9. Koordinat Polar. Sudaryatno Sudirham

Transkripsi

1 Dapublic Nopembe Koodinat Pola Sudaatno Sudiham Sampai dengan bahaan ebelumna ita membicaaan fungi dengan uva-uva ang digambaan dalam oodinat udut-iu, -. Di bab ini ita aan melihat item oodinat pola. 9.. Relai Koodinat Pola dan Koodinat Sudut-iu Pada penataan poii atu titi P[ P, P ] pada item oodinat udut-iu tedapat hubungan in ; co P (9.) dengan adalah jaa antaa titi P dengan titi-aal [,] dan adalah udut ang dibentu oleh aah dengan umbu-, epeti telihat pada Gb. 9.. P P P[,] [,] P Gb.9.. Poii titi P pada item oodinat pola. Dalam oodinat pola, dan inilah ang digunaan untu menataan poii titi P. Poii titi P epeti pada Gb. 9.. ditulian ebagai P[,]. 9.. Peamaan Kuva Dalam Koodinat Pola Di Bab-5 ita telah melihat peamaan lingaan bejai-jai c bepuat di O[a,b] dalam oodinat udut-iu, aitu ( a) + ( b) c Kita dapat menataan lingaan ini dalam oodinat pola dengan mengganti dan menuut elai (9.), aitu ang dapat ditulian ebagai ( co ( ( a co + bin ) ) a) + ( in b) (9..a) ( co c a co dengan bentu uva epeti Gb.9..a ) + ( in ( ( a co + bin ) ) + b c + b bin + b Jia lingaan ini bejai-jai c a dan bepuat di O[a,] maa peamaan (9..b) menjadi c ) c (9..b) /8

2 Dapublic Nopembe 3 ( a co) (9..c) Pada fato petama, jia ita mengambil, ita menemui titi puat. Fato e-dua adalah a co (9..d) meupaan peamaan lingaan dengan bentu uva epeti pada Gb.9..b. (a) (b) Gb.9.. Lingaan Beiut ini tiga contoh bentu uva dalam oodinat bola. Contoh: ( co). Bentu uva fungi ini telihat pada Gb.9.3 ang diebut adioid (cadioid) aena bentu ang epeti hati. Gb.9.3 Kuva adioid, ( co) Pehatian bahwa pada, ; pada π/, ; pada π, ; pada,5π,. Contoh: b [,] a P[,] P[,] co. Bentu uva fungi ini telihat pada Gb Gb.9. Kuva 6co Pehatian bahwa pada, ; pada π/, ; pada π, ; pada,5π,. [,] a P[,] P[,] /8 Sudaatno Sudiham, Koodinat Pola

3 Dapublic Nopembe 3 Contoh:. Untu > bentu uva fungi ini telihat pada Gb.9.5,5,5 P[,] - 3 π -,5 3π π π - Gb.9.5 Kuva Pada peamaan uva ini jia maa ; uatu hal ang tida bena. Ini beati bahwa tida ada titi pada uva ang beeuaian dengan. an tetapi jia mendeati nol maa mendeati ; gai meupaan aimptot dai uva ini. Pehatianlah bahwa pepotongan uva dengan umbu- tida beati dan tejadi pada π, π, 3π, π, dt Peamaan Gai Luu Salah atu caa untu menataan peamaan uva dalam oodinat pola adalah menggunaan elai (9.) jia peamaan dalam oodinat udut-iu dietahui. Hal ini telah ita lauan mialna pada peamaan lingaan (9..a) menjadi (9..b) atau (9..c). Beiut ini ita aan menuunan peamaan uva dalam oodinat pola langung dai bentu / peaatan uva. Gb.9.6 mempelihatan uva dua gai luu l ejaja umbu- dan l ejaja umbu-. l O a P[,] b O l P[,] Gb.9.6 Gai luu melalui titi-aal [,]. Gai l bejaa a dai titi-aal; etiap titi P ang beada pada gai ini hau memenuhi Inilah peamaan gai l. co a (9.3) Gai l bejaa b dai titi-aal; etiap titi P ang beada pada gai ini hau memenuhi Inilah peamaan gai l. in b (9.) Kita lihat eaang gai l 3 ang bejaa a dai titi aal dengan emiingan poitif epeti telihat pada Gb.9.7. Kaena gai memilii emiingan tetentu maa udut antaa gai tega-luu e l 3, aitu β juga tetentu. Kita manfaatan β untu mencai peamaan gai l 3. Jia titi P hau teleta pada l 3 maa Inilah peamaan gai l 3. β ) a co( (9.5) 3/8

4 Dapublic Nopembe 3 P[,] α l 3 a β O Gb.9.7. Gai luu l 3 bejaa a dai [,], memilii emiingan poitif. Jia ita bandingan peamaan ini dengan peamaan (9.3) telihat bahwa peamaan (9.5) ini adalah bentu umum dai (9.3), ang aan ita peoleh jia ita melauan peputaan umbu. Jia peputaan ita lauan edemiian upa ehingga mempeoleh emiingan gai poitif, maa aan ita peoleh peamaan gai epeti (9.5). pabila peputaan umbu ita lauan ehingga gai ang ita hadapi, l, memilii emiingan negatif, epeti pada Gb.9.8., maa peamaan gai adalah β) a co( (9.6) P[,] a β O l Gb.9.8. Gai luu l bejaa a dai [,], emiingan negatif. 9.. Paabola, Elip, Hipebola Ketiga bangun geometi ini telah ita lihat pada Bab-5 dalam oodinat udut-iu. Kita aan melihatna eaang dalam oodinat pola. Eentiita. Pengetian ehai-hai dai itilah eenti adalah menimpang dai ang umum. Dalam matematia, eentiita adalah aio antaa jaa uatu titi P tehadap titi tetentu dengan jaa antaa titi P tehadap gai tetentu. Titi tetentu itu diebut titi fou dan gai tetentu itu diebut dieti; edua itilah ini telah ita enal pada watu pembahaan mengenai paabola di Bab-5. Seungguhna, dengan pengetian eentiita ini ita dapat membaha ealigu paabola, elip, dan hipebola. Pehatian Gb.9.8. Jia e adalah eentiita, maa D dieti F PF PD Gb.9.8. Titi fou dan gai dieti. B e (9.7) P[,] /8 Sudaatno Sudiham, Koodinat Pola

5 Dapublic Nopembe 3 Jia ita mengambil titi fou F ebagai titi aal, maa dan dengan (9.7) menjadi ehingga PF e PD; edangan e ( + co) e + e co Dai ini ita dapatan PD B F + FB + co e e co (9.8) Nilai e menentuan peamaan bangun geometi ang ita aan peoleh. Paabola. Jia e, ang beati PF PD, maa co (9.9) Inilah peamaan paabola. Pehatian bahwa jia mendeati nol, maa mendeati ta hingga. Jia π/ maa. Jia π titi P aan mencapai punca uva dan /, ang beati bahwa punca paabola beada di tegah-tengah antaa gai dieti dan titi fou. Hal ini telah ita lihat di Bab-5. Elip. Jia e <, mialna e, 5, PF PD/, maa co (9.) Inilah peamaan elip. Pehatian bahwa aena co + maa penebut pada peamaan (9.) tida aan penah nol. Oleh aena itu elalu mempunai nilai untu emua nilai. Jia maa, titi P mencapai jaa tejauh dai F. dan jia π/ maa /. Jia π maa /3, titi P mencapai jaa tedeat dengan F. Hipebola. Jia e >, mial e, beati PF PD, maa co Inilah peamaan hipebola. (9.) Jia mendeati π/3 maa menuju ta hingga. Jia π / maa. Jia π ada di punca uva, dan /3 PF. 9.. Lemniat dan Oval Caini, titi P Di laut egea di hadapan elat Dadanella, tedapat ebuah pulau ang penting dalam mitologi Yunani aitu pulau Lemno atau Limno. Pulau vulani ini bebentu ta beatuan dengan dua telu ang menjoo dalam e daatan di pantai utaa dan pantai elatan. Giovanni Domenico Caini dienal juga dengan nama Jean Dominique Caini (65 7) adalah atonom Italia. Caini menemuan empat di antaa embilan atau epuluh 5/8

6 Dapublic Nopembe 3 atelit planet Satunu. Ia pula ang menemuan celah cincin Satunu, antaa cincin telua dengan cincin e-dua ang paling teang; celah itu emudian diebut Caini diviion. Bangun-geometi ang diebut lemniat dan oval Caini meupaan ituai huu dai uva ang meupaan tempat eduduan titi-titi ang hail ali jaana tehadap dua titi tetentu benilai ontan. Mialan dua titi tetentu teebut adalah F [a,π] dan F [a,]. Lihat Gb.9.9. π F [a,π] π/ Gb.9.9. Menuunan peamaan uva dengan peaatan PF PF ontan P[,] F [a,] Dai Gb.9.9. ita dapatan ( PF ) ( in ) + ( a + co) co ( PF ) ( in ) + ( a co) a co Mialan hail ali PF b, maa ita peoleh elai PF b ( co) ( a co) (a co) ( co ) (9.) Kita manfaatan identita tigonometi untu menulian (9.) ebagai 6/8 Sudaatno Sudiham, Koodinat Pola co co in co b a co (9.3) Jia b ita buat be-elai dengan a aitu b a maa peamaan (9.3) ini dapat ita tulian Untu >, peamaan ini menjadi a co ( ) a co ± a co ( ) (9.) Lemniat. Bentu uva ang diebut lemniat ini dipeoleh pada ondii huu (9.) aitu, ang beati b a atau PF PF a. Pada ondii ini peamaan (9.) menjadi ( a co ) Fato petama aan membeian ebuah titi. Fato ang e-dua membeian peamaan

7 Dapublic Nopembe 3 a co Dengan mengambil a, uva dai peamaan ini telihat pada Gb.9.. π/,6 π, -,5 - -,5 -,,5,5 Gb.9.. Kuva peamaan (9.), a. Bentu lemniat maih aan dipeoleh pada >, mialna,. Pada eadaan ini, dengan tetap mengambil a, bentu uva ang aan dipeoleh telihat epeti pada Gb.9.. π π/,5,5 - -,5 Gb.9.. Kuva peamaan (9.),, & a. Oval Caini. Kondii huu ang e-tiga adalah <, mialan,8. Dengan tetap mengambil a, bentu uva ang dipeoleh adalah epeti pada Gb.9., ang diebut oval Caini. Kuva ini tebelah menjadi dua bagian, mengingatan ita pada Caini diviion di planet Satunu ,5 π -,6 π/,5, ,5 - -,5 Gb.9.. Kuva peamaan (9.),,8 & a. 7/8

8 Dapublic Nopembe Lua Bidang Dalam Koodinat Pola Kita aan menghitung lua bidang ang dibatai oleh uatu uva dan dua gai maingmaing mempunai udut emiingan α dan β. Lihat Gb.9. β Gb.9.. Mencai lua bidang antaa uva dan dua gai. ntaa α dan β ita bagi dalam n egmen. β α n Lua etiap egmen bia dideati dengan lua eto lingaan. ntaa dan ( + ) ada uatu nilai edemiian upa ehingga lua eto lingaan adalah Lua antaa α dan β menjadi ( ) / ( ) / ( f ( )) αβ / Jia n menuju, menuju nol, ita dapat menulian lua bidang menjadi αβ β lim α ( [ f ( ) ] ) / d lim α [ f ( ) ] / atau αβ β d α (9.5) 8/8 Sudaatno Sudiham, Koodinat Pola