5. Bangun Geometris. Sudaryatno Sudirham

Transkripsi

1 5.. Persmn Kurv 5. Bngun Geometris Sudrtno Sudirhm Persmn sutu kurv secr umum dpt kit tuliskn sebgi F (, ) = 0 (5.) Persmn ini menentukn tempt kedudukn titik-titik ng memenuhi persmn tersebut. Jdi setip titik pd kurv kn memenuhi persmn dn setip titik ng memenuhi persmn hrus pul terletk pd kurv. Berikut ini dlh krkteristik umum sutu kurv. Beberp di ntrn telh kit peljri di bb pertm. Simetri. Kurv sutu fungsi mungkin simetris terhdp gris tu titik tertentu ) jik fungsi tidk berubh pbil kit gnti dengn mk kurv fungsi tersebut simetris terhdp sumbu-; b) jik fungsi tidk berubh pbil dn dipertukrkn, kurv funsi tersebut simetris terhdp gris-bgi kudrn I dn III. c) jik fungsi tidk berubh pbil dignti dengn, kurv funsi tersebut simetris terhdp sumbu-. d) jik fungsi tidk berubh jik dn dignti dengn dn, kurv fungsi tersebut simetris terhdp titik-sl [0,0]. Nili Peubh. Dlm meliht bentuk-bentuk geometris hn nili-nt dri dn ng kit perhtikn. Apbil dlm sutu persmn terdpt pngkt genp sutu peubh mk kn terlibt sutu nili ng bersl dri kr pngkt du (pngkt genp) dri peubh tersebut. Dlm kedn demikin kit nggp bhw bilngn negtif tidk memiliki kr, kren kit belum membhs bilngn kompleks. Hl ini telh dikemukkn di bb pertm dlm sub-bb pembtsn pembhsn. Contoh: + =. Jik kit cri nili kit dptkn = ± Apbil nili mutlk lebih besr dri, mk nili bilngn di bwh tnd kr kn negtif. Dlm hl demikin ini kit membtsi hn pd rentng. Kren kurv ini simetris terhdp gris =, mk i memiliki nili jug terbts pd rentng. Titik Potong Dengn Sumbu Koordint. Koordint titik potong dengn sumbu- dpt diperoleh dengn memberi nili = 0, sedngkn koordint titik potong dengn sumbu- diperoleh dengn memberi nili = 0. Contoh: + =. Titik potong dengn sumbu- dlh P[,0] dn Q[,0]. Titik potong dengn sumbu- dlh R[0,] dn S[0, ]. Sudrtno Sudirhm, Bngun Geometris /9

2 Contoh: =. Dengn memberi nili = 0 kit tidk kn mendptkn solusi untuk. Demikin pul memberi = 0 tidk kn memberi solusi untuk. Kurv persmn ini tidk memotong sumbu- mupun sumbu-. Asimptot. Sutu titik P[,] pd kurv ng bergerk sepnjng kurv menjuhi titiksl mungkin kn semkin dekt dengn sutu gris tertentu, nmun tidk kn menentuhn. Gris tersebut merupkn simptot dri kurv. Contoh: ( ) = + 0. Persmn ini memberikn = ± + 0 ( ) Ap ng berd di dlm tnd kr, tidk boleh negtif. Hl ini berrti jik hrus positif mk i tidk boleh lebih kecil dri stu gr ( ) positif; jik negtif mk ( ) kn tetp positif. Jdi hruslh < 0 tu >. Tidk d bgin kurv ng berd ntr = 0 dn =. Gris vertikl = 0 dn = dlh simptot dri kurv. Liht Gb Gb.5.. Gris simptot (ditunjukkn oleh gris pth-pth). Persmn kurv ini jug bis dituliskn sebgi / = = / Jik ± mk =, dn = ±. Gris mendtr = dn = jug merupkn simptot dri kurv. 5.. Jrk Antr Du Titik Jik koordint du titik dikethui, misln P[ p, p ) dn Q[ q, q ], mk jrk ntr kedun dlh PQ = ( p q ) + ( p q ) (5.) Formul ini sngt bermnft jik kit hendk mencri tempt kedudukn titik ng berjrk tertentu dri sutu titik lin. Kit kn melihtn pd ulsn bentuk-bentuk geometris berikut ini Prbol Kit telh meliht bentuk kurv = k (5.3) Sudrtno Sudirhm, Bngun Geometris /9

3 ng simetris terhdp sumbu-. Bentuk kurv ini disebut prbol. Dlm persmn ini, d sutu nili k sedemikin rup sehingg jrk ntr stu titik P ng terletk pd kurv dengn titik Q ng terletk di sumbu- sm dengn jrk ntr titik P dn sutu gris tertentu, seperti diperlihtkn pd Gb.5.. Titik Q disebut titik fokus prbol, dn gris tertentu = p disebut gris direktriks dn titik punck prbol berd di tengh ntr titik fokus dn direktrikn. =k Q[0,p] P[,] [0,0] R[, p] Gb.5.. Titik fokus dn gris direktriks. Hubungn ntr k dn p dpt dicri sebgi berikut. PQ = (PR p) + = ( p) + = p + p + PR = ( + p) Kren PQ = PR, mk 4 p p + p + = + p p + p + = + p + p + = ng berrti = + 4 p tu k 4 p = tu Dengn demikin persmn prbol dpt kit tuliskn 4 p dengn direktiks = p dn titik fokus Q[0,p]. p = 4k Contoh: Persmn prbol = 0,5 dpt kit tuliskn 5.4. Lingkrn = (5.4) = = 4 0,5 dn prbol ini memiliki direktrik = p = 0, 5 dn titik fokus di Q[0,(0,5)]. Lingkrn merupkn tempt kedudukn titik-titik ng berjrk sm terhdp stu titik tertentu. Titik tertentu itu disebut titik pust lingkrn. Jik titik tertentu itu dlh titik-sl [0,0] mk jrk sutu titik X[,] ke titik-sl dlh XO = + Sudrtno Sudirhm, Bngun Geometris 3/9

4 Jik jrk ini tertentu, r misln, mk + = r Oleh kren itu persmn lingkrn dengn titik pust [0,0] dlh dengn r dlh jri-jri lingkrn. + r (5.5) = Jik titik pust lingkrn tidk berimpit dengn titik sl, kit dpt melihtn sebgi lingkrn tergeser. Lingkrn dengn titik pust di P[,b] mempuni persmn ) + ( b) (5.6) ( = r Gb.5.3. memperlihtkn bentuk lingkrn dengn jri-jri ng disebut lingkrn-stun, berpust di [0,0] dengn persmn + =. 0,5 - [0,0] 0,5 Gb.5.3. Lingkrn Pd Gb.5.3 ini pul diperlihtkn lingkrn dengn r = 0,4 berpust di [(0,5),(0,5)] ng berrti lingkrn tergeser sejjr sumbu- sebesr 0,5 skl dn sejjr sumbu- sebesr 0,5 skl, dengn persmn ( 0,5) - + ( 0,5) = 0, Elips Elips dlh tempt kedudukn titik ng jumlh jrk terhdp du titik tertentu dlh konstn. Kedu titik tertentu tersebut merupkn X[,] du titik fokus dri elips. Perhtikn Gb.5.4. Mislkn dikethui posisi du titik P[,0] dn Q(,0]. Jrk ntr titik sembrng X[,] dengn kedu titik tersebut msing-msing dlh P[-c, 0] Q[c, 0] XP = ( + c) + dn Gb.5.4. Elips XQ = ( c) + Jik jumlh ntr kedun dlh konstn, mislkn, mk Sudrtno Sudirhm, Bngun Geometris 4/9

5 ( + c) + + ( c) + = Jik suku kedu rus kiri dipindhkn ke rus knn dn kedu rus di kudrtkn, kn kit peroleh Jik kedu rus di kudrtkn kit dptkn ( + c) + = 4 4 ( c) + + ( c) + ng dpt disederhnkn menjdi c = ( c) + c c + = c + c + ng dpt disederhnkn menjdi + = c Kit perhtikn penebut pd suku ke-du rus kiri persmn terkhir ini, dengn meliht pd Gb.5.4. Pd segitig XPQ, jumlh du sisi sellu lebih besr dri sisi ng ketig, (XP + XQ) > PQ tu > c, sehingg penebut suku ke- di rus kiri sellu positif dn memiliki kr nt; mislkn c = b. Dengn demikin kit mendptkn persmn elips + = b Titik-titik potong dengn sumbu- dlh [±,0] dn titik-titik potong dengn sumbu- dlh [0,±b]. Jdi sutu elips dilingkupi oleh stu segi pnjng b; dlh sumbu pnjng elips dn b dlh sumbu pendekn. (Perhtikn bhw jik = b ng berrti c = 0, kit mendptkn persmn lingkrn). Apbil titik fokus elips tidk terletk pd sumbu-, kit bis melihtn sebgi elips tergeser. Persmn elips tergeser dlh ( p) ( q) + = b dengn p dlh pergesern sejjr sumbu- dn q dlh pergesern sejjr sumbu-. Gb.5.5. dlh elips dengn persmn (5.7) (5.8) ( 0,5) ( 0,5) + 0,5 = Gb.5.5. Elips tergeser. Sudrtno Sudirhm, Bngun Geometris 5/9

6 5.6. Hiperbol Hiperbol merupkn tempt kedudukn titik-titik ng selisih jrkn ntr du titik tertentu dlh konstn. Penurunn persmn hiperbol dpt dilkukn seperti hln dengn penurunn persmn elips di ts. Perhtikn Gb.5.6. Mislkn dikethui posisi du titik P[ c,0] dn Q(c,0]. Jrk ntr titik sembrng X[,] dengn kedu titik tersebut msing-msing dlh XP = ( + c) + dn XQ = ( c) + X(,) P[-c,0] Q[c,0] Gb.5.6. Posisi titik X terhdp P[-c,0] dn Q[c,0]. Jik selisih ntr XP dn XQ hrus tetp, misln, mk ( + c) + ( c) + = Suku kedu rus kiri dipindhkn ke rus knn dn kedu rus di kudrtkn, kemudin dilkukn penederhnn Jik kedu rus dikudrtkn kn diperoleh ( c / ) = ( c) + c = Kit liht lgi Gb.5.6. Dlm segitig PXQ, selisih (XP XQ) = sellu lebih kecil dri PQ = c. Jdi < c sehingg penebut pd suku kedu rus kiri sellu positif, mislkn c = b. Dengn demikin kit dptkn persmn Inilh persmn hiperbol, dengn bentuk kurv seperti pd Gb.5.7. b = (5.9) Sudrtno Sudirhm, Bngun Geometris 6/9

7 + X(,) -c - c Gb.5.7. Kurv hiperbol Dengn memberi nili = 0, kit dptkn titik potong hiperbol dengn sumbu- itu [±,0]. Dengn memberikn nili = 0, kit tidk memperoleh solusi untuk. Kurv tidk memotong sumbu-; tidk d bgin kurv ng terletk ntr = dn = Kurv Berderjt Du Prbol, lingkrn, elips, dn hiperbol dlh bentuk-bentuk khusus kurv berderjt du, tu kurv pngkt du. Bentuk umum persmn berderjt du dlh A + B + C + D + E + F = 0 (5.0) Persmn prbol dlh bentuk khusus dri (5.0) dengn sehingg diperoleh persmn (5.4) B = C = D = F = 0; A = ; E = 4 p =. 4 p Lingkrn stun dlh bentuk khusus dri (5.0) dengn B = D = E = 0 ; A = ; C = ; F = Bhkn persmn gris luruspun merupkn kedn khusus dri (5.0), di mn A = B = C = 0 ; D = ; E = ; F = b ng memberikn persmn gris lurus = + b. Nmun dlm ksus terkhir ini persmn berderjt du (5.0) berubh sttus menjdi persmn berderjt stu. Bentuk A dn C dlh bentuk-bentuk berderjt du ng telh sering kit temui pd persmn kurv ng telh kit bhs. Nmun bentuk B, ng jug merupkn bentuk berderjt du, belum pernh kit temui. Dlm sub-bb berikut ini hl tersebut kn kit liht Perputrn Sumbu Koordint Dlm bngun geometris ng sudh kit liht, muli dri prbol smpi hiperbol, tidk stupun mengndung bentuk B. Hl Ini sesungguhn merupkn konsekuensi dri pemilihn koordint. Dlm bngun hiperbol misln, kit telh memilih titik-titik fokus P[ c,0] dn Q[c,0] sehingg hiperbol simetris terhdp sumbu- dn memotong sumbu- di = ±. Sekrng kn kit cob memilih titik fokus di P[, ] dn Q[,] seperti pd Gb.5.8. Sudrtno Sudirhm, Bngun Geometris 7/9

8 P[-,-] Q[,] Gb.5.8. Titik fokus di P[-.-] dn Q[,] Selisih jrk XP dn XQ ng tetp kit mislkn ( + ) + ( + ) ( ) + ( ) = Jik suku kedu rus kiri dipindhkn ke rus knn kemudin kedu rus dikudrtkn dn dilkukn penederhnn, kn kit peroleh + = ( ) + ( ) Jik rus knn dn kiri dikudrtkn lgi kit dptkn = (5.) Mempetukrkn dengn tidk mengubh persmn ini. Kurv persmn ini simetris terhdp gris =, itu gris bgi kudrn II dn III seperti terliht pd Gb Gb.5.9. Kurv =. Klu kit bndingkn kurv Gb.5.9 ini dengn kurv hiperbol sebelumn pd Gb.5.7. terliht bhw kurv pd Gb.5.9. memiliki sumbu simetri ng terputr 45 o berlwnn dengn rh perputrn jrum jm, dibndingkn dengn sumbu simetri Gb.5.7 itu sumbu-. Apkh memng demikin? Kit kn liht secr umum mengeni perputrn sumbu ini. Perhtikn Gb.5.0. O β α Gb.5.0. Perputrn sumbu. Sumbu - diputr sebesr α menjdi sumbu -. Titik P dpt dintkn dengn du koordint P[,] dengn referensi sumbu -, tu P[, ] dengn referensi sumbu -. Dri Gb.5.0. kit dptkn Q P[,] P[, ] Q Sudrtno Sudirhm, Bngun Geometris 8/9

9 Sementr itu = OQ = OP cos( α + β) = PQ = OP sin( α + β) ' = OQ' = OP cosβ ' = PQ' = OPsin β (5.) (5.3) Dengn kesmn (liht fungsi trigonometri di Bb-6) cos( α + β) = cosαcosβ sin αsin β sin( α + β) = sin αcosβ + cosαsin β Dengn (5.3) dn (5.4), mk (5.) menjdi = 'cosα 'sin α = 'sin α + 'cosα (5.4) (5.5) Persmn (5.5) inilh persmn rotsi sumbu. Kit cob pliksikn (5.5) pd (5.) ng memiliki kurv pd Gb.5.0, di mn rotsi sumbu terjdi pd sudut 45 o sehingg cos α = sin α = /. Oleh kren itu kit peroleh ' ' = dn ' + ' = Nili dn ini kit msukkn ke (5.) dn kit mendptkn ' ' ' + ' = ( ') ( ') = Bentuk persmn ini sm dengn bentuk persmn (5.9); pd (5.9) sumbu simetri dlh sumbu-, sedngkn di sini sumbu simetri dlh sumbu- itu sumbu- ng diputr 45 o. Dengn pembhsn mengeni perputrn sumbu ini, menjdi lengkplh pergesern kurv ng kit bhs. Pergesern kurv sejjr sumbu- dn sumbu- ng telh kit bhs sebelumn dpt pul kit pndng sebgi pergesern tu trnslsi sumbu koordint. Dengn demikin kit mengenl trnslsi dn rotsi sumbu koordint, di mn sumbusumbu simetri dri sutu kurv tidk berimpit dengn sumbu koordint, dn titik simetri tidk berimpit dengn titik sl [0,0]. Sudrtno Sudirhm, Bngun Geometris 9/9