n adalah data tngg (dalam cm) dan berat (dalam kg) badan beberapa mahasswa dar suatu kelas. Htung nla Tau Kendall antara tngg dan berat badan tersebut. Apakah dapat dsmpulkan bahwa tngg dan berat badan salng bebas! Tngg Berat Tngg Berat Hpotess : H 0 : Tngg dan berat badan salng babas H 1 : 0 Statstk Uj : Untuk mendapatkan statstk uj atau nla Tau Kendall dlakukan prosedur yang drngkas pada tabel sebaga berkut : 6 / 9

7 Tngg (Terurut) Berat Pasangan Berat yang konkordan Pasangan Berat yang dskordan P = 101 Q = 19 Dar tabel d atas dperoleh S = P Q = = 8. Untuk n = 16, dapat dhtung : (16 1) / Untuk n=16, α=0.05, dar Tabel A. dperoleh * (n, α/)=0.383, sehngga cukup bukt untuk menyatakan ada korelas antara tngg dan berat badan. Koefsen Konkordans Kendall, W Pada suatu kesempatan kta barangkal memperngkatkan sebuah kelompok yang terdr dar k objek atau ndvdu berdasarkan b karakterstk. Selanjutnya kta ngn mengukur keeratan hubungan d antara b perngkat tersebut. Sebaga contoh, 10 mahasswa durutkan berdasarkan perolehan nla UAS pada semester tertentu yang terdr dar lma mata kulah. Selanjutnya kta dapat menguj apakah d antara enam mata kulah tersebut ada hubungan yang nyata atau tdak. Untuk tujuan tersebut kta dapat menggunakan koefsen konkordans Kendall W. Asums a. Data terdr dar b kelompok pengukuran atau pengamatan pada k objek secara lengkap. b. Skala pengukuran mnmal ordnal c. Data dapat durutkan atau dapat dkonvers kedalam data urutan. Hpotess H 0 : Tdak ada asosas antar karakterstk H 1 : Ada korelas antar karakterstk 7 / 9

8 Statstk Uj Koefsen konkordans Kendall dapat dhtung dengan rumus : W 1 R 3 b k( k 1) b k( k 1) k j1 j Dalam hal n, b adalah banyaknya karakterstk (gugus perngkat), k adalah banyaknya pengamatan dan R j adalah jumlah perngkat untuk objek atau ndvdu ke-j. Jka terjad tes, W dapat dkoreks dengan cara menggant penyebut pada rumus d atas 3 dengan b k( k 1) b( t 1), dalam hal n t adalah banyaknya tes. Kadah Keputusan Untuk b dan k kecl dapat menggunakan tabel koefsen konkordans Kendall (A.14). Hpotess nol dtolak jka p-value yang dtamplkan untuk W, b, dan k kurang dar taraf nyata α yang dtetapkan. Untuk b dan k yang tdak tercantum dalam tabel A.14, kta dapat menghtung X b( k 1) W untuk kemudan dbandngkan dengan nla pada tabel kh-kuadrat (A.11) dengan derajat bebas k 1. Contoh : Berkut n adalah nla UAS 10 mahasswa pada lma mata kulah. Seldk apakah ada asossas antar mata kulah tersebut. Mata Kulah Mahasswa Aljabar matrks Pengantar peluang Teor statstka I Metode Penarkan Contoh Perancangan Percobaan Hpotess : H 0 : Lma mata kulah tdak berasosas H 1 : Lma mata kulah berasossas Statstk Uj : Untuk mendapatkan nla koefsen konkordans Kendall, data nla UAS d atas durutkan untuk setap mata kulah. Hasl pengurutan adalah sebaga berkut : Mata Kulah Mahasswa Aljabar matrks Pengantar peluang Teor statstka I Metode Penarkan Contoh Perancangan Percobaan Jumlah / 9

9 Sehngga koefsen konkordans Kendall adalah : 1(4 16 ) 3(5 )(10)(10 1) W (5 )(10)(10 1) Karena untuk b=5 dan k=10 tdak tercantum dalam tabel A.14, maka dgunakan hampran kh-kuadrat : X 5(10 1)(0.3987) Untuk derajat bebas 10 1 = 9 dan taraf nyata 0.05 dperoleh = Dengan demkan, karena X maka hpotess nol dtolak dan smpulkan bahwa ada asosas yang nyata antar lma mata kulah tersebut. E.O.F CMIIW : CORRECT ME IF I AM WRONG 9 / 9