PENERAPAN PROGRAM LINIER KABUR DALAM ANALISIS SENSITIVITAS PROGRAM LINIER

Transkripsi

1 Penerapan Program Lner Kabur dalam Analss.. Elfranto PENERAPAN PROGRAM LINIER KABUR DALAM ANALISIS SENSITIVITAS PROGRAM LINIER Elfranto Dosen Unverstas Muhammadyah Sumatera Utara Abstrak: Salah satu kaan dalam masalah program lner adalah melakukan analss senstvtas. Analss n melhat seauh mana pengaruh perubahan ss ruas kanan maupun fungs tuuan terhadap awab optmal. Metode yang dgunakan dalam analss n pada umumnya adalah Program Lner Parametrk. Namun metode n hanya memberkan gambaran perubahan untuk perubahan koefsen fungs tuuan secara serentak dan tdak dapat untuk perubahan pada salah satu koefsen. Untuk mengatas hal tersebut dgunakan Program Lner Kabur dengan fungs tuuan kabur. Kata kunc: Analss Senstvtas, Program Lner, Program Lner Parametrk, Program Lner Kabur. PENDAHULUAN Analss parameter dgunakan untuk mempelaar pengaruh perubahan dalam parameter model program lner terhadap pemecahan optmum. Analss sepert n dpandang sebaga bagan ntegral dar pemecahan (yang dperluas) setap program lner. Analss n memberkan karakterstk dnams pada model yang memungknkan seorang anals untuk mempelaar perlaku optmum sebaga hasl dar perubahan dalam parameter model. Pada praktknya analss parameter serng dgunakan untuk menangan perubahan dalam pemecahan optmum dsebabkan oleh perubahan kontnu dalam parameter model, khususnya pada koefesen fungs tuuan yang dalam duna nyata berhubungan dengan fluktuas perubahan permntaan pasar atau laba/baya margnal. Dalam tulsan n dbahas pemecahan persoalan program lner yang berubah pemecahan optmumnya dsebabkan perubahan kontnu dar koefesan fungs tuuannya setelah dselesakan dengan program lner. Program lner parametrk dapat dgunakan dalam hal n, namun untuk melhat perubahan dar seluruh koefsen fungs tuuan secara keseluruhan. Untuk melhat perubahan dar satu koefsen fungs tuuan dpergunakan Program Lner Kabur. Perubahan kontnu koefesen fungs tuuan dartkan sebaga ketdakelasan pada tuuan. Dengan pendekatan hmpunan kabur maka permasalahan dalam program lner d atas dapat dselesakan. Penggunaan hmpunan kabur dsn dengan mendefnskan nla-nla kabur yang ada ("d sektar" koefsen tuuan melalu fungs keanggotaan). Fungs keanggotaan tersebut merupakan tngkat atau deraat keanggotaan yang memenuh suatu nla pada hmpunannya.. PERUMUSAN MASALAH Dar uraan tersebut d atas drumuskan permasalahan yang menad topk pembahasan dalam tulsan n adalah bagamana model program lner dapat menangan pengaruh perubahan kontnu pada koefsen "d sektar" fungs tuuan terhadap pemecahan optmum dengan menggunakan Analss Parameter dan Program Lner Kabur (fuzzy).. TUJUAN DAN MANFAAT PENELITIAN Tuuan peneltan n untuk memperlhatkan bagamana persoalan Program Lner dengan perubahan kontnu pada koefsen tuuan akbat dar fluktas permntaan pasar dselesakan dengan Analss Parameter dan Program Lner Kabur (fuzzy). Juga dperlhatkan pengaruh perubahan kontnu tersebut terhadap solus optmum. Hasl dar pemecahan persoalan dalam peneltan n dapat memberkan masukan daam penyelesaan persoalan Program Lner ka terad umlah permntaan tdak determnstk. 0

2 Jurnal Sstem Teknk Industr Volume 7, No. Januar PROGRAM LINIER KABUR Program lner adalah kasus program matematka yang semua fungsnya mempunya bentuk lner. Program lner pada umumnya dgunakan untuk menyelesakan persoalan yang drumuskan sebaga: Maksmumkan f(x)=z=c T x.. () Dengan kendala Ax b X 0 d mana c, x R n, b R m, A R m+n Untuk model konvensonal, umumnya dasumskan koefsen-koefsen A, b, dan c adalah besaran-besaran yang crsp. ketdaksamaan uga dalam art eksak. Hal n berart penympangan dar salah satu koefsen akan menyebabkan solus dar permasalahan d atas menad berubah. Untuk mengatas hal n, maka dperkenalkan metoda program lner kabur (Zmmerman 99). Jka dasumskan bahwa keputusan dar program lner harus dbuat dengan konds yang fuzzy, maka perlu dlakukan beberapa modfkas dar persamaan (). Pertama, pengambl keputusan mungkn tdak benar-benar ngn memaksmumkan atau memnmumkan fungs tuuan. Da mungkn hanya ngn memperbak baya saat n (present cost) sewaarnya saa, dan alasan lan (Zmmerman 99). Kedua, kendalakendala tersebut mungkn tdak uga tdak nyata pada beberapa hal sepert durakan berkut n:. Tanda ">" mungkn tdak harus ddefnskan sebaga ketdaksamaan yang eksak sepert pada persoalan matematka, melankan mash dapat menerma penympangan yang kecl pada tanda tersebut.. Koefsen-koefsen dar vektor b dan c atau matrk A umumnya merupakan besaranbesaran yang bersfat fuzzy. Yang terakhr, peranan dar kendalakendala yang mungkn berbeda dengan yang dgunakan pada metode program lner konvensonal d mana suatu pelanggaran sekecl apapun dapat menyebabkan solus berubah. Persoalan () tersebut merupakan bentuk permasalahan program lner yang terdefns dengan elas karena nla b, c dasumskan dengan past atau determnstk. Contoh Kasus: Dberkan suatu problem program lner sebaga berkut: Maksmumkan: f =x + x Kendala: x + x 6 x + x 4 X, X 0 Dengan metode smpleks dperoleh hasl akhr sebaga berkut: vb ttb 4 X X X X 4 Rttg X X ½ 0 ½ E - Z 0 -/ 0 -/ 6 Dar contoh kasus analss parameter d atas dapat dlhat bahwa fungs tuuan optmal c l dketahu berada pada nterval [,0/], [,0], koefsen fungs tuuan c Z berada pada nterval [,5/], [,5]. Jka pengambl keputusan ngn mencar hargaharga c l, c sesua dengan keteltan numerknya maka permasalahan d atas menad program lner dengan tuuan fuzzy maka harus dcar dengan program lner fuzzy. Permasalahan d atas dtulskan sebaga: Maksmum f = c x + c x Kendala x l + x 6 x + x 4 x, x 0 Penyelesaan I dengan asums nla c tdak berubah maka persoalannya menad: Maksmum f = c l x l + x Z Kendala x l + x 6 x + x 4 0 x, x 0, c, 04

3 Penerapan Program Lner Kabur dalam Analss.. Elfranto Maka c, dapat dhtung keteltan numerknya berdasarkan deraat keanggotaannya berdasarkan rumusan fungs keanggotaan c : () ()= c φ < nf ( ) 0 ka c c ( c ) nf φ c / nf φ ( c ) φ ( c ) φ ( ) ( ) ka, ka c > φ ( ) c nf φ ( c ) c φ ( c ) sehngga, ( ) φ 0, c ( ) ( ) φ 0, c () 0 ka < c = (c ) 0 / ka c 0 ka > c 0 ka < c = (c ) 0 / ka c 0 ka > c Dengan hmpunan kendala R x + x 6;x { + x 4;x, x 0} x Untuk memaksmumkan keuntungan dalam menyelesakan permasalahan maks. = c x + x, x x f Dar kasus d atas hanya terdapat satu bagan fungs keanggotaan yang dpergunakan pada persamaan () bahwa: n R : φ () c = nf φ ( c ) Untuk setap c yang sama dengan persamaan (), maka persamaan tersebut dapat dselesakan menurut persamaan: Maks z(α ) = ( + / α ) x + x Kendala x + x 6 x l +x 4 x l,x 0, α Є [0,] Penyelesaan fuzzy menad hmpunan fuzzy dar nla-nla fungs tuuan { + c ; (c l + ) / 9, c l Є [, ]} berkut n akan dtunukkan tabel dar c l 0 Є [, 0 ] Tabel. Solus Optmal untuk C l Є [, 0 ] C C β α X X Z(α) Tabel. Solus Optmal untuk C Є [, 5 ] C C β α X X Z(α) Tabel. Solus Optmal untuk C Є[, 5 ], C Є [, 5 ] C C β α X X Z(α) Dengan cara yang sama ambl untuk persamaan: Maka persamaannya menad: Maksmum f = c x + c x Kendala x l + x 6 x + x 4 x, x 0, c Є [,0] + 7 α x + x Maks. z(α ) = ( ) Kendala x + x 6 x l +x 4 x l,x 0, α Є [0,] Penyelesaan fuzzy menad hmpunan fuzzy dar nla-nla fungs tuuan { + c ; (c l + ) /49, c l Є [,0]} 05

4 Jurnal Sstem Teknk Industr Volume 7, No. Januar 006 Tabel 4. Nla Keanggotaan c c + c (c ) / 49) Dar tabel d atas dperoleh nla c yang optmal pada c = 7, maka ka kta msalkan ((c - ) /49)= β, berart α = , maka akan dperoleh: x + x Maks z(α ) = ( ) = ( ) x + x = ( + 7( 0.55) ) x + x = 7x + x Kendala x + x 6 x l + x 6 x l,x 0, α Є [0,] dengan metode smpleks maka solusnya sepert terlhat dalam Tabel 5. Dar tabel smpleks tersebut dperoleh harga yang optmal untuk x l = /, x = clan z = /. Berdasarkan deraat keanggotaan c dperoleh tabel optmal dar solus optmal persoalan program lner sepert terlhat pada Tabel 6. Tabel 5. Smpleks c = 7 d 0 0 c I db CB X b X X X X 4 b 0 0 X X Z C - Z X 0-7 X ½ 0 ½ Z 7 7/ 0 7/ 4 C Z / 0-7/ 0 X 0 ½ -½ 0 X 0 -½ /4 / Z 7 C - Z - /4 0 0 /4 7/4 / - 7/4 Tabel 6. Solus Optmal Berdasarkan Deraaat Keanggotaan C C C β α X X Z(α) Sedangkan untuk permasalahan c pada nterval [,5] maka dengan asums nla c l tdak berubah sehngga dengan cara yang sama sepert d atas, dperoleh keteltan numerknya sebaga berkut: Maksmum f = x + c x 0 ka ( ) ( ( ) ( ) / nf φ c φ c φ ()= c c nf φ ( c ) ka ka nf ( ) φ c < c nf φ ( c ) c φ ( c ) c > φ ( ) c 06

5 Penerapan Program Lner Kabur dalam Analss.. Elfranto 0 ka < c φ ( c ) = (c ) 0 / ka c 5 ka 5 > c atau 0 ka < c φ ( c ) = (c ) / ka c 9 5 ka 5 > c Dengan hmpunan kendala X + X 6 X + X 4 X, X 0 X= R x + x 6;x { + x 4;x, x 0} x Untuk memaksmumkan keuntungan dalam menyelesakan permasalahan: Maks x + C X, x Є X Dar kasus d atas hanya terdapat satu bagan fungs keanggotaan yang dpergunakan pada persamaan (4) bahwa: Untuk setap C Є R n : φ ( c) = nf φ ( c ) yang oleh persamaan (.6) sama dengan persamaan (.9), maka persamaan dapat dselesakan menurut persamaan: Dengan mengubah persamaan d atas menad: Maks Z(α) = (X + (+4 α )X Kendala X +X 6 X +X 4 X, X 0, α Є [0.] Maka dperoleh tabel optmal berdasarkan deraat keanggotaan C sebaga berkut: Tabel 7. Solus Optmal Berdasarkan Deraat Keanggotaan C C C β=(c - )/96 α X X Z(α) 0 / / / / / 5/ / 7/ / 9/ / / / / / 5/ / 7/ / 9/ / / / / / 5/ / 7/ 5 0 / 9/ Kemudan akan dbandngkan dengan penyelesaan program lner kabur dengan C, C berada pada nterval [,0], [,5] dengan persamaan: Maks F = ( + 7 α ) X + ( +4 α ) X Kendala x +x 6 x + x 4 x, x 0 Tabel 8. Solous Optmal c, c dengan keteltan α α C C X X f / / / / 5/ / / 9/ / / 5/ / 0 Dar tabel dapat dtentukan bahwa harga keuntungan optmum pada saat α = 0 dengan nla c = 0 dan c = 5, x = dan f = 0, x =, 07

6 Jurnal Sstem Teknk Industr Volume 7, No. Januar KESIMPULAN DAN SARAN 5.. Kesmpulan. Persoalan program lner dengan perubahan koefsen pada fungs tuuan dalam parameter λ tdak hanya menad tuuan. Jka perubahan koefsen terad hanya pada salah satu koefsen saa, maka analss parameter tdak dapat memecahkan persoalan, maka program lner kabur (fuzzy) sangat tepat dgunakan untuk memecahkan persoalan perubahan koefsen pada semua fungs tuuan dan pada salah satu koefsen saa.. Perubahan koefsen fungs tuuan berhubungan dengan fluktuas harga permntaan pasar, d mana fluktuas permntaan dasumskan sama. Jka dselesakan dengan analss parameter dan program lner kabur mengakbatkan hargaharga tuuan optmum yang berubah dan ens serta umlah produk yang dproduks uga berubah sesua besarnya harga ksaran λ. 5.. Saran Dalam kenyataan sehar-har mungkn saa perubahan koefsen fungs tuuan tdak sama dalam hal yang dsarankan agar persoalan demkan untuk dselesakan dengan mengkombnaskan harga-harga perubahan deraat keteltan λ. DAFTAR PUSTAKA Bradley.P. Stephen, Hav.C.Arnold, Magnant, L. Thomas, Appled Mathematcal Programmng, Adson-Wesley Publshng, Sdney, 997. Frederck,S.Hller, Gerald Leberman, Alh Bahasa Dra. Ellen Gunawan, Pengantar Operas Rset, Erland, Jakarta, 990. La, Young-Jou, Chng-La Hwang, Fuzzy Mathematcal Programmng, Method and applcaton, Sprnger Verlag, Berln Hedelberg, 99. Kauffman, Arnold. Gupta, Madan, Introducton to Fuzzy Arthmatc: Theory and Applcaton Van Nostrap Renhold, New York, 99. Rao, S.S, Optmzaton: Theory and Applcaton, Eds ketga, Wley Eastern Lmted, Banglore, Inda, 987. Taha Hamdy A, Rset Operas, Alh Bahasa Drs. Danel Wraaya, Bnarupa Aksara, Jakarta,996. Wu Nesa L abbe [and] Rchard Coppn, Lner Programmng and Extenton, Mc Graw-Hll, New York, 98. Zadeh, Loft Asker, Fuzzy Sets and Applcaton, John Wley an Sons.Inc, Canada, 987. Zmmerman,H-J, Fuzzy Set Theory and Its Applcaton, Second Revsed Edton, Kluwer Academc Publsher, Boston/Dorecch/London,99. 08