BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang dan Permasalahan

Transkripsi

1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang dan Permasalahan Matematka dbag menjad beberapa kelompok bdang lmu, antara lan analss, aljabar, dan statstka. Ruang barsan merupakan salah satu bagan yang ada d bdang analss yang membahas tentang barsan. Barsan merupakan pemetaan pada hmpunan semua blangan asl. Hmpunan semua blangan asl dnotaskan dengan N. Jka range dar pemetaan tersebut berada d dalam hmpunan blangan real, maka barsan tersebut merupakan barsan blangan real. Hmpunan semua blangan real dnotaskan dengan R. Jka range dar pemetaan tersebut berada d dalam hmpunan blangan kompleks, maka barsan tersebut merupakan barsan blangan kompleks. Hmpunan semua blangan kompleks dnotaskan dengan C. Ruang barsan merupakan kumpulan barsan dengan krtera tertentu, msalkan terbatas. Contoh ruang barsan yatu ruang l. Para ahl matematka khususnya d bdang analss telah menemukan ruang barsan selsh c 0 (, c( dan l (, yang selanjutnya ruang barsan selsh tersebut dperluas menjad ruang barsan c 0 ( m, c( m dan l ( m. Oleh para ahl matematka ruang barsan c 0 ( m, c( m dan l ( m dperluas menjad ruang barsan selsh terbobot c 0 ( m v, c( m v dan l ( m v. Topk mengena ruang dual cukup menark untuk dkaj, karena ruang dual merupakan salah satu konsep pentng d dalam matematka analss. Dual kontnu ruang bernorma X adalah koleks semua pemetaan lnear kontnu dar X ke lapangannya dan dnotaskan X. Sfat d dalam X dapat dgunakan untuk melhat sfat d dalam X antara lan jka X separabel maka X separabel. Dual Köthe-Toepltz suatu ruang vektor X, dnotaskan X α, adalah X α = {a = {a k } : k=1 a kx k <, untuk setap x X}. Dual Köthe-Toepltz mempunya peranan pentng dalam representas ruang lnear dan karakterstk dar matrks transformas 1

2 2 antara ruang barsan dengan ruang barsan. Oleh karena tu penuls ngn melakukan peneltan tentang ruang barsan selsh terbobot c 0 ( v m, c( v m dan l ( m v. dan beberapa sfat yang terkat dengan ruang barsan tersebut serta menyajkannya dalam tulsan n. Adapun batasan permasalahan yang akan dtelt adalah sebaga berkut : 1. Konsep ruang barsan selsh terbobot dan beberapa sfat yang berlaku pada ruang tersebut. 2. Dual Köthe-Toepltz pada ruang barsan selsh terbobot. 3. Relas nklus pada ruang barsan selsh terbobot Tujuan dan Manfaat Peneltan Berdasarkan masalah yang telah drumuskan pada Subbab 1.1, tujuan penulsan tess n adalah untuk memberkan pemahaman yang lebh bak tentang ruang barsan selsh terbobot. Penulsan kembal jurnal Et dan Es (2000 yang dlengkap dengan contoh, serta pembuktan teorema, lemma dan proposs secara lebh mendetal dharapkan mampu untuk memberkan pemahaman yang lebh mendalam terhadap jurnal tersebut. Pada jurnal Et dan Es (2000 ruang barsan selsh dperluas menjad ruang barsan selsh terbobot, selanjutnya dbahas beberapa sfat yang berlaku pada ruang barsan selsh terbobot, relas nklus dan dual Köthe-Toepltz pada ruang barsan selsh terbobot. Pembahasan dual Köthe-Toepltz dan relas nklus pada ruang barsan selsh terbobot dharapkan dapat membantu mengembangkan lmu d bdang matematka analss yang berhubungan dengan ruang barsan dan dapat membantu member de untuk memperluas ruang barsan selsh terbobot Tnjauan Pustaka Konsep mengena ruang barsan merupakan salah satu konsep yang dpelajar dalam teor matematka analss. Beberapa penjelasan dan konsep pada dasar

3 3 teor, dantaranya ruang bernorma, ruang metrk, dan ruang c 0, c dan l dperoleh dar Maddox (1970. Penjelasan dan konsep pada ruang lnear dperoleh dar Royden (1988, sedangkan penjelasan dan konsep mengena operator lnear, dual kontnu dan proyeks dperoleh dar Berberan (1961. Kzmaz (1981 mendefnskan x k = x k x k+1, untuk setap k N sehngga dperoleh barsan selsh x = { x k } = {x k x k+1 }. Konsep barsan selsh x selanjutnya dgunakan untuk mendefnskan ruang barsan selsh, khususnya ruang c(, c 0 ( dan l ( dan beberapa sfat yang berkatan. Barsan selsh x selanjutnya dperluas oleh Et dan Colak (1995 menjad barsan selsh m x = { m =0 ( 1( m xk+ } untuk setap m N. Konsep barsan selsh m x = { m =0 ( 1( m xk+ } selanjutnya dgunakan untuk mendefnskan ruang barsan selsh, khususnya ruang c 0 ( m, c( m dan l ( m. Barsan selsh x dperluas oleh Colak (1989 menggunakan v = {v k } sebarang barsan blangan real tdak nol yang memenuh lm nf v k 1 k = r dengan 0 < r sehngga dperoleh barsan selsh v x = { v x k } = {v k x k v k+1 x k+1 }. Konsep barsan selsh v x selanjutnya dgunakan untuk mendefnskan ruang barsan selsh, khususnya ruang c 0 ( v, c( v dan l ( v. Oleh Et dan Es (2000 barsan selsh yang ddefnskan Kzmaz (1981, Et dan Colak (1995, dan Colak (1989 dperluas menjad barsan selsh m v x = { m =0 ( 1( m vk+ x k+ } untuk setap m N. Menggunakan konsep ruang barsan selsh m v x, Et dan Es mendefnskan ruang barsan selsh terbobot, khususnya ruang c( m v, c 0 ( m v dan l ( m v. Et dan Es juga memberkan beberapa sfat yang berkatan dengan ruang barsan selsh terbobot, antara lan ruang Banach, ruang-bk, teor nklus, dual kontnu dan dual Köthe-Toepltz. Penjelasan mengena ruang-bk dan dual kontnu dperoleh dar Maddox (1970 dan Banas (2014, sedangkan penjelasan mengena dual Köthe-Toepltz dperoleh dar Garlng (1967 dan Banas (2014.

4 Metode Peneltan Metode yang dgunakan dalam peneltan tess n adalah stud lteratur. Peneltan n lebh dfokuskan untuk memberkan bukt lemma, proposs dan teorema secara mendetal yang terdapat dalam jurnal Et dan Es (2000. Pada jurnal tersebut dbahas mengena ruang barsan selsh terbobot, khususnya ruang c 0 ( v m, c( m v dan l ( v m, dan beberapa sfat yang berlaku, teorema nklus, dan dual Köthe- Toepltz pada ruang barsan tersebut. Konsep ruang barsan selsh terbobot c 0 ( v m, c( m v dan l ( v m merupakan perluasan dar ruang barsan selsh c 0 (, c( dan l (. Untuk menunjukkan beberapa sfat yang berlaku pada ruang barsan selsh terbobot dperlukan beberapa alat, d antaranya konsep ruang lnear, ruang bernorma, ruang Banach, operator lnear dan ruang-bk. Selanjutnya dapat dtunjukkan ruang c 0 ( v m, c( m v dan l ( v m masng-masng merupakan ruang Banach dan ruang-bk. Hal lan yang dpelajar dalam jurnal Et dan Es (2000 adalah dual Köthe- Toepltz dan relas nklus pada ruang barsan selsh terbobot, khususnya ruang c 0 ( m v, c( m v dan l ( v m. Untuk menelt dual Kothe-Toepltz pada ruang c 0 ( m v, c( v m dan l ( m v dperlukan beberapa lemma yang dpergunakan untuk membuktkan sfat-sfat yang berlaku pada dual Köthe-Toepltz. Untuk membuktkan beberapa lemma tersebut, dgunakan beberapa lemma dalam Kzmaz (1981. Setelah mempelajar dual Köthe-Toepltz dan relas nklus pada ruang barsan selsh terbobot, langkah selanjutnya adalah mempelajar relas nklus pada ruang c 0 ( m v, c( v m dan l ( m v Sstematka Penulsan Dalam tess n, hasl peneltan akan dbag ke dalam lma bab. D dalam BAB I yatu pendahuluan, dbahas mengena latar belakang permasalahan, tujuan peneltan, tnjauan pustaka, metode peneltan serta sstematka penulsan tess. Dlanjutkan ke BAB II, yatu dasar teor. Dalam bab n, dbahas mengena konsep yang dgunakan dalam pembahasan selanjutnya, dantaranya konsep ruang Banach, ruang c 0, c dan l, ruang c 0 ( m, c( m dan l ( m, ruang c 0 ( v, c( v dan

5 5 l ( v, dan dual Köthe-Toepltz. Kemudan dlanjutkan ke dalam BAB III dan BAB IV, yatu pembahasan dar hasl peneltan. Dalam BAB III, akan dfokuskan untuk membahas ruang barsan selsh terbobot, khususnya ruang c 0 ( v m, c( m v dan l ( v m, serta sfat-sfat yang terkat. Dalam BAB IV, dfokuskan untuk membahas teor nklus dan dual Kothe-Toepltz ruang barsan selsh terbobot, khususnya ruang c 0 ( m v, c( v m dan l ( v m. Terakhr, dalam BAB V memuat tentang kesmpulan hasl peneltan dan saran.