ROOT LOCUS. 5.1 Pendahuluan. Bab V:

Transkripsi

1 Bab V: ROOT LOCUS Root Locu yang menggambarkan pergeeran letak pole-pole lup tertutup item dengan berubahnya nilai penguatan lup terbuka item yb memberikan gambaran lengkap tentang perubahan karakteritik item terhadap perubahan penguatan item (gain adjutment). Dengan menentukan karakteritik item yang diinginkan, perancang dapat mengetahui letak pole-pole dominan item yang dinginkan pada bidang-. Dengan membandingkan letak pole-pole dominan yang diinginkan terebut terhadap root Locu item emula, perancang dapat mengetahui bagaimana mengubah karakteritik item emula menjadi yang diinginkan. Pada bab ini akan dibaha konep daar dan cara menggambar Root Locu uatu item., baik untuk item dengan umpan-balik negatif (umumnya untuk item kendali), maupun untuk item dengan umpan-balik poitif (muncul pada lup dalam dan item keeluruhan tetap tabil dengan uumpanbalik negatif pada lup luarnya). Penggambaran Root Locu juga dapat dilakukan dengan menggunakan perangkat lunak MatLab yang juga dibaha ecara ingkat pada bab ini. Selanjutnya dibaha juga Root Locu untuk item berfaa non-minimum dan item yang memiliki tranport lag. 5.1 Pendahuluan Karakteritik tanggapan tranient item lup tertutup dapat ditentukan dari lokai pole-pole (lup tertutupnya) atau akar-akar peramaan karakteritik item. Untuk item pada Gambar 5-1, maka peramaan karakteritiknya adalah bb: 1+ KG()H() = (5-1) Gambar 5-1: Sitem lup tertutup 19

2 Bab 5 : Root Locu 13 Bila penguatan lup terbuka K berubah pada Peramaan (5-1), maka letak pole-pole nya juga berubah. Dengan demikian, perlu pemahaman pola perpindahan letak pole-pole dalam bidang. Deain item kendali paling ederhana adalah melalui gain adjument: pilih nilai K edemikian rupa ehingga pole-pole terletak dilokai pada bidang yang diinginkan. Apabila letak pole-pole yang dinginkan tak tercapai melalui cara ini, maka deain item kendali haru melalui kompenai, yaitu memindahkan letak pole yang tak diinginkan melalui konep pole-zero cancellation. Untuk mengetahui pola perpindahan letak pole-pole pada bidang-, maka perlu terlebih dahulu mencari akar-akar peramaan karakteritik item yb. Untuk mencari akar-akar peramaan orde tinggi ecara matemati ulit, terlebih dengan K ebagai variabel. Untuk aat ini alternatif yang dapat digunakan adalah MATLAB. W.R. Evan mengembangkan metoda untuk mencari akar-akar peramaan orde tinggi ecara ederhana yang angat banyak digunakan pada bidang kendali. Metoda terebut diebut metoda Root Locu. Root Locu dapat diartikan ebagai tempat kedudukan akar-akar peramaan karakteritik dengan K = ampai K = tak hingga. Melalui Root Locu dapat diduga pergeeran letak pole-pole baik terhadap perubahan K, maupun terhadap penambahan pole-pole atau zero-zero lup terbuka. 5. Daar Root Locu Perhatikan item kendali poii untuk peawat terbang pada Gambar 5-. Dari Gambar 5-c, dapat diperoleh peramaan karakteritik nya adalah: + + K = (5-) Dengan menggunakan rumu ABC, maka akar-akar Peramaan Karakteritiknya dapt dihitung bb: Bila dihitung 4 4 K 1 1 K (5-3) dari K = hingga K = tak hingga, maka akar-akar peramaan karakteritik terebut dapat ditulikan dalam Tabel 5-1.

3 Bab 5 : Root Locu 131 Gambar 5-: Sitem Kendali Poii Peawat Terbang Tabel 5-1: Letak pole-pole lup tertutup dengan K ebagai parameter. K j1-1-j1 1-1+j3-1-j j1-1-j1-1 + j -1-j Dari Tabel 5-1 diata, dapat digambarkan letak pole-pole item pada bidang ebagaimana terlihat pada Gambar 5-3 yang merupakan Root locu item yb.

4 Bab 5 : Root Locu 13 Gambar 5-3: Root Locu item pada Gambar 5-c. Dari pembahaan diata, dapat ditarik beberapa catatan penting bb: Root Locu mempunyai ifat imetri terhadap umbu nyata. Root Locu bermula dari pole-pole G()H() (untuk K=) dan berakhir di zero-zero G()H() (untuk K ) termauk zero-zero pada titik takhingga. Root Locu cukup bermanfaat dalam deain item kendali linear karena Root Locu dapat menunjukkan pole-pole dan zero-zero lup terbuka mana yang haru diubah ehingga peifikai unjuk kerja item dapat dipenuhi. Pendekatan deain melalui Root Locu angat cocok diterapkan untuk memperoleh hail ecara cepat. Sitem kendali yang membutuhkan lebih dari 1 parameter untuk diatur maih dapat menggunakan pendekatan Root Locu dengan mengubah hanya 1 parameter pada atu aat. Root Locu angat memudahkan pengamatan pengaruh variai uatu parameter (K) terhadap letak pole-pole. Sketa Root Locu ecara manual tetap dibutuhkan untuk dapat memahaminya dan untuk memperoleh idea daar ecara cepat, mekipun MATLAB dapat melakukannya ecara cepat dan akurat. Speifikai tranient (koefiien redaman) dapat ditentukan dengan mengatur nilai K melalui Root Locu.

5 Bab 5 : Root Locu Penggambaran Root Locu Perhatikan item lup tertutup pada Gambar 5-4 berikut ini. Gambar 5-4: Sitem lup tertutup Peramaan Karakteritiknya adalah 1 + G()H() = (5-4) Atau: G()H() = -1, (5-5) Dari peramaan diata, dapat diturunkan peramaan berikut ini: Syarat udut faa: G()H() = 18 (k+1); k =, 1,,. (5-6a) Syarat magnitude: G()H() = 1 (5-6b) Dengan demikian, uatu titik pada bidang yang terletak pada root locu haru memenuhi kedua yarat diata Proedur Penggambaran Root Locu Dengan mengacu pada gambar Root Locu pada Gambar 5-3, erta dengan memperhatikan yarat root locu, tanpa kehilangan konep generalita, maka penggambaran root locu uatu item dapat dilakukan dengan mengacu pada aturanaturan berikut ini. 1. Letakkan pole-pole dan zero-zero lup terbuka pada bidang.. Tentukan Root Locu pada umbu nyata. Syarat Sudut:

6 Bab 5 : Root Locu 134 G()H() = 18 (k+1); k =, 1,,. Ambil titik tet : bila jumlah total pole dan zero dikanan titik ini ganjil, maka titik tb terletak di Root Locu. Gambar 5-5: Titik pengujian untuk root locu 3. Tentukan aimtot Root Locu: Banyaknya aimtot = n m n = banyaknya pole lup terbuka m= banyaknya zero lup terbuka Sudut-udut aimtot = 18 (k n m 1) k=, 1,, Titik Potong aimtot-aimtot pada umbu nyata: a letak pole berhingga n m letak zero berhingga 4. Tentukan titik-titik break-away (Root Locu meninggalkan umbu nyata) dan titik-titik break-in (Root Locu menuju umbu nyata): Untuk Peramaan Karakteritik: B() + KA() =, Maka titik-titik tb haru berada di Root Locu dan memenuhi peramaan:

7 Bab 5 : Root Locu 135 dk d ' ' B ( ) A( ) B( ) A ( ) A ( ) 5. Tentukan udut-udut datang / udut-udut berangkat untuk pole-pole / zerozero komplek ekawan. Sudut datang (dari uatu pole komplek) = 18 (jumlah udut vektorvektor dari pole-pole lain ke pole komplek tb) + ( jumlah udut vektorvektor dari zero-zero ke pole komplek tb). Sudut pergi (ke uatu zero komplek) = 18 (jumlah udut vektorvektor dari zero-zero lain ke zero komplek tb) + ( jumlah udut vektorvektor dari pole-pole ke zero komplek tb). 6. Tentukan bata ketabilan mutlak item (K): Melalui Kriteria Routh Hurwitz. Secara analiti: memotong umbu imajiner: = j 7. Sketa Root Locu ecara lebih teliti pada daerah-daerah elain umbu nyata dan aimtot. Gambar 5-6: Sudut datang Root Locu 8. Tentukan letak pole-pole melalui nilai K yang memenuhi yarat magnitude. Sebalikya, bila letak pole-pole ditentukan (pada Root Locu), maka nilai K yang memenuhi dapat dihitung ecara grafi atau ecara analiti:

8 Bab 5 : Root Locu 136 Secara grafi: K perkalian perkalian panjang gari - gari dari titik ke pole - pole panjang gari - gari dari titik ke zero - zero Contoh 5-1: Gambarkan Root Locu item balikan atuan dengan G ( ) ( K 1)( ) Tentukan juga nilai K agar koefiien redaman pole-pole komplek ekawan loop tertutup dominannya bernilai,5. Solui : 1. Tentukan Root Locu pada umbu nyata. j Titik uji Titik uji Gunakan titik uji pada penggalan umbu nyata. Apabila titik uji memenuhi yarat udut untuk Root Locu, maka penggalan gari terebut adalah bagian Root Locu pada umbu nyata. Untuk titik uji 1 : Syarat udut : ( 1) ( ) (tak terpenuhi). Dengan demikian penggalan gari pada umbu nyata poitip bukan bagian Root Locu. Untuk titik uji : Syarat udut : ( 1) ( ) (terpenuhi). Sehingga penggalan gari pada umbu nyata antara dan 1 merupakan bagian Root Locu.

9 Bab 5 : Root Locu 137 Dengan cara yang ama, dapat dibuktikan bahwa penggalan gari antara 1 dan bukan bagian Root Locu dan penggalan gari antara dan -~ merupakan bagian Root Locu.. Penentuan aimtot Root Locu Banyaknya aimtot = banyaknya pole (n) banyaknya zero (m) = 3 - = 3 Sudut aimtot = 18 (k 3 1) ; (k,1, ) 6 ; 18 dan 6 Titik potong aimtot pada umbu nyata : p n m z ( 1 3 ) 1 dk 3. Penentuan titik pencar diperoleh dari peramaan : d Peramaan karakteritik item adalah : K ( 1)( ) 1 3 atau K ( 3 ), ehingga: dk d (3 6 ) Diperoleh 1, 46 (memenuhi) dan 1, 5774 (tak memenuhi) 4. Penentuan bata ketabilan item. Cara termudah adalah menggunakan kriteria Routh Hurwitz. Deret R-H: K K 3 K Syarat tabil tercapai bila < K < 6. Bila dihitung, perpotongan Root Locu dengan umbu khayal ini terjadi pada : j. Cara lain untuk mengetahui titik potong ini adalah ecara analii. Anggap = j (pada umbu khayal), ubtituikan pada peramaan karakteritik item. Solui peramaan komplek ini akan menghailkan dan K = 6.

10 Bab 5 : Root Locu Tentukan beberapa titik uji dekat titik pencar yang memenuhi yarat udut Root Locu agar diperoleh plot Root Locu ecara akurat (lihat gambar berikut ini). 6. Root Locu dari informai ebelumnya ditunjukkan pada gambar berikut ini. 7. Penentuan letak pole-pole komplek ekawan dominan yang memiliki koefiien redaman,5. Anggap pole komplek ekawan n j n 1. Dengan memperhatikan gambar dibawah ini, maka terlihat bahwa co. Untuk,5, maka 6. Dengan menggunakan cara analiti akan diperoleh pole-pole dominan terebut adalah : = -, j,578, dengan nilai K adalah: K ( )( ),3337 j, 578 1,383

11 Bab 5 : Root Locu Beberapa Catatan untuk Root Locu Konfigurai pole-zero yang edikit bergeer dapat mengubah total bentuk Root Locu ebagaimana ditunjukkan pada Gambar 5-7. Gambar 5-7: Perubahan bentuk Root Locu akibat pergeeran kecil pole-pole Orde item dapat berkurang akibat pole-pole G() di hilang kan (cancelled) oleh zero-zero H() ebagaimana ditunjukkan pada Gambar 5-8. Gambar 5-8: Manipulai diagram blok untuk item lup ganda.

12 Bab 5 : Root Locu 14 Tabel 5-: Konfigurai pole-zero lup terbuka dan gambar Root Locu nya

13 Bab 5 : Root Locu Root Locu Melalui Matlab Root Locu uatu item yang dinyatakan dalam peramaan karakteritiknya, dalam MATLAB dapat dinyatakan dalam : 1 num K den dengan : num den ( m ( n z p 1 (z 1 (p )( 1 )( 1 z p z ) ( p ) ( z p m n z p m ) n ) ) m 1 ) n 1 z z 1 1 p p z m p n Perlu diingat bahwa vektor num dan den haru dituli dalam urutan pangkat yang menurun. Perintah MATLAB yang umumnya digunakan untuk menggambar Root Locu dilayar komputer adalah : rlocu(num, den) Sedang untuk item yang didefiniikan dalam konep ruang waktu, maka perintah yang digunakan adalah : rlocu (A, B, C, D) Pada kedua perintah terebut, penguatan lup terbuka item K ecara otomati ditentukan. Apabila pole-pole lup tertutup untuk beberapa nilai K ingin dihitung, maka perintah berikut ini dapat digunakan : rlocu(num,den,k), atau rlocu(a,b,c,d,k) dengan K = vektor yang berii emua nilai penguatan dimana pole-pole lup tertutup ingin dihitung. Cara lain penggambaran Root Locu adalah dengan menggunakan arguman berikut ini : [r,k] = rlocu(num,den) [r,k] = rlocu(num,den,k)

14 Bab 5 : Root Locu 14 [r,k] = rlocu(a,b,c,d) [r,k] = rlocu(a,b,c,d,k) Pada layar akan tampil matrik r dan vektor penguatan K. Perintah plot(r, ) dapat digunakan untuk menggambar Root Locu. Sedang perintah : r=rlocu(num,den) plot( r,' o ) atau, plot( r, x ) dapat digunakan untuk menggambar Root Locu dengan tanda ` o atau ` x, Mengingat vektor penguatan ditentukan ecara otomati, maka plot Root Locu berikut ini : G()H() G()H() G()H() K( 1) ( )( 3) 1K( 1) ( )( 3) K( 1) ( )( 3) adalah ama, dengan : num = [ 1 1 ] den = [ ] Contoh 5-: Plot Root Locu menggunakan MATLAB uatu item kendali balikan atuan dengan : K( G() ( 4)( 6)( Solui : 4) 1,4 1) Mengingat peramaan penyebut belum dalam bentuk polinominal orde-5, maka hal ini perlu dilakukan lebih dahulu. Perintah konvolui dapat digunakan untuk memperoleh bentuk polinomial terebut :

15 Bab 5 : Root Locu 143 Definiikan : a ( 4) 4 : a [1 4 ] b 6 : b [1 6] c : c [ ] Selanjutnya gunakan perintah : d = conv(a,b); e = conv(c,d) Hail yang diperoleh e = [ ] Dengan demikian program MATLAB nya adalah ebagai berikut : %------Root-Locu num = [ 1 4]; den = [ ]; rlocu(num,den) Warning:Divide by zero v = [ ]; axix(v) grid title( Root-Locu Plot of G() = K(^ + +4)/[( + 4)( + 6)(^ )] ) Ekekui program diata menghailkan gmbar Root Locu berikut ini.

16 Bab 5 : Root Locu Root Locu untuk Kau Khuu Pada bagian ini akan dibaha dua kau khuu penggambaran Root Locu, yaitu : 1. Bila parameter K bukan merupakan penguatan lup terbuka dan. Bila umpan balik item poitif, bukan negatif Parameter K bukan Penguatan Lup Terbuka. Gambar 5-9 : Sitem kendali dengan k bukan ebagai penguatan lup terbuka

17 Bab 5 : Root Locu 145 Gambar 5-1: Root Locu item pada Gambar 5-9

18 Bab 5 : Root Locu Umpanbalik Poitif. Sitem pada Gambar 5-11 memiliki umpanbalik poitif pada lup dalamnya. Mekipun demikian, item ini maih dapat ditabilkan oleh umpnabalik negatif pada lup luarnya. Pada bagian ini akan dibaha penggambaran Root Locu untuk bagian umpanbalik poitif dari Gambar 5-11, yaitu dengan input R() dan output C(). Gambar 5-11: Sitem dengan umpanbalik poitif Dengan demikian perlu modifikai aturan penggambaran Root Locu dari aturan emula (untuk umpanbalik negatif). Modifikai Aturan untuk umpanbalik poitif: Aturan : Bila jumlah total pole dan zero dikanan titik tet genap, maka titik tb berada di Root Locu. Aturan3: Sudut-udut aimtot = k 36 n m ; k=, 1,, Aturan5: Sudut datang dan udut pergi : 18 diganti dengan.

19 Bab 5 : Root Locu 147 Contoh 5-3: Gambarkan Root locu untuk item lup tertutup dalam dengan umpanbalik poitif pada item berikut ini. Solui: 1. Plot pole-pole lup terbuka ( = -1 + j1, = -1 - j1, = -3) dan zero ( = -) pada bidang komplek. Dengan naiknya nilai K dari hingga, pole-pole lup tertutup akan bergerak dari pole-pole lup terbuka dan berakhir pada zero-zero lup terbuka (baik zero berhingga maupun tak berhingga), ebagaimana terjadi pada item umpan-balik negatif.. Tentukan root locu pada umbu nyata. Root locu akan berada pada penggal gari antara - dan + dan antara -3 dan Tentukan aimtot-aimtot root locu. Sudut-udut aimtot = k. 36 / (3-1) = 18. (Kedua aimtot terletak pada umbu nyata.) 4. Tentukan titik-titik pencar dan mauk. Peramaan karakteritik item adalah: ( + 3)( + + ) - K( + ) =, atau: K = [( + 3)( + + )]/( + ). Dengan mendiffereniaikan K terhadap, akan diperoleh peramaan: =, atau ( +,8)( +,35 + j,77)( +,35 - j,77), ehingga titik = -,8 yang berada diantar zero merupakan titik mauk root locu, edang titik lainnya bukan merupakan titik pencar maupun titik mauk, karena tak memenuhi yarat udut. 5. Tentukan udut berangkat root locu dari pole-pole komplek. Untuk pole pada = j1, udut berangkatnya adalah: = = -7 (Sedang udut berangkat dari pole pada = 1 - j1 adalah +7.)

20 Bab 5 : Root Locu Tentukan titik-titk uji diekitar umbu imajiner dan titik aal dan gunakan yarat udut untuk menggambarkan root locu pada daerah ini ecara lebih teliti. Root locu elengkapnya untuk item umpanbalik poitif ini dengan fungi alih lup tertutup: C( ) ( R( ) ( 3)( K( ) ) K( ) ) dapat dilihat pada gambar berikut ini. Perhatikan bahwa item akan tidak tabil untuk K > 3 (Gunakan metoda Root Hurwitz untuk menghitungnya!). Untuk K > 3, item haru ditabilkan dengan umpanbalik diluarnya. Sedang gambar berikut ini menunjukkan root locu item yang ama tetapi dengan umpanbalik negatif.

21 Bab 5 : Root Locu 149 Tabel 5-3: Gambar Root Locu untuk umpanbalik poitif (kurva putu-putu) dan umpanbalik negatif (kurva gari penuh)

22 Bab 5 : Root Locu Analii Sitem Kendali Menggunakan Root Locu Pada bagian ini akan dibaha analii yang dapat dilakukan untuk item kendali menggunakan Root Locu. Ada 3 bagian yang akan dibaha ecara berurutan adalah ortogonalita dan locu dengan penguatan kontan, item tabil kondiional, dan item faa non-minimum Ortogonalita dan Locu dengan Penguatan Kontan Gambar 5-1 : Kurva contant-gain locu dan contant-phae locu. Root Locu dan loku dengan penguatan kontan merupakan pemetaan konformal loku G()H()= 18 (k+1) dan G()H() = kontan dalam bidang G()H(). berbeda. Gambar 5-13 : Gambar root loci dan contant-gain loci untuk item yang

23 Bab 5 : Root Locu Sitem Stabil Kondiional Perhatikan item kendali pada Gambar Root locu item terebut mulamula berada pada daerah tabil ( < K < 14), elanjutnya mauk kedaerah tak tabil (14 < K < 64), elanjutnya mauk kembali kedaerah tabil ( 64 < K < 195 ), dan terakhir kembali menjadi tak tabil pada K > 195. Keadaan tabil yang berpindah-pindah ini diebut tabil kondiional. Pada prakteknya tabil kondiional tak diinginkan, karena item mudah menjadi tak tabil. Sitem tabil kondiional dapat terjadi pada item dengan lintaan maju tak tabil (karena ada minor lup). Mekipun demikian, item tabil kondiional dapat dihindari melalui kompenai yang euai (penambahan zero). Gambar 5-14 : Sitem dengan ketabilan kondiional dan Root Locu nya Sitem Faa Non-Minimum Suatu item diebut berfaa minimum apabila emua pole dan zero item lup terbukanya terletak diebelah kiri bidang-. Sebaliknya, item faa non-minimum terjadi bila edikitnya ada atu pole atau zero item lup terbukanya terletak diebelah kanan bidang-, ebagaimana dicontohkan pada Gambar Pengertian faa nonminimum ini akan lebih jela pada pembahaan Tanggapan Frekueni pada Bab 7.

24 Bab 5 : Root Locu 15 Gambar 5-15 : Sitem faa non minimum dan Root Locu nya Sehingga: K( T a ( T = 18 (k+1); k=, 1,, 1) 1) +5.7 Root Locu dengan Tranport Lag Tranport lag atau dead time terjadi karena adanya keterlambatan pengukuran akibat ifat kelembaman item fii. Pada Gambar 5-16, terlihat bahwa dibutuhkan waktu elape ebear T = L/v detik dari mulai cairan dipanai di tungku hingga mencapai boiler dimana uhu diukur, dengan L = panjang pipa yang menghubungkan tungku dengan boiler v = kecepatan aliran cairan pada pipa penghubung.

25 Bab 5 : Root Locu 153 Gambar 5-16 : Sitem tungku pemana Dengan demikian ada keterlambatan waktu ebear T dari input x ke output y, atau: y(t) = x(t-t). Diperoleh fungi alih bb: Fungi Alih: Contoh 5-4: Gambarkan Root locu item tungku pemana yang ditunjukkan pada gambar berikut ini. Gambar 5-17 : Diagram blok item tungku pemana pada Gambar 5-16.

26 Bab 5 : Root Locu 154 Solui: Mengingat udut kontribui dari e -T adalah nol untuk =, maka umbu nyata dari -1 hingga - merupakan bagian dari root locu. Aumikan uatu nilai 1 untuk, dan hitung 57.3 o 1T. Pada titik -1 diumbu nyata negatif, gambar uatu gariluru yang membuat udut 18 o o 1T terhadap umbu nyata. Tentukan titik potong gari ini dengan gari mendatar = 1. Titik potong P ini ebagaimana terlihat pada Gambar 5-18 kiri memenuhi peramaan root locu, ehingga titik terebut berada pada root locu. Dengan mengulangi proedure diata, maka akan diperoleh root locu eperti terlihat pada Gambar 5-18 kanan.

27 Bab 5 : Root Locu 155 Perlu juga diingat bahwa bila mendekati -, maka fungi alih lup terbuka : K e 1 -T akan mendekati -, karena lim - K e 1 -T -T d d [ K e ] d/d[ 1] KTe T Dengan demikian, = - adalah uatu pole lup terbuka. Jadi root locu bermula dari = -1 atau = - dan berakhir pada =, euai dengan membearnya K dari nol hingga tak hingga. Mengingat yarat udut faa untuk root locu memiliki tak terhingga nilai (ingat k =, 1,, ), maka akan ada tak terhingga root locu pula. Mialnya untuk k = 1, maka yarat udut berubah menjadi: T (radian) T (derajat) Gambar 5-18: Penentuan titik pada Root Locu dan Root Locunya

28 Bab 5 : Root Locu 156 Gambar 5-19: Root Locu lengkap item pada Gambar 5-17 untuk T= 1 detik Dari Contoh 5-4 terlihat bahwa dead time menyebabkan ketidaktabilan item, ekalipun untuk item orde-1.

29 Bab 5 : Root Locu Pendekatan untuk Tranport Lag Untuk memudahkan analii item kendali, maka komponen tranport lag ini umumnya didekati dengan peramaan polinom atau perbandingan peramaan polinom orde-n. Bila T kecil ekali dan fungi f(t) pada elemen tb kontinyu dan mooth, maka pendekatan berikut ini dapat digunakan: Taylor bb: Sedang pendekatan lain yang lebih umum adalah dengan menggunakan deret