BAB III HASILKALI TENSOR PADA RUANG VEKTOR. Misalkan V ruang vektor atas lapangan F. Suatu transformasi linear f L ( V, F )

Transkripsi

1 28 BAB III HASILKALI TENSOR PADA RUANG VEKTOR III.1 Ruang Dual Defns III.1.2: Ruang Dual [10] Msalkan V ruang vektor atas lapangan F. Suatu transformas lnear f L ( V, F ) dkatakan fungsonal lnear (atau cukup dsebut fungsonal saja) d V. Hmpunan dar semua fungsonal d V kta lambangkan V * dan kta namakan ruang dual aljabar (basa kta sebut ruang dual) dar V. Catatan: Dalam hal n lapangan F kta pandang sebaga ruang vektor atas drnya sendr, dengan demkan kta dapat membentuk suatu transformas lnear f : V F. Sepert telah kta ketahu hmpunan dar semua transformas lnear ( L ( V, F ) ruang vektor [10]. Kemudan ( V, F ) ) adalah L kta katakan suatu aljabar, karena komposs atas fungs-fungs d L ( V, F ) dapat dpandang sebaga perkalan d L ( V, F ) ruang dual *. Sehngga V adalah suatu ruang vektor juga suatu aljabar, dan f ( V, F ) katakan vektor dual dar V *. L kta

2 29 III.2 Ruang Vektor Bebas Defns III.2.1: Ruang Vektor Bebas[10] Msalkan F lapangan, X hmpunan tak kosong, kta konstruks ruang vektor F X atas F dengan X sebaga generatornya, sederhananya dengan mengambl F X sebaga hmpunan dar semua kombnas lnear berhngga dar elemen-elemen d X: F : X = r x : r F, x X fnte d mana operasnya ddefnskan sehnggga memenuh keadaan berkut: rx + sx = r + s x = r sx FX dkatakan ruang vektor bebas atas X. rs x III.3 Pemetaan Kanonk Defns III.3.1: Pemetaan Kanonk [7] Msalkan N subgrup normal dar grup G maka pemetaan f : G G N, dengan f ( a) = Na, a G dkatakan suatu proyeks kanonk (pemetaan kanonk). Berdasarkan Defns II.1.1, ruang vektor merupakan grup abelan terhadap operas penjumlahan. Karena ruang vektor adalah grup abelan, maka subruangnya dapat kta pandang sebaga subgrup yang merupakan suatu subgrup normal. Sehngga kta dapat membentuk suatu pemetaan kanonk dar ruang vektor terhadap grup kosennya sebagamana defns III.3.1. Dapat dtunjukkan bahwa suatu grup kosen dar suatu ruang

3 30 vektor adalah ruang vektor juga, selanjutnya grup kosen n kta katakan ruang kosen[10]. III.4 Fungs Blnear Defns III.4.1: Fungs Blnear[10] Msalkan U, V dan W merupakan ruang vektor atas lapangan F. Suatu fungs f : U V W adalah blnear jka fungs tersebut lnear pada kedua varabelnya secara terpsah, yatu: ( ', ) (, ) ( ', ) f ru + su v = rf u v + sf u v...(lnear kr) dan f ( u, rv sv ') rf ( u, v) sf ( u, v ') + = +...(lnear kanan) r, s F ; v, v ' V dan u, u ' U. Contoh III.4.2:[10] Suatu haslkal dalam.. : V V R pada ruang vektor atas lapangan real adalah suatu fungs blnear. Aksoma penambahan, dan kehomogenan pada defns haslkal dalam merupakan buktnya. Lemma III.4.3:[11] Msalkan E, F ruang vektor dan M aljabar, kemudan φ : E M dan ψ : F M masng-masng adalah suatu fungs lnear. Maka fungs γ : E F M, dengan

4 31 (, ), (, ) γ e f = φ e ψ f e f E F...(III.4.3.1) adalah suatu fungs blnear. Bukt: Akan dbuktkan fungs : E F M γ, dengan γ ( e, f ) = φ ( e) ψ ( f ), (, ) e f E F adalah suatu fungs blnear. Ambl sembarang e,e E dan f,f F dengan r,s sebarang skalar untuk ruang vektor E,F 1) Lnear Kr Akan dbuktkan γ ( re se', f ) rγ ( e, f ) sγ ( e', f ) ( re se', f ) ( re se' ) ( f ) + = +, selanjutnya: γ + = φ + ψ...(karena III.4.3.1) ( φ ( re) φ ( se' )) ψ ( f ) = +...( karena φ lnear) ( ') = rφ e ψ f + sφ e ψ f...(karena φ lnear dan M suatu aljabar) (, ) γ ( ', ) = rγ e f + s e f...(karena III.4.3.1) Terbukt lnear kr. 2) Lnear Kanan Akan dbuktkan γ ( e, rf sf ') rγ ( e, f ) sγ ( e, f ') ( e, rf sf ') ( e) ( rf sf ') + = +, selanjutnya: γ + = φ ψ +...(karena III.4.3.1) ( e) ( rf ) ( sf ') = φ ψ + ψ...( karena ψ lnear)

5 ( ') = rφ e ψ f + sφ e ψ f...(karena ψ lnear dan M suatu aljabar) (, ) γ (, ') = rγ e f + s e f...(karena III.4.3.1) 32 Terbukt lnear kanan. Dar 1) dan 2) terbukt γ : E F M adalah suatu fungs blnear. III.5 Haslkal Tensor Defns 3.5.1: Haslkal Tensor[10] Msalkan U dan V merupakan ruang vektor atas lapangan F dan msalkan T subruang dar ruang vektor bebas F U V yang dbangun oleh vektor-vektor berbentuk: (, ) ( ', ) ( ', ) r u v + s u v ru + su v (III.5.1.1) dan r ( u, v) s( u, v ') ( u, rv sv ') + + (III.5.1.2) r, s skalar d F; u, u ' U dan v, v ' V. Ruang kosen FU V T dkatakan haslkal tensor dar U dan V dan dnotaskan oleh U V. Sebaga catatan pada defns haslkal tensor d atas, setap vektor yang dbangun oleh subruang T merupakan elemen nol pada ruang vektor U mempertmbangkan defns tersebut elemen-elemen dar U (, ) r u v + T V berbentuk V. Dengan

6 33 tetap basanya koset ( u, v) U V dtuls dalam bentuk u v d mana + T dnotaskan oleh u v, oleh karena tu setap elemen dar ( ' ) ( ') r u v + s u v = ru + su v... (III.5.1.3) dan r ( u v) s ( u v ') u ( rv sv ') + = + (III.5.1.4) selanjutnya, fnte u v = x y fnte jka dan hanya jka kta dapat menemukan elemen yang sama dalam bentuk jumlah berhngga lan. III.6 Konstruks Haslkal Tensor Msalkan U dan V merupakan ruang vektor atas lapangan F, kemudan kta konstruks suatu ruang vektor bebas atas lapangan F dengan U V sebaga generator. Berdasarkan defns ruang vektor bebas, kta dapatkan FU V : = u, v : F, u, v U V fnte λ λ yang merupakan kombnas lnear berhngga dar elemen-elemen d U Selanjutnya plh subruang dar F U V V., msalkan T yang dbangun oleh vektor-vektor berbentuk (III.5.1.1) dan (III.5.1.2). Kemudan akan dbuktkan bahwa pemetaan kanonk

7 34 π : U V U V d mana π π F F T (, ) ( u, v) r u v = F U V ( ru su ', v) r ( u, v) s ( u ', v) r u, v = ( u, v ) = ( u, v) + T untuk setap, merupakan suatu fungs blnear. Artnya: π + = π + π...(lnear kr) dan ( u, rv sv ') r ( u, v) s ( u, v ') π + = π + π...(lnear kanan) r, s F ; v, v ' V dan u, u ' U. Bukt: 1) Lnear kr Akan dbuktkan π ( ru su ', v) rπ ( u, v) sπ ( u ', v) u, u ' U. + = +, r, s F ; v, v ' V dan Ambl sembarang u, u ' U ; v, v ' selanjutnya ( ', ) ( ', ) V dan skalar r, s F, π ru + su v = ru + su v + T..) sedangkan π π ( ) r u, v + s u ', v = r u, v + T + s u ', v + T ( (, ) ( ', )) = r u v + s u v + T...) Dar ) dan ), berdasarkan teorema pada grup kosen: ( ru + su ', v) + T = r ( u, v) + s ( u ', v) + T ( ', ) (, ) ( ', ) Sedangkan ru + su v r u v + s u v T (, ', ) ( ', ) (, ) ( ', ) ( ', ) r u v + s u v ru + su v = r u v + s u v ru + su v T

8 35 maka ( ru + su ', v) + T = (, ) ( ', ) r u v + s u v + T, artnya π ( ru su ', v) rπ ( u, v) sπ ( u ', v) + = +. π Jad pemetaan kanonk : FU V FU V T lnear kr. 2) Lnear kanan + = +, r, s F ; v, v ' V dan Akan dbuktkan π ( u, rv sv ') rπ ( u, v) sπ ( u, v ') u, u ' U. Ambl sembarang u, u ' U ; v, v ' Selanjutnya (, ') (, ') V dan skalar r, s F π u rv + sv = u rv + sv + T...) Sedangkan π π ( ) r u, v + s u, v ' = r u, v + T + s u, v ' + T ( (, ) (, ')) = r u v + s u v + T...) Dar ) dan ), berdasarkan teorema pada grup kosen: ( r ( u, v) + s ( u, v ')) + T = ( u, rv + sv ') + T Sedangkan (,, ' ) (, ') r u v + s u v u rv + sv T (,, ' ) (, ') (, ) (, ') (, ') r u v + s u v u rv + sv = r u v + s u v u rv + sv T, u rv + sv + T, maka r ( u, v) + s ( u, v ') + T = (, ') + = +. sehngga π ( u, rv sv ') rπ ( u, v) sπ ( u, v ') Jad pemetaan kanonk π : FU V FU V T lnear kanan.

9 36 Dar 1) dan 2) dapat dsmpulkan bahwa pemetaan kanonk π : FU V FU V T merupakan suatu fungs blnear. III.7 Elemen Tensor Berdasar defns III.5.1 haslkal tensor dar ruang vektor U dan V (dnotaskan U V ) adalah ruang kosen FU V T. Sehngga setap elemen dar U V merupakan suatu hasl π pemetaan kanonk : FU V FU V T ( u, v) dengan (, ) (, ) π u v = u v + T, selanjutnya koset + T dkatakan elemen tensor dar U V yang dnotaskan sebaga u v. Berdasarkan III dan III elemen tensor tersebut bersfat: ( ' ) ( ') r u v + s u v = ru + su v..(iii.7.1) ( ') ( ') r u v + s u v = u rv + sv...(iii.7.2) untuk setap u, u ' U ; v, v ' V dan skalar r, s F Selanjutnya akan dperlhatkan bahwa terbentuknya sfat-sfat elemen tensor sebaga akbat dar pengontruksan haslkal tensor pada uraan sebelumnya. Ambl sembarang u, u ' U ; v, v ' V dan skalar r F. Perhatkan: 1) Akan dtunjukkan ( ' ) ( ') r u v + s u v = ru + su v ( ) + ( ' ) = π (, ) + π ( ', ) r u v s u v r u v s u v = ( ru su ', v) π +.. (π pemetaan blnear)

10 37 ( ') = ru + su v 2) Akan dtunjukkan r ( u v) + s ( u v ') = u ( rv + sv ') ( ) + ( ') = π (, ) + π (, ') r u v s u v r u v s u v ( u, rv sv ') = π +. (π pemetaan blnear) = u ( rv + sv ') Jad terbukt bahwa sfat-sfat elemen tensor merupakan akbat dar pengonstruksan haslkal tensor pada uraan sebelumnya. III.8 Sfat Haslkal Tensor Teorema III.8.1: Sfat Unversal Haslkal Tensor[10] Msalkan U dan V merupakan ruang vektor atas lapangan F. Suatu fungs t : U V U V adalah fungs blnear yang ddefnskan oleh t ( u, v) = u v (III.8.1.1) Jka f : U V W adalah sembarang fungs blnear dar U V pada suatu ruang vektor W atas F, maka terdapat suatu transformas lnear unk τ :U V W sehngga τ o t = f (III.8.1.2) Jka terdapat s : U V X fungs blnear lan yang memenuh sfat tersebut, maka X U V. Bukt dapat dlhat dalam [10: ].

11 38 U t blnear V U V f blnear W Gambar 3.1 Sfat Unversal Haslkal Tensor τ lnear Teorema III.8.2:[10] u1, u2,..., u n adalah vektor-vektor yang bebas lnear pada ruang vektor U dan Msalkan { } { } v1, v2,..., v n adalah vektor-vektor sembarang pada ruang vektor V. u v = 0 v = 0, = 1,..., n Bukt: Msalkan U * ruang dual dar U dan δ U * sedemkan sehngga u, = 1, 2,..., n berlaku δ ( u ) δ, j j = (fungs Kronecker-delta, yatu dmana δ, = 1 untuk = j dan j δ, j = 0 untuk lannya). Selanjutnya jka untuk sembarang fungsonal lnear γ : V F kta defnskan suatu pemetaan blnear f : U V F dengan n (, ) a δ γ f u v x y j= 1 j j.(iii.8.2.1) maka berdasarkan sfat unversal haslkal tensor, terdapat fungsonal lnear yang unk τ :U V F sehngga τ o t = f.

12 39 U t blnear V U V f blnear F Gambar 3.2 Pengguanaan Teorema III.8.1 τ lnear Selanjutnya perhatkan: u v = 0 τ ( u v ) = 0,...( lnear τ ( u v ) = τ ( u v ) ( lnear ( t ( u, v )) τ ) τ ) = τ.. (Sfat Unversal Haslkal Tensor) = τ o t u v (, ) (, ) = f u v.(sfat Unversal Haslkal Tensor) n n = j= 1 = 1 n = = 1 Karena : V F γ δ ( v ) ( u ) γ ( v ) j j (III.8.2.1) γ adalah sembarang fungsonal lnear (artnya ( v ) γ tdak selalu nol v ) sedangkan γ ( v ) n = 0,, jad v = 0,. = 1

13 40 Teorema III.8.3: Haslkal Tensor Transformas Lnear [10] Dberkan suatu ruang vektor V, V ', W dan W '. Jka τ : V V ' dan σ : W W ' merupakan transformas lnear, maka terdapat suatu transformas lnear yang unk ( τ σ ) : V W V ' W ' dengan : pemetaan ( τ σ ) ( τ σ )( v w) = τ ( v) σ ( w) dkatakan sebaga haslkal tensor dar τ dan σ. Bukt: ddefnskan oleh f ( v, w) τ ( v) σ ( w) Msalkan f : V W V ' W ' akan dtunjukkan f blnear: =. Selanjutnya Ambl sembarang r, s F ; v, v ' V dan w, w' W. Kemudan perhatkan: 1) Lnear Kr ( + ', ) = τ ( + ') σ f rv sv w rv sv w ( rτ ( v) sτ ( v ')) σ ( w) = (karena τ lnear) ( τ σ ) τ ( ') σ = r v w + s v w... (sfat III.5.1.3) (, ) sf ( v ', w) = rf v w + 2) Lnear Kanan (, + ') = τ σ ( + ') f v rw sw v rw sw ( v) r ( w) s ( w' ) = τ σ + σ.... (karena τ lnear)

14 41 ( τ σ ) τ σ = r v w + s v w'... (sfat III.5.1.4) (, ) sf ( v, w' ) = rf v w + Berdasarkan 1) dan 2) dapat dsmpulkan f : V W V ' W ' blnear. Karena f : V W V ' W ' blnear (berdasarkan sfat unversal haslkal tensor), maka terdapat suatu transformas lnear unk ( τ σ ) : V W V ' W '.