TRANSFORMASI LAPLACE

Transkripsi

1 TRANSFORMASI LAPLACE. Tranformai Laplace Tranformai Laplace adalah uatu metoda operaional yang dapat digunakan ecara mudah untuk menyeleaikan peramaan linier diferenial. Dengan menggunakan tranformai Laplace, dapat dirubah beberapa fungi umum eperti fungi inuoida, fungi inuoida teredam dan fungi ekponenial menjadi fungi-fungi aljabar komplek. Tranformai Laplace dari f( t ) didefiniikan oleh L f( t) = F = 0 f( t) e -t dt () Tabel 8. Paangan Paangan Tranformai Laplace NO f( t ) F( ) impula atuan δ( t ) Tangga atuan ( t ) 3 t 4 n! n+ te 5 -at 6 in ωt 7 co ωt 8 n t ( n =,,3, ) 9 n -at t e ( n =,,3, ) 0 -at -bt ( e - e ) n! n+ ( + a) ω + ω + ω n! n+ n! ( +a) n+ b-a ( + a)( + b)

2 -bt -at ( be - ae ) b-a ( + a)( + b) be - ae ab + a-b -bt -at ( + a)( + b) 3 -at e in ωt 4 -at e co ωt 5 -at at - + e a ω + a + ω + a + a + ω ( + a) Adapun fungi Matlab untuk menghitung tranformai Laplace ini adalah L = laplace(f) L = laplace(f,t) L = laplace(f,w,z) Sedangkan fungi Matlab untuk menghitung tranformai Laplace balik adalah F = ilaplace(l) F = ilaplace(l,y) F = ilaplace(l,y,x) Contoh : Dengan menggunakan Matlab, tentukan tranformai Laplace untuk fungi f( t) pada peramaan () /d (5) berikut a. f( t) = 0t () b. f( t ) = 6t (3) -5t c. f( t ) = 6e (4) -5t d. f( t ) = 6e co 4t (5) Kode Matlab untuk menyeleaikan fungi f( t ) pada peramaan () /d (5) adalah cloe all ym t 0*t

3 6*(t^) f3 = 6 * exp(-5*t) f4 = 6 * exp(-5*t) * co (4*t) L = Laplace(f) L = Laplace(f) L3 = Laplace(f3) L4 = Laplace(f4) pretty(l4) Hail program 0*t 6*t^ f3 = 6*exp(-5*t) f4 = 6*exp(-5*t)*co(4*t) L = 0/^ L = /^3 L3 = 6/(+5) L4 = 3/8*(+5)/(/6*(+5)^+) Hail program menunjukkan hail pada peramaan (6) /d (9) berikut a. L f( t) b. L f( t) c. L f( t) d. L f( t) 0 = = (6) L( 0t) = = (7) 3 L( 6t ) L( 6e ) = = (8) + 5-5t 6-5t L( 6e co 4t) = = ( 3 8)( + 5) ( ) (9) 3

4 Contoh : Dengan menggunakan Matlab, tentukan tranformai Laplace untuk fungi f( t) pada peramaan (0) berikut -at e f t = (0) Kode Matlab untuk menyeleaikan fungi f( t ) pada peramaan (0) adalah cloe all ym t a x; exp(-a*t) y = laplace(f,x) Hail program /exp(a*t) y = /(a + x) Hail program menunjukkan hail pada peramaan () berikut ( ) L( e ) L f t = = () a + x -at Contoh 3 : Dengan menggunakan Matlab, tentukan tranformai Laplace balik dari peramaan () berikut Y = = ( + 8+ ) ( + 8+ ) Adapun kode Matlab untuk penyeleaian peramaan () adalah cloe all ym (*^) + (*) + (6); (^3) + (8*^) + (*); f/f L = ilaplace(f) () 4

5 Hail program (*^+*+6)/(^3+8*^+*) L = -*exp(-6*t)+7/*exp(-*t)+ / Hail program menunjukkan hail pada peramaan (3) berikut ( ) t 7 -t L F = L = -e + e + ( + 8+ ) (3) Contoh 4 : Dengan menggunakan Matlab, tentukan tranformai Laplace balik dari peramaan (4) berikut + 3 F( ) = (4) Kode Matlab untuk menghitung peramaan (4) adalah cloe all ym ( + 3); (^3) + (5*^) + (*) + 8; f/f L = ilaplace(f) Hail program (+3)/(^3+5*^+*+8) L = /5*exp(-t)-/5*exp(-*t)*co(*t)+3/0*exp(- *t)*in(*t) Hail program menunjukkan hail pada peramaan (5) berikut L F L - e -t e -t co t + e -t in t ( ) = = (5) Contoh 5 : Dengan menggunakan Matlab, tentukan tranformai Laplace balik dari peramaan (6) berikut 0 3 F = + + (6) 5

6 Kode Matlab untuk penyeleaian peramaan (6) adalah cloe all ym 0; (^4) + (5*^3) + (9*^) + (7*) + ; f/f L = ilaplace(f/f) Hail program 0/(^4+5*^3+9*^+7*+) L = -0*exp(-*t)+5*(+t^-*t)*exp(-t) Hail program menunjukkan hail pada peramaan (7) berikut L F L - e -t e -t co t + e -t in t ( ) = = (7) Contoh 6 : Dengan menggunakan Matlab, rubah bentuk peramaan (8) ke dalam bentuk ekpani fraki parial erta carilah tranformai Laplace balik dari peramaan (8) terebut F( ) = (8) Kode Matlab untuk penyeleaian peramaan (8) adalah cloe all a = [ ]; b = [ ]; [r,p,k] = reidue(a,b) Hail program r = i i p = 6

7 i i 0 0 k = [] Hail program peramaan (8) dirubah menjadi bentuk peramaan (9) berikut r r r r (9) 3 4 F = - p - p - p 3 - p j j F( ) = (0) j j Kode Matlab untuk penyeleaian peramaan (0) adalah Inver tranformai Laplace ym /(^4 + 5*^3 + 7*^) pretty(ilaplace(f)) Hail program / / / \ \ / 3 t / / \ 3 in t \ / 5 co t \ \ / 5 / / 5 t \ exp --- \ / Contoh 7 : Fungi alih pada peramaan () berikut = () F Dengan menggunakan Matlab, tentukan f( t ) dari fungi alih peramaan () berikut 7

8 Kode Matlab untuk penyeleaian peramaan () adalah cloe all ym /((^4)+ (5*^3) + (7*^)) y = ilaplace(f) Hail program /(^4+5*^3+7*^) y = /7*t+5/49*exp(- 5/*t)*co(/*3^(/)*t)+/47*3^(/)*exp(- 5/*t)*in(/*3^(/)*t)-5/49 Contoh 8 : Fungi alih pada peramaan () berikut F = Dengan menggunakan Matlab, tentukan f( t ) dari fungi alih terebut () Kode Matlab untuk penyeleaian peramaan () adalah cloe all ym (5*^+ 3* + 6)/(^4 + 3*^3 + 7*^ + 9* + ) y = ilaplace(f) Hail program (5*^+3*+6)/(^4+3*^3+7*^+9*+) y = -5/4*exp(- 3/*t)*co(/*7^(/)*t)+/4*7^(/)*exp(- 3/*t)*in(/*7^(/)*t)+5/4*co(3^(/)*t)+3/4*3^( /)*in(3^(/)*t) Contoh 8.9 : Fungi alih pada peramaan (3) /d (6) berikut a. F = (3)

9 b. F c. F d. F = (4) = (5) = (6) Dengan menggunakan Matlab, tentukan tranformai Laplace balik dari fungi alih terebut Kode Matlab untuk penyeleaian peramaan (3) /d (6) adalah cloe all ym dip('solui a') /(*(( + )*( + 6))); y = ilaplace(f) dip('solui b') /((^)*( + 5)); y = ilaplace(f) dip('solui c') f3 = 3* + ; f4 = ^ + * + 9; f5 = f3/f4; y3 = ilaplace(f5) dip('solui d') f5 = - 5; f6 = *(^ + 3* + 0); f7 = f5/f6; y4 = ilaplace(f7) Hail program Solui a y = /*exp(-4*t)*inh(*t) Solui b y = /5*t-/5*exp(-5/*t)*inh(5/*t) 9

10 Solui c y3 = 3*exp(-t)*co(*^(/)*t)-/*^(/)*exp(- t)*in(*^(/)*t) Solui d y4 = -5/4+5/4*exp(- 3/*t)*co(/*7^(/)*t)+3/84*7^(/)*exp(- 3/*t)*in(/*7^(/)*t) Contoh 0 : Fungi alih pada peramaan (7) berikut F ( )( + 7) = (7) ( + )( + 3)( ) Dengan menggunakan Matlab, tentukan tranformai Laplace balik dari fungi alih terebut Kode Matlab untuk penyeleaian peramaan (7) adalah cloe all ym G = (^ + 9* + 7)*( + 7); G = ( + )*( + 3)* (^ + * + 50); G = G/G; y = ilaplace(g) pretty(y) Hail program y = 95/398*exp(- 6*t)*co(4^(/)*t)+889/054*4^(/)*exp(- 6*t)*in(4^(/)*t)-7/6*exp(-*t)+44/3*exp(-3*t) 0