BAB VI TRANSFORMASI LAPLACE

Transkripsi

1 BAB VI TRANSFORMASI LAPLACE Kompeteni Mahaiwa mampu. Menentukan nilai tranformai Laplace untuk fungi-fungi yang ederhana. Menggunakan ifat-ifat tranformai untuk menentukan nilai tranformai Laplace untuk fuyngi-fungi yang lebih komplek 3. Menggunakan rumu-rumu tranformai turunan dan integral 4. Menggunakan teorema pergeeran umbu- dan umbu-t 5. Menentukan turunan dan integral tranformai Laplace F() untuk memperoleh fungi alinya yang bereuaian dengan turunan dan integral terebut. Materi. Pengertian Tranformai Laplace. Keujudan Tranformai Laplace 3. Tanformai Laplace Turunan 4. Tranformai Laplace Integral 5. Pergeeran pada Sumbu 6. Pergeeran pada Sumbu t 7. Turunan Tranformai Laplace 6 -

2 BAB VI TRANSFORMASI LAPLACE Tranformai Laplace merupakan alah atu metode yang digunakan untuk menyeleaikan uatu peramaan diferenial dan maalah nilai awal. Proedur utama dalam penyeleaiannya adalah:. Mentranformai (Laplace) peramaan yang ulit menjadi peramaan yang lebih ederhana yang diebut peramaan pengganti.. Menyeleaikan peramaan pengganti dengan manipulai aljabar biaa. 3. Mentranformai kembali (inver Laplace) eleaian dari peramaan pengganti untuk mendapatkan eleaian dari peramaan emula. Proedur terebut dapat digambarkan dalam bagan berikut: Peramaan Differenial/ Maalah Nilai Awal TL Peramaan Pengganti Manipulai aljabar Seleaian PD/MNA Inver TL Seleaian Peramaan Pengganti Gambar Proe penyeleaian peramaan differenial atau maalah nilai awal dengan menggunakan Tranformai Laplace. 6 -

3 6.. Pengertian Tranformai Laplace Definii. Mial f(t) terdefiniikan untuk t 0. Dibentuk fungi F dengan F() = e t f(t)dt. 0 Jika F() ada maka F() diebut tranformai Laplace dari f(t) dan dinotaikan dengan L(f). Dalam hal ini f(t) diebut tranformai inver dari F() dan dinotaikan dengan L - (F). Jadi, F() = L(f) = e t f(t)dt 0 f(t) = L - (F). Contoh :. f(t)=, t 0, maka L(f) = Jadi 0 e t dt e t = 0 =. L() = / dan L - (/) =.. f(t) = e at, t 0, maka 3. L(f) = t at e e dt e ( a)t = = a 0 0 a, untuk -a>0. 6-3

4 Jadi L(e at ) = /(-a) dan L - (/(-a)) = e at. Teorema. (Sifat Linier): Jika L(f(t)) dan L(g(t)) ada dan a, b kontan maka L{af(t)+bg(t)} = al(f(t))+bl(g(t)). Bukti: dari definii Tranformai Laplace. Contoh :. Tentukan L(coh at). Penyeleaian: Karena coh at = (e at +e -at )/, dengan ifat linier maka L(coh at) = L{(e at +e -at )/} = (/)L(e at ) + (/)L(e -at ) =(/) (/(-a))+ (/) (/(+a)) = /( -a ), untuk >a 0.. Jika F() = ( a)( b) dengan a b, tentukan L - (F). Penyeleaian: Inver dari tranformai Laplace juga berifat linier ehingga L - (F) = L - { ( )} a b a b 6-4

5 = [L ( ) L ( )] a b a b = (e at e bt ). a b 3. Jika F() = Penyeleaian: ( a)( b) dengan a b, tentukan L - (F). L - (F) = L - { ( a b )} a b a b = [al ( ) bl ( )] a b a b = (ae at be bt ). a b Latihan. Tentukan Tranformai Laplace dari:. f(t) = t. f(t) = t 3. f(t) = t n, n=,,3, 4. f(t) = t a, a>0 5. f(t) = co ωt 6. f(t) = in ωt 7. f(t) = inh t 6-5

6 6.. Keujudan Tranformai Laplace Suatu fungi yang terdefinii untuk t>0 mungkin memiliki tranformai Laplace, tetapi mungkin juga tidak memiliki (nilai integral dalam definii tidak ada). Keujudan tranformai Laplace dijamin oleh: Teorema : Mial f(t) fungi yang kontinu perbagian (piecewie continuou) pada etiap interval dalam range t 0 dan memenuhi f(t) Me γt, untuk etiap t 0, Dengan γ dan M kontan. Maka tranformai Laplace dari f(t) ada untuk emua >γ. Contoh 3: karena coh t < e t dan t n n!e t (n=0,,, ) untuk etiap t 0, maka tranformai Laplace dari coh t dan t n ada f(t) = e t f(t) g(t) = coh(t) t Gambar grafik fungi coht dan e t, terlihat bahwa untuk etiap t > 0 berlaku coht e t. 6-6

7 Perhatian:. Teorema di ata merupakan yarat cukup dari ekiteni Tranformai Laplace, bukan yarat perlu. Sebagai contoh f(t) = t tidak memenuhi yarat dalam teorema (karena f(0) = ), tetapi L( t ) ada, yaitu L( t ) = t x π e t dt = e x dx = Γ( ) 0 0 =.. Jika Tranformai Laplace dari uatu fungi ada maka tranformai itu tunggal. 3. Jika dua buah fungi mempunyai Tranformai Laplace yang ama maka dua fungi itu hanya berbeda pada titik-titik teriolainya aja. Jadi dapat dikatakan bahwa inver dari uatu Tranformai Laplace ecara eenial adalah ama. Dalam hal fungi kontinu, maka keduanya benar-benar ama Tanformai Laplace Turunan Jika tranformai Laplace dari f diketahui dan turunan dari f ada, kita dapat mempertanyakan apakah tranformai Laplace dari f juga ada atau apakah ada yarat lain yang dapat menjamin keujudan dari tranformai Laplace f. Lebih lanjut, jika tranformai Laplace dari f ada, apakah ada hubungan di antara ke duanya. Hal ini diberikan oleh teorema berikut. 6-7

8 Teorema 3: Mial f(t) kontinu untuk t 0 dan memenuhi yarat teorema dan mempunyai turunan f (t) yang kontinu perbagian pada etiap interval hingga dalam range t 0. Maka TL dari f (t) ada untuk >γ dan diberikan oleh L(f ) =L(f) f(0), (<γ). Catatan: Teorema di ata dapat diperlua untuk mendapatkan: L(f ) = L(f) f(0) f (0), L(f ) = 3 L(f) f(0) f (0) f (0), dt. Yang dengan induki diperoleh: Teorema 4: Mial f(t), f (t), f (t),,f (n-) (t) fungi-fungi kontinu untuk t 0, dan memenuhi yarat dalam teoema untuk uatu γ dan M dan mial f (n) (t) kontinu perbagian pada etiap interval dalam range t 0. Maka TL f (n) ada jika >γ dan diberikan oleh: L(f (n) ) = n L(f) n- f(0) n- f (0) - f (n-) (0). Contoh 4 (penerapan teorema 4):. Tentukan L(t ). Penyeleaian: f(t) = t, maka f(0) = 0, f (0) = 0, f (t) =, L() = /, 6-8

9 ehingga L(f ) = L() =/ = L(f). Jadi L(f) = L(t ) = / 3.. Tentukan L(co ωt). Penyeleaian: f(t) = co ωt, maka f (t) = -ω coωt, f(0) =, dan f (0) = 0. Maka -ω L(f) = L(f ) = L(f) ehingga L(f) = L(co ωt) = /( + ω ). Dengan cara yang ama dapat ditunjukkan bahwa L(in ωt) = w/( + ω ). 6-9

10 3. Tentukan L(in t). Penyeleaian: f(t) = in t, maka f(0) = 0, f (t) = int cot = in t. Dengan Teorema 3, L(in t) = /( +4) = L(f) ehingga L(in t) =. ( + 4) 4. Tentukan Seleaian MNA: y +4y +3y = 0, y(0)=3, y (0)=. Penyeleaian: Langkah. Menyuun peramaan pengganti: Mial Y() = L(y), (y fungi yang akan dicari). Dengan teorema (3), (4) dan yarat awal, maka L(y ) = Y-y(0) = Y-3 L(y ) = Y y(0) y (0) 6-0

11 = Y-3-. Selanjutnya L(y), L(y ) dan L(y ) diubtituikan ke dalam TL dari PD nya: Y+4Y+3Y= atau (+3+(+)Y = 3+3 (peramaan pengganti). Langkah. Seleaikan peramaan pengganti (dengan cara aljabar): Y= = + ( + 3)( + ) Langkah 3. Tentukan tranformai inver dari eleaian peramaan pengganti untuk memperoleh eleaian MNA: Karena L - (/(-3)) = e -3t dan L - (/(+))=e -t, dengan menggunakan ifat linier diperoleh y(t)=-e -3t +5e -t Tranformai Laplace Integral. Teorema 5: Jika f(t) kontinu perbagian dan memenuhi yarat dari teorema, maka t L( f( τ )dτ )= L(f (t)), dengan >0 dan >γ. 0 Dari hubungan dalam teorema 5, dapat ditunjukkan; 6 -

12 t L { F()} = f( τ )dτ. 0 Contoh 5 Mial L(f) = Penyeleaian Karena, tentukan f(t). ( + ω ) dengan teorema 5 diperoleh Contoh 6 Mial L(f)=( L ( ) = inωt, ( + ω ) ω t L ( ) = in d ( co t) ( ωτ τ = ω. + ω ) ω 0 ω ). Tentukan f(t). ( + ω ) Dengan cara eperti di ata, Latihan. t L ( ) = ( co ωτ)d τ. ( ω ) ω + 0. Gunakan Teorema 4 untuk menghitung: a. L(t co ωt) b. L(t in ωt) 6 -

13 c. L(t coh at). d. L(t inh at).. Dengan rumu Tranformai dari turunan, tentukan L(in ωt) dari rumu L(co ωt). 3. Gunakan Teorema 5 untuk menentukan f(t) jika L(f) adalah: a. /( +) b. c. d. e. f. (+ ) (+ ) +. ( + ) ( ) 4 ( ) g. 4 h. ( ) + 4. Gunakan TL untuk menyeleaikan MNA: a. y -y -3y=0, y(0)=, y (0)=7 b. 4y +y=0, y(0)=, y (0)=-. 6-3

14 c. Y +y -8y=0, y(0)=, y (0)=8. d. Y +5y=t, y(0)=, y (0)=0, Pergeeran pada Sumbu Salah atu ifat penting dari tranformai laplace adalah ifat pergeeran pada umbu dan umbu t. Teorema 6 (pergeeran pada umbu ) Jika f(t) mempunyai tranformai Laplace F() dengan >γ, maka e at f(t) mempunyai tranformai F(-a) dengan -a>γ. Dengan teorema di ata, jika kita mengetahui tranformai Laplace dari f(t) maka kita dapat menentukan tranformai Laplace dari e at f(t) ecara mudah. Berdaarkan teorema di ata, kita juga dapat menentukan inver tranformai dari F(-a) jika inver tranformai dari F() diketahui, yakni L - (F(-a))=e at f(t). Hubungan antara F() dan F(-a) diberikan oleh ilutrai berikut: a F() F(-a) Beberapa rumu yang dapat diturunkan berdaarkan rumu-rumu ebelumnya dan dengan menggunakan teorema terebut adalah 6-4

15 f(t) L(f) e at t n n! n+ ( a) e at coωt a ( a) + ω e at inωt ω ( a) + ω Contoh 7: Gunakan rumu inver tranformai Laplace untuk menentukan eleaian maalah nilai awal dari maalah gerak pega teredam: y +y +5y = 0, y(0)=, y (0) = -4. Penyeleaian. Peramaan bantu dari MNA di ata adalah Y-+4+(Y-)+5Y=0, yang dapat diederhanakan ecara manipulai aljabar menjadi Y ( ) = ( + ) + + = ( + ) + ( + ) + Karena ( - L ) = co t dan L ( ) = in t, ( + ) + ( + ) + maka eleaian MNAnya adalah:. 6-5

16 y(t) =L - (Y) = e -t (cot-int) 6.6. Pergeeran pada Sumbu t Pada teorema di ata, kita dapat menggunakan pergeeran pada umbu dari F() untuk menentukan tranformai Laplace dari e at f(t). Berikut ini kita akan menentukan tranformai Laplace dari f (t) yang didefiniikan dengan 0, t < a f ( t) = f ( t a), t > a. Ini dikenal dengan pergeeran pada umbu t, yakni dengan mengganti t dengan t-a dalam f(t). Teorema (Pergeeran pada umbu t) Jika f(t) mempunyai tranformai Laplace F() dan fungi f didefiniikan dengan 0, t < a f ( t) = f ( t a), t > a. dengan a 0, maka tranformai Laplace dari f (t) adalah e -a F(). Hubungan antara f dan f dapat diilutraikan ebagai berikut: f(t) f(t-a) a t Contoh 8 6-6

17 Perhatikan fungi tangga atuan u(t-a) yang didefiniikan dengan 0, jikat < a u( t) =, digambarkan eperti, jikat > a u(t-a) a Gambar Grafik fungi u(t-a). t Fungi tangga atuan dapat digunakan ebagai blok pembangun fungi-fungi yang lain dan dapat dimanfaatkan untuk memperlua penggunaan tranformai Laplace. Dari definii tranformai Laplace, kita dapat menunjukkan bahwa L(u(t-a)) = e -a /. Fungi f yang kita definiikan di depan dapat f ditulikan ebagai: f (t) = f(t-a)u(t-a). Kaitan antara f dan f diberikan oleh contoh f(t) = co t dan f (t)=u(t-a)co(t-a) yang dapat digambarkan ebagai berikut: 6-7

18 co(t) a co (t-a) u(t-(a) co(t-a)u(t-a) Dengan menggunakan teorema di ata, maka L(f(t-a)u(t-a)) = e -a F(), Atau L - (e -a F()) = f(t-a)u(t-a). 6-8

19 Contoh 9 Tentukan Inver Tranformai Laplace dari e -a / 3. Penyeleaian: Karena L - (/ 3 ) = t / = ½(t-3) u(t-3). Contoh 0 Jika fungi f didefiniikan dengan, jika 0 < t < π f ( t) = 0, jikaπ < t < π in t, jikat > π, Carilah L(f). Penyeleaian f(t) 0 π π 3π 4π Fungi f di ata dapat ditulikan dalam bentuk kombinai dari fungi-fungi tangga atuan: f(t) = u(t) u(t-π) + u(t-π)int = u(t) u(t-π) + u(t-π)in(t-π), Sehingga L(f) = L(u(t) u(t-π) + u(t-π)in(t-π)) 6-9

20 oh = / e -π / + e -π /( +). Contoh Repone uatu item tanpa redaman terhadap gelombang tunggal peregi diberikan oleh maalah nilai awal dengan y + y = r(t), y(0) = 0, y (0) = 0,, untuk 0 < t < r ( t) = 0, untuk t yang lain. Seleaikanlah maalah nilai awal terebut dengan menggunakan tranformai Laplace. Penyeleaian. Dengan menggunakan teorema untuk tranformai Laplace turunan, maka peramaan pengganti dari PD di ata adalah yang eleaiannya adalah Y + Y = / e - /, e Y ( ) = ( + ) ( + ) = ( Sehingga inver tranformainya adalah Atau + ) e ( +. ) y ( t) = ( co t) ( co ( t )) u( t ), 6-0

21 ( co t), jika 0 t < y ( t) = co ( t ) co t, jikat > Latihan Gunakan teorema pergeeran pada umbu t untuk mencari Tranformai Laplace dari:. (t-)u(t-). (t-) u(t-). u(t-π)cot 3. e -t u(t-). 4. Seleaikan maalah nilai awal y +3y +y = r(t), y(0) = 0, y (0) = 0, dengan, untuk 0 < t < r ( t) =. 0, untuk t yang lain Turunan Tranformai Laplace Sifat-ifat tranformai Laplace eperti telah diuraikan di depan dapat dipergunakan untuk menentukan tranformai atau inver tranformai dari beberapa fungi. Penggunaan ifat turunan dan integral tranformai akan dapat melengkapi keampuhan dari tranformai Laplace. Dengan menggunakan definii dari tranformai Laplace, kita dapat menunjukkan bahwa jika F() adalah tranformai Laplace dari f, maka F () adalah tranformai Laplace dari tf(t), atau L(tf(t)) = -F (). 6 -

22 Dengan menggunakan ifat ini kita dapat menambahkan rumu tranformai Laplace dari beberapa fungi: L(f) f(t) () ( + β ) (in βt βt co βt) 3 β () ( + β ) t βt β in (3) ( + β ) (in βt + βt co βt) β Rumu-rumu di ata diturunkan dari rumu tranformai inβt dan co βt, yaitu: Ambil f(t) = inβt, maka β L(inβt) = + β = F(), Sehingga β F () = ( + β ), Sehingga menurut rumu turunan tranformai diperoleh β L(tinβt) = ( + β ),...(i) Selanjutnya, ambil g(t) = coβt, maka L(coβt) = + β = G(), 6 -

23 Sehingga β G () = ( + β ), Sehingga menurut rumu turunan tranformai diperoleh ( β ) L(tcoβt) = ( + β ),...(ii) Dengan membagi (i) dengan diperoleh β L( tinβt) = β ( + β ) Atau L - ( ( + β ) ) = tinβt, β rumu () terbukti. Dengan mengalikan (ii) dengan β dan kemudian menambahkan rumu tranformai Laplace untuk inβt, diperoleh L(inβt+βtcoβt) = ( β + β ) β ( β ) ( + β ) + β ( + β ) + β ( ( + β ) = β ) β + β ) = (, Sehingga diperoleh 6-3

24 L( (inβt+βtcoβt)) = β ( + β ) Rumu (3) terbukti. Secara ama, dengan mengalikan (ii) dengan β dan kemudian dikurangkan dengan rumu tranformai Laplace untuk inβt, diperoleh L(inβt-βtcoβt) = ( β + β ) β ( β ) ( + β ) - β ( + β ) β ( ( + β ) = β ) 3 β + β ) = (, Sehingga diperoleh L( 3 β (inβt-βtcoβt)) = ( + β ), Rumu () terbukti. Latihan 6.7 Gunakan turunan tranformai Laplace untuk menentukan tranformai Laplace dari:. t e t. t e t 3. t e -t 4. t in 3t 5. t co t 6-4

25 6. te -t co t 7. t e -t inωt 8. t inh t 9. t inh t 0. t e -t coh t 6.8 Integral Tranformai Laplace Jika F() merupakan tranformai Laplace dari f(t), dan limit dari f(t)/t untuk t menuju nol ada, kita dapat mempertanyakan hubungan antara tranformai Laplace dari f(t)/t dengan F(). Hubungan terebut diberikan oleh: L(f(t)/t) = F ( ~ ) d ~. Hubungan di ata dapat digunakan untuk menambah beberapa rumu tranformai Laplace atau inver tranformai laplace. Sebagai contoh kita dapat mencari inver ω tranformai dari ( ln( + ), dengan langkah-langkah ebagai berikut: Dengan melakukan penurunan diperoleh d d ω ω (ln( + ) = ( + ω ) Jika diambil = + ω, F() = + ω, 6-5

26 Maka f(t) = L - (F()) = L - ( ) + ω = co ωt. Dengan menggunakan integral tranformai Laplace diperoleh: L(( co ωt)/t) = ( ~ ~ L(f(t)/t) = F ( ~ ) d ~. ~ ) d~ + ω ω = [- ln( + ) ] ~ Atau ω = ln( + ), L - ω ( ln( + ) )= (-coωt)/t. Contoh lain, dengan penggunaan rumu integral tranformai kita dapat memperoleh L - a ( ln( ) )= (-coh at)/t. Latihan 6.8 Gunakan integral tranformai Laplace untuk menentukan tranformai Laplace dari:. ( + ) 6-6

27 ( + 4) ( ( 6 9) ) ln 5 + a 6. ln + b 7. + ln ( ) 8. arc cot (/ω). 6-7

28 RINGKASAN BAB VI TRANSFORMASI LAPLACE Tranformai Laplace merupakan alah atu metode yang digunakan untuk menyeleaikan uatu peramaan diferenial dan maalah nilai awal. Proedur terebut dapat digambarkan dalam bagan berikut: Peramaan Differenial/ Maalah Nilai Awal TL Peramaan Pengganti Manipulai aljabar Seleaian PD/MNA Inver TL Seleaian Peramaan Pengganti Gambar Proe penyeleaian peramaan differenial atau maalah nilai awal dengan menggunakan Tranformai Laplace. 6.. Pengertian Tranformai Laplace Definii. Mial f(t) terdefiniikan untuk t 0. Dibentuk fungi F dengan F() = e t f(t)dt

29 Jika F() ada maka F() diebut tranformai Laplace dari f(t) dan dinotaikan dengan L(f). Dalam hal ini f(t) diebut tranformai inver dari F() dan dinotaikan dengan L - (F). Jadi, F() = L(f) = 0 e t f(t)dt f(t) = L - (F). Teorema. (Sifat Linier): Jika L(f(t)) dan L(g(t)) ada dan a, b kontan maka L{af(t)+bg(t)} = al(f(t))+bl(g(t)). 6.. Keujudan Tranformai Laplace Teorema : Mial f(t) fungi yang kontinu perbagian (piecewie continuou) pada etiap interval dalam range t 0 dan memenuhi f(t) Me γt, untuk etiap t 0, Dengan γ dan M kontan. Maka tranformai Laplace dari f(t) ada untuk emua >γ. Perhatian:. Teorema di ata merupakan yarat cukup dari ekiteni Tranformai Laplace, bukan yarat perlu.. Jika Tranformai Laplace dari uatu fungi ada maka tranformai itu tunggal. 6-9

30 3. Jika dua buah fungi mempunyai Tranformai Laplace yang ama maka dua fungi itu hanya berbeda pada titik-titik teriolainya aja. Jadi dapat dikatakan bahwa inver dari uatu Tranformai Laplace ecara eenial adalah ama. Dalam hal fungi kontinu, maka keduanya benar-benar ama Tanformai Laplace Turunan Teorema 3: Mial f(t) kontinu untuk t 0 dan memenuhi yarat teorema dan mempunyai turunan f (t) yang kontinu perbagian pada etiap interval hingga dalam range t 0. Maka TL dari f (t) ada untuk >γ dan diberikan oleh L(f ) =L(f) f(0), (<γ). Teorema 4: Mial f(t), f (t), f (t),,f (n-) (t) fungi-fungi kontinu untuk t 0, dan memenuhi yarat dalam teoema untuk uatu γ dan M dan mial f (n) (t) kontinu perbagian pada etiap interval dalam range t 0. Maka TL f (n) ada jika >γ dan diberikan oleh: L(f (n) ) = n L(f) n- f(0) n- f (0) - f (n-) (0) Tranformai Laplace Integral. Teorema 5: Jika f(t) kontinu perbagian dan memenuhi yarat dari teorema, maka t L( f( τ )dτ )= L(f (t)), dengan >0 dan >γ. 0 Dari hubungan dalam teorema 5, dapat ditunjukkan; 6-30

31 t L { F()} = f( τ )dτ Pergeeran pada Sumbu Teorema 6 (pergeeran pada umbu ) Jika f(t) mempunyai tranformai Laplace F() dengan >γ, maka e at f(t) mempunyai tranformai F(-a) dengan -a>γ. Jadi L - (F(-a))=e at f(t). Beberapa rumu yang dapat diturunkan dengan menggunakan teorema terebut adalah f(t) L(f) e at t n n! n+ ( a) e at coωt a ( a) + ω e at inωt ω ( a) + ω 6.6 Pergeeran pada Sumbu t Teorema (Pergeeran pada umbu t) Jika f(t) mempunyai tranformai Laplace F() dan fungi f didefiniikan dengan 0, t < a f ( t) = f ( t a), t > a. 6-3

32 dengan a 0, maka tranformai Laplace dari f (t) adalah e -a F(). 6.7 Turunan Tranformai Laplace. Dengan menggunakan definii dari tranformai Laplace, kita dapat menunjukkan bahwa jika F() adalah tranformai Laplace dari f, maka F () adalah tranformai Laplace dari tf(t), atau L(tf(t)) = -F (). Dengan menggunakan ifat ini kita dapat menambahkan rumu tranformai Laplace dari beberapa fungi: L(f) f(t) () ( + β ) (in βt βt co βt) 3 β () ( + β ) t βt β in (3) ( + β ) (in βt + βt co βt) β 6.8 Integral Tranformai Laplace Jika F() merupakan tranformai Laplace dari f(t), dan limit dari f(t)/t untuk t menuju nol ada maka L(f(t)/t) ada dan L(f(t)/t) = F ( ~ ) d ~. 6-3

33 Tabel Tranformai Laplace No. F() = L(f(t)) f(t) t a- /Γ(a) a, a>0 e at a ( a) t te at 6. ( a) n, n =,, n t ( n )! e at 7. ( a) k, k>0 k t Γ( k) e at bt at, a b ( e e ) ( a)( b) ( a b) bt at, a b ( ae be ) ( a)( b) ( a b) ω + ω a ω inωt co ωt inh at a 6-33

34 a ( a) a + ω ( a) + ω ( ( ( + ω ) + ω ) + ω ) ( + ω ) coh at e at inωt ω e at co ωt ( coωt) ω ( ωt inωt) 3 ω (inωt ωt coωt) 3 ω ω inωt 0. (inωt + ωt coωt) ( + ω ) ω. ( + a )( + b, a ) b. e -a / u(t-a) 3. e -a δ(t-a) b a (co at cobt) ln ln t γ, γ=0,577 at a bt ln ( e e ) b t 6-34

35 ln + ω a ln arctan ω ( coωt) t ( coh at) t inωt t 6-35