LATAR BELAKANG MATEMATIS

8 II LATAR BELAKANG MATEMATIS Derii : Bab ini memberian gambaran tentang latar belaang matemati ang digunaan ada item endali eerti eramaan linear diferenial orde (atu), orde (dua), orde tinggi, tranformai Lalace erta tranformai Lalace bali beerta ifatifatna erta eneleaian eramaan linear diferenial dengan menggunaan tranformai Lalace Objetif : Memahami bab ini aan memermudah embaca untu memahami rini daar item endali.. Peramaan Linear Diferenial Suatu eramaan ang mengandung atu atau beberaa turunan dari uatu fungi ang tida dietahui diebut eramaan diferenial. Khuuna, uatu eramaan berbentu ( ) ( n) (,,,, ) = 0 F x, (.) ( ) Dimana menataan turunan terhada t ang e-. Peramaan (.) diebut eramaan differenial biaa tingat n. Contoh-contoh eramaan differenial tingat, dan 3 adalah d in t 0 + = (.) d d + 3t = 0 (.3) 3 d d t + e 0 3 = (.4) Pada bagian ini aan ditinjau eramaan linear differenial aitu eramaan ang berbentu ( ) n n ' n n + a t + + a t + a t = t (.5).. Peramaan Linear Diferenial Orde Tingat (Satu) Bentu umum eramaan linear diferenial orde atu adalah d P t Q t + = (.) Pertama-tama mengalian edua rua eramaan dengan fator integral

9 Dieroleh P( t) e (.7) P( t) d P( t) P( t) e + e P( t) = e Q( t) (.8) Kemudian dienali rua iri ebagai turunan dari bentu Sehingga d P( t) P( t) e =e Q t P( t) e ehingga eramaan mengambil (.9) P( t) P( t) = e Q t e (.0) Contoh. : Sebuah rangaian RC Dengan R = MΩ C = 0. µf E = 00 volt V( 0 ) = 5 volt Gambar. Rangaian RC Peramaan linear differenial untu rangaian RC t Ri + i = E C (.) 0 dv RC + V = E (.) Dengan memauan nilai-nilai ang dietahui dieroleh dv 0. + V = 00 (.3) dieroleh dv + 5V = 500 (.4)

0 Solui eramaan adalah a = 5 dan f( t ) = 500 (.5) dengan aumi t -5t -5t 5τ V t = 5e +e e 500 dτ (.) 0 t t 5τ u u t 5t e 500 dτ = 00 e du = 00e = 00e 00 (.7) 0 0 0 dieroleh hail beriut -5t -5t 5t -5t -5t = + V t = 5e +e 00e 00 5e 00 00e -5t 95e (.8) V t = 00 (.9) Liting rogram Matlab clc clear all cloe all % Contoh Soal. V = dolve('dv = -5*v + 500','v(0)=5') Hail rogram V = 00-95*ex(-5*t).. Peramaan Homogen Tingat (Dua) Bentu umum eramaan linear diferenial orde dua adalah Dengan aumi d d + a + a = o a dan a adalah ontanta (.0) o ecara identi bernilai nol (au homogen) Peramaan (.0) dalam bentu oerator D ebagai beriut ( ) Peramaan bantu dari eramaan (.) adalah D + a D + a = 0 (.) r + ar + a = 0 (.)

Terdaat tiga au ang ditinjau, beradanan terhada aaah eramaan bantu memuai dua aar riil berlainan, aar tunggal berulang atau aar-aar omle aling onjugat. Kau : Jia r dan r berlainan maa eneleaian umum '' + a + a = 0 adalah r t r t ' = C e + C e (.3) Contoh. : Tentuan eneleaian umum dari '' ' + 7 + = 0 (.4) r + 7r + = r + 3 r + 4 = 0 (.5) Peramaan bantu : Aar-aar eramaan Bantu : r = -3 dan r = -4 (.) Peneleaian umum eramaan differenial -3t -4t = Ce + Ce (.7) Liting rogram Matlab clc clear all cloe all % Contoh Soal. = dolve('d = -7*D - *') Hail rogram = C*ex(-4*t)+ C*ex(-3*t) Kau : Jia eramaan bantu memuai aar tunggal berulang r maa eneleaian '' umum + a + a = 0 adalah ' = C e + C te (.8) r t r t '' ' Contoh.3 : Tentuan eneleaian umum dari - + 9 = 0 (.9) r - r + 9 = r - 3 r - 3 = 0 (.30) Peramaan bantu : Aar-aar eramaan Bantu : r = 3 dan r = 3 (.3) Peneleaian umum eramaan differenial Liting rogram Matlab clc clear all cloe all % Contoh Soal.3 = dolve('d = *D - 9*') 3t 3t = Ce + Cte (.3)

Hail rogram = C*ex(3*t)+C*ex(3*t)*t Kau 3 : Jia eramaan bantu memuai aar omle aling onjugat α ± βi maa eneleaian umum terhada '' ' + a + a = 0 adalah = C e co βt + C e in βt (.33) αt αt Contoh.4 : Tentuan eneleaian umum dari '' ' - 4 +3 = 0 (.34) r - 4r +3 = r + - 3i r + + 3i = 0 (.35) Peramaan bantu : Aar-aar eramaan Bantu : r = + 3i dan r = - 3i (.3) Peneleaian umum eramaan differenial t t Liting rogram Matlab clc clear all cloe all % Contoh Soal.4 = dolve('d = 4*D - 3*') = C e co 3t + C e in 3t (.37) Hail rogram = C*ex(*t)*in(3*t)+C*ex(*t)*co(3*t) Peramaan Lebih Tinggi Adaun bentu bentu umum eramaan linear differenial Peramaan bantu +a + +a + a = 0 (.38) n n- ' n- n ( n) ( n-) Mialna, jia eramaan bantu adalah r +a r + +a r + a = 0 (.39) n- n 3 r - r r - r r- α+βi r- α-βi = 0 (.40) Peneleaian umum eramaan differenial adalah r t [ ] = C e + C +C t + C t e + C co βt + C in βt e (.4) r t αt 3 4 5

3 Contoh.5 : Tentuan eneleaian umum dari '''' ''' '' - - 0 = 0 (.4) r - r - 0r = r r - 5 r + 4 = 0 (.43) 4 3 Peramaan bantu : Aar-aar eramaan Bantu : Peneleaian umum eramaan differenial r = 0, r = 0, r 3 = 5 dan r 4 = -4 (.44) = C + C t + C e -4t 5t 3 4 Liting rogram Matlab clc clear all cloe all % Contoh Soal.5 = dolve('d4 = D3 + 0*D') Hail rogram = C+C*t+C3*ex(-4*t)+C4*ex(5*t) + C e (.45)..3 Peramaan Ta Homogen Bentu umum eramaan linear ta homogen umum dengan oefeien ontan adalah '' ' + a + a = t (.4) Peneleaian eramaan (.4) ini daat diredui ata tiga langah. Tentuan eneleaian umum + + = C u t + C u t + C u t C u t (.47) h 3 3 n n. Tentuan eneleaian huu 3. Tambahan eneleaian langah dan langah Metoda Koefeien Ta Tentu '' ' Peramaan : + a + a = t (.48) Ternata bahwa fungi ( t ) ang aling mungin muncul dalam eneraan berua olinom, eonen, inu dan oinu. Untu fungi-fungi ditawaran uatu roedur enentuan berdaaran eneleaian coba-coba ebagai beriut t Jia m = b t + + b t + b (.49) m o dicoba m = Bmt + + Bt + B o (.50)

4 t = b e Jia αt dicoba m αx = Be (.5) Jia ( t ) = b co βt + c in βt (.5) dicoba Contoh = B co βt + C in βt (.53).. 3. 4. 5.. '' ' - 3-4 = 3t + maa '' ' t - 3-4 = e maa '' + 4 = in t maa '' ' + = 3t + maa '' ' 4t - 3-4 = e maa '' + 4 = in t maa = Bt + Bt +B o (.54) t = Be (.55) = B co βt + C in βt (.5) 3 = Bt + Bt +Bot (.57) 4t = Bte (.58) = Bt co t + Ct in t (.59) Contoh. : Seleaian '' ' + - = t 0t+ 3 (.0) Peramaan bantu : r + r - = 0 (.) Aar-aar eramaan Bantu : r = -, r = (.) Peneleaian umum eramaan differenial -t t h = Ce + Ce (.3) Peneleaian huu terhada eramaan ta-homogen dicoba = At + Bt + C (.4) dieroleh Sehingga d d = ' = At + B = = A " A + At + B - At Bt + C = t 0t 3 (.5) (.) + + (.7) -A = A = - (.8) A - B = -0 B = 4 (.9) A + B - C = 3 C =- (.70) = At + Bt + C = -t + 4t + (.7)

5 Maa = + (.7) -t t = + h Ce + Ce -t + 4t + Liting rogram Matlab clc clear all cloe all % Contoh Soal. = dolve('d = -D + * + *t^ -0*t + 3 ') Hail rogram = ex(-*t)*c+ex(t)*c-/+4*t-t^ Contoh.7 : Seleaian '' ' 3t - - 3 = 8e (.73) Peramaan bantu : r - r - 3 = 0 (.74) Aar-aar eramaan Bantu : r = - (.75) Peneleaian umum eramaan differenial 3t -t h = Ce + Ce (.7) Peneleaian huu terhada eramaan ta-homogen dicoba 3t = Bte (.77) d = ' = 3Bte 3t + Be 3t (.78) d " 3t 3t = = 9tBe + Be (.79) dieroleh Sehingga Maa 3t 3t 3t 3t 3t 3t 9tBe + Be - 3Bte + Be - 3Bte = 8e (.80) 3t 3t 4Be = 8e B = (.8) 3t 3t = Be = te (.8) = + = C e + C e + te (.83) 3t -t 3t h

Liting rogram Matlab clc clear all cloe all % Contoh Soal.7 = dolve('d = *D + 3* + 8*ex(3*t)') Hail rogram = ex(-t)*c+ex(3*t)*c+*t*ex(3*t) Contoh.8 : Seleaian dengan ondii awal: ( 0) = 0 dan ( 0) = 0 '' ' - - 3 = co t (.84) d Peramaan bantu : r - r - 3 = 0 (.85) Aar-aar eramaan bantu r = 3 dan Peneleaian umum eramaan differenial r = - (.8) 3t -t h = Ce + Ce (.87) Peneleaian huu terhada eramaan ta-homogen dicoba dieroleh = B co t + C in t (.88) d d = ' = -B in t + C co t = = -4B co t - 4C in t " (.89) (.90) (-4B co t - 4C in t) - ( -B in t + C co t ) - 3B co t -3C in t = co t (.9) (-7B-4C) co t + ( 4B - 7C) in t = co t (.9) -7B - 4C = dan 4B - 7C = 0 (.93) 7 4 B =- dan C =- 5 5 (.94) Sehingga 7 4 = - co t - in t 5 5 (.95)

7 Maa 7 4 -t 3t = + h = - co t - in t + Ce + Ce (.9) 5 5 Untu ondii awal : ( 0) = 0 7 4 -(0) 3(0) = - co (0) - in (0) + Ce + Ce = 0 (.97) 5 5 Untu ondii awal : ( 0) = 0 7 C+ C = (.98) 5 d d 4 8 -t 3t = in t - co t - Ce + 3Ce (.99) 5 5 d 4 8 -( 0) 3( 0) = in ( 0 ) - co ( 0 ) - Ce + 3Ce = 0 5 5 (.00) 8 - C+ 3C = 5 (.0) dieroleh C = 0.05 dan C = 0.058 maa 7 4 -t 3t = - co t - in t + 0.05e + 0.058e (.0) 5 5 Liting rogram Matlab clc clear all cloe all % Contoh Soal.8 = dolve('d = *D+3* co(*t)','(0)=0','d(0)=0') Hail rogram = /0*ex(-t)+3/5*ex(3*t)-7/5*co(*t)-4/5*in(*t). Tranformai Lalace Tranformai Lalace adalah metoda oeraional ang daat digunaan ecara mudah untu meneleaian eramaan linier diferenial. Dengan menggunaan tranformai Lalace, daat dirubah beberaa fungi umum eerti fungi inuoida, fungi inuoida teredam dan fungi eonenial menjadi fungi-fungi aljabar omle. Kelebihan metoda tranformai Lalace adalah metoda ini memunginan enggunaan teni grafi untu meramal erformani item tana meneleaian eramaan diferenial item. Kelebihan lain metoda tranformai Lalace adalah dierolehna ecara

8 erenta bai omonen eralihan mauun omonen eadaan manta olui eramaan diferenial. Tranformai Lalace dari f( t ) didefiniian oleh L f( t) = F( ) = 0 f( t) e -t (.03) Tranformai Lalace uatu fungi f( t ) ada jia f t ecara eotong-eotong ontinu ada etia elang terhingga dalam daerah t > 0 dan jia fungi terebut memuai orde eonenial dengan membearna t menuju ta terhingga. Dengan ata lain, integral f t memuai orde eonenial jia ada uatu Lalace haru onvergen. Suatu fungi σt ontanta nata oitif σ edemiian rua ehingga fungi e f( t ) mendeati nol jia t mendeati ta terhingga. Jia uatu fungi f( t ) memuai tranformai Lalace maa tranformai Lalace dari Af( t ) dimana A adalah uatu ontanta diberian = AL f( t) L Af t (.04) Hubungan ini ecara mudah daat diturunan dari definii tranformai Lalace. Dengan f t memuai tranformai Lalace maa tranformai cara ang ama jia Lalace dari f ( t) f ( t) f t dan + diberian oleh + = + L f t f t L f t L f t (.05) Beriut ini aan diturunan tranformai Lalace untu beberaa fungi ang ering f t ang daat ditranformai dengan digunaan. Tranformai Lalace dari etia fungi integral Lalace, dieroleh dengan mengalian f( t ) dan hail eralian ini dari t = 0 amai t =. Diantarana Contoh.9 : Fungi tangga dinataan ebagai beriut f( t) = 0 untu t < 0 dan f( t) Tranformai Lalace dari f( t ) diberian oleh -t e emudian mengintegraian = A (ontanta) untu t > 0 A L -t f( t) = F( ) = 0 Ae = (.0) Contoh.0 : Fungi tangga dinataan ebagai beriut f( t) = 0 untu t < 0 dan f( t) = A (ontanta) untu t > 0

9 Tranformai Lalace dari f( t ) diberian oleh A L -t f( t) = F( ) = 0 Ae = (.07) Contoh. : Fungi tangga dinataan ebagai beriut f( t) = 0 untu t < 0 dan f( t) Tranformai Lalace dari f( t ) diberian oleh = = 0.. Sifat-Sifat Tranformai Lalace = At untu t > 0 L f t F Ate -t (.08) -t -t e Ae L f -t ( t) = A 0 te = At (.09) - 0-0 A -t A L -t f( t) = A te = e = 0 0 (.0) Beberaa ifat-ifat tranformai Lalace adalah No L Af( t ) = AF( ) Tabel. Sifat-Sifat Tranformai Lalace Tranformai Lalace L f ( t ) ± f ( t ) = F ( ) ± F ( ) 3 4 5 7 8 d L f t = F - f 0 d L f t = F - f 0 f 0 ɺ n - d n L f n ( t ) = F( ) - f 0 = n n- dimana ( - ) - d f ( t ) = f - ( t) F f t t=0 L f( t) = + F( ) f( t) f( t) L f( t) = + + n n F( ) L f( t ) ( ) = + f n n-+ ( t)( ) 9 -at L e f( t ) = F( +a) 0 -a L f t-a t-a = e F ( ) = t=0 t=0 t=0

0 3 L tf t =- F( ) d L f( t ) = F( ) d t t L f = a F a a Teorema Nilai Awal. Teorema nilai awal memunginan untu mencari harga f( t) ada + t = 0 ecara langung dari f( t ). Teorema nilai awal tida memberian harga f( t) teat ada t = 0 tetai harga fungi f( t) ada aat t ediit lebih bear dari nol. Adaun rumuan matematina lim f t limf( ) t 0 Contoh. : Tentuan f( 0 ) dari fungi alih = (.) + 3 F = (.) + 4.5 + Dengan menggunaan teorema nilai awal didaatan + 3 + 3 f( 0) = limf( ) = lim = lim + 4.5+ + 4.5+ (.3) 3 3 + + f( 0) = lim F( ) = lim = lim = 4.5 4.5 + + + + (.4) Dalam menggunaan teorema nilai awal, tida dibatai oleh leta ole dari F( ) ehingga teorema nilai awal berlau untu fungi inuoida. Teorema Nilai Ahir. Teorema harga ahir menataan bahwa erilau eadaan tuna F dieitar = 0. Dengan demiian daat dieroleh f( t ) adalah ama dengan erilau harga f( t) ada t = ecara langung dari lim f t limf( ) t 0 Contoh.3 : Tentuan f( ) dari fungi alih F. Adaun rumuan matematina adalah = (.5) 0 - F = (.) +

Dengan menggunaan teorema nilai ahir dieroleh 0-0 - f( ) = lim F( ) = lim = lim = 0 (.7) 0 0 + 0 + Teorema nilai awal dan teorema nilai ahir memberian hail engecean ecara mudah ada uatu olui ang memunginan untu meramal erilau item dalam wawaan watu tana melauan tranformai bali dari fungi dalam wawaan e fungi watu Tabel. beriut ini memberian uatu daftar aangan tranformai Lalace. Tabel terebut daat digunaan untu mencari tranformai Lalace uatu fungi watu ang diberian. Adaun aangan-aangan tranformai Lalace ebagai beriut Tabel. Paangan Paangan Tranformai Lalace No f( t ) F( ) imula atuan δ( t ) Tangga atuan ( t ) 3 t 4 n! n+ te 5 -at in ωt 7 co ωt 8 n t ( n =,,3, ) 9 n -at t e ( n =,,3, ) 0 -at -bt ( e - e ) n! n+ ( +a) ω +ω +ω n! n+ n! ( +a) n+ b-a ( +a)( +b) -bt -at ( be - ae ) b-a ( +a)( +b) be - ae ab + a-b -bt -at ( +a)( +b) 3 -at e in ωt 4 -at e co ωt ω + a +ω + a + a +ω

5 -at at - + e a ( +a) Contoh.4 : Tentuan tranformai Lalace untu fungi f( t ) beriut a. f( t) = (.8) b. f( t) = 0t (.9) c. f( t ) = t (.0) -5t d. f( t ) = e (.) -5t e. f( t ) = e co 4t (.) Dengan menggunaan Tabel. dieroleh 0 = = (.3) a. f( t) 0t F( ) b. f( t ) = t ( t) F( ) c. = (.4) 3 f t = e F = (.5) + 5 +30 = (.) +5 + -5t -5t d. f( t ) = e co 4t F( ) Liting rogram Matlab clc clear all cloe all % Contoh Soal.4 m t f = 0*t f = *(t^) f3 = * ex(-5*t) f4 = * ex(-5*t) * co (4*t) % L = Lalace(f) L = Lalace(f) L3 = Lalace(f3) L4 = Lalace(f4) rett(l4) Hail rogram f = 0*t

3 f = *t^ f3 = *ex(-5*t) f4 = *ex(-5*t)*co(4*t) L = 0/^ L = /^3 L3 = /(+5) L4 = 3/8*(+5)/(/*(+5)^+).. Tranformai Lalace Bali Tranformai Lalace Bali adalah roe matemati dalam mengubah erei - variabel omle menjadi erei watu. Notai tranformai bali adalah L F( ) ehingga = (.7) - L F f t Dalam meneleaian eroalan dengan menggunaan tranformai Lalace bali aan F. Secara matemati ditemui ada uatu ertanaan tentang cara menentuan f( t ) dari f( t ) dieroleh dari F( ) dengan erei matemati beriut πj = F( ) e t d untu f t c+ j c j t > 0 (.8) Dimana c adalah abi onvergeni ang meruaan ontanta nata ang diilih F. Jadi lintaan integrai edemiian rua ehingga lebih bear dari emua titi ingular ejajar dengan umbu jω dan digeer ejauh c dari umbu haal. Lintaan ini berada di ebelah anan emua titi inguler Metoda uraian ecahan arial untu mencari tranformai Lalace Bali. Jia f t, diuraian menjadi omonen-omonenna beriut F( ) tranformai Lalace dari F = F + F + + F (.9) n dan jia tranformai Lalace bali dari F ( ), F ( ), Fn ( ) telah teredia maa

4 - - - - L F = L F + L F + +L Fn = f t + f t + + fn t (.30) Dimana f( t ), f( t ),, fn( t ) maing-maing adalah tranformai Lalace bali dari F ( ), F ( ), Fn ( ). Untu oal-oal dalam teori endali, F( ) ering memuai bentu beriut B( ) F( ) = (.3) A( ) Dimana A( ) dan B( ) adalah olinomial dalam dan derajat B( ) tida lebih tinggi dari A( ). Dalam menggunaan teni uraian ecahan arial untu mencari tranformai Lalace bali dari F( ) = B( ) A( ) terlebih dahulu haru dietahui aar-aar olinomial A( ). Kelebihan endeatan uraian ecahan arial adalah maing-maing uu dari F( ) meruaan hail enguraian e dalam bentu ecahan arial dan meruaan fungi ang angat ederhana. Tinjau fungi F( ) ang dituli dalam bentu fator beriut ( ) ( m) B K + z + z + z F( ) = = (.3) A K + + + n dimana,, 3,n dan z,z, zn adalah bearan nata atau bearan omle. B. Dalam enguraian Aumi angat tertinggi dari A( ) diangga lebih tinggi dari F( ) = B( ) A( ) e dalam bentu ecahan, angat tertinggi ada A( ) haru lebih tinggi dari angat tertinggi ada B( ). Jia tida demiian maa embilang B( ) haru dibagi terlebih dahulu dengan enebut A( ) ehingga dieroleh uatu olinomial ditambah dengan ia (erbandingan antara olinomial ang derajat embilangna lebih rendah dari enebutna). Uraian ecahan arial jia F( ) hana melibatan ole-ole ang berbeda. Pada au ini F( ) elalu daat diuraian menjadi uatu enjumlahan ecahan arial ederhana beriut Dimana F a adalah ontanta. B a a a n = = + + + (.33) A + + + n a diebut reidu ada ole = -. Harga a daat dieroleh dengan mengalian edua eramaan (.33) dengan ( + ) dan memauan harga = - beriut n = + + + n =- B a a a + + + + = a A + + + (.34) Semua uu uraian ada eramaan (.34) menjadi nol ecuali dieroleh dari a. Jadi reidu a

5 a + =- B = A (.35) Berdaaran eramaan (.33) dan dengan memerhatian bahwa L - Dieroleh f( t ) = L F( ) a + - = a e -t ebagai beriut 3 f t = a e + a e + a e + + a e -t -t - t -n t 3 n dimana ( t 0) (.3) (.37) Contoh.5 : Carilah tranformai Lalace bali dari dieroleh Y Y Y Penentuan ontanta A + + + + = = ( + 8+ ) ( + 8+ ) + + + + = = 8 ( + + ) ( + )( + ) A B C = + + ( + ) ( + ) (.38) (.39) (.40) = 0 A= Y (.4) + + A= ( + )( + ) = = 0 0 + + + + 0 0 A= = = 0.5 + + 0+ 0+ (.4) (.43) Penentuan ontanta B = - B= + Y (.44) + + B= ( + ) ( + )( + ) = + + - + - + 8 4+ B= = = = 3.5 + -+ 8 = (.45) (.4)

Penentuan ontanta C = - C= + Y (.47) + + C= ( + ) ( + )( + ) = + + ( + ) ( )( + ) + + - - 7 + C= = = = - 4 = (.48) (.49) dieroleh Y 0.50 3.50 = + (.50) ( + ) ( + ) Dengan menggunaan tranformai Lalace bali dieroleh t t ( t) 0.50+ 3.50e.00e = untu ( t 0) Liting rogram Matlab clc clear all cloe all % Contoh Soal.5 m f = (*^) + (*) + (); f = (^3) + (8*^) + (*); f = f/f % L = ilalace(f) Hail rogram f = (*^+*+)/(^3+8*^+*) L = -*ex(-*t)+7/*ex(-*t)+/ (.5) Uraian ecahan arial jia F( ) hana melibatan ole-ole onjugai omle. Jia dan adalah ole onjugai omle, maa daat digunaan uraian beriut α + α B a3 a n F( ) = = + + + (.5) A + + + + 3 n Harga α dan α dieroleh dengan mengalian edua rua eramaan (.5) dengan ( + )( + ) dan memauan harga = - ebagai beriut

7 B( ) + + A = - 3 n + + = α + α + + + + + + + =- 3 n = - (.53) B a a (.54) A + + Terlihat bahwa emua uu uraian menjadi nol ecuali uu ( α + α ). Dengan demiian B α + α = + + = - A = - (.55) Karena adalah bearan omle, maa edua rua eramaan (.55) meruaan bearan omle. Dengan menamaan bagian nata edua rua eramaan (.55) dieroleh atu eramaan. Dengan cara ang ama, dengan menamaan bagian haal edua rua eramaan (.55) aan dieroleh eramaan ang lain. Dari edua eramaan daat ditentuan Harga α dan α Contoh. : Carilah tranformai Lalace bali dari +3 F( ) = (.5) 3 + 5 + + 8 Sehingga +3 +3 = (.57) F = 3 + 5 + + 8 + + + j + - j +3 r r r = + + (.58) * F( ) = 3 + 5 + + 8 + + + j + - j +3 = (.59) r = + + + + j + - j = - 5 +3 r = + + j (.0) + + + j + - j r = - - j - j - j 3 = = = + j (.) -- j -j4-8 + j4 5 0 * 3 r = -j (.) 5 0 5-5+ j3 0-5 j3 0 F( ) = + + (.3) + + + j + - j 5 ( + ) F = (.4) + 5 + 4 + 8

8 Untu 5 F = f t = e (.5) -t ( + ) 5 ( + ) F = 5 + 4 + 8 (.) 3 3 + 3 + + F = = + 5 ( ) 5 ( ) ( + + + + + + ) (.7) + 0 F ( ) = + 5 ( + ) + ( + ) + (.8) + 3 F ( ) = + 5 ( + ) + 0 ( + ) + (.9) -t 3 -t f( t) = e co t + e in t 5 0 (.70) Sehingga dieroleh -t -t 3 -t f( t) = f( t) + f( t) = e e co t + e in t (.7) 5 5 0 Liting rogram Matlab clc clear all cloe all % Contoh Soal. m f = ( + 3); f = (^3) + (5*^) + (*) + 8; f = f/f % L = ilalace(f) Hail rogram f = (+3)/(^3+5*^+*+8) L = /5*ex(-t)-/5*ex(-*t)*co(*t)+3/0*ex(-*t)*in(*t) Uraian ecahan arial jia F( ) hana melibatan ole-ole ang berulang. Tinjau F( ) = B( ) A( ) dimana A( ) = 0 memuai aar ang berulang r ali. Selanjuna A( ) daat dituli ebagai

9 Uraian ecahan arial dari F( ) adalah r A = + + + + + (.7) ( + ) ( + ) r+ r+ n B b b b a a a F( ) = = + + + + + + + (.73) A + + + + r r- r+ r+ n r r- r+ r+ n Dimana b r, b r-,, b diberian oleh B b = A r + = - d B( ) r = - r b r-= + d A j d B( ) b = + j j! d A r-j = - r- d B( ) r b = + r- r -! d A = - Sehingga tranformai Lalace bali dari F( ) dieroleh ebagai beriut r (.74) (.75) (.7) (.77) b b = + + + + + ( r - )! ( r - )! untu ( t 0) - r r- r- r- - t - r+ t - nt f t = L F t t bt + b e ar+ e ane Contoh.7 : Carilah tranformai Lalace bali dari Dieroleh 0 3 (.78) F = + + (.79) a b b b F( ) = + + + + 3 + (.80) 3 ( + ) ( + ) 0 a = + = = 0 3 + + = - 0 ( 0 b 3= + 3 )3 = = 0 + + = - d 0 b ( = + 3 )3 = 0 d + + = - (.8) (.8) (.83)

30 Selanjutna d + 3 3 b = + 0 3 =! d + + = - (.84) -0 0 0 0 F( ) = + + (.85) 3 ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) tranformai Lalace bali dari F( ) adalah -t 0 -t 0 -t -t f( t ) = -0e + t e - te +0e!! (.8) -t -t -t -t f( t ) = -0e +5t e -0te +0e (.87) Liting rogram Matlab clc clear all cloe all % Contoh Soal.7 m f = 0; f = (^4) + (5*^3) + (9*^) + (7*) + ; f = f/f % L = ilalace(f/f) Hail rogram f = 0/(^4+5*^3+9*^+7*+) L = -0*ex(-*t)+5*(+t^-*t)*ex(-t)..3 Solui Peramaan Linear Diferenial dengan Metoda Tranformai Lalace Metoda tranformai Lalace menghailan olui lenga (olui homogen ditambah dengan olui ta homogen) dari eramaan linear diferenial. Metode lai untu menentuan olui lenga dari eramaan diferenial memerluan erhitunganerhitungan ontanta-ontanta integrai dengan menggunaan arat-arat awal tetai dengan menggunaan tranformai Lalace erhitungan ontanta integrai dari arat awal tida dierluan arena arat awal ecara otomati udah dimauan dalam tranformai Lalace dari eramaan diferenial. Jia emua arat awal adalah nol maa tranformai Lalace dari eramaan diferenial dieroleh hana dengan mengganti d dengan, d dengan dan eteruna. Langah langah dalam eneleaian eramaan diferenial dengan metoda tranformai Lalace adalah

3. Dengan mencari tranformai Lalace, tia-tia uu eramaan diferenial linier ang diberian, mengubah eramaan diferenial terebut menjadi uatu eramaan aljabar, mencari erei tranformai Lalace variabel ang bergantung dengan menuun embali eramaan aljabar terebut. Mencari olui eramaan diferenial dalam domain watu dengan mencari tranformai Lalace bali dari variabel ang beraitan Contoh.8 : Tentuan olui dari eramaan linear differenial dibawah ini dengan menggunaan tranformai Lalace d d + 8 + = (.88) d Dengan ondii awal : ( 0) = dan ( 0) = 5 Dengan menggunaan tranformai Lalace Y 0 0 + 8Y -8 0 + Y = (.89) Y -5+ 8Y + Y = (.90) Y + 8Y + Y = + + (.9) + 8+ Y = + + (.9) + + Y( ) + + = = (.93) + 8+ + 8+ Dengan menggunaan tranformai Lalace bali dieroleh Penentuan ontanta A Y Y + + + + = = 8 ( + + ) ( + )( + ) A B C = + + ( + ) ( + ) (.94) (.95) 0 A= Y (.9) A= ( + )( + ) = = + + 0 (.97)

3 = 0 + + + + 0 0 A= = = 0.5 + + 0+ 0+ (.98) Penentuan ontanta B Penentuan ontanta C - B= + Y (.99) B= ( + ) ( + )( + ) = = = + + + + - + - + 8 4+ B= = = = 3.5 + -+ 8 (.00) (.0) dieroleh dan - C= + Y (.0) C= ( + ) ( + )( + ) = ( + ) ( )( + ) = = + + + + - + - + 7 + C= = = = - 4 Y ( + ) ( + ) (.03) (.04) 0.50 3.50 = + (.05) t t ( t) 0.50+ 3.50e.00e = (.0) Liting rogram Matlab clc clear all cloe all % Contoh Soal.8 = dolve('d = -8*D - * + ','(0)=','D(0)=5') Hail rogram = 7/*ex(-*t)-*ex(-*t)+/.3 Ranguman Sitem diataan linear jia berlau rini-rini ueroii. Prini ueroii menataan bahwa tanggaan ang dihailan dengan mengaliaian dua fungi gaa berbeda ecara beramaan adalah jumlah dari dua tanggaan terhada dua aliai fungi tadi ecara endiri-endiri. Prini inilah ang memunginan membangun eneleaian ang rumit untu eramaan linear diferenial linear ecara ederhana. Dengan

menggunaan tranformai Lalace dieroleh eneleaian eramaan diferenial linear. Dengan menggunaan tranformai Lalace daat diubah beberaa fungi umum eerti fungi inuoida, fungi inuoida teredam dan fungi eonenial menjadi fungi fungi aljabar variabel omle. Jadi eramaan diferenial linier daat ditranformaian menjadi uatu eramaan aljabar variabel omle. Solui eramaan diferenial elanjutna daat dieroleh dengan menggunaan tabel tranformai Lalace atau dengan teni uraian ecahan arial. Kelebihan metoda tranformai Lalace adalah dierolehna ecara erenta bai omonen tranien mauun omonen eadaan manta dari olui eramaan linear diferenial. 33