Transformasi Laplace

Transkripsi

1

2 Tranformai Laplace Muhafzan Agutu 22

3 Tranformai Laplace 3 Denii Tranformai Laplace Dalam bagian ini kita akan membicarakan ifat-ifat dan beberapa aplikai dari tranformai Laplace. Denii Diberikan uatu fungi f(t) dengan t : Maka tranformai Laplace dari f; dinyatakan dengan Lff(t)g; atau F (), dideniikan oleh peramaan berikut: Lff(t)g = F () = Z e t f(t)dt: () Karena tranformai Laplace dideniikan oleh uatu integral pada [; ) maka kita perlu meninjau kembali konep integral tak wajar (improper integral) Suatu integral tak wajar pada uatu interval tak terbata [; ) dideniikan ebagai Jika lim b! Z b a Z a f(t)dt = lim b! Z b a f(t)dt; b > (2) f(t)dt ada; maka integral tak wajar dikatakan konvergen.

4 Tranformai Laplace 4 Dalam hal ebaliknya integral tak wajar dikatakan divergen. Contoh : Mialkan f(t) = e ct ; t : Maka Z e ct dt = lim b! Z b e ct b! = lim c e ct dt b = lim b! c ebc (3) Dari peramaan (3) dapat diimpulkan bahwa integral tak wajar konvergen jika c < dan divergen jika c : Suatu fungi f dikatakan kontinu bagian demi bagian (piecewie continuou) pada interval t jika f kontinu dalam interval t kecuali diejumlah berhingga titik dimana f dikontinu loncat (jump dicontinuou). Sebagai contoh, perhatikan gambar berikut:

5 Tranformai Laplace 5 Gambar. Fungi kontinu bagian demi bagian Soal: Jika f kontinu bagian demi bagian pada interval a t b; tunjukkan bahwa f(t)dt ada. R b a Dalam peramaan () parameter diperbolehkan bernilai komplek, tetapi dalam kuliah ini kita hanya memperhatikan untuk 2 R:

6 Tranformai Laplace 6 Theorem Anggaplah bahwa. f kontinu bagian demi bagian dalam interval t b untuk ebarang b > 2. jf(t)j Ke at bila t M; dimana K > ; M > : Maka tranformai Laplace Lff(t)g = F () ada untuk > a: Contoh 2: Mialkan f(t) = ; t : Maka Lfg = Z = lim b! e t dt = lim b e t b! = lim b! (e b ) = ; > Z b e t dt

7 Tranformai Laplace 7 Contoh 3: Tentukan Lfe at )g; dengan t : Jawab. Lfe at ) = Z = lim b! e t e at dt = e ( a)t b Z e ( a = lim b! a (e ( a)b ) = a ; > a: a)t dt

8 Tranformai Laplace 8 Contoh 4: Tentukan Lfin at); t : Mialkan Lfin at) = F (); maka F () = Z = lim b! = lim b! = a = a = a e t in at dt Z b " e t in at dt e t b co at a Z a Z b e t co at dt a Z b a lim e t co at dt b! " a lim e t b in at b! a + a e t co at dt Z b # e t in at dt #

9 Tranformai Laplace 9 = a = a = a = a ( + 2 a 2)F () = a F () = 2 Solui Maalah Nilai Awal a + Z! b a lim e t in at dt b! Z e t in at dt a a 2 Z a 2 2 a2f () a 2 + a2; > : e t in at dt Dalam bagian ini, akan kita tunjukkan bagaimana menggunakan tranformai Laplace untuk menyeleaikan maalah nilai awal untuk peramaan diferenial linier dengan

10 Tranformai Laplace koeien kontan. Theorem 2 Mialkan f kontinu dan f kontinu bagian demi bagian pada ebarang interval t b: Selanjutnya, anggaplah ada kontanta K; a dan M edemikian ehingga jf(t)j Ke at untuk t M. Maka Lff (t)g ada untuk > a dan Lff (t)g = Lff(t)g f(): Untuk membuktikan teorema ini, perhatikan yang berikut: Lff (t)g = Z = lim b! Z b e t f (t)dt = lim e t f (t)dt " b! e t f(t) Z # b b + e t f(t)dt = lim e b f(b) f() + lim b! = f() + Z b! Z b e t f(t)dt e t f(t)dt = f() + Lff(t) = Lff(t)g f():!

11 Tranformai Laplace Soal: Dengan cara yang ama, buktikan bahwa Lff (t)g = 2 Lff(t)g f() f (); dan ecara umum, buktikan bahwa Lff (n) (t)g = n Lff(t)g n f() f (n 2) () f (n ) (): Tranformai Laplace untuk beberapa fungi f(t) diberikan dalam tabel berikut:

12 Tranformai Laplace 2 Contoh 5: Seleaikan maalah nilai awal y y 2y = y() = ; y () =

13 Tranformai Laplace 3 Jawab: Lfy ) Lfy ) Lf2y) = Lf) 2 Lfy) y() y () [Lfy) y()] 2Lfyg = ( 2 2)Lfy) + ( )y() y () = ( 2 2)Y () + ( )y() y () = dimana Y () = Lfy): Dengan menubtituikan y() = ; y () =, diperoleh yang dapat dituli ebagai ( 2 2)Y () + ( ) = Y () = 2 2 = ( 2)( + ) Untuk mendapatkan olui maalah nilai awal di ata, kita haru mencari fungi Y (t)

14 Tranformai Laplace 4 yang tranformai Laplacenya adalah Y (): Tuli Y () ebagai berikut: Y () = = ( 2)( + ) = A ( 2) + B ( + ) A( + ) + B( 2) (A + B) + A 2B = : ( 2)( + ) ( 2)( + ) Dengan menyamakan pembilang kedua rua, kita peroleh SPL A + B = A 2B = yang mempunyai penyeleaian B = 2 3 dan A = 3 : Jadi, kita dapat menuli Y () ebagai berikut: Y () = dan memberikan Y (t) ebagai berikut: 2 ( 2)( + ) = 3 ( 2) + 3 ( + ) ; Y (t) = 3 e2t e t

15 Tranformai Laplace 5 Contoh 6: Seleaikan maalah nilai awal Jawab: y iv y = y() = y () = y () = ; y () = Lfy iv ) Lfy) = Lf) 4 Lfy) 3 y() 2 y () y () y () Lfyg = ( 4 )Lfyg 3 y() 2 y () y () y () = ( 4 )Lfyg 2 = 2 Y () = Lfyg = ( 4 ) = 2 ( 2 )( 2 + ) dimana Y () = Lfy): Untuk mendapatkan olui maalah nilai awal di ata, kita haru mencari fungi Y (t) yang tranformai Laplacenya adalah Y (): Tuli Y () ebagai

16 Tranformai Laplace 6 berikut: 2 Y () = ( 2 )( 2 + ) = A + B ( 2 ) + C + D ( 2 + ) = (A + B)(2 + ) + (C + D)( 2 ) ( 2 )( 2 + ) = A3 + B 2 + A + B + C 3 + D 2 C D ( 2 )( 2 + ) = (A + C))3 + (B + D) 2 + (A C) + B D ( 2 )( 2 + ) Dengan menyamakan pembilang kedua rua, kita peroleh SPL A + C = B + D = A C = B D = yang mempunyai penyeleaian B = 2 ; D = 2 dan A = C = : Jadi, kita dapat menuli

17 Tranformai Laplace 7 Y () ebagai berikut: Y () = dan memberikan Y (t) ebagai berikut: 2 ( 2 )( 2 + ) = 2 ( 2 ) + 2 ( 2 + ) ; Y (t) = 2 inh at + 2 in at Soal: Cari penyeleaian peramaan diferenial. y + y = in 2t dengan yarat awal y() = 2; y () = : 2. y 2y 2y = dengan yarat awal y() = 2; y () = : 3. y + 2y + y = 4e t dengan yarat awal y() = 2; y () = 4. y y 6y = dengan yarat awal y() = ; y () = ::

18 Tranformai Laplace 8 3 Fungi Tangga Fungi tangga atuan (unit), dinotaikan dengan u c ; dideniikan ebagai ; t < c u c (t) = c ; t c Grak dari y = u c (t) diperlihatkan dalam gambar 3. dan y = dalam gambar 3.2 dibawah ini. u c (t) diperlihatkan Gambar 3. Gambar 3.2 Contoh 7: Diketahui uatu fungi yang dideniikan ebagai berikut: h(t) = u (t) u 2 (t); t :

19 Tranformai Laplace 9 Tulikan bentuk ekpliit dari fungi tangga h(t), dan gambarkan keta graknya. Jawab: 8 < = ; t < h(t) = = ; t < 2 : = ; t 2 Sketa graknya ebagai berikut: Mialkan fungi g dideniikan ebagai berikut: ; t < c y = g(t) = f(t c); t c

20 Tranformai Laplace 2 Fungi ini merepreentaikan uatu tranlai dari f ejauh c dalam arah t poitif. Fungi g(t) juga dapat dituli ebagai g(t) = u c (t)f(t c)

21 Tranformai Laplace 2 Graknya eperti yang diperlihatkan dalam gambar berikut: (a). y = f(t) (b). y = u c (t)f(t c) Tranformai Laplace dari u c (t) adalah ebagai berikut: Lfu c (t)g = Z = lim b! Z e t u c (t)dt = c e t b = lim c e t dt = lim b! b! b (e e Z b c e t dt c ) = e c ; >

22 Tranformai Laplace 22 Theorem 3 Jika F () = Lff(t)g ada untuk > a ; dan jika c > maka Lfu c (t)f(t c)g = e c Lff(t)g = e c F (); > a Sebaliknya, jika f(t) = L ff ()g; maka u c (t)f(t c) = L fe c F ()g Untuk memperlihatkan kebenaran teorema di ata, cukup menghitung tranformai Laplace dari u c (t)f(t c); yaitu: Lfu c (t)f(t c)g = = Z Z c e t u c (t)f(t e t f(t c)dt c)dt

23 Tranformai Laplace 23 Mialkan = t c; maka Lfu c (t)f(t c)g = Z e (+c) f()d Z = e c e f()d = e c F () Contoh 8. Mialkan in t; f(t) = in t + co(t Carilah Lff(t)g: Jawab: Tuli f(t) = in t + g(t); dengan ; g(t) = co(t t < 4 4 ); t 4 t < 4 4 ); t 4

24 Tranformai Laplace 24 Sehingga dan g(t) = u (t) co(t 4 4 ); Lff(t)g = Lfin tg + Lfu (t) co(t 4 = Lfin tg + e 4 Lfco tg = e e 4 = 2 + : Coba bandingkan hail yang ini dengan nilai Lff(t)g yang diperoleh dari perhitungan menggunakan denii. 4 )g Contoh 9. Tentukan tranformai Laplace dari ; t < 2 f(t) = (t 2) 2 ; t 2

25 Tranformai Laplace 25 Jawab: Fungi f(t) dapat juga dituli menjadi f(t) = u 2 (t)(t 2) 2 : Maka berdaarkan teorema 3, dapat kita hitung: Lff(t)g = Lfu 2 (t)(t 2) 2 g = e 2 Lft 2 g = e 2 : 2 2 2e = : 3 3 Contoh. Tentukan tranformai Laplace dari ; t < f(t) = t 2 2t + 2; t Jawab: Fungi f(t) dapat juga dituli menjadi f(t) = u (t)(t 2 2t + 2) = u (t) (t ) 2 + :

26 Tranformai Laplace 26 Maka berdaarkan teorema 3, dapat kita hitung Lff(t)g = Lfu (t) (t ) 2 + g = Lfu (t)(t ) 2 g + Lfu (t)g = e Lft 2 g + Lfu (t)g = e : 2 + e 3 = e : 3 Contoh. Tentukan tranformai Laplace dari 8 < ; t < f(t) = t ; t < 2 : ; t 2

27 Tranformai Laplace 27 Jawab: Maka Lff(t)g = = = = Z Z Z 2 e t f(t)dt e t :dt + e t (t Z 2 )dt (t ) e t + = (t ) e t (t )dt + Z 2 e t = e 2 e 2 = e 2 e e t dt e t 2 + e 2 ( + ) 2 Z 2 e t: :dt

28 Tranformai Laplace 28 Contoh 2. Tentukan tranformai Laplace inver dari Jawab: F () = f(t) = L ff ()g = L f = t u 2 (t)(t 2) Fungi f(t) dapat juga dituli ebagai f(t) = e 2 2 : e 2 2 g = L f 2g L f e 2 2 g t; t < 2 2; t 2 Theorem 4 Jika F () = Lff(t)g ada untuk > a ; dan jika c uatu kontanta, maka Sebaliknya, jika f(t) = L ff ()g; maka Lfe ct f(t)g = F ( c); > a + c: e ct f(t) = L ff ( c)g:

29 Tranformai Laplace 29 Contoh 3. Tentukan tranformai Laplace inver dari G() = : Jawab: Dengan melengkapi kwadrat dalam penyebut, diperoleh: G() = = ( 2) 2 + = F ( 2); dimana F () = 2 + : Karena L ff ()g = in t; maka berdaarkan teorema 4 diperoleh bahwa g(t) = L fg()g = e 2t in t: Contoh 4. Tentukan tranformai Laplace inver dari Jawab: Mialkan F ( 2) = G() = 3! ( 2) 4 3! 3! ( 2) 4; dimana F () = 4:

30 Tranformai Laplace 3 Karena L ff ()g = t 3 ; maka berdaarkan teorema 4 diperoleh bahwa g(t) = L fg()g = e 2t t 3 : Contoh 5. Tentukan tranformai Laplace inver dari Jawab: Mialkan F () = F () = e : e = e 2 ( )( + 2) : = e 2 A ( ) + B ( + 2) Akan dicari nilai A dan B; yaitu ebagai berikut: ( )( + 2) = A ( ) + B ( + 2) A( + 2) + B( ) = ( )( + 2) = (A + B) + 2A B : ( )( + 2)

31 Tranformai Laplace 3 Dari hubungan ini kita dapatkan SPL berikut: A + B = 2A B = Penyeleaian SPL ini adalah A = 3 dan B = 3 : Maka F () dapat kita tulikan menjadi ebagai berikut: F () = e = e 2 ( )( + 2) = e 2 3 ( ) + 3 ( + 2) C A e 2 = 3( ) = e 2 2( ) e 3 ( ) e 2 3( + 2) = e 2( ) e 2 3 ( ) e 4 e 2(+2) 3 ( + 2) e 2(+2) e 4 3 ( + 2)

32 Tranformai Laplace 32 Mialkan dimana Karena dan F ( ) = e 2 2( ) e 3 ( ) F () = e 2 3 e 2 dan dan F 2 ( + 2) = e4 3 F 2 () = e4 3 f (t) = L ff ()g = e 2 3 u 2(t) f 2 (t) = L ff 2 ()g = e4 3 u 2(t); e 2 : e 2(+2) ( + 2) ;

33 Tranformai Laplace 33 maka berdaarkan teorema 4, didapat L ff ()g = L ff ( ) F 2 ( + 2)g = L ff ( )g L ff 2 ( + 2)g = e t f (t) e 2t f 2 (t) = e 2 3 u 2(t)e t e 4 3 u 2(t)e 2t : = 3 u 2(t) e t 2 e 2(t 2) : 4 Solui Maalah Nilai Awal Dengan Fungi Gaya Dikontinu Dalam bagian ini kita akan memfokukan pada beberapa contoh dimana uku-uku nonhomogen (fungi daya) adalah dikontinu. Contoh 6. Tentukan olui peramaan diferenial y + y y = g(t); y() = y () = ;

34 Tranformai Laplace 34 dengan Jawab: g(t) = u (t) = ; t < ; t Lfy + y + 5 yg = Lfg(t)g 4 Lfy g + Lfy g + Lf 5 yg = Lfg 4 Lfu (t)g 2 Y () y() y () + (Y () y()) Y () = Y () ( + )y() y () = Y () = e 4 Y () = e e e

35 Tranformai Laplace 35 Tuli Y () ebagai berikut: Y () = ( e )H(); dengan H() = : Maka, jika h(t) = L fh()g akan kita dapatkan y(t) = h(t) u (t)h(t ): Sekarang, gunakan metoda pecahan parial untuk mendapatkan h(t): H() = = A + B + C = A (B + C) = (A + B)2 + (A + C) A ; 4

36 Tranformai Laplace 36 diperoleh A + B = A + C = 5 4 A = Maka nilai A; B dan C yang memenuhi SPL diata adalah A = 4 5 ; B = C = 4 5 : Sehingga 4 4 H() = = = = 4 4 ( + 2 ) ( + 2 )2 +

37 Tranformai Laplace 37 Dengan demikian Karena h(t) = L (H()g ( = L 4 5 = L 4 5 = 4 5 = ( + 2 ) + ) 2 5( + 2 )2 + ( L 4 ( + 2 ) + ) 2 5( + 2 )2 + ( ( + L 2 ) ) ( ( + + L 2 )2 + e 2 t co t + 2 e 2 t in t y(t) = h(t) u (t)h(t ); 2 ( + 2 )2 + )!

38 Tranformai Laplace 38 maka kita peroleh y(t) = 8 < : e 2 t co t e 2 t in t ; t < ( + e 4 2) 5 e 2 t co t e 2 t in t ; t Contoh 7. Tentukan olui peramaan diferenial y + y = u (t); 2 y() = ; y () = : Jawab: Lfy + yg = Lfu (t)g 2 Lfy g + Lfyg = Lfu (t)g 2 2 Y () y() y () + Y () = e 2

39 Tranformai Laplace 39 Sekarang, tuli ( 2 + )Y () = e 2 ( 2 + )Y () = + e 2 e 2 ( 2 + ) ebagai e 2 ( 2 + ) = e 2 Y () = ( 2 + ) e 2 ( 2 + ) A = e 2 + B + C 2 + = e 2 A( 2 + ) + (B + C) ( 2 + ) (A + B) = e C + A ; ( 2 + )

40 Tranformai Laplace 4 maka diperoleh A = ; C = dan B = dan e 2 ( 2 + ) = e 2 Y () = Y () = : Sehingga kita dapatkan e = e e 2 ( 2 + ) e 2 e :

41 Tranformai Laplace 4 Dengan demikian kita peroleh y(t) = L fy ()g = L e e = L + L = co t + u (t) (t) co(t 2 u 2 ; t < = co t + 2 ; t co(t 2 co t; t < = 2 co t in t + ; t 2 2 ) 2 2 ) e L e ; t < 2 ; t 2 Soal:. Tentukan olui peramaan diferenial berikut: y + y = f(t); y() = ; y () = ;

42 Tranformai Laplace 42 dengan Jawab: f(t) = ; t < 2 ; t 2 y(t) = co t + in t u (t) ( in t) : 2 2. Tentukan olui peramaan diferenial berikut: y + 2y + y = f(t); y() = ; y () = ; dengan Jawab: y(t) = f(t) = ; t < ; t u (t) e (t ) (t )e (t )

43 Tranformai Laplace Tentukan olui peramaan diferenial berikut: Jawab: y + y = u (t); y() = ; y () = ; y(t) = co t + u (t) ( + co t)