ÚÚ Ú Ú Ú Ú. Integral lipat dua pada daerah persegi panjang

Transkripsi

1 Koko Mrtono FMIPA - ITB 99 Integrl lipt du pd derh persegi pnjng i = f () c i b Lus = f () d [ b, ] z z = f (,) b da B c d = Volum B fda (, ) d c da b Integrl tunggl Integrl dri fungsi kontinu = f () pd selng tutup [,b] didefinisikn sebgi () b () lim n f d = ( ) [ b, ] fd =  fc i i i, P Æ = P = { =,,, n = b} sutu prtisi untuk [,b], c i [ i, i ], i = i i, dn P = mks i. i n Integrl lipt du Integrl lipt du dri fungsi kontinu z = f (,) pd persegi pnjng tutup = {(,) : b, c d} didefinisikn sebgi  (,) lim n f da = f( c, ) i i d i A i, P Æ = P sutu jring untuk, (c i,d i ) komp.jring ke-i, A i = i i, dn P = mks Ai. i n Integrl berulng Integrl lipt du f (,) da dihitung dengn mentknn sebgi b d d b f (,) da= f(,) dd= f(,) dd. c c Kedu integrl ng terkhir dikenl sebgi integrl berulng.

2 K I FSP Contoh Hitunglh Cr lin ( - ) da, = {(, ): -, }. ( ) ( - ) da = ( - ) d d = - d - - = ( ) d = ( - 8 ) d = ( ) - = - = ( ) da ( ) dd d 8 ( ) ( ) = d = - d = -6. Contoh Hitunglh p p/ sin sin( ). I = + e dd Ubhlh urutnn dlm d d kren p p/ sin p/ sin p p/ sin p p/ ( ) ( ) p / sin sin p / sin sin( + ) e d sukr dihitung. I = sin( + ) e dd = e sin( + ) d( + ) d sin = e - cos( + ) d = e cosd = e d(sin ) = e = ( e- ) ª,66. Contoh Hitunglh = - / I e d d. Ubhlh urutnn dlm d d kren ( ) ( ) - ( ) ( ) ( ) - e / d sukr dihitung. - / - / - / ( ) I = e d d = e d d = e d d - / - / - / - = e d = e - d = e d - d / / =- e d - d =- e + =- e + e+ - = e- e - ª,5696

3 K I FSP Integrl lipt du pd derh bukn persegi pnjng persegi pnjng d c b fungsi = β () α () β () fungsi = α () b erh Tipe d fungsi fungsi = γ ( ) = δ ( ) γ ( ) δ ( ) c erh Tipe Akn dihitung integrl lipt du dri fungsi kontinu z = f (,) pd derh. (gmbr kiri) erh dibtsi beberp kurv kontinu dn dpt dibingki oleh persegi pnjng = {(,) : b, c d}. erh tipe- Proeksi terhdp sumbu dlh selng tutup [,b], bts bwhn kurv kontinu = α () dn bts tsn kurv kontinu = β (), itu = {(,) : b, α () β ()}. (gmbr tengh) Integrl berulng dri fungsi z = f (,) pd derh tipe- dlh b() f (,) da= f(,) dd. () erh tipe- Proeksi terhdp sumbu dlh selng tutup [c,d], bts bwhn kurv kontinu = γ () dn bts tsn kurv kontinu = δ (), itu = {(,) : c d, γ () δ ()}. (gmbr knn) Integrl berulng dri fungsi z = f (,) pd derh tipe- dlh d d () f (,) da= f(,) dd c g () b. Integrl berulng pd derh tipe- dpt diubh ke derh tipe- dengn cr mencri invers bts derhn. Bentuk limit jumlh integrl lipt du pd derh tipe- dn tipe- n Ï f (,),(,) Œ fda (,) = lim  Fcd (, ), (,) i i i Ai F P = =Ì, Æ Ó,(, ) Œ- P sutu jring untuk, (c i,d i ) komp.jring ke-i, A i = i i, dn P = mks Ai. i n

4 K I FSP Arti geometri integrl lipt du pd derh bukn persegi pnjng z S: z = f (,), (,) bidng tetp (//oz) irisn S dengn bidng tetp c d α () β () b derh bergerk tetp Untuk bidng tetp ( b) ng memotong derh di α () dn β (), lus irisnn dlh = b() L () f (,) d () Volum bend pdtn dlh b b b() V = L () d = f (,) dd () z S: z = f (,), (,) bidng tetp (//oz) irisn S dengn bidng tetp c d δ ( ) b derh tetp bergerk Untuk bidng tetp (c d) ng memotong derh di γ () dn δ (), lus irisnn dlh = d () L () fd (,) g () Volum bend pdtn dlh d d d () V = L () d = f (,) dd c c g () γ ( ) Integrl lipt du untuk menghitung lus derh Untuk menghitung lus derh tipe- dn tipe- mbillh z = f (,) =, mk secr numerik volum bend ng dihsilkn sm dengn lus derh. b z bidng z = c d Lus derh tipe- = {(,): b, α () β ()} dlh b b() da = dd. () Lus derh tipe- = {(,): c d, γ () δ ()} dlh d d ( ) da = d d. c g ( )

5 K I FSP, Contoh Gmbrkn derh pengintegrln I = + dd ubhlh urutn integrln kemudin hitunglh I. = = = = erh pengintegrln ri bentuk I = + dd diperoleh rentng dri smpi, bts tsn gris =, dn bts bwhn prbol =. Jdi derh pengintegrln I dlh = {(,) :, }, ng diperlihtkn gmbr di smping. Untuk mengubh urutn integrln, proeksi derh diubh dri ke sumbu menjdi ke sumbu. Hsiln dlh rentng dri smpi, bts kirin dlh sumbu (gris = ), dn bts knnn dlh invers fungsi =. Kren invers dri =, dlh =,, mk derh dpt ditulis dlm bentuk = {(,) :, }. Jdi perubhn urutn integrl I dlh Integrl I dlh. I = + dd = + dd I = + dd = + d( + ) d ( ) ( ) ( ) / / / = Ê ˆ d Ê 6 ˆ + = - d Ë Ë ( ) d ( ) d ( ) 6 6 = - = - = -. Cttn lm ksus ini integrln lebih mudh dihitung dengn cr di ts kren fungsi primitif dri u() = + d sukr ditentukn.

6 K I FSP Contoh Hitunglh volum bend pdt ng dibtsi tbung + = dn tbung + z =. z + = + z = z z= - = - B B + = Bend B di oktn pertm Volum B = 8 kli volum B erh pengintegrln untuk bend B Pd gmbr kiri diperlihtkn du tbung ng beririsn dengn kedu sumbu berpotongn di titik sl (,,). Irisn kedu tbung dlh bend B ng di oktn pertm diperlihtkn gmbr kiri. Pd gmbr tengh diperlihtkn irisn kedu tbung di oktn pertm. Bend B terletk di bwh permukn tbung z = - dn di ts lingkrn + = di bidng o ng terletk di kudrn. Volum tbung ng kn dicri sm dengn 8 kli volum bend B. Pd gmbr knn diperlihtkn derh pengintegrln untuk bend B, itu derh di kudrn pertm ng dibtsi lingkrn + =. erh dpt dituliskn dlm bentuk = {(, ) :, - } Volum bend B ng dibtsi du tbung dlh - V = 8 volum B = 8 - d d - dd d ( ) d ( ) ( ) = 8 - = = 8 - = 8 - = 8 - = 5.

7 K I FSP 5 = + (,) (,) = Ilustrsi Kurv = dn gris = + ng berpotongn di (,) dn (,) membentuk derh = {(, ): -, + } Lus dlh L da + = = dd = ( + - ) d ( ) = + - = =. Contoh Gmbrkn derh ng dibtsi kurv =, gris = +, dn sumbu. Ntkn lus sebgi integrl lipt du dlm du cr kemudin hitunglh lus. - (,) = + = = =, Kurv = dn gris = + berpotongn di titik (,) kren. Proeksi pd sumbu dlh selng [,], bts kirin gris =, dn bts knnn kurv =. Akibtn, = {(, ):, - } dn lus dlh L = da = dd. - Proeksi pd sumbu dlh selng [,] = [,] [,]. engn meliht bts ts dn bts bwhn di setip selng ini diperoleh = {(, ): -, - }»{(, ):, - } dn lus dlh + + L = da = dd + dd - engn integrl lipt du ng pertm, lus derh dlh ( ( ) ) ( ) - ( ) L = dd = - - d = - + d = - + = - + =

8 K I FSP 6 O θ titik kutub P( -, ) r P = P(r,θ ) r rdius vektor sumbu kutub θ ttk-ktb sb-ktb r sinθ P(r,θ ) P(,) r θ r cosθ r = sinθ + = r = c c prmeter θ = k k prmeter Koordint kutub Sistem koordint kutub terdiri dri du komponen, titik kutub O dn sumbu kutub berbentuk sinr dri O ke knn. lm sistem ini titik PŒ diidentifiksi sebgi P(r,θ ), r = OP dn θ = (OP,sb-kutub). dius vektor OP ; θ positif jik berlwnn jrum jm dn θ negtif jik serh jrum jm. Ilustrsi Jrk titik P( -, ) ke O(,) dlh dn θ = (OP,sb-kutub) = p+ np, nœ. Koordint kutubn dlh P(, p), P(, - p), Kitn koordint kutub dengn krtesis P(r,θ ) P(,) r= + = r cos θ θ memenuhi r cos q =, sinq = r = r sin θ Fungsi dlm kordint kutub Fungsi dengn peubh bebs θ dn peubh tk bebs r sehingg (r,θ ) membentuk koordint kutub dinmkn fungsi dlm koordint kutub, ditulis r = f (θ ). Ilustrsi Lingkrn + = dlm koordint kutub diperoleh dengn penggntin = r cos θ dn = r sin θ. ri r = r sin θ diperoleh persmn lingkrnn r = f (θ ) = sin θ. Ilustrsi Aturn r = c, c prmeter dlh kelurg lingkrn berpust di (,) dn θ = k, k prmeter dlh kelurg sinr bersl dri (,).

9 K I FSP 7 Integrl lipt du dlm koordint kutub θ = β r i θ = θ i A i θ = θ i jring kutub r = b r = r i r = r i (r i *,θ i *) r = θ = α * A= r r q i i i i θ i engn trnsformsi integrl ke koordint kutub (,) = (r cos θ, r sin θ ) diperoleh f (,) da= f (cos,sin r q r q ) rdrdq, * * = {(r,θ ) : α θ β, p(θ ) r q(θ )} Lus derh * = {(r,θ) : α θ β, p(θ ) r q(θ )} dlh b q() q da = rdrdq = rdrdq. * * p( q) Butlh jring untuk koordint kutub (liht gmbr) r konstn (lingkrn) dn θ konstn (sinr). Pilihlh titik ( ri*, qi* ) Œ Ai dengn ri* = ( ri- + ri). qi Kren ( ) i i i- i( i i-)( i i-) i* i i A = p p r - r = q r+ r r- r = r r q, mk dlm koordint kutub berlku da = r dr dθ. Contoh Gmbrkn derh di kudrn pertm ng terletk dlm lingkrn + = dn di lur lingkrn + = kemudin hitunglh lusn dengn integrl lipt du sistem koordint kutub. + = (,) derh + = θ = π / r = cosθ r = sinθ θ = derh Gunkn trnsformsi (,) = (r cos θ, r sin θ ), diperoleh + = r = r cosθ r = cosθ dn + = r = r sinθ r = sinθ. Kedu lingkrn berpotongn di (,) dn (,), ng dlm koordint kutub (,θ ) dn ( ) p q p, p. Lus = {( r, q): q p, sinq r cos q} / cos / ( q ) ( ) cosq L = rdrdq = r dq sinq sinq p/ p/ d p / sin. = (cos q - sin q) q = cosqdq = =

10 K I FSP 8 Contoh Jik derh terletk di dlm lingkrn + = dn di lur lingkrn + =, hitunglh I = +. da r = sinθ θ =5π/6 θ =π/6 Gunkn trnsformsi (,) = (r cos θ, r sin θ ), diperoleh + = r = sinθ dn + = r =. Kedu lingkrn ini berpotongn di titik, 5p, sehingg derh dlh (, 6 p ) dn ( 6 ) {(, rq): p q 5 p, r sinq} 6 6 =. Gunkn sin q d q =- (- cos q ) dcos q = cos q - cos q + C, diperoleh 5 p/6 sinq 5 p/6 sinq ( ) p/6 q /6 q p 5 p /6 5 p /6 8 (8sin q ) dq ( ) /6 cos q 8cosq q p p /6 5 ( 6p 6p) 9p,766. I = + da = r r drd = r d = - = - - = = - ª Contoh Hitunglh volum bend pdt ng dibtsi tbung + =, bidng o, dn bidng + z =. + z = + = z bidng dtr tbung tegk = {(,) : θ π, r } Gunkn trnsformsi (,) = (r cos θ, r sin θ ), diperoleh + z = z = r sinθ dn derh pengintegrlnn dlh = {(,) : θ π, r } Volum bend pdtn dlh p V = z da = ( -r sin q) r dr dq p p 8 ( ) ( ) sin 8 sin p ( 8q cosq) 6p 6 p. = r - r q dq = - q dq = + = =

11 K I FSP 9 Contoh Hitunglh volum bend pdt B ng dibtsi oleh prboloid z = + dn bidng z =. z z = B + = Proeksi B pd o dlh = {(, ): + }. Gunkn trnsformsi (,) = (r cos θ, r sin θ ), diperoleh bts bwh B dlh z = + z = r, bts ts B dlh z =, dn derh dlh = {( r, q): q p, r }. Volum bend pdt B dlh p V = ( -( + ) da = (-r ) rdrdq ( ) p p ( ) q p = dq = 8 p. = r- r drd = r - r dq Contoh Hitunglh volum bend pdt B ng dibtsi oleh prboloid z = + dn bidng z =. z bend pdt B bidng z = B + = Proeksi B pd o dlh derh = {(, ): + }. Gunkn trnsformsi (,) = (r cos θ, r sin θ ), diperoleh bts bwh B dlh z = + z = r, bts ts B dlh z = z = r sinθ, dn derh dlh = {( r, q): q p, r sin q}. Volum bend pdt B dlh V = ( - ( + ) da p sinq = (rsin q -r ) rdrdq sinq ( sin ) p ( ) p p sin = r q - r dq = qdq 8 8 d 8 = - cosq + cos q q = p = p.

12 K I FSP = r = secθ Contoh Hitunglh θ = π / (, ) = 6- r = θ = 6- / ( ). I = + d d erh pengintegrlnn dlh {(,):, 6 } = -. Titik potong kurv = 6 - dengn gris = dlh (, ), ng dlm koordint kutub dlh ( ), p. Gunkn trnsformsi (,) = (r cos θ, r sin θ ), diperoleh = r cosθ = r = sec θ, = = 6, r = 6, θ π r =, θ π, dn sumbu positif θ =, sehingg dlm koordint kutub lm koordint kutub: Integrl lipt dun dlh / = {( r, q) : q p, secq r }. f (,) = ( + ) - -/ - f (, rq) = ( r ) = r. 6 - / p/ - p/ - ( ) q secq secq I = + d d = r rdrd = r drdq p/ - p/ p/ ( ) ( ) ( ) sec sec cos q q p / ( sinq q) ( p) ( p). =- r dq =- - dq = q - dq = - = - = - Contoh Hitunglh -( + ) I= e da, = {(, ): +, > }. + = Gunkn trnsformsi (,) = (r cos θ, r sin θ ), derh menjdi = {(r,θ) θ π, r }. Integrln dlh p -r p -r q ( ) q p ( ) -r p - - e d e d e I = e rdrd =- e d -r d =- q = ( - ) q = ( - ) p.

13 K I FSP Trnsformsi integrl lipt du ke koordint kurviliner Trnsformsi = r cos θ dn = r sin θ menghsilkn f (,) da = f (cos r q,sin r q) rdrd q, * dengn = {(r,θ ) α θ β, p(θ ) r q(θ )}. Kren (, ) r q r q r q cosq -r sinq = = = r(cos q + sin q) = r, sinq r cosq mk trnsformsi integrl lipt du ke koordint kutub dpt ditulis (, ) r q f ( da, ) = f( rcos q, rsin q) drdq. Secr umum, trnsformsi = (u,v) dn = (u,v) dri koordint (,) ke koordint (u,v) mengikuti pol terkhir sehingg kit mempuni uv f (,) da = f (,) dd = f ( uv (,),(,) uv ) dudv, dengn = {(u,v) : α u β, p(u ) v q(u )} dn Pd trnsformsi ini uv (u,v) dinmkn koordint kurviliner. u tetp da v tetp u v uv u v =. dikenl sebgi determinn Jcobi dn Komponen jring: r = r(u,v) = (u,v) i + (u,v) j. u tetp r(v) = (v) i + (v) j v tetp r(u) = (u) i + (u) j lm (u,v): da = r r u v du dv = Jik dri (u,v) ditrnsformsikn kembli ke (,), mk Akibtn uv uv f (,) dd = f (,) dd. uv uv =, sehingg uv uv =. r = + v v v r = + u u u uv i j. i j. du dv.

14 K I FSP Contoh Hitunglh lus derh di kudrn pertm ng dibtsi oleh hiperbol =, hiperbol =, gris =, dn gris =. = = = = Gris bts derh dlh = dn =. Butlh trnsformsi u = dn v =, mk u= dn v =, sehingg dlm (u,v) derh pengintegrlnn dlh = {( uv, ) : u, v }. eterminn Jcobi trnsformsin dlh uv = = uv - = = Lus derh dlh (,) (,) (,) v uv v ( ) da = du dv = dvdu = ln v du = (ln) du = ln. Contoh Jik derh di kudrn pertm dibtsi oleh kurv hiperbol =, = 9, =, dn = 8, hitunglh ( + ) da 5 = 8 = = = 9 5. Butlh trnsformsi u = dn v =, mk = {( uv, ) : u 9, v 8}. Ubhlh f (,) = + ke dlm u dn v. ri ( + ) = ( ) + () = u + v diperoleh + = u + v, sehingg f (,) uv = u + v. eterminn Jcobi trnsformsin dlh uv - = = = =. Jdi (,) uv ( + ) u + v ( + ) da = u + v dvdu = dv du = 6. u + v

15 K I FSP Apliksi integrl lipt du untuk pust mss dn momen inersi d c persegi pnjng b fungsi = β () fungsi = α () b d fungsi fungsi = γ ( ) = δ ( ) c ikethui keping dtr ng rpt mssn di setip (,) dlh ρ (,), ρ kontinu pd. Keping dpt ditulis dlm du bentuk, = {(,) : b, α () β ()}, α, β kontinu pd [,b], = {(,) : c d, γ () δ ()}, γ, δ kontinu pd [c,d]. = mss keping dlh M r(,) da. momen mss keping terhdp sumbu dlh M r(,) da. = = momen mss keping terhdp sumbu dlh M r(,) da. pust mss keping dlh titik (, ), dengn momen inersi keping terhdp sumbu dlh momen inersi keping terhdp sumbu dlh M M M = dn =. M I r(,) da. = = I r(,) da. momen inersi keping terhdp titik (,) dlh I = I + I. Ilustrsi Untuk keping = {(, ):, }, jik rpt mss di setip titik (,) dlh ρ (,) = +, tentukn pust mssn. = pust mss = = M= r(,) da= ( + ) dd= M = r(,) da= ( + ) dd= 8. M = r(,) da= ( + ) dd=. pust mss Pust mss keping dlh (, ), = 8 dn =. 5 pust mss

16 K I FSP Ilustrsi Untuk keping = {(,):, }, jik rpt mss di setip titik (,) dlh ρ (,) = +, tentukn momen inersi terhdp sumbu, sumbu, dn titik (,). = = = Momen inersi terhdp sumbu, dn titik dlh I = (,) da= ( + ) dd= 5. I = (,) da= ( + ) dd= 8. r r ( )( ) I = I + I = + + dd= + = Contoh Keping terletk di kudrn pertm, dibtsi sumbu, gris =, lingkrn + =, dn lingkrn + =. Jik rpt mss di setip (,) dlh jrk (,) ke (,), tentukn pust mssn. = + = + = Butlh trnsformsi ke koordint kutub, bts dlh sinr q = p = di kudrn I, sinr q = sb- positif, lingkrn r = + =, dn lingkrn r = + =. Jdi = {( r, q): q p, r } dn rpt mss di setip (r,θ ) dlh ρ (r,θ) = r. Mss, momen mss terhdp sumbu dn sumbu keping dlh p p p p/ p/ (,) (sin) (,) sin p/ p/ 5 5 p / sinq 5 7 ( ) ( ) r dq sinqdq cosq 8 8. p/ p/ (,) (cos ) (,) cos p/ p/ 5 5 p / q 5 7 ( ) ( ) r dq qdq q 8 8 M M / / / ( ) M = r(, rq) rdrdq = r drdq = r dq = p = p. M = r da = r qrrq rdrdq = r qdrdq = = = - = = M = r da= r qrrqrdrdq= r qdrdq = cos = cos = sin = =. Pust mss keping dlh (, ), dengn = =, dn = =,77. M M

17 SOAL LATIHAN MA KALKULUS A Pokok Bhsn: Klkulus Integrl Fungsi u Peubh, Integrl Lipt u Sol uji konsep dengn benr slh, berikn rgumentsi ts jwbn And. No. Perntn Jwb. b Jik f terintegrlkn dn () b b, mk () (). f fdd= A B S. Jik f= (,) sin dn = {(,) :, }, mk fda (,). B S. Jik urutn integrl berulngn diubh, mk f (,) d d = f (,) d d. B S. Jik f (,) da gda (,) pd persegi pnjng, mk f (,) g (,) 5. Jik f (,) pd derh dn fda= (,), mk f (,) (,). pd. B S = " ΠB S 6. Lus derh ng dibtsi kurv = dn = dlh integrl lipt dd. B S 8 / 7. Lus = {(, ):, + } dlh integrl lipt dd + dd B S - 8. lm koordint kutub, volum bend rung + z dlh rdrdq. + - p/ cosq secq tn p B S 9. lm koordint kutub, f (,) d d = f (,) r q rdrdq. B S. Volum bol + + z dlm koordint kutub dlh Sol integrl lipt du dlm koordint krtesis. Jik = {(,) :, }, hitunglh. Jik = {(,) :, }, hitunglh q p - r rdrdq. B S ( - 6 da ) dengn du cr. ( - ) da dengn du cr.. Jik = {(,) :, }, hitunglh da dengn du cr.. Jik = {(, ) : p, - p p}, hitunglh sin ( + da ) dengn du cr. / 5. Ubhlh urutn pengintegrln - e dd kemudin hitunglh integrln. dd 6. Ubhlh urutn pengintegrln ( + ) kemudin hitunglh integrln. 7. Ubhlh urutn pengintegrln p p/ cos e cos ( + ) dd kemudin hitunglh integrln. 8. Jik derh di kudrn pertm dibtsi kurv =,, prbol =,, dn gris =, hitunglh da dengn du cr. 9. Jik derh di kudrn pertm dibtsi gris =, =, =, dn =, hitunglh. da. Jik dlh derh persegi {(, ) : + }, hitunglh. Hitunglh () e d d (b) e dd (c) ( - ) da. ln ln e dd. / 5

18 Sol integrl lipt du dlm koordint kutub 6. Hitunglh - ( + ) dd dengn trnsformsi ke koordint kutub.. Jik dlh ckrm setengh lingkrn {(, ):, - }, hitunglh. Jik dlh derh di kudrn pertm dn + 9, hitunglh = +, hitunglh ( - + ) 5. Jik {(, ): } 6. Jik = {(, ):, - }, hitunglh da. 7. Jik = {(, ):, - }, hitunglh 8. Hitunglh 9. Hitunglh -/ ( + + ) da. - - da. + da. - -/ ( - - ) dd dengn trnsformsi ke koordint kutub. - ln ( ) dd dengn trnsformsi ke koordint kutub. - - e + da.. Hitunglh - + d d dengn trnsformsi ke koordint kutub. + Sol pliksi integrl lipt du. Ntkn volum bend pdt di oktn pertm ng dibtsi permukn 9 6 f (,) = - -, bidng =, = sebgi integrl lipt du dn hitunglh integrln.. Ntkn volum bend pdt di ts = {(,) :, } dn terletk di ntr permukn z = dn z = + + sebgi integrl lipt du dn hitunglh integrln.. Ntkn volum bend pdt di oktn pertm ng dibtsi permukn 9 + = 6 dn bidng 9 + 6z = sebgi integrl lipt du dn hitunglh integrln.. Ntkn lus derh di kudrn pertm ng terletk di bwh kurv = dn di dlm lingkrn + = sebgi integrl lipt du dlm koordint kutub dn hitunglh integrln. 5. Ntkn volum bend pdt ng dibtsi prboloid z= ( + ), tbung + = 8, dn bidng o sebgi integrl lipt du dlm koordint kutub dn hitunglh integrln. 6. Ntkn volum bol + + z =, > sebgi integrl lipt du dlm koordint kutub dn hitunglh integrln. 7. Ntkn mss keping dtr di lur lingkrn r = dn di dlm lingkrn r = 6 sinθ dengn rpt mss ρ (,) = /r sebgi integrl lipt du dlm koordint kutub dn hitunglh integrln. Kunci Jwbn. B. B. S. S 5. B 6. S 7. B 8. S 9. B. S e- e- ª,57 6. ( + ln ) - ª,5 7. ( e), ln. -. () e, (b) e-, (c). π. p ( e- ). p 5. p 6. 6 p 7. 7 p p (- ) 9. (ln ) p -. p +. V= ( - - ) dd= 9 6. ( ) 9-9 V= + - dd= -. V= ( + ) dd= p / p 8sinq. p L= rdrdq = sec tn ( p-) 5. V= q q r drdq = 96p 6. V= r rdrdq p - = 7. 5 p/6 6sinq p /6. Mss drdq = 6 -p

19