Matriks. Modul 1 PENDAHULUAN

Transkripsi

1 Modul Matriks Dra. Sri Haryatmi Kartiko, M.Sc. I PENDAHULUAN lmu pengetahuan dewasa ini menjadi semakin kuantitatif. Data numerik dengan skala besar, hasil pengukuran berupa angka sering dijumpai oleh para ilmuwan sewaktu melakukan survai, penyelidikan atau percobaan. Korelasi data tidak memberikan arti yang besar tanpa disertai dengan menganalisa dan memberikan interpretasi padanya. Cabang matematika yang mendukung hal ini adalah aljabar matriks yang telah berusia lebih dari satu abad. Penggunaan aljabar matriks sangat luas, termasuk dalam statistika. Matriks adalah array (daftar) bilangan yang terdiri dari baris-baris dan kolom-kolom. Aljabar matriks adalah aljabar khusus untuk array tersebut. Setiap array diperlakukan sebagai satu entitas yang membuatnya sangat berguna dalam menganalisa data, terutama data yang multi variabel. Dengan demikian materi dalam modul ini, yaitu matrik merupakan hal utama yang harus diketahui dalam mata kuliah Metode Statistika Multivariat. Secara umum setelah selesai mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat mengenal dan menggunakan operasi-operasi vektor dan matriks. Secara khusus setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat:. menggambar dan menghitung panjang vektor; 2. menghitung hasil kali dalam (inner product) dua vektor; 3. menghitung penjumlahan dan perkalian matriks; 4. mengenal hukum aljabar matriks; 5. mengenal matriks khusus; 6. menghitung invers suatu matriks; 7. menghitung eigen value dan eigen vektor suatu matriks.

2 .2 Metode Statistika Multivariat S Kegiatan Belajar Matriks ebagai ilustrasi diberikan hasil pengamatan berupa persentase jaringan steril pada 4 generasi dari 3 populasi organisme sebagai berikut. Tabel.. Persentase Jaringan Steril Generasi Populasi Angka-angka dalam tabel di atas dapat ditulis dengan array bilangan di mana posisi/letak bilangan memberikan arti, misalnya elemen pada baris dua kolom tiga, yaitu 6 adalah persentase jaringan steril pada generasi 2, populasi 3. Dalam hal ini baris menunjuk pada persentase jaringan steril pada generasi yang sama. Untuk semua populasi, kolom memberikan representasi persentase jaringan steril untuk populasi yang sama pada semua generasi. Sebagai contoh, baris pertama merupakan persentase jaringan steril untuk generasi pertama semua populasi, dan kolom pertama menunjukkan hasil pengamatan untuk semua generasi pada populasi. Array bilangan ini disebut matriks. Definisi. Matriks A bertipe r c adalah array (daftar) bilangan yang terdiri dari r baris dan c kolom, ditulis

3 SATS442/MODUL.3 atau A a ij untuk i =, 2,, r, dan j =, 2,, c. a a2 a j a c A a r c i ai 2 aij a ic ar ar 2 arj a rc Contoh A , B44, r c B disebut matriks bujur sangkar. Matriks bujur sangkar dengan elemen-elemen off diagonal sama dengan nol, disebut matriks diagonal, misalnya C Dengan perkataan lain, matriks diagonal adalah matriks yang elemenelemen bukan diagonalnya bernilai nol. Matriks diagonal dengan elemen diagonal a, a2,, an sering ditulis D a, a,, a diag a,, a diag a untuk sebagai atau i,2,, n. 2 n Matriks bujur sangkar dengan elemen di atas atau di bawah diagonal bernilai nol disebut matriks segitiga, misal n i

4 .4 Metode Statistika Multivariat 5 3 B disebut matriks segitiga atas E disebut matriks segitiga bawah. NOTASI JUMLAHAN a j m a a i i ij n j a ij m n m n a a a a i j ij i j i j Definisi.2 Dimensi matriks r c adalah pasangan bilangan (r,c); r adalah dimensi baris dan c adalah dimensi kolom. Definisi.3 Dua matriks Am k aij dan Bm k b ij disebut sama, ditulis A B dan hanya bila aij bij untuk setiap i dan j. Jadi, ada 2 matriks disebut sama bila. Dimensinya sama 2. Setiap elemen-elemen yang berkorespondensi sama bila VEKTOR DAN SKALAR Matriks yang terdiri atas kolom disebut vektor kolom dan matriks yang terdiri dari baris disebut vektor baris. Contoh vektor kolom berdimensi 3

5 SATS442/MODUL.5 3 x 2 0 berikut yang bila digambar dalam ruang berdimensi 3 adalah sebagai Gambar.. Definisi.4 M tupel bilangan riil x, x2,, xn dituliskan dalam kolom disebut vektor kolom diberi notasi huruf tebal atau tanda ~ di bawahnya. x x 2 2 Contoh x x atau x x atau x x, x2,, x n dengan vektor x xn xn adalah transpose dari vektor x. Definisi.5 Kesamaan vektor x y x disebut sama dengan y x m y m bila dan hanya bila x i = y i untuk i =,, m.

6 .6 Metode Statistika Multivariat Definisi.6 Perkalian dengan skalar c skalar sembarang cx adalah vektor yang diperoleh dari perkalian setiap elemen x dengan skalar c. Gambar.2. Definisi.7 Jumlah 2 vektor x dan y ditulis dengan x y elemen-elemennya x i + y i, i =,, m. adalah vektor dengan Definisi.8 Ruang (space) dari semua m tupel dengan perkalian skalar dan penjumlahan vektor disebut ruang vektor berdimensi m. Definisi.9 Y a x a x a x x,, xk. 2 k k adalah kombinasi linear dari vektor-vektor Himpunan semua kombinasi linear dari x, x2,, xk linear dari x, x2,, xk disebut perluasan

7 SATS442/MODUL.7 Definisi.0 Himpunan vektor x, x2,, xk disebut dependen linear bila terdapat k skalar a, a2,, ak yang tidak semuanya nol demikian sehingga a x a2x2 akxk 0. Apabila tidak demikian, himpunan vektor tersebut dikatakan independen linear. Definisi. x x 2 Panjang vektor kolom x adalah L x x xm x x x Hal di atas juga berlaku untuk vektor baris, misalnya Y L Y Y m Definisi.2 Sudut antara 2 vektor x dan y yang masing-masing berdimensi m x y x2 y2 xmy memenuhi cos Lx Ly Definisi.3 Inner product (dot product) 2 vektor berdimensi xy, adalah xy x y x2 y2 xmym xy yx Lx x x2 xm xx xy Cos xx yy x dan y saling tegak lurus ( x y) bila dan hanya bila 0 xy m

8 .8 Metode Statistika Multivariat OPERASI MATRIKS Definisi.4 Am k aij Transpose dari matriks A, diberi notasi A k m dengan elemen-elemennya adalah a ji A km aij adalah matriks berdimensi Catatan: A didapat dari A dengan menukar baris dengan kolom. Sifat-sifat Transpose. A A 2. Transpose vektor kolom adalah vektor baris dan sebaliknya Definisi.5 Penjumlahan matriks A aij, Bbij, i,, r j,, c A B C cij dengan c ij = a ij + b ij Definisi.6 Pengurangan matriks Ar c aij, Br c bij A B A ( ) B C cij dengan c a b ij ij ij Definisi.7 Trace suatu matriks bujur sangkar tr A n a ii i A = a ij, i,j =, 2,, m adalah

9 SATS442/MODUL.9 Sifat-sifat. tr A tr A tr A B tr A tr B 2. MATRIKS PARTISI B B B2 B disebut partisi dari matriks B B2 B B B B2 B B, B2, B2,dan B22 disebut submatriks dari B TRANSPOSE MATRIKS PARTISI x XY y A D A B C B E D E F C F Teorema. Untuk sebarang matriks A, B, C sebarang c dan d berlaku : dengan dimensi sama dengan skalar

10 .0 Metode Statistika Multivariat a. A B C A B C b. A B B A c. c A B ca cb d. c d A ca da e. A B A B f. cd A cda g. ca ca Definisi.8 Matriks A dengan jumlah baris sama dengan jumlah kolomnya disebut dengan matriks bujur sangkar. Definisi.9 Matriks bujur sangkar A disebut simetris bila setiap i dan j. A Aatau {a ij }= {a ji }untuk Contoh matriks simetris 2 4 A2 2 A 4 a c e f c b g d B44 B e g c a f d a d Definisi.20 Matriks identitas bertipe k k adalah matriks bujur sangkar dengan elemen-elemen pada diagonal sama dengan dan elemen-elemen bukan diagonalnya sama dengan 0, diberi notasi Ik k. Contoh 0 0 I

11 SATS442/MODUL. Definisi.2 Perkalian matriks Hasil kali matriks A a c n ij il lj e mn a b dengan i =, 2,, m j =, 2,, k l =, 2,, n il dan Bnk blj adalah AB c ij dengan Catatan: Hasil kali AB ada atau Adan B disebut konformabel bila jumlah kolom matriks A jumlah baris matriks B. Jadi, banyaknya baris matriks AB = banyaknya baris A dan banyaknya kolom matriks AB = banyaknya kolom matriks B. Teorema.2 Untuk setiap matriks A, B, dan C sedemikian hingga hasil kali matriks tersebut di bawah ini ada dan berlaku: a. cab cab b. ABC ABC c. AB C AB AC d. B C A BA CA e. AB BA f. AB tidak selalu sama dengan BA g. AB 0 tidak berarti 0 A atau B 0 Contoh untuk bagian g adalah

12 .2 Metode Statistika Multivariat Contoh. Gross income beberapa negara tahun 98 dan 982 adalah sebagai berikut. Tahun United States Canada 5 4 Australia 8 2 United Kingdom 2 30 Gross income dalam bentuk matriks A Misal matriks pengeluaran adalah sebagai berikut B Gross profit tahun 98 untuk US adalah 27 9 = 8, untuk Canada adalah 5 9 = Matrik A B aij bij adalah keuntungan dalam tahun 98 dan 982 untuk keempat negara Contoh A B AB O2 3disebut matriks null Contoh.3 Dalam masalah pembelian tikus, tikus putih, dan kelinci untuk percobaan di departemen A, dapat digunakan perkalian matriks. Harga hewan berturut-turut 3,, dan 0 ribu rupiah. Banyak hewan yang diperlukan berturut-turut 50, 00, dan 30 ekor. 50 a 3 0 x 00 30

13 SATS442/MODUL.3 Jumlah uang yang diperlukan = ax Contoh.4 A B Hitung A B,2 A B, A B, AB Penyelesaian: AB AB AB 2 2 A tidak bisa dikalikan dengan B karena banyak baris pada matriks A tidak sama dengan banyak kolom pada matriks B. Contoh A B Hitung AB, AB, AB, BA, AB,5AB Penyelesaian: A dan B tidak mempunyai dimensi sama maka A tidak dapat dijumlahkan dengan B.

14 .4 Metode Statistika Multivariat A B c c AB c c c = (-) = c 2 = (-).(-2) = 20 c 2 = = 32 c 22 = (-2) = 3 20 Jadi, AB BA ABtidak konformable karena A3 2 dan B AB Contoh.6 AA A A I A ABA AA AB I A AB A BA A B I A cab Ac c AB A c B I A ABC AB A CBA BA A CB B I A Contoh A 4 0 5

15 SATS442/MODUL B Hitung tr AB, tr BA Penyelesaian: 20 tr AB tr tr BA Contoh A Hitung tr A dan tr AA Penyelesaian: tr A = = tr AA tr tr

16 .6 Metode Statistika Multivariat LATIHAN ) Untuk elemen matrik A a ij i,2,3,4 j,2,3,4,5 tunjukkan bahwa a. a 3 20 b. a 26 c. d. 4 5 a ij i j2 i2 j4 3 a 2 i4 i 20 2) Dari soal tulis matriks berikut B ai, j2 untuk i, 2,3, dan j, 2,3 C a2 i,2 j i,2 dan j,2,3 D ai, j i j i 2,3 dan j,,4 3) Buktikan rumus di bawah ini dan tunjukkan kebenarannya dengan matriks dalam soal a. b. Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! m n i j 4a 4 a.. ij 2 m n m aij a i j i 2 i.

17 SATS442/MODUL.7 4) Tulis matriks D D,2,3,4 i2 D2 D3, i,2,3,4 i2 D3 Di 3, i,2,3, ) Untuk matriks A, B 2 0 Hitung AB, AB, A A B, tr BB, tr BB 6) Apakah traspose dari 6 A 2 3 dan B 2 7 Hitung A B dan A B Terangkan hubungan antara keduanya. 7) A 2 0 dan B Buat partisi Adan B sebagai 2 2 A A A dan B B B A2 A 22 B2 B 22 Dengan A2 dan B2 mempunyai order 2. Hitung AB dengan partisi dan tanpa partisi. Petunjuk Jawaban Latihan ) a. d. 4 a a jumlah dari kolom 3 3 i 3 i3 i = 20 a i4 ( 2)(2)( 3) 2

18 .8 Metode Statistika Multivariat B a, 2 i, 2,3, j, 2,3 a23 a24 a B a33 a34 a a43 a44 a ) i j ij ij 3) a. 4a 4 a 4 a.. 2 m m m 2 b. aij ai i j i ai Cocokkan dengan hitungan untuk A dalam soal. 4) D D,2,3, ) 6) AB A B A 2 8 B A B A B A B A B

19 SATS442/MODUL.9 7) Hitung AB tanpa partisi. Dengan partisi A B A2 B2 A B2 A2 B22 AB A2 B A22 B2 A2 B2 A22 B 22 Hasilnya perhitungan AB dengan atau tanpa partisi haruslah sama. RANGKUMAN Ar c aij, i,, r j,, c Br c bij. AB C C c ij dengan c ij = a ij + b ij 2. Ar cb cs C C c dengan c a b i r ij ij il lj e e j,, s l,, c 3., AB BA A B A B n 4. ii ij tr A a untuk A a, i, j,, n i TES FORMATIF Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! I A B

20 .20 Metode Statistika Multivariat a 5 3 b ) ab =. A. 4 B. 6 C. 8 D. 0 2) ba =. A B. 5 3 C. 5 D. A, B, dan C tidak benar 3) Ab =. 5 5 A. 5 0 B C D ) ab =. A B C. 0 D. A, B, dan C tidak benar

21 SATS442/MODUL.2 5) Tulis matriks B b kt t b k k,2,3,4 dan t, 2,3 kt A B C D II. 2 0 A B ) A B =. A. A B B. A B C. A B D. A, B, dan C tidak benar

22 .22 Metode Statistika Multivariat 7) tr AB A. -2 B. 8 C. 2 D. 3 8) tr BA A. -2 B. 8 C. 2 D. 3 =. =. 2 2 p 2 pq q 2 2 III. P p 2 pq q 2 2 p 2 pq q Dengan p + q = 9) P... A. p B. C. O D. A, B, dan C tidak benar 0) 2 P... A. p B. P 3 C. p D. A, B, dan C tidak benar Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar.

23 SATS442/MODUL.23 Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar 00% Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90-00% = baik sekali 80-89% = baik 70-79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar, terutama bagian yang belum dikuasai.

24 .24 Metode Statistika Multivariat O Kegiatan Belajar 2 Matriks Invers perasi aritmatik, yaitu jumlahan, pengurangan, dan perkalian dalam aljabar matriks telah Anda pelajari, tetapi pembagian belum. Sebagaimana Anda simak, perkalian matriks lebih kompleks dibanding perkalian skalar, demikian pula dengan operasi kebalikannya, yaitu pembagian. Sebenarnya pembagian tidak ada dalam aljabar matriks. Konsep membagi dengan A diganti dengan mengalikan dengan matriks yang disebut A invers. Invers dari matriks bujur sangkar A adalah matriks yang hasil kalinya dengan A adalah matriks identitas. Matriks invers dari A diberi simbol A dibaca invers dari A atau A invers. Ide tentang invers akan diperlihatkan dengan memperhatikan penggunaannya dalam menyelesaikan persamaan linear. Ilustrasi Diketahui persamaan linear nonhomogen. m + a = 4 m + d = 2 m a = 6 Persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk matriks 0 m 4 0 a 2 0 d 6 Bila kedua ruas digandakan dengan matriks

25 SATS442/MODUL.25 akan didapat hasil sebagai berikut m a d m 0 m a 4 atau a d 2 d 2 dengan kata lain m = 0, a = 4 dan d = 2 Terlihat bahwa persamaan 0 0 m a d 6 mempunyai penyelesaian m 4 0 a d Perhatikan bahwa I

26 .26 Metode Statistika Multivariat atau Untuk perhitungan matriks invers diperlukan detreminan dibicarakan di bawah ini. yang akan Definisi.2 Determinan matriks bujur sangkar Ak k aij yang diberi notasi A a bila k adalah bilangan skalar dengan A j. aj Aj bila k Catatan: A ij adalah matriks bertipe (k ) (k ) yang didapat dari matriks A dengan menghilangkan baris ke- kolom ke-j yang disebut ekspansi menggunakan baris. Secara umum: i j A aij Aij yang merupakan baris ke-i. Aij didapat dari matriks A dengan menghilangkan baris ke-i kolom ke-j (minor berisi kolom j). Contoh.9 a a aa 22 ( ) a2 a2( ). a2 a 22 a a a a a a2 a3 a2 a22 a 23 dengan ekspasi baris determinan matriks ini akan a 3 a32 a 33 menjadi a22 a23 a 2 2 a23 a 3 2 a22 4 a ( ) a2 ( ) a3 ( ) a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

27 SATS442/MODUL.27 Khusus untuk matriks bertipe 3 3 determinannya dapat dihitung dengan cara: Menjumlah elemen-elemen matrik sepanjang garis lurus () kemudian mengurangi dengan hasil kali elemen-elemen matriks sepanjang garis putus-putus (---) 3) a a a a a a a a a a a a a a a aa 22a33 a2a 23a3 a3a 2a32 a3a22a 3 a32a 23a a33a2a 2 yang dapat Anda lihat sama dengan hasil sebelumnya A, A AA A A I Definisi.22 A adj A A adj A A dengan setiap elemen diganti dengan kofaktornya i j A ij A matriks bagian dari A tanpa baris ke-i dan tanpa kolom ke-j ij Catatan: Minor dan kofaktor dapat Anda baca lebih jelas pada modul tentang aljabar linear. Teorema.3 AB, matriks bujur sangkar k k

28 .28 Metode Statistika Multivariat. A A 2. Bila tiap-tiap elemen dalam suatu baris atau kolom sama dengan nol maka A 0 3. Bila sembarang 2 baris/kolom identik maka A 0 4. Bila A nonsingular maka A atau A A A 5. AB A B k 6. ca c A, c skalar Definisi.23. Rank baris suatu matriks adalah banyaknya maksimum baris yang independen linear. 2. Rank kolom suatu matriks adalah banyaknya maksimum kolom yang independen linear. Catatan: Rank baris suatu matriks = rank kolomnya Definisi.24 Matriks bujur sangkar Ak k disebut nonsingular bila AX 0 mengakibatkan X 0 Catatan:. Suatu matriks bujur sangkar yang tidak non singular disebut singular. 2. Matriks bujur sangkar disebut nonsingular bila rank matriks = banyaknya baris atau banyaknya kolom. Teorema.4 Bila A matriks nonsingular bertipe k k maka terdapat dengan tunggal matriks B sedemikian hingga AB BA Ik k Definisi.25 Matriks B sedemikian hingga AB BA I disebut invers dari matriks A, dan diberi notasi A.

29 SATS442/MODUL.29 Teorema.5 M dapat ditulis sebagai A B M C D dimensi A, B, C, D lebih kecil daripada dimensi M M. P A BD C Q D CA B P A BQ M D CP Q semua matriks yang diambil inversnya adalah nonsingular. Teorema.6 A& B matriks bertipe k k, c suatu skalar. tr ca c tr A 2. tr A B tr A tr B 3. tr AB = tr BA 4. tr B AB = tr A 5. tr AA = k k i j a 2 ij dan disebut partisi dari Definisi.26 Matriks bujur sangkar A disebut dengan ortogonal bila baris-barisnya (yang dipandang sebagai vektor) saling tegak lurus dan mempunyai panjang, yaitu AA I. Teorema.7 Matriks A ortogonal bila dan hanya bila A A Catatan: AA A A I sehingga kolom-kolom matriks saling tegak lurus dan mempunyai panjang.

30 .30 Metode Statistika Multivariat Definisi.27 A matriks bujur sangkar bertipe k k I matriks identitas bertipe k k Skalar, 2,, k yang memenuhi persamaan AI 0 eigen value (akar-akar karakteristik) dari matriks A. disebut Persamaan AI 0 adalah fungsi yang disebut sebagai persamaan karakteristik. Definisi.28 A matriks berdimensi k k salah satu eigen value dari A Bila x 0 sedemikian sehingga Ax x maka x disebut eigen vektor (vektor karakteristik) dari matriks A yang bersesuaian dengan eigen value. Definisi.29 Bentuk karakterisktik Q x xax dengan A matriks simetris. Qx dari k variabel x x x x,,, k 2 adalah Kondisi untuk A supaya mempunyai invers adalah. A bujur sangkar dan 2. A 0 A dengan A 0 A dengan A 0 adalah matriks singular, sedangkan adalah matriks nonsingular. Teorema.8. A A AA I. 2. Invers dari matriks A adalah tunggal. 3. A. A 4. Invers dari matriks A adalah nonsingular.

31 SATS442/MODUL.3 5. A A. 6. A A 7. Jika A A. ( A matriks simetris) maka A 8. AB B A asal B A ada. Beberapa kasus khusus. Invers matriks bertipe 2 2 a x A y b b x A,asal ab xy 0 ab xy y a 2. Matriks diagonal Dx i D asal xi 0 xi Contoh: I matriks identitas, I I A. J matriks dengan J 0 Untuk a 0 dan a + nb 0 b ain bjn In Jn a a nb In Inn 4. Matriks ortogonal P matriks ortogonal PP I; P 0 atau P P

32 .32 Metode Statistika Multivariat Definisi.30 A matriks simetris, A atau A disebut matriks definit positif bila dan hanya bila X AX 0 Contoh Hitung A bila 2 A 2 Penyelesaian: 3 3 A Contoh. 4 5 Apakah matriks B 2 definit positif? Penyelesaian: x 4 5 x xbx x x2 B x x2 x 2 2 x 2 x 4x x2 5x 2x2 x 2 4x x x 5x x 2x x 6x x 2x xbx 0 untuk xx2 0 Jadi, B definit positif untuk xx 2 0 Contoh.2 0 Hitung R bila R 4

33 SATS442/MODUL.33 Penyelesaian: 0 0 R R adj R R ( ) 3 ( 6) Contoh.3 0 A 3 Hitung eigen value dari matriks A

34 .34 Metode Statistika Multivariat Penyelesaian: AI a a 3 2 Contoh.4 Untuk matriks dalam contoh.3 hitung eigen vektornya Penyelesaian: : Ax x 0 x x 3 x 2 x 2 x x x 2x2 x 3x2 x2 x x x adalah eigen vektor yang bersesusain dengan 2 x x 5 x adalah eigen vektor satuan yang Lx bersesuaian dengan. Dengan cara yang sama didapat x adalah eigen vektor satuan yang bersesuai dengan. 2

35 SATS442/MODUL.35 LATIHAN ) A B C Perlihatkan dengan hitungan bahwa hal-hal di bawah ini benar. A b. C C c. AB BA 2) Dari latihan hitunglah 3) 4) Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! a. A AB, AC, C A Perlihatkan bahwa AC, C A A Hitung eigen value matriks A B B2 B B2 B dengan B B B2 2 2 B22 Hitung B - dengan dan tanpa partisi. Petunjuk Jawaban Latihan ) Gunakan rumus invers khusus untuk matriks 2 2. Hitung ruas kiri, apakah sama dengan ruas kanan. 2) Gunakan rumus invers dan hasil kali matriks. 3) AI 0 cari penyelesaian ke.

36 .36 Metode Statistika Multivariat 4) a. Hitung invers cara biasa b. Hitung invers pakai partisi. RANGKUMAN. A matriks bujur sangkat jika AB BA I maka B A 2. A adj A A 3. AB, matriks bujur sangkar A A AB B A 4. Invers dari matriks partisi A B M C D P A BD C Q D CA B P A BQ M D CP Q 5. AI 0, Ak k, k yang memenuhi persamaan di atas disebut eigen value matriks A Ax x x disebut dengan eigen vektor yang bersesuaian dengan eigen value.

37 SATS442/MODUL.37 TES FORMATIF 2 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! ) 2) A A 4 A B C D R R A

38 .38 Metode Statistika Multivariat B C D. R tidak punya invers 3) Invers dari matriks partisi, O O P O O O R O O adalah A. P O O R B. R O O P C. R O O P D. Tidak punya invers 4) Matriks di bawah ini yang tidak ortogonal adalah A. 0 0 B

39 SATS442/MODUL.39 C. D ) AB, matriks bujur sangkar yang non singular, A. A A B. A A AB A B A A I C. D. 6) Dari soal nomor 5, pernyataan dibawah ini adalah benar, kecuali. A. A A AA I B. Invers matriks A tunggal BA A B A' B' A B C. D. a x 7) Bila A maka A y b A. b x ab xy y a B. b x xy ab y a C. a x ab xy y b D. a x xy ab y b

40 .40 Metode Statistika Multivariat 8) M bertipe k k I matriks identitas berupa k k I M M A. MM M B. I M C. MM M D. A, B, dan C tidak benar 9) Eigen value dari matriks A. 0 dan B. 0 dan 2 C. dan D. dan 2 D adalah 0) Eigen vektor satuan dari matriks D dalam soal 9 adalah. ; A. 0 ; 0 B. 2 2 ; C. 2 2 D. A, B, dan C tidak benar Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2. Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar 00% Jumlah Soal

41 SATS442/MODUL.4 Arti tingkat penguasaan: 90-00% = baik sekali 80-89% = baik 70-79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum dikuasai.

42 .42 Metode Statistika Multivariat Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif ) C 2) B 3) B 4) A 5) D 6) B 7) C 8) C 9) B 0) A Tes Formatif 2 ) B 2) C 3) A 4) B 5) B 6) D 7) A 8) B 9) B 0) C

43 SATS442/MODUL.43 Daftar Pustaka Johnson, Richard A., Wichern, Dean W. (982). Applied Multivariate Statistical Analysis. Prentice Hall Inc.