Bab III Reduksi Orde Model Sistem LPV

Transkripsi

1 Bab III Reduks Ode Model Sstem PV Metode eduks ode model melalu MI telah dgunakan untuk meeduks ode model sstem I bak untuk kasus kontnu maupun dskt. Melalu metode n telah dhaslkan pula bentuk da model teeduksnya. Pada bab n eduks ode model melalu MI pada sstem I akan dpeumum aga dapat dgunakan dan dteapkan untuk meeduks ode model sstem PV. Dalam bab n, umusan masalah eduks ode model pada sstem PV dbekan pada subbab III.. Bebeapa lemma yang dpelukan untuk menyelesakan masalah eduks ode model dan menuunkan bentuk model teeduks dsajkan dalam subbab III.2. Selanjutnya nt da bab III yatu teoema yang membekan syaat cukup eksstens eduks ode model pada sstem PV beseta bentuk model teeduksnya dbekan pada subbab III.3. III. Rumusan Masalah Reduks Ode Model Sstem PV Dbekan model sstem PV yang stabl kuadatk beode n epesentas uang keadaan () ρ( ) () ρ() ( ) ( ) ( ρ( )) ( ), ( ) () ( ρ() ) () ( ) 0 x& t = A t x t + B t u t y t = C t x t + D t u t, x 0 = x, x() t vekto keadaan, u( t ) vekto masukan, dan y( t ) vekto keluaan, (), (), () n m p (II.27) x t u t y t, A, B, C, D adalah fungs-fungs kontnu sebagamana dalam (II.2). Fungs tansfe da ealsas sstem datas adalah { } = =. (II.4) () () ( ) α = α C si A B + D, α 0, α = Masalah eduks ode model sstem PV (II.27) dapat dumuskan sebaga menca model sstem PV beode ( k n) pada A, B, C, dan D melambangkan sstem teeduks) : < yang tetap stabl kuadatk (notas

2 7 () ρ() () () ( ) () ( ρ() ) (), ( ρ ) () ( ρ() ) () ( ) 0 x& t = A t x t + B t u t y t = C t x t + D t u t, x 0 = x, (III.) sedemkan sehngga α α γ <, untuk suatu γ yang dbekan, { } () α () ( ) α = C si A B + D = () α () ( ) α = + = C si A B D,. (III.2) III.2 emma Pendukung Bekut lemma-lemma yang dpelukan dalam pembuktan teoema eduks ode model sstem PV. ang petama lemma dbawah n bes tentang elmnas vaabel K yang tak dketahu da suatu ketaksamaan matks dan paametsas salah satu matks K yang feasble [6]. m m m l m k emma III. Dbekan matks R, R = R, U, dan V sedemkan sehngga U dan V mempunya ank kolom penuh. Msalkan U, V adalah matks sedemkan hngga [ UU ], [ VV ] adalah matks buju sangka yang nvetbel U U = 0, V V = 0, maka tedapat matks sedemkan sehngga jka dan hanya jka K l k R+ UKV + VK U < 0 (III.3) U RU Jka (III.4) dpenuh dan ( ) (III.3) dbekan oleh [ ] PQ P < 0, dan V RV < 0. (III.4) well defned, maka salah satu solus da ( ) ( ) K = PQ P P PQ Q, (III.5) + P P2 = U V V, Q2 = V R V, dan Q22 = VR V.

3 8 + dan U, V + meepesentaskan pseudonves da matks U,V. Bukt : ( ): Kalkan pesamaan (III.3) da k Kaena U U = 0, maka Kalkan pesamaan (III.3) da k U dan da kanan U ddapat U RU + U UKV U + U VK U U < 0. URU < 0. V dan da kanan V ddapat V RV + V UKV V + V VK U V < 0. Kaena V V = 0, maka V RV < 0. ( ): Msalkan W adalah bass da ke ( U) ke ( V) UV. Matks W dan W adalah matks sedemkan sehngga U [ W W ] bass ke ( U) = [ ] bass ke ( ). l dmens da ( ) V W W V ke ( V ). Maka, dan UV V UV U U = dan [ W W W ] bass ke ( U) ke ( V) UV U V [ ] ke U dan k dmens da, = W W W Z bass. UV U V Matks non sngula, sehngga pesamaan (III.3) ekvalen ( ) ( ) ( ) ( ) 0 R + U K V + V K U <. (III.6) Blok pats da U, V, dan R [ Z] W W W da. Dengan konstuks n ddapat UV U V m menyesuakan pats da V

4 9 dan [ 0 0 ] [ 0 0 ] U = U U V = V V, (III.7) [ ] 2 2 ( p+ l2 ) l U U l p+ l 2 2 ( p+ m2 ) k V V k p+ m [ ] 2 2 adalah matks ank kolom penuh. Dnotaskan Pats V K K2 ( U U2) K R maka pesamaan (III.6) dapat dtuls sebaga = V K 2 2 K 22 R R2 R3 R4 R2 R22 R23 R 24 =, R3 R32 R33 R34 R4 R42 R43 R44 l k. (III.8) R R2 R3 R4 R2 R22 R23 + K R24 + K2 0 <, (III.9) R3 R23 + K R33 R34 + K2 R4 R24 + K2 R34 + K2 R44 + K22 + K22 K j sembaang kaena K sembaang. Secaa khusus, jka dbekan sembaang matks K j, maka matks + + K K V 2 ( U U2) K 2 K 22 V 2 (II.0) menyelesakan pesamaan (III.8). Sehngga masalah datas teeduks menjad menca konds pada matks R j yang menjamn feasblty (III.9) untuk suatu K j. Dengan komplemen Schu, pesamaan (III.9) ekvalen

5 20 R R2 R3 = R2 R22 R23 + K< 0, (III.) R3 R23 + K R33 R4 R R34 K 2 R34 K R + K + K R + K R + K < 0. (III.2) Jka dbekan K, K 2, dan K 2, maka dapat dca K 22 sedemkan hngga (III.2) dpenuh. Sehngga pesamaan (III.3) feasble jka dan hanya jka pesamaan (III.) feasble untuk suatu K. Pesamaan (II.) ekvalen yatu I 0 0 I R R2 R R 3 R2R I 0 0 I 0 < 0, R 0 0 3R 0 I I R R22 R2 R R2 K +Λ 32 < 0, (III.3) 0 K +Λ32 R33 R3 R R K K3K K2 Λ =. Kaena K sembaang maka (III.3) feasble jka dan hanya jka R < 0, R22 R2R R2 < 0, (III.4) R33 R3R R3 < 0, atau komplemen Schu ekvalen R R2 R R3 0, 0. < < (III.5) R2 R22 R3 R33 Dengan mengalkan (III.5) da k U U dan V dan, maka konds (III.5) ekvalen (III.4). V dan da kanan

6 2 emma bekutnya adalah Bounded Real emma yang mengubah kendala pada sebuah sstem I yang bebentuk nom H ke dalam bentuk kendala yang beupa MI yang ekvalen [,3,20,2]. emma III.2 (Bounded Real emma) Dbekan sstem I fungs tansfe G( s) = D+ C( si A) B. Maka, sstem stabl dan G( s) hanya jka tedapat matks X = X > 0, sedemkan sehngga < γ jka dan A X + XA XB C B X γ I D < 0. (III.6) C D γ I Bukt : ( ): Akan dbuktkan bahwa G( s) γ < ekvalen 2 R= γ I D D> 0 dan tedapat X sebaga solus defnt postf da ketaksamaan aljaba Rccat 2 ( )( γ ) ( ) A X + XA+ XB+ C D I D D B X + D C + C C < 0. (III.7) Ddefnskan kuanttas-kuanttas bekut : 2 R= γ I D D, 2 A = A+ BR D C, B ( ), 2 C = I + DR D C. = BR Dbekan ε > 0 cukup kecl sedemkan sehngga ( ) ( ) 2 ~ ε γ ε ε (III.8) φ = I G s G s > 0, (III.9) A B Gε = C D. (III.20) ε I 0

7 22 Kaena φ 0, maka G ( s) ε > ε < γ. Repesentas uang keadaan da φ ε adalah A 0 B φε = C C εi A C D. (III.2) 2 D D B γ I D D Dengan ealsas φ ε datas, maka matks Hamltonan H A BB = CC ε I A (III.22) tdak mempunya nla egen pada sumbu majne. ebh lanjut, pasangan matks (, ) A B testablkan kaena tedapat matks 2 F = R D C sedemkan sehngga 2 A B F A B R D C A + = = stabl. Kaena ( A, B ) testablkan, maka H dom ( Rc). Msalkan X Rc( H ) memenuh pesamaan aljaba Rccat Kaena ε > 0, maka atau A X + XA + XB B X + C C + ε I = 0. =, maka X A X + XA + XB B X + C C < 0, (III.23) 2 ( )( γ ) ( ) A X + XA+ XB+ C D I D D B X + D C + C C < 0. Dengan komplemen Schu, pesamaan datas ekvalen A X + XA XB C B X γ I D < 0. C D γ I Kaena A stabl dan pasangan A, C ε I teobsevas, maka X > 0. ( ): Msalkan tedapat X > 0 sebaga solus da ketaksamaan aljaba Rccat (III.7). Msalkan matks Q > 0 sedemkan sehngga

8 23 2 ( )( γ ) ( ) A X + XA + XB + C D I D D B X + D C + C C + Q = 0. (III.24) A B Msalkan G( s) = C D tansfomas smlatas pada φ ( s), maka ddapat ~ dan ( s) I G ( s) G( s) φ =. Dengan menggunakan I 0 = X I (III.25) Defnskan maka ddapat A 0 B ~ φ ( s) = I G ( s) G( s) = A XB+ C D, (III.26) D C+ B X B R φ ( ) ( ) 2 0 = XB+ C D R D C+ B X + Q >. (III.27) A B M =, (III.28) ( X B+ C D) ( ) ~ ( ) ( ) ( s M s M s R D C B X) 2 ( XB C D) = (III.29) Dengan menggunakan matx nveson fomula ddapat 2 ( ) ( ) R D C+ B X XB+ C D > 0, (III.30) sehngga φ ( s) > 0 yang ekvalen G( s) 2 ( )( γ ) ( ) γ <. Kaena X > 0 dan XB + C D I D D B X + D C + C C + Q > 0, maka menggunakan teema kestablan yapunov ddapat A stabl. Bounded Real emma untuk sstem I datas dapat dpeluas ke sstem PV yang stabl kuadatk [8]. Dalam kasus n kestablan sstem hanya menjad syaat cukup saja. Hal n dbekan dalam lemma bekut.

9 24 emma III.3 (Genealzed Bounded Real emma) Dbekan hmpunan kompak s R dan sstem PV () = ( ρ() ) ( ) + ( ρ( )) ( ), () ( ()) () ( ()) () x& t A t x t B t u t y t = C ρ t x t + D ρ t u t, untuk setap ρ F. (II.3) s Jka tedapat fungs kontnu W : R sedemkan sehngga W > 0 dan n n ( ρ() ) + ( ρ() ) ( ρ() ) ( ρ() ) B ( ρ() t ) W γi D ( ρ() t ) C( ρ() t ) D( ρ() t ) γi A t W WA t WB t C t < 0 (III.3) untuk setap ρ, maka sstem PV (II.3) stabl kuadatk dan tedapat skala γ sedemkan sehngga α ( ρ ) γ <. n n n n emma III.4 [2,20] Dbekan X, X = X > 0 dan = > 0. Msalkan k blangan bulat postf, maka tedapat matks X 2 X X2 X X n k 2 *, 0 dan > = X2 X2 X2 X2 * * (III.32) jka dan hanya jka X X 0 dan ank n k +. (III.33) anda * menotaskan elemen yang tdak dpehatkan. Bukt : ( ): X Dengan komplemen Schu, 0 ekvalen X 0. Sehngga n k tedapat matks X2 sedemkan sehngga Dengan mendefnskan X 2 : = Ik, maka ddapat 2 2 = X = X X.

10 25 X X X2 X X2 * =, 0, dan > = X2 X2 X2 X2 * *. 2 X2 ( ): Dengan matx nveson fomula ddapat maka atau ( ) = X + X X X X X X X X, (III.34) ( ) = X X X X X X X X X ( 2 )( ) ( 2 ) = X X X X X X X X X Dengan matx nveson fomula ddapat ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) = X + X X X X X X X X X X X X X X X = X X X X X X + X X X X = X X X X. (III.36) Kaena > 0, maka yang beakbat D lan phak sehngga > 0, sehngga = X X X X 0 (III.37) X ank ( ) ank ( ) 0. (III.38) X = X X X k, (III.39) X ank n + k..

11 26 III.3 Reduks Ode Model Sstem PV Bekut n dsajkan teoema yang membekan syaat cukup eksstens eduks ode model pada sstem PV beseta bentuk model teeduksnya [7]. eoema III. Dbekan sstem PV beode n yang stabl kuadatk dan 0 () ρ( ) () ρ() ( ) ( ) ( ρ( )) ( ), ( ) () ( ρ() ) (), ( 0) 0 x& t = A t x t + B t u t y t = C t x t + D t u t x = x γ >. edapat model teeduks beode ( k n) () ρ() () () < da sstem (II.27) yatu ( ) () ( ρ() ) (), ( ρ ) () ( ρ() ) (), ( 0) 0 x& t = A t x t + B t u t y t = C t x t + D t u t x = x sedemkan sehngga () () n n smet X, sedemkan sehngga (II.27) (III.) α α < γ jka tedapat matks defnt postf dan A X + XA XB < 0 B X γ I =,...,, (III.40) A + A C < 0 C γ I =,...,, (III.4) X 0, (III.42) X ank n + k. (III.43) Jka (III.40) (III.43) dpenuh, maka salah satu solus feasble da masalah eduks ode model dbekan oleh : = D. A = M A, B = B, (III.44) C = C, D

12 27 Bukt: Untuk sembaang fungs kontu α, A 0 B α () α () = α() 0 A B (III.45) = C C D D A 0 B = + = 0 A B α() C -C si D D. Da Bounded Real emma yang dpeumum, () () matks ( n+ k) ( n+ k W ), W > 0 sedemkan sehngga ( ρ() ) + ( ρ() ) ( ρ() ) ( ρ() ) B ( ρ() t ) W γi D ( ρ() t ) C( ρ() t ) D( ρ() t ) γi α α < γ jka tedapat A t W WA t WB t C t < 0. Ketaksamaan matks d atas dapat dtuls sebaga ( ) ( ) ( ) 0 untuk semua R ρ + UK ρ V + VK ρ U < ρ, (III.46) ( ), ( ) R ρ = ρ R K ρ = ρ = = dan,,, dan R U V sebaga A 0 A 0 B C W + W W R = B 0W - γ I D, C 0 D γ I U 0 0 W I 0 = 0 0, 0 I V 0 0 I 0 =, 0 I 0 0 A B =. C D

13 28 Ketaksamaan matks (III.46) dpenuh jka dan hanya jka R + UV + V U < 0 =,...,. (III.47) Bedasakan emma III., ketaksamaan matks (III.47) ekvalen U U RU < 0, dan V RV < 0 =,...,, (III.48) [ I ] W =, V = 0 0 I I. I Kemudan bedasakan emma III.4, dapat ddefnskan W * - X * = W * * = * * yang ekvalen I I n+ k n n 0 dan ank X X atau X X 0 dan ank n k +, sehngga (III.42) dan (III.43) dpenuh. Dengan memanfaatkan komplemen Schu dan matx nveson fomula, ketaksamaan matks (III.48) ekvalen ketaksamaan matks (III.40) dan (III.4). Untuk membuktkan bentuk model teeduks (III.44), plh matks W =, X 0, = I n k matks ank kolom penuh m k dan I adalah matks denttas ukuan k k. Maka, bedasakan pesamaan (III.5) ddapat bentuk model teeduks M A B = C D, (III.49) M = A+ A. Kestablan kuadatk da model yang teeduks akan dbahas dalam bab selanjutnya.

14 29 Dalam teoema eduks ode model sstem PV d atas, kendala (III.40) (III.42) beupa kendala konveks, sedangkan kendala (III.43) non konveks. Hal n menyebabkan masalah menca pasangan matks defnt postf dan smet X, yang memenuh kendala (III.40) (III.43) menjad masalah feasblty yang non konveks. Penyelesaan da masalah n akan dbahas dalam bab selanjutnya.