JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 59-70, Agustus 2003, ISSN :

Transkripsi

1 JURNA MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 59-70, Agustus 2003, ISSN : MASAAH RUTE TERPENDEK PADA JARINGAN JAAN MENGGUNAKAN AMPU AU-INTAS Stud Kasus: Rute Peralanan Ngesrep Smpang ma Eko Bud P dan Sunarsh Jurusan Matematka Fakultas MIPA Unverstas Dponegoro Abstrak Permasalahan rute terpendek pada arngan alan yang menggunakan lampu lalu-lntas bertuuan untuk menentukan rute yang menghubungkan ttk asal s dan ttk tuuan, yang mempunya waktu peralanan total mnmum. ampu lalu-lntas pada arngan alan n dasumskan hanya terdr dar dua fase yatu merah dan hau, dengan perode waktu sklus adalah konstan. Permasalahan n dapat drepresentaskan kedalam graph berarah, dengan waktu peralanan untuk tap-tap alan adalah bobot arc, dan waktu tunggu pada persmpangan alan merupakan bobot ttk. Waktu peralanan dar ttk asal ke ttk tuuan dpengaruh oleh dua faktor yatu waktu peralanan untuk tap alan dan waktu tunggu pada persmpangan alan, dengan lamanya waktu tunggu datur oleh lampu lalu-lntas. Untuk menyelesakan permasalahan rute terpendek n dgunakan algortma Ford Moore Bellman yang telah dmodfkas. Pada stud kasus: rute peralanan Ngesrep Smpang m dengan menggunakan algortma n dperoleh waktu peralanan mnmum dar rute tersebut adalah 10 ment 59 detk, melalu rute Setya Bud Teuku Umar Sultan Agung Dponegoro Pahlawan Smpang m dengan beberapa asums yatu: kecepatan kendaraan ketka melewat rute n adalah konstan yatu 40 km/am, tdak terdapat kemacetan pada rute tersebut dan kendaraan hanya berhent d persmpangan alan karena lampu lalu-lntas. Kata Kunc : rute terpendek, alan, lampu lalu-lntas, graph berarah. 1. PENDAHUUAN Jarngan alan menggunakan lampu lalu-lntas adalah arngan alan yang mempunya lampu lalu-lntas dsetap smpang alan. ampu lalu-lntas n basanya terdr atas tga warna lampu yatu merah, kunng dan hau. Tanda 59

2 Masalah Rute Terpendek (Eko Bud P dan Sunarsh) merah berart berhent, kunng dan hau berart beralan. Tanda n berubah secara teratur. Setap pengulangan urutan tanda lampu secara keseluruhan dsebut satu sklus snyal dan lamanya dsebut waktu sklus. Selan menguntungkan karena dapat memperlancar lalu-lntas kendaraan, penggunaan lampu lalu-lntas uga mempunya kerugan yatu menambah waktu peralanan karena menunggu pada persmpangan alan. amanya seseorang menunggu pada persmpangan alan ddefnskan sebaga waktu tunggu yatu lamanya menunggu sebelum lampu hau menyala. Permasalahan rute terpendek pada arngan alan menggunakan lampu lalu-lntas dapat dmodelkan dalam bentuk arngan yang berupa graph berarah G ( N, A). Tempat atau persmpangan alan dwakl oleh suatu ttk N sedangkan alan yang dlalu drepresentaskan dalam bentuk gars berarah atau arc A. 2. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Jarngan alan menggunakan lampu lalu-lntas Jarngan alan menggunakan lampu lalu-lntas adalah arngan alan yang mempunya lampu lalu-lntas d persmpangan alan. Jarngan n dapat drepresentaskan kedalam graph berarah, dengan persmpangan alan dwakl oleh ttk, sedangkan alan drepresentaskan dalam arc. Defns 2.1 Waktu peralanan yang dnotaskan dengan d (t) adalah waktu yang dperlukan untuk melakukan peralanan pada alan yang dnotaskan dengan arc (, ). Defns 2.2 Waktu tunggu yang dnotaskan dengan w (t) adalah lamanya kendaraan menunggu pada persmpangan alan yang dnotaskan dengan ttk, sebelum melanutkan peralanan. amanya waktu tunggu kendaraan pada persmpangan alan dtentukan oleh lampu lalu-lntas. Jka lampu lalu-lntas berwarna merah ketka kendaraan akan melewat persmpangan alan, maka waktu tunggu adalah lamanya kendaraan menunggu pada persmpangan alan sebelum lampu lalu-lntas berwarna hau 60

3 JURNA MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 59-70, Agustus 2003, ISSN : menyala. Sedangkan apabla lampu lalu-lntas berwarna hau, maka waktu tunggu pada konds n nol ampu lalu-lntas pada Persmpangan Jalan ampu lalu-lntas terdr dar tga warna yatu merah, kunng, dan hau. Warna merah berart semua kendaraan harus berhent, kunng dan hau berart semua kendaraan beralan. ampu lalu-lntas dasumskan hanya terdr dar dua warna yatu merah dan hau, karena kunng dsamakan dengan hau yatu alan. Setap pengulangan urutan tanda lampu lalu-lntas secara keseluruhan dsebut satu sklus snyal dan lamanya dsebut waktu sklus. Defns 2.3 Msalkan N adalah suatu ttk yang datur oleh lampu lalulntas, a = ( h, ) adalah arc masuk pada ttk dan b = (, ) merupakan arc keluar dar ttk, maka pasangan ( dnamakan pasangan fsbel (fsbel). Defns 2.4 Fase hau (green) yang dnotaskan dengan g ( adalah lamanya lampu lalu-lntas menyala berwarna hau tap perode atau waktu sklus. Defns 2.5 Fase merah (red) yang dnotaskan dengan r ( adalah lamanya Defns 2.6 Defns 2.7 lampu waktu sklus. lalu-lntas berwarna merah menyala tap perode atau Waktu horzon yang dnotaskan dengan t(h) adalah waktu lampu lalu-lntas mula menyala. Nla fase yang dnotaskan dengan s( adalah selsh antara mulanya waktu horzon t(h) dengan fase hau pertama sesudah t(h). Jka dalam waktu horzon t(h), ( adalah fase merah maka s( r( ; dan sebalknya ka ( dalam fase hau maka s ( > r(. Pada kedua konds tersebut, fase hau pertama mula pada saat t ( h). 61

4 Masalah Rute Terpendek (Eko Bud P dan Sunarsh) Defns 2.8 Waktu relatf dar arc a ke arc b yang ddefnskan dengan trplet [ g (, r(, s( ] merupakan barsan fase hau dan fase merah yang dulang. Untuk lustras perhatkan contoh berkut n : Sebuah persmpangan alan terdr atas 4 alan, yatu alan b, c dan alan d. Pada persmpangan tersebut terdapat 2 lampu lalu-lntas yang berada pada uung alan a dan d, dengan masng-masng lampu lalu-lntas mempunya pengaturan yang berbeda-beda. ampu lalu-lntas pada uung alan a mengatur pergerakan kendaraan dar alan a menuu alan b dan c. Begtu pula lampu lalu-lntas pada uung alan d, mengatur arus kendaraan dar alan d menuu ke alan b dan c. Fenomena tersebut dapat dgambarkan kedalam gambar berkut n : Keterangan gambar: : arah pergerakan kendaraan Gambar 3.1 Graph persmpangan alan Jka dketahu duras lampu lalu-lntas pada persmpangan tersebut dtunukkan oleh tabel berkut n: Tabel 3.1 Duras lampu lalu-lntas (dalam detk) Dar tabel tersebut, dapat delaskan bahwa pada pasangan fsbel (, fase hau adalah = 45, fase merah sebesar = 15 detk, waktu horzon t(h) = 0, nla fase yatu selsh antara fase hau pertama dengan waktu horzon 0 adalah 25, sehngga s( = 25 0 = 25. Jad trplet dar ( adalah [ g (, r(, s( ] = [45, 15, 25]. 62

5 JURNA MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 59-70, Agustus 2003, ISSN : Algortma Waktu Tunggu Untuk memperoleh waktu tunggu dalam ttk pada arngan alan dengan lampu lalu-lntas dgunakan algortma berkut n: Msal Q = ( Π ( t) t ) modπ ( (3.1) s k dmana π ( a, = g( + r( (3.2) adalah perode lampu lalu-lntas, dengan Π (t) adalah waktu peralanan dar ttk s ke, dan t k merupakan waktu keberangkatan dar ttk s. Algortma n dapat dterapkan pada kasus berkut n: Kasus 1 : Pada saat waktu horzon t (h), lampu lalu-lntas berwarna merah, s sehngga dar Defns 3.7 dperoleh s( r(. Waktu tunggu kendaraan pada ttk ka terad konds tersebut dapat dcar dengan menggunakan rumus d bawah n: s( Q, ka 0 Q < s(; w( a, b, t) = 0, ka s( Q < g( ; (3.3) π ( Q, ka g( ) Q < π (. Kasus 2 : Pada saat waktu horzon t (h), lampu lalu-lntas berwarna hau, sehngga menurut Defns 3.7 ddapat s ( > r(. Untuk kasus n, waktu tunggu kendaraan pada ttk dapat dperoleh dengan menggunakan rumus berkut n: 0, w( b, t) = s( Q, 0, ka 0 Q < g( -π (; ka g( π ( Q < s( ; ka s( Q < π ( (3.4) 63

6 Masalah Rute Terpendek (Eko Bud P dan Sunarsh) Contoh : Perhatkan pergerakan kendaraan yang terdapat pada persmpangan, yang dtunukkan oleh Gambar 3.1. Pergerakan tersebut datur oleh lampu lalu-lntas yang terdapat pada uung alan dengan duras lampu dperlhatkan pada Tabel 3.1. Msalkan dketahu waktu peralanan kendaraan sebelum sampa pada persmpangan yatu waktu peralanan dar ttk awal s ke ttk ( Π (t) ) adalah selama 1565 detk, dan waktu keberangkatan dar ttk s yang dnotaskan dengan t k adalah nol. Waktu tunggu kendaraan d persmpangan tersebut, ka kendaraan hendak melanutkan peralanan dar alan a ke alan b dapat dperoleh dengan menggunakan algortma sebaga berkut: 1. Menghtung π (, dengan menggunakan persamaan (3.2), sehngga dperoleh : π ( = ( g( + r( = = Mencar nla Q, dengan menggunakan rumus pada persamaan (3.1), sehngga dperoleh : Q = ( Π ( t) t ) modπ ( = 5 Q = 5 s k 3. Dketahu Q = 5, s ( = 25, π ( = 60, g ( = 45 dan r ( = 15. Dar data tersebut d atas dperoleh suatu konds sebaga berkut : s ( > r( g( π ( = 10 Q < g( π ( 0 Q < g( π ( Dengan memperhatkan konds tersebut, dan dlakukan cross check dengan 2 kasus dar algortma waktu tunggu pada ttk, dketahu bahwa permasalahan waktu tunggu n merupakan contoh dar kasus kedua. 4. Untuk mencar waktu tunggu pada ttk, lhat algortma untuk mencar waktu tunggu pada kasus dua. Dengan menggunakan persamaan (3.4) s 64

7 JURNA MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 59-70, Agustus 2003, ISSN : dperoleh waktu tunggu kendaraan apabla kendaraan bergerak dar alan a menuu ke b yatu sebesar w ( b, t) = 0. Artnya kendaraan tersebut tdak perlu menunggu pada persmpangan alan, dan bsa terus melanutkan peralanan Algortma Ford Moore Bellman Algortma n dgunakan untuk mencar rute terpendek pada arngan alan. Algortma Ford Moore Bellman dtemukan oleh Ford (1956), Moore (1957), dan Bellman (1958). Dasar dar algortma n adalah lntasan terpendek dar ttk s ke ttk yang memuat palng banyak k + 1 gars berarah dapat dperoleh dar lntasan terpendek dar ttk s ke ttk yang memuat palng banyak k gars berarah. lntasan ( P Dalam algortma Ford Moore Bellman, lambang s k menyatakan bobot ) dar ttk s ke ttk yang melalu palng banyak k buah gars berarah pada suatu graph G ( N, E, l). Berkut n dberkan teorema yang mendukung algortma Ford Moore Bellman. Teorema 3.1 Dalam suatu graph G( N, E, l) yang memuat n ttk dan P adalah lntasan s ( +1) terpendek dar s ke yang memuat k+1 gars berarah, maka ( k ) dapat dcar dengan rumus: ( k + 1) ( k + 1) = ( P ) = mn[ + Bukt : s s ] P s Dketahu P adalah lntasan terpendek dar s ke ttk yang memuat k+1 gars s berarah dengan (, ) adalah gars berarah yang terakhr. In berart Ps dapat danggap memlk k buah gars berarah yang dkut oleh gars berarah terakhr yatu (, ) sehngga ( k+ 1) ( k + 1) = ( P ) = [ + s s ] 65

8 Masalah Rute Terpendek (Eko Bud P dan Sunarsh) Karena P adalah lntasan terpendek maka dplh yang palng mnmum s ( k + 1) ( k + 1) sehngga = ( P ) = mn[ + ] Teorema 3.2 s Pada suatu graph G ( N, E, l) yang memuat n ttk dan s P s adalah lntasan terpendek dar ttk s ke ttk yang memuat palng banyak k buah gars berarah maka: Bukt : ( k + 1) ( k + 1) = ( Ps ) = ( k + 1) Dar Teorema 3.1 telah dperoleh rumus = mn[ + ], karena dketahu bahwa P s hanya memuat palng banyak k gars berarah, maka ka danggap P s memuat k+1 gars berarah, n berart lntasan terpendek lntasan P s terdr atas P s yang memuat k gars berarah dan dkut gars (, ) yang berbobot nol. Hal n berart bahwa kedua ttk yatu ttk dan berhmpt, sehngga P = P atau dengan kata lan: s s ( k + 1) = mn[ + ] = mn[ = mn[ + 0] ] = angkah-langkah Algortma Ford Moore Bellman 1. angkah awal Dberkan : ( ) = l = 0, k = 1,2,...,n-1. s s Dengan (l) s = s adalah arak dar ttk awal s ke ttk s tu sendr. (1) (1) =, = 1,2,...,n-1. ( s, ) Jka ttk adacent dar ttk s maka: =, dengan (1) tuuan. (1) ( s, ) (1) merupakan arak antara ttk awal s ke ttk 66

9 JURNA MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 59-70, Agustus 2003, ISSN : Sebalknya ka ttk bukan adacent dar s maka: (1) =. ( s, ) 2. angkah 2 Setelah semua dketahu, dlanutkan ke langkah 2. (1) Menghtung dengan menggunakan rumus berkut n : = mn {,mn[ + ]} untuk k = 1dan = 1,2,.., n 1 N( G), dengan. 3. Ulang langkah 2, untuk 4. Penghentan teras k = 2,3,..., n 1. Jka dperoleh = untuk semua = 1,2,3,..., n 1, dengan syarat k n 1, maka teras dhentkan. Jka belum kembal ke langkah 3. Sebalkny ka ( k+1) srkut negatf, dan teras dhentkan., ketka k = n-1 maka n berart arngan memuat Sebelum algortma n dgunakan untuk menyelesakan permasalahan rute terpendek pada arngan alan yang menggunakan lampu lalu-lntas, algortma Ford Moore Bellman n terlebh dahulu dmodfkas. Modfkas dmaksudkan untuk menggant bobot lntasan dar arak menad waktu peralanan ttk s ke. Jka Π (t) adalah waktu peralanan tercepat atau mnmum dar ttk awal s ke ttk tuuan dengan waktu keberangkatan adalah t k, maka Π (t) dapat dperoleh dengan menggunakan fungs berkut n: Π (t) = mn { A( ) Π ( t) + D ( t)} dengan D ( t) = w ( t) d ( t) + dmana Π (t) : waktu peralanan dar ttk asal s ke ttk. D (t) : waktu peralanan total dar ttk ke ttk. d (t) : waktu peralanan dalam arc (, ). w (t) : waktu tunggu pada ttk. 67

10 Masalah Rute Terpendek (Eko Bud P dan Sunarsh) Model Matematka Waktu Peralanan Mnmum Model matematka masalah rute terpendek pada arngan alan menggunakan lampu lalu-lntas adalah memnmalkan bobot lntasan yang menghubungkan ttk awal dan ttk tuuan, dengan bobot lntasan terdr dar waktu peralanan pada arc dan waktu tunggu pada ttk yang dlalu. Jka dtulskan kedalam persamaan matematka maka masalah waktu peralanan mnmum dalam arngan alan yang menggunakan lampu lalu-lntas dapat dformulaskan kedalam model matemats sebaga berkut: n m Mn w x dengan, = 1 = 1 Dengan kendala pada tap-tap ttk sebaga berkut: x x = keluar masuk x x = keluar masuk x = keluar masuk 1 untuk node sumber (1) 0 untuk node antara (2) x 1 untuk node tuuan (3) : ttk asal : ttk tuuan w (t) : waktu peralanan pada arc (, ) w (t) : waktu tunggu pada ttk 3. METODOOGI PENEITIAN 3.1 Tahap Pertama Pada tahap pertama (formulas masalah), kegatan peneltan dlakukan dengan mengdentfkas masalah rute terpendek pada arngan alan yang menghubungkan Ngesrep dan Smpang ma. 3.2 Tahap Kedua Pada tahap kedua yang melput pengumpulan serta analsa data yang dperoleh dapat delaskan sebaga berkut : 68

11 JURNA MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 59-70, Agustus 2003, ISSN : Pengamblan Data Data-data yang dperlukan untuk peneltan n dperoleh dengan 2 cara : 1. Data Prmer Data prmer dperoleh dengan cara surve dlapangan. Data-data prmer yang dkumpulkan melput settng lampu lalu-lntas yatu (berupa lamanya lampu lalu-lntas menyala berwarna merah, kunng, dan hau ) untuk setap persmpangan alan yang menghubungkan Ngesrep Smpanglma. 2. Data Sekunder Data sekunder yang berupa lokas penempatan lampu lalu-lntas dperoleh dar nstans terkat yatu Dnas Perhubungan Kota Semarang, sedangkan data gambar atau peta arngan alan yang menghubungkan Ngesrep Smpanglma dapat dperoleh dar peta Semarang Pengolahan dan Analsa Data Pengolahan Data Pada tahap n dar data yang sudah terkumpul dmodfkas yatu merubah arak menad waktu peralanan dengan cara membag arak antar persmpangan dengan kecepatan rata-rata kendaraan yatu 40 km/am dan menyesuakan duras lampu lalu-lntas dar tga fase (merah, hau, dan kunng) menad dua fase (merah dan hau), dengan mengasumskan fase kunng adalah fase hau Analsa Data Setelah pengolahan data dlakukan, langkah selanutny dar data tersebut dbuat sebuah graph berarah yang menggambarkan model arngan alan yang menghubungkan Ngesrep dan Smpanglm dmana persmpangan alan dwakl oleh ttk sedangkan alan drepresentaskan kedalam arc. Kemudan langkah selanutnya adalah mencar rute yang mempunya waktu peralanan mnmum yang menghubungkan Ngesrep Smpanglm dengan menggunakan algortma Ford Moore Bellman yang telah dmodfkas. 69

12 Masalah Rute Terpendek (Eko Bud P dan Sunarsh) 4. HASI PENEITIAN Dar hasl pengolahan data dperoleh waktu peralanan mnmum yang dbutuhkan untuk bepergan dar Ngesrep ke Smpanglma adalah 659 detk atau 10 ment 59 detk. Rute yang mempunya waktu peralanan mnmum tersebut adalah : Setya Bud Teuku Umar Sultan Agung Dponegoro Pahlawan Smpanglma. 5. KESIMPUAN Algortma Ford Moore Bellman dgunakan untuk mencar lntasan terpendek dar ttk s ke ttk yang memuat palng banyak k + 1 gars berarah. ntasan n dapat dperoleh dar lntasan terpendek dar ttk s ke ttk yang memuat palng banyak k gars berarah. Dengan algortma Ford Moore Bellman yang dmodfkas dmaksudkan untuk menggant bobot lntasan dar arak menad waktu peralanan ttk s ke. DAFTAR PUSTAKA 1. AhuR.K.,J.B. Orln, S. Pallottno, dan M.G. Scutella. Mnmum tme and mnmum cost path problems n street networks wth perodc traffc lghts. Journal In Transportaton Scence Whtelaw, T.A. Introducton to abstract algebra.thrtd edton. New York: Blache Academc and Profesonal