MENCERMATI BERBAGAI JENIS PERMASALAHAN DALAM PROGRAM LINIER KABUR. Mohammad Asikin Jurusan Matematika FMIPA UNNES. Abstrak

Transkripsi

1 JURAL MATEMATIKA DA KOMUTER Vol. 6. o., 86-96, Agustus 3, ISS : MECERMATI BERBAGAI JEIS ERMASALAHA DALAM ROGRAM LIIER KABUR Mohammad Askn Jurusan Matematka FMIA UES Abstrak Konsep baru tentang hmpunan yang dapat dpandang sebaga perluasan dar hmpunan klask/tegas adalah hmpunan kabur. erluasan n membawa pengaruh pula pada beberapa konsep lan sepert relas kabur, blangan kabur, logka kabur serta program lner kabur. Dalam program lner kabur dkenal pengklasfkasan: program lner dengan sumber kabur, program lner dengan sasaran kabur serta program lner dengan kendala kabur. Kata kun : hmpunan kabur, blangan segtga, program lner kabur.. EDAHULUA 86 Sejak dtemukan oleh Zadeh pada tahun 965, peneltan dalam hmpunan kabur berkembang dengan pesatnya. erkembangan tu menakup bak aspek teor maupun aspek penerapannya. Salah satu penerapan hmpunan kabur dalam rset operas adalah masalah pemrograman lner. Masalah program lner tegas (klask) adalah menentukan peubah yang tak dketahu sehngga fungs sasaran lner doptmumkan terhadap kendala yang dberkan. Masalah program lner drumuskan dalam bentuk : Maksmumkan Terhadap kendala A b () dengan = n,..., n T,..., n R adalah peubah keputusan yang akan dar, = mn dsebut koefsen sasaran dan A = [ ] R kendala dengan koefsen kendalanya a, serta b = j a dsebut matrks j b,...,b m dsebut sumber.

2 Menermat Berbaga Jens (Mohammad Askn) Dalam stuas prakts, jarang terjad fungs sasaran dan kendalanya berupa pernyataan tegas. Dapat terjad fungs sasaran tersebut koefsennya berupa blangan kabur, atau tanda pada kendala dperampat menjad dapat dbaa sebaga pada dasarnya kurang atau sama dengan, yang merupakan bentuk kabur dar. Salah satu ontoh yang dapat dkemukakan msalnya ada suatu perusahaan manan memproduks dua jens manan boneka. Boneka A memberkan keuntungan Rp.4,- perboneka dan boneka B Rp.3,- perboneka. Setap har dapat dproduks boneka A dan boneka B, sehngga keuntungannya adalah 4 3. Dalam pembuatannya, boneka A memerlukan tenaga dua kal boneka B. Jka total kerja karyawan adalah 5 jam perhar, maka dperoleh kendala 5. Sumber bahan baku hanya terseda untuk 4 boneka perhar untuk boneka A dan B, berart ddapat kendala 4. Dengan demkan dperoleh masalah program lner : Maksmumkan 4 3 (keuntungan) Terhadap kendala g () = 4 (bahan baku) () g () = 5 (jam pekerja) ; µ <5 ( ) µ <4 ( ) Gambar. Fungs keanggotaan jam-pekerja dan bahan baku dalam ontoh. amun demkan, jam kerja karyawan dan bahan baku yang terseda tdak perlu selalu dalam bentuk tegas/perss. Dapat terjad beberapa karyawan menyanggup kerja lembur atau terdapat pasokan bahan baku tambahan. Karena tu, dapat dbuat suatu tolerans pada kendala (). Msalnya, jka jam kerja karyawan sesungguhnya, yakn kurang dar 5, maka dkatakan kendala 87

3 JURAL MATEMATIKA DA KOMUTER Vol. 6. o., 86-96, Agustus 3, ISS : dpenuh seara mutlak, jka jam kerja karyawan sesungguhnya, yakn lebh dar 6, maka dkatakan kendala 6 seara mutlak dlanggar, dan jka terletak antara 5 dan 6, maka dapat dgunakan fungs monoton turun lner yang menyatakan derajat keterpenuhan kendala. Dengan ara serupa, dapat juga dbuat derajat keterpenuhan untuk kendala 4. Gambar. menunjukkan fungs keanggotaan tersebut. Contoh d atas merupakan jens pertama dar program lner kabur, yakn program lner dengan sumber kabur. Dengan perhtungan sederhana, dperoleh penyelesaan program lner dalam ontoh, sebagamana dnyatakan dalam tabel berkut. Tabel. enyelesaan program lner tegas dan kabur Tegas (µ = ) Kabur (µ =,5) = ; = 3; =.3. = ; = 35; =.4. Kendala: g () 4; g () 5 Kendala: g () 45; g () 55 Jens kedua munul pada kekaburan koefsen 4 dan 3. Keuntungan yang dnyatakan dalam bentuk tegas, semaam Rp.4,- serng tdak terjad dalam stuas nyata. Dapat terjad, akbat adanya fluktuas pasar, keuntungan tersebut menjad tdak perss Rp.4,-. Dengan demkan masuk akal bla dgunakan koefsen blangan kabur pada fungs sasaran; dan tu merupakan jens kedua dar program lner kabur, yakn: program lner dengan koefsen sasaran kabur. Jens ketga dar kekaburan dapat munul pada koefsen kendala. Karena ketdakajegan hasl kerja manusa, maka perbandngan waktu yang dperlukan untuk membuat boneka A dengan boneka B dapat saja berupa blangan kabur sektar. Demkan juga, boneka A dan boneka B mungkn memerlukan bahan baku yang tdak perss ukurannya. Itu menghaslkan jens ketga program lner kabur, yakn program lner dengan koefsen kendala kabur. Dar uraan d atas, setdaknya dapat dklasfkaskan adanya tga jens program lner kabur. Melalu tulsan n akan dkupas lebh lanjut ketga jens program lner kabur tersebut. 88

4 Menermat Berbaga Jens (Mohammad Askn). ROGRAM LIIER DEGA SUMBER KABUR andang masalah program lner yang drumuskan dalam bentuk Maksmumkan Terhadap kendala A b (3) Msalkan t (>) menyatakan tolerans sumber ke-, yakn b, maka ketaksamaan kabur (A) b dapat dnyatakan sebaga (A) b θt dengan θ [,]. Dengan kata lan, kendala kabur (A) b ddefnskan sebaga hmpunan kabur dengan fungs keanggotaan: µ = [( A ) b ] / t jka jka jka ( A) < b b ( A) b ( A) > b t Dengan demkan masalahnya menjad menentukan sehngga dan µ termaksmumkan untuk =,,, m. Werners (dalam Wang, 997) mengusulkan ara berkut untuk menyelesakan masalah tersebut. Mula-mula dselesakan dua masalah program lner baku berkut: maksmumkan t terhadap kendala ( A ) b, =,,, m (5) maksmumkan terhadap kendala ( A ) (4) b t, =,,, m (6) Msalkan dan berturut-turut penyelesaan (5) dan (6), dan ddefnskan = dan =. Fungs keanggotaan berkut ddefnskan untuk menyatakan derajat keoptmalan : 89

5 JURAL MATEMATIKA DA KOMUTER Vol. 6. o., 86-96, Agustus 3, ISS : µ = jka maka ddapat keoptmalan; jka maka ddapat jka > jka jka < (7) µ =, yang memberkan derajat maksmum µ =, yang memberkan derajat mnmum dar keoptmalan; dan jka terletak antara dan maka derajat keoptmalan bergerak dar ke. Karena kendala dan fungs sasaran berturut-turut dnyatakan oleh fungs keanggotaan (4) dan (7) maka dapat dgunakan metode ma-mn (lhat Askn,, ) untuk menyelesakan masalah optmas sasaran darab. Artnya, masalah menjad : [ µ, µ ] maks mn,..., µ atau setara dengan maksmumkan m (8) α terhadap kendala µ α =,,..., m (9) α [,], Dengan menggantkan (4) dan (7) pada (9), masalah program lner dengan sumber kabur (3) dapat dselesakan dengan menyelesakan masalah program lner baku berkut: maksmumkan terhadap kendala α ( α )( ) ( A) b ( α ) t, =, m,..., α [,], Berkut akan dberkan ontoh aplkasnya (La dan Hwang 99) () 9

6 Menermat Berbaga Jens (Mohammad Askn) Amat masalah seleks produk-m berkut : Maksmumkan (keuntungan) Terhadap kendala g () = (orang-mnggu) g () = (bahan Y) () g 3 () = (bahan Y) ; ; 3 ; 4 dengan tolerans untuk orang-mnggu, bahan Y dan Z berturut-turut adalah t = 5, t = 4, t 3 = 3. Dengan menyelesakan (5) dan (6) ddapat = 99,9 dan = 3. Berdasarkan () masalah tersebut setara dengan : Mnmumkan θ Terhadap kendala = , 7θ g() = θ (orang-mnggu) g() = θ (bahan Y) () g 3 () = θ (bahan Y) ; ; 3 ; 4, θ [,] dengan θ = - θ. enyelesaannya adalah * = 4,65 pada θ =,5. 3. ROGRAM LIIER DEGA KOEFISIE SASARA KABUR: andang masalah program lner yang drumuskan dalam bentuk Maksmumkan ~ Terhadap kendala A b (3) ~,..., ~ merupakan vektor dengan unsur blangan kabur. n dengan ~ = Tanpa mengurang kerampatannya dan untuk sederhananya, dmsalkan ~ adalah blangan kabur segtga dengan fungs keanggotaan ~ ( ;,, ) Dengan menuls ~ = (,, ) maka (3) menjad : Maksmumkan (,, ) = (,, ) µ. 9

7 JURAL MATEMATIKA DA KOMUTER Vol. 6. o., 86-96, Agustus 3, ISS : Terhadap kendala A b (4) dengan = (,..., n ), = (,..., n ), = (,..., ) n. In merupakan masalah program lner dengan sasaran darab. Ada beberapa pendekatan untuk menyelesakan masalah tersebut. Dalam tulsan n dberkan dua maam pendekatan. endekatan pertama adalah mengkombnaskan dan menyederhanakan tga sasaran menjad satu fungs sasaran. engkombnasan dan penyederhanaan yang dusulkan oleh Tanaka, Ihhash dan Hasa (La dan Hwang, 99) dlakukan dengan membuat bobot rerata pada fungs sasaran (4). Mereka mengusulkan bobot rerata yang palng mendekat yakn : ( ) 4 6 Dengan demkan masalah pada (4) dapat dubah menjad masalah program lner baku berkut : ( ) Maksmumkan 4 6 Terhadap kendala A b (5) Bentuk lan dar bobot rerata, juga dapat dgunakan. Cara kedua dmula dengan dasar pemkran bahwa sasarannya adalah memaksmumkan blangan kabur segtga (,, ). Dengan demkan dapat dlakukan dengan memaksmumkan (pusat), memnmumkan - (kak kr) dan memaksmumkan (kak kanan). Berart masalah (4) dubah menjad masalah program lner bersasaran darab berkut: mnmumkan = ( - ) maksmumkan = maksmumkan 3 = ( ) (6) 9

8 Menermat Berbaga Jens (Mohammad Askn) 93 terhadap kendala A b Suatu ara penyelesaan untuk (6) dlakukan dengan menermat tga fungs sasaran d atas berdasarkan pada fungs keanggotaannya dan kemudan memaksmumkan potongan-αnya. Dperoleh : = = maks ; mn mn ; maks = = (7) 3 3 mn ; mn = = dengan = { A b, }. enyelesaan dsebut penyelesaan deal postf dan dsebut penyelesaan deal negatf. Selanjutnya ddefnskan tga fungs keanggotaan berkut, yang mewakl tga sasaran : µ = jka jka jka > < (8) µ = jka jka jka > < (9) µ = jka jka jka > > () Akhrnya, masalah d atas dselesakan dengan ara menyelesakan masalah program lner baku berkut :

9 JURAL MATEMATIKA DA KOMUTER Vol. 6. o., 86-96, Agustus 3, ISS : maksmumkan α terhadap kendala µ α, =,,..., 3 A b () 4. ROGRAM LIIER DEGA KOEFISIE KEDALA KABUR andang masalah program lner yang drumuskan dalam bentuk Maksmumkan Terhadap kendala A ~ b () dengan A ~ = [ a ~ j ] merupakan matrks dengan unsur-unsur blangan kabur. Tanpa mengurang kerampatannya dan untuk menyederhanakan, danggap bahwa matrks A ~ = [a j ] unsur-unsurnya blangan kabur segtga, yakn ( a j, aj, aj ) [ ] dan A ~ = ( A, a. Masalah () menjad : j maksmumkan A, A ), dengan 4( A A A ) terhadap kendala 6 A = [ j ] a, A = [ j ] a, b (3) a ~ j = A = 5. ROGRAM LIIER DEGA SUMBER KABUR, SASARA KABUR DA KEDALA KABUR Masalah program lner lannya merupakan kombnas dar tga masalah program lner d atas dan dapat dselesakan dengan menggunakan ara serupa. Sebaga ontoh, amat masalah berkut, yang semua koefsennya blangan kabur : Maksmumkan ~ 94

10 Menermat Berbaga Jens (Mohammad Askn) Terhadap kendala A ~ b ~ (4) Msalkan ~, A ~, dan b ~ merupakan blangan kabur segtga, yakn ~ = ( --,, ); A ~ = (A --, A, A ); dan b ~ = (b --, b, b ), maka (4) dapat dubah menjad masalah program lner bersasaran darab berkut: mnmumkan = ( - ) maksmumkan = maksmumkan 3 = ( ) (5) terhadap kendala A -- b A b A b Masalah tersebut dapat dselesakan dengan ara yang serupa dengan penyelesaan pada (6). 6. EUTU Konsep tentang program lner kabur merupakan salah satu wujud dar adanya pengembangan baru dalam konsep tentang hmpunan yakn hmpunan kabur. Beberapa konsep lan dalam hmpunan kabur yang sepert relas kabur dan blangan kabur sangat berperan dalam program lner kabur. Dalam program lner kabur, setdaknya dkenal 4 jens klasfkas masalah, yakn masalah dengan sumber kabur, sasaran kabur, kendala kabur, serta kombnas dar atau 3 hal tersebut. DAFTAR RUJUKA. Askn.M. Relas kabur. Meda MIA UES, Eds o 3 Desember III, Kesetaraan Metode rnsp erluasan dan Metode otongan dalam Blangan Kabur. Jurnal MIA Eds Agustus, Vol 5, omor, 9-9,. 95

11 JURAL MATEMATIKA DA KOMUTER Vol. 6. o., 86-96, Agustus 3, ISS : Klr, G.J, Yuan. B. Fuy Set and Fuy Log: Theory and Applatons. rentse Hall La, Jou & Wang, L, Fuy Mathematal rogrammng. Sprnger-Verlag. ew York, Wang, L,.A Course n Fuy Systems and Control, Upper Saddle Rver, J: rente Hall Zmmermann, H.J, Fuy Set Theory and ts Applatons, Kluwer Aadem ublshers, Boston